Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій
Установлены асимптотически не улучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах (ψ,β)-дифференцируемых функций Cψβ Lp, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими условиям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяц...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164427 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій / А.С. Сердюк / Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 698-712. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164427 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644272020-02-23T20:27:21Z Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій Сердюк, А.С. Статті Установлены асимптотически не улучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах (ψ,β)-дифференцируемых функций Cψβ Lp, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими условиям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами на классах Cψβ,p,1≤p≤∞. We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets CψβLp of (ψ, β)-differentiable functions generated by sequences ψ(k) that satisfy the d’Alembert conditions. We find asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes Cψβ,p,1≤p≤∞. 2012 Article Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій / А.С. Сердюк / Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 698-712. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164427 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сердюк, А.С. Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій Український математичний журнал |
| description |
Установлены асимптотически не улучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах (ψ,β)-дифференцируемых функций Cψβ Lp, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими условиям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами на классах Cψβ,p,1≤p≤∞. |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_short |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_full |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_fullStr |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_full_unstemmed |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_sort |
наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164427 |
| citation_txt |
Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій / А.С. Сердюк / Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 698-712. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomaminaklasahperíodičnihanalítičnihfunkcíj |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:24Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:24Z |
| _version_ |
1837642406593298432 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ
ПОЛIНОМАМИ НА КЛАСАХ ПЕРIОДИЧНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets Cψβ Lp of (ψ, β)-
differentiable functions generated by sequences ψ(k) that satisfy the d’Alembert conditions. We find asymptotic equalities
for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Установлены асимптотически неулучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах
(ψ, β)-дифференцируемых функций Cψβ Lp, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими услови-
ям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяционными
тригонометрическими полиномами на классах Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
У цiй роботi продовжуються дослiдження [1 – 4] по вивченню апроксимацiйних властивостей
iнтерполяцiйних тригонометричних полiномiв Лагранжа на введених О. I. Степанцем [5, 6]
класах (ψ, β)-диференцiйовних функцiй CψβN.
Через Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, як прийнято, позначатимемо простори 2π-перiодичних сумовних
функцiй ϕ зi скiнченними нормами ‖ϕ‖p, де при p ∈ [1,∞)
‖ϕ‖p = ‖ϕ‖Lp =
2π∫
0
|ϕ(t)|pdt
1/p ,
а при p =∞
‖ϕ‖∞ = ‖ϕ‖M = ess sup
t
|ϕ(t)|,
через C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ, в якому норма задається рiвнiстю
‖ϕ‖C = max
t
|ϕ(t)|.
Позначимо через CψβN, N ⊂ L1, множину неперервних 2π-перiодичних функцiй f(x), якi при
всiх x ∈ R можна зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ(t)dt, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, (1)
з фiксованим сумовним ядром Ψβ(t), ряд Фур’є якого має вигляд
Ψβ(t) ∼
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R. (2)
Функцiю ϕ у рiвностi (1) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ (·), з
iншого боку, функцiю f називають (ψ, β)-iнтегралом функцiї ϕ i позначають через J ψβ (ϕ).
В рамках даної роботи будемо вважати, що послiдовнiсть ψ(k) коефiцiєнтiв ядра Ψβ(t)
вигляду (2) задовольняє умову Dq, q ∈ [0, 1), яка полягає у виконаннi рiвностi
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q. (3)
c© А. С. СЕРДЮК, 2012
698 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 699
Цей факт будемо записувати так: ψ ∈ Dq. Якщо ψ ∈ Dq, q ∈ [0, 1), то (див., наприклад, [6,
с. 139 – 141]) класиCψβN складаються з 2π-перiодичних функцiй f(x), якi допускають регулярне
продовження у смугу |Imz| ≤ ln
1
q
комплексної площини.
Важливим прикладом ядер Ψβ(t) вигляду (2), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умо-
ву (3) при 0 < q < 1, є вiдомi ядра Пуассона
Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (4)
Класи CψβN, породженi ядрами (4), будемо позначати через CqβN, (ψ, β)-похiднi функцiй f —
через f qβ , а (ψ, β)-iнтеграли функцiй ϕ — через J qβϕ. У роботi як N використовуватимуться,
зокрема, множини U0
p = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1}. При цьому для зручностi покладемо
Cψβ U
0
p = Cψβ,p, C
q
βU
0
p = Cqβ,p.
