Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори
Відомий критерій Степанова диференційовності (апроксимативної диференційовності) дійсних функцій поширюється на відображення підмножии із Rn у банахові простори, що задовольняють умову гострота Ріффела, зокрема, рефлексивні банахові простори. Для банахових просторів, які не задовольняють умову гостр...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164294 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори / А.В. Бондар // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164294 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1642942020-02-10T01:28:10Z Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори Бондар, А.В. Статті Відомий критерій Степанова диференційовності (апроксимативної диференційовності) дійсних функцій поширюється на відображення підмножии із Rn у банахові простори, що задовольняють умову гострота Ріффела, зокрема, рефлексивні банахові простори. Для банахових просторів, які не задовольняють умову гостроти Ріффела, цей критерій не вірний. The well-known Stepanov criterion of the differentiability (approximate differentiability) of real functions is generalized to mappings of subsets of Rn n into Banach spaces satisfying the Rieffel sharpness condition, in particular, reflexive Banach spaces. For Banach spaces that do not satisfy the Rieffel sharpness condition, this criterion is not true. 1999 Article Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори / А.В. Бондар // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164294 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бондар, А.В. Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори Український математичний журнал |
| description |
Відомий критерій Степанова диференційовності (апроксимативної диференційовності) дійсних функцій поширюється на відображення підмножии із Rn у банахові простори, що задовольняють умову гострота Ріффела, зокрема, рефлексивні банахові простори. Для банахових просторів, які не задовольняють умову гостроти Ріффела, цей критерій не вірний. |
| format |
Article |
| author |
Бондар, А.В. |
| author_facet |
Бондар, А.В. |
| author_sort |
Бондар, А.В. |
| title |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| title_short |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| title_full |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| title_fullStr |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| title_full_unstemmed |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| title_sort |
про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164294 |
| citation_txt |
Про диференційовність відображень скінченновимірних областей у банахові простори / А.В. Бондар // Український математичний журнал. — 1999. — Т. 51, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bondarav prodiferencíjovnístʹvídobraženʹskínčennovimírnihoblastejubanahovíprostori |
| first_indexed |
2025-07-14T16:52:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:52:52Z |
| _version_ |
1837641994860494848 |
| fulltext |
Y~K 517.5
A. B. ~OH~aap (IH-T MaTeMaTHKH HAH YKpa/im, KHiB)
IIPO/~H| BII~OI;PAI~EI-Ib
C K I H q E H H O B H M I P H H X O I ; J I A C T E H
Y I;AHAXOBI HPOCTOPH*
The well-known Stepanov criterion of the differentiability (approximate differentiability) of real
functions is generalized to the maps of subsets of R" into Banach spaces satisfying the Rieffel
sharpness condition, in particular, the reflexive Banach spaces. For Banach spaces not satisfying the
Rieffel sharpness condition, this criterion is not true.
Bi/IOMHIt KpHTepi~l CTenanona/~Ht~pent(i~tOBHOeTi (anpoKcrlMaxnaHoi/IHqbepemfi~lonHoc'ri)/liflc~mx
qbyHKUilt rlotUHplO~q"bC~l Ila Bi/lo6pa~KenH~t ni/IMHO)Kml i3 R" y 6a,axotfi npocropH, mo 3a~onOdlbll- ,tl-
~OT~ yr.lOBy roeTpo-rn Pid~esla, 3OKpCt, la, peqba'leKCliB}ii 6anaxoni npoc'ropH. s 6anaxonnx rlpOCTO-
piB, aKi He aa/ionoJ~bHmOTb yMoBy rocTpOTn PiqbqbeJm, Uelt xp~rrepiit tle nipnHll.
MeTO~O pO6OTn e nomHpeHrta Ha mmaztoK Bi~o6pamem, y 6artaxoai npocTopn Kaa-
cr~qaoro KpHrepi~o ~nqbepeHuiiaO~HOCXi Ta anpo~ccnHarrmHOi ~nqbepem~i~oanocxi
B. B. C'renaHoaa. Hexpri~iam, HiCT~, tfiei aa~a,~i mmmmae yme 3 TOrO, mO He Z~na
ycix 6aHaxomtx npocropia E nimttit~e~a qbyHKttiz f : [a, b] --* E Hae 6y rn ~rtqbe-
peHI_Ii~OBHOIO Mal~)Ke BCIO/1H Ha [a, b], a .name d.us TaX, :a~ tie/IOBe/~eHO B [1], mo
3a~0BO~mHAmTS yMoey r o c r p o r a Piqbqbena [2]. K~ac TaxHx np0cT0piB nOCHT~ ma-
pormia i eKzmqae a ce6e yci r i~6epToe i Ta 6anaxoei peqbneKCHBHi npocropm
1. 0CH0SHHHH peaysmTaraMn pO6OTn e HacrynHi TeOpeMH.
TeopeHa 1. Hexa~t G ~ ~iOrpuma ~tno~una ~ R n, X ~ Oo~i.abna niO~mo~una
e G, E ~ 6aHaxi~ npocmip, u~o saDoaonbrt~e y~to~y zocmpomu Pidpdpe.aa, i f : G
E ~ ~umipne oiOo6pa,vcenn,% O.a.• .~KOZO ~uroto'emt,c.~ yztooa
li---m I I f ( x ) - f (a ) l l < oo V a ~ X . (~)
x-.->a IIx-- all
Toni ~iSo@amenn~ f audpepen~i~oane ataFz;Ke ~ Ko~,ia mo~t4i ~mo.~unu X.
