Обратные неравенства для геометрического и степенных средних
Встановлено точнi межi для додатного та вiд’ємного показникiв сумовностi середнього степеневого порядку функцiї, якщо це середнє задовольняє обернену нерiвнiсть Йєнсена....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164426 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обратные неравенства для геометрического и степенных средних / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 628-635. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164426 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644262020-02-23T20:23:24Z Обратные неравенства для геометрического и степенных средних Кореновский, А.А. Статті Встановлено точнi межi для додатного та вiд’ємного показникiв сумовностi середнього степеневого порядку функцiї, якщо це середнє задовольняє обернену нерiвнiсть Йєнсена. We establish exact bounds for the positive and negative exponents of summability of the power mean of a function in the case where this mean satisfies the reverse Jensen inequality. 2012 Article Обратные неравенства для геометрического и степенных средних / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 628-635. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164426 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кореновский, А.А. Обратные неравенства для геометрического и степенных средних Український математичний журнал |
| description |
Встановлено точнi межi для додатного та вiд’ємного показникiв сумовностi середнього степеневого порядку функцiї, якщо це середнє задовольняє обернену нерiвнiсть Йєнсена. |
| format |
Article |
| author |
Кореновский, А.А. |
| author_facet |
Кореновский, А.А. |
| author_sort |
Кореновский, А.А. |
| title |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| title_short |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| title_full |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| title_fullStr |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| title_full_unstemmed |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| title_sort |
обратные неравенства для геометрического и степенных средних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164426 |
| citation_txt |
Обратные неравенства для геометрического и степенных средних / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 628-635. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT korenovskijaa obratnyeneravenstvadlâgeometričeskogoistepennyhsrednih |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:21Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:21Z |
| _version_ |
1837642402861416448 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. А. Кореновский (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова, Ин-т математики, экономики и механики)
ОБРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
И СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ
We establish exact bounds for the positive and negative exponents of summability of the power mean of a function in the
case where this mean satisfies the reverse Jensen inequality.
Встановлено точнi межi для додатного та вiд’ємного показникiв сумовностi середнього степеневого порядку функцiї,
якщо це середнє задовольняє обернену нерiвнiсть Йєнсена.
Введение. Для неотрицательной на отрезке [0, b] ⊂ R функции ϕ степенным средним порядка
α 6= 0 будем называть функцию
Mαϕ(t) =
1
t
t∫
0
ϕα(u) du
1/α , 0 < t ≤ b,
а средним геометрическим — функцию
M0ϕ(t) = exp
1
t
t∫
0
lnϕ(t) dt
, 0 < t ≤ b.
Определенные таким образом средние Mα возрастают вместе с α (см. [1, с. 175, 184]. Для
α < β через RHα,β(B) обозначаем класс всех неотрицательных на [0, b] функций ϕ, удовлет-
воряющих обратному неравенству
0 <Mβϕ(t) ≤ BMαϕ(t) < +∞, 0 < t ≤ b, (1)
где постоянная B > 1 не зависит от t. Положим RHα,β = ∪B>1RH
α,β(B). При различных зна-
чениях параметров α и β классы RHα,β применяются при исследовании весовых неравенств
Харди [2], в теории весовых пространств [3], при изучении квазиконформных отображений [4]
и др. Особенность этих классов заключается в так называемом свойстве самоулучшения пока-
зателей суммируемости. Это свойство было также самостоятельным предметом исследования
в работах многих авторов. Данная работа является продолжением таких исследований. Точнее,
рассматриваются классы RHα,β, когда один из параметров α или β обращается в нуль.
1. Основные результаты. Для фиксированного α определим функцию
σα(γ) =
(
1− α
γ
)1/α
при α 6= 0,
exp
(
−1
γ
)
при α = 0
переменной γ ∈ (−∞,min(0, α)) ∪ (max(0, α),+∞). Она непрерывна, возрастает от 1 + 0 до
+∞ на (−∞,min(0, α)), на (max(0, α),+∞) возрастает от 0+ до 1− 0 и σα(γ)σα(α− γ) = 1.
