Проблеми керованості для рівняння струни
Получены необходимые и достаточные условия 0- и ε-управляемости для уравнения струны, управляемого краевыми условиями. Управления, решающие эти задачи, найдены в явном виде. Более того, с помощью тригонометрической проблемы моментов Маркова построены релейные управления, решающие задачу ε-управляемо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164206 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Проблеми керованості для рівняння струни / Л.В. Фардигола, К.С. Халіна // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 939–952. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164206 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1642062020-02-09T01:27:45Z Проблеми керованості для рівняння струни Фардигола, Л.В. Халіна, К.С. Статті Получены необходимые и достаточные условия 0- и ε-управляемости для уравнения струны, управляемого краевыми условиями. Управления, решающие эти задачи, найдены в явном виде. Более того, с помощью тригонометрической проблемы моментов Маркова построены релейные управления, решающие задачу ε-управляемости. Necessary and sufficient conditions of the null-controllability and approximate null-controllability are obtained for the string equation controlled by boundary conditions. Controls solving these problems are found explicitly. Moreover, bang-bang controls solving the approximate null-controllability problem are constructed with the use of the Markov trigonometric moment problem. 2007 Article Проблеми керованості для рівняння струни / Л.В. Фардигола, К.С. Халіна // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 939–952. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164206 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Фардигола, Л.В. Халіна, К.С. Проблеми керованості для рівняння струни Український математичний журнал |
| description |
Получены необходимые и достаточные условия 0- и ε-управляемости для уравнения струны, управляемого краевыми условиями. Управления, решающие эти задачи, найдены в явном виде. Более того, с помощью тригонометрической проблемы моментов Маркова построены релейные управления, решающие задачу ε-управляемости. |
| format |
Article |
| author |
Фардигола, Л.В. Халіна, К.С. |
| author_facet |
Фардигола, Л.В. Халіна, К.С. |
| author_sort |
Фардигола, Л.В. |
| title |
Проблеми керованості для рівняння струни |
| title_short |
Проблеми керованості для рівняння струни |
| title_full |
Проблеми керованості для рівняння струни |
| title_fullStr |
Проблеми керованості для рівняння струни |
| title_full_unstemmed |
Проблеми керованості для рівняння струни |
| title_sort |
проблеми керованості для рівняння струни |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164206 |
| citation_txt |
Проблеми керованості для рівняння струни / Л.В. Фардигола, К.С. Халіна // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 939–952. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT fardigolalv problemikerovanostídlârívnânnâstruni AT halínaks problemikerovanostídlârívnânnâstruni |
| first_indexed |
2025-07-14T16:43:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:43:26Z |
| _version_ |
1837641401634914304 |
| fulltext |
UDK 517.9
L. V. Fardyhola, K. S. Xalina (Fiz.-texn. in-t nyz\kyx temperatur, Xarkiv)
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY
Necessary and sufficient conditions of the null-controllability and approximate null-controllability are
obtained for the string equation controlled by boundary conditions. Controls solving these problems are
found explicitly. Moreover, bang-bang controls solving the approximate null-controllability problem are
constructed with the use of the Markov trigonometric moment problem.
Poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq 0- y ε-upravlqemosty dlq uravnenyq strun¥,
upravlqemoho kraev¥my uslovyqmy. Upravlenyq, reßagwye πty zadaçy, najden¥ v qvnom vyde.
Bolee toho, s pomow\g tryhonometryçeskoj problem¥ momentov Markova postroen¥ relejn¥e
upravlenyq, reßagwye zadaçu ε-upravlqemosty.
0. Vstup. Problemy kerovanosti dlq hiperboliçnyx rivnqn\ vyvçagt\sq zaraz
bahat\ma matematykamy (dyv., napryklad, bibliohrafig v [1]).
U cij roboti my doslidΩu[mo krajovu kerovanist\ xvyl\ovoho rivnqnnq na
skinçennomu vidrizku za prostorovog zminnog za dopomohog obmeΩenyx napered
zadanog konstantog keruvan\. Slid vidmityty, wo v bil\ßosti robit, v qkyx
vyvçalosq take rivnqnnq, doslidΩu[t\sq L2
-kerovanist\, abo, qk uzahal\nennq,
Lp
-kerovanist\ ( 2 ≤ p ≤ ∞ ) [2 – 6]. Ale lyße L∞
-keruvannq moΩna praktyçno
realizuvaty. Bil\ß toho, z praktyçnyx mirkuvan\ taki keruvannq magt\ buty
obmeΩeni napered zadanog konstantog (qk v (0.3)). Okrim toho, pry zarodΩenni
teori] keruvannq panuvaly taki pohlqdy, wo lyße keruvannq v formi peremyka-
ça moΩna realizuvaty praktyçno. Poßuk takyx keruvan\ dlq rozv’qzannq prob-
lem kerovanosti [ aktual\nog zadaçeg i zaraz. Same tomu v p. 2 budut\ pobudo-
vani relejni keruvannq, qki rozv’qzugt\ problemu ε-kerovanosti dlq rivnqnnq,
wo rozhlqda[t\sq.
Problemy krajovo] kerovanosti dlq xvyl\ovoho rivnqnnq na pivosi z keruvan-
nqmy, obmeΩenymy napered zadanog stalog, bulo vyvçeno v [9, 10].
Rozhlqnemo xvyl\ove rivnqnnq
∂
∂
= ∂
∂
2
2
2
2
w
t
w
x
, x ∈ ( 0, π ), t ∈ ( 0, T ), (0.1)
kerovane krajovymy umovamy
w ( 0, t ) = u0 ( t ), w ( π, t ) = uπ ( t ), t ∈ ( 0, T ), (0.2)
de T > 0. My vvaΩa[mo, wo keruvannq uj , j = 0, π, zadovol\nqgt\ umovu
uj ∈ B ( 0, T ) = { v ∈ L∞
( 0, T ) | | v ( t ) | ≤ 1 majΩe skriz\ na ( 0, T ) }. (0.3)
Usi funkci], wo rozhlqdagt\sq v rivnqnni (0.1) ta krajovyx umovax (0.2), vyzna-
çeni na skinçennomu vidrizku. Dali skriz\ budemo vvaΩaty, wo taki funkci] vyz-
naçeni na R ta nabuvagt\ znaçennq 0 na dopovnenni v R svo[] oblasti vyzna-
çennq.