Bm, iory, too6 E aa.aoBom, Hano yMoay roc'rpoTn Piqbqbena, B 'reopeHi 1 onycTrn'rl
He MO)KHa, JtK tie Bl.lrl.rlHBar i3 HacTyrlHOi TeopeMH.
T e o p e n a 2. Hexat~ Qn= [0, 1 ] x . . . x [ 0 , 1]- -n-euz t ipnuaKy68 R n, i E - -
5anaxi8 npocmip. /~n~ mozo u~od aosi.abne ,~intuit4e~e 8iaoSpa~enn~ f : Qn .._> E
6)'no Ouqbepen~iao~uu~t ~ t a ~ e crpisb na Q n , neo6xiOno i Oocmamnbo, u~o6 E
saOoeonbn:tno y~to~y eocmpomu Pidpqbena.
HacTyrlHa reopeMa/Iae Kprrrepiit anpOKCriHaTitanoi/IHdpepeHtliltOBHOCTi.
TeopeMa 3. Hexaa X ~ ousttipna niO~mo~utta o R n, E ~ 6anaxi~ npocmip,
u4o aaOoeo,abnne yatooy zocmpomu Pidpqbe,aa, i f : X--~ E ~ ouztipne oiOo6pa.~eHn.~,
ap li-m ] l f ( x ) - f (a)~ < ** V a ~ X . (2)
�9 - . a I I x - a l l
ToSi f anporcu~tamuono Oudpepen~irtoone ~taO.,vce crp i~ na X.
/ I i TCOpCMH 6y~yr~/IOBe/~eHi y nyHKTaX 4 -- 6 n icna TOFO, ~IK y rlyHKTaX 2 i 3
6y/Iyr~ aaae~eHi oauaqeHa~t Ta Z~OBe~eni aeo6xi~ai ~onoMoa~ai peayabTaxa.
* BHKOrlaHa rlpH qac'mosilt niffrp.Mui qboway INTAS, FDaHT 94-" 1474.
�9 A. B. BOH~AP, 1999
ISSN 0041-6053. Yrp. ,uam. ~.'vpn., 1999, m. 51, lq g I
4 A.B. BOH/],AP
2. CaMsOnOM an(x , r) (a6o n p o e r o B(x , r)) , z o ~ a poa~ipHica-S n e BHK~mKae
cyMrrisy, no3Haqar si~Kprrry KyJno npocTopy R n 3 t~eHxtmM y TOqtti X i pa~iy-
coM r > 0, a CaMSOZOM m e s n m n - M i p y Yle6era B R n.
HexaR X ~ srn~ipHa ni~MHOaCrma n R n i x r X. FpaHHtta
P(X, X) " lira meSn[ X [q B(x, r) ]
r-~o m e s n [ B ( x , r ) ] '
KOJ-IH BOHa icHyr Ha3HBaeTbC$I mi~bHicrm MHOH(HHH X S TOqllj X. TOqKH X e X,
RJIJt RKHX P(X, X) = 1, Ha3HBalOTBCJI TOtlKRMH miYmHOCTi MHOXKHHH X. 3a Tcope-
MOIO niX) TOqKH mbmHoeTi MaPtme yci TOHZH BHMipHoI MHOmmm X C R n e ii TOa-
K a t ~ m i ~ H o c r i [3, 4].
ToqKa y TOIIOJIOFiqHoro npocTopy Y Ha3rlBaffrbc~l aHpOKCHblaTHBHO~) rpaHH-
t~e~ 8rn~ipHoi qbyHKuii f : X -~ Y, ~ztUO ~ a ~ o s i ~ H o r O OKOJIy V C Y TOqKH y
miYmHiCTS MHOmm~H X \ f - I (V) B TOHtti X /~opiBHIOr HyYllO [3, C. 175]. g K m o npoc-
Tip Y xaycz~opqboBH~, TO icHyr He 6iYmtue HDK O~HH e~eMerrr y e Y, m o 3aZIoBoJm-
HJ~r RIO yMoBy. ANpOKCHMaTHBHy rpaHHl~IO IIpHItHJITO rlo3HatlaTH CHMBOIIOM
ap li-m f ( x ) . Y BHrtaRKy, KOJIH Y= R 1 r po3tuHpeHolo RiltcHoIo rlp~Molo, nn3Haaa-
Z-'~X
e'rbc~l aIlpOKCHMaTHBHa BepXHJt rpaHH/Dt lira f ( x ) , JIK TOHHa HHk~HJt rpaHb MHO-
x - ~ a
~KHHH TaKHX ~il!tCHHX qHCeJI f~ IIl[O tL~iYmHicrb MHO)KHHH
[ R n \ X ] U { x e X : / ( x ) > t }
B TOqt~i a piBHa HyYieBi.
l'IpH ROCYli/DKCHHi Hpo6,rlcM RHd~peHI~iI1OBHOCTi Ba,~KYlHBr 3HaqCHHJt Mac ~Be~eHe
B. B. CTeIIaHOBHM [5] IIOHRTT$I aHpOKCHMaTHBH01 IIoxi]IH01, a6o allpOKCHMaTHBH0rO
~H~bepemaiazT.
