Об одной бифуркации в релаксационных системах
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164246 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной бифуркации в релаксационных системах / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 63–72. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1642462020-02-09T01:27:44Z Об одной бифуркации в релаксационных системах Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. Статті 2008 Article Об одной бифуркации в релаксационных системах / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 63–72. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164246 517.926 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. Об одной бифуркации в релаксационных системах Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. |
| author_facet |
Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. |
| author_sort |
Колесов, А.Ю. |
| title |
Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_short |
Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_full |
Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_fullStr |
Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_full_unstemmed |
Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_sort |
об одной бифуркации в релаксационных системах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164246 |
| citation_txt |
Об одной бифуркации в релаксационных системах / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 63–72. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kolesovaû obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT miŝenkoef obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT rozovnh obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah |
| first_indexed |
2025-07-14T16:45:03Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:45:03Z |
| _version_ |
1837641502390484992 |
| fulltext |
UDK 517.926
A. G. Kolesov (Qroslav. un-t, Rossyq),
E. F. Mywenko (Mat. yn-t RAN, Moskva, Rossyq),
N. X. Rozov (Mosk. un-t, Rossyq)
OB ODNOJ BYFURKACYY
V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX*
Conditions are established under which, in three-dimensional relaxation systems of the form
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g( x, y ) , x = ( , )x x1 2
2∈ R , y ∈ R ,
where 0 < ε << 1, µ << 1, f, g C∈ ∞ , the so-called “blue sky catastrophe” is observed, i.e., a stable
relaxation cycle appears whose period and length tend to zero as µ tends to some critical value µ ε∗( ) ,
µ∗( )0 = 0.
Vstanovleno umovy, za qkyx u tryvymirnyx relaksacijnyx systemax vyhlqdu
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g( x, y ) , x = ( , )x x1 2
2∈ R , y ∈ R ,
de 0 < ε << 1, µ << 1, f, g C∈ ∞ , sposteriha[t\sq tak zvana „katastrofa blakytnoho neba” —
z’qvlq[t\sq stijkyj relaksacijnyj cykl, period i dovΩyna qkoho prqmugt\ do neskinçennosti
pry prqmuvanni µ do deqkoho krytyçnoho znaçennq µ ε∗( ) , µ∗( )0 = 0.
0. Opysanye problem¥. V nastoqwej stat\e pryveden¥ rezul\tat¥, kasag-
wyesq nelokal\noj byfurkacyy korazmernosty odyn, kotoraq v prostejßem
sluçae zaklgçaetsq v sledugwem. Rassmotrym hladkoe odnoparametryçeskoe
semejstvo vektorn¥x polej Xµ v R
3
, y pust\ pry µ = 0 potok Xµ ymeet pe-
ryodyçeskug traektoryg L0 typa „prostoj sedlo-uzel”. Dalee, pust\ U —
nekotoraq dostatoçno malaq okrestnost\ traektoryy L0, razdelqemaq dvumer-
n¥m syl\no ustojçyv¥m mnohoobrazyem W Lss( )0 na dve oblasty: „uzlovug”
U + , vse traektoryy yz kotoroj stremqtsq k L0 pry t → + ∞, y „sedlovug”
U –
, v kotoroj leΩyt dvumernoe neustojçyvoe mnohoobrazye W Lu
loc( )0 s kraem
L0. Budem predpolahat\, çto vse traektoryy system¥ X0 s naçal\n¥my uslovy-
qmy yz W Lu
loc( )0 s rostom t snaçala v¥xodqt yz okrestnosty U , a zatem snova
vozvrawagtsq v nee, popadaq v uzlovug oblast\ U +
. Qsno, çto v takom sluçae
kaΩdaq yz upomqnut¥x traektoryj okaz¥vaetsq dvoqkoasymptotyçeskoj k L0.
Nakonec, budem sçytat\, çto mnoΩestvo W Lu( )0 , poluçagweesq yz W Lu
loc( )0
posle prodolΩenyq po traektoryqm potoka X0, ne qvlqetsq topolohyçeskym
mnohoobrazyem. V trexmernom sluçae πto oznaçaet, çto ono ne homeomorfno
dvumernomu toru.
Pry sformulyrovann¥x (y pry nekotor¥x dopolnytel\n¥x) predpoloΩe-
nyqx pokazano [1], çto ysçeznovenye v systeme Xµ , 0 < µ << 1, sedlo-uzlovoho
cykla L0 pryvodyt k poqvlenyg ustojçyvoj zamknutoj traektoryy L( )µ ,
pryçem pry µ → 0 y ee peryod, y dlyna neohranyçenno uvelyçyvagtsq, a ona
sama ymeet svoym verxnym topolohyçeskym predelom mnoΩestvo W Lu( )0 ∪ L0.
Opysannaq byfurkacyq poluçyla nazvanye „katastrof¥ holuboho neba”.
Realyzuemost\ takoj byfurkacyy b¥la ustanovlena [2, 3] v synhulqrno voz-
muwenn¥x systemax s odnoj medlennoj y m, m ≥ 2, b¥str¥my peremenn¥my.
