Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет
Gespeichert in:
| Datum: | 1984 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1984
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164402 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет / В.К. Дзядик // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 567 – 571. назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164402 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644022020-02-10T01:27:50Z Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет Дзядик, В.К. Статті 1984 Article Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет / В.К. Дзядик // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 567 – 571. назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164402 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Дзядик, В.К. Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Дзядик, В.К. |
| author_facet |
Дзядик, В.К. |
| author_sort |
Дзядик, В.К. |
| title |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_short |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_full |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_fullStr |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_full_unstemmed |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_sort |
исследования по теории приближений и геометрической теории функций в институте математики ан усср за 50 лет |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1984 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164402 |
| citation_txt |
Исследования по теории приближений и геометрической теории функций в Институте математики АН УССР за 50 лет / В.К. Дзядик // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 567 – 571. назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT dzâdikvk issledovaniâpoteoriipribliženijigeometričeskojteoriifunkcijvinstitutematematikianussrza50let |
| first_indexed |
2025-07-14T16:58:11Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:58:11Z |
| _version_ |
1837642328846630912 |
| fulltext |
В. К. Д з я д ы К
И с с л е д о в а н и я по т е о р и и п р и б л и ж е н и й
и г е о м е т р и ч е с к о й т е о р и и ф у н к ц и й
в И н с т и т у т е м а т е м а т и к и А Н У С С Р з а 5 0 л е т
По исследованиям в области теории функций математики Советского
Союза занимали и занимают ведущее место в мировой науке. Фундамент
для этих исследований в нашей стране был заложен еще в трудах П. Л Че-
бышева, А. А. Маркова, Д . Ф. Егорова и др. После революции они воз-
главились известными во всем мире учеными Н. Н. Лузиным, С. Н. Берн-
штейном, А. Н. Колмогоровым, М. А. Лаврентьевым, С .М.Никольским,
М. В. Келдышем и др.
Исследования по теории функций в Институте математики АН УССР
в большой мере продолжают и существенно развивают исследования от-
меченных ученых. Можно выделить три основных направления в теории
функций, по которым ученые института достигли наиболее существенных
результатов: теория приближений, геометрическая теория функций, ап-
проксимационные методы в других разделах математики.
1. Т е о р и я п р и б л и ж е н и й Е. Я Ремез в начале 30-х годов
разработал и теоретически обосновал численный алгоритм, позволяющий
для любой непрерывной функции эффективно строить со сколь угодно
большой точностью полиномы ее наилучшего чебышевского приближения.
Этот алгоритм известен в литературе как алгоритм Ремеза и используется
в практике как в нашей стране, так и за рубежом Впоследствии был пост-
роен алгоритм для рационального приближения непрерывных функций на
конечном отрезке.
На развитие исследований по теории приближений на Украине и,
в частности, в Институте математики, очень большое влияние оказали
идеи и работы С. М. Никольского. В послевоенное время наиболее важ-
ные результаты в этой теории получены в научных школах, созданных
его учениками В. К. Дзядыком и Н. П. Корнейчуком.
И результате исследований, проведенных р 1947—1958 гг. С. М. Ни-
кольским, В. К. Дзядыком и др., установлена (в отличных от периодичес-
568 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5' 567
кого случая терминах) конструктивная характеристика непериодических
функций, столь же завершенная, как и конструктив гая характеристика
периодических функций, устанс в 1енная Д. Джексоном, С. Н. Бернштейном,
.Ш--Ж- Балле-Пуссеном, А. Зигмундом и др. В. К- Дзядыком в 60 — 70-х гг.
установлена конструктивная характеристика функций на широком клас-
се множеств комплексной плоскости. Следует отметить, что благодаря
этим результатам выяснилась, в частности, природа конструктивных ха-
рактеристик в периодическом и непериодическом случаях.