Hexat~ f : X - ~ E - - BtlMipHe Bi~o6paY&eHHJt nHMipaoi MHO~(HHH X C R n Y Hop-
~OBaHHIt npoeTip E. Fo~opa-rs, m o f anpozcHMaTHnHO ~aaqbepeHt~iiao~He ~ TOat~i
a e X, J~ctt~o icHye TaKe ~iniltHe ai~o6pameHHa L: R n -~ E, ~ mcoro
ap li"m II f ( x ) - f ( a ) - L(x - a)II = 0. (3)
x -..> a I I x - a U
HK~O TaKe L icHyr TO SOHO CZmHe [3, c. 230] i no3Haqaersca c a ~ o ~ o ~ a p f ( a ) . 3
BHK0pHCTaHHJ~I ~ ipa mes 1 i s ianos i~Horo IIOHaTI'a anpOKCI4MaTHBHOi rpaHaui an-
potr ttacmunni noxiOni a p D i f ( a ) , i = 1, 2 . . . . . n, naaaaqamT~ca pinHic~o
a p D i f ( a ) = ap li-"m f ( a l . . . . . a i - ~' ai + h'ai + 1 ..... an) - f ( a ) (4)
b ~ a h
aK eae~eHTH HOp~OBaHoro npoe ropy E.
3 a y e a ~ e n n # 1. Y BrlrlaRKy n -- t tti IIOHJtTT~I 3B' R3aHi npOCTHM cnins i /~omeH-
H~n. A came, aiHiRHrat oneparop a p f ( a ) : R 1 --> E air za npa~HZOM
a p f ' ( a ) h = h a p D l f ( a ) V h r R 1.
Tota l ~oerrrs aac ro , a a ~ o ~ a a z n o ~ z r o a o ~ , a p f ' ( a ) i a p D l f ( a ) rrpH n = 1 He
pozpizHmOTb.
~o~ene~o Tsepn~KeHH~, m~i c y r r ~ o za~e~aT~ ~i~ y~O~H roeTpOT~ Piqbqbe~aa,
Hara~asmH r t~e nOH~Tr~. I ~ O X H H a A 6aHaxo~oro npocTopy E Ha3H-
~acrsc~ rocTpo~ [2, r 157], Ko~m/~na RonismHoro e > 0 icHyr r x(E) e A,
ISSN 0041-6053. Ysp. ~mm. ~'y. lm., 1999, m. 51, N e I
FIPO/~HOEPEHL[II~OBHICTb BI~OBPA)KEHb CKIHHEHHOBHMIPHHX OBJIACTEI~ ... 5
He HaJIe~KHT~ dO 3aMKHeHOi oIIyKJlOi O~OJIOHKH MHO~HHH A \B (x(E), E). By-
~eMo rosopHTH, mO 6aHaxis npocrip E 3a~osoJmHae y~osy rocTpoT~ Pidp~e~a, KO-
YIH ~0Bi.r~Ha 06Me~,<CHa IIi/~MHO~XI4Ha A C E e r o c r p o ~ .
J I e ~ a 1. Hexaz~ K ~ :co~mar, mHa ni~mo~uHa 8i~cHoi" np~toi" R 1, E ~ dana-
xio npocmip, 8z~ ~r, oeo ouKonyembc,~ y~toe~ eocmpomu Pi~c~ena, i f : K --> E - - oi-
O o 6 p a ~ e ~ , u~o ~a0ooonbH~te Ha K y~woy Jlinud~a s ~oncmaHmo~o L = L( f ) .
ToSi anpwccu~amuona nox i~a a p f ' ( x ) ic~,e ~taz~ace o Ko~i~ m o ~ i x e K.
fl[oseSeHmq. I'[03HaqHMO
a = r r f i n { x e R l : x c K } , b = m a x { x c R l : x e K } .
Toni K C [a, b], d, b e K. l'Ipo/IoB:~f-tlMO Bi~o6pa~KCHH~ f : K-->E 1~o Bi~o6pa:KCH-
Ha g : [a, b] --* E, BH~HaqHBmH ~oro aqbiH~f~M Ha KOaCHOMy iHTepBa~i cy~i~KHOCTi
(a k, b k) C [a, b] ~o ~SOZCHH~ K i cnisna~a~qHM ~ f s TOqKaX a~, b k, k = 1,
2 . . . . . Toni g e ~ n m i ~ e n ~ si~o6pa~KeHH~M Bi~pi~Ka [a, b] s E s T ie~ ~ ~O~-
CTaHTO~ J'Iinmiua L ( g ) = L ( f ) = L . 3a TeopcMo}o 1 3 [1] noxi~Ha g ' (a) i c H y e / I ~
~ a f l ~ e y c i x x e [a, b]. OcKi~KH g" Ma~Ke cKpias Ha (a, b) cnisna~ae a rpaHa-
LICIO IIOCYIi~OBHOCTi { gn }:= 1 HcIIepCpBHHX qbyHKIIil~ gn (X) = n[ g(x + 11 n) -- g(x) ],
TO dpyHKIZja X -->g'(X) r E e BHMipHo~ Ha si~pi~Ky [a, b] [3, c. 86], a TO~y B~Mip-
HOW 6y~e i ~eaO~HHa Q ycix THX TOqOK X e K, B aK~X icHye g'(x).
Hcxafl x 0 ~ To~Ka mi~HOCTi ~HOaCHHH Q. Toni ~ x ~OBi~Horo e > 0 3Ha~-
~CT~C~ TaKc r I (e) > 0, mo
m e s l [ Q ~ ( x o - r , xo+r)] > 2 ( 1 - ~ ) r V r < rl(e). (5)
13 /~H~DepeHui~OBHOCTi g B TOqUi X 0
r2(e) < r~ (e), npH ~Ir
x - x 0
~JLq Bcix TaKHX X e [a, b], mO Ix-x01 < r2(E). IIOaHaqHMO
BHrIJIHBae, I/~0 3Ha~r TaKe ~O~aTHr
(6)
I o
OCKio'I~KH g ciliBiia/lae 3 f Ha K, TO i3 (6) BHrl01tIBar (X 0 -- r, x 0 + r) n K c A (E)
~sm r < r2(e), a ToMy, epaxoey~qH (5), o~epxcycMo oUiHKy
mes,[(xo-r, xo _< 2 r.
i3 ~nr 3 ypaxyBaHH~M ~08i~HocTi e > O~ sHnzmBae, mo qbyHKUi~ f Mae anpoKcH-
MaT~mm/noxi~ apf'(xo)=g'(x O) BTOqI~i X 0. OCKiYlbKH m e s I [ K \ Q ] = 0, TO
t~M ~OBe~eHO, m o f ~ar anpOKCHMaTHnHy n o x i ~ I y Mafl~o CKpi3b Ha K. J-'IcMy 1
~OBC~CHO.