Нехай f ∈ C. Через S̃n−1(f ;x) позначатимемо тригонометричний полiном порядку n − 1,
що iнтерполює f(x) у вузлах x(n−1)k =
2kπ
2n− 1
, k ∈ Z, тобто такий, що
S̃n−1(f ;x
(n−1)
k ) = f(x
(n−1)
k ), k ∈ Z.
Простiр тригонометричних полiномiв tn−1, порядок яких не перевищує n − 1, позначимо
через T2n−1. Величина
En(f)Lp = inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖p, 1 ≤ p ≤ ∞,
є найкращим наближенням функцiї f ∈ Lp у метрицi простору Lp тригонометричними полiно-
мами порядку n− 1.
У данiй роботi для ψ ∈ Dq, q ∈ [0, 1), i довiльних β ∈ R, x ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞ встановлено
асимптотично непокращуванi нерiвностi типу Лебега для величин
ρ̃n(f ;x) = f(x)− S̃n−1(f ;x)
при f ∈ Cψβ Lp, а також асимптотичнi при n→∞ рiвностi для величин
Ẽn(Cψβ,p;x) = sup
f∈Cψβ,p
|ρ̃n(f ;x)|.
Основними результатами роботи є наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi якщо f ∈ Cψβ Lp, то для
довiльних n ∈ N i x ∈ R при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤ ψ(n)
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
En(fψβ )Lp . (5)
При цьому для довiльних x ∈ R, n ∈ N i f ∈ Cψβ Lp знайдеться функцiя F (·) = F (f ;n;x; ·)
така, що En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp i при n→∞ виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
700 А. С. СЕРДЮК
|ρ̃n(F ;x)| = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
En(Fψβ )Lp . (6)
У формулах (5) i (6) p′ = p/(p− 1),
K(α, q) =
1
21+1/α
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
α
, (7)
εn = εn(ψ) = sup
k≥n
∣∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣∣, (8)
s(p) =
1, p =∞,
2, 1 ≤ p <∞,
(9)
а величини O(1) рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Iз теореми 1 випливає, зокрема, що нерiвнiсть (5) є асимптотично непокращуваною на
всьому просторi Cψβ Lp при кожному x ∈ R, q ∈ (0, 1), β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Виявляється,
що ця нерiвнiсть залишається асимптотично точною i на деяких важливих пiдмножинах з
Cψβ Lp. Зокрема, розглядаючи точнi верхнi межi в обох частинах нерiвностi (5) по класах Cψβ,p,
отримуємо нерiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) ≤ ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (10)
Наступна теорема показує, що у спiввiдношеннi (10) замiсть „≤” можна поставити знак „=”.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi для довiльних x ∈ R при
n→∞ виконується асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
, (11)
в якiй p′, K(p′, q), εn, s(p) i O(1) мають той же сенс, що i в теоремi 1.
Зазначимо, що рiвнiсть (11) є iнтерполяцiйним аналогом асимптотичної рiвностi для точної
верхньої межi рiвномiрних наближень функцiй f iз класу Cψβ,p частинними сумами Фур’є
Sn−1(f) порядку n− 1
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
‖f − Sn−1(f)‖C ,
яку було знайдено в [7, c. 1090] i яка має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 701
En(Cψβ,p)C = ψ(n)
(
2
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (12)
Зiставлення (11) i (12) дозволяє записати спiввiдношення
Ẽn(Cψβ,p;x) = 2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
En(Cψβ,p)C +O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
, (13)
яке справджується при довiльних ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, x ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. При p = ∞
спiввiдношення (13) встановлено в [1, c. 1692]. Зауважимо також, що формула (11) доповнює
результат роботи [8, c. 279, 280], де було знайденo асимптотичнi рiвностi Ẽn(Cψβ,p;x) за умови,
що ψ ∈ D0.