Rozhlqnemo funkcional\ni prostory, wo vykorystovugt\sq v roboti. Nexaj
S — prostir Ívarca [7]:
S = { ϕ ∈ C
∞
( R ) : ∀m ∈ N0 ∀l ∈ N0 ∃ Cml > 0 ∀x ∈ R :
| ϕ(
m
)
( x ) ( 1 + | x | 2 )
l
| ≤ Cml },
de N0 ∈ N ∪ 0, ta S ′ — prostir uzahal\nenyx funkcij nad S. Poslidovnist\
{ } =
∞ϕn n 1 ⊂ S nazyva[t\sq zbiΩnog v S, qkwo dlq bud\-qkyx m ∈ N i l ∈ N
© L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 939
940 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
isnu[ Cml take, wo dlq bud\-qkoho n ∈ N x xl
n
mϕ( )( ) ≤ Cml ta x xl
n
mϕ( )( ) ⇒ 0
pry n → ∞ v R. Pid zbiΩnistg v S ′ rozumi[t\sq slabka zbiΩnist\. Nexaj
takoΩ
D ( a, b ) = { ϕ ∈ C
∞
( R ) : supp ϕ ∈ ( a, b ) },
D ′ ( a, b ) — prostir uzahal\nenyx funkcij nad D ( a, b ) ta D ( – ∞, ∞ ) = D ,
D ′ ( – ∞, ∞ ) = D ′. Poslidovnist\ { } =
∞ϕn n 1 ⊂ D ( a, b ) nazyva[t\sq zbiΩnog v
D ( a, b ), qkwo dlq bud\-qkoho n ∈ N supp ϕn ⊂ [ α, β ] ⊂ ( a, b ) ta dlq bud\-
qkoho m ∈ N ϕn
m x( )( ) ⇒ 0 pry n → ∞ v R. Pid zbiΩnistg v D ′ ( a, b ) rozu-
mi[t\sq slabka zbiΩnist\. Poslidovnist\ { } =
∞δn n 1 ⊂ D nazyva[t\sq δ-poslidov-
nistg, qkwo supp δn ⊂ [ 0, 1 / n ] ta δn x dx( )
− ∞
∞
∫ = 1. Nexaj f ∈ D ′ ( a, b ). Budemo
hovoryty, wo f ( a + 0 ) = α ∈ R, qkwo dlq koΩno] δ-poslidovnosti { } =
∞δn n 1
( f ( x ), δn ( x – a ) ) → α pry n → ∞, ta f ( b – 0 ) = β ∈ R, qkwo dlq koΩno] δ-pos-
lidovnosti { } =
∞δn n 1 ( f ( x ), δn ( b – x ) ) → β pry n → ∞.
Poznaçymo çerez Hl
s
nastupni prostory Soboleva [8], (hl. 1):
Hl
s = { ϕ ∈ S ′ : ( 1 + | x | 2 )
l
/
2 ( 1 + | D |
2
)
s
/
2
ϕ ∈ L2
( R ) },
H a bl
s( ), = { ϕ ∈ D ′ ( a, b ) ∩ Hl
s
: ∃ ϕ ( a + 0 ) ∈ R ∃ ϕ ( b – 0 ) ∈ R },
ϕ ϕl
s l s
x D x dx= +( ) +( ) ( )
− ∞
+ ∞
∫ 1 12 2 2 2 2
1 2
/ /
/
,
de D = – i d / dx.
U prostori Hl
s
razom z wojno vvedenog normog budemo rozhlqdaty we j
normu
[] ϕ []l
s = 1 12 2 2 2 2
1 2
+( ) +( ) ( )
− ∞
+ ∞
∫ D x x dx
s l/ /
/
ϕ .
Vidomo (dyv. [8], hl. 1), wo dlq bud\-qkyx s i l isnu[ stala Kl
s > 0 taka, wo
1
Kl
s l
sϕ ≤ [] ϕ []l
s ≤ Kl
s
l
sϕ . (0.4)
Nexaj F : S ′ → S ′ — operator peretvorennq Fur’[. Ma[mo
( F ϕ ) ( σ ) = 1
2π
( )−
− ∞
+ ∞
∫ e x dxi xσ ϕ , ϕ ∈ S,
ta
( F f, ϕ ) = ( f, F
–
1
ϕ ), f ∈ S ′, ϕ ∈ S.
Vidomo, wo F S = S, F S ′ = S ′. Okrim toho (dyv. [8], hl. 1), F Hl
s = Hs
l
ta ϕ l
s =
= [] F ϕ []s
l
, ϕ ∈ Hl
s
. U cij roboti my zavΩdy budemo vvaΩaty l < – 1 / 2, s ≤ 0.
Dali budemo vykorystovuvaty takoΩ prostory
H̃l
s = { ϕ ∈ Hl
s × Hl
s −1
: ϕ — neparna, 2π-periodyçna },
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 941
˜ , , ,H a b H a b H a bl
s
l
s
l
s( ) = ( ) × ( )−1
z normog ϕ ϕ ϕl
s
l
s
l
s= ( ) + ( )( )−
0
2
1
1 2 1 2/
, ϕ =
ϕ
ϕ
0
1
, ta
Ĥ H Hs
l
s
l
s
l= × −1
z normog [][] ϕ [][]s
l = [] []( ) + [] []( )( )−ϕ ϕ0
2
1 1
2 1 2
s
l
s
l
/
, ϕ =
ϕ
ϕ
0
1
.
U p. 1 oderΩano kryteri] 0- ta ε-kerovanosti systemy (0.1), (0.2) z obmeΩen-
nqmy na keruvannq (0.3). Keruvannq, wo rozv’qzugt\ problemu 0-kerovanosti,
znajdeno v qvnomu vyhlqdi, ale ci keruvannq moΩut\ buty dosyt\ skladnymy
dlq praktyçno] realizaci]. Tomu holovnog metog p. 2 [ pobudova relejnyx ke-
ruvan\, wo rozv’qzugt\ problemu ε-kerovanosti. Cg problemu zvedeno do sys-
temy tryhonometryçnyx problem momentiv Markova. Okrim toho, otrymano
ocinku toçnosti vluçennq dlq pobudovano] systemy relejnyx keruvan\, wo roz-
v’qzugt\ problemu ε-kerovanosti.
1. Problemy kerovanosti. Rozhlqnemo kerovanu systemu (0.1), (0.2) z po-
çatkovymy umovamy
w ( x, 0 ) = w x0
0( ),
x ∈ ( 0, π ), (1.1)
∂ ( )
∂
w x
t
, 0
= w x1
0( ),
de w0 =
w
w
0
0
1
0
∈
˜ ,Hs
0 0[ π].
Nexaj Ω : S ′ → S ′ — operator neparnoho prodovΩennq, tobto ( Ω f ) ( x ) =
= f ( x ) – f ( – x ), f ∈ S ′, supp f ⊂ [ 0, + ∞ ). Rozhlqnemo neparni 2π-periodyçni pro-
dovΩennq (po x ) funkcij, wo zv’qzani kerovanog systemog (0.1), (0.2), (1.1):
W
0 =
T
2
0
π
∈
∑ k
k
wΩ
Z
,
W ( ⋅, t ) =
T
2π
∈
∑
(⋅ )
∂ (⋅ )
∂
k
k
w t
w t
t
Ω
Z
,
, , t ∈ ( 0, T ),
de Th — operator zsuvu: ( Th ϕ ) ( x ) = ϕ ( x + h ), ϕ ∈ S, ta ( Th f, ϕ ) = ( f, T– h ϕ ), f ∈
∈ S ′, ϕ ∈ S.
