Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными
Для неперiодичних функцiй x∈Lr∞(R), що заданi на всiй дiйснiй осi, доведено аналоги нерiвностi В. Ф. Бабенка. Отриманi нерiвностi оцiнюють норми похiдних ||x(k)±||Lq[a,b] на довiльному промiжку [a,b]⊂R такому, що x^(k)(a)=x^(k) (b)=0, через локальнi Lp-норми функцiй x i рiвномiрнi несиметричнi норми...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164428 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 636-648. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164428 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644282020-02-23T20:24:07Z Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными Кофанов, В.А. Статті Для неперiодичних функцiй x∈Lr∞(R), що заданi на всiй дiйснiй осi, доведено аналоги нерiвностi В. Ф. Бабенка. Отриманi нерiвностi оцiнюють норми похiдних ||x(k)±||Lq[a,b] на довiльному промiжку [a,b]⊂R такому, що x^(k)(a)=x^(k) (b)=0, через локальнi Lp-норми функцiй x i рiвномiрнi несиметричнi норми старших похiдних x(r) цих функцiй. For nonperiodic functions x∈Lr∞(R) defined on the entire real axis, we prove analogs of the Babenko inequality. The obtained inequalities estimate the norms of derivatives ∥∥x(k)±∥∥Lq[a,b] on an arbitrary interval [a, b] ⊂ R such that x^(k) (a) = x^(k) (b) = 0 via local L p -norms of the functions x and uniform nonsymmetric norms of the higher derivatives x(r) of these functions. 2012 Article Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 636-648. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164428 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кофанов, В.А. Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными Український математичний журнал |
| description |
Для неперiодичних функцiй x∈Lr∞(R), що заданi на всiй дiйснiй осi, доведено аналоги нерiвностi В. Ф. Бабенка. Отриманi нерiвностi оцiнюють норми похiдних ||x(k)±||Lq[a,b] на довiльному промiжку [a,b]⊂R такому, що x^(k)(a)=x^(k) (b)=0, через локальнi Lp-норми функцiй x i рiвномiрнi несиметричнi норми старших похiдних x(r) цих функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Кофанов, В.А. |
| author_facet |
Кофанов, В.А. |
| author_sort |
Кофанов, В.А. |
| title |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| title_short |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| title_full |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| title_fullStr |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| title_full_unstemmed |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| title_sort |
неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164428 |
| citation_txt |
Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 636-648. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kofanovva neravenstvadlâproizvodnyhfunkcijnaosisnesimmetričnoograničennymistaršimiproizvodnymi |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:28Z |
| _version_ |
1837642409805086720 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ
С НЕСИММЕТРИЧНО ОГРАНИЧЕННЫМИ СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
For nonperiodic functions x ∈ Lr∞(R) defined on the entire real axis, we prove analogs of the Babenko inequality.
The obtained inequalities estimate the norms of derivatives
∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
on an arbitrary interval [a, b] ⊂ R such that
x(k)(a) = x(k)(b) = 0 via local Lp-norms of the functions x and uniform nonsymmetric norms of the higher derivatives
x(r) of these functions.
Для неперiодичних функцiй x ∈ Lr∞(R), що заданi на всiй дiйснiй осi, доведено аналоги нерiвностi В. Ф. Бабен-
ка. Отриманi нерiвностi оцiнюють норми похiдних
∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
на довiльному промiжку [a, b] ⊂ R такому, що
x(k)(a) = x(k)(b) = 0, через локальнi Lp-норми функцiй x i рiвномiрнi несиметричнi норми старших похiдних x(r)
цих функцiй.
1. Введение. Пусть G ⊂ R — некоторое измеримое множество. Через Lp(G), 0 < p ≤ ∞,
будем обозначать пространство измеримых функций x : G→ R таких, что ‖x‖Lp(G) <∞, где
‖x‖Lp(G) :=
∫
G
|x (t)|p dt
1/p
, если 0 < p <∞,
vrai sup
t∈G
|x (t)| , если p =∞.
