О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке
Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгеб...
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164288 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке / В.Ф. Бабенко, Ж.Б. Удраого // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 117–119. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164288 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1642882020-02-11T01:26:12Z О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке Бабенко, В.Ф. Удраого, Ж.Б. Короткі повідомлення Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок. We prove that, in an additive inequality for norms of intermediate derivatives of functions defined on a finite segment and equal to zero at a given system of points, the least possible value of a constant coefficient of the norm of a function coincides with the exact constant in the corresponding Markov-Nikol'skii inequality for algebraic polynomials that are also equal to zero at this system of points. 1999 Article О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке / В.Ф. Бабенко, Ж.Б. Удраого // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 117–119. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164288 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Бабенко, В.Ф. Удраого, Ж.Б. О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке Український математичний журнал |
| description |
Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Удраого, Ж.Б. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Удраого, Ж.Б. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| title_short |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| title_full |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| title_fullStr |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| title_full_unstemmed |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| title_sort |
о точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164288 |
| citation_txt |
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке / В.Ф. Бабенко, Ж.Б. Удраого // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 117–119. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf otočnyhkonstantahvneravenstvahdlânormproizvodnyhnakonečnomotrezke AT udraogožb otočnyhkonstantahvneravenstvahdlânormproizvodnyhnakonečnomotrezke |
| first_indexed |
2025-07-14T16:52:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:52:23Z |
| _version_ |
1837641964646825984 |
| fulltext |
K O P O T K I H O B I ~ [ O M J I E H H ~ I
Y~,K 517. 5
B. | ]~ateHKO, ~ . ]~. Y~tpaoro (J3[HenponeTp. yH-T)
O TOqHIdX KOHCTAHTAX B HEPABEHCTBAX ~!JIH HOPM
IIPOH3BO~I-H~IX HA KOHEHHOM OTPE3KE
We prove that, in the additive inequality for norms of intermediate derivatives of functions which are
defined on a finite interval and are equal to zero in a given system of points, the least possible value of a
constant with the norm of function coincides with an exact constant in the corresponding Markov-
Nikol'skii inequality for algebraic polynomials which are also equal to zero in this system of points.
~oBeRetlo, IaO B a~ilTgBHitt HcpiBHOCTi /~JDI HOpM npobliXHHX IIoxi~HrlX d~yHKlljfl, ~lKi BH:lnaqeHi Ha
CKiHqeHHOMy Bi/Ipi3Ky i/~opiBHIOIOTb Hy.qlO y 3a~aHi~ CllCTeMi TOqOK, HaflMellule bro~K./IHBe 3HaqeHH~i
KOHCTaHTH npH HopMi qbyHKtli[ cniBna/~ar 3 TOqHOIO KOHCTatrroIo y alByloBi/lHig HepiBHOCTi THny Map-
KOna--HiKo~n,CbK01"O/UIJ~ a.qFe6paiqHHX no~iHOMiB, gKi Te~K ~topiBlllOrOT~ Hy~no y Rill CllCTeMi TOq0K.
riyc~ Lp=Lp[O, 1], 1 <_p <_o o, ii.llp= I1"11~. 06oaHa~IHM tlepe3 Lp, n ~ 1~1,
MHO~KeCT~ ~a~anH~x Ha [0, 1 ] qbyHK~I~fl X, I~Memm~x a t c o m o T n o Herlpep~BHyrO
rlpOH3BO/~HylO X (n- 1) (X(0) : =X) H TaKHX, qTO X (n) r L e.
H3SeCTHO, wro g a a mot r~x p, q, r e [ 1, ** ] H /~ n e 7: +, 0 < k < n , c y m e c r ~ y -
mT KOnCrarrna A H B TaKHe, ~rro n ~ a Kaz~ao~ qbym<mm x ~
IIx(~)llq _< A Ilxllp + Bllx~)ll. 0)
Ecym RR c L~, TO nOS[O~KHM A ( ~ , k ; p , q ) : = i n f A , r~te i n f A 6epeTca rio
BceM A raXaM, ~"ro c HeKoropo~t KOHCrarrro~t B Hepa~eHCr~O (1) rn~eeT Mec'ro Z~na
:noto~a qbyHKtmn X e ~2. ~ICHo, q'ro
r~e
A(Ln, k ; p , q ) > M(~'n- l ,k;p;q) ,
M ( Q , k ; p , q ) : = sup
p.-,, Q II Pn-I ~,
(2)
- - TOqHa.,q KOHCTaHTa S HepaBeHCTBe THna MapKoBa--HrlKO.rlbCKOFO/~.rlJ! a.nretpaH-
qec~Hx nommoMon Pn- l, nprma~Jie~KamHx za,aaHHOSCy noz~rpoc'rparxcT~y Q rrpo-
crpaHc 'ma ~'n-I BCOX IIOJIHHOMOB CTeHeHH He BHmr n - 1.
