Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Чижиков, І.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164202
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків / І.Е. Чижиков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 979–995. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164202
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1642022020-02-09T01:27:30Z Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків Чижиков, І.Е. Статті 2007 Article Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків / І.Е. Чижиков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 979–995. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164202 517.544+517.547+517.57 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Чижиков, І.Е. Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків Український математичний журнал
format	Article
author	Чижиков, І.Е.
author_facet	Чижиков, І.Е.
author_sort	Чижиков, І.Е.
title	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
title_short	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
title_full	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
title_fullStr	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
title_full_unstemmed	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
title_sort	про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164202
citation_txt	Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків / І.Е. Чижиков // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 979–995. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT čižikovíe propovnijopisklasuanalítičnihukruzífunkcíjbeznulívízzadanimiveličinamiporâdkív
first_indexed	2025-07-14T16:43:15Z
last_indexed	2025-07-14T16:43:15Z
_version_	1837641389117014016
fulltext	UDK 517.544+517.547+517.57 I. E. ÇyΩykov (L\viv. nac. un-t) PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV IZ ZADANYMY VELYÇYNAMY PORQDKIV For arbitrary 0 1≤ ≤ ≤ +σ ρ σ , we describe the class Aσ ρ of functions g z( ) analytic in the unit disk D = { }:z z < 1 such that g z( ) ≠ 0, ρ σT g[ ] = , ρ ρM g[ ] = , where M r g( , ) = max ( ){ g z : z r≤ }, T r u( , ) = 1 2 0 2 π ϕ π ϕ∫ +ln ( )g re di , ρM g[ ] = lim sup ln ln ( , ) ln ( ) r M r g r↑ + − −1 1 , ρT g[ ] = = lim sup ln ( , ) ln ( ) r T r g r↑ + − −1 1 . Dlq proyzvol\n¥x 0 1≤ ≤ ≤ +σ ρ σ opysan klass Aσ ρ analytyçeskyx v edynyçnom kruhe D = = { }:z z < 1 funkcyj g z( ) takyx, çto g z( ) ≠ 0, ρ σT g[ ] = , ρ ρM g[ ] = , hde M r g( , ) = = max ( ) :{ }g z z r≤ , T r u( , ) = 1 2 0 2 π ϕ π ϕ∫ +ln ( )g re di , ρM g[ ] = lim sup ln ln ( , ) ln ( ) r M r g r↑ + − −1 1 , ρT g[ ] = lim sup ln ( , ) ln ( ) r T r g r↑ + − −1 1 . 1. Vstup. Nexaj D = { z ∈ C : z < 1 } . Poznaçymo çerez A ( D ) ta H ( D ) klasy vidpovidno analityçnyx ta harmoniçnyx funkcij v D. Nexaj M ( r, f ) = = max ( ) :{ }f z z r= , T ( r, f ) = 1 2 0 2 π θθπ log ( )+∫ f re di , de x+ = max ,{ }x 0 , 0 < r < 1 i f ∈ A ( D ) — maksymum modulq ta xarakterystyka Nevanlinny vidpo- vidno. Porqdky zrostannq f ∈ D vyznaçagt\ tak: ρM f[ ] = lim sup ln ln ( , ) ln( )r M r f r↑ + + − −1 1 , ρT f[ ] = lim sup ln ( , ) ln( )r T r f r↑ + − −1 1 . Vidomo, wo ρT f[ ] ≤ ρM f[ ] ≤ ρT f[ ] + 1, (1) i ci spivvidnoßennq utoçnyty ne moΩna. Dlq zadanyx α > 1, ρ, ρ ≤ α ≤ ρ + 1, K. Linden [1] pobuduvav analityçnu v D \ { }1 funkcig u vyhlqdi tak zvanoho dobutku Naftalevyça – Cudzi g z( ) = E a a z pn nn 1 1 2 1 − −    = ∞ ∏ , , 1 1−( ) +∑ an p n < ∞ , z vlastyvistg ρT g[ ] = ρ, ρM g[ ] = α. Tut E ( w, p ) = ( ) exp{ / / }1 22− + + … +w w w w pp , p ∈ +Z , — pervynnyj mnoΩnyk Vej[rßtrassa, an — nuli g z( ). Razom z tym problema povnoho opysu klasu Aσ ρ funkcij f ∈ A ( D ) takyx, wo ρT g[ ] = σ, ρM g[ ] = ρ, dlq zadanyx ρ ≤ α ≤ ρ + 1 zalyßalas\ ne rozv’q- zanog. © I. E. ÇYÛYKOV, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 979 980 I. E. ÇYÛYKOV Osnovnym rezul\tatom statti [ povnyj opys pidklasu Aσ ρ , qkyj sklada[t\sq z analityçnyx funkcij bez nuliv u D. Cej rezul\tat otrymu[t\sq z opysu vidpo- vidnoho klasu harmoniçnyx u D funkcij. Metod dovedennq spyra[t\sq na para- metryçne zobraΩennq pidklasu H ( D ) funkcij skinçennoho porqdku ( ρM u[ ] < < + ∞ ) , oderΩane M. M. DΩrbaßqnom [2], ta aparat drobovoho intehruvannq. 