Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна
Розглядаються локальні властивості вибіркових функцій гауссових ізотропних випадкових полів на компактних ріманових симетричних просторах M рангу 1. Наведено умови, при виконанні яких вибіркові функції поля майже напевне мають логарифмічний та степеневий модулі неперервності. Як наслідок доведено те...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164283 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна / А.А. Маляренко // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 60–68. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164283 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1642832020-02-10T01:25:43Z Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна Маляренко, А.А. Статті Розглядаються локальні властивості вибіркових функцій гауссових ізотропних випадкових полів на компактних ріманових симетричних просторах M рангу 1. Наведено умови, при виконанні яких вибіркові функції поля майже напевне мають логарифмічний та степеневий модулі неперервності. Як наслідок доведено теорему типу Бернштейна для оптимальних наближень таких функцій гармонічними многочленами в метриці простору L₂(M). Теореми типу Джексона - Бернштейна використано для отримання достатніх умов належності майже напевне вибіркових функцій до класів функцій, пов'язаних з середніми Рісса та Чезаро. We consider local properties of sample functions of Gaussian isotropic random fields on the compact Riemann symmetric spaces M of rank one. We give conditions under which the sample functions of a field almost surely possess logarithmic and power modulus of continuity. As a corollary, we prove the Bernshtein-type theorem for optimal approximations of functions of this sort by harmonic polynomials in the metric of space L₂(M). We use the Jackson-Bernshtein-type theorems to obtain sufficient conditions of almost surely belonging of the sample functions of a field to classes of functions associated with Riesz and Cesaro means. 1999 Article Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна / А.А. Маляренко // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 60–68. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164283 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Маляренко, А.А. Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються локальні властивості вибіркових функцій гауссових ізотропних випадкових полів на компактних ріманових симетричних просторах M рангу 1. Наведено умови, при виконанні яких вибіркові функції поля майже напевне мають логарифмічний та степеневий модулі неперервності. Як наслідок доведено теорему типу Бернштейна для оптимальних наближень таких функцій гармонічними многочленами в метриці простору L₂(M). Теореми типу Джексона - Бернштейна використано для отримання достатніх умов належності майже напевне вибіркових функцій до класів функцій, пов'язаних з середніми Рісса та Чезаро. |
| format |
Article |
| author |
Маляренко, А.А. |
| author_facet |
Маляренко, А.А. |
| author_sort |
Маляренко, А.А. |
| title |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна |
| title_short |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна |
| title_full |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна |
| title_fullStr |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна |
| title_full_unstemmed |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна |
| title_sort |
локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу джексона та бернштейна |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164283 |
| citation_txt |
Локальні властивості гауссових випадкових полів на компактних симетричних просторах і теореми типу Джексона та Бернштейна / А.А. Маляренко // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 60–68. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT malârenkoaa lokalʹnívlastivostígaussovihvipadkovihpolívnakompaktnihsimetričnihprostorahíteoremitipudžeksonatabernštejna |
| first_indexed |
2025-07-14T16:52:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:52:02Z |
| _version_ |
1837641943978344448 |
| fulltext |
Y~K 517.5
A. A. MaJ'UlpeHKO (Mi~KHap. MaT. tterrrp HAH YKpaIH,, Kt~IB)
J I O K A J ' I b H I B J - I A C T H B O C T I F A F C C O B H X B H H A ~ K O B H X
HOd'lIB HA KOMIIAKTHHX CHMETPHqHHX HPOCTOPAX
I T E O P E M H T H H F ~ K E K C O H A TA BEPHIIITE~H-IA
We consider local properties of sample functions of Gaussian isotropic random fields on the compact
Riemann symmetric spaces Yr rank one. We give conditions under which the sample functions of a
field almost surely possess logarithmic and power modulus of continuity. As a corollary, we prove the
Bernshtein-type theorem for optimal approximations 0 f functions of this sort by harmonic polynomials
in the metric of space L 2 (Yd')" We use the Jackson-Bernshtein-type theorems to obtain sufficient
conditions of almost surely belonging of the sample functions of a field to classes of functions associated
with Riesz and Ces~ro means.