B. I4.BypenKor~ [ l ] ~ o K a z a ~ , ' r r o r r p H Bcex p , q , r r [1 ,**] H k = n - 1
A( n , ~.. (3)
B. O. ]3ateHKO, B .A . KoqbaHos H C. A . l ' IHqyros [2] ycraHosHJm paBeHCTBO (3) rlpH
Bcex n, k e ~-+, O<k <n.
I'IycTb 3a~aHt~ MHoa<ec~a
T-- {tl . . . . . t t}c[0, 1], O<tl<t2<...<tt_l<tt<l,
�9 B. q>. BABEHKO. ~K. B. Y3JJ.PAOFO, 1999
ISSN 0041-6053. Ygp. ~lam. ,ucyp~, 1999, m. Jl , N e I 117
I18 B. ~. BABEHKO, ~. B. Y"b/2PAOFO
H m = {mi . . . . . mr] C N TaXOe, tiT0 Iml := El f lmi ~ n-1. O603HaqHbl qepea
(7", m) ~ o ~ z e e m o ~ y a z ~ x e L7 Tar, Hx, ~ 0
(J)
x ( t i ) = 0 , i = 1 , 2 . . . . . /, j = 0 , 1 , 2 . . . . . m i - 1 . (4)
l'IycTl, ralOKe fin-I (T,m)--MHOaCeCTBOnOJnmOtnOS Pn-l e f in- l , y~osJ1eTBO-
pmottmx ycJmeaJ~t (4). ~ICHO, wro npH ecex n, k, p, q, r
A( I~ (T ,m) , k ;p ,q ) > M(f in_ l (T ,m) ,k ;p ,q) . (5)
A. H. 3nsrHnttee [3] aoKaza.n, aTO npH k = n - 1, H T c { 0, 1 } e (5) maeeT
rnecTo paBeHcrao.
TeopeMa. }/n~ atO6btX T, m, n, k, p, q, r
A (1~( T,m),k;p, q)= M ( f i n - I ( T, m),k;p, q). (6)
,~or 3aqbrmcrrpyeM npoaaBOJll, h ' I~ Ha6op qHCell m'={m[...., In[ }
TaxoIt, wro ] m' ] = n H m~ > m i ]~Jm i = 1, 2 . . . . . I. Kax HSBeffI'HO (CM., Hanpar.tep,
[4, c. 25-27, 113-1171/ , / I J~ Jno6o~ qbym<tmrl x e L n cymecTsyeT e/mHCTBerm~l~
nozmHoM Pn- I (x; t) e fin-1 (mrrcpnoJtm~ox~mafl noJmnoM ~pmrra ) razoR, wro
P(nJ~(x;,ti) = x(J)(ti), i =1,2 ..... I, j =0, I ..... m~-l.
Yqrrr~sa~, wro Jno6ylo qbyHzmno x e L n MO~Z_HO npe~cTaBa'r~ e Brtae
1 1 n-I
~Ct) = en-l (t)+ i,,_1)J~Ct-u)+ ~c"~(u)au,
r~c Pn-! ~ nO.nHHOM Te/4.rtopa dpyHKt~H X, pazHOCTb x(t)-Pn_l(X; t) npeI~cTaB-
./L~M B BI4~e
x(t)_Pn_l (x;t) = 1 [lG(t,u)x(n)(u)du" (7)
( n - l ) ! J 0
r~e G(t,u) = (t-u)~. - l - Pn_l(('-u)+-l,t).
]~a.nee mdee~
�9 n-~ (nil)iJoff-t ~G(t'u)x(n~(u)du" (8)
Ha (7) H (8) J~erxo cJ~eRye'r, wro GylI~e, CTBylOT KoHCTaHTM C H C k Tazrle, wro
I I x - P . - l ( ~ , .)11~ <- r (9)
tI
llxCt) p.ck). - .-i tx; .)llq < Ckllx(n)ll,. (10)
O'rMe ' r~ ' ra r , x e , wro,a.aa x e [~(T,m) 6y~eT
P,,_l(x;, . ) ~ f i , - I (T, m) .