С целью получения прямых теорем В. К- Дзядыком разработаны опе-
рации обобщенного поворота и обобщенного растяжения, на произволь-
ных замкнутых спрямляемых жордановых кривых построена свертка двух
функций. Построены важные многочисленные ядра с мероморфными коэф-
фициентами, которые очень хорошо аппроксимируют ядро Коши. Д л я ку-
сочно-гладких множеств с некоторыми ограничениями получены обратные
теоремы полиномиального приближения функций комплексного перемен-
ного и для этого в терминах расстояния от граничных точек до линии уров-
ня установлены оценки производной от многочлена.
В институте получили значительное развитие исследования по эк-
стремальным задачам теории приближений. Речь идет об отыскании верх-
них граней погрешностей на классах функций, а также о построении для
данного класса функций наилучшего (в том или ином смысле) аппарата
приближения. Из результатов по этой проблематике от мзтим следующие.
Н. П. Корнейчук разработал эффективный метод решения экстремаль-
ных задач наилучшего приближения, базирующийся на теоремах двойст-
венности и использовании аппарата перестановок. Этот метод позволил,
в частности, найти точные верхние грани наилучших приближений поли-
номами и сплайнами на классах функций, задаваемых с помощью модуля
непрерывности. Найдены точные константы в неравенствах типа Джексона
для приближения полиномами и сплайнами в равномерной и интегральной
метриках, вычислены поперечники (как колмогоровские, так и линейные)
классов непрерывных и дифференцируемых функций в пространствах
Рассмотрены задачи оптимального восстановления функций и линей-
ных функционалов по дискретной информации и установлено, что аппарат
интерполяционных сплайнов позволяет в ряде важных ситуаций с наи-
меньшей погрешностью восстановить функцию (а иногда и ее производ-
ную) по значениям в отдельных точках (Н .П. Корнейчук). Получен ряд
окончательных результатов в задачах интерполирования сплайнами кри-
вых и поверхностей (Н. А. Назаренко).
Найдены значения наилучших в среднем приближений функции фх (х)+
+ср2(л:) и ее периодических интегралов любого натурального порядка, а так-
же значения наилучших в среднем приближений абсолютно монотонной и
суммируемой на [0, 2я] функции. В частности, полностью решена извест-
ная задача Фавара (и ее обобщения) о точных верхних гранях наилучших
приближений и соответствующих наилучших линейных методах на
классах функций с ограниченной дробной производной.
Усилена классическая теорема Чебышева — Маркова о многочлене,
наименее уклоняющемся от нуля при весе многочленного характера
(В. К . Дзядык).
чего оыли найдены такие равенства для ряда линеиных процессов сум-
568 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5' 568
мирования, и в том числе для классических процессов Рогозинского, Рис-
са, Бернштейна и др. Позже этот метод был распространен А. И. Степан-
пом на многомерный случай. Это позволило получить асимптотические ра-
венства для уклонений многомерных прямоугольных сумм'Фурье на клас-
сах Ящ, а также решить подобную задачу в случае кратных сферических
сумм Рисса.
В 1983 г. А. И. Степандом был предложен новый подход к определе-
нию классов периодических функций, в основу которого положено раз-
биение функций на классы в зависимости от скорости убывания к нулю
их коэффициентов Фурье. Введенные таким образом классы •?£ при
фиксированных значениях их параметров совпадают с хорошо известными
классами функций. Такой подход позволил классифицировать широкое
множество периодических функций, включая бесконечно дифференцируе-
мые, аналитические и целые функции. Разработана основа теории при-
ближения функций этих классов. В частности, найдена точная асимптотика
поперечников по Колмогорову и Александрову.
На произвольном множестве прямой дано конструктивное описание
следов функций, гладкость которых (или их производных) характеризу-
ется модулем непрерывности натурального порядка (В. К- Дзядык,
И. А. Шевчук). Для таких же классов в многомерном случае получен ана-
лог теоремы Уитни о продолжении (В. Н. Коновалов).