Po3raa~amT~ca ~oKa.abni B.qaCTHBOCTi BI,16ipKOBI.lX d~yHKllJfl t"ayccOBrlX i30Tpommx BHna/~KOBI4X 110-
YliB Ha KOMnalC.TltrlX piManOBnX CnMe'lprlqH14X npocTopax YV/ paltry 1. HaBe/~eHo yMOBI4, npl, l BrtKO-
naHHi aKaX BH6ipKoBi qbyHKuii no~ta Malt>Ke ~mnemle MaloTb ~oraprlqbMimmlt ra ereneneBr~tt Mo/2y.ni
nenepepBHocTi. J;IK Hac.ai~oK/loBeaello TeOpeMy THny l~epHm're~Ha ~t.qa OnTrlMaJIbl-ll4X na6.aa>KeHh
TaKHx qbyHKtti~ I'apMOtliqnrlMl.I MllOrOq:lerlaMrl B MeTpmti npocTopy L 2 (Yv D. TeopeMa Trmy ~ e K -
cona- BepHmTeitHa SaKopnc'TaHo/~Jl~ o'rprIMmma ]tOCTaTHiX yMOB Ha.aemHOCTi Maaace nanemle art-
6ipKor~ax qbyHmti~ ~to KJmcin qbyuztti~t, nOB'X3aHHx 3 cepe~HiMu Picca Ta qe3apo.
1. BeTyn. Hexafl 9v/'= G / K ~ N-smaipnrit~ KOMna~Tna~ cm, teTprI,aHn~ npocTip
parry 1 3 rpyno~o pyxiB G i CTaVtioHapHo~O niarpyno~o K [1]. Hexalt ~ (x) ~ Hene-
pepBHe B cepe/~H~,OMy KBa/~paTa'aHOMy rayccoBe no.tie Ha ~ 3 aySlbOBaM cepe~niM
3naqenn.a~ i K0peYlJ~l.ti~tn010 ~yHKuiexo
B(x,y) = E~(x)~(y).
IIo.ae ~(x) HaanBaeT~Ca i~omponnu~t a utupoKo.~ty pozD'.atin~i [2], ~K~O
B(gx, gy ) = B ( x , y ) , g ~ G, x , y ~ Y~.
B TeOpeMi 1 HaBO~HMO ~aocTaTHi yMOBH HenepepBnOCTi Buna~KoBorO rtoz~a ~ (x),
mO yaarasmn~O~OT~ peay~bTam pO6OTH [3], B ZKita Bi~;nOBi~Hi TBepZ~CeHHZ ~OBe~eHO
a~a Bnna~Ky N-BaMipnoi cqbepn f14"= S N.
BHKopHCTOBy~O~H nOHm-Ta Mo]xezi BHnaaKOBOi dpynKLtii Ta z~pa rayccoaoi Mipn
B npocTopi C(YVD HenepepBnnX dpyHKL~ita Ha YV/" [4], Z~OBOaHMO TeopeMy Tnr~y
I3epHmTeitHa (TeopeMa 2): ZKtUO cepe~Ha Kaa/xpaTrl~Ha noxn6Ka OIITHMaJIbHOFO
Ha6Sm~KeHHa qbyHKaii rapMOHiqHr~MH MHOrOqneHaMa nopz~aKy He 6 i~b tue n
Ma~opyea-~cz qHC~OBO~O noc~iaOBHiC'l'~O a n, tttO 3a~oBoz~,Har O~Hy 3 yMOB (ga) --
(9c), TO qbyHKaiJ~ 3a~OBOZbHZr Bi]moBiaHy y~oBy (1 la) - (I lc).
B nynKTi 3 Br~K0pHCTOByCMo TeopeMa THny ~ e K c o n a Ta BepHmTetaaa ~ [5] ~ z
OTpHMaHHa ~OCTaTHiX yMOB Ha~e~HOCTi Mafmce HaneBHe BH6ipKoBHX qbyHKttitt
BmmzlXoBoro nosta ~(x) ~o K~taciB HenepepBHaX qby~Kaiil, nOB'aaamIx 3 cepe~aiMn
aHa~eHHZM_a Picca Ta qezapo (TeopeMa 3).
2. ~'rMOBH HenepepBn0CTi IlHHa/~KOBOF0 II0Jl$1 Ha KOMilaKTHOMy enMeTpa~-
n 0 ~ y npoeTopi i Teope~a THny BepHmTei~aa. Hexata p (x, y ) ~ ~OB~KHHa
r'eoAc3rlqaoi SliHii, II~O 3B',q3yr TOqKH X, y E ~14", L = SUPx, yeMP(X, y) - - ~aiaMeTp
npOCTOpy ~M~ 3 MeTOIO CrlpOItlcHH.,q IIO]~a.rlbl.IIHX qbopMyyx 3aclgiKCyCMO O/~I4I-IrIl.tlO Brl-
Mip~oSaHHX BiacTaai S MeTpatti p TaK, too6 BHKOHyBa.nac~ y~osa L = n .