1.1. DopomiΩni vidomosti pro drobove intehruvannq. Dlq toho wob sformulgvaty rezul\tat, nam potribni vidomosti z intehruvannq drobovoho porqdku [2] (hl.CIX), [3] (hl.CXII.8). Dlq f ∈ L ( a, b ) ( intehrovno] za Lebehom na ( a, b ) ) drobovyj intehral Rimana – Liuvillq Fα porqdku α > 0 vyznaça[t\sq formulog [2] Fα ( r ) = D f r−α ( ) = 1 0 1 Γ( ) ( ) ( ) α α r r x h x dx∫ − − , r ∈ ( a, b ) , D 0 h ( r ) ≡ h ( r ) , D α h ( r ) = d dr D h r p p p{ }( ) ( )− −α , α ∈ ( p – 1, p ] , de Γ( )α — hamma-funkciq. Fα neperervna pry α ≥ 1 i zbiha[t\sq z pervisnymy vidpovidnoho porqdku pry α ∈ N . Zaznaçymo, wo pry α < 0 operator D α [ asociatyvnym ta komutatyvnym qk funkciq α. Qkwo my ma[mo spravu z periodyçnymy funkciqmy, zokrema z tryhonomet- ryçnymy rqdamy, to oznaçennq Rimana – Liuvillq [ nezruçnym. Tomu navedemo we oznaçennq, wo naleΩyt\ H. Vejlg. Nexaj f ∈ L ( 0, 2π ) . Prypustymo, wo 0 2π ∫ f x dx( ) = 0. (2) Qkwo c en inx n∈∑ Z , c0 = 0, — rqd Fur’[ f, to drobovyj intehral (poxidna) porqdku α vyznaça[t\sq rqdom Fur’[ c e in n inx n ( )\{ } α ∈ ∑ Z 0 α > = 0 1 2 0 2 π π α∫ −f t x t dt( ) ( )Ψ , (3) de Ψα( )t = e ininx n ( ) \{ } − ∈∑ α Z 0 [ zbiΩnym majΩe skriz\ na [ 0, 2 π ] pry α > 0. Tut i dali i α = eiπα /2 . Intehral z (3) isnu[ majΩe skriz\, joho znaçennq intehrovne, a rqd z (3) zbiΩnyj majΩe skriz\ i [ rqdom Fur’[ fα . Pry c\omu fα zadovol\nq[ (2). Poznaçymo fα çerez I fα[ ]. Operator Iα ma[ ti sami vlas- tyvosti, wo i D α. Pry α ∈ ( 0, 1 ) poxidna f−α porqdku α vyznaça[t\sq for- mulog f x−α( ) = d dx f x1−α( ). Qkwo Ω α > 0, n – 1 ≤ α < n, n ∈ N , to f x−α( ) = = d dx f x n n n−α( ). MiΩ oznaçennqmy Rimana – Liuvillq ta H. Vejlq isnu[ takyj zv’qzok: f xα( ) = 1 2 0 2 π π α∫ −f x t t dt( ) ( )Ψ = = 1 1 2 0 1 0 2 Γ( ) ( )( ) ( ) ( ) α π α π α x f t x t dt f t r x t dt∫ ∫− + −− , de r xα( ) — analityçna funkciq vid x, α > 0. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 981 Nexaj ψ : [ 0, 2 π ] → R . Çerez BV i AC poznaçymo klasy funkcij obmeΩeno] zminy ta absolgtno neperervnyx na [ 0, 2 π ] vidpovidno. Qkwo ψ β− ∈AC, α > 0, pysatymemo ψ β∈AC . Analohiçno ψ β∈BV , qkwo ψ β− ∈BV. Vvedemo takoΩ poznaçennq f xα ∗( ) = i f xα α( ) = c e nn inx n − ≠∑ α 0 dlq f x( ) ~ c en inx n≠∑ 0 , α ∈ R . Nexaj ω ( δ, ψ ) = sup ( ) ( ) : , [ , ],ψ ψ π δx y x y x y− ∈ − <{ }0 2 — modul\ neperervnosti funkci] ψ. Qk i v [3], budemo hovoryty, wo ψ γ∈Λ , qkwo ω δ ψ( , ) = O( )δγ ( )δ↓0 . Vplyv intehruvannq ta dyferencigvannq na modul\ neperervnosti opysu[ te- oremaCCA. Teorema))A. 1.CCNexaj 0 ≤ α < 1, β > 0, f ∈ Λ α . Todi: a) fβ α β∈ +Λ pry α + β < 1; b) fβ ∈Λ1 pry α + β > 1. 2.CCNexaj 0 < γ < α < 1. Todi: a) f− −∈γ α γΛ pry f ∈Λα ; b) f− −∈γ γΛ1 pry f ∈Λ1. PunktyCC2,CC1a) vyplyvagt\ z teorem (8.13), (8.14) [3] (hl.CXII, teoremaC2), punktCC1b) dovedemo v p.C3. 2. ZobraΩennq i zrostannq harmoniçnyx funkcij. Osnovni rezul\taty. Dlq u ∈ H ( D ) oznaçymo maksymum modulq B ( r, u ) = max ( ) :{ }u z z r≤ ta xa- rakterystyku Nevanlinny T ( r, u ) = 1 2 0 2 π ϕϕπ u re di+∫ ( ) . Vvedemo porqdky ρB u[ ] = lim sup ln ( , ) ln( )r B r u r↑ + − −1 1 , ρT u[ ] = lim sup ln ( , ) ln( )r T r u r↑ + − −1 1 . Podibno do (1) ma[mo spivvidnoßennq ρT u[ ] ≤ ρM u[ ] ≤ ρT u[ ] + 1. Nam znadoblqt\sq rozvynennq uzahal\nenyx qder Koßi, Ívarca ta Puassona: C zα( ) = Γ( ) ( ) 1 1 1 + − + α αz = Γ Γ ( ) ( ) α + + += +∞ ∑ k k zk k 1 10 , (4) S zα( ) = 2 0C z Cα α( ) ( )− , P rα ϕ( , ) = Re ( ) ( ){ }2 0C re Ci α ϕ α− . Zaznaçymo, wo P r0( , )ϕ = r D P r− −α α α ϕ( ( , )) , P rα ϕ( , ) = D r P rα α ϕ( ( , ))0 , de operator D di[ za zminnog r. Nexaj Uα — pidklas H ( D ) takyx funkcij, wo sup ( ) 0 1 0 2 < < ∫ r iu re d π α ϕ ϕ = M α < + ∞ , de u re i α ϕ( ) = r D u re i− −α α ϕ( ). Nexaj Uσ ρ — klas funkcij u ∈ H ( D ) takyx, wo ρT u[ ] = σ, ρB u[ ] = ρ dlq zadanyx 0 ≤ ρ ≤ σ ≤ ρ + 1. Teorema))B ([2], teoremaC9.10). Nexaj α > – 1. Todi u ∈ Uα todi i lyße todi, koly ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 982 I. E. ÇYÛYKOV u re i( )ϕ = 0 2π α ϕ θ ψ θ∫ −P r d( , ) ( ), (5) de ψ π∈BV[ , ]0 2 . Pry c\omu ψ θ( ) = lim ( ) n n iu r e d → +∞ ∫ α θθ θ 0 dlq deqko] posli- dovnosti rn ↑1. Z teori], pobudovano] M. M. DΩrbaßqnom [2] (hl. IX), moΩna otrymaty na- stupne tverdΩennq, ne sformul\ovane nym u qvnomu vyhlqdi. TverdΩennq. Nexaj u ∈ H ( D ) . Todi ρT u[ ] = inf :α α≥ ∈{ }0 u U . Vyqvlq[t\sq, wo zrostannq B ( r, u ) , de u ma[ vyhlqd (5), opysu[t\sq v ter- minax modulq neperervnosti ψ. Teorema))C [4]. Nexaj α ≥ 0, 0 < γ < 1. Funkciq u ∈ H ( D ) zobraΩu- [t\sq u vyhlqdi (5), de ψ γ∈BV ∩ Λ , todi