О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2
Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел Mk1,Mk2,Mk3,Mk4,0=k1<k2<k3=r−2,k4=r, якi гарантують iснування функцiї x∈Lr∞,∞(R), такої, що ||x(ki)||∞=Mki,i=1,2,3,4.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164422 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 / В.Ф. Бабенко, О.В. Коваленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 597-603. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164422 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644222020-02-23T20:21:25Z О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 Бабенко, В.Ф. Коваленко, О.В. Статті Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел Mk1,Mk2,Mk3,Mk4,0=k1<k2<k3=r−2,k4=r, якi гарантують iснування функцiї x∈Lr∞,∞(R), такої, що ||x(ki)||∞=Mki,i=1,2,3,4. We establish conditions for a system of positive numbers M k1, M k2, M k3, M k4, 0 = k 1 < k 2 < k 3 = r − 2, k 4 = r, necessary and sufficient for the existence of a function x∈Lr∞,∞(R) such that ∥∥x(ki)∥∥∞=Mki,i=1,2,3,4. 2012 Article О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 / В.Ф. Бабенко, О.В. Коваленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 597-603. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164422 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бабенко, В.Ф. Коваленко, О.В. О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 Український математичний журнал |
| description |
Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел Mk1,Mk2,Mk3,Mk4,0=k1<k2<k3=r−2,k4=r, якi гарантують iснування функцiї x∈Lr∞,∞(R), такої, що ||x(ki)||∞=Mki,i=1,2,3,4. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Коваленко, О.В. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Коваленко, О.В. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| title_short |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| title_full |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| title_fullStr |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| title_full_unstemmed |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| title_sort |
о зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164422 |
| citation_txt |
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка k , r−2 и r,0<k<r−2 / В.Ф. Бабенко, О.В. Коваленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 597-603. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf ozavisimostimeždunormojfunkciiinormamieeproizvodnyhporâdkakr2ir0kr2 AT kovalenkoov ozavisimostimeždunormojfunkciiinormamieeproizvodnyhporâdkakr2ir0kr2 |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:10Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:10Z |
| _version_ |
1837642390370779136 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, О. В. Коваленко (Днепропетр. нац. ун-т)
О ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НОРМОЙ ФУНКЦИИ
И НОРМАМИ ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПОРЯДКА k, r − 2 И r, 0 < k < r − 2
We establish conditions for a system of positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r,
necessary and sufficient for the existence of a function x ∈ Lr
∞,∞(R) such that ‖x(ki)‖∞ = Mki , i = 1, 2, 3, 4.
Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2,
k4 = r, якi гарантують iснування функцiї x ∈ Lr
∞,∞(R), такої, що ‖x(ki)‖∞ = Mki , i = 1, 2, 3, 4.
1. Обозначения. Постановка задачи. Известные результаты. Через L∞(R) будем обозначать
пространство измеримых и существенно ограниченных функций x : R→ R с нормой
‖x‖ = ‖x‖L∞(R) = ess sup {|x(t)| : t ∈ R} .
Для натурального r через Lr∞(R) обозначим пространство функций x : R → R таких, что
производная x(r−1), x(0) = x, локально абсолютно непрерывна и x(r) ∈ L∞(R). Пусть также
Lr∞,∞(R) := Lr∞(R)
⋂
L∞(R).
Мы будем рассматривать один из случаев следующей общей задачи, поставленной А. Н. Кол-
могоровым [1 – 3] (в работах [4, 5] отмечено, что эта задача поставлена А. Н. Колмогоровым в
1926 г.).
Задача Колмогорова. Пусть задана система целых чисел 0 ≤ k1 < k2 < . . . < kd =
= r. Найти необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять система
положительных чисел Mk1 , . . . ,Mkd , для того, чтобы существовала функция x ∈ Lr∞,∞(R)
такая, что ∥∥∥x(ki)∥∥∥ = Mki , i = 1, . . . , d.
Отметим (см. замечание в [6]), что для d = 2, т. е. когда речь идет о зависимости между нор-
мой функции (k1 = 0) и нормой ее r-й производной, решение задачи тривиально: существуют
функции, соответствующие любой паре положительных чисел M0, Mr.