Важливим прикладом ядер Ψβ(t) вигляду (2), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умову
ψ ∈ Dq, є полiгармонiчнi ядра Пуассона (див. [9, c. 256, 257])
Pq,β(m, t) =
∞∑
k=1
ψm(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, m ∈ N, β ∈ R, (14)
де
ψm(k) = qk
(
1 +
m−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
l=0
(k + 2l)
)
, q ∈ (0, 1), (15)
та ядра Неймана (див. [6, c. 361])
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (16)
Для величин εn вигляду (8), що породжуються послiдовностями ψ(k) =
qk
k
(у випадку ядер
Nq,β(t)), елементарно доводиться оцiнка
εn ≤
q
n
, n ∈ N. (17)
Що ж стосується величин εn, породжених послiдовностями ψ(k) = ψm(k) ядер Pq,β(m, t), то
при m = 1 для них справджується очевидна тотожнiсть
εn ≡ 0, (18)
а при m ∈ N \ {1}, як доведено в [10, c. 108] (див. також [11, c. 180]), виконується нерiвнiсть
εn = εn(m) ≤ (2m− 3)q
n
, n ∈ N. (19)
Iз теореми 2 та нерiвностей (17) – (19) отримуємо наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай класи Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, породжуються полiгармонiчними ядрами Пу-
ассона Pq,β(m, t) вигляду (14). Тодi для довiльних x ∈ R при n → ∞ i m = 1 виконується
асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qn
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
, (20)
а при m ∈ N \ {1} — асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qn
(
1 +
m−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
l=0
(n+ 2l)
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
702 А. С. СЕРДЮК
×
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
mq
n(1− q)2
)
. (21)
У рiвностях (20) i (21) p′ = p/(p − 1), K(p′, q) означено формулою (7), а величини O(1)
рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 2. Нехай класи Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, породжуються ядрами Неймана Nq,β(t) ви-
гляду (16). Тодi для довiльних x ∈ R при n→∞ виконується асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qnn
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)2
)
, (22)
в якiй p′, K(p′, q) i O(1) мають той же сенс, що i у наслiдку 1.
При 1 ≤ p′ <∞ залежнiсть величини K(p′, q) вiд параметрiв p′ i q виражається формулою
K(p′, q) =
π1/p
′
2
(
1 +
∞∑
k=1
(
(p
′
2 )k
k!
)2
q2k
)1/p′
, (23)
де (
p′
2
)
k
=
p′
2
(
p′
2
+ 1
)(
p′
2
+ 2
)
· · ·
(
p′
2
+ k − 1
)
.
Щоб переконатись у справедливостi (23), досить з урахуванням зображення
π∫
−π
(1− 2q cosx+ q2)−p
′/2dx =
π∫
−π
(1− qeix)−p
′/2(1− qe−ix)−p
′/2dx
та вiдомого розкладу
(1− qeix)−
p′
2 = 1 +
∞∑
k=1
(p′/2)k
k!
qkeikx, x ∈ R, q ∈ (0, 1), (24)
використати рiвнiсть Парсеваля.
Позначивши через F (a, b; c; z) гiпергеометричну функцiю Гаусса
F (a, b; c; z) = 1 +
∞∑
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
,
iз (23) i (24) одержуємо
K(p′, q) =
π1/p
′
2
F 1/p′
(
p′
2
,
p′
2
; 1; q2
)
, 1 ≤ p′ <∞, q ∈ (0, 1). (25)
На пiдставi (25) асимптотичну рiвнiсть (11) при 1 ≤ p′ <∞ можна записати у виглядi
Ẽn(Cψβ,p;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′F 1/p′
(
p′
2
,
p′
2
; 1; q2
)
+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (26)
Зокрема, при p′ = 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 703
K(p′, q) = K(1, q) =
π
2
F
(
1
2
,
1
2
; 1; q2
)
= K(q), (27)
де K(q) =
∫ π/2
0
du√
1− q2 sin2 u
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а при p′ = 2
K(p′, q) = K(2, q) =
√
π
2
F 1/2(1, 1; 1; q2) =
√
π
2
√
1− q2
. (28)
Iз (26) – (28) маємо
Ẽn(Cψβ,∞;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
16
π2
K(q) +O(1)
(
q
n(1− q)
+
εn
(1− q)2
))
, (29)
Ẽn(Cψβ,2;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2√
π(1− q2)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
. (30)
Рiвнiсть (29) встановлено в роботi [1, c. 1691].