JleMa 2. Hexaa K- -~o~maxm o Ir E --6aHaMo npocmip, u4o saaooo~b~.~e
y~wey zocmpomu Piqb~e/ta, i f : K ---> E ~ oiOo6paacen~, u4o saSooo/~bn.~e y~woy
flinuai~ca. ToOi f ~lae anpwccu~tamueM ~acmuHHi noxiani ~ t a ~ e o icoacnia mo~:4i
a c K .
~06e~HH~ ~OBC/IeHHa tliei .rleMH ~r locepe / l~ ibo SHn~asae i3 ozHa~elma qac-
T m m ~ noxi/l~x Ta .,,'zczm, z 1.
1SSN 004J -6053. YKp. ~tam. ~.'vpH., ] 999, m. 51. bP ]
6 A.B. EOH]IAP
3. HacTynHi ]IBi JICbIH cnpaBC~JII4Bi ]IJI~ ]~OBiJlbHOrO HopMoBaHOFO npocTopy i Hr
3ane~KaT~ Bi~ yMOBH FOCTpOTH Piqbqbe~a. fIeMy 3 6y/ICMO ~0BO~HTH 3 BHKOpHCTaH-
H~IM HaYlc;~G'-IHlvi qHHOM MO]IHqbiKOBaHOi CXelViH Ca.Kca [4].
J'Ie~ia 3. Hexa~ K m ~o~marm 6 I~, E ~ nop~to6anu~ npocmip, i f : K--->
--> E - - make nenepepone 6iOo6pamenu.% a.~a .~rozo ~taa.vce 8 Ko.vr moqtci a r K
icnylomb anpoKcu~tamu6ni ~acmunni noJdOni ap Dif(a), i = 1, 2 . . . . . n, a oci oi~o-
6pa.xenna Di f : a-->Dif(a ), au3nar ~ta~,ce c~pixo ~a K, npoOoamylombc.~ 0o
nenepeponux oi~oSpa~enb G i : K --> E, 6u3naqenux na K. ~,aJz Oooi~bnoi" mo~tr.u a
~ K ~u3t.taqu~to ninianua onepamop L ( a ) : R n --> E pia~ticm~o
t!
L(a)h = ~ t~Gi(a), h = ( h l , h 2 . . . . . hn)~ R n.
i=1
ToOi ~taa.~e o ~oacnia mo~tti a e K aiOo6pa:~ennn f ~tae anpotccumamuany no-
MOny ap f ' (a )=L(a) .
,RoaeOeuu~ 1. ~oBe~ennz 6yz~eMO npoBo~rrrvt MeTOaOM MaTeMaT~qHOi in~yKttii
aa n. ~jIJ/ n = I, ar i~ao ia 3ayBa~KeHHJtM I, TBep/D~eHH~I .rlCMtt 3 6eanocepezIrmo BrI-
nmmae a ~ yMOBH..l-lpanycTa~O, ~O ~eMa 3 aipHa/In~ n = p - 1, p >_ 2, i ~OBe~eMo,
UaO BOHa aipHa aria n = p.
2~ns TO,OK X e R n npnaMeMO noaHaqeHHZ X = (X', Xn), Re
x" = (x 1 ..... Xn_t)~ R n- l , xn~ R 1.
~aJ~ /XOBia~HOrO a = (a ' , a n) ~ K BaaHaql~O aini~Hn~ onepaTop l(a', an):
R n- z --~ E p ian ic r~
n - I
l (a' ,an)h = ~hiGi(a ' ,a , , ) , h = ( h l , h 2 . . . . . hn-1)~ R n-1-
i=1
3a npanymeHHSM in~yr~uii ~ a s qbiKc0BaHoro a n e K n 1<aPt~e B KO:h'Ca-li~ (Bi~ocHo
t, iip~ mesn_l)TOqtti a ' KoMnaKry
i f (an ) = { a ' e R " - ~ : ( a ' , a , ) e K}
onepaTop l(a', a n) a6iraer~cJ~ 3 artpoKcaMaa~asaom noxi~auom fa'(a') Bi~o6pa-
7,~eHH~i
fa. : K'(an) "-~ E, x ' - -~f(x; a n)
B TOqtti a ' .
2. Hexall a = ( a', an) e K, x = ( x', x n) e K, npHqoMy ( X', a n) e K. BBe~eMo
II03Ha~eHHS[
A' (a :an ;x" ) = {[f(x',a n) - f(a' ,an) - l(a' ,an)(X'-a')~.