IcHyr ClII4COK KOMIIaKTHHX piMaHOBrlX C14MeTpHqHrIx IIpOCTOpiB par i ty 1 [1]. A
came:
�9 A. A. MA.//~PEHKO, I999
60 ISSN 0041-6053. Ytcp. ~tam. .~,pn,, 1999. m. 51, N e I
-qOKAJIBHI BJ/ACTHBOCTI FAYCCOBHX BHI'IA]IKOBHX HOJIIB ... 61
cqbeptt
S N = S O ( N + 1 ) / S O ( N ) ,
~ii~cHi npOeKTrtBni npocroprl
p N ( ~ ) = S O ( N + 1 ) / O ( N ) ,
KOMIIJIeKCHi npOeKTnBHi npOcTOprI
p N ( ~ ) = S U ( I + 1 ) / S ( U ( 1 ) x U(1) ) ,
KBaTeprliOHHi rlpOeKTrlBHi npOcTopn
PN(IIt) = S p ( l + 1 ) / S p ( l ) x S p ( 1 ) ,
N > I ;
N > 2;
l = N > 2 ;
2
/ = N > 2 ;
4
ISSN 0041-6053. Yrp. ~am. ~.'vpu., 1999, m. 51, N ~ 1
rlpOeKTHBHa nJlotUt4Ha Keni na~ a n r e 6 p o ~ OKTaB
p l 6 ( C a y ) = F4(_52)]S0(9) ,
lie S O ( m ) m rpyna OpTOrOHaJ/bHtlX MaTpHI-U, nopa/IKy ra 30/IHHHqHHM BH3HaqHH-
KOM; O (m) - - rpyna OpTOrOna~uHX MaTp~m, nopz/IKy m; S U ( m ) ~ rpyna yHi-
Tapnnx Maa'pmtb nopz/~xy m 30/IHHnqHnM Bn3HaqHaKOM; U ( m ) ~ r p y n a yHiTap-
HHX Marpmlb nopedlKy m; S (U(1) x U ( 1 )) - - ni /Irpyna MaTpntl~ 30/anHrtqHnM Bn-
3Ha~HnKOM B rpyni U(l ) x U( 1 ); S p ( m ) ~ rpyna OpTOrOHaSmHnX CIIMrLrIeKTItqHrIX
MaTpntlb nopz/IKy m; F4(_52 ) - - BnaJrncoBa rpyna JIi pan ty 4 po3MipHocTi 52.
Hexa~ So(x ) ~ Maoz~rtHa TOqOX npocropy 91//, trio aHaxo~IJrr~,ca Ha Bi~ltla,qi 0
Bi/I qbiKc0BaHOi TOqKn X ~ 514", A (O) - - ( N - 1 )-BHMipHa Mipa J I e6e ra MHOrOBH/Iy
SO(X). Mac Mictle qbopMyna [6]
A(0) = ~ N 2 P s i n P ( O ) s i n q O ,
/Ie ~2 N ~ N-BnMipHa Mipa JIe6era cqbepH o/InrmqHoro pa/liyca a npocTopi ~ N, a
napaMeTprt p r q MmOTb nacTynHi aHaqerm~:/ lna cqbep p = 0 , q = N - 1; /I~J~
/Iit4cHnx npoeKTnBmIX npocropia p = N - 1, q = 0; / I ~ KOMnneKCHriX npoeKTnanHx
npocropiB p = N - 2, q = 1; / m a KBaTepnionrmx npoeKrnBnnX npocropiB p = N - 4,
q = 3 i / I~a npoeKT~BUOi nnoul~turi Keni p = 8, q = 7. JJ~qbepemtiasmnma onepaTop
1 d(A.e.d'~
A~ = a(0)d-'0\ t 1~--~), 0 < 0 < rg,
a.azme co6oto paa ianbny a a c ' m a y onepaTopa J lannaca - Be.ra, a-paMi r rpoeropy ~ .
Hexafl d m ~ G-irmapiaHTHa Mipa Ha ~/~ aop~oBatta y~OBOtO J g d m 1. To/li
crIeKTp onepaTopa A 0 B npocTopi L 2 ( ~ d i n ) cKnadlaeraca 3 TOtlOK --~,21 "=
= - n ( n + a + ~ + 1 ), n > O, l~e napa~eTprl a Ta ~ 06qnc.raolOTt,CJt aa ~opMyna~u,I
1 I a = ~ ( p + q - 1 ) , I]-- ~ ( q - 1 ) . (1)
Poarslmter, io HenepepBae yrliTapHe ao6pa.h~CI-ll-Dl U rpyrlrl G B IlpOCTOpi L2(
din), trio lIie 3a qbopMy.rtolo
62 A.A. MAJI$IPEHKO
(Uf)(g)(x) = f (g- lx) , g e G.