При p′ =∞, як випливає з (7),
K(p′, q) = K(∞, q) =
1
2
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
∞
=
1
2(1− q)
. (31)
Iз (11) i (31) отримуємо асимптотичну формулу
Ẽn(Cψβ,1;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π(1− q)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
. (32)
Асимптотичнi рiвностi (30) i (32) одержано вперше.
Доповненням теореми 1 при q = 0 є наступне твердження.
Теорема 3. Нехай ψ ∈ D0, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, x ∈ R i n ∈ N. Тодi якщо f ∈ Cψβ C або
f ∈ Cψβ L∞, то при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
En(fψβ )L∞ , (33)
якщо ж f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, то при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp . (34)
При цьому для довiльних f ∈ Cψβ C
(
Cψβ L∞
)
, x ∈ R i n ∈ N знайдеться функцiя F (·) =
= F (f ;n;x; ·) ∈ Cψβ C така, що En(Fψβ )C = En(fψβ )L∞ i при n→∞ виконується рiвнiсть
|ρ̃n(F ;x)| =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
En(Fψβ )C , (35)
а для довiльних f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, n ∈ N i x ∈ R знайдеться функцiя F (·) = F (f ;n;x; ·) ∈
∈ Cψβ Lp така, що En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp i при n→∞ виконується рiвнiсть
|ρ̃n(F ;x)| =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(Fψβ )Lp . (36)
У формулах (34) i (36) p′ = p/(p − 1), а величини O(1) рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх
розглядуваних параметрiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
704 А. С. СЕРДЮК
Нерiвностi (33), (34) залишаються асимптотично непокращуваними не тiльки на всiх про-
сторах Cψβ L∞ та Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, при ψ ∈ D0 i кожному x ∈ R та β ∈ R, але й на таких
важливих їхнiх пiдмножинах, якими є класи Cψβ,∞ та Cψβ,p. Цей факт випливає з наступних
мiркувань. Розглянемо точнi верхнi межi в обох частинах нерiвностi (33) по класу Cψβ,∞ i точнi
верхнi межi в обох частинах нерiвностi (34) по класах Cψβ,p, 1 ≤ p <∞. В результатi одержимо
нерiвностi
Ẽn(Cψβ,∞;x) ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
, (37)
Ẽn(Cψβ,p;x) ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
, 1 ≤ p <∞. (38)
Зiставляючи два останнi спiввiдношення з рiвностями (15) i (16) роботи [8, c. 279, 280], з яких,
зокрема, випливають асимптотичнi формули
Ẽn(Cψβ,∞;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
, (39)
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
, 1 ≤ p <∞, (40)
робимо висновок, що у спiввiдношеннях (37) i (38) насправдi можна поставити знаки рiвностi.
Доведення теореми 1. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1. Тодi згiдно з лемою 1 роботи [1,
c. 1694] для довiльної функцiї f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, β ∈ R, у кожнiй точцi x ∈ R має мiсце
iнтегральне зображення
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
( ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn) + rn(t)
)
dt, (41)
в якому δn(τ) = fψβ (τ)− tn−1(τ), tn−1(·) — довiльний тригонометричний полiном iз множини
T2n−1, а rn(t) i γn означенi за допомогою рiвностей
rn(t) = rn(ψ;β;x; t) =
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) sin
(
νt+
(
k +
1
2
)
(2n− 1)x+
βπ
2
)
, (42)
γn = γn(β;x) =
(2n− 1)x+ π(β − 1)
2
. (43)
При цьому, згiдно з формулами (20) i (21) роботи [1, c. 1696], для залишкового члена rn(t) за
умови ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), при достатньо великих n виконується оцiнка
|rn(t)| ≤
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) ≤ ψ(n)(q + εn)2n−1
(1− q − ε3n−1)(1− (q + εn)2n−1)
, (44)
в якiй εm = εm(ψ) = sup
k≥m
∣∣∣∣ψ(k+1)
ψ(k) − q
∣∣∣∣, m ∈ N. Крiм того, згiдно з лемою 1 роботи [12, c. 379]
справджується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 705
∞∑
k=n
ψ(ν) cos(kt+ γn) = ψ(n)
(
q−n