Oskil\ky dlq bud\-qkoho N ∈ N
( ) ≤ + − π( ) ≤ ( )
∈
∑c x Nk Cl
N l
k
l
N2 2 21
Z
, x ∈ R,
de cl
N = (π ) −N Sl
l2 1, Cl
N = 3 2 2+ (π )N Sl
l , Sl = k l
k
2
1=
∞∑ , to
c g g C gl
N s
Nk
k l
s
l
N s
0 0≤ ≤π
∈
∑T
Z
, g ∈ H Hs s
0 0
1× −
. (1.2)
Okrim toho, Ω f s
0 ≤ 2 0f s , f ∈ Hs
0 , supp f ∈ [ 0, + ∞ ). Tomu W
0 ∈ H̃l
s , W ( ⋅,
t ) ∈ H̃l
s , t ∈ ( 0, T ).
Qk lehko baçyty, zadaçu (0.1), (0.2), (1.1) moΩna zvesty do zadaçi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
942 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
∂
∂
= ∂
∂
W
t
x
W
0 1
0
2 – 2
0
20u t
x kk
( )
′( + π )
∈
∑ δ
Z
+
+ 2
0
2
u t
x kk
π
∈
( )
′( − π + π )
∑ δ
Z
, x ∈ R, t ∈ ( 0, T ), (1.3)
W ( x, 0 ) = W
0
( x ), x ∈ R, (1.4)
de δ — funkciq Diraka.
Nexaj wT =
w
w
T
T
0
1
∈
˜ ,Hs
0 0[ π], WT =
T
2π∈∑ k
T
k
wΩ
Z
. Rozhlqnemo dlq zadaçi
(1.3), (1.4) umovy vluçennq
W ( x, T ) = WT
( x ), x ∈ R. (1.5)
Nexaj T > 0, w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π]. Poznaçymo çerez R T ( w0
) mnoΩynu staniv wT ∈
∈ ˜ ,Hs
0 0[ π], dlq qkyx isnu[ keruvannq u ∈ B ( 0, T ) take, wo zadaça (1.3) – (1.5) z
Wβ = T
2π∈∑ kk
wΩ β
Z
, β = 0, T, ma[ [dynyj rozv’qzok v H̃l
s
.
Oznaçennq 1.1. Stan w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] nazyva[t\sq 0-kerovanym za ças T,
qkwo 0 naleΩyt\ R T ( w0
), t a ε -kerovanym za ças T, qkwo 0 naleΩyt\
zamykanng R T ( w0
) v
˜ ,Hs
0 0[ π].
Zastosuvavßy do (1.3) – (1.5) peretvorennq Fur’[ po x, oderΩymo
d
dt
i e u t e u tk i i
k
v
v=
−
−
π
( ) − ( )π − π
∈
( )∑
0 1
0
2
2
2
0σ
σ σ σ
π
Z
, σ ∈ R, t ∈ ( 0, T ),
(1.6)
v ( σ, 0 ) = v0
( σ ), (1.7)
v ( σ, T ) = vT
( σ ), (1.8)
de v ( ⋅, t ) = F W ( ⋅, t ) ∈ Ĥs
l
, v0 = F W
0 ∈ Ĥs
l
, vT = F W T ∈ Ĥs
l
. OtΩe,
vT
( σ ) = Σ Σ( ) ( ) −
π
( − )
( ) − ( )
π
∈
− π∑ ∫σ σ σ σσ
σ
π
, ,T i e t
u t e u t
dtk i
k
i
T
v0 2
00
2 0
Z
,
de
Σ ( σ, t ) =
cos
sin
sin cos
( ) ( )
− ( ) ( )
σ σ
σ
σ σ σ
t
t
t t
.
Tomu
W T ( x ) = E ( x, T ) *
W x
u x u x
u x u xk
k
0
2
0
0
( ) −
( )( ) − ( )( − π)
( ′ ) ( ) − ( ′ ) ( − π)
π
∈
π
π
∑ ( ) ( )T
Z
Ω Ω
Ω Ω
, (1.9)
de
E ( x, T ) =
1
2
1
π
( )−F Σ σ, T =
= 1
2
1
2
δ δ
δ δ δ δ
( + ) + ( − ) ( + ) − ( − )( )
− ′( + ) + ′( − ) ( + ) + ( − )
x T x T x T x T
x T x T x T x T
sign sign
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 943
Tut i dali * oznaça[ zhortku po x.
Dlq W
0 ∈ H̃l
s
poznaçymo
RT ( W
0
) =
E ( x, T ) *
W x
u x u x
u x u xk
k
0
2
0
0
( ) −
( )( ) − ( )( − π)
( ′ ) ( ) − ( ′ ) ( − π)
π
∈
π
π
∑ ( ) ( )T
Z
Ω Ω
Ω Ω
| u0 ∈ B ( 0, T ) ∧ uπ ∈ B ( 0, T )
.
Todi oznaçennq 1.1 ekvivalentne nastupnomu oznaçenng.
Oznaçennq 1.2. Stan W
0 ∈ H̃l
s
nazyva[t\sq 0-kerovanym za ças T ,
qkwo 0 naleΩyt\ RT ( W
0
), t a ε -kerovanym za ças T, qkwo 0 naleΩyt\
zamykanng RT ( W
0
) v H̃l
s
.
Oçevydno, spravedlyvymy [ nastupni tverdΩennq.
TverdΩennq 1.1. Stan w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] [ 0-kerovanym za ças T todi i ly-
ße todi, koly stan W0 = T
2
0
π∈∑ kk
wΩ
Z
, wo naleΩyt\ H̃l
s
, [ 0 -kerovanym
za ças T.
TverdΩennq 1.2. Qkwo stan w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] [ ε-kerovanym za ças T, to
stan W
0 = T
2
0
π∈∑ kk
wΩ
Z
, wo naleΩyt\ H̃l
s
, [ ε-kerovanym za ças T.
Vyznaçymo K ∈ N take, wo π ( K – 1 ) < T ≤ π K, ta poznaçymo
u tk
α( ) = uα ( t ) ( H ( t – π ( k – 1 ) ) – H ( t – π k ) ), k = 1, K , α = 0, π, (1.10)
de H — funkciq Xevisajda: H ( t ) = 1, qkwo t > 0, ta H ( t ) = 0, qkwo t ≤ 0.
OtΩe,
uα ( t ) = u tk
k
K
α( )
=
∑
1
, supp uk
α ⊂ [ π ( k – 1 ), π k ], k = 1, K , α = 0, π.
(1.11)
Z (1.9) oderΩu[mo
W
T
( x ) = E ( x, T ) *
T
2
0
0
1
0π
∈
∑
( )
( )
k
k
w x
w xZ
Ω –
–
Ω
Ξ
(− ) π
+ (− )
+ π
+ (− ) ( − π)
π
+ (− )
− π
+ (− ) (
+ +
π
=
+
π
∑ 1 2
2
1 2
2
1
2
2
1 2
2
1
1
0
1
1
0
1
k k k k k
k
K
k k k k
u
k
x u
k
x
u
k
x u
k
x −− π)
′
=
∑
k
K
1
, (1.12)
de Ξ : S ′ → S ′ — operator parnoho prodovΩennq: ( Ξ f ) ( x ) = f ( x ) + f ( – x ), f ∈ S ′,
supp f ⊂ [ 0, + ∞ ).
Poznaçymo H s
0 [− π π], = { ϕ ∈ Hs
0 : supp ϕ ∈ [ – π, π ] }. Qsno, wo H s
0 [− π π], —
kompaktnyj pidprostir Hs
0 .