* V¥polnena pry fynansovoj podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj
(hrant # 05-01-01004) y celevoj prohramm¥ „Razvytye nauçnoho potencyala v¥sßej ßkol¥”
(proekt RNP 2.1.1.630).
© A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1 63
64 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
NyΩe pryvodqtsq uslovyq, pry kotor¥x „katastrofa holuboho neba” ymeet
mesto v relaksacyonn¥x systemax s dvumq medlenn¥my y odnoj b¥stroj pere-
menn¥my.
1. Postanovka zadaçy. Rassmotrym trexmernug relaksacyonnug systemu
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g x y( , ), x = (x1, x2) ∈M R2 , y ∈ R, (1)
s dvumq mal¥my parametramyM: 0 < ε << 1, µ << 1 ; funkcyy f y g budem
sçytat\ beskoneçno dyfferencyruem¥my po svoym peremenn¥m.
Opyßem predloΩenyq, pry kotor¥x budet yzuçat\sq systemaM(1) y kotor¥e
harantyrugt nalyçye v nej klassyçeskyx relaksacyonn¥x kolebanyj. Kak
ob¥çno [4], sçytaem, çto uravnenye g x y( , ) = 0 opredelqet hladkug dvumernug
poverxnost\ H, raspadagwugsq na neperesekagwyesq çasty
H H H H H
+ –1 10 20 2− ∪ ∪ ∪ ∪ .
Po opredelenyg
( , )x y ∈M H H
–1 2− ∪ , esly ′ <gy 0 M; ( , )x y ∈M H+ , esly ′ >gy 0 ;
( , )x y ∈M H H10 20∪ , esly ′ =gy 0.
Odnako, v otlyçye ot [4], budem predpolahat\, çto H ymeet formu ne „poloten-
ca”, a „kuvßyna” (rys.M1).
Rys.M1
∏to oznaçaet [5], çto:
poverxnost\
H1− zadaetsq uravnenyem y =
F1−( )x ,
F1− ∈ C∞( )Ω1 , hde Ω1
— vnutrennost\ prostoj zamknutoj kryvoj l1 ∈ C∞
;
poverxnost\
H
+
zadaetsq uravnenyem y =
F+( )x ,
F+ ∈ C∞( )Ω2 , hde Ω2 —
kol\cevaq oblast\, ohranyçennaq kryvoj l1 y prostoj zamknutoj kryvoj l2 ⊂
⊂ Ω1 klassa C∞
;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 65
poverxnost\
H
–2 zadaetsq uravnenyem y =
F 2−( )x ,
F 2− ∈ C∞( )Ω3 , hde
Ω3 = R2
\ ( \ )Ω Ω1 2 .
Krome toho, pry x ∈ l1 y x ∈ l2 v¥polnqgtsq ravenstva F1−( )x =
F+( )x y
F 2−( )x =
F+( )x sootvetstvenno, a kryv¥e l1 y l2 qvlqgtsq proekcyqmy na
ploskost\ y = 0 zamknut¥x kryv¥x
H10 y
H20 .
Uslovye 1. Budem sçytat\, çto pry ( , )x y ∈M H H10 20∪
′′ ≠g x yyy( , ) 0, gradxg x y f x y( , ), ( , , )0( ) ≠ 0, (2)
hde ( , )∗ ∗ — evklydovo skalqrnoe proyzvedenye.
Neravenstva (2) oznaçagt obwnost\ poloΩenyq na lynyqx sr¥va
H10 y
H20 MM[4].
Napomnym, çto systema
ẋ = f (x, y, µ), g ( x, y ) = 0 (3)
naz¥vaetsq v¥roΩdennoj, a povedenye ee traektoryj na ustojçyvoj poverxnos-
ty medlenn¥x dvyΩenyj H1− (kotoraq zadaetsq ravenstvom y = F1−( )x ) svo-
dytsq k rassmotrenyg dvumernoj system¥
ẋ =
f x x, ( ),F1−( )µ , x l∈Ω1 1∪ . (4)
Uslovye 2. PredpoloΩym, çto fazov¥j portret system¥M(4) pry µ = 0 ta-
kov (rys.M2):
v oblasty Ω1 suwestvuet edynstvennoe sostoqnye ravnovesyq x = x , qv-
lqgweesq πksponencyal\no neustojçyv¥m uzlom yly fokusom, a edynstvenn¥j
okruΩagwyj ee poluustojçyv¥j cykl
L0: x = x0( )ϕ ,
d
dt
ϕ
= ω0, x0 2( )ϕ π+ ≡ x0( )ϕ , ω0 0> , (5)
ymeet typ „prostoj sedlo-uzel”;
vse traektoryy yz kol\cevoj oblasty, ohranyçennoj kryv¥my l1 y L 0, za
koneçnoe vremq popadagt na l1;
kryvaq l2 leΩyt v oblasty, ohranyçennoj cyklom L0, no ne soderΩyt y ne
okruΩaet toçku x = x .