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn) + r̄n(t)
)
, (45)
де для залишкового члена r̄n(t) = r̄n(ψ, γn, t), починаючи з деякого номера n0, виконується
нерiвнiсть
|r̄n(t)| ≤ εn
(1− q − εn)(1− q)
. (46)
Об’єднуючи спiввiдношення (41), (44) – (46), отримуємо формулу
ρ̃n(f ;x) =
2
π
ψ(n) sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
(
q−n
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
dt. (47)
Беручи в (47) за tn−1(·) полiном t∗n−1(·) найкращого наближення у просторi Lp функцiї fψβ (·),
тобто такий, що
‖fψβ − t
∗
n−1‖p = En(fψβ )Lp , 1 ≤ p ≤ ∞,
i застосовуючи нерiвнiсть Гельдера
π∫
−π
|h(t)g(t)|dt ≤ ‖h‖p‖g‖p′ , h ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, g ∈ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, (48)
для довiльної функцiї f ∈ Cψβ Lp маємо
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
p′
+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
En(fψβ )Lp . (49)
У роботi [7, c. 1087, 1088] (див. також [13, c. 1400, 1401]) доведено, що для довiльних q ∈ (0, 1),
ξ ∈ R i 1 ≤ α ≤ ∞ справедливою є асимптотична при n→∞ рiвнiсть∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
qk cos(kt+ ξ)
∥∥∥∥∥
α
= qn
(
2
π1/α
‖ cos t‖αK(α, q) +O(1)
q
n(1− q)σ(α)
)
, (50)
в якiй
σ(α) =
1, α = 1,
2, 1 < α ≤ ∞,
K(α, q) означена рiвнiстю (7), а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n, α, q i ξ. Викори-
стовуючи рiвнiсть (50) при α = p′ i ξ = γn, iз (49) одержуємо оцiнку (5).
Доведемо другу частину теореми 1. На пiдставi iнтегрального зображення (41), спiввiдно-
шень (44) – (46) та ортогональностi функцiї rn(t) вигляду (42) до будь-якого тригонометричного
полiнома tn−1 ∈ T2n−1, для довiльної функцiї f з множини Cψβ Lp, ψ ∈ Dq отримуємо рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
706 А. С. СЕРДЮК
ρ̃n(f ;x) =
2
π
ψ(n) sin
2n− 1
2
x
(
q−n
π∫
−π
fψβ (t+ x)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(fψβ )Lp
)
. (51)
Зауважимо, що для функцiї
gx(·) :=
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=1
qk cos(kt+ γn)dt,
де γn = γn(β;x) означена формулою (43), при кожному фiксованому x ∈ R
ρn(gx; ·) = f(·)− Sn−1(gx; ·) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt
i, зокрема,
ρn(gx;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ x)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt. (52)
У вiдповiдностi з теоремою 3 роботи [14, c. 310] при кожному n ∈ N для функцiї gx(·)
знайдеться функцiя ϕ̄(t) = ϕ̄(n;x; t) така, що
En(ϕ̄)Lp = En(fψβ )Lp (53)
i для (q, 2γn/π)-iнтеграла цiєї функцiї ϕ̄, який позначимо через G (тобто G(·) = J q2γn/π(·)),
виконується рiвнiсть
‖ρn(G; ·)‖C = qn
(
2‖ cos t‖p′
π1+1/p′
K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
En(fψβ )Lp , (54)
де
G(·) = J q2γn/πϕ̄(·) =
1
π
π∫
−π
ϕ̄(·+ t)
∞∑
k=1
qk cos(kt+ γn)dt.
Виберемо точку x0 таким чином, щоб виконувалась рiвнiсть
|ρn(G;x0)| = ‖ρn(G; ·)‖C . (55)
Розглянемо функцiю F (t) := J ψβ ϕ̄(t − x + x0) i покажемо, що вона буде шуканою. Дiйсно,
оскiльки Fψβ (t) = ϕ̄(t − x + x0), то з урахуванням (53) та iнварiантностi норми функцiї в Lp,
1 ≤ p ≤ ∞, вiдносно зсуву аргумента маємо
En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp .
Крiм того, на пiдставi (51), (52), (54) i (55) для довiльного заданого x ∈ R отримуємо
|ρ̃n(F ;x)| = 2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n
∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ̄(t+ x0)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt
∣∣∣∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 707
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(Fψβ )Lp
)
=
= 2ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n‖ρn(G; ·)‖C +O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(fψβ )Lp
)
=
= ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4‖ cos t‖p′
π1+1/p′
K(p′, q) +O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)s(p)
))
En(fψβ )Lp .