Lema 1.1. Nexaj g ∈ H s
0
1− [− π π], [ neparnog. Todi isnu[ g̃ ∈ H s
0 [− π π],
parna i taka, wo ˜ ′g = g.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
944 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
Dovedennq. Oskil\ky g ∈ S ′ ta [ finitnog ( supp g ⊂ [ – π, π ] ), to za uza-
hal\nenog teoremog Peli – Vinera [11] (hl. 3) G = F g ∈ S ′ [ rehulqrnym funk-
cionalom, G zrosta[ na R ne ßvydße, niΩ polinom, ta prodovΩu[t\sq do cilo]
funkci] porqdku ≤ 1 ta typu ≤ π. Z neparnosti g vyplyva[ neparnist\ G.
Tomu G ( 0 ) = 0 ta
G s
is
( )
[ cilog funkci[g porqdku ≤ 1 ta typu ≤ π , wo zros-
ta[ na R ne ßvydße, niΩ polinom. OtΩe, za ti[g Ω teoremog g̃ =
=
F − ( )
1 G
i
σ
σ
∈ S ′, supp g ⊂ [ – π, π ] ta ˜ ′g = g. Oçevydno, wo g̃ [ parnog.
Ma[mo G ∈ Hs −1
0
. OtΩe,
G
i
( )σ
σ
s
0
= 1 2
2 1 2
+( ) ( )
− ∞
+ ∞
∫ σ σ
σ
σ
s G
i
d
/
≤ [] G [] −s 1
0 + 2 1 2
1 1
( + )
∈[− ]
′( )s G/
,
sup
σ
σ .
Tomu
G
i
( )σ
σ
∈ Hs
0
, a g̃ ∈ H s
0 [− π π], .
Lemu dovedeno.
Poznaçymo çerez ∂ operator ∂ : H s
0 [− π π], → H s
0
1− [− π π], z oblastg vyzna-
çennq D ( ∂ ) = { ϕ ∈ H s
0 [− π π], : ϕ — parna }. Todi Im ( ∂ ) = { ϕ ∈ H s
0
1− [− π π], : ϕ
— neparna }. Ma[mo ∂ −g s
0
1 =
i g sσF −1
0 ≤ Fg
s
0
= g s
0 , g ∈ D ( ∂ ), otΩe, ∂ —
linijnyj neperervnyj operator. Za lemog 1.1 cej operator ma[ obernenyj. Todi
∂–
1
: H s
0
1− [− π π], → H s
0 [− π π], , D ( ∂–
1
) = Im ( ∂ ), Im ( ∂–
1
) = D ( ∂ ). Za teoremog
Banaxa pro obernenyj operator ∂–
1
[ linijnym ta neperervnym, otΩe, dlq koΩ-
noho s ≤ 0 isnu[ Ms > 0 take, wo
∂ ≤− −1
0 0
1g M g
s
s
s , g ∈ D ( ∂–
1
). (1.13)
Lehko baçyty, wo Ms ≥ 1.
Lema 1.2. Nexaj g ∈
˜ ,Hs
0[− π π]. Todi
E T( ) ≤π
∈
∑x t g C M g
k
k l
s
l s
s, * 2
2
02 2Ω
Z
, t ∈ R, (1.14)
de Cl
2 > 0 — stala z nerivnosti (1.2), a Ms ≥ 1 — stala z nerivnosti (1.13).
Dovedennq. Vraxovugçy (1.2), ma[mo
E T E( ) ≤ ( )π
∈
∑x t g C x t g
k
k l
s
l
s, * , *2
2
0Ω Ω
Z
, t ∈ R. (1.15)
Poznaçagçy G = F Ω g, oderΩu[mo
E( )x t g s, * Ω 0 = [][] Σ Ω( )σ, t gF [][]s
0 ≤
≤
cos
sin
( )
− ( )
( )
σ
σ
σ
t
t
G0
s
0
+
sin
cos
( )
( )
( )
σ
σ
σ
σ
t
t
G1
s
0
≤
≤ 2 0
0 1
0 2
1 1
0 2
1 2
G
G
i
Gs
s
s= ( )
+ ( )
−
σ
σ
/
, t ∈ R.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 945
Oskil\ky
G
i s
1
0( )σ
σ
= ∂−1
1 0
Ωg
s
, to, vykorystovugçy (1.13), ma[mo
E( ) ≤ + ( ) + ( )( )− − −
x t g g M g gs s
s
s s, *
/
Ω 0 0 0 1 0
1 2
1 0
1 2 1 2
2 2 2 ≤
≤ 2 2 0M gs
s , t ∈ R.
ProdovΩugçy ocinku (1.15), zvidsy oderΩu[mo (1.14).
Lemu dovedeno.
Lema 1.3. Nexaj g ∈ Ĥs
l
. Todi
E( )x t g l
s, * = [][] Σ( )σ, t gF [][]s
l ≤
≤ 4 62t + [][] F g [][]s
l = 4 62t g l
s+ , t ∈ R. (1.16)
Dovedennq. Dlq koΩnoho t ∈ R ma[mo
E( )x t g l
s, * = [][] Σ( )σ, t gF [][]s
l ≤
≤
cos
sin
( )
− ( )
σ
σ
t
t
gF 0
s
l
+
sin
cos
( )
( )
σ
σ
σ
t
t
gF 1
s
l
≤
≤ 2 [] F g0 []s
l +
( )
+ [] []( )
−
sin
/
σ
σ
t
g g
s
l
s
lF F1
2
1 1
2
1 2
.
Vraxovugçy, wo 1 2
2
+( ) ( )σ σ
σ
sin t
≤ 2 12( + )t , oderΩu[mo (1.16).
Lemu dovedeno.
Teorema 1.1. Nexaj T > 0, w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π], K ∈ N — take çyslo, wo π ( K –
– 1 ) < T ≤ π K, ta isnu[ µ ∈ R take, wo
∂ ( ) ± ( ) +
π
≤−1
1
0
0
0 2Ω Ωw x w x T
K
Kµ majΩe skriz\ na [ – π, π ] , (1.17)
supp{ }( )∂ ( ) + ( )−H x w x w x1
1
0
0
0Ω ⊂ [ 0, T – π ( K – 1 ) ], (1.18)
supp{ }( )∂ ( ) − ( )−H x w x w x1
1
0
0
0Ω ⊂ [ π K – T, π ]. (1.19)
Todi stan w0
[ 0-kerovanym za ças T. Okrim toho, qkwo
w̃ x w x H x T
K
H t H t T1
0 1
1
0( ) = ∂ ( ) ( ) +
π
( ) − ( − )− ( )Ω µ ,
u t
K
w t k w t kk
0
2 1
1
0
0
01
2
2 2+ ( ) = ( − π ) + ( − π )[ ]˜ , k = 0 1 2, /[ ]( − )K ,
u t
K
w k t w k tk
0
2
1
0
0
01
2
2 2( ) = ( π − ) − ( π − )[ ]˜ , k = 1 2, /[ ]K ,
u t
K
w k t w k tk
π
+ ( ) = − ( π + π − ) − ( π + π − )[ ]2 1
1
0
0
01
2
2 2˜ , k = 0 1 2, /[ ]( − )K ,
u t
K
w k t w k tk
π ( ) = − (− π + π + ) + (− π + π + )[ ]2
1
0
0
01
2
2 2˜ , k = 1 2, /[ ]K ,
to keruvannq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
946 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
uα ( t ) = u tk
k
K
α( )
=
∑
1
, α = 0, π,
zadovol\nqgt\ umovy supp uα ⊂ [ 0, T ], α = 0, π, ta rozv’qzugt\ problemu 0-
kerovanosti za ças T.