Rys.M2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
66 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
Poqsnym fyhuryrugwee v uslovyy 2 trebovanye prostot¥ sedlo-uzlovoho
cykla (5). Zafyksyruem proyzvol\nug toçku M0 ∈ L0 y oboznaçym çerez Σ
dostatoçno mal¥j otrezok normaly k kryvoj L0 v πtoj toçke (rys.M2); za para-
metr s na sekuwej Σ voz\mem rasstoqnye ot proyzvol\noj toçky M ∈ Σ do
toçky M0, vzqtoe so znakom ”+”, esly M leΩyt na vneßnej çasty normaly, y
so znakom ”–” v protyvnom sluçae. Tohda na mnoΩestve ( , ): ,s s sµ µ µ≤ ≤{ }0 0 ,
hde s0, µ0 > 0 dostatoçno mal¥, opredeleno otobraΩenye posledovanyq Puan-
kare
s → R ( s, µ ), R ∈ C s s∞ −[ ] × [ ]( )0 0 0 0, ,µ µ (6)
po traektoryqm system¥ (4), pryçem spravedlyvo razloΩenye
R ( s, 0 ) = s + d s0
2 + O s( )3 . (7)
Prostota sedlo-uzlovoho cykla L0 oznaçaet v¥polnenye neravenstva d0 > 0.
Uslovye 3. Budem sçytat\, çto dlq funkcyy R ( s, µ ) yz (6)
α0 = ′ >Rµ( , )0 0 0 . (8)
Yz sootnoßenyj (7), (8) y d0 > 0 v¥tekaet, çto pry µ µ∈[ )– ,0 0 otobraΩe-
nye (6) ymeet dve nepodvyΩn¥e toçky s±( )µ = ± –α µ0 0d + O( )µ , kotor¥m v
systeme (4) sootvetstvugt dva cykla — ustojçyv¥j L−( )µ y neustojçyv¥j
L+( )µ ; L±( )0 = L0. Sledovatel\no, vse traektoryy system¥ (4) s naçal\n¥my
uslovyqmy, leΩawymy na kryvoj l2 , pry t → + ∞ stremqtsq k cyklu L−( )µ .
Esly Ωe µ µ∈( ]0 0, , to cyklov v πtoj systeme net, y lgbaq ee traektoryq s na-
çal\n¥m uslovyem yz l2 snaçala asymptotyçesky dolhoe vremq (porqdka 1 µ )
vrawaetsq v okrestnosty ysçeznuvßeho cykla L0, a zatem popadaet na kry-
vugMMl1.
Uslovye 4. Budem sçytat\, çto pry µ = 0 vse traektoryy v¥roΩdennoj sys-
tem¥M(3) na poverxnosty medlenn¥x dvyΩenyj H2− yly, çto to Ωe samoe, sys-
tem¥
ẋ =
f x x, ( ),F 2−( )µ , x l∈Ω3 2∪ , (9)
s naçal\n¥my uslovyqmy, prynadleΩawymy kryvoj l1, za koneçnoe vremq popa-
dagt na kryvug l2.
Pry sformulyrovann¥x predpoloΩenyqx moΩno dat\ kaçestvennoe opysa-
nye povedenyq lgboj traektoryy
x t y t( , , ), ( , , )ε µ ε µ( ): x( , , )0 ε µ = x0, y( , , )0 ε µ = y0 (10)
system¥M(1) s ne zavysqwymy ot ε, µ naçal\n¥my uslovyqmy x0, y0 . Pust\
toçka ( , )x y0 0 raspoloΩena v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty mnoho-
obrazyq
H1− y x0 prynadleΩyt kol\cevoj oblasty, ohranyçennoj kryv¥my L 0
y l1. Tohda snaçala za asymptotyçesky maloe vremq (porqdka ε εln( )1 ) proys-
xodyt „padenye” fazovoj toçky (10) na poverxnost\ H1− prymerno po prqmoj
x = x0, a zatem dvyΩenye prodolΩaetsq v asymptotyçesky maloj po ε okrest-
nosty kryvoj x t y t1 1( , ), ( , )µ µ( ), hde y t1( , )µ =
F1 1−( )x t( , )µ , a x t1( , )µ — reße-
nye system¥M(4) s naçal\n¥m uslovyem x1 0( , )µ = x0.
Dalee, v sylu uslovyqM2 najdetsq takoj perv¥j moment vremeny t1 = t1( )µ >
> 0, çto x t1 1( , )µ ∈Ml1. A otsgda s uçetom uslovyqM1 sleduet [4], çto pry znaçe-
nyqx t, asymptotyçesky blyzkyx k t1, proysxodyt „sr¥v” s mnohoobrazyq
H1−
y padenye na ustojçyvoe mnohoobrazye H2− v toçku
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 67
x y2 2( ), ( )µ µ( ) : x2( )µ = x t1 1( , )µ , y2( )µ = F2 1 1−( )x t( , )µ .