Замечание 1. Смысл σα(γ) состоит в том, что для функции ϕ0(t) = t−1/γ (γ 6= 0) при
любом t > 0 справедливо равенство Mαϕ0(t) = ϕ0(t)/σα(γ), где α < γ при γ > 0 и α > γ
при γ < 0.
c© А. А. КОРЕНОВСКИЙ, 2012
628 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
ОБРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ 629
Для α < β положим
Sα,β(γ) =
σα(γ)
σβ(γ)
, γ ∈ (−∞,min(0, α)) ∪ (max(0, β),+∞).
Функция Sα,β(γ) непрерывна, возрастает от 1+0 до +∞ на (−∞,min(0, α)) и убывает от +∞
до 1 + 0 на (max(0, β),+∞). Поэтому при любом B > 1 уравнение
Sα,β(γ) = B (2)
имеет два корня: отрицательный γ− < min(0, α) и положительный γ+ > max(0, β). В терми-
нах этих чисел γ± и будут выражаться предельные значения для параметров в дальнейших
утверждениях.
В работах [5, 6] было показано, что при α ·β 6= 0 из условия (1) следует, чтоMβϕ ∈ RHα,γ ,
Mαϕ ∈ RHβ,γ при любом 0 6= γ < γ+ и Mβϕ ∈ RHγ,α, Mαϕ ∈ RHγ,β при любом
0 6= γ > γ−. В данной работе доказываются подобные утверждения при α · β = 0. В этом
случае при 0 = α < β условие (1) принимает вид1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
1/β ≤ B exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u) du
, 0 < t ≤ b, (3)
а уравнение (2) —
exp
(
−1
γ
)
= B
(
1− β
γ
)1/β
. (4)
Если же α < 0 = β, то условие (1) принимает вид
exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u) du
≤ B
1
t
t∫
0
ϕα(u) du
1/α , 0 < t ≤ b, (5)
а уравнение (2) — (
1− α
γ
)1/α
= B exp
(
−1
γ
)
. (6)
Полученные результаты сформулируем в виде теорем.
Теорема 1. Пусть α = 0 < β, B > 1, числа γ± — корни уравнения (4) и неотрицательная
на [0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (3). Если 0 < γ < γ+, то
Mβϕ ∈ RH0,γ
(
σ0 (γ−)
σγ (γ+)
)
. (7)
Если же 0 > γ > γ−, то
Mβϕ ∈ RHγ,0
(
σγ (γ−)
σ0 (γ+)
)
. (8)
При этом условия γ < γ+ и γ > γ− на параметр γ не могут быть улучшены.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
630 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
Теорема 2. Пусть α < 0 = β, B > 1, числа γ± — корни уравнения (6) и неотрицательная
на [0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (5). Если 0 < γ < γ+, то
Mαϕ ∈ RH0,γ
(
σ0 (γ−)
σγ (γ+)
)
.
Если же 0 > γ > γ−, то
Mαϕ ∈ RHγ,0
(
σγ (γ−)
σ0 (γ+)
)
.
При этом условия γ < γ+ и γ > γ− на параметр γ не могут быть улучшены.
2. Доказательства теорем 1 и 2. Сначала приведем несколько вспомогательных утверж-
дений.
Лемма 1. Пусть функции f, g ≥ 0. Тогда выполняется неравенство
1
t
t∫
0
f(u)g(u) du ≥ exp
1
t
t∫
0
ln f(u) du
exp
1
t
t∫
0
ln g(u) du
. (9)
Доказательство. Поскольку функция натурального логарифма выпукла вверх, в силу не-
равенства Йенсена [1, с. 184] имеем
ln
1
t
t∫
0
f(u)g(u) du
≥ 1
t
t∫
0
ln (f(u)g(u)) du =
1
t
t∫
0
ln f(u) du+
1
t
t∫
0
ln g(u) du.
Отсюда, очевидно, следует (9).
Лемма доказана.
Следующие две леммы играют ключевую роль в доказательстве теорем 1 и 2. Возможно,
они представляют и самостоятельный интерес.
Лемма 2. Пусть β > 0, B > 1, числа γ± — корни уравнения (4) и неотрицательная на
[0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (3). Тогда выполняется неравенство
exp
(
− 1
γ+
)
≤
Mβϕ(t)
M0 (Mβϕ) (t)
≤ exp
(
− 1
γ−
)
, 0 < t ≤ b, (10)
причем постоянные exp (−1/γ±) являются точными.