Dovedennq. Z (1.17) vyplyva[, wo uα ∈ B ( 0, T ), α = 0, π. Za formulog
(1.12) W T = 0, tobto stan W
0
[ ε-kerovanym za ças T (dyv. (1.18), (1.19)). Na
pidstavi tverdΩennq 1.1 robymo vysnovok, wo stan w0
[ takoΩ 0-kerovanym za
ças T.
Teoremu dovedeno.
Teorema 1.2. Nexaj T > 0, w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π], K ∈ N — take çyslo, wo π ( K –
– 1 ) < T ≤ π K. Todi qkwo stan w0
[ 0-kerovanym za ças T, to umovy (1.17) –
(1.19) vykonano.
Dovedennq. Za tverdΩennqm 1.2 stan W
0 = Ωw
k
0
∈∑ Z
[ ε-kerovanym za
ças T . Tomu dlq koΩnoho n ∈ N isnu[ Wn ∈ RT ( W
0
) take, wo W n
l
s
< 1
n
.
OtΩe, isnugt\ un
α ∈ B ( 0, T ), α = 0, π, taki, wo
W
n = E ( x, T ) * W x
u x u x
u x u xk
k
n n
n n
0
2
0
0
( ) −
( )( ) − ( )( − π)
( ′) ( ) − ( ′) ( − π)
π
∈
π
π
∑ ( ) ( )
T
Z
Ω Ω
Ω Ω
.
Zastosovugçy lemu 1.3 ta formuly (1.10) – (1.13), oderΩu[mo
Ω{ }( ) − ( )w x u xn
0
0
0ˆ → 0 ta { }∂ ( ) − ( )−1
1
0
1Ω Ξw x u xnˆ → 0 pry n → ∞ (1.20)
v H s
0 [− π π], , a otΩe, i v S ′. Tut
ˆ , ,u t u
k
t u
k
tn k n k k n k k
k
K
0
1
0
1
0
1 2
2
1 2
2
1( ) = (− ) π
+ (− )
+ π
+ (− ) ( − π)
+ +
π
=
∑ ,
ˆ , ,u t u
k
t u
k
tn n k k n k k
k
K
1 0
1
0
2
2
1 2
2
1( ) = π
+ (− )
− π
+ (− ) ( − π)
+
π
=
∑ ,
u u H x p H x pn p n
α α
, = ( − π( − )) − ( − π )( )1 , p = 1, K , α = 0, π.
Oskil\ky un
α ∈ B ( 0, T ), α = 0, π, n ∈ N, to
û xj
n( ) ≤ 2K majΩe skriz\ na [ 0, π ], j = 0, 1. (1.21)
Vykorystovugçy te, wo S [ wil\nym u L2
( R ) ta supp û j
n ⊂ [ 0, π ], n ∈ N, j = 0,
1, z (1.20) oderΩu[mo Ωû xn
0 ( ) → Ωw x0
0( ) ta Ξû xn
1 ( ) → ∂ ( )−1
1
0Ωw x pry n → ∞
v ( L2
( – π, π ) ) ′. Za teoremog Rissa Ωw0
0 ∈ L2
( – π, π ), ∂−1
1
0Ωw ∈ L2
( – π, π ).
OtΩe, z (1.20), (1.21) vyplyva[ (1.17) – (1.19).
Teoremu dovedeno.
Takym çynom, teoremy 1.1 ta 1.2 dagt\ nastupnyj kryterij 0- ta ε-kerova-
nosti.
Vysnovok 1.1. Nexaj T > 0, w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] t a K ∈ N — take çyslo, wo
π ( K – 1 ) < T ≤ π K. Todi nastupni tverdΩennq [ rivnosyl\nymy:
i) stan w0
[ 0-kerovanym za ças T;
ii) stan w0
[ ε-kerovanym za ças T;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 947
iii) vykonano try umovy:
∂ ( ) ± ( ) +
π
≤−1
1
0
0
0 2Ω Ωw x w x T
K
Kµ majΩe skriz\ na [ – π, π ]
dlq deqkoho µ ∈ R,
supp{ }( )∂ ( ) + ( )−H x w x w x1
1
0
0
0Ω ⊂ [ 0, T – π ( K – 1 ) ],
supp{ }( )∂ ( ) − ( )−H x w x w x1
1
0
0
0Ω ⊂ [ π K – T, π ].
Proilgstru[mo cej kryterij prykladamy.
Pryklad 1.1. Nexaj w x0
0( ) = 2 sin ( x ), w x1
0( ) = 2 sin ( 2x ) na [ 0, π ]. Todi
dlq bud\-qkoho s ≤ 0 w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π]. Ma[mo
˜ sinw x H x w x H x w x dx x H x H x
x
1
0 1
1
0
1
0 22( ) = ( )∂ ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) − ( − π)−
− ∞
∫ [ ]Ω Ω .
Oskil\ky sup ˜ : ,w x w x x1
0
0
0 0( ) ± ( ) ∈[ π]{ } = 4, to za teoremog 1.1 keruvannq
u0 ( t ) = 1
2
2( + )sin sint t , uπ ( t ) = 1
2
2( )(π − ) + (π − )sin sint t , t ∈ [ 0, 2π ], rozv’qzu-
gt\ problemu 0-kerovanosti systemy (0.1), (0.2), (1.1) za ças T = 2π. Oskil\ky
supp ˜( )( ) + ( )w x w x1
0
0
0 = supp ˜( )( ) − ( )w x w x1
0
0
0 = [ 0, π ], to stan w0
ne [ 0-kerova-
nym ( ε-kerovanym) za ças T < 2π.
Pryklad 1.2. Nexaj
w x0
0( ) = x H x H x( ) − − π
4
+ π − π
− − π
4 4
3
4
H x H x +
+ (π − ) − π
− ( − π)
x H x H x3
4
,
w x1
0( ) = H x H x H x H x( ) − − π
+ − π
− ( − π)2
4
2 3
4
.
Todi dlq bud\-qkoho s ≤ 0 w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π]. Ma[mo
w̃ x H x w x H x w x dx
x
1
0 1
1
0
1
0( ) = ( )∂ ( ) = ( ) ( )−
− ∞
∫Ω Ω =
= x H x H x x H x H x( ) − − π
+ π −
− π
− − π
4 2 4
3
4
+
+ ( − π) − π
− ( − π)
x H x H x3
4
.
Oskil\ky sup ˜ : ,w x w x x1
0
0
0 0( ) ± ( ) ∈[ π]{ } = π
2
, to za teoremog 1.1 keruvannq
u0 ( t ) = uπ ( t ) = t H t H t t H t H t( ) − − π
+ π −
− π
− − π
4
1
2
3
4 4
3
4
rozv’qzugt\ problemu 0-kerovanosti systemy (0.1), (0.2), (1.1) za ças T = 3
4
π
.