В качестве G будем рассматривать отрезок [a, b], действительную ось R или окружность T,
реализованную в виде отрезка [0, 2π] с отождествленными концами. Если x ∈ Lp(T), 0 < p ≤
≤ ∞, то положим для краткости ‖x‖p := ‖x‖Lp(T) и для x ∈ L∞(R) вместо ‖x‖L∞(R) также
будем писать ‖x‖∞. Для α, β > 0 и x ∈ L∞(R) положим
‖x‖∞,α,β := ‖αx+ + βx−‖∞,
где x±(t) := max{x±(t), 0}.
Через Lr∞(R) будем обозначать пространство функций x ∈ L∞(R), имеющих локально
абсолютно непрерывные производные до (r − 1)-го порядка, причем x(r) ∈ L∞(R). Положим
W r
∞,α,β(R) :=
{
x ∈ Lr∞(R) :
∥∥∥x(r)
∥∥∥
∞,α−1,β−1
≤ 1
}
.
Символом ϕα,βr (t) обозначим r-й 2π-периодический интеграл с нулевым средним значением
на периоде от 2π-периодической функции ϕα,β0 (t), определенной на [0, 2π] следующим образом:
ϕα,β0 (t) :=
α, если t ∈ [0, 2πβ/(α+ β)],
−β, если t ∈ [2πβ/(α+ β), 2π].
Заметим, что ϕ1,1
r является идеальным сплайном Эйлера ϕr порядка r.
Известно и имеет ряд интересных приложений неравенство А. А. Лигуна [1] для функций
x ∈ Lr∞(T), k, r ∈ N, k < r, q ∈ [1,∞) :
c© В. А. КОФАНОВ, 2012
636 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 637∥∥∥x(k)
∥∥∥
q
≤ ‖ϕr−k‖q
‖ϕr‖1−k/r∞
‖x‖1−k/r∞
∥∥∥x(r)
∥∥∥k/r
∞
. (1.1)
В. Ф. Бабенко [2] получил следующее обобщение неравенства (1.1) для функций x ∈ Lr∞(T)
с несимметричными ограничениями на старшую производную:
‖x(k)
± ‖q ≤
∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)1−k/r
‖x(r)‖k/r∞, α−1, β−1 , (1.2)
где E0(x)∞ := inf
{
‖x− c‖∞ : c ∈ R
}
, а x(k)
± := (x(k))±.
Другое обобщение неравенства (1.1) для непериодических функций на всей оси дали Б. Боя-
нов и Н. Найденов [3]. Для произвольного отрезка [a, b] ⊂ R они нашли точные верхние грани
норм производных
∥∥x(k)
∥∥
Lq [a,b]
, k = 1, . . . , r − 1, на классе функций x ∈ Lr∞(R) таких, что
‖x(r)‖∞ ≤ Ar, ‖x‖∞ ≤ A0.
В [4] для произвольного отрезка [a, b] ⊂ R решена задача вычисления точных верхних
граней норм функций и их производных
∥∥x(k)
∥∥
Lq [a,b]
, k = 0, 1, . . . , r − 1, на классах функций
x ∈ Lr∞(R), удовлетворяющих более общим ограничениям ‖x(r)‖∞ ≤ Ar, L(x)p ≤ A0, где [5]
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
, p > 0.
В настоящей работе получены аналоги неравенства (1.2) для непериодических функций,
определенных на всей оси (теоремы 3 и 4). Из них, в частности, следует, что для любой
функции x ∈ Lr∞(R) и произвольного отрезка [a, b] ⊂ R, удовлетворяющих условиям
x(k)(a) = x(k)(b) = 0,
b∫
a
x(k)(t)dt = 0, (1.3)
выполняется неравенство
‖x(k)
± ‖Lq [a,b] ≤ m
1/q
± (x(k))
∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)1−k/r
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 , (1.4)
где
m±(x(k)) := min
{
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
,
b− a
2π
}
,
µ±(x(k)) := µ{t ∈ [a, b] : x
(k)
± (t) > 0}, (1.5)
µ±(ϕα,βr−k) := µ{t ∈ [0, 2π] : (ϕα,βr−k)±(t) > 0}.
Если же выполнено только первое из условий (1.3), то величинуm±(x(k)) в неравенстве (1.4)
следует заменить на
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
.