Posle πtoho traektoryq (10) dvyΩetsq v asymptotyçesky maloj okrestnosty
sootvetstvugweho reßenyq
x t y t2 2( , ), ( , )µ µ( ) : x t2 1( , )µ = x2( )µ , y t2 1( , )µ = y2( )µ
v¥roΩdennoj system¥M(3) do oçerednoho sr¥va y padenyq na
H1− , proysxodq-
wyx pry t � t2( )µ > t1 . Zdes\ t2 — moment vremeny (suwestvugwyj v sylu
uslovyqM4), kohda perv¥j raz x t2 2( , )µ ∈ l2 .
Pry t > t2 xarakter povedenyq traektoryy (10) suwestvenno zavysyt ot zna-
ka µ. PredpoloΩym snaçala, çto πtot parametr fyksyrovan y poloΩytelen.
Tohda systemaM(4) ne ymeet cyklov, a lgboe ee reßenye s naçal\n¥m uslovyem
na kryvoj l2 za koneçnoe (xotq y dostatoçno bol\ßoe — porqdka 1 µ ) vremq
popadaet na kryvug l1. ∏to oznaçaet suwestvovanye takoho momenta vremeny
t = = t3 > t2, çto pry t � t3 traektoryq (10) „sr¥vaetsq” s
H1– y „padaet” na
H2– . Qsno, çto v rassmatryvaemom sluçae opysann¥j process „sr¥vov” y „pade-
nyj” prodolΩaetsq do beskoneçnosty, t.Me. v systemeM(1) realyzugtsq nezatuxa-
gwye klassyçeskye relaksacyonn¥e kolebanyq.
PredpoloΩym dalee, çto parametr µ fyksyrovan y otrycatelen. Tohda [6]
cyklam L±( )µ system¥ (4) pry vsex dostatoçno mal¥x ε > 0 sootvetstvugt us-
tojçyv¥j y neustojçyv¥j cykl¥
˜ ( , )–L ε µ y
˜ ( , )L+ ε µ ysxodnoj system¥M(1),
pryçem
˜ ( , )L± 0 µ =
( , ): ( ), ( )x y y x x L= ∈{ }− ±F1 µ .
Krome toho, v sylu uslovyq 2 ynteresugwaq nas traektoryq (10) pry t > t2 za-
vedomo popadaet v oblast\ prytqΩenyq cykla
˜ ( , )–L ε µ . Takym obrazom, v dan-
nom sluçae relaksacyonn¥x kolebanyj v systemeM(1) net.
Yz pryvedenn¥x kaçestvenn¥x soobraΩenyj moΩno sdelat\ πvrystyçeskoe
zaklgçenye o suwestvovanyy krytyçeskoho znaçenyq µ ε∗( ), µ∗( )0 = 0, para-
metra µ, pry kotorom v systemeM(1) proysxodyt perexod ot hladkyx avtokole-
banyj — ustojçyvoho cykla
˜ ( , )–L ε µ — k relaksacyonn¥m. Toçnee hovorq,
sluçaj µ = µ ε∗( ) sootvetstvuet „sedlo-uzlovoj” byfurkacyy, pryvodqwej k
slyqnyg y ysçeznovenyg cyklov
˜ ( , )L± ε µ .
Çto Ωe kasaetsq „katastrof¥ holuboho neba”, to, kak okaz¥vaetsq, ona
nablgdaetsq (pry odnom dopolnytel\nom uslovyy) v systemeM(1) pry
µ = µ ε∗( ) + ν, 0 1< <<ν . (11)
2. Texnyçeskye rezul\tat¥. Dlq dokazatel\stva osnovnoho rezul\tata o
„katastrofe holuboho neba” trebugtsq dostatoçno neprost¥e vspomohatel\n¥e
texnyçeskye rezul\tat¥ y konstrukcyy, strohoe obosnovanye kotor¥x slyßkom
hromozdko. Poπtomu m¥ ohranyçymsq zdes\ lyß\ razæqsnenyqmy y nekotor¥my
formulyrovkamy; ysçerp¥vagwye formal\n¥e y dovol\no hromozdkye dokaza-
tel\stva budut opublykovan¥ otdel\no.
PreΩde vseho sleduet ubedyt\sq, çto fyhuryrugwee v (11) krytyçeskoe
znaçenye µ ε∗( ) parametra µ dejstvytel\no suwestvuet. Zafyksyruem proyz-
vol\noe dostatoçno maloe δ0 0> y na ploskosty (x1, x2) rassmotrym okrest-
nost\ cykla (5)
U = O x
x L
( ˜, )
˜
δ0
0∈
∪ , (12)
hde O x( ˜, )δ0 — otkr¥t¥j ßar radyusa δ0 s centrom v toçke x̃ . Yspol\zuq
rezul\tat¥ yz [7], moΩno utverΩdat\: dlq lgboho natural\noho k najdutsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
68 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
takye dostatoçno mal¥e ε0 = ε0( )k > 0, µ0 = µ0( )k > 0, çto pry ( , , )x ε µ ∈
∈ U M× 0 0, ε[ ] × −[ ]µ µ0 0, systema (1) ymeet πksponencyal\no orbytal\no us-
tojçyvoe (s pokazatelem πksponent¥ porqdka ε−1
) ynvaryantnoe mnohoobrazye
medlenn¥x dvyΩenyj
y = H x( , , )ε µ : H ∈ C
k U × [ ] × [ ]( )0 0 0 0, – ,ε µ µ , H x( , , )0 µ =
F1−( )x . (13)
Rassmotrym teper\ dvumernug systemu na mnohoobrazyy (13):
ẋ = f x H x, ( , , ),ε µ µ( ), x ∈ U , (14)
y vvedem otobraΩenye posledovanyq
s → R s( , , )ε µ , R s( , , )ε µ ∈ C s sk −[ ] × [ ] × −[ ]( )0 0 0 0 00, , ,ε µ µ (15)
po traektoryqm system¥ (14), dejstvugwee na sekuwej Σ (sm. rys.M2) y qvlqg-
weesq Ck
-hladkym prodolΩenyem po ε otobraΩenyq (6).