В [1 – 3] А. Н. Колмогоров привел формулировку и решение этой задачи для d = 3, k1 = 0,
0 < k2 < r (для r = 2 и k = 1 эта задача была решена ранее Ж. Адамаром [7], а для всех случаев
r < 5, k < r, и случая r = 5 и k = 2 — Г. Е. Шиловым [8]). А. Н. Колмогоров показал, что для
положительных чисел M0, Mk, Mr, 0 < k < r, существует функция x ∈ Lr∞,∞(R), для которой
эти три числа являются значениями норм функции, ее k- и r-й производных соответственно,
тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
Mk ≤
‖ϕr−k‖
‖ϕr‖1−k/r
M
1−k/r
0 Mk/r
r , (1)
где ϕr — эйлеров идеальный сплайн, т. е. r-й периодический интеграл с нулевым средним
значением на периоде от функции ϕ0 (t) = sgn sin t. Решение задачи Колмогорова для трех
чисел с произвольным k1 > 0 содержится, например, в [9] (§ 9.1).
Приведем известные результаты по решению задачи Колмогорова при d > 3:
c© В. Ф. БАБЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 597
598 В. Ф. БАБЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
1) k1 = 0, k2 = r − 2, k3 = r − 1, k4 = r (А. М. Родов [6]);
2) k1 = 0 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r − 1, k5 = r (А. М. Родов [6]);
3) k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r (В. К. Дзядык, В. А. Дубовик [10]).
В [4] найдены достаточные условия для систем положительных чисел
M0,M1,M2,M5 и M0,M1,M2,M3,M4,M5.
В случае произвольного d > 3 единственный известный результат принадлежит В. К. Дзя-
дыку и В. А. Дубовику [10]. Ими получены достаточные условия для существования функции
x ∈ Lr∞,∞(R) с заданными значениями норм производных фиксированных порядков.
Для доказательства неравенства (1) А. Н. Колмогоровым было установлено утверждение,
известное как теорема сравнения Колмогорова. Теоремами сравнения называют утверждения,
которые дают оценку той или иной характеристики функции x(t) из некоторого класса через
соответствующую характеристику некоторой фиксированной функции. Последнюю функцию
можно считать эталонной или стандартной для данного класса; ее также называют функцией
сравнения для данного класса.
Отметим, что во всех приведенных частных решениях задачи Колмогорова существенно
использовались идеи, связанные с теоремами сравнения. Как сама теорема сравнения Колмо-
горова, так и метод ее доказательства сыграли большую роль при точном решении многих
экстремальных задач теории приближений (см. [11, 12]).
Цель данной статьи — решение задачи Колмогорова для системы положительных чисел
Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r.
В следующем пункте мы введем некоторое семейство сплайнов и изучим их свойства. В
пункте 3 докажем аналог теоремы сравнения Колмогорова для случая, когда заданы норма
функции и нормы ее производных порядков r − 2 и r. Эта теорема не только используется
при решении задачи Колмогорова, но и представляет, на наш взгляд, самостоятельный интерес.
Здесь же в качестве следствия из теоремы сравнения мы приведем неравенство типа Колмого-
рова, включающее норму функции и нормы ее производных порядков k, r − 2 и r. Наконец, в
пункте 4 будет приведено решение задачи Колмогорова для случая 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2,
k4 = r.
2. Функции сравнения и их свойства. Пусть a ≥ 0. Определим функцию ψ1(a; t) следу-
ющим образом. На отрезке [0, a+ 2] положим
ψ1(a; t) :=
t− 1, t ∈ [0, 1],
0, t ∈ [1, a+ 1],
t− a− 1, t ∈ [a+ 1, a+ 2].
Продолжим функцию ψ1(a; t) четным образом на отрезок [−(a + 2), 0], а затем периодически
с периодом 4 + 2a на всю ось. Заметим, что ψ1(a; t) ∈ L1
∞,∞(R) и∥∥ψ′1(a; ·)
∥∥ = 1. (2)
Для r ∈ N обозначим через ψr(a; t) (r − 1)-ю (4 + 2a)-периодическую первообразную
функции ψ1(a; t) с нулевым средним на периоде (так что, в частности, ψ′r(a; t) = ψr−1(a; t)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
О ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НОРМОЙ ФУНКЦИИ И НОРМАМИ ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 599
Приведем свойства функции ψr(a; t), которые нетрудно установить либо непосредственно,
либо по аналогии со свойствами эйлеровых идеальных сплайнов ϕr (см., например, [11] (гл.