Разработаны новые эффективные методы построения целых функций
с заданными асимптотическими свойствами, что в дальнейшем нашло при-
менение в теории представляющих систем (Ю. И. Мельник).
Найдены необходимые и дсстаточные условия сходимости многомер-
ных сингулярных интегралов в точках Лебега суммируемых функций.
Получены точные оценки скорости сходимости рядов Фурье непре-
рывных функций, выражающиеся через ко1 с анты Лебега и значения мо-
дулей непрерывности в фиксированных точках (В. Т. Гаврилюк).
Получены асимптотические формулы для норм четных тригонометри
ческих полиномов двух переменных (П. В. Задерей).
2. Г е о м е т р и ч е с к а я т е о р и я ф у н к ц и й начала раз-
виваться в Институте математики под влиянием М. А. Лаврентьева, кото-
рый работал здесь с 1939 по 1950 г.
Еще в 1935 г. М. А. Лаврентьев ввел (одновременно с Л. Альфорсом)
одно из основных понятий современной математики — понятие квазикон-
формного отображения и установил, что для таких отображений сохраня-
ется ряд свойст-в, которыми обладают конформные отображения. В 1948 г.
М. А. Лаврентьев ввел следующее далеко идущее обобщение понятия ква-
зиконформности.
Пусть задана система из двух уравнений (обобщающая систему Ко-
ши — Римана) вида
Тогда гомеоморфное отображение
на область называется квазиконформным, если функции и ( х , у)
и V ( х , у) удовлетворяют системе (1). Установлено, что при некотором ес-
тественном ограничении на функции (так называемое условие эллип-
тичности) имеет место целый ряд самых важных фактов, присущих теории
конформных отображений: теорема существования (аналог теоремы Рима-
на), обобщение принципа Шварца — Линделефа, принцип максимума и др.
П. Ф. Фильчаковым получены важные результаты по эффективному
приближенному построению функции Римана, осуществляющей конформ-
ное отображение односвязной области на круг, и, в частности, ряд резуль-
татов по определению констант в интегралах Кристоффеля — Шварца-.
568 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5' 569
В работах Ю. Ю. Трохимчука развита теория множеств моногенности
комплексных функций, на основе которой получены новые критерии голо-
морфности. Найдено применение теории дифференциальных свойств компле-
ксных функций, а также различных топологических теорем о продолже-
нии внутренних отображений к задаче об устранимости особенностей ана-
литических функций.
A. В. Бондарь ввел и исследовал новые в многомерном комплексном
анализе понятия производных операторов, операторов растяжения и опе-
раторов вращения. На этой основе получены теоремы о характеризации
голоморфных отображений в терминах локальных геометрических харак-
теристик — операторных аналогов известных в плоском случае свойств
постоянства растяжений и консерватизма углов. Исследована в многомер-
ном случае структура множеств моногенности непрерывного отображения,
получены критерии голоморфности непрерывных отображений в терминах
С-дифференцируемости вдоль пары конусов, находящихся в общем поло-
жении в Сп.
На основе использования теории многозначных отображений получены
результаты о строении линейно выпуклых компактов в комплексном прост-
ранстве, что имеет существенное значение для различных специальных
представлений голоморфных функций (Ю. Б . Зелинский).
В. В. Шар ко получил существенное развитие конечномерной теории
Морса и связанных с ней вопросов стабильной алгебры.
B. К- Дзядык получил простую геометрическую характеристику ана-
литических и сопряженных к ним функций и ввел понятие А-ужей.
Н. П. Корнейчук разработал геометрические методы решения экст-
ремальных задач теории функций действительного переменного и теории
аппроксимации, оказавшиеся эффективными, в частности, при отыскании
точных верхних граней наилучших приближений и при вычислении попе-
речников классов функций.
И. П. Митюк разработал методы исследования, развивающие и
уточняющие симметризационные методы Штейнера, Полна — Cere, Сеге—
Маркуса.