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Будемо вiдштовхуватись вiд iнтегрального зображення (47), яке
має мiсце для довiльної функцiї f з множини Cψβ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1). Розглянемо
точнi верхнi межi модулiв обох частин рiвностi (47) при tn−1 ≡ 0 i довiльному фiксованому
x ∈ R по класу Cψβ,p. З огляду на iнварiантнiсть множини U0
p вiдносно зсуву аргументу будемо
мати
Ẽn(Cψβ,p;x) = sup
f∈Cψβ,p
|ρ̃n(f ;x)| =
=
2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n sup
ϕ∈U0
p
π∫
−π
ϕ(t)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
. (56)
Як випливає iз спiввiдношень двоїстостi (див., наприклад, [15, c. 27])
sup
ϕ∈U0
p
π∫
−π
ϕ(t)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt = inf
λ∈R
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)− λ
∥∥∥∥
p′
. (57)
У роботi [7, c. 1087, 1088] доведено рiвномiрну вiдносно всiх розглядуваних параметрiв оцiнку
inf
λ∈R
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ ξ)− λ
∥∥∥∥
p′
=
= qn
(
‖ cos t‖p′
(2π)1/p′
∥∥∥∥∥ 1
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
p′
+O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
=
= qn
(
2‖ cos t‖p′
π1/p′
K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
, (58)
де q ∈ (0, 1),
1
p
+
1
p′
= 1, 1 ≤ p ≤ ∞, ξ ∈ R, n ∈ N, а K(p′, q) i s(p) означено формулами (7) i
(9) вiдповiдно. Застосовуючи оцiнку (58) при ξ = γn i враховуючи (56) i (57), одержуємо (11).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
708 А. С. СЕРДЮК
Доведення теореми 3. Нехай f ∈ Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈ D0. Згiдно з лемою 1 роботи [1,
c. 1694] має мiсце iнтегральне зображення (41). З огляду на (42) для залишкового члена rn(t)
у формулi (41) можна записати очевидну оцiнку
|rn(t)| ≤
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν). (59)
Оскiльки для довiльної ψ ∈ D0 при досить великих n
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) ≤ 1
1− ε3n−1
∞∑
k=1
ψ((2k + 1)n− k), (60)
де εn = sup
k≥n
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
∣∣∣∣, то на пiдставi (41), (59) i (60) маємо
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
( ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn) +O(1)
∞∑
k=3n−1
ψ(k)
)
dt. (61)
Якщо f ∈ Cψβ L∞ (Cψβ C), то, взявши в (61) за tn−1 полiном t∗n−1 найкращого наближення у
просторi L∞ функцiї fψβ i застосувавши нерiвнiсть (48) при p =∞, одержимо оцiнку
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
1
+O(1)
∞∑
k=3n−1
ψ(k)
)
En(fψβ )L∞ . (62)
Як випливає з роботи [16, c. 512, 513],∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
1
=
= ‖ψ(n) cos(nt+ γn) + ψ(n+ 1) cos((n+ 1)t+ γn)‖1 +O(1)
∞∑
k=n+2
ψ(k) ≤
≤ 4ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
)
. (63)
Спiввiдношення (62) i (63) доводять нерiвнiсть (33). Якщо ж f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, то,
взявши в (61) за tn−1 полiном t∗∗n−1 найкращого наближення функцiї fψβ у метрицi простору Lp
i застосувавши нерiвнiсть (48), одержимо
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
ψ(n)‖ cos(nt+ γn)‖p′ +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp =
=
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
ψ(n)‖ cos t‖p′ +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp . (64)
Доведемо другу частину теореми 3. Виходячи з iнтегрального зображення (61) i враховуючи
ортогональнiсть функцiї
∑∞
k=n+2