Доказательство. Сначала докажем, что
t∫
0
d
du
u ln(1
u
u∫
0
ϕβ(v)dv
) du = t ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u)du
, 0 < t ≤ b. (11)
Ясно, что (11) следует из равенства
lim
t→0+
t ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
= 0. (12)
Для доказательства (12) воспользуемся монотонностью среднихMβϕ и условием ϕ ∈ RH0,β(B).
Тогда получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
ОБРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ 631
exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u) du
≤
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
1/β ≤ B exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u) du
.
Отсюда следует, что
β
t∫
0
lnϕ(u) du ≤ t ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
≤ β
t lnB +
t∫
0
lnϕ(u) du
.
Поскольку
∫ b
0
lnϕ(u) du сходится, левая и правая части последнего неравенства стремятся к
нулю при t→ 0+, что и доказывает (12).
Для доказательства (10) проинтегрируем от 0 до t тождество
d
dt
t ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u)du
= ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u)du
+
ϕβ(t)
1
t
∫ t
0
ϕβ(u)du
− 1.
Тогда с учетом (11) имеем
ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
=
1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕβ(v) dv
du+
1
t
t∫
0
ϕβ(u)
1
u
∫ u
0
ϕβ(v) dv
du− 1.
Ко второму слагаемому справа применим неравенство (9):
1
t
t∫
0
ϕβ(u)
1
u
∫ u
0
ϕβ(v) dv
du ≥ exp
1
t
t∫
0
lnϕβ(u)du
exp
1
t
t∫
0
ln
1
1
u
∫ u
0
ϕβ(v) dv
du
=
=
exp
(
1
t
∫ t
0
lnϕβ(u) du
)
exp
(
1
t
∫ t
0
ln
(
1
u
∫ u
0
ϕβ(v) dv
)
du
) .
Оценивая числитель в правой части этого неравенства с помощью условия (3), получаем
1
t
t∫
0
ϕβ(u)
1
u
∫ u
0
ϕβ(v) dv
du ≥ B−β
1
t
∫ t
0
ϕβ(u)du
exp
1
t
∫ t
0
ln
1
u
u∫
0
ϕβ(v) dv
du
=
= B−β exp
ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
− 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕβ(v) dv
du
.
В результате имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
632 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
≥ 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕβ(v) dv
du+
+B−β exp
ln
1
t
t∫
0
ϕβ(u) du
− 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕβ(v)dv
du
− 1.
Обозначим
γ =
β
1
t
∫ t
0
ln
(
1
u
∫ u
0
ϕβ(v)dv
)
du− ln
(
1
t
∫ t
0
ϕβ(u)du
) .
Тогда последнее неравенство примет вид
−β
γ
≥ B−β exp
(
−β
γ
)
− 1,
или, что то же самое,
σ0(γ) ≤ Bσβ(γ).
Если γ± — корни уравнения (4), то последнее неравенство выполняется для γ (−∞, γ−] ∪
∪ [γ+,+∞) . Учитывая свойства функции σ0(γ), имеем
σ0 (γ+) ≤ σ0 (γ) ≤ σ0 (γ−) .
Но поскольку σ0(γ) = exp(−1/γ) =Mβϕ(t)/M0 (Mβϕ) (t), то тем самым доказано (10).
Осталось убедиться в точности постоянных exp (−1/γ±) в (10). Учитывая замечание 1,
легко проверить, что функции ϕ±(t) = t−1/γ± принадлежат классу RH0,β(B). При этом для
ϕ+ левое, а для ϕ− правое неравенство в (10) обращаются в равенства.
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть α < 0, B > 1, числа γ± — корни уравнения (6) и неотрицательная на
[0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (5). Тогда выполняется неравенство
exp
(
− 1
γ+
)
≤ Mαϕ(t)
M0 (Mαϕ) (t)
≤ exp
(
− 1
γ−
)
, 0 < t ≤ b, (13)
причем постоянные exp (−1/γ±) являются точными.