YlcrKo nepesipm'n, nlo onepaTop A 0 zo~yrye ia 306pa)KeHH~M U. ToMy 3ri~HO 3
3araaa~HOm Teopir [7], S K0~CIIOMy 3 np0cTopiB
~(n = { f , C ' ( ~ ' ) : ~ o f = - ~ 2 t f } , I~ >_ O,
peaJli3ycTbC~I He3Bi]IJaa KoMn0He~Ta U n 3o6pa~erma U, npHqoMy aci KoMn0HeHTH
nonapHo HcezniBaneHTHi. E,neMeHT~ npocTopy 5t[n Ha3HBaIOTI~C~ eap.~toM~mu~m
3~ogo~et~,~g~.
ToopeMa Heropa - Be~a~ [8] c a ~ e p ~ y r mo ~o~ne a naaBawax ao6pa~eHb r
ao6pa~ennaM z~acy i ~i~nocno ni~rpynn K, TO6TO ~iCTHT~ Henya~oBi K-
inBapiam~ai BeKTopn. PoaMipHica~ npOeTOpy TaKHx B0ZTOpiB ~opiBH~r ~paa~aOCTi
n x o ~ e ~ U n ~o U, a namoMy B~na~Ky ~ o~nnn~i . 3a~i~cyeMO K-inBapiaHT-
HHR BeKTOp ~ O]IJ4I-IH~IHOi ]~OBTKHHH. Ma'rpnqHH~ eJIeMeHT 3o6pameHH~l U n, mo
~i~moni~zar SeKTopy V (~OHa.m, Ha cqbepmma qbynzni~)
~t.(g) = f ~t(g-ly)~t(y)dm(y),
He aane~arrt, si~ sn6opy SeZTopa V" Bi.m,m TOrO, aorta aa.ne:ac.n~ Bi~ si~eTani Mi~
TO'~Ka~H X Ta O a npOCTOpy 91,/', mO si~nosinaxoT~ e.neMenTy g e G Ta
o~nnn~Hotay c.nc~enTy e r G npn KaHoHi~HiR npoczuii a G na 9~. B [9]
~OBe~eHO, mO ~onam,na cqbepn~na qbynzui~t KOMnaZTHOrO piManosoro npocTopy
paHry 1 Mac B n r ~
~ . ( O ) :
~e Pn (c~ ~)(cose) -- MHOFOqJICH YIz06i.
e,[ ~' ~)(cos o)
�9 pn(a;13)(1) '
l-IoaHaq~o qepc3 h(Y~ n) poaMipHic'rb npoeTopy H n. Hexa~ { W t: 1 _<I <_
< h ( M , n)} , V l = V --~iKcoBaHI4fl OpTOHOpMOSaHI4fl 6a3nc y npocvopi H,,.
3ri~ao 3 Tcope~aom HeTcpa - BeP~ns dpyaxo~ii
G
yTBop~Tb OpTOHOpMOBaHHfl 6aa~c npocTopy L 2 ( ~ . TyT d g -- flMOBipHiCHa
Mipa Xaapa Ha G. MacMo
h(g[~, n)
Z Sln(X)Sl'~Y) = h(~,(, nlVn(9(x, y)) (2)
I=1
(t~e npOCT0 ~popMyaa MHOXeWas MaTpmU,). Hexa~ Tenep b n, n > 0 -- IIOCJliRoB-
HiC'n, nesi~'cMHrm aiRcrmx qHce~, mo 3a~oBo.r~Hamaa, yMony
n~O
a { ~ / : n >_ 0, 1 < 1 < h ( ~ n ) } - - ~ran~alYrHa rayccoBa nocaiX~OnHiCa~. Toni
raycconr mma/~zoer no~e
ISSN 0041-6053. Yrp. ~tam. ~.'vpa., 1999, m. 51, N o 1
gIOKAglbHI BJIACTHBOCTI FAYCCOBHX BHI'[ALIKOBHX I'IOJ'IIB ... 63
~(M, n)
~(X) t "~n Z l l = S'.(x)~,,
n=0 l=l
6y~e i3oTpoIlnnM, a ~ioro Kope.nm.d~Ha ~byHK~ia, o6,-mc.neHa a aacTocyBamiaM TeO-
peMn KapyHeHa i ~opMy.rm (2), m a t t e Bnr.n.a~
B(x, y ) = ~ h(91,[, n)b n V,,(p(x, y)). (3)
nffio
3 pe3yabTaTia po6oam [10] Bnnaaaar mo ~opMyaa (3) onacye aci MO~K~,Si Kope-
,rlattiiaai qbyHzuii i3oTponmix BHnaIIKOBHX noais Ha ~M~
]IOBe/letdo Z~OnOMimHe TsepZtmenua, mo yaara.m, mor Tay6epoay TeOpeMy
M. I~. ~t~penza [3] (,poa/fi.a If, Tcope~a 9)/XJ]z armalmy zoMnaxTrmx CtiMeTpH~mXX
ttpOCTOpiB paary 1.