5), [12] (гл. 3)). Отметим, прежде всего, что функция ψ2(a; t) нечетна, имеет период 4 + 2a,
ψ2(a; t) :=
1
2
(t− 1)2 − 1
2
, t ∈ [0, 1],
−1
2
, t ∈ [1, a+ 1],
1
2
(t− a− 1)2 − 1
2
, t ∈ [a+ 1, a+ 2],
и
‖ψ2(a; ·)‖ =
1
2
. (3)
Кроме того, функция ψ2(a; t) имеет ровно два нуля на периоде: точки 0 и a+2. Следовательно,
функция ψr(a; t) при r ≥ 2 также имеет ровно два нуля на периоде: для любого k ∈ N
ψ2k(a; 0) = ψ2k(a; a+ 2) = 0, (4)
ψ2k+1
(
a; 1 +
a
2
)
= ψ2k+1
(
a; 3 +
3a
2
)
= 0. (5)
Отсюда, в свою очередь, следует, что при r ≥ 3 функция ψr(a; t) строго монотонна между
нулями своей производной, а график функции ψr(a; t) является выпуклым на каждом промежут-
ке знакопостоянства. Кроме того, как легко видеть, график ψr(a; t) симметричен относительно
ее нулей, а также относительно прямых вида t = t0, где t0 — нуль ψ′r(a; t). Наконец отметим,
что если ϕλ,r(t) := λ−rϕr(λt) для λ > 0, то ψr(0; t) = ϕπ/2,r(t).
Теорема 1. Пусть r ∈ N, 0 < k < r − 2 и заданы положительные числа Mk, Mr−2, Mr
такие, что выполняется неравенство Колмогорова
Mr−2 ≤
‖ϕ2‖
‖ϕr−k‖
2
r−k
M
2
r−k
k M
r−k−2
r−k
r . (6)
Тогда существуют числа a, b, λ > 0 такие, что для функции Ψa,b,λ(t) := bψ(a;λt) выполня-
ются равенства ∥∥∥Ψ
(s)
a,b,λ
∥∥∥ = Ms, s ∈ {k, r − 2, r} . (7)
В частности, для любой функции x ∈ Lr∞,∞(R) существуют числа a, b, λ > 0 такие, что∥∥∥Ψ
(s)
a,b,λ
∥∥∥ = ‖x(s)‖, s ∈ {k, r − 2, r} .
Доказательство. Положим
b :=
Mr
λr
, λ :=
√
Mr√
2Mr−2
. (8)
Везде ниже в ходе данного доказательства считаем, что b и λ выбраны в соответствии с (8).
Тогда в силу (2) и (3) получаем, что при всех a ≥ 0 будет
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
600 В. Ф. БАБЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО∥∥∥Ψ
(r)
a,b,λ
∥∥∥ = Mr,
∥∥∥Ψ
(r−2)
a,b,λ
∥∥∥ = Mr−2.
Ясно, что для всех k = 1, 2, . . . , r − 3 функция
∥∥∥Ψ
(k)
a,b,λ
∥∥∥ непрерывно зависит от a ∈ [0,∞),
возрастает на этом промежутке, причем
lim
a→+∞
∥∥∥Ψ
(k)
a,b,λ
∥∥∥ =∞.
Поскольку неравенство (6) обращается в равенство для функции Ψ
(k)
0,b,λ, получаем
∥∥∥Ψ
(k)
0,b,λ
∥∥∥ =
‖ϕr−k‖ 2
r−k
‖ϕ2‖
Mr−2
M
r−k−2
r−k
r
r−k
2
≤Mk.
Следовательно, существует a ≥ 0 такое, что∥∥∥Ψ
(k)
a,b,λ
∥∥∥ = Mk.
Теорема доказана.
Замечание 1. Для чисел Mk,Mr−2,Mr, удовлетворяющих неравенству (6), будем обо-
значать через Ψr(Mk,Mr−2,Mr; t) функцию Ψa,b,λ(t) из теоремы 1, параметры a, b, λ которой
выбраны так, что выполняются соотношения (7).
3. Теорема сравнения и аналог неравенства Колмогорова. Следующая теорема является
аналогом теоремы сравнения Колмогорова в случае, когда заданы норма функции, ее (r− 2)- и
r-й производных.
Теорема 2. Пусть r ∈ N и 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r и x ∈ Lr∞,∞(R). Пусть
числа a, b, λ > 0 таковы, что для функции Ψa,b,λ(t) выполняются соотношения∥∥∥x(ki)∥∥∥ ≤ ∥∥∥Ψ
(ki)
a,b,λ
∥∥∥ , i = 1, 3, 4. (9)
Если точки τ и ξ таковы, что x(τ) = Ψa,b,λ(ξ), то∣∣x′(τ)
∣∣ ≤ ∣∣Ψ′a,b,λ(ξ)
∣∣ . (10)
Доказательство. Для сокращения записей в ходе данного доказательства будем писать
Ψ(t) вместо Ψa,b,λ(t). Рассматривая при необходимости функцию −x(t) вместо функции x(t)
и функцию −Ψ(t) вместо Ψ(t), можем считать, что x′(τ) > 0 и
Ψ′(τ) > 0. (11)
Кроме того, рассматривая подходящий сдвиг Ψ(·+α) функции Ψ, можем считать, что и τ = ξ,
т. е.