Доказательство. Сначала докажем, что
t∫
0
d
du
u ln
1
u
u∫
0
ϕα(v)dv
du = t ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
, 0 < t ≤ b. (14)
Ясно, что (14) следует из равенства
lim
t→0+
t ln
1
t
t∫
0
ϕα(u) du
= 0. (15)
Для доказательства (15) воспользуемся монотонностью среднихMαϕ и условием ϕ ∈ RHα,0(B).
Тогда получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
ОБРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ 633
1
B
exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u) du
≤
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
1/α ≤ exp
1
t
t∫
0
lnϕ(u)du
.
Отсюда следует, что
α
t∫
0
lnϕ(u) du− t lnB
≥ t ln
1
t
t∫
0
ϕα(u) du
≥ α t∫
0
lnϕ(u) du.
Поскольку
∫ b
0
lnϕ(u) du сходится, левая и правая части последнего неравенства стремятся к
нулю при t→ 0+, что и доказывает (15).
Для доказательства (13) проинтегрируем от 0 до t тождество
d
dt
t ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
= ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
+
ϕα(t)
1
t
∫ t
0
ϕα(u)du
− 1.
Тогда с учетом (14) имеем
ln
1
t
t∫
0
ϕα(u) du
=
1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕα(v) dv
du+
1
t
t∫
0
ϕα(u)
1
u
∫ u
0
ϕα(v)dv
du− 1.
Ко второму слагаемому справа применим неравенство (9):
1
t
t∫
0
ϕα(u)
1
u
∫ u
0
ϕα(v) dv
du ≥ exp
1
t
t∫
0
lnϕα(u)du
exp
1
t
t∫
0
ln
1
1
u
∫ u
0
ϕα(v)dv
du
=
=
exp
(
1
t
∫ t
0
lnϕα(u)du
)
exp
(
1
t
∫ t
0
ln
(
1
u
∫ u
0
ϕα(v)dv
)
du
) .
Оценивая числитель в правой части этого неравенства с помощью условия (5), получаем
1
t
t∫
0
ϕα(u)
1
u
∫ u
0
ϕα(v)dv
du ≥ Bα
1
t
∫ t
0
ϕα(u)du
exp
(
1
t
∫ t
0
ln
(
1
u
∫ u
0
ϕα(v) dv
)
du
) =
= Bα exp
ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
− 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕα(v)dv
du
.
В результате имеем
ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
≥ 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕα(v)dv
du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
634 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
+Bα exp
ln
1
t
t∫
0
ϕα(u)du
− 1
t
t∫
0
ln
1
u
u∫
0
ϕα(v)dv
du
− 1.
Обозначим
γ =
α
1
t
∫ t
0
ln
(
1
u
∫ u
0
ϕα(v)dv
)
du− ln
(
1
t
∫ t
0
ϕα(u)du
) .
Тогда последнее неравенство примет вид
−α
γ
≥ Bα exp
(
−α
γ
)
− 1,
или, что то же самое,
σα(γ) ≤ Bσ0(γ).
Если γ± — корни уравнения (6), то последнее неравенство выполняется для γ (−∞, γ−] ∪
∪ [γ+,+∞) . Учитывая свойства функции σ0(γ), имеем
σ0 (γ+) ≤ σ0 (γ) ≤ σ0 (γ−) .
Но поскольку σ0(γ) = exp(−1/γ) =Mαϕ(t)/M0 (Mαϕ) (t), то тем самым доказано (13).
Остается убедиться в точности постоянных exp (−1/γ±) в (13). Как и при доказательстве
леммы 2, учитывая замечание 1, легко проверить, что функции ϕ±(t) = t−1/γ± принадлежат
классу RHα,0(B). При этом для ϕ+ левое, а для ϕ− правое неравенство в (13) обращаются в
равенства.
Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть β > 0, B > 1, числа γ± — корни уравнения (4) и неотрицательная
на [0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (3). Тогда функция t1/γ+M0 (Mβϕ) (t) не убывает,
а функция t1/γ−M0 (Mβϕ) (t) не возрастает на (0, b].
Доказательство. Логарифмируя левое неравенство в (10), имеем
1
γ+
+ lnMβϕ(t)− lnM0 (Mβϕ) (t) ≥ 0.