ψ(k) cos(kt + γn) + rn(t) до будь-якого тригонометричного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 709
полiнома tn−1 ∈ T2n−1, для довiльної функцiї f з множини Cψβ L∞, ψ ∈ D0, β ∈ R, отримуємо
рiвнiсть
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
(
ψ(n)
π∫
−π
fψβ (t+ x)
(
cos(nt+ γn)+
+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt+O(1)
∞∑
k=n+2
ψ(k)En(fψβ )L∞
)
. (65)
З огляду на (65) для доведення (35) досить встановити, що для довiльних x ∈ R i ϕ ∈ L0
∞ =
= {ϕ ∈ L∞ : ϕ ⊥ 1} iснує функцiя Φ(·) = Φ(ϕ;x; ·) ∈ C, для якої
En(Φ)C = En(ϕ)∞, n ∈ N,
i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
(
4 +O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2)
En(ϕ)∞. (66)
Покладемо
ϕ0(t) = ϕ0(n;x;β; t) = sign sin
(
nt− x
2
+
πβ
2
)
En(ϕ)∞
i через ϕδ(t) = ϕδ(n;x;β; t) позначимо 2π-перiодичну функцiю, яка збiгається з ϕ0(t) скрiзь,
за винятком δ-околiв
(
δ <
π
2n
)
точок tk =
2kπ + x− πβ
2n
, k ∈ Z, де вона лiнiйна i її графiк
сполучає точки (tk−δ, ϕ0(tk−δ)) i (tk+δ, ϕ0(tk+δ)). Функцiя ϕδ(t) неперервна i у точках τk =
=
(2k − 1)π + x− πβ
2n
, k = 1, 2, . . . , 2n, перiоду
(
x− βπ
2n
, 2π +
x− πβ
2n
]
досягає по модулю
максимального значення, яке дорiвнює En(ϕ)∞, почергово змiнюючи знак. Тому її полiном
найкращого рiвномiрного наближення порядку не вищого n− 1, згiдно з критерiєм Чебишова,
є полiномом, що тотожно дорiвнює нулю i, отже,
En(ϕδ)C = ‖ϕδ‖C = En(ϕ)∞. (67)
На пiдставi (67) i (48)∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
π∫
−π
∣∣∣∣ cosnt+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos
(
(n+ 1)t− γn
n
) ∣∣∣∣dtEn(ϕ)∞. (68)
Iз нерiвностi (19) роботи [16, c. 513] випливає оцiнка
π∫
−π
∣∣∣∣ cosnt+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos
(
(n+ 1)t− γn
n
) ∣∣∣∣dt ≤ 4 +O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
. (69)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
710 А. С. СЕРДЮК
З iншого боку,∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣+O(1)rn(δ), (70)
де
rn(δ) =
∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
(
ϕδ(t+ x)− ϕ0(t+ x)
)(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∥∥∥∥∥∥
C
.
(71)
Оскiльки ψ ∈ D0, то для досить великих номерiв n
ψ(n+ 1)
ψ(n)
< 1 i, отже, як неважко пiдраху-
вати,
rn(δ) < 2
π∫
−π
|ϕδ(t)− ϕ0(t)|dt ≤ 8nδEn(ϕ)∞. (72)
Вибравши δ настiльки малим, щоб виконувалась умова
0 < δ <
1
n
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
, (73)
iз (72) одержимо оцiнку
rn(δ) = O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
En(ϕ)∞. (74)
Оскiльки
∫ π
−π
ϕ0(t+ x) cos((n+ 1)t+ γn)dt = 0, то∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
π∫
−π
| cos(nt+ γn)|dtEn(ϕ)∞ = 4En(ϕ)∞. (75)
Об’єднання формул (68) – (70), (74) i (75) дозволяє стверджувати, що для функцiї Φ(t) = ϕδ(t),
параметр δ якої задовольняє умову (73), при n → ∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть (66), а
отже, i (35).
Для доведення (36) знову скористаємось iнтегральним зображенням (61), а також ортого-
нальнiстю функцiї
∑∞
k=n+1
ψ(k) cos(kt + γn) + rn(t) до будь-якого тригонометричного полi-
нома tn−1 ∈ T2n−1. В результатi одержимо, що для довiльної функцiї f(x) з множини Cψβ Lp,
1 ≤ p <∞, ψ ∈ D0, β ∈ R, виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 711
ρ̃n(f ;x) =
=
2
π
sin
2n− 1
2
x
(
ψ(n)
π∫
−π
fψβ (t+ x) cos(nt+ γn)dt+O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)En(fψβ )Lp
)
, x ∈ R.