x(τ) = Ψ(τ). (12)
Предположим, что (12) имеет место, но при этом вместо неравенства (10) (с ξ = τ ) имеет
место неравенство ∣∣x′(τ)
∣∣ > ∣∣Ψ′(τ)
∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
О ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НОРМОЙ ФУНКЦИИ И НОРМАМИ ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 601
Обозначим через (τ1, τ2) наименьший интервал монотонности Ψ, содержащий точку τ и
такой, что Ψ′(τ1) = Ψ′(τ2) = 0. В силу сделанного предположения существует число δ > 0
такое, что x′(t) > Ψ′(t) для всех t ∈ (τ − δ, τ + δ), а значит, в силу (12) x(τ + δ) > Ψ(τ + δ) и
x(τ − δ) < Ψ(τ − δ).
Выберем ε > 0 настолько малым, чтобы для функции xε(t) := (1 − ε)x(t) выполнялись
неравенства xε(τ + δ) > Ψ(τ + δ) и xε(τ − δ) < Ψ(τ − δ). В силу (9) и (11) будет
xε(τ1) > Ψ(τ1), xε(τ2) < Ψ(τ2).
Таким образом, на промежутке (τ1, τ2) разность ∆ε(t) := xε(t) − Ψ(t) будет иметь не менее
трех перемен знака.
Как легко видеть, существует проследовательность функций µN ∈ C∞(R), N ∈ N, со
следующими свойствами:
1) µN (t) = 1 на промежутке [τ1, τ2], ‖µN‖ = 1;
2) µN (t) = 0 для всех t вне промежутка
[
τ1 −N
2 + a
λ
; τ1 +N
2 + a
λ
]
;
3) для всех k = 1, 2, . . . , r
max
j=1,k
∥∥∥µ(j)N ∥∥∥ < ε‖x(k)ε ‖
(
k∑
i=1
Cik
∥∥∥x(k−i)ε
∥∥∥)−1 ,
если N достаточно велико.
Ниже считаем, что N выбрано настолько большим, что свойство 3 выполнено.
Положим
xN (t) := xε(t)µN (t),
и
∆N (t) := Ψ(t)− xN (t).
Тогда
xN (t) = xε(t), если t ∈ [τ1, τ2],
∆N (t) = Ψ(t), если |t− τ1| ≥ N
a+ 2
λ
,
(13)
и
‖xN‖ ≤ ‖xε‖ = (1− ε)‖x‖ ≤ (1− ε)‖Ψ‖.
Кроме того для k = 1, . . . , r∣∣∣x(k)N (t)
∣∣∣ =
∣∣∣[xε(t)µN (t)](k)
∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
k∑
i=0
Cikx
(k−i)
ε (t)µ
(i)
N (t)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∥∥∥x(k)ε ∥∥∥+
k∑
i=1
Cik
∥∥∥x(k−i)ε
∥∥∥ ‖µ(i)N ‖.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
602 В. Ф. БАБЕНКО, О. В. КОВАЛЕНКО
Отсюда, с учетом свойства 3 функции µN и выбора числа N, получаем∥∥∥x(k)N ∥∥∥ < ∥∥∥x(k)ε ∥∥∥+ ε
∥∥∥x(k)ε ∥∥∥ = (1− ε)
∥∥∥x(k)∥∥∥+ ε
∥∥∥x(k)∥∥∥ =
∥∥∥x(k)∥∥∥ .