~ z ~osim, HHX (a' ,a n) ~ K i e, r > 0 CHmOZO~ A(a', an; g, r) noana~a~o ~ao-
a~my ycix TaKHX TOqOK X* ~ Bn"l(a ", r), lXJta Jmax (x; a n) e K i BHKOHy~"ITaC$1
Hepisaic'r~
<-
~0Be/IeMO, II~O/LrI~l ]IoBi~bHHX ~, ~ > 0 3Hafl~IyT~r rt > 0 i T a r ~ a KOMIIaKT
ISSN 0041-6053. YKp. ~tam. ~.'vpn., 1999, m. 5 J, N ~ 1
FIPO ,/~IOEPEHI2II;IOBHICTb BI,/],OBPA~K.EHB CKIHqEHHOBHMIPHHX OBJ'IACTEI;t ... 7
X C K , mo m e s n ( K \ X ) < 5, i n, na noni.m, HHX (a; an) E X npH r < r I BrlKO-
Hyerbc~ nepiBHiC'~
mesn_lA(a' , an; s r) > (1 - ~ ) r n-l. (7)
~II~1 m = 1, 2 , ... IIoaHaqHM0
X m = { (a ' , an )E K: m e S n _ l A ( a ' , a n ; s n-l, r < l / m } .
YlerKo ncpesipHT., m0 K 0 ~ l a i3 MHO~HH X m �9 3aMKHeHOIO, a 0T~Ke, KOMIIaKTHOIO.
2Kmo
( a ; a n ) E g \ [ ~ = l X m ] - m=l~(K'Xm)'
TO ae o3Haqae, mo ~aJLq ~aOBi~mHOrO m icHye TaKe r m < 1 / m, mo
mesn_lA(a; an; e, rm) >_ ( 1 - ~ ) r m n - l .
3Bi/~CH BHII.rlHBae, mO T0qKa a" He Mo~Ke 6yTn TOHKOIO I/.li.rlbHOCTi ~.rl~I MHO~KHHH
A(a', an; s 1 )~ a ToMy 0ncpaTop l (a; a n) HC MO~Ke 6yTH anpoKcm~aTHSHOIO noxi~-
HOIO/LrlJl fa n B I~il~ TOql~i. 3a npHnymeHHJ~M iH/~yKl~ii MHO~rlHa Bcix TaKHX TOq0K
Mac piBHy Hy~e~ai (n - 1)-Mipy Ha KO~KHOMy nepepi3i a n = const, a TOMy 3a Teope-
MO]O ~y6iHi
meSn[ f i ( K \ X m ) ] =0 .
Lm= 1 J
MH0~KHHH K \ X m yTB0pSg~Tb cna~Hy 3a BKJIIOqeHHJIM nocni~oBHiCTb, a TOMy
3Hal~e'rbC~lTaKr m, IHo mCSn(K\Xra ) < 8 . HO3HaqHMO X = X m i r I = 1 /m. Toni
TalKItM qH~rIOM BH3Ha~eHi X i r I 3a~OBOJIbH.qIOTb yci yMOBH TBep~a~KeHHa, OaO ~OBO-
~rrr~c~.
3. ~Jl~l TOtlKH a = (a", an) e K i TaKHX TOqOK X = ( X', Xn) e K, mo (a; x n) e
K, BBe~eMO rlo3HaqeHI-IJl
An(a',an;xn) = II:(a', f ( a ' , a n ) - Gn(a',a,,)(x n -a.)ll.
]],nJl (a; an) e X CrlMBOnOM B(a" an; E, r) II03HaqHM0 MIt0~KHHy Bcix TaKHX X n e
B l(.an, r), ~o (a; x n) ~ K i
An(a" an;Xn) < s
~ose~xeMo, mo ~ana s 5 > 0 3Hal~y'rbcR ~o~aTHe r 2 < r t i Ta.KH~ KOMrlaKT Y C
C X , tUo m e s n ( X \ Y ) < 5 i ~ a ~ a o s i m , HHX (a ' ,an)e Y rrpH r < r 2 ~HKOHyen,ca
nepisHiC'm
mes~B(a ' ,a , ; s > ( 1 - 5 ) r . (8)
HJL~ m = 1, 2 . . . . H e x ~ Ym e UHOZC~HOIO TaKHX TO,OK ( a ; a,,) e X, ~an~ aKHX
HepisHiCTb
m e S l B ( a ; a,/i s r) _> (1 - 8 ) r
nHKOHyen, C~ /U[~ ecix r < 1 /m. To~ti Mnoxr.Hsa Y= KoMnaxTni, a MaoacaHa
X \ [ U : = I Y m ] ~ae 1-~ipy nylrb Ha KOXHOMy nepepizi a ' = const , a ToMy
l (to\ r . ) ] =0. X \ ]'. .a y.oc o.Hi i,
OT~e, ~HaltaeT~e~ TaKe m, t~o mesn(X\Ym) < ft. rlOZHaqH~O Y = Ym i r 2 =
-- min { r], 1 / m }. T s e p ~ e H H ~ nyrmTy 3/]oee~eHe.
ISSN 0041-605& Yxp. J~am. a~ypn,, 1999, m. $1. !~ 1
8 A.B. BOHII~P
4. ]Lr~t a, x e K no3HaqHMO
A (a, x) = ~ f ( x ) - f ( a ) - L ( a ) ( x - a) ~.
Ocxim~r,H ai~oo6pa~cHua a .-> l(a) Ha KOMnaKTi K HenepcpBHc, a OT~KC, i piBnO-
~ipHo HcnepepBHC, TO 3HaRa~r~Ca TaKe ~O~aTHe r 0 < r 2 , m o [[ l (a) - l ( b ) [[ < ~, ~K
TL~r,H [[ a - b [[ < r 0. HcxaR a = (a ' , an ) ~ ~IoBi.~Ha (a.rle qbirconaHa) TOqKa MHO-
Y. Crt~moJioM Z(e , r) no3aam~o MHO~,HHy Bcix TaKHx TOqOZ (X', X n) E Y,
mO
a) xne B(a ' ,an;g , r ) ; 6) x" e A ( a ' , x n ; s , r ) .