i lyße todi, koly u U∈ α i B ( r, u ) = O r(( ) )1 1− − −γ α , r↑1. Slid zaznaçyty, wo dovedennq teoremyCCC podibne do dovedennq teoremyCCD, vstanovleno] u vypadku, koly ψ ∈AC, u [5] (dyv. takoΩ [3], hl. VII, teore- maC5.1). Teorema))D. Nexaj u ∈ H ( D ) , 0 < γ ≤ 1. Todi u re i( )ϕ = 0 2 0 π ϕ∫ −P r t t dt( , ) ( )v dlq deqko] v ∈ Λ γ todi i lyße todi, koly B r u, ∂ ∂    ϕ = O r(( ) )1 1− −γ , r↑1. Analohy cytovanyx teorem [ pravyl\nymy i dlq analityçnyx funkcij. Slid we zhadaty blyz\kyj do predmetu rozhlqdu dano] statti rezul\tat F. A. Íamo- qna [6] (teoremaC3). Teorema))E. Nexaj F ( z ) = exp ( ) ( )1 2 0 2 π ψ θα θπ S ze di−∫{ }. Todi sup ( ) ( , ) 0 1 0 1 < < −∫ − r r r t T t F dtα < + ∞ todi i lyße todi, koly: 1) ψ ∈AC; 2) 0 2 0 2 2 2 π π ψ θ ψ θ ψ θ θ∫ ∫ + − + −( ) ( ) ( )t t t dt d < + ∞. TeoremaCCE naßtovxu[ na dumku, wo za velyçynu porqdku ρT [ u ] , de u ma[ vyhlqd (5), vidpovidagt\ vlastyvosti ψ, pov’qzani z absolgtnog neperervnistg. Ce, vlasne, vstanovlg[ teoremaC1, qka [ klgçovym rezul\tatom dano] statti. Teorema))1. Nexaj u ma[ vyhlqd (5), α ≥ 0, ψ ∈BV. Todi: 1) ρT [ u ] = ( )α γ− + 1 , de γ1 = sup :{ }τ ψ τ≥ ∈0 AC ; 2) ρT [ u ] = ( )α γ− + 2 , de γ2 = sup :{ }τ ψ τ≥ ∈0 BV . Zaznaçymo, wo γ1 = γ2 dlq dovil\no] funkci] ψ . Spravdi, nerivnist\ γ2 ≥ ≥ γ1 [ oçevydnog, pozaqk ACτ ⊂ BVτ . Qkwo Ω ψ ∈BV, ψ ( x ) ∼ c en inx n≠∑ 0 , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 983 to ψβ ( x ) = c n en inx n − ≠∑ β 0 ∈ AC dlq dovil\noho β > 0, tobto BVτ β+ ⊂ ACτ dlq dovil\noho β > 0 [7, c. 31]. Nexaj τ [ ψ ] = sup :{ }γ ψ γ≥ ∈0 Λ , γ [ ψ ] = sup :{ }τ ψ τ≥ ∈0 AC . Teorema))2. Nexaj 0 ≤ σ ≤ ρ ≤ σ + 1 < + ∞ , u ∈ H ( D ) . Funkciq u U∈ σ ρ todi i lyße todi, koly ( )∀ >α σ ( )∃ ∈ψ BV u ( z ) ma[ vyhlqd (5), σ = = ( [ ])α γ ψ− + i τ ψσ α[ ]− = 1 – ρ + σ. Naslidok)1. Nexaj u ma[ vyhlqd (5), α ≥ 0, ψ ∈BV. Todi ρ T [ u ] = = ( [ ])α γ ψ− + , ρB [ u ] = ρ τ ψρ αT uu T [ ] [ ][ ]–+ −1 . ZauvaΩennq)1. Pry σ > 0 umova σ = ( [ ])α γ ψ− + [ rivnosyl\nog umovi γ [ ψ ] = α – σ. ZauvaΩennq)2. Neobxidnist\ teoremyC2 ne ma[ miscq dlq α = σ. Rozhlqne- mo funkcig u ( z ) = Re{ ( )}h z , h ( z ) = ( ) ln1 1 1 − − −z z ρ , de ρ ≥ 1, hilku mnoho- znaçno] funkci] h ( z ) v D vybrano tak, wob h ( 1 / 2 ) = 2 2ρ ln . Oçevydno, wo B ( r, u ) = ( ) ln1 1 1 − − −r r ρ , zokrema ρM [ g ] = ρ. Z ocinky dlq B ( r, u ) vyplyva[, wo T ( r, u ) ≥ c r r0 11 1 1 ( ) ln− − − +ρ , r↑1, ale ρT [ u ] = ρ – 1. Z dovedennq lemyC3 vyplyva[, wo u ( z ) ne moΩna zobrazyty u vyhlqdi (5) z α = ρ – 1, bo todi b ma- ly T ( r, u ) = O r(( ) )1 1− − +ρ , r↑1. 3. DopomiΩni tverdΩennq. Nastupna lema, qka ma[ i samostijnyj interes, [ osnovnog pry dovedenni teoremyC1. Lema))1. Nexaj α > 0, β > – α – 1, ψ ∈AC ( pry β < 0 nexaj we ψ β∈ −AC ) , g re i( )ϕ = 0 2π α ϕ ψ∫ −C re d ti t( ) ( )( ) . (6) Todi g re i( )ϕ = 0 2 1 π α β ϕ β αβ ϕψ∫ + − ∗ +C re d t D Q rei t i( ) ( ) ( )( ) , (7) de Q zαβ( ) = = 0 2 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 π α β β π β π β αβ π α β χ χ ψ χ χ α β ψ ψ α β ∫ ∫ ∫ ∫ + − − ∗ − ∗ − ∗ + − = + ∈ + > + − + + = C ze d t t t t C ze d t D ze d t q z C ze it it it ( ) ( ), ( ) ( ) ˜ ( ), ˜ , , ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ), , ( Λ −− ∗ − ∗ + < + < − + + = − < + <                ∫ it it d t q z ze d t q z q z ) ( ) ( ), , ln ( ) ( ) ( ), , ( ), , ψ α β ψ α β α β β αβ π β αβ αβ 0 1 1 0 1 0 0 2 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 984 I. E. ÇYÛYKOV q zαβ( ) — obmeΩena v D analityçna funkciq, D1 , D2 — stali, zaleΩni lyße vid α i β. Tut i dali hilku Ln w vybrano tak, wob ln 1 = 0. MoΩna dovesty analohiçne tverdΩennq dlq harmoniçnyx funkcij, prote ob- meΩymosq lyße okremym vypadkom, qkyj nam bude potriben dlq dovedennq teo- rem. Lema))2. Nexaj α > 0, β > – α , ψ ∈AC ( pry β < 0 nexaj we ψ β∈ −AC ) , u ( z ) ma[ vyhlqd (5). Todi u re i( )ϕ = 0 2 1 π α β β αβ ϕϕ ψ∫ + ∗− + ′P r t d t D E re i( , ) ( ) ( ), (8) de E re i αβ ϕ( ) = = 0 2 1 1 0 2 1 1 0 1 π α β β π α β β αβ ϕ χ χ ψ χ χ α β ϕ ψ α β ∫ ∫ + − ∗ + − ∗ − = + ∈ + > − + < + <        P r t d t t t t P r t d t e z ( , ) ( ), ( ) ( ) ˜ ( ), ˜ , , ( , ) ( ) ( ), , Λ e zαβ( ) — obmeΩena v D harmoniçna funkciq, ′D1 — stala, zaleΩna lyße vid α i β. Dovedennq lemy�1. Nexaj α + β > – 1. Oçevydno, wo g ( 0 ) = 0 2 0 π α ψ∫ C d t( ) ( ) = Γ( ) ( ) ( )( )α ψ π ψ+ −1 2 0 . Poznaçymo ˜( ) ( ) ( )g z g z g= − 0 , ˜ ( ) ( ) ( )C z C z Cα