JIer, la L Hexa(~ T(t): [0, +o.) ~ [0, +o0) ~dpynmda, u~o 3aOooo.abnne y~to8u:
lira T(t) = +o0;
t-..) +~
t 2
qbynm~ia
7(0
ne cnac~ae, novunato~u 3 cgea~ozo t;
h(M, n)b,,v(n) < +~,.
KOeqbiuieHTa
y B n r n ~ i
ToOi npu 0 .l. 0 outconyembca cnioeiOnotuenna
a ( 1 ) -- a(cosO) = O(~ - l (o - l ) ) .
]Ioeeaenna. MeTo]~ ROBeReHH~I qacTKoaoro anna/my neMn 1 ~nJ~ cqbep, 3allpO-
rlOHOBaHH~ B [3], ]~OCJIiBHO nepeHocnTsc~t Ha 3araJlbHHfl Bnrla/IOK, 3a BHH$ITKOM O]~-
HOrO Tsep~meHHa. A came: y mma~tKy c~epa BHKOHyeT~CJZ HepiBHiCTS
1 - W,,(O) < ln202. (4)
2
3 MeTOV0 ~oBe~eaHa anaaoriqHoi HepinHOCTi ~ aaraa~HOMy Brma/IKy i3 aaMiHOU~
1 Ha Koeqbit~ienT, mo 3a~emnTS JIHIIIe ~i/x a Ta ~, nepenrtmeMo (4)
2
I- PI~I3'I3)(COSO) - ln202, ~ = N-___.~2 (5)
pn(~' 1;)(1) 2 2
Be3nocepe~.i~ ni/xpaxyHOK aa qbopMyaaMH (1) noKa3yr m 0 / I aa ncix KoMnaKT-
. . X piMaHOBHX CHMeTpHnHHX npocT0piB paHry 1, KpiM cqbep, BHKOHyCTbCa .epia-
Hica~ ~ > 13 > -- 1. Y pO6OTi [2] aone~eHo, mo ~aa TaKnX 3Hanerm napa~eTpin ~ Ta
13 aipHa cl)opMysia
n
= "k ~,~J
t =Z.~o pk(l~, ~)(1). (6)
npH I_IbOMy KOCdpii.IiCHTH akn HcBi~'r l'IpH t = | ozxepmHMO ~ = 0 ak~ = 1.
Tmay MaeMo
ISSN 0041-6053. Yh'p. ~tam. a,.~pu., 1999, m. 51, N ~ 1
64 A.A. MAJD;IPEHKO
Pnfa'l~)(cos 0) " ff P~(I]'l])(cosO)~ ~ " p(U,B)(1 ) = ~, at~" 1 .... < 0 2 ' =0 ~, P~ [3.p)(1)' ) ,~=OZ k2ak,,
(SrlZoprlc-raHo HepiBniCT~ (5)). ~aJ~ O6qHCmHI, cyMH S npasiia qac'mni ocTannbOi
dpopMy:m BiBbMeMo noxi~Hy Bid O6OX qacTrm (6). BrmopHCTOBy~OqrI qbopMy~Iy
(4.21.7) a pO6OTH [11] i pisrIiC'n,
~ , m ( 1 ) =
o~cp~ye~o
3Bi~KI, I
n ( n + c c + ~ + l )
cz+l
r ( c z + n + l )
ntF((z + 1)
1 ,~[k2+(2~+l)k]%n, =
i OCTaTOqHO
Z k2akn <- ~'+ n(n+cz+13+l) < ((z+13+2)(B+l)n2
k :0 (X+l cc+l
p,~a, 13)(cosO) < (o~ + IB + 2)(13 + 1)n202
pn(a' 13)(1) - 2o~+2 '
mo R/~OBO~rs ~eMy.
TeopeMa 1. Hexaa eutconyem~a oSna s y~toe
h(~rr n)b. ln2e(n + I) < + 0-, e > 0, (7a)
n = 0
~,h(91,(, n)bnn281n(n+l) < +~,,, 0 < 8 <_- I, (7b)
n=O
h(~(., n)bnn 28 < +.o, 0 < 8 ~ 1. (7c)
n = 0
Toai icnye aoOamna ~taa.~e naneone crin,~enna aunaaro~ oe~au~tuna C(co), a.aa
aK, of 6ianooiano
i~(x)_~(y)l < c(co) (Sa)
- Ilnp(x, y)l ~'
I~(x)-~(y)l-< c(m) (p(x, y))~' Y < 8, (Sb)
C(m) I~(x)-~(y)l-< r " Y < 8. (8c)
(p(x, y)) 411np(x., y)l
]lo6ei}enn~ Ismaizauii ( 7 a ) ~ (Sa), ( T b ) ~ (8b) Ta ( 7 C ) ~ (Be) ~oBoaars-
ca Tax caMo, aZ i S [3] (Tcopemi 10, 11 ra 12 po3~iJ~y 2), i3 zaMiHO~ nocnnaHHa Ha
XeOpCMy 9 uiei )z pO6OTa nocaJ1mma~ na J1eMy 1.