I3 (7), (8) Ta TC0peMtt ~y6irli sHruarmae, mo rlpH r< r 0
mcsnZ(e, r) _> ( I - 8)2 r n. (9)
]LrlJt ZO~mOi T0qKH (X~ Xn) e Z(e , r) npH r < r 0 MaeM0
= I I / ( = ' , f(a:a n) - L(a)(=-o)li =
= Ilf(x' ,Xn) - f (a ' ,Xn) - l (a ' ,Xn)(X'-a" ) +
+ f (a ' , x n) - f (a ' , a n) - apDkf(a' , an)(X n - a n) +
(1o)
+ [ l ( a ' , x n) - t (a ' ,an) ] (~ ' -a ' ) l I <
< A'(a ' , Xn; x ') + An(a', an; xn) + II l(a', Xn) - - l(a', an)IIII x' - a" II -<
-< d x ' - a'U + l=n - an[ + e ~ x ' - a' u -< 3ellx-al[ .
Ia (9) xa (10) pO6HMO BHCHOBOK, mo AJaz aoBiJ~uoro e > 0 TOqKa a r TOqKO~
I~iJIbH0CTi AYIJI r4nO~KHara THX T0q0K X "- (X; Xn), AJLq Y, KrLX SrlKOny~rbCa nepisHierb
A(a, x) < 3e,
I I x - a l l -
a tte oaHaqar mo f Mac B TOqtti a anpoKcHMaTHBHy noxi~Hy a p f ' ( a ) = L(a) .
Ocz i~Kn a ~ Jxoainsaa TOqZa MIIO://JdHH Y, no6y~toBaHoi ~na ~tosira~aoro 5 > 0
TaK, mO BHKOHyemcz HepiBHier~ mCSn(K \ Y) < 28, TO 3Biacn Bnnmmar ~ o f Mac
anpoKcmnaTHBHy noxiAHy ap f ' ( a ) = L ( a ) MaIl~e B KO;KHill TOmfi a e K. JIeMy 3
3a~ocoByloqu T i~Ku mo ~o~e~e~y ae~y, o ~ p ~ y r Hac~nHua, 6 i ~ t u aa-
r a ~ m ~ ~aa cenapa6e:mHHX Hop~o~aHHX npocT0piB, pcay~a~TaT.
TeopeMa 4. Hexa~ X w~u~t ipna n i~mo~una o R n, E ~ c e n a p a 6 e ~ n u ~
nop~w~anua npocmip i f : X --~ E ~ mare eu~dpne eiSo6paacennn, 8ha ~#coeo ~ac-
munni anporcu~u~mu~ni noxiSni icny~omb ~taa#ce c r p i ~ Ha X. ToSi f anporcu~uz-
mu~no ~udpepen~i~o~ne ~a~vce ~ ro#cnitl m o ~ i ~tnoa~unu X.
fl[o~e~en~.,~. Boa o6Me~enna ~araYmaocTi ~0Z~Ha y AoneAemai rrpHnyCTHTH, mo
~mo~mma X o6~c~cHa i, OT~KC, blae CKilttlCI-IHy n-Mipy J'Ie6era. d'IerKo rlCp~Kona-
r a c a y ToMy, mO aci antmxem~arrmni noxi#~i Dif r aHMiprlrlbm claymrdlj~lMrl Ha X.
3a a~ope~o~a Jlyaina, nipnom ~na a~o6pa~eHS y eenapa6eJmHi ~erpmmi npocropa
[3, e. 89], h a s aoniJr~Horo g > 0 analtaea~ca raXHlt z o ~ n a z r K C X, tUo
rues n [ X \ K ] < g, i zpi~ u~oro, n~o6pa~eHHa f i aei ltoro anpozem~aXrmHi qac-
Tmmi n o x i ~ nenepcpalti Ha K. To/Ii aa acMom 3 si~o6pa~cmI~ f anpozcn~aTHa-
ISSN 0041-6053. Yrp. ~,am. :~. Im., 1999, m. 51,1W I
FIPO/~IOEPEHI2II;IOBHICTb BI~OBPA~,KEHB CKIHqEHHOBHMIPHHX OBJIACTEI;t ... 9
HO RH(~HHi~OBHC Mal~3Ke n ycix TOHKaX KOMIIaKTy K. 3Ba3KaIOHH Ha ~oBiJII, HiCTb
> 0, rlpHXOgHMO ~O BHCHOBKy, II~O RHM CaMHM TCOpcMy 4 ~OBegCHO.
J I e ~ a 4. Hexa~ G~o iO~puma ~mo~,una o R n, X ~ o u ~ d p ~ ni~t~o~u~a
G, E ~ nop~w~anu~ npocmip i f : G --> E ~ oiDo@a~e~,o~, 0~,~ ,~r, oeo ic~y~omb
r 0 > 0 i L < ~ o max/,u~o
a) B(a , r o ) C G V a ~ X ;
6) ~ f (x) - f (a)[I <- Ll lx-aU V a e X V x e B(a , r ) .
ToOi ~ucu4o mo~xa a e X e mo~tcoto u4inbnocmi ~.~ ~mo~.cunu X i f anporcu~ta-
mueno ~gu~epen.iaoone y t~ia mop,i, m o f Oudpepen, iao~ne y m o ~ i a.