П. М. Тамразов решил важную общую задачу о граничном поведе-
нии голоморфных функций. Установил локальную равновесность экстре-
мальных метрик, сформулировал предельную задачу модуля семейств
кривых и доказал единственность экстремальной метрики в этой
задаче, изучил вопросы непрерывности модулей и единственности экстре-
мальных отображений. Решил экстремальные задачи конформного отоб-
ражения с многополюсными квадратичными дифференциалами, задачу о
конформных искажениях, поставленную Дьюренсм
А. К- Бахтин доказал, что одновременные максимумы модулей двух
коэффициентов в известной проблеме о коэффициентах однолистных функ-
ций могут достигаться только на функциях Кебе.
П. М. Тамразов решил экстремальную проблему А. А. Гончара о ем-
костях конденсаторов, для чего создал новый метод в теории потенциала.
Н. В. Зорий изучила некоторый пространственный аналог этой задачи.
Обобщая указанные выше обратные теоремы В. К- Дзядыка, П. М. Там-
разов совместно с Н. А. Лебедевым установили на произвольном ограни-
ченном континууме оценки производных от полинома и контурные обрат-
ные теоремы полиномиального приближения функций. П. М. Тамразов
и В. В. Бардзинский получили теоремы приближения нового типа — силь-
но локальные, решили задачу о локальной конструктивной характерис-
тике функций.
П. М. Тамразов и И. А. Шевчук разработали метод исследования ко-
нечно-разностных свойств функций в комплексной плоскости.
В. Ф. Ковалевым и И. П. Мельниченко заложены основы теории ал-
гебр с голоморфными функциями, ассоциированными с важнейшими урав-
нениями в частных производных в многомерных пространствах.
3. А п п р о к с и м а ц и о н н ы е м е т о д ы в д р у г и х р а з -
д е л а х м а т е м а т и к и . В К. Дзядыком осуществлен синтез резуль-
татов и методов Чебышева в теории аппроксимации с аналитическими ме-
568 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5' 570
•годами решения дифференциальных уравнений. Им разработаны следую-
щие три аппроксимационные метода приближенного решения дифференци-
альных и интегральных уравнений: (I) метод применения аппроксимацион-
ных операторов к решению задачи Коши (ЗК) и интегральных уравне-
ний; (II) аппроксимационно-итеративный метод решения З К с аналитичес-
кой правой частью и (III) Л-метод решения З К и краевой задачи для ли-
нейных уравнений с многочленными коэффициентами. Эти методы были
обобщены на системы уравнений, на основные задачи для уравнений в
частных производных гиперболического и параболического типов, на раз-
личные типы нелинейных интегральных уравнений, на уравнения с запаз-
дыванием и др.
Отметим, что эти методы строго обоснованы; получены эффективные
очень точные априорные и апостериорные оценки допускаемой погрешнос-
ти; метод III более точен и применим к значительно более обширному
классу задач, чем широко известный (теоретически не обоснованный) чис-
ленный т-метод Ланцоша. Отметим также, что, наряду с давно известными
методами цепных дробей иПаде-аппроксимаций, при помощи метода III
разработаны новые эффективные методы рациональной аппроксимации (на
отрезке и в звезде Миттаг— Леффлера). Введена и исследована обобщен-
ная проблема моментов. Полученные по ней результаты обобщают резуль-
таты П. Л. Чебышева по классической проблеме моментов.
С. В. Переверзев предложил адаптивный подход к задаче оптимиза-
ции численных методов решения интегральных уравнений. Эффективно
построены прямые и аппроксимационно-итеративные методы/дающие зна-
чительно более высокую точность приближения по сравнению с другими
методами.
Таким образом, в Институте математики АН УССР по теории функ-
ций получено большое количество важнейших результатов и в целом ря-
де направлений имеются четкие пути ее дальнейшего развития.
568 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5' 571
|