Hexalt P n ~ n p s M a cyMa npoeropi~ H k, 0 <-. k < n. IIo~amtMO ~epe3 E(n2)(f)
noxl16Ky omT~anmnoro Ha6JIrDKeHIt~ C~yttKIIii f e L2(~)l,[, din) CJICMeHTaMtt rlpoc-
ropy Pn a HopMi rrpoeropy L2(~[, din):
I$SN O041-605& Yrp,~n.~. n.,1999,m.51,N ~ 1
.,rlOKAJ'IBHI BJIACTHBOCTI FAYCCOBHX BHFIA/1KOBHX I'lO~IB ... 65
inf II f - Pn IIz- E(2)(f) " p. e~.
Teope~a 2. Hexaa f ~ Lz(Yv/~ din) , a n, n > 0 ~ nocniOo~nicmb OoOamnux ~u-
cen, u~o ~tonomontto npa~tye Oo ny.a.~ i 3aOo~o.abttae 03h9' 3 y,~too
.,qKU~O
a 2 2 0 ( 1 )
n- l - an = n 2 + ~h(~/ ' , n)In2Z(n + 1) '
%_~ - an = n 2 + ~ § '
an-I - an n 2+~+ ~4', n
e > 0, (9a)
0 < 5 < 1, (9b)
0 < 5 < 1. (9c)
E(2)(f) = O(an) , (10)
mo dpynm~i.~ f ~Ooeo.abn.qe eiOnosiOny y~tooy
i f ( x ) _ f ( y ) l <_ C ( l la)
I ln p(x, y)[e'
I f ( x ) - f ( y ) [ < C (P(x'Y)) 7, y < 5, ( l lb)
If(x) - f(y)[ < C ( p ( x , y ) ) T l l l n p ( x , y ) [ , T < & (11c)
3 a y e a ~ e u u s t 1. B reopii Ha6HH~eHHJt dpyHKLIi~ yMOBrl Bn~y (10) naarlBalorbca
~:oncmpyr:muonu.~m xapar.mepucmura~tu ~yHK~ii, a yMOBH BH/Iy (11) w Oecrpun-
mu6nu~tu xaparmepucmur.aztu.
, l loseaenns~ meopeMu 2. ~oBe~aeMo ~ame iMnHiKatfim (9a) ~ ( l l a ) , iHtai
iMnHiKaIfii/~OBOZlJrrbcJ~ aHa~ori~ao.
Hexma ~(x)--rayccoBe BHna~Ko~e no~e Ha ~ alia aKoro
1
bn = n I + ;/2 h(9~(, n)In2e(n + 1)"
H e x ~ P ~ rayccoBa Mipa B npocTopi C(914), mo Bi~noBi~ar aHna~KOBOMy nozm
~(x). 3ri]IHO 3 TeopeMolo 1 MHOZ~rlHa dpynKtlii~, mo 3a/~osoJIbH~lIOTb yMOBy (lla),
MaC P-Mipy 1. IIe o3Haqar mo mo~eH e~eMenT ainiiaHoro noeia Mipn P, TO6TO
Ha~MeHmoro aaMKHyTOrO ni/mpoeropy P-MipH 1, TaKo~ aaaoBOSmHar yMOBy (1 la).
3 iatuoro 6oKy, 3ri~no 3 [4] (po3ztia 9, TeopeMa 6), HiHiamlt~ nociia Mipn P CniB-
na~ae 3 3aMaKaaHaM ii a~pa H e, TO6TO/r (~yl-IKl.I~ f e C(ffvD, ~aaa aKHX
~ipa
Pf(A) = P ( { g e C ( f l 4 e ) : f + g e a } )
a6coHma-ao HenepepBHa Bi/IHOCHO Mipa P. 3a~nmaer~ca ~aoBecTH, mO KOT~Ita
qbyHKI~iz f, ttI0 3a~OBO.rll, nJ~r yMosy (10), HaSle:a~d4Tl,/I0 Hp.