α α= − 0 . Todi ˜( )g re iϕ , ˜ ( )C rei α ϕ zadovol\nqgt\ umovu (2) za zminnog ϕ. ProdovΩymo ψ na R za formulog ψ π ψ( ) ( )t t+ −2 = ψ π ψ( ) ( )2 0− . Z (4) i (6) oderΩu[mo ˜( )g re iϕ = 0 2π α ϕ ψ∫ −˜ ( ) ( )( )C re d ti t = 0 2π α θ ψ θ ϕ θ∫ − ′ +˜ ( ) ( )C re di . (9) Za umovog lemy ψβ , a otΩe, i ψβ ∗ naleΩat\ do AC. Podi[mo operatorom Iβ na (9). Za teoremog Fubini ma[mo I g re i β ϕ[ ˜]( ) = 0 2π α θ β ψ θ ϕ θ∫ − ′ +˜ ( ) [ ( )]C re I di = = i C re di− − ∗∫ ′ +β π α θ βψ θ ϕ θ 0 2 ˜ ( )( ) ( ) = i C re d ti t− − ∗∫β π α ϕ βψ 0 2 ˜ ( ) ( )( ) = = i k k r e d t k k i t k− = +∞ − ∗∫ ∑ + + + β π ϕ β α ψ 0 2 1 1 1 Γ Γ ( ) ( ) ( )( ) = k k ikr e = ∞ ∑ 1 µ ϕ( ) , (10) de µk r( ) = i k k e d t ritk k− − ∗+ + + ∫β π β α ψΓ Γ ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 985 Podi[mo teper na rivnist\ (10) operatorom I−β . OderΩu[mo ˜ ( )g re iϕ = k k ikk r e = ∞ ∑ 1 β ϕµ ( ) = 0 2 1 1 1 π β ϕ β α ψ∫ ∑ = +∞ − ∗+ + +k k i t kk k k r e d t Γ Γ ( ) ( ) ( )( ) = = 0 2 1 1 1 π ϕ β α β ψ∫ ∑ = +∞ − ∗+ + + +k k i t kk k r e d t Γ Γ ( ) ( ) ( )( ) + + 0 2 1 1 1 1 1 π β ϕ β α α β ψ∫ ∑ = +∞ − ∗+ + + − + + + +    k k i t kk k k k k r e d t Γ Γ Γ Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = 0 2 1 π α β ϕ β ϕψ∫ + − ∗ +˜ ( ) ( ) ( )C re d t g rei t i , (11) de g re i 1( )ϕ = 0 2π ϕ βψ∫ − ∗G re d ti t( ) ( )( ) , G ( z ) = k k kd z = +∞ ∑ 1 , dk = Γ Γ Γ ( ) ( ) ( ) k k k k + + + − + + + α β αβ1 1 1 . Z asymptotyky Γ ( z ) vyplyva[, wo dk = O k( )α β+ −1 , k → ∞ . Prote nam potribna toçnißa ocinka. Dlq c\oho vykorysta[mo rqd Stirlinha [8, c. 40] (hl.C12.33, teoremaC2) Γ ( x ) = x e x x O x x x− − + + +         1 2 2 32 1 1 12 1 288 1/ π , x → + ∞ . Nexaj y = O ( 1 ) , x → + ∞ , todi za dopomohog obçyslen\ (moΩna zastosuva- ty paket Maple) oderΩymo Γ Γ ( ) ( ) x y x + = x y y x y y y y x O x y 1 2 3 10 9 2 24 12 4 3 2 2 3+ − + − + − +         , x → + ∞ . (12) Dlq znaxodΩennq asymptotyky dk zastosu[mo (12) z x = k + 1 , y ∈ +{ , }α α β . V rezul\tati otryma[mo dk = D k D k O k1 1 3 2 3α β α β α β+ − + − + −+ + ( ), k → + ∞ , de D1, D3 — stali, qki zaleΩat\ lyße vid α ta β. Qkwo α + β < 0, to k k kd r = +∞ ∑ 1 = O k k= +∞ + −∑   1 1α β = O ( 1 ) , 0 ≤ r ≤ 1, tobto G ( z ) , a otΩe i g1 ( z ) , — obmeΩena analityçna funkciq v D . Qkwo α + β = 0, ma[mo dk = D k O k1 2/ ( )+ − , k → + ∞ . Zvidsy znaxodymo G ( z ) = – D z g z1 31ln( ) ( )− + , de g3 — obmeΩena analityçna funkciq v D . Pry α + β > 0 z ohlqdu na te, wo Γ Γ ( ) ( ) k k + + + α β 1 = k K k K k O k α β+ − + + +         1 1 2 2 31 1 , k → + ∞ , (13) oderΩu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 986 I. E. ÇYÛYKOV dk = D k k D k k O k1 4 3 1 1 1 Γ Γ Γ Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + − + + + −α β α β α β , k → + ∞ , (14) de K1, K2 , D4 — stali, qki zaleΩat\ lyße vid α ta β. Pry α + β < 1 ma[mo dk = D k k O k1 2 1 Γ Γ ( ) ( ) ( ) + + + + + −α β α β , k → + ∞ . Tomu G ( z ) = D C z1 1 ˜ ( )α β+ − + g3 ( z ) , de g3 ( z ) — obmeΩena analityçna funkciq vCC D . Qkwo α + β = 1, to G ( z ) = D C z D z1 0 4 1˜ ( ) ln( )− − + g4 ( z ) , de g4 ( z ) — ob- meΩena analityçna funkciq v D . Pidsumovugçy dovedene vywe, pry – 1 < α + β ≤ 1 z (11) znaxodymo ˜( )g z = = ˜ ( ) ( )C ze d tit α β β π ψ+ − ∗∫0 2 + g1 ( z ) , de g1 ( z ) ma[ vyhlqd, qkyj vymaha[t\sq v lemi vid Q zαβ( ) . Mirkugçy, qk na poçatku dovedennq lemy, otrymu[mo g ( z ) = 0 2π α β βψ∫ + − ∗C ze d tit( ) ( ) + g1 ( z ) + K3 , de K3 = – C gα β β βψ π ψ+ ∗ ∗− +( )( ( ) ( )) ( )0 2 0 0 . OtΩe, u vypadku – 1 < α + β ≤ 1 lemu dovedeno. Zalyßylos\ rozhlqnuty vypadok α + β > 1. Z (14) vyvodymo G ( z ) = k k kd z = +∞ ∑ 1 = D C z D C z z k k k 1 1 4 2 1 ˜ ( ) ˜ ( )α β α β+ − + − = +∞ + + ∑ ∆ , ∆k = O k( )α β+ −3 , k → + ∞ . OtΩe, g1 ( z ) = D C ze d t D C ze d tit it 1 0 2 1 4 0 2 2 π α β β π α β βψ ψ∫ ∫+ − − ∗ + − − ∗+˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( ) + + 0 2 1 π βψ∫ ∑ = +∞ − ∗ k k k itkz e d t∆ ( ) ≡ ≡ D C ze d t h z h zit 1 0 2 1 1 2 π α β βψ∫ + − − ∗ + +˜ ( ) ( ) ( ) ( ). Po-perße, z vyhlqdu h 1 ( z ) vyplyva[ M ( r, h1 ) = O r(( ) )1 1− − −β α pry r↑1. Po-druhe, z rezul\tativ M. M. DΩrbaßqna [2] (hl. 9, § 4) vyplyva[, wo h R1 2∈ + −α β ⊂ Rα β+ −1, de Rα — klas analityçnyx u D funkcij takyx, wo Re f U∈ α . Tomu [2] (hl.CIX) h1 ( z ) = 0 2 1 1 0 π α β χ∫ + − − +S ze d t i hit( ) ( ) Im ( ), de χ1 ∈BV . Rozhlqnemo h2 ( z ) . Pry r↑1 