MoΩno ustanovyt\ (yspol\zuq teoremu o neqvnoj funkcyy) suwestvovanye
takoj edynstvennoj funkcyy µ = µ ε∗( ), µ∗( )0 = 0, çto pry µ = µ ε∗( ) otobra-
Ωenye (15) ymeet nepodvyΩnug toçku s = s∗( )ε , s∗( )0 = 0, typa „prostoj sed-
lo-uzel”. ∏toj toçke v systeme (14) sootvetstvuet poluustojçyv¥j cykl,
qvlqgwyjsq Ck
-hladkym prodolΩenyem po ε sedlo-uzlovoho cykla (5):
L∗( )ε : x = x∗( , )ϕ ε , x∗ +( , )ϕ π ε2 ≡ x∗( , )ϕ ε ,
(16)
˙ ( )ϕ ω ε= ∗ , x∗( , )ϕ 0 = x0( )ϕ , ω∗( )0 = ω0 .
Esly teper\ dobavyt\ ewe y komponentu y = y∗( , )ϕ ε , hde
y∗( , )ϕ ε = H x∗ ∗( )( , ), , ( )ϕ ε ε µ ε , y∗( , )ϕ 0 =
F1 0−( )x ( )ϕ ,
y∗ +( , )ϕ π ε2 ≡ y∗( , )ϕ ε ,
to poluçytsq poluustojçyv¥j cykl
˜ ( )L∗ ε : x = x∗( , )ϕ ε , y = y∗( , )ϕ ε , ˙ ( )ϕ ω ε= ∗ (17)
typa „prostoj sedlo-uzel” system¥ (1).
V sylu uslovyj 1 – 4 kaΩdaq traektoryq system¥ (1) pry µ = µ ε∗( ), prynad-
leΩawaq neustojçyvomu mnohoobrazyg W Lu
loc
˜ ( )∗( )ε cykla (17), pry t → + ∞
snova stremytsq k
˜ ( )L∗ ε , popadaq v uzlovug oblast\ πtoho cykla. Sledova-
tel\no, µ ε∗( ) dejstvytel\no qvlqetsq krytyçeskym znaçenyem, sootvetstvug-
wym „katastrofe holuboho neba”.
Dal\nejßye rassuΩdenyq otnosqtsq k systeme
ẋ = F x∗( , , )ε ν , (18)
poluçagwejsq posle podstanovky v (14) ravenstva (11). Vvedem v oblasty (12)
„radyal\nug” y „cyklyçeskug” koordynat¥
( , )s ϕ : s s≤ 0 , s0 0= >const , 0 ≤ ϕ ≤ 2 2π π(mod ) ,
svqzann¥e s cyklom (16): v kaçestve ϕ voz\mem uhlovug koordynatu yz (16), a
çerez s oboznaçym uΩe upomynavßyjsq parametr na otrezke normaly ( , )ϕ ε∑
k kryvoj L∗( )ε , provedennom çerez toçku x∗( , )ϕ ε . Neobxodym¥j teper\ tex-
nyçeskyj rezul\tat kasaetsq preobrazovanyq system¥M(18) k vozmoΩno bolee
prostomu vydu. Esly predpoloΩyt\, çto v πtoj systeme ν > 0, to moΩno doka-
zat\ suwestvovanye takoho Ck
-hladkoho perexoda ot koordynat ( , )s ϕ k koor-
dynatam ( , )r ψ („poperek” y „vdol\” cykla (17)), v kotor¥x systema (18) „ras-
weplqetsq v hlavn¥x çlenax”.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 69
Teper\ vernemsq v ysxodnoe trexmernoe prostranstvo y rassmotrym dve dvu-
mern¥e cylyndryçeskye poverxnosty S± , zadagwyesq v peremenn¥x ( , , )r zψ ,
z = y – H ( x, ε, µ ) ravenstvamy
S± = ( , , ): , (mod ),r z r r z zψ ψ π π= ± ≤ ≤ ≤{ }0 00 2 2 , (19)
hde postoqnn¥e r0 > 0, z0 > 0 fyksyrovan¥ y dostatoçno mal¥. Okaz¥vaetsq,
çto pry uslovyy (11) poverxnosty (19) ne ymegt kontakta s traektoryqmy sys-
tem¥M(1). Krome toho, yz opysannoho v¥ße xaraktera povedenyq reßenyj (10)
sleduet, çto korrektno opredelqgtsq operator sootvetstvyq
P+, – ( , )ε ν : S+ →
→ S– po traektoryqm system¥M(1) y analohyçn¥j operator
P+, – ( , )0 0 po tra-
ektoryqm v¥roΩdennoj system¥M(3) pry µ = 0. VaΩn¥m obstoqtel\stvom qvlq-
etsq tot fakt, çto vtoroj yz πtyx operatorov dopuskaet predstavlenye
P+, – ( , )0 0 : ( , )ψ z → γ ψ( ), 0( ), (20)
hde γ ψ( ) ∈ C∞
— 2π-peryodyçeskaq funkcyq.