Hexalt A = { (n, l): n -> 0, I _< l < h(gKf, n) }, 9A - - ~-aHre6pa Bcix nit~HoacnH
M a O ~ n a .q, V - - ~ipa Ha ~t, mo nHanaaaer~ca yMOBOm v(n, l) = b n. Toai
ISSN 0041-6053. YKp. ~gtm. aq. pn., 1999, m. 51, I~ 1
66 A.A. MAJ'I$IPEHKO
qbyrtzttii rex(n, t) = St(x) yTB0plOIOTb ,~toOe.ab BHIIa]IKOBOr0 IIOJDI ~(X) [4], TO6TO
BHKOHyCTbCg y~oaa
E~(x)~(y'~) - ~ rex(n, l)my(n, l)dv(n, l)
(ae npocTo iHIIIa ~opMa 3anHcy crfiBBi/IHOUleHHtl (3)). 3ri~HO a [4] (poaM~ 9,
qbop~y~a 17), o6paa onepaTopa I a L2(N, v ) B C(M), mo ~ir aa qbop~y~om
h(M, n)
x " = C.Sm(X),
n=O l= l
cniBna~ae a Hp. ILe oaHaqar mo np0cTip H i, CKSla/IaeTbC~I 3 cl0yrlKIliia, y .,qKnX
K0eCl)ittieHT~ Oyp'r dtn 3a 0pTOHOpMOBaHHM 6aatlc0bl { S~I~ } 3a]]~OBOJlbHglOTlb yMoay
n=O /=1
IIoxa6za E(n2)(f) o6,-IrIc.moe'rr~c.q3adpop~ly.nolo
l ~ h(M,n) I 2
~L r ' 8
Ha31,IBagl'hC~I cepeSM~t Picca dpyHmlii f. gKmo icHyr ~ynmli~ g e L 2, ~Ka 3az~0-
BOSmH~r y~oBy
Yng = X r Vnf, n >-. O,
To Bona aazHsaer~,e~ noxiOno~o Picca nop.~3~'y r i no3na~aen, cs g = Arf. IIpoc'rip
W 2,r = { f e L2: A r f e L 2}
ttazrmae'rbcs npocmopo$t Picca nopaOt,'y r. r
K(f,t;l 2, W 2,r) = inf. (~f-gll2 + ,]Argll2)
gEWt', r x
H~tmae'rbcg K-qbymc~ioRa,~o~t Ilimpi,
ISSN 004I -6053. Yrp. ~tam. a~y. pn.. 1999, m. 51, lq ~ ]
3Bi]~KH o~cp)ZycMo
h(M,n) II 2
X = O(aL,-a. --
l=l
a tic i o3naqar 36imnicTb pY'/Iy (12).
3. YMoBH HaAemH0CTi BH6ipKoBHx r ~t0 Katacis Picca wa qe3apo,
J~rts qbopMyJXloBarmg pe3ynbTaTy tu,0ro IIyHKTy HC06Xi~HO HaBeCTH KCgKi 03HaqCH-
Ha 3 [5]. Hexafi Yn - oncpaTop opToroHmabHoro rrpoeKTyaatm~I 3 L 2 = L 2 ( ~ din)
Ha Y'[n, r, R, $ ~ dpiKcoBatd /Xo~taTUi q~cna. OnepaTop S~ '6, ~i)t gKOrO 3a-
aaeTbcs dpop~yao~o
JIOKAYlBHI BYIACTHBOCTI FAYCCOBHX BHHA~KOBHX HOJIIB ... 67
Hexafi d~ts m (N- 1 )-BHMipHa Mipa Yle6era Ha cqbepi So(x). LIHcno
1
~o(f ;x ) = A(Oi ~ f(y)dlxs(Y)
So(x)
Ha3nBaeTbC~t c~epu~mu~t cepeOni:~t qbyrmtfii f, a qncyio
O~r(f, 8, L 2) = sup II( 0-z)"=fll 2
0 < 8 < 8
E ~toayne~t znaOt~ocmi. OrlepaTop C~n, ~aia J~Koro 3aaacTbC~ qbop~y~oto
~ f 1 " 8 F ( n + 8 + l )
= ~ ~" A"-kYk:" Arts = n!F(8+l) '
n k=O
Ha3HBaeTbC$I cepeOni~t tte3apo cloynIo-lii f.
Hexma Tenep ~ ' t ~ 3aMHKaHH$I B C (
HalOTb O~Hy 3 y'MOB
Us .Sf-y[[, = R ' r - . (13a)
K(f, t; L 2, W 2 ' r ) - O(tV), t $ O, (13b)
tOr(f, 8; L 2) = O(SV), 8 $ O, (13c)
Ilc,?f - fll2 = O ( n - ~ ) , n "~ oo, (13d)
npnqoMy B nepmHx TpbOX yMOBaX r ~ ROBiJXbHe HaTypa.rmHe qac.rlo i 0 < ~ < r, a B
OCTaUHiit yMoni 0 < Y < 1.