(76)
З огляду на (76), щоб переконатися в iстинностi (34), досить показати, що якими б не були
функцiя ϕ ∈ Lp, 1 ≤ p <∞, i точка x ∈ R, знайдеться функцiя Φ(·) = Φ(ϕ;x; ·), для якої
En(Φ)Lp = En(ϕ)Lp , n ∈ N, (77)
i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣ = ‖ cos t‖p′En(ϕ)Lp . (78)
Покажемо, що шуканою функцiєю Φ(·) є функцiя
Φ(t) =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
∣∣∣∣ cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
) ∣∣∣∣p′−1sign cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
)
. (79)
Спочатку переконаємось у справедливостi рiвностi (77). Дiйсно, з одного боку,
‖Φ(t)‖p = ‖ cos t‖1−p
′
p′
∥∥∥∥ cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
)∥∥∥∥p′−1
p′
En(ϕ)Lp = En(ϕ)Lp . (80)
Крiм того, оскiльки для довiльного тригонометричного полiнома tn−1 ∈ T2n−1
π∫
−π
tn−1(τ)|Φ(τ)|p−1sign Φ(τ)dτ =
=
(
‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
)p−1 π∫
−π
tn−1(τ) cos
(
nτ − x
2
+
π(β − 1)
2
)
dτ = 0,
то на пiдставi твердження 1.4.6 роботи [15, c. 28] полiном t∗n−1 ≡ 0 є полiномом найкращого
наближення функцiї Φ(t) в метрицi простору Lp, 1 ≤ p <∞. Отже, з урахуванням (80)
En(Φ)Lp = ‖Φ‖p = En(ϕ)Lp .
Рiвнiсть (78) випливає з того, що з урахуванням (79) i (43)∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
∣∣∣∣cos
(
n(t+ x)− x
2
+
π(β − 1)
2
)∣∣∣∣p′−1 ×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
712 А. С. СЕРДЮК
× sign cos
(
n(t+ x)− x
2
+
π(β − 1)
2
)
cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
π∫
−π
| cos(nt+ γn)|p′dt = ‖ cos t‖p′En(ϕ)Lp .
Теорему 3 доведено.
1. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение периодических аналитических функций интерполяционными
тригонометрическими многочленами // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – C. 1689 – 1701.
2. Степанець О. I., Сердюк А. С. Оцiнкa залишку наближення iнтерполяцiйними тригонометричними многочле-
нами на класах нескiнченно диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та її застосування: Пр.
Iн-ту математики НАН України. – 2000. – 31. – С. 446 – 460.
3. Сердюк А. С. Про асимптотично точнi оцiнки похибки наближення iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами функцiй високої гладкостi // Доп. НАН України. – 1999. – № 8. – C. 29 – 33.
4. Сердюк А. С. Наближення нескiнченно диференцiйовних перiодичних функцiй iнтерполяцiйними тригономет-
ричними полiномами // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – C. 495 – 505.
5. Степанец А. И. Класификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 286 с.
6. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. I.
– 427 с.
7. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн.
– 2005. – 57, № 8. – C. 1079 – 1096.
8. Сердюк А. С., Войтович В. А. Наближення класiв цiлих функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – С. 274 – 297.
9. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 376 с.
10. Сердюк А. С., Чайченко С. О. Наближення класiв аналiтичних функцiй лiнiйним методом спецiального вигляду
// Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 1. – C. 102 – 109.
11. Serdyuk А. S., Sokolenko I. V. Asymptotic behavior of best approximations of classes of periodic analitic functions
defined by moduli of continuity // Bulgar.-Turkish-Ukr. Sci. Conf. ”Math. Analysis, Different. Equat. and their Appl. ”,
Sunny Beach, Sept. 15 – 20, 2010. – Sofia: Acad. Publ. House ”Prof. Marin Drinov”, 2011. – P. 173 – 182.
12. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналити-
ческих функций // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 3. – C. 375 – 395.
13. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp // Укр. мат. журн.
– 2005. – 57, № 10. – C. 1395 – 1408.
14. Сердюк А. С., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближеннi iнтегралiв
Пуассона // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – С. 298 – 316.
15. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
16. Теляковский С. А. О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 4. – C. 510 – 518.
Одержано 04.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|