Поэтому
d
dt
(
t1/γ+M0 (Mβϕ) (t)
)
=
= t1/γ+−1M0 (Mβϕ) (t)
(
1
γ+
+ lnMβϕ(t)− lnM0 (Mβϕ) (t)
)
≥ 0,
и тем самым доказано, что функция t1/γ+M0 (Mβϕ) (t) не убывает.
Аналогично, из правого неравенства в (10) следует, что функция t1/γ−M0 (Mβϕ) (t) не
возрастает.
Следствие доказано.
Точно так же из леммы 3 получаем следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
ОБРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ 635
Следствие 2. Пусть α < 0, B > 1, числа γ± — корни уравнения (6) и неотрицательная
на [0, b] функция ϕ удовлетворяет условию (5). Тогда функция t1/γ+M0 (Mαϕ) (t) не убывает,
а функция t1/γ−M0 (Mαϕ) (t) не возрастает на (0, b].
Доказательство теоремы 1. Возведем правое неравенство в (10) в степень γ > 0 и
запишем его в виде
Mγ
βϕ(u) ≤ exp
(
− γ
γ−
)
Mγ
0 (Mβϕ) (u).
Для оценки правой части воспользуемся полученной в следствии 1 монотонностью функции
t1/γ+M0 (Mβϕ) (t) и учтем, что exp (−γ/γ+) = σγ0 (γ+) . Тогда для 0 < u ≤ t ≤ b получим
Mγ
βϕ(u) ≤ σ
γ
0 (γ−)u
−γ/γ+
(
u1/γ+M0 (Mβϕ) (u)
)γ
≤ σγ0 (γ−)u
−γ/γ+
(
t1/γ+M0 (Mβϕ) (t)
)γ
.
Если γ < γ+, то, интегрируя по u от 0 до t, приходим к неравенству
Mγ
γ (Mβϕ) (t) ≤
σγ0 (γ−)
1− γ
γ+
Mγ
0 (Mβϕ) (t),
что и доказывает (7).
Аналогично, возведем левое неравенство в (10) в степень γ < 0, воспользуемся мо-
нотонностью функции t1/γ−M0 (Mβϕ) (t) и учтем, что exp (−γ/γ−) = σγ0 (γ−) . Тогда для
0 < u ≤ t ≤ b получим
Mγ
βϕ(u) ≤ σ
γ
0 (γ+)u
−γ/γ−
(
u1/γ−M0 (Mβϕ) (u)
)γ
≤ σγ0 (γ+)u
−γ/γ−
(
t1/γ−M0 (Mβϕ) (t)
)γ
.
Если γ > γ−, то, интегрируя по u от 0 до t, приходим к неравенству
Mγ
γ (Mβϕ) (t) ≤
σγ0 (γ+)
1− γ
γ−
Mγ
0 (Mβϕ) (t),
а возведение в степень γ < 0 приводит к (8).
Осталось убедиться в точности ограничений на параметр γ. Принимая во внимание за-
мечание 1, видим, что для функций ϕ±(t) = t−1/γ± выполняется M0 (Mβϕ±) (t) =
= t−1/γ±/ (σ0 (γ±)σβ (γ±)) , Mγ+ (Mβϕ+) (t) = +∞, Mγ− (Mβϕ−) (t) = 0 и, таким обра-
зом, при γ = γ+ утверждение (7), а при γ = γ− утверджение (8) теряют силу.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. Применение леммы 3
вместо леммы 2 и следствия 2 вместо следствия 1 позволяет повторить доказательство теоре-
мы 1, в котором всюду β следует заменить на α.
1. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
2. Arin̂o M. A., Muckenhoupt B. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy’s inequality with weights for
nonincreasing functions // Trans. Amer. Math. Soc. – 1990. – 320, № 2. – P. 727 – 735.
3. Muckenhoupt B. Weighted inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 165. –
P. 533 – 565.
4. Gehring F. W. The Lp-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. – 1973. –
130. – P. 265 – 273.
5. Didenko V. D., Korenovskyi A. A. Power means and the reverse Hölder inequality // Stud. Math. – 2011. – 207, № 1.
– P. 85 – 95.
6. Диденко В. Д., Кореновский А. А. Обратное неравенство Гельдера для степенных средних // Укр. мат. вiсн. –
2012. – 9, № 1. – С. 18 – 31.
Получено 19.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|