Teope~a 3. Hexafl ~ (x) ~ eayccooe isomponne ounaOr.ooe none na M i ouro-
nano y,~toou (7a) ma
( 1 1 )
b , , = �9
Toni ouaiprooi qbynmlii" ounaO~oooeo nona ~ ( x ) ~,a~,,re naneone naneacamb ao xo~:-
ttozo ~ tcaacia KT.
,~[o8eOeuna. 3a TeopeMo~ 1 Bn6ip~oni qby~Ktfii no,In ~ (x) aenepepaHi. TOUy
6y~a~-z~all emze~T aiIpa Bi~noni~aoi rayccoBoi ~ipn ~ar B n r ~
h(Yc[,n) 1 1 h(~n) §
f (x) L bn = Z cnSn(x), ~b n c/12 < ~. (14)
n=0 1=1 n=0 l = l
3ri~HO 3 [5] (TeopeMH 3.1, 3.2, 5.1, 5.2), xomaa a yMOB (13) piBHOCa~maa yMOBi
E(n2)(f) = O(n-u (15)
3a~mmaeT~Ca/~OBeCTI4, mo KOY:~.Ha 3 qbyltKIJjfi (14) 3aJIono.rlbHate yMoBy (15).
CnpaBtd, yMosa (15) pisHOCHglbHa TalC, ill y~oni Ha K0eqbii/jeH'rI4 tl)yp'e cl3yltKIIii fl
�9 0 1
ISSN 0041.6053. Yrp. ~tam. acy. p,., 1999, m. 5!, IW 1
MHO~KHHH C~yHKI~i~, mo 3a~0BOYIb-
68 A . A . MAYI$IPEHKO
a ~ : l a Koedp i t t io tT iB O y p ' e qbyHgKi i ( I 4 ) ~ t a o i o
h(M,n) 1 2 h(M,n) [2
2 d. = b. E, b,,IJ. I
1=1 1=1
= o(b , , ),
~-~ h(~l,[', n ) b n l c l 2 o c g i s m r ~ noca i ~aomf i C T b ~ , , t = 1 qs Ien iB a 6 i a ~ n o r o pa~ay a 6 i r a e - r ~ c a ~ 0 Hy-
a a i ToMy o 6 M e ~ e H a .
1. Xen~,acon C. Rxdp~epcnm4a.abnaa reoM~cpaa x cnMMe'rpaqecgne npocrpancr rm. - M.: Hayga ,
1964. - 533 c.
2. Askey R. Orthogonal polynomials and special functions. - Philadelphia: Soc. Industr . and Appl.
Math.. 1975. - 110 p.
3. .fic~pe~aco M. I4. CnegTpa.a~rlaa Teopna c,,ayqaflnhlx no~lefl. - Kaen: Buula rag., 1980, -- 203 c.
4. Jluc~u~uq M.A. FayccoBcKHe ~lyqaalihle cl~yltgl~H, -- KHeB: TBHMC, 1995. - 210 c.
5. Li L Riesz. Means on compact Riemanian symmetr ic s p a c e s / / M a t h . Nachr. - 1994. - 168. -
P. 227-242.
6. Askey R., Bingham R. H." G a u s s i a n p roces se s on compac t s y m m e t r i c s p a c e s / / Z.
Wahrscheinlichkeitstheor. und verw, Geb. - 1976. - 3 7 . - P . 127-143.
7. Bunent~un H..g. Cneuna.nbnme qbyuKttUa n l"eopaa npe~tcTa~euafl rpynn. - M.: Hayga , 1991. -
576 c.
8. )Ke,~o6enro // . / / . KoMnaK'mtae r p y n n u J'ln H HX npe~teran.neuna. - M.: Hayga, 1970. - 664 c.
9. Gangolli R. Positive definite funct ions on certain homogeneous spaces, and certain stochastic
processes related to L evy ' s Brownian motion o f several p a r a m e t e r s / / A n n . Inst. H. Poincar6. B. -
1967. - 3. - P. 121-226.
10. Yaglom A. M. Second-order homogeneous random fields. II Proc. 4th Berkeley Syrup. Math.
Statist. and Probab. - 1960. - 2. - P. 593--622.
11. Cele F. Op'roroua.abnue MlioroqJlema. - M.: (I)143MaTrlt3, 1962. - 500 c.
O~epx~aHo 17.09.96
ISSN 0041.6053. Y~p. ~mm. ~.'vpu.. 1999, m. 5 i , N e I
|