∏ta funkcyq yhraet suwestvennug rol\ v formulyrovke okonçatel\noho
rezul\tata, y poπtomu ostanovymsq podrobnee na ee opredelenyy. Na ploskosty
( x1, x2
) v peremenn¥x ( , )r ψ zadadym dve zamknut¥e kryv¥e L( )± :
L( )± = ( , ): , (mod )r r rψ ψ π π= ± ≤ ≤{ }0 0 2 2
Rys.M3
(na rys.M3 ßtryxamy yzobraΩen cykl L0, raspoloΩenn¥j meΩdu L ( )− y L ( )+ ).
Zafyksyruem dalee na L ( )+ proyzvol\nug toçku, kotoroj sootvetstvuet uhol
ψ, y v¥pustym yz nee reßenye system¥M(4) pry µ = 0. V sylu uslovyj 1 y 2 po
traektoryqm πtoj system¥ ustanavlyvaetsq vzaymno odnoznaçnoe sootvetstvye
meΩdu kryv¥my L( )+ y l1. Poπtomu budem sçytat\, çto kryvaq l1 parametry-
zovana s pomow\g toj Ωe samoj koordynat¥ ψ, çto y kryvaq L ( )+ (toçnee,
toçkam yz L ( )+ y l1, leΩawym na odnoj y toj Ωe traektoryy, sootvetstvugt
odynakov¥e znaçenyq ψ).
Obratymsq teper\ k toçke na kryvoj l1 s koordynatoj ψ y v¥pustym yz nee
traektoryg system¥ (9) pry µ = 0 (sm. rys.M3). Sohlasno uslovygM4 çerez ko-
neçnoe vremq πta traektoryq popadet v nekotorug toçku kryvoj l2 s koordyna-
toj ϕ̃1 = γ ψ1( ), γ ψ π1 2( )+ ≡ γ ψ1( ) + 2π. (Sçytaem, çto kryvaq l2 C∞
-hladko
parametryzovana cyklyçeskoj peremennoj 0 ≤ ϕ̃ ≤ 2 2π π(mod ) y ymeet tu Ωe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
70 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
oryentacyg, çto y l1.) Dobavym ewe, çto (sm. uslovyeM1) pry µ = 0 traektoryy
system¥M(9) ne obrazugt kontakta s kryvoj l2, a znaçyt, γ ψ1( ) ∈ C∞
.
Dlq zaverßenyq postroenyq funkcyy γ ψ( ) voz\mem poluçennug na pred¥-
duwem ßahe toçku na l2 y rassmotrym traektoryg system¥ (4) pry µ = 0 s na-
çal\n¥m uslovyem v πtoj toçke (rys.M3). V sylu uslovyq 2 ubeΩdaemsq, çto pry
uvelyçenyy t takaq traektoryq s neobxodymost\g pereseçet obwym obrazom
kryvug L ( )− v nekotoroj toçke s koordynatoj ψ1 = γ ϕ2 1( ˜ ) , hde γ ϕ2( ˜ ) ∈ C∞
,
γ ϕ π2 2( ˜ )+ ≡ γ ϕ2( ˜ ). Ostaetsq zametyt\, çto ynteresugwaq nas funkcyq γ ψ( )
opredelqetsq ravenstvom γ ψ( ) = γ γ ψ2 1( )( ).
Zaklgçytel\n¥j πtap yssledovanyq povedenyq reßenyj system¥M(1) pry us-
lovyy (11) svqzan s yzuçenyem operatora sootvetstvyq
P–, ( , )+ ε ν po ee traek-
toryqm, dejstvugweho yz S− v S+ . PreΩde vseho, moΩno ubedyt\sq, çto pry
lgbom 0 < ν << 1 πtot operator dejstvytel\no suwestvuet. Y samoe hlavnoe,
udaetsq poluçyt\ πffektyvn¥e predstavlenyq dlq obraza toçky ( , )ψ z posle
vozdejstvyq na nee πtoho operatora.
3. Osnovn¥e rezul\tat¥. Opredelym operator posledovanyq Puankare
P( , )ε ν =
P
–,+
( , )ε ν �
P
+,−( , )ε ν : S+ → S+ (21)
po traektoryqm system¥M(1) pry uslovyy (11). S pomow\g rezul\tatov yz [8] y
upomqnut¥x πffektyvn¥x predstavlenyj dlq operatora
P
–,+
( , )ε ν ustanav-
lyvagtsq utverΩdenyq, qvlqgwyesq osnovn¥my v dannoj stat\e.