Oskil\ky supp ˜( )( ) + ( )w x w x1
0
0
0 = 0 3
4
, π
, supp ˜( )( ) − ( )w x w x1
0
0
0 = π π
4
, , to
stan w0
ne [ 0-kerovanym ( ε-kerovanym) za ças T < 3
4
π
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
948 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
2. Relejni keruvannq ta tryhonometryçna problema momentiv Markova.
Rozv’qzok problemy 0-kerovanosti (keruvannq), znajdenyj u p. 1, moΩe buty do-
syt\ skladnym dlq praktyçnoho vykorystannq. U c\omu punkti my budu[mo re-
lejni keruvannq, wo rozv’qzugt\ problemu ε-kerovanosti (relejnym nazyva[t\-
sq keruvannq u ( t ), t ∈ ( 0, T ), take, wo | u ( t ) | = 1 majΩe skriz\ na ( 0, T ), u ( t ) =
= 0 majΩe skriz\ na R \ ( 0, T ) ta çyslo toçok rozryvu [ skinçennym). Budemo
rozhlqdaty systemu tryhonometryçnyx problem momentiv Markova, qki pobudo-
vani za danymy kerovano] systemy, ta dovedemo, wo deqki ]xni rozv’qzky [ relej-
nymy keruvannqmy, wo rozv’qzugt\ problemu ε-kerovanosti.
Skriz\ u c\omu punkti budemo vvaΩaty, wo T > 0, w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π], K ∈ N —
take çyslo, wo π ( K – 1 ) < T ≤ π K. Okrim toho, budemo vvaΩaty, wo umovu iii)
vysnovku 1.1 vykonano, ta poznaçymo w̃ x H x w x T
K
H x1
0 1
1
0( ) = ( )∂ ( ) +
π
( )− (Ω µ –
– H x T( − )), W
0 =
T
2
0
π∈∑ kk
wΩ
Z
,
˜ ˜W x w x
kk1
0
2 1
0( ) = ( )π∈∑ T
Z
Ξ .
Vykorystovugçy tverdΩennq 1.1 ta 1.2, my moΩemo zamist\ kerovano] sys-
temy (0.1), (0.2), (1.1) rozhlqdaty kerovanu systemu (1.3) – (1.5), de W ( ⋅, t ) =
= T
2π∈ (⋅ )∑ kk
w tΩ ,
Z
, t ∈ ( 0, T ), W T = T
2π∈∑ k
T
k
wΩ
Z
.
Rozhlqnemo zvuΩennq operatora neparnoho prodovΩennq Ω̃ : H s
0 [− π π], z
oblastg vyznaçennq D( )Ω̃ = H s
0 0[ π], ∩ L2
( 0, π ). Ma[mo Ω̃ f = Ω f, f ∈ D( )Ω̃ .
Todi Im ( )Ω̃ = { ϕ ∈ Hs
0(− π π), ∩ L2
( – π, π ) : ϕ — neparna }. Lehko pobaçyty, wo
Ω̃ vza[mno odnoznaçno vidobraΩu[ D( )Ω̃ na Im ( )Ω̃ ta ( )( )−Ω̃ 1g x = g ( x ) H ( x ),
g ∈ Im ( )Ω̃ . Vidmitymo, wo nemoΩlyvo dlq dvox dovil\nyx funkcij f1 i f2 , wo
naleΩat\ Hs
0 , vyznaçyty f1 f2 (dobutok cyx dvox funkcij), ale v rozhlqduva-
nomu vypadku odna z funkcij [ finitnog ta naleΩyt\ L2
( R ), a inßa [ obmeΩe-
nog, tomu naße oznaçennq Ω̃−1g [ korektnym dlq g ∈ D( )Ω̃ . Takym çynom, Ω̃
[ oborotnym linijnym operatorom, Ω̃−1
: H Hs s
0 0 0[− π π] → [ π], , , D( )−Ω̃ 1 =
= Im ( )Ω̃ , Im ( )−Ω̃ 1 = D( )Ω̃ .
Lema 2.1. Operator Ω̃−1
[ linijnym obmeΩenym, tobto dlq bud\-qkoho
s ≤ ≤ 0 isnu[ Ps > 0 take, wo
Ω̃− ≤1
0 0g P g
s
s
s , g ∈ Im ( )Ω̃ = D( )−Ω̃ 1
. (2.1)
Dovedennq. Zaznaçymo, wo oskil\ky Hs
0 [ banaxovym prostorom [8] (hl. 1),
to H s
0 0[ π], ta H s
0 [− π π], takoΩ [ banaxovymy prostoramy. Dovedemo, wo
D( )−Ω̃ 1
ta Im ˜( )Ω [ kompaktnymy linijnymy pidprostoramy H s
0 0[ π], ta
H s
0 [− π π], vidpovidno.
Nexaj [ a, b ] — sehment [ 0, π ] abo [ – π, π ]. Nexaj takoΩ { } =
∞gn n 0 ⊂
⊂ H a bs
0 [ ], ∩ L2
[ a, b ] ta gn → g pry n → ∞ v H a bs
0 [ ], . PokaΩemo, wo g ∈
∈ L2
[ a, b ]. Ma[mo gn → g pry n → ∞ v S ′. Oskil\ky S [ wil\nym v L2
( R ),
to gn → g pry n → ∞ v ( L2
( R ) ) ′. Tomu za teoremog Rissa g ∈ L2
[ a, b ]. OtΩe,
D( )Ω̃ [ kompaktnym linijnym pidprostorom H s
0 0[ π], . Qkwo dodatkovo prypus-
tyty, wo u vypadku [ a, b ] = [ – π, π ] gn [ neparnog ( n ∈ N ), to g takoΩ [ ne-
parnog. Tomu Im ( )Ω̃ [ kompaktnym linijnym pidprostorom H s
0 0[ π], . Ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 949
Ω̃g g
s s
0 02≤ , g ∈ D( )Ω̃ . (2.2)
Zastosovugçy teoremu Banaxa pro obernenyj operator, zvidsy oderΩu[mo ocin-
ku (2.1).
Lemu dovedeno.
ZauvaΩennq 2.1. Zaznaçymo, wo z toho, wo supp f ⊂ [ 0, + ∞ ), vzahali kaΩu-
çy, ne vyplyva[, wo supp ( 1 + | D |
2
)
s
f ⊂ [ 0, + ∞ ). Tomu oderΩaty qvnu ocinku
zverxu dlq stalo] Ps v (2.1) dosyt\ skladno. Skorystavßys\ lemog 2.1 ta vys-
novkom 1.1, my moΩemo utoçnyty tverdΩennq 1.2.
TverdΩennq 2.1. Stan w0 ∈
˜ ,Hs
0 0( π) [ ε-kerovanym za ças T todi i ly-
ße todi, koly stan W0 =
T
2
0
π∈∑ kk
wΩ
Z
, wo naleΩyt\ H̃l
s
, [ ε -kerovanym
za ças T.