./]ettcTnya no npea,.~oxetmott B. $ . Ba6enxo, B.A. Koc~aaoeb~'~ H C. A, I 'h,~yro-
ISSN O041-605& Yr, p. ~m. ~ytm.,1999 , m. $1. N ~ I
O TOClHHX KOHCTAHTAX B HEPABEHCTBAX ~Ml$l HOPM FIPOH3BO~-IHX... 119
SS~ CXCMe [2], ~J~q J~m6Og cl)yHZm~H X r ~(T, m ) m~ces~ (~s~ coKpameHHS aam~-
cel~rmace M = M (ff'n=l ( T , m ) , k ; p , q ) )
llx(k)llq < II "n-ll)(k)(X, ")llq + llx ct)- Pn<t~- (x, ")llq <
<- e l l en - t (x , ' ) l l p + IlxC~)-P(,~_~(x,')ll~ <
-< M(ll,~llp + II~- ~_~(x,-)llp) + II ' : t ) - "n-~)'(~) ( x, ")llq =
= g II ~llp + g IIx-e#-~ (x,.)ll~ + II~ <t)-,#_~,'ck) (x, ")ll~
OTc~ona, y , - ia 'n~a.a (9) H (10), no.)D,'-IaeM
llx<k)llq < g II x II~+( CM+ C~ )II x(#)llr.
TeopcMa ~oKaaaHa.
Ilyc'~ Tenepb ~:~ Jno6oro I = I, 2 ..... 1 3a~aHo npoH3eOSmHoe nO~MHO)KecrsO
l i C { O, 1 . . . . . m i - 1 }. tIepea Er ~ (7", l ) O603tla~lHM MHO~ZeCTBO (]3yI-IKUHI~ X ~ L n
TaKHX, tITO
x(J)(ti) = 0, i = 1,2 ..... I, jel i. (11)
H3 npHBC]ZeHHoro ]~oKa3aTcJibcrsa c~e~yev, ~rro ZoHcrarrra A(L~ (T, 1), k ; p, q)
coBna~aeT ( npH Bcex n, k, p, q, r) c TOqHO~ zoacvarrroa ~ Hcpase~c'rse T~na Map-
KOBa -- H~KOJ~czoro nJ~a noJ~m~o~oB Pn-I e ~rn..l, y]~O~eT~Ops~or~HX yCJ~OSH-
m~ (11).
1. Eypen•o6 B. H. 0 TOqtlHX nOCTO~lmt~x B ItcpaBeHCTBaX ~1~1 HOpM npoMexyTOqtlt~X npoH3BO~-
ntax aa KOVeqHOM mrrepna~e//Tp. MHAH CCCP. - 1980. - 156. - C. 22-29.
2. Ea6eH~o B. a)., KoqbaHo~ B. A., llu~yzo6 C. A. 0 nepascttcTtmx Tana KostMoroposa ~:t#t dpyHK-
tm~ 3a~mHm~x im zoxeqnost OTpC3Ke//Yzp. ~taT. )zyptl. --1995. --47, I~ I. -C. I05-I07.
3. 3oaeuntieo A. M. HepaBeHCTna C TOqilblMH [IO~FO2tiHbiMH .ffJl~l HopM HpOMe2KyTOMHblX IlpOH3BO~=
max//Mew,,~yHap. KOa~. ,r npoc'rpaHc'r~ TeopHa npa6~Mw, eHuR, tle.JltlHe~HHa
aHaJltl3", noceau~emtaa 90-.~e~m a~a~. C. M. Huxo~bcKoro: Tea. ~OK.~. (MocKBa, 27 anpe-
~a - 3 ~ 1995 r. ). - M . , 1995.- C. 131-132.
4. Typeulcu~ A.X. Teopus mrrepnoampoBamaa e 3a~aqax. -M~HcK: Bumettm. tuK., 1997. - T. 2. -
C. 25-27; 113-117.
Ho.qy~lCHO 21.08.96
ISSN 0041-6053. YKp. ~wan. ~.'~pn., 1999, m. 51,1~ 1
|