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 987 M ( r, h2 ) = O k r k k = +∞ + −∑   1 3α β = O r O r 1 1 2 1 1 2 2( ) , , ln , . ( )−     + ≠ −     + =       + − +α β α β α β Zvidsy lehko otrymaty, wo D h re i− − +α β ϕ1 2Re ( ) = O ( 1 ) , r↑1. Spravdi, ce oçe- vydno pry α + β < 2. A pry α + β ≥ 2, 1 / 2 > ε > 0 D h re i− − +α β ϕ1 2Re ( ) = r r t h te dt r i − − + + − + − −∫ α β α β ϕ α β 1 0 2 21Γ ( ) ( ) Re ( ) = = O r t dt t r 0 2 21∫ − −       + − + − + ( ) ( ) α β α β ε = O dt r t r 0 ∫ −      ( ) ε = O ( 1 ) , r↑1. OtΩe, h R2 1∈ + −α β i h2 ( z ) = 0 2 1 2 2 0 π α β χ∫ + − − +S ze d t i hit( ) ( ) Im ( ) , de χ2 ∈BV. Ale oskil\ky M r h h( , )1 2+ = O r(( ) )1 1− − −α β , r↑1, to ( )( )h h z1 2+ = 0 2 1 1 2 1 20 0 π α β χ χ∫ + − − + + +S ze d t t i h hit( ) ( ( ) ( )) Im( ( ) ( )) = = 0 2 1 π α β χ∫ + − −C ze d tit( ) ˜ ( ) , de ˜ ( )χ t = 2 1 2 4( ( ) ( ))χ χt t K t+ + , K4 — stala. Zastosuvavßy teoremuCCC do Re( )h h1 2+ , otryma[mo, wo χ χ1 2 1+ ∈Λ i, qk naslidok, χ̃ ∈Λ1. Zvidsy i z (11) vyplyva[ tverdΩennq lemy u vypadku α + β > 1. Lemu dovedeno. Dovedennq lemy�2. Nexaj u ( z ) ma[ vyhlqd (5), F ( z ) = 0 2π α ψ∫ −S ze d tit( ) ( ) = 0 2 52 π α ψ α∫ − −C ze d t Kit( ) ( ) ( ). Todi Re F = u. Zastosovugçy do g ( z ) = ( ( ) ) /F z K+ 5 2 lemuC1, oderΩu[mo 1 2 5( ( ) )F z K+ = 0 2 1 π α β β α βψ∫ − − − ∗ −+C ze d t D Q zit( ) ( ) ( ), , de R zα β, ( )− magt\ vyhlqd, opysanyj u lemiC1. Zvidsy F ( z ) = 0 2 1 62 π α β β α βψ∫ − − − ∗ −+ −S ze d t D Q z Kit( ) ( ) ( ), . OtΩe, u re i( )ϕ = 0 2 1 62 π α β β α β ϕϕ ψ∫ − − ∗ −− + −P r t d t D Q re Ki( , ) ( ) Re( ( ) ), . Vraxovugçy, wo P r tα ( , ) = Re( ( ) ( ))2 0C re Cit α α− , pry 0 < α + β < 1 otry- mu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 988 I. E. ÇYÛYKOV E re i αβ ϕ( ) = 2 1 6D Q re KiRe( ( ) ),α β ϕ − − = D P r t d t q z1 0 2 1 π α β βϕ ψ∫ − − − ∗− +( , ) ( ) Re ( ), de q ( z ) — obmeΩena v D analityçna funkciq. OtΩe, u vypadku 0 < α + β < 1 lemu dovedeno. Pry α + β > 1 ma[mo ( ˜ , )χ ∈ ∈Λ1 7K R E re i αβ ϕ( ) = D P r t d t K1 0 2 1 7 π α β ϕ χ∫ − − − +( , ) ( ) = D P r t d t1 0 2 1 π α β ϕ χ∫ − − ∗−( , ) ( ), de χ∗( )t = χ π α β( ) ( ( ))/t K D P t+ − −7 1 12 0 . Lemu dovedeno. Lema))3. Qkwo u ( z ) ma[ vyhlqd (5), ψ β∈AC , to T ( r, u ) = O r 1 1( )( )−    − +α β , r↑1. Dovedennq. MoΩemo vvaΩaty, wo α ≥ β. Nexaj spoçatku α > β. Za le- mogC2 ma[mo u re i( )ϕ = 0 2 1 0 2 1 π α β β π α βϕ ψ ϕ χ∫ ∫− − ∗ − −− + ′ −P r t d t D P r t d t( , ) ( ) ( , ) ( ) ≡ I I1 2+ , (15) de χ ∈BV . Dali zi standartnyx ocinok znaxodymo T ( r, I1 ) = 1 2 0 2 0 2 π ϕ ψ ϕ π π α β β∫ ∫ − − ∗ + −      P r t d t d( , ) ( ) ≤ ≤ 1 2 0 2 0 2 π ϕ ϕ ψ π π α β β∫ ∫ − − ∗−      P r t d d t( , ) ( ) ≤ ≤ 1 2 2 1 10 2 0 2 1π α β ϕ ψ π π ϕ α β β∫ ∫ + −      − − + − ∗Γ ( – ) ( ) ( )re d d t i t ≤ ≤ Γ ( – ) ( ) 1 10 2 1 1 + −   ∫ ∫ − + − ≤ − α β π ϕπ α β ϕ d rt r + + d r t d d t r t t ϕ ϕ ϕ ψα β ϕ π π ϕ π β( sin( )) ( ) / /− +   − + − < − ≤ < − ≤ − ∗∫ ∫1 1 2 2 ≤ ≤ Γ ( – ) ( ) ( / ) / 1 2 1 2 21 1 2 1 + − + +      − − + − − +∫α β π τ τ π πα β α β π α βr r d r = = O r( )1 −( )− +β α , r↑1. Pry α = β, vykorystovugçy nevid’[mnist\ qdra Puassona, ma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 989 T ( r, I1 ) = 1 2 0 2 0 2 0π ϕ ψ ϕ π π β∫ ∫ −      − ∗ + P r t d t d( , ) ( ) ≤ ≤ 1 2 0 2 0 2 0π ϕ ϕ ψ π π β∫ ∫ −       − ∗P r t d d t( , ) ( ) = 0 2π βψ∫ − ∗d t( ) ≤ K, de K — dodatna stala. OtΩe, T ( r, I1 ) = O r 1 1( )( )−    − +α β , r↑1. Analohiçno T ( r, I2 ) = O r 1 1 1( )( )−    − − +α β , r↑1. Ostatoçno T ( r, u ) = O r 1 1( )( )−    − +α β , r↑1. Lemu dovedeno. Lema))4. Nexaj χ µ∈BV ∩ Λ , µ ∈ ( 0, 1 ] , p > 0. Todi 0 2 1 1 1 0 π ϕ χ∫ − − − − −r D r P r t d tp p( )( , ) ( ) = O ( 1 ) , r↑1. Dovedennq. Ma[mo I df= 0 2 1 1 1 0 π ϕ χ∫ − − − − −r D r P r t d tp p( )( , ) ( ) = = r s P s t ds d tp r p− − −∫ ∫ −1 0 2 0 1 0 π ϕ χ( , ) ( )) = = r s P s t d t dsp r p− − −∫ ∫ −1 0 1 0 2 0 π ϕ χ( , ) ( )) . Oskil\ky χ µ∈Λ , za teoremogCCC otrymu[mo 0 2 0 π ϕ χ∫ −P s t d t( , ) ( )) = O s( )1 1−( )− +µ , s↑1. Tomu dlq deqkoho r0 ∈ ( 0, 1 ) B ( r, I ) = O O s s ds r r p ( ) ( ) 1 1 0 1 1+ −      ∫ − −µ = O ( 1 ) , r↑1. Lemu dovedeno. Dovedennq tverdΩennq. Nexaj β = inf :{ }α α≥ ∈0 u U , α 1 > β. Todi, os- kil\ky U Uα α1 ⊃ , α1 > α, ma[mo u U∈ α1 . Za teoremog DΩrbaßqna [2] (teore- maC9.10) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 990 I. E. ÇYÛYKOV u re i( )ϕ = 0 