Для t ∈ [τ1, τ2] имеем ∆N = Ψ(t) − xε(t), а значит, функция ∆N (t) имеет не менее трех
перемен знака на отрезке [τ1, τ2]. На каждом из остальных промежутков монотонности функ-
ции Ψ функция ∆N имеет не менее одной перемены знака. Таким образом, на промежутке[
τ1 −N
a+ 2
λ
, τ1 +N
a+ 2
λ
]
функция ∆N (t) имеет не менее 2N + 2 перемен знака. Кроме
того, в силу (4), (5) и (13) для всех i = 1, 2, . . . ,
[
r − 1
2
]
справедливы равенства
∆
(2i−1)
N
(
τ1 −N
a+ 2
λ
)
= ∆
(2i−1)
N
(
τ1 +N
a+ 2
λ
)
= 0. (14)
Применяя теперь теорему Ролля и учитывая (14), получаем, что функция ∆
(r−2)
N (t) имеет не
менее 2N + 2 нуля на промежутке
[
τ1 −N
a+ 2
λ
, τ1 +N
a+ 2
λ
]
. Отсюда следует, что на неко-
тором промежутке монотонности
[
α, α+
2 + a
λ
]
⊂
[
τ1 −N
a+ 2
λ
, τ1 +N
a+ 2
λ
] (
α :=
1
λ
+
+k
a+ 2
λ
, k ∈ N
)
функции Ψ(r−2)(t) = bλ−2ψ(a, λt) функция ∆
(r−2)
N (t) меняет знак не менее
трех раз. Но тогда и разность
bλ−2ψ(0, λt)− x(r−2)N (t)
на некотором промежутке монотонности функции bλ−2ψ(0, λt) меняет знак не менее трех раз.
Однако это противоречит теореме сравнения Колмогорова (см., например, [12], предложение
5.5.3), так как эйлеров сплайн bλ−2ψ(0, λt) является функцией сравнения для функции x(r−2)N (t).
Как следствие из теоремы 2 получаем следующую теорему, которую можно рассматривать
как неравенство типа Колмогорова, оценивающее норму k-й производной функции через норму
самой функции и нормы ее (r − 2)- и r-й производных.
Теорема 3. Пусть r ∈ N и 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r и x ∈ Lr∞,∞(R). Пусть
числа a, b, λ > 0 таковы, что для функции Ψa,b,λ(t) выполняются соотношения (9). Тогда∥∥∥x(k2)∥∥∥ ≤ ∥∥∥Ψ
(k2)
a,b,λ
∥∥∥ .
4. Решение задачи Колмогорова для случая 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r.
Теорема 4. Пусть заданы натуральные числа r ≥ 4, 0 = k1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r и
действительные числа Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 > 0. Существует функция x ∈ Lr∞,∞(R) такая,
что ∥∥∥x(ki)∥∥∥ = Mki , i = 1, 2, 3, 4, (15)
тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
a) Mr−2 ≤
‖ϕ2‖
‖ϕr−k‖
2
r−k
M
2
r−k
k M
r−k−2
r−k
r ,
b) M0 ≥ ‖Ψr(Mk2 ,Mr−2,Mr)‖,
где функция Ψr определена в замечании 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
О ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НОРМОЙ ФУНКЦИИ И НОРМАМИ ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 603
Необходимость условия a) следует из неравенства Колмогорова, необходимость условия b)
— из теоремы 3.
Для доказательства достаточности заметим, что в случае выполнения условий a) и b) для
функции
x(t) := Ψr(Mk2 ,Mr−2,Mr; t) +M0 − ‖Ψr(Mk2 ,Mr−2,Mr)‖
выполняются равенства (15).
Теорема доказана.
1. Kolmogorov A. N. Une generalization de l’inegalite de M. J. Hadamard entre les bornes superieures des derivees
successives d’une function // C. r. Acad. sci. Paris. – 1938. – 207. – P. 764 – 765.
2. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной
функции на бесконечном интервале // Уч. зап. Моск. гос. ун-та. – 1939. – 30. – С. 3 – 16.
3. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной
функции на бесконечном интервале // Избр. труды. Математика и механика. – М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
4. Родов А.М. Достаточные условия существования функции действительного переменного с заданными верх-
ними гранями модулей самой функции и ее пяти последовательных производных // Уч. зап. БГУ им. В. И.
Ленина. Сер. физ.-мат. – 1954. – 19. – С. 65 – 72.
5. Дзядык В. К., Дубовик В. А. К проблеме А. Н. Колмогорова о зависимостях между верхними гранями произ-
водных вещественных функций, заданных на всей оси // Укр. мат. журн. – 1974. – 26, № 3. – С. 300 – 317.
6. Родов А.М. Зависимость между верхними гранями производных функций действительного переменного //
Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1946. – 10. – С. 257 – 270.
7. Hadamard J. Sur le maximum d’une fonction et de ses derivees // C. r. Soc. Math. France. – 1914. – 41. – P. 68 – 72.
8. Шилов Г. Е. О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. – 1937. – 1. – С. 17 – 27.
9. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
10. Дзядык В. К., Дубовик В. А. К неравенствам А. Н. Колмогорова о зависимостях между верхними гранями
производных вещественных функций, заданных на всей оси // Укр. мат. журн. – 1975. – 27, № 3. – С. 291 – 299.
11. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
12. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
Получено 31.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|