~7[o~eOentt.~. Hexa/l a ~ TaKa TO~nca mi0mHOCTi MaOZCmm X, n ZKi~ f anpo-
KCI4MaTHBHO ~cl3epemli~lonHe. ~ a ~ROBi0mHOrO s 0 < e < 1, noznaqrn~o
a ( e ) = { x e D : l l f ( x ) - f ( a ) - a P f ' ( a ) ( x - a ) l l > e } �9
Toni
lira meSn[ A(8) [7 B(a, r) ] = O,
r -'~ 0 mesn [ B(a, r) ]
a To~y 3Ha~neT~ca TaKe r I (~), 0 < r I (r < r o, mo
rues n [ A(8) N B(a, r) ] < ~nmesn [ B(a, r) ] V r < r! (~). (11)
OCKi~SKH a - - TOqKa mi~bH0CTi MHO~KHHH X, TO aHa~eT~ca TaKe ~O~aTHe r (~) <
< r I (8), m0
mCsn[B(a ,r )NX ] > Enmesn[B(a,r)] V r < r ( s (12)
Hexalt x ~ B(a , r (~) ) i r=[[x-a[[ . Toni B ( x , ~ r ) C G i mesn[B(x,~r)] =
= enmesn[B(a, r ) ] , a TOMy ia (11) i (12) BHrUlHBae, mo 3Ha~/ICTbCSI TOqKa Z E
e [ B(x, er) \ A(~) ] N X . BpaxoByloqH, mo Z e X, MaeMO
I[ f(X)-- f ( a ) - ap f ' ( x ) ( x - a)II <
< U f ( x ) - f (z ) II + II f ( z ) - / ( a ) - ap f ' ( a ) ( z - a) ll + Hap f ' ( a ) ( z - x)[[ <
< L l l x - zH + e l l z - a l l + I}apf'(a)llllz-xl[ <
+ 1 + § Hapf'(a)[j lx-all.
I3 t~iei HepissocTi i ~oni~bH0CTi ~ > 0 BHn~HBar m0 anpoKcaMaTHnHa noxi~Ha
a p i f ( a ) e sacnpan/Ii anHqa~Holo noxi~HO~ (3a q ~ c m e ) Bi~06pa~KeSSa f n T O n i a.
JIeMy 4 ~OSe~0HO.
4. }7{o~eaeuuJ meope~u 1. K a ~ m = 1, 2 . . . . no~a,ca'~O
A m = { a c G : Uf(x ) - f (a ) l l<ml lx -a[ [ V x e B ( a , l / m ) } .
~onc/~e~o, mo ~ o a m n a A m aa~KneHa V m = 1, 2 . . . . . ~[]jRcHo, Hoxa~ Xp~ A m i
Xp--> Xoe R n npn p...> oo. Hcxa~ x e B(xo, l lm) . To/~inyi2/iosiJl~Horo e > 0
3,'~al~e'r'~a TaKe PO, mo
II - 0ll < ~ xo c B(xp" l /m) ' x c B(xp, 1/m) V p > Po.
l&qN O041.6053. Ygp. ~m. " ..~ylm.,1999. m. $1,1~ 1
10 A.B. SOH~AP
3BiACH
i, OT~'i~r
TO'TO X 0 ~ Am.
llf(x)- f(xo)ll ~ Hf(~)- f(x~)[l + [l:(x.)- f(xo)ll
< m( l lx-x . I I + I lx.-x0[[) _< mllx- p[ I +
IIf(x)- f(xo)ll <= mUx- x011,
l-IollaMo A m y s u r ~ i O6'r HOCJIiAOBHOCTi KoMnaKTiB Amq, q = 1, 2 . . . . .
~iaMe't-pH Hm4x He nepesHmTIOTb 1 / m, i 3ayna~HMo, mo O6Me3KeHHH si~o6pazceH-
I-IS[ f Ha Amq r JIiHHIiI~r i3 KOHCTaHTOIO m. 3a nCM010 2 Bi~o6pa3KCHHH f[ Am q
MaC qacrnnHi aIIpOKCHMaTh~Hi noxi/mi M~mc cKpi3b Ha A mq"
Hexa~ Emq~ 3aMKHeHa JIiHifIHa O60~OHKa MHO~CJmH f(Amq ) y npocTopi E.
OCKiJIbKH Bi~o6pa.2KeHHH f] Amq HCIICpCpBHr TO MHO~ma f(Amq) ccnapa6cJmHa,
a TOMy ccnapa6cabHm~ i ni~npocTip Emq~ E. 3a y~Kc ~OSCaCH0~O TCOI~MOIO 4 ai~0-
~pa.)KCHHH
f l A~ : Amq-'> EmqC E
aIIpOKCHMaTHBHO ]i~qbepeaI~i~o~He Magl~e cKpi3b Ha Amq. l ' I o ~ a ~ o
rmq = mJn{ I/m,p(Amq, aG) },
Ar p(Amq, ~G) - - Bi~cram, ni/x KoMHaKTy A m q~ G /~o MOY&i BiAKpHTOi MHOZCZ.mH
r
G. ToM B(a, rm~) C G VacAmq i ~f(x)-f(a)[[<m~x-al[ VxeB(a , rmq),
T0~TO BHKOHyIOTbCH yMOBH a i 6 neMH 4. 3a ttie~o nCMO~O a KOZr TOUI.Ii mi.rIbHo~ri
KOMIlazTy Amq, S HKifl f aIIpOKCtIMaTHBHO i~H(]3r162 f 6yRr RI'IC13r
tIOBHHM. Orxe , f RH~epeHUi~toeHe ~at t~e CKpi3b Ha Amq, i OCKiYibKH i3 (1) BH-
ILHHBar
0 A,,~X,
m, q ffi l
TO RHM ca,~,~ "rr 1 ,~OBr162
5. ~oaeOenna meope~u 2. Hocmamnicmb y ~itt Tr 6r BH-
nJmBae i3 yme ,~ose~eHoi ToOp0MH 1. ~0B0/IeM0 neo5xianicmb. HpltnyCTHMO, ulo
6aHaXiB IIpOCTip E He 3a~oBO.rlbH~r yMOBy ro~rpOTtl PiqbqbeJxa. Toni 3a Tr 1
[1] icHye ainmit~caa qb3mmfia r : [0, I ] --> E, axa Hc Mae noxi~Hoi S Xo~Hitt TOqRi
si~pisHa [0, 1]. BH3HaqI4t40 BiRoSpa3KCHHH f : Qn ._> E cniBBiRHOIIICHH.qM
f(x~, x2 ..... Xn) = ~p(xO~(x2)...~p(x.).