Teorema 1. Dlq lgboho natural\noho k najdutsq takye dostatoçno ma-
l¥e ε0 = ε0(k) > 0 y ν0 = ν0(k) > 0, çto pry 0 ≤ ε ≤ ε0, 0 ≤ ν ≤ ν0 operator
(21) ymeet vyd
ψ → c∗( , )ε ν ν + γ ψ( ) + Λ1 2( , , , )(mod )ψ ε ν πz ,
P( , )ε ν : (22)
z → Λ2( , , , )expψ ε ν
ε ν
z
c−
∗∗ .
Zdes\ γ ψ( ) — funkcyq yz (20); neprer¥vnaq po sovokupnosty peremenn¥x
funkcyq c∗( , )ε ν takova, çto c∗( , )0 0 > 0; c∗∗ = const > 0 , a 2π -peryody-
çeskye po ψ funkcyy Λ j , j = 1, 2, y yx proyzvodn¥e po ( , )ψ z do porqdka k
vklgçytel\no neprer¥vn¥ po sovokupnosty peremenn¥x na mnoΩestve 0 2, π[ ] ×
× −[ ]z z0 0, × 0 0, ε[ ] × 0 0, ν[ ]. Krome toho, v¥polnqetsq ravenstvo
Λ1 ψ, z( , 0 0, ) ≡ 0.
Yz predstavlenyq (22) lehko zaklgçyt\, çto P( , )ε ν S+ ⊂ S+ , a potomu oto-
braΩenye (21) ymeet maksymal\n¥j attraktor
Amax =
n
n S
=
∞
+
0
∩ P ( , )ε ν . (23)
Qsno takΩe, çto v pervom pryblyΩenyy za strukturu mnoΩestva (23) otveçaet
odnomernoe otobraΩenye
Pκ : ψ ψ→ = κ + γ ψ( ) , (24)
hde κ = c∗( , )ε ν ν , poluçagweesq yz (22) posle otbras¥vanyq asymptotyçesky
mal¥x po ε, ν slahaem¥x. Budem rassmatryvat\ πto otobraΩenye, sçytaq κ
nezavysym¥m parametrom, probehagwym vsg çyslovug os\ R .
V dopolnenye k uslovyqm 1 – 4 sdelaem novoe predpoloΩenye. Ymenno, bu-
dem sçytat\, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 71
′ <γ ψ( ) 1 ∀ ∈[ ]ψ π0 2, . (25)
Tohda, kak netrudno vydet\, otobraΩenye (24) ymeet edynstvennug neprer¥vno
zavysqwug ot κ nepodvyΩnug toçku
ψ ψ κ= 0( ), ψ κ π0 2( )+ ≡ ψ κ0( ) + 2π. (26)
Çto Ωe kasaetsq ysxodnoho otobraΩenyq (22), to pry uslovyy (25) ono oçevyd-
n¥m obrazom qvlqetsq sΩymagwym. Tem sam¥m pryxodym k sledugwemu ut-
verΩdenyg.
Teorema 2. Pust\ krome uslovyj 1 – 4 v¥polnen¥ predpoloΩenyq (11) y
(25). Tohda attraktor (23) sostoyt yz edynstvennoj πksponencyal\no ustoj-
çyvoj nepodvyΩnoj toçky ( , )ψ z = ψ ε ν ε ν( , ), ( , )z( ), dlq komponent kotoroj
pry ν → 0 spravedlyv¥ ravnomern¥e po ε asymptotyçeskye predstavlenyq
ψ ε ν( , ) = 1 1 0+( ) = ∗
o c( ) ( ) ( , )ψ κ κ ε ν ν , z( , )ε ν = O
c
exp – ∗∗
ε ν
, (27)
hde c∗∗ > 0 — postoqnnaq yz (22), a ψ0 = ψ κ0( ) — funkcyq (26).
Poqsnym, poçemu poslednqq teorema harantyruet realyzuemost\ v syste-
meM(1) pry sdelann¥x predpoloΩenyqx ynteresugwej nas byfurkacyy typa
„katastrofa holuboho neba”. Dejstvytel\no, nepodvyΩnoj toçke (27) operato-
ra posledovanyq (21) sootvetstvuet relaksacyonn¥j cykl
˜( , )L ε ν πtoj syste-
m¥, peryod y dlyna kotoroho ravnomerno po ε stremqtsq k beskoneçnosty pry
ν → 0. Krome toho, v sylu pervoho ravenstva yz (27) mnoΩestvo vsex çastyçn¥x
predelov komponent¥ ψ ε ν( , ) pry ν → 0, vzqtoe po modulg 2π, sovpadaet s
otrezkom 0 2, π[ ]. A πto znaçyt, çto verxnyj topolohyçeskyj predel kryvoj
˜( , )L ε ν pry ν → 0 raven W Lu ˜ ( )∗( )ε ∪ ˜ ( )L∗ ε , hde
˜ ( )L∗ ε — „sedlo-uzloj cykl”
(17), a Wu
— eho neustojçyvoe mnohoobrazye, prodolΩennoe po traektoryqm
system¥M(1) pry µ µ ε= ∗( ) y sostoqwee yz dvoqkoasymptotyçeskyx k
˜ ( )L∗ ε re-
ßenyj.