2 1 π α ϕ θ ψ θ∫ −P s d( , ) ( )) , (16) de ψ ∈BV. Dali zi standartnyx ocinok oderΩu[mo T ( r, u ) = O r( )( )1 1− −α , r↑1. OtΩe, ρ α[ ]u ≤ 1, vidtak ρ β[ ]u ≤ . Navpaky, prypustymo, wo T ( r, u ) = O r( )( )1 − −γ , r↑1, dlq deqkoho γ ∈ ( 0, β ) . Nahada[mo deqki xarakterystyky M. M. DΩrbaßqna [2] ( )( )u H∈ D : Tα ( r, u ) = r D u re di − − + ∫ ( ) α π α ϕ π ϕ 2 0 2 ( ) = 1 2 0 2 π ϕ π α ϕ∫ ( )+ u re di( ) . Pry α > 0 vykonu[t\sq nerivnist\ Tα ( r, u ) ≤ r D T r u− −α α ( , ). Z naßoho prypuwennq dlq α ∈ ( γ, β ) ma[mo D T r u−α ( , ) = O ( 1 ) , tomu Tα ( r, u ) = O ( 1 ) . Oskil\ky uα [ harmoniçnog, ce rivnosyl\no tomu, wo sup ( ) 0 1 2 0 < < ∫ r r iu re d π α ϕ ϕ < + ∞ , tobto u U∈ α , wo supereçyt\ nerivnosti α < β. OtΩe, naße prypuwennq [ xyb- nym, tobto ρ [ u ] ≥ β. Ostatoçno ρ [ u ] = β. TverdΩennq dovedeno. Dovedennq punktu 1b) teoremy A. Budemo mirkuvaty, qk i pry dovedenni (8.13) [3, c. 204] (teoremaC2). Vidomo [3, c. 204] (8.15), wo Ψα zadovol\nq[ neriv- nosti Ψα( )t ≤ c tα α−1, Ψα( )t ≤ c tα α−2 , 0 < t ≤ π, de stala cα zaleΩyt\ lyße vid α . Nexaj f ∈Λα , 0 < α < 1, 0 < β ≤ 2, 0 < h ≤ π / 2 . Todi 2π β β( )( ) ( )f x h f x+ − = = t h h t f x t f x t h t dt ≤ ≤ ≤ ∫ ∫+       − − + − 2 2 π β β( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Ψ Ψ ≡ A + B . Qk i v [3, c. 204], ma[mo A = O t t h t dt h h − ∫ + +( )       2 2 α β βΨ Ψ( ) ( ) ≤ ≤ O h t dt h h ( ) ( )α β − ∫ 3 3 2 Ψ = O h t dt h ( )α β 0 3 1∫ − = O h( )α β+ , h↓0 . Vykorystovugçy teoremu pro seredn[ ta ocinku dlq ′Ψβ , otrymu[mo ( 0 < θ < 1 ) B = O t t h hdt h t2 ≤ ≤ ∫ ′ +       π α β θΨ ( ) ≤ ≤ O h t t h dt h t ( ) 2 2 ≤ ≤ −∫ −( ) π α β = O h t dt h ( ) π α β∫ + −2 = O h( ) , h↓0 . OtΩe, f x h f xβ β( ) ( )+ − = O h( ) pry h↓0 , tobto fβ ∈Λ1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 991 4. Dovedennq teorem. Dovedennq teoremy�1. Z lemyC3 vyplyva[, wo ρT [ u ] ≤ ( )α γ− + . OtΩe, dosyt\ dovesty, wo ρT [ u ] ≥ ( )α γ− + . Oskil\ky pry α ≤ γ nerivnist\ tryvial\na, moΩemo vvaΩaty, wo α > γ . Prypustymo, wo ρT [ u ] = σ < α – γ . Nexaj η > 0 take, wo ρ = σ + η < α – γ . Za tverdΩen- nqmC1 u re i( )ϕ = 0 2π ρ ϕ λ∫ −P r t d t( , ) ( ), λ ∈ BV . (17) Bil\ß toho, λ ∈ AC , oskil\ky v protyleΩnomu vypadku, qkwo rozhlqnuty ana- lityçnu v D funkcig f taku, wo Re f = u, za teoremogCCE matymemo ρT [ u ] ≥ ≥ ρ > σ, wo nemoΩlyvo. Nexaj spoçatku α – γ ≥ 1, ε > 0. Za lemogC2 z (5) otrymu[mo ( β = – γ + ε ) u re i( )ϕ = 0 2 0 2 1 π α γ ε ε γ π α γ εϕ ψ ϕ ψ∫ ∫− + − ∗ − − +− + −P r t d t P r t d t( , ) ( ) ( , ) ˜ ( ) , de ψ̃ ψ χε γ= +− ∗c1 1, χ1 1∈Λ , c1 — deqka dijsna stala. Znovu za lemogC2 z (17) ma[mo u re i( )ϕ = 0 2 0 2 1 π α γ ε α ε γ ρ π α γ εϕ λ ϕ λ∫ ∫− + + − − ∗ − − +− + −P r t d t P r t d t( , ) ( ) ( , ) ˜ ( ), de λ̃ λ χα ε γ ρ= ++ − + ∗c2 2, χ2 1∈Λ , c2 — deqka dijsna stala. Poznaçymo τ = α – γ + ε – ρ > ε. VvaΩa[mo, wo τ < 1. C\oho moΩna dosqh- nuty vyborom η. Dovedemo, wo ψ γ τ ε∈ + −AC 1 , ε1 < τ. Ce supereçytyme prypu- wenng teoremy. Z ostannix dvox zobraΩen\ u vyvodymo 0 2π α γ ε ε γ τϕ ψ λ∫ − + − ∗ ∗− −P r t d t t( , ) ( ( ) ( )) = 0 2 1 π α γ ε ϕ λ ψ∫ − + − − −P r t d t t( , ) ( ˜ ( ) ˜ ( )), de ˜ ˜λ ψ− = c c2 1 2 1λ ψ χ χτ ε γ ∗ − ∗− + − . Zastosu[mo operator r D− −β β do obydvox çastyn ostann\o] rivnosti z β = α – γ + ε. Pry c\omu vraxu[mo, wo r D P− −β β β = = P0 ta rivnosti D−β = D D− − +1 1( )β , D P− + − β β 1 1 = r Pβ−1 0 . OderΩymo v( )re iϕ df= 0 2 0 π ε γ τϕ ψ λ∫ − −− ∗ ∗P r y d t t( , ) ( ( ) ( )) = = 0 2 1 1 0 π α γ ε α γ ε ϕ λ ψ∫ − + − − − + − − −r D r P r t d t t( )( , ) ( ˜ ( ) ˜ ( )). Funkciq v harmoniçna v D i ′vr ire( )ϕ = ( ) ( , ) ( ˜ ( ) ˜ ( ))( )− + − − −∫ − + − − − − + −α γ ε ϕ λ ψ π α γ ε α γ ε 0 2 1 1 1 0r D r P r t d t t + + 0 2 1 0 π ϕ λ ψ∫ − − −r P r t d t t( , ) ( ˜ ( ) ˜ ( ))) ≡ I I3 4+ . (18) Oskil\ky λ ∈ ⊂AC Λ0 i 0 < ε < τ, to za teoremogCCA (1 a)) λτ τ ε ∗ ∈ ⊂Λ Λ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 992 I. E. ÇYÛYKOV Za prypuwennqm teoremy ψ γ ε∈ −AC 0 dlq dovil\noho ε0 > 0, tobto ψε γ ε ε − ∗ −∈AC 0 , 0 < ε0 < ε. OtΩe, dlq dovil\noho ε0 ∈ ( 0, ε ) ma[mo ψε γ− ∗ ∈ ∈ Λε ε− 0 . Z oznaçen\ λ̃ ta ψ̃ vyplyva[, wo λ̃ – ψ̃ ∈ Λε ε− 0 . (19) Z (19) za teoremogCCC vyplyva[, wo B ( r, I4 ) = O r(( ) )1 0 1− − −ε ε , r↑1. Z inßoho boku, za lemogCC4 B ( r, I3 ) = O ( 1 ) , r↑1. Z ocinok I3 ta I4 vyvo- dymo B r r( , )′v = O r(( ) )1 1 0− − + −ε ε , r↑1. Za teoremogC2.35 [3] (hl.CVII.2] taka Ω ocinka ma[ misce i dlq ′vϕ , a same B r( , )′vϕ = O r(( ) )1 1 0− − + −ε ε , r↑1. Z ostan- n\oho spivvidnoßennq i teoremyCCD vyplyva[, wo v zobraΩu[t\sq intehralom Puassona vid funkci] z klasu Λε ε− 0 . Z inßoho boku, v [ intehralom Puassona vid ( )χ∗ ′ , qka vyznaçena majΩe skriz\, de χ∗ = ψ λε γ τ− ∗ ∗− . Tobto ( )χ∗ ′ majΩe skriz\ dorivng[ neperervnij funkci] z Λε ε− 0 . OtΩe, moΩemo vvaΩaty, wo ( )χ∗ ′ ∈ Λε ε− 0 . Zvidsy za teoremogCCA (1 b)) χ∗ ∈Λ1. Ale pryhada[mo, wo λτ τ τ ∗ ∈ ⊂AC Λ . OtΩe, ψ χ λε γ τ τ− ∗ ∗ ∗= + ∈Λ . Zvidsy ˜ ˜λ ψ− = c c2 1 2 1λ ψ χ χτ ε γ τ ∗ − ∗− + − ∈Λ . Tak samo, qk i vywe, ocinymo I4 , vykorystovugçy spivvidnoßennq ˜ ˜λ ψ− ∈ ∈ Λτ zamist\ ˜ ˜λ ψ− ∈ Λε ε− 0 . Za teoremogCCC oderΩymo I4 = O r(( ) )1 1− −τ , a za lemogCC4 I3 = O ( 1 ) , i, qk naslidok, B r( , )′vϕ = O r(( ) )1 1− −τ pry r↑1. Teper zhidno z teoremog Xardi – Littlvuda (teoremogCD) ma[mo ( )χ∗ ′ ∈ Λτ abo ψ λε γ τ− − ∗ − ∗−1 1 ∈ Λτ . Rozhlqnemo intehral Vejlq porqdku 1 – τ + ε2 , 0 < < ε2 < τ – ε , vid ostann\o] funkci]. Za teoremogCCA (1 b)) ψ λε γ τ ε ε− − + ∗ ∗− 2 2 ∈ ∈ Λ1 ⊂ AC . Ale λ ∈AC, tym bil\ße λε2 ∗ ∈AC, otΩe, takog Ω [ funkciq ψε γ τ ε− − + ∗ 2 . Tobto ψ γ τ ε ε∈ + − −AC 2 . Ce supereçyt\ prypuwenng teoremy, oskil\ky τ – ε – ε2 > 0. Nexaj teper 0 < α – γ < 1. Vybyra[mo ε > 0 tak, wob 0 < α – γ + ε < 1. Zastosovugçy, qk i vywe, lemuCC2 do zobraΩen\ (5) i (17), oderΩu[mo u re i( )ϕ = 0 2π α γ ε ε γϕ ψ∫ − + − ∗−P r t d t( , ) ( ) + + c P r t d t u re i 1 0 2 1 1 π α γ ε ε γ ϕϕ ψ∫ − − + − ∗− +( , ) ( ) ( ), u re i( )ϕ = 0 2π α γ ε α ε γ ρϕ λ∫ − + + − − ∗−P r t d t( , ) ( ) + + c P r t d t u re i 2 0 2 1 2 π α γ ε α ε γ ρ ϕϕ λ∫ − − + + − − ∗− +( , ) ( ) ( ) , de cj — stali, uj — obmeΩeni v D harmoniçni funkci], j ∈ { 1, 2 } . Zvidsy ( τ = = α – γ + ε – ρ ) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 993 0 2π α γ ε ε γ τϕ ψ λ∫ − + − ∗ ∗− −P r t d t t( , ) ( ( ) ( )) = = 0 2 1 2 1 1 2 π α γ ε τ ε γ ϕϕ λ ψ∫ − + − ∗ − ∗− − + −P r t d c t c t u u re i( , ) ( ( ) ( )) ( )( ). (20) Oskil\ky u2 – u1 — obmeΩena harmoniçna funkciq v D, ]] moΩna zobrazyty (teoremaCCC) u vyhlqdi ( )( )u u re i 1 2− ϕ = 0 2 0 π ϕ χ∫ −P r t d t( , ) ( ), de χ ∈Λ1. Zastosu[mo operator r D− −β β do obox çastyn rivnosti (20) z β = α – γ + ε. Qk i u vypadku α – γ ≥ 1, oderΩymo v( )re iϕ df= 0 2 0 π ε γ τϕ ψ λ∫ − −− ∗ ∗P r t d t( , ) ( )( ) = = 0 2 1 1 0 2 1 π α γ ε α γ ε τ ε γϕ λ ψ∫ − + − − − + − ∗ − ∗− −r D r P r t d c t c t( )( , ) ( ( ) ( )) + + 0 2π α γ ε ϕ χ∫ − + − −P r t d t( , ) ( ). Dyferenciggçy ostanng rivnist\, otrymu[mo ′vr ire( )ϕ = 0 2 1 0 2 1 π τ ε γϕ λ ψ∫ − ∗ − ∗− −r P r t d c t c t( , ) ( ( ) ( )) + + ( ) ( , ) ( ( ) ( ))( )− + − − −∫ − + − − − − + − ∗ − ∗α γ ε ϕ λ ψ π α γ ε α γ ε τ ε γ 0 2 1 1 1 0 2 1r D r P r t d c t c t + + 0 2π α γ ε ϕ χ∫ ∂ ∂ −− + −r P r t d t( , ) ( ) ≡ I I I5 6 7+ + . (21) I5 ta I6 ocinggt\sq tak samo, qk i u vypadku α – γ > 1. Ma[mo λτ τ ∗ ∈Λ , ψε γ ε ε− ∗ −∈Λ 0 , 0 < ε0 < ε . Za teoremogCCC ta lemogCC4 vidpovidno B ( r, I5 ) = O r(( ) )1 1 0− − + −ε ε , B ( r, I6 ) = O ( 1 ) , r↑1. (22) I7 ocing[mo standartno [3] (hl.C8.2). Spoçatku zaznaçymo, wo ∂ ∂ ∂ − + − 2 t r P r tα γ ε ( , ) ≤ K reit 8 3 1 − − + − +α γ ε . (23) Zvidsy, zokrema, ma[mo ∂ ∂ ∂ − + − 2 t r P r tα γ ε ( , ) ≤ K t 9 3− + − +α γ ε , t ≤ π. (24) ProdovΩymo χ na R za formulog χ π χ( ) ( )t t+ −2 = χ π χ( ) ( )2 0− . Os- kil\ky ∂ ∂ − + −r P r tα γ ε ( , ) ta χ ′ — periodyçni funkci] vid t, oderΩu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 994 I. E. ÇYÛYKOV I7 = − + + − + −∫ ∂ ∂ − − π ϕ π ϕ α γ ε θ ϕ χ θ χ ϕ r P r d( , ) ( ( ) ( )) = = ( ( ) ( )) ( , )χ θ χ ϕ θ ϕα γ ε π ϕ π ϕ − ∂ ∂ −− + − − + + r P r – – − + + − + −∫ ∂ ∂ ∂ ∂ −    − π ϕ π ϕ α γ εθ θ ϕ χ θ χ ϕ θ r P r d( , ) ( ( ) ( )) = = ( ( ) ( )) ( , ) ( , ) ( ( ) ( ))χ π χ π τ χ ϕ χ ϕα γ ε π π α γ ε2 0− ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂     + −− + − − − + −∫r P r r P r s s ds . Zvidsy, vykorystovugçy ocinky qdra (23), (24), vyvodymo I7 ≤ K10( )χ + τ τ π α γ ετ τ ω τ χ τ ≤ − − ≤ ≤ − + −∫ ∫+       ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1r r r P r d( , ) ,( ) ≤ ≤ K10 + K r d r 11 1 31τ α γ ε ω τ χ τ ≤ − − + − +∫ − ( ), ( ) + 1 12 3 − ≤ ≤ − + − +∫ r K d τ π α γ ετ ω τ χ τ( ), ≤ ≤ K10 + 2 1 1 11 2 K r r ω χ α γ ε ( ), ( ) − − − + − + + K d r 13 1 2 − ≤ ≤ − + − +∫ τ π α γ ε τ τ = = O r 1 1 1( )−    − + −α γ ε = O r 1 1 1( )−    − −τ ρ , r↑1. Razom z (22) ce da[ B r r( , )′v = O r(( ) )1 1 0− − + −ε ε , r↑1, ε0 ∈ ( 0, ε ) . Dali mirku- vannq taki, qk u vypadku α – γ > 1 vid momentu zastosuvannq teoremyCCD. TeoremuCC1 dovedeno. Dovedennq teoremy�2. Dostatnist\. Nexaj α > σ. Za teoremogCC1 ρ [ u ] = ( [ ])α γ ψ− + = σ. Prypustymo spoçatku, wo σ < ρ. Vyberemo α ∈ ( σ, ρ ) . Oskil\ky τ ψσ α[ ]− = = 1 – ρ – σ, ψσ α δ− ∈Λ pry δ < 1 – ρ + σ. Za teoremog A (1 a)) ψ γ∈Λ pry γ = δ + α – σ < 1 – ρ + α . Vodnoças ψ γ∉Λ pry γ > 1 – ρ + α , bo v proty- leΩnomu vypadku za teoremogCCA maly b τ ψσ α[ ]− > 1 – ρ + σ. OtΩe, τ [ ψ ] = = 1 – ρ + α. Za teoremogCCC ρB [ u ] = ρ. Nexaj teper σ = ρ. Dosyt\ dovesty, wo ρB [ u ] ≤ σ. Nexaj α [ dovil\nym bil\ßym za σ. Oskil\ky τ ψσ α[ ]− = 1, za teoremogCCA (1 b)) ma[mo ψ ∈Λ1. Zvidsy za teoremogCCC B ( r, u ) = O r(( ) )1 − −α , tobto ρB [ u ] ≤ α . Dostatnist\ dovedeno. Neobxidnist\. Nexaj ρB [ u ] = ρ, ρT [ u ] = σ, σ ≤ ρ ≤ ρ + 1. Za tverdΩen- nqm dlq dovil\noho α > σ funkcig u moΩna zobrazyty u vyhlqdi (5), pry c\o- mu za teoremogCC1 ma[mo ( [ ])α γ ψ− + = σ. Prypustymo spoçatku, wo σ < ρ. Nexaj α ∈ ( σ, ρ ] . Z oznaçennq ρB vyply- va[, wo B ( r, u ) = O r(( ) )1 − − −ρ ε , r↑1, dlq dovil\noho ε > 0. Nexaj 0 < ε ≤ ≤ 1 – ρ + α . Za teoremogCCC ma[mo ψ α ρ ε∈ + − −Λ 1 . Todi ψσ α σ ρ ε− + − −∈Λ 1 . Krim toho, ψσ α σ ρ ε− + − +∉Λ 1 dlq dodatnoho ε, bo v protyleΩnomu vypadku ψC∈ ∈ Λα ρ ε+ − +1 i za teoremogCCC maly b B ( r, u ) = O r(( ) )1 − − +ρ ε , r↑1, ale ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 PRO POVNYJ OPYS KLASU ANALITYÇNYX U KRUZI FUNKCIJ BEZ NULIV … 995 B ( rn ,Cu ) ≠ O rn(( ) )1 − − +ρ ε na deqkij poslidovnosti rn ↑1. OtΩe, τ ψσ α[ ]− = 1 – – ρ + σ. Nexaj teper α > ρ > σ, u zobraΩu[t\sq u vyhlqdi (5). Za lemogC2 dlq βC∈ ∈ ( σ, ρ ) , χ ∈ BV ma[mo u re i( )θ = 0 2 0 2 1 π β β α π βϕ ψ ϕ χ∫ ∫− + −− ∗ −P r t d t P r t d t( , ) ( ) ( , ) ( ) = I I8 9+ . (25) Oskil\ky B ( r,CI9 ) = O r(( ) )1 − −β , r↑1, a ρB [ u ] = ρ, to ρB [ I8 ] = ρ. Za teoremogCCC τ ψβ α[ ]− ∗ = τ ψβ α[ ]− = β + 1 – ρ . Zvidsy za teoremogCCA (2 a)) τ ψσ α[ ]− = σ + 1 – ρ . Nareßti, nexaj ρ = σ < α , ε > 0, β = σ + ε < α . Za lemogCC2 znovu ma[mo (25). Zi spivvidnoßen\ ρB [ u ] = ρ , ρ B [ I9 ] ≤ β otrymu[mo ρB [ I8 ] ≤ ρ + ε . OtΩe, B ( r, I8 ) = O r(( ) )1 2− − −ρ ε , r↑1. Za teoremogCCC τ ψβ α[ ]− ≥ β – 1 – ρ – – 2ε = 1 – ε. Zvidsy za teoremogCCA (2 a)) τ ψσ α[ ]− ≥ 1 – 2ε. Z dovil\nosti ε > 0 vyplyva[ τ ψσ α[ ]− = σ + 1 – ρ . TeoremuCC2 dovedeno. 5. Naslidky dlq analityçnyx funkcij. Z teoremC1, 2 ta toho faktu, wo dlq analityçno] funkci] g bez nuliv ln ( )g z — harmoniçna funkciq, vyplyva- gt\ taki teoremy. Teorema))3. Nexaj g z( ) = exp{ ( )}h z , de h z( ) = 0 2 0 π α ψ∫ − +S ze d t i hit( ) ( ) Im ( ), (26) α ≥ 0, ψ ∈ BV . Todi ρT g[ ] = ( [ ])α γ ψ− + . Teorema))4. Nexaj 0 ≤ σ ≤ ρ ≤ σ + 1 < + ∞ , g — analityçna funkciq i g z( ) ≠ 0 v D . Funkciq g A∈ σ ρ todi i lyße todi, koly ( )∀ >α σ ( )∃ ∈ψ BV g z( ) = exp{ ( )}h z , de h z( ) ma[ vyhlqd (26), σ = ( [ ])α γ ψ− + i τ ψσ α[ ]− = 1 – – ρ + σ. Naslidok)2. Nexaj g z( ) = exp{ ( )}h z , de h ( z ) ma[ vyhlqd (26), α ≥ 0, ψC∈ ∈ BV . Todi ρT g[ ] = ( [ ])α γ ψ− + , ρM g[ ] = ρ τ ψρ αT gg T [ ] [ ][ ]+ − −1 . 1. Linden C. N. On a conjecture of Valiron concerning sets of indirect Borel point // J. London Math. Soc. – 1966. – 41. – P. 304 – 312. 2. DΩrbaßqn M. M. Yntehral\n¥e preobrazovanyq y predstavlenyq funkcyj v kompleksnoj oblasty. – M.: Nauka, 1966. – 672 s. 3. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T.C1, 2. 4. Chyzhykov I. E. Growth of harmonic functions in the unit disc and an application // Oberwolfach Repts. – 2004. – 1, # 1. – P. 391 – 392. 5. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math. Z. – 1931/32. – 34. – S. 403 – 439. 6. Íamoqn F. A. Neskol\ko zameçanyj k parametryçeskomu predstavlenyg klassov Nevan- lynn¥ – DΩrbaßqna // Mat. zametky. – 1992. – 52, # 1. – S.C128 – 140. 7. Salem R. On a theorem of Zygmund // Duke Math. J. – 1943. – 10. – P. 23 – 31. 8. Uytteker ∏. T., Vatson DΩ. N. Kurs sovremennoho analyza: V 2 t. – M.: Fyzmathyz, 1963. – T.C2. – 516 s. 9. Subxankulov M. A. Tauberov¥ teorem¥ s ostatkom. – M.: Nauka, 1976. – 400 s. OderΩano 12.05.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7

Про повний опис класу аналітичних у крузі функцій без нулів із заданими величинами порядків

Репозитарії

Схожі ресурси