To~ f, o~esn~mo, ~imuiuese i He Mac n o x i ~ o i s mo/mi~ Toqui Ky6a Qn. Teope-
ray 2 Aose,~eno.
6. ,~oeeOeuua meope~u 3. BiAnomem-m
~ a , b ) = mesn[ B(a'~a-b~)nB(b']a-b~) ]
|a-b['
r iHeapiaHTm~ ahmocao iaOMeTpitt npocTopy Rn i MHOmem, Ha CXaZl~tl, a ToMy
X(a, b) npm~tMar O~He i "re zr aHa,~etm~ X ~ ecix nap "ro,~oH a, b e R n, a ~ b [3].
I$SN 0041-6053, Y~p. ~am. aty. pn., 1999, m. 51. N ~ 1
1-1PO ~HOEPEHI.[II~IOBHICTb BI/2OBPA~KEHb CKIHqEHHOBHMIPHHX OBJIACTE~ ... 11
~ I ~ a e X , m = 1, 2 . . . . i r > 0 HO3HaqHMO
A(a,r,m) = [ ( R n \ X ) U { x c X :
B m = { a ~ X : mesnA(a,r,m)<~,r~12 V r < l / m } .
Ko~I~a i3 MHO3KHH Bin, aK .aerKo rlepeBiprlTrl, r SHMipuoIO i X = U ~ = 1 Bin" Hexa.q
a, b e B m i r=lla-bll< lira. ToHi
rues n [ A(a, r, m) U A(b, r, m) ] < ~r n = mesn [ B(a, r) A B(b, r) ],
a TOMy 3Ha.~.~e'rbc~ TOqKa
Z e [ B(a, r) A B(b, r) ] \ [ A(a, r, m) U A(b, r, m) ].
3BiHcr! OTpm~yeMo
IIf(a)- f(b)ll <-Uf(a)-f(z)l[ + IIf(z)- f(b)ll <-- 2mlla-bll.
Ho~aMo Tenep KO3KHy ~HOY/d~Hy i3 MHO~KHH B m y Br l r~Zl i o6'e~HaHHJt noc~i~OB-
HOCTi mIMipHHX MI~OZ<mI Bna c, k = 1, 2 . . . . . ~iaMeTp~I aKrIX ~errtui sa 1 / m , i aayBa-
:;KI4MO, mo OOMe~KeHHJt f rm KO:;KHy i3 MHO:~d~IH B,,,k e .rlirlulil/eBh'M.
~ HoBiY~,HOFO 8 > 0 3rlatt/~eTr~ca TaKHI~ KOMIIaKT Kink C. Bmk , II20
mesn ( B ~ \ K,,~) < 8. 3 a ~eMom 2 ~ a ~ K e B KO:,KHiit TOq/2i a E Kink Bi~o6pameH-
Ha f MaC ,~acrHHHi anpOKCHMaTHnHi noxi~Hi D i f (a) . Hexa~ E,, k ~ 3aMKHeHa a i -
HiitHa 06OZOHKa MHO~HH f(Kmk ) y npocTopi E. OcKi~bKr~ Bi~o6pa~eHHa f r
~irlmil~eBrlM Ha Kink, TO lvrnO:~KnHa f (K , nk) r cerlapa6e.rmHOlO, a ToMy r cerlapa-
6em, miM i nizmpocTip E, nt C E. I3 y~Ke/~OBe/~eHOi TcOpeMH 4 BI, n-I.;DIBar IJ2o Bi/~o-
~paY~eHHJ/
f [ ~c.~ : K.~--,E.~ c g
arlpOKCHMaTHBHO /~HqbepeHI~iltoBae M a l ~ e cKpi3b Ha Km~. 3sa~gamqH Ha HOBiIIb-
HiCTb 8 > 0, npHxo~am~o do BHCHOBKy, KIO tram ca~HM TeopeMy 3 nOBHiCTm
/~OBC/~eHo.
1. EonOapb A. B. 0/mqbqbepeHtma.m,ULqX cno~le'raax OTo6pa~erm~l n 6anaxo~o npoeTpaHCTaO //
YKp. Mar. acypm - 1997.-49, N ~ 4 . - C . 500 - 509.
2. 2Iucmenbll~. FeoMeTpr~a 6anaxoB~x nlmerpa~cT~. - Kaen: Bama inK., 1980. -216 c.
3. @e8epep F. FeoMexpr~qecKaa reopHa ~tep~. - M.: HayKa, 1987. - 760 c.
4. Cah'c C. Teopr~a mrrerpa.aa. - M.: Hag-no aHoeTp. ~HT., 1919. -- 191 c.
5. Stepanoff W. Sur les conditions de l'existenee de la diff~rentielle totale II Ma'r. e6. - 1924. - 32. -
C. 511-526.
O/lep~gaHo 26. I 1.96
ISSN 0041-6053. Yr, p. ~mm. :xTpn.o 1999, m. ~I , N ~ 1
|