Poznaçagçy
ˆ ˜w x
K
W x W x H x H x K0 1
0
0
01
2
( ) = ( ) + ( ) ( ) − ( − π )( )( ) ,
ˆ ˜w x
K
W x W x H x H x Kπ( ) = (π − ) − (π − ) ( ) − ( − π )( )( )1
2 1
0
0
0
ta zastosovugçy formulu (1.9), oderΩu[mo
W T ( x ) = E ( x, T ) *
T T2
0
2 1
2 0 0
1
π
=
−
π
∈
∑ ∑
( ) − ( )( )m
m
K
Kk
k d dx
w x u xΩ
/
ˆ
Z
+
+
T
2
1
π + π
∈
π π
( ) − ( )
∑ ( )
Kk
k d dx
w x u xΩ
/
ˆ
Z
. (2.3)
Z formuly (1.2) vyplyva[, wo dlq bud\-qkoho g ∈ Hs
0 , supp g ⊂ [ 0, + ∞ ), ma[mo
T
2
2
0
1 1
π
∈
≤
∑ Kk
k l
s
l
K
s
d dx
g C
d dx
gΩ Ω
/ /
Z
≤
≤
2
22
0
2
C g
C
c
gl
K s l
K
l
K Kk
k l
s
≤ π
∈
∑T
Z
.
Zvidsy na pidstavi lem 1.3, 2.1 ta formul (1.2), (2.3) oderΩu[mo
w
P
c
W K
P C
c c
w x u xT s s
l
T
l
s s l
K
l l
K Kk
k l
s
0 2
2
2
2 0 010≤ ≤ π
( ) − ( )π
∈
∑ ( )T
Z
ˆ +
+
Tπ + π
∈
π π∑ ( )( ) − ( )
Kk
k l
s
w x u x
Z
ˆ . (2.4)
Rozhlqnemo rozvynennq funkcij
Tπ∈∑ ( )( ) − ( )
Kkk
w x u x
Z
ˆα α , α = 0, π, v rq-
dy Fur’[ po e mx K−2 /
. Ma[mo
*
ˆ ˆ /ωα α
m i mx K
K
w x e dx= ( )
π
∫ 2
0
, m ∈ Z, α = 0, π, (2.5)
να α
m i mx K
K
u x e dx= ( )
π
∫ 2
0
/ , m ∈ Z, α = 0, π. (2.6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
950 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
Todi
Tπ
∈
−
∈
∑ ∑( )( ) − ( ) =
π
( − )
Kk
k
m m i mx K
m
w x u x
K
e
Z Z
ˆ ˆ /
α α α αω ν1 2
v Hs
0 , α = 0, π. (2.7)
Oskil\ky uα ∈ B ( 0, T ), α = 0, π, a w0
zadovol\nq[ umovu iii) vysnovku 1.1, to
ω̂α
m ≤ 1, να
m ≤ 1, m ∈ Z, α = 0, π. (2.8)
Tomu dlq s < – 1 / 2 otrymu[mo
Tπ
∈
∑ ( )( ) − ( )
Kk
k l
s
w x u x
Z
ˆα α ≤
C
K
m
K
l
K s
m m
mπ
+
−
∈
∑ 1 2 2 2
ω̂ να α
Z
, α = 0, π.
ProdovΩugçy (2.4), zvidsy znaxodymo
w KP
C C
c c
m
K
T s
s
l
K
l
K
l l
K
s
m m
m
0
2
2
2
0 0
2
10 1 2≤
+
−
∈
∑ ω̂ ν
Z
+
+ 1 2 2 2
+
−
π π
∈
∑ m
K
s
m m
m
ω̂ ν
Z
. (2.9)
Takym çynom, dovedeno nastupnu teoremu (dyv. (2.4), (2.7), (2.9)).
Teorema 2.1. Nexaj T > 0, dlq w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] vykonano umovu iii) vysnovku
1.1 ta ω̂α
m
vyznaçeno za formulog (2.5). Todi vykonugt\sq tverdΩennq:
i) stan w0
[ 0-kerovanym za ças T todi i lyße todi, koly isnugt\ uα ∈
∈ B ( 0, T ), α = 0, π, taki, wo ω̂α
m = να
m
, m ∈ Z , α = 0, π, de να
m
vyznaça[t\-
sq formulog (2.6);
ii) stan w0
[ ε-kerovanym za ças T todi i lyße todi, koly dlq koΩnoho
ε > 0 isnugt\ uα, ε ∈ B ( 0, T ), α = 0, π, taki, wo
1
2 2 2
+
−
∈
∑ m
K
s
m m
m
ˆ ,ω να α ε
Z
< ε2
, α = 0, π, (2.10)
de να ε,
m
vyznaça[t\sq formulog (2.6) z zaminog uα n a uα , ε
. Okrim toho,
qkwo (2.10) vykonano, to
w
KP C C
c c
T s s l
K
l
K
l l
K0
2
2
20≤ ε .
Zafiksu[mo α = 0, π ta rozhlqnemo problemu poßuku takoho uα ∈ B ( 0, T ),
wo
u x e dxi mx K
T
α( )∫ 2
0
/ = ω̂α
m
, m ∈ Z. (2.11)
Taka problema nazyva[t\sq tryhonometryçnog problemog momentiv Markova
dlq neskinçenno] poslidovnosti { } = − ∞
+ ∞ω̂α
m
m . Za teoremog 2.1 uα ∈ B ( 0, T ), α =
= 0, π, [ rozv’qzkamy problemy 0-kerovanosti za ças T dlq systemy (0.1), (0.2),
(1.1) v tomu i lyße v tomu vypadku, koly uα
, α = 0, π, [ rozv’qzkamy tryhono-
metryçno] problemy momentiv Markova dlq neskinçenno] poslidovnosti
{ } = − ∞
+ ∞ω̂α
m
m , vyznaçeno] formulamy (2.5).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
PROBLEMY KEROVANOSTI DLQ RIVNQNNQ STRUNY 951
Rozhlqnemo dlq fiksovanoho α = 0, π , N ∈ N problemu poßuku uα ∈ B ( 0,
T ) takoho, wo
u x e dxi mx K
T
α( )∫ 2
0
/ = ω̂α
m
, m = − N N, . (2.12)
Taka problema nazyva[t\sq tryhonometryçnog problemog momentiv Markova
dlq skinçenno] poslidovnosti { } = −ω̂α
m
m N
N
.
Vyqvlq[t\sq, wo rozv’qzky takyx tryhonometryçnyx problem momentiv dlq
riznyx N ∈ N dagt\ nam rozv’qzky problemy ε-kerovanosti za ças T systemy
(0.1), (0.2), (1,1).
Teorema 2.2. Nexaj T > 0, s < – 1 / 2, dlq w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] vykonano umovu iii)
vysnovku 1.1 i K ∈ N take, wo π ( K – 1 ) < T ≤ π K. Nexaj takoΩ { } = − ∞
+ ∞ω̂α
m
m
vyznaçeno formulog (2.5). Todi qkwo uN
α ∈ B ( 0, T ), α = 0, π, [ rozv’qzkamy
tryhonometryçnyx problem momentiv Markova (2.12) dlq deqkoho N ∈ N, to
kincevyj stan wT
kerovano] systemy (0.1), (0.2), (1.1) zadovol\nq[ umovu
w
P C C N
c c K s
T s s
s l
K
l
K s
l l
K s0
6 2 1 2
2 1
2
2 1
≤
− −
+ +
−
/
→ 0 pry N → ∞. (2.13)
Dovedennq. Vraxovugçy umovu iii) (vysnovok 1.1), te, wo uN
α ∈ B ( 0, T ), α =
= 0, π, ta (2.5), (2.6), (2.8), (2.9), odrazu oderΩu[mo (2.13).