4. Prymer. Rassmotrym v kaçestve prymera systemu vyda
ẋ = f x y1 1( , ) ( )µ v + f x y2 2( ) ( )v , εẏ = x x g y1
2
2
2+ – ( ) . (28)
Budem sçytat\, çto funkcyq g y( ) ∈ C
∞( )R hladko zavysyt ot çet¥rex po-
loΩytel\n¥x parametrov a1, a2 , b1 , b2 y obladaet sledugwymy svojstvamy
(rys.M4):
g( )0 = 0, g y( ) > 0 pry y > 0;
′g y( ) > 0 pry y ∈ 0 1, a[ ), ′g a( )1 = 0;
g a( )1 = b1, ′′g a( )1 < 0;
′g y( ) < 0 pry y a a∈( , )1 2 , ′g a( )2 = 0;
g a( )2 = b2, ′′g a( )2 > 0;
′g y( ) > 0 pry y > a2, g y( ) → + ∞ pry y → + ∞.
PredpoloΩym dalee, çto v1( )y , v2( )y ∈ C∞( )R y
v1( )y ≡ 1, v2( )y ≡ 0 pry 0 ≤ y ≤ a1,
v1( )y ≡ 0, v2( )y ≡ 1 pry y ≥ a2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
72 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
Rys.M4
Nakonec, sdelaem sledugwye dopuwenyq otnosytel\no vektor-funkcyj f1,
f2
: ony beskoneçno dyfferencyruem¥ po sovokupnosty peremenn¥x y takov¥,
çto systema
˙ ( , )x f x= 1 µ (29)
udovletvorqet uslovyqm 2 y 3, a systema ˙ ( )x f x= 2 ymeet vyd
˙ –x x1 1= , ˙ –x x2 2= .
Krome toho, predpoloΩym, çto pry µ = 0 traektoryy system¥M(29) ne obrazugt
kontakta s okruΩnost\g x1
2 + x2
2 = b1 (πto trebovanye πkvyvalentno v¥polne-
nyg vtoroho neravenstva yz (2)).
Opysannaq systemaM(28) zavedomo udovletvorqet uslovyqm 1 – 4. V dannom
sluçae nesloΩno prydat\ uslovyqm teorem¥M2 bolee obozrym¥j xarakter y, v
çastnosty, ubedyt\sq v yx pryncypyal\noj realyzuemosty. Dejstvytel\no,
predpoloΩym, çto b2 → 0 pry fyksyrovann¥x proçyx parametrax. Tohda kry-
vaq l2 = ( , )x x1 2{ : x1
2 + x2
2 = b2} stqhyvaetsq v toçku y vsledstvye πtoho funk-
cyq γ ψ( ) yz (20) stremytsq (v metryke C1 0 2, π[ ]) k nekotoroj konstante.
Takym obrazom, pry mal¥x b2 neravenstvo (25) v¥polnqetsq.
V zaklgçenye dobavym, çto opysannaq sytuacyq realyzuetsq v systemeM(28)
pry podxodqwem v¥bore parametrov, esly systemaM(29) v polqrn¥x koordynatax
x1 = x1
0 + ρ ϕcos , x2 = x2
0 + ρ ϕsin , x x1
0
2
0 0 0, ( , )( ) ≠ ,
ymeet vyd
ρ̇ = µ ρ ρ ρ+ ( )[ ]2
0
2 2
– , ϕ̇ = 1, ρ0 0= >const .
1. Turaev D. V., Íyl\nykov L. P. Dokl. AN RAN. – 1995 – 342, # 5. – S. 596 – 599.
2. Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue sky catastrophe in singularly-perturbed systems. – Ber-
lin, 2003. – Preprint WIAS, # 841.
3. Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Moscow Math. J. – 2005. – 5, # 1. – P. 269 – 282.
4. Mywenko E. F., Rozov N. X. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s mal¥m parametrom y relaksa-
cyonn¥e kolebanyq. – M.: Nauka, 1975.
5. Kolesov A. G. Mat. zametky. – 1994. – 56, v¥p. 6. – S. 40 – 47.
6. Anosov D. V. Mat. sb. – 1960. – 50, # 3. – S. 299 – 334.
7. Mytropol\skyj G. A., L¥kova O. B. Yntehral\n¥e mnohoobrazyq v nelynejnoj mexanyke. –
M.: Nauka, 1973.
8. Mywenko E. F., Kolesov G. S., Kolesov A. G., Rozov N. X. Peryodyçeskye dvyΩenyq y by-
furkacyonn¥e process¥ v synhulqrno vozmuwenn¥x systemax. – M.: Nauka, 1995.
Poluçeno 15.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
|