Teoremu dovedeno.
Poznaçymo
B N ( 0, T ) = { u ∈ B ( 0, T ) | ∃ T* ( 0, T ) ( | u ( t ) | = 1 majΩe skriz\ na ( 0, T* ) )
∧ ( u ( t ) = 0 majΩe skriz\ na ( T*
, T ) )
∧ ( u ( t ) ma[ ne bil\ße niΩ 2N toçok rozryvu na ( 0, T* ) ) }.
Vidomo [12] (hl. 7), wo qkwo skinçenna tryhonometryçna problema momentiv
(2.12) [ rozv’qznog, to vona ma[ rozv’qzok, wo naleΩyt\ B N ( 0, T ). Na pidstavi
teoremy 2.2 robymo vysnovok, wo za umov ci[] teoremy moΩna znajty rozv’qzky
uN
α ∈ B ( 0, T ), α = 0, π , problemy momentiv (2.12), i ci rozv’qzky dagt\ nam re-
lejni keruvannq, wo rozv’qzugt\ problemu ε-kerovanosti, a formula (2.13) vyz-
naça[ ocinku toçnosti vluçennq v 0. OtΩe, my moΩemo sformulgvaty takyj
vysnovok.
Vysnovok 2.1. Nexaj T > 0, s < – 1 / 2, dlq w0 ∈
˜ ,Hs
0 0[ π] vykonano umovu
iii) vysnovku 1.1 i K ∈ N take, wo π ( K – 1 ) < T ≤ π K . Nexaj takoΩ
{ } = − ∞
+ ∞ω̂α
m
m vyznaçeno formulog (2.5). Todi dlq koΩnoho N ∈ N isnugt\
uN
α ∈ B N ( 0, T ), α = 0, π, — rozv’qzky tryhonometryçnyx problem momentiv
Markova (2.12) dlq c\oho N, ta dlq koΩnoho ε > 0 isnu[ N ∈ N take, wo
kincevyj stan w T
kerovano] systemy (0.1), (0.2), (1.1) zadovol\nq[ umovu
wT s
0
≤ ε, pryçomu N vyznaça[t\sq umovog
2
2 1
6 2 1 2
2 1
s
s l
K
l
K s
l l
K s
P C C N
c c K s
+ +
− − −
/
< ε.
U teoremi 2.2 ta vysnovku 2.1 dovedeno, wo pobudovani relejni keruvannq
zabezpeçugt\ zbiΩnist\ do nulq kincevoho stanu wT
v Hs
0 × Hs
0
1−
lyße za umo-
vy s < – 1 / 2. PokaΩemo na prykladi, wo cq umova [ istotnog.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
952 L. V. FARDYHOLA, K. S. XALINA
Pryklad 2.1. Nexaj T ∈ ( 0, π ], w0
0 = 1
2
na ( 0, π ), w x1
0( ) ∈ Hs
0
1 0− ( π), , n ∈
∈ N, uα ∈ BN
( 0, T ), α = 0, π. Z formul (1.2), (1.9) ta lemy 1.3 oderΩu[mo
c w x u x u xl
s2
0
0
0 0
Ω( )( ) − ( ) − (π − )π ≤
≤
T
2
0
0
0
1
0
0
π
∈
π
π
∑ ( )
( ( ))
( ) − ( ) − (π − )
( ) − ( ) − (π − ) ′
k
k l
s
w x u x u x
w x u x u xZ
Ω
Ω Ξ
≤
≤
E( − ) ≤ π + ≤ π +x T W C wl
s T
l
s
l
T s
, 4 6 4 62 2 2
0
Ω .
OtΩe, zvidsy na pidstavi lemy 2.1 ma[mo
w
c
P C
w x u x u xT s l
s l
s
0
2
2 2 0
0
0 08 12
≥
π +
( ) − ( ) − (π − )π .
Dlq s = 0
w x u x u x0
0
0 0
0
2
( ) − ( ) − (π − ) ≥ π
π ,
tomu
w
c
P C
T l
s l
0
0 2
2 22 8 12
≥ π
π +
= ε0
. (2.14)
Takym çynom, dlq zadanyx T, w0
u vypadku s = 0 ≥ – 1 / 2 isnu[ ε0 > 0 take, wo
dlq bud\-qkoho N ∈ N ta bud\-qkyx uα ∈ B N ( 0, T ), α = 0, π, kincevyj stan wT
kerovano] systemy (0.1), (0.2), (1.1) zadovol\nq[ ocinku (2.14).
1. Lasiecka I., Triggiani R. Control theory for partial differential equations: continuous and
approximation theories. 2. Abstract hyperbolic-like systems over a finite time horizon. –
Cambridge Univ. Press, 2000.
2. Krabs W., Leugering G. On boundary controllability of one-dimension vibrating systems by
W p
0
1, -controls for p ∈ [0, ∞) // Math. Meth. Appl. Sci. – 1994. – 17. – P. 77 – 93.
3. Gugat M., Leugering G. Solutions of L
p
-norm-minimal control problems for the wave equation //
Comput. Appl. Math. – 2002. – 21, # 1. – P. 227 – 244.
4. Negreanu M., Zuazua E. Convergence of multigrid method for the controllability of a 1-d wave
equation // C. r. math. Acad. sci. – 2004. – 338, # 5. – P. 413 – 418.
5. Gugat M. Analytic solution of L
∞
-optimal control problems for the wave equation // J. Optimiz.
Theory and Appl. – 2002. – 114. – P. 151 – 192.
6. Fattorini H. O. Infinite dimensional optimization and control theory. – Cambridge Univ. Press,
1999.
7. Schwartz L. Théorie des distributions, I, II. – Paris: Hermann, 1950 – 1951.
8. Volevyç L. R., Hyndykyn S. H. Obobwenn¥e funkcyy y uravnenyq v svertkax. – M.: Fyzmat-
hyz, 1994. – 336 s.
9. Sklyar G. M., Fardigola L. V. The Markov power moment problem in problems of controllability
and frequency extinguishing for the wave equation on a half-axis // J. Math. Anal. and Appl. – 2002.
– 276, # 1. – P. 109 – 134.
10. Sklyar G. M., Fardigola L. V. The Markov trigonometric moment problem in controllability
problems for the wave equation on a half-axis // Mat. Fizika, Analiz, Geometriya. – 2002. – 9, # 2.
– P. 233 – 242.
11. Hel\fand Y. M., Íylov H. E. Obobwenn¥e funkcyy. – M.: Fyzmathyz, 1958. – V¥p. 3. –
308Rs.
12. Krejn M. H., Nudel\man A. A. Problema momentov Markova y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.:
Nauka, 1973. – 552 s.
OderΩano 24.01.2005,
pislq doopracgvannq — 02.02.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
|