Кроме того, доказаны неравенства более общие, чем (1.4), в которых величины E0(x)∞
заменены на L(x±)p. Все неравенства, полученные в данной работе, являются точными на
соответствующих классах.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
638 В. А. КОФАНОВ
2. Вспомогательные утверждения. Для λ > 0 положим ϕα,βλ,r (t) := λ−rϕα,βr (λt).
Лемма 1. Пусть r ∈ N, p > 0, α, β > 0. Если для функции W r
∞,α,β(R) число λ > 0
выбрано так, что
L(x±)p ≤ L
((
ϕα,βλ,r
)
±
)
p
, (2.1)
то
‖x±‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r )±
∥∥∥∥
∞
. (2.2)
Доказательство. Предположим, что неравенство (2.2) не выполняется. Тогда существует
ω < λ такое, что
max
‖x+‖∞∥∥∥∥(ϕα,βω,r)+
∥∥∥∥
∞
,
‖x−‖∞∥∥∥∥(ϕα,βω,r)−
∥∥∥∥
∞
= 1.
Пусть, например,
‖x+‖∞ =
∥∥∥∥(ϕα,βω,r)+
∥∥∥∥
∞
, ‖x−‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βω,r)−
∥∥∥∥
∞
. (2.3)
Выберем t0 ∈ R, удовлетворяющее условию∥∥∥∥(ϕα,βω,r)+
∥∥∥∥
∞
= ϕα,βω,r (t0), (2.4)
и пусть c1 — наибольший нуль сплайна ϕα,βω,r в промежутке (−∞, t0), а c2 — наименьший нуль
сплайна ϕα,βω,r в промежутке (t0,∞, ). Для любого достаточно малого ε > 0 существуют точки
t1ε ∈ (c1, t0) и t2ε ∈ (t0, c2), для которых
ϕα,βω,r (t1ε) = ϕα,βω,r (t2ε) =
∥∥∥∥(ϕα,βω,r)+
∥∥∥∥
∞
− ε.
Положим δ1 := t0− t1ε и δ2 := t2ε − t0. Ясно, что δi → 0 при ε→ 0, i = 1, 2. Для достаточно
малых ε > 0 определим функцию ψε(t) на [c1, c2] следующим образом:
ψε(t) :=
ϕα,βω,r (t− δ1), если t ∈ [c1 + δ1, t0],
ϕα,βω,r (t+ δ2), если t ∈ [t0, c2 − δ2],
0, если t ∈ [c1, c1 + δ1] ∪ [c2 − δ2, c2].
Очевидно, что ψε(t0) = ‖ϕα,βω,r ‖∞ − ε и ψε(t) → ϕα,βω,r (t) для t ∈ [c1, c2] при ε → 0. Поскольку
L(x)p < ∞, из (2.3) и (2.4) следует существование такого сдвига xε(t) := x(t + τε), что
x′ε(t0) = 0 и
|xε(t0)| ≥
∥∥∥∥(ϕα,βω,r)+
∥∥∥∥
∞
− ε = ψε(t0). (2.5)
Кроме того, в силу (2.3) функция x удовлетворяет условиям теоремы сравнения Хермандера [6]
(см. также [7, с. 96]). Согласно этой теореме из (2.5) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 639
|xε(t)| ≥ ψε(t), t ∈ [c1 + δ1, c2 − δ2].
Поэтому
L(x+)p = L((xε)+)p ≥ ‖ψε‖Lp[c1+δ1, c2−δ2].
Переходя в этом неравенстве к пределу при ε→ 0, получаем
L((x)+)p ≥ L
((
ϕα,βω,r
)
+
)
p
> L
((
ϕα,βλ,r
)
+
)
p
,
что противоречит (2.1).
Лемма 1 доказана.
Для f ∈ L1[a, b] символом r(f, t), t ∈ [0, b − a], обозначим убывающую перестановку
функции f [8] (см. также [9]) и положим r(f, t) = 0 для t > b− a.
Лемма 2. Пусть k, r ∈ N, k < r, q ≥ 1, p > 0, α, β > 0. Если для функции W r
∞,α,β(R)
число λ > 0 выбрано так, что
L(x±)p ≤ L
((
ϕα,βλ,r
)
±
)
p
, (2.6)
то
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βλ,r−k
)
±
)
q
. (2.7)
Кроме того, для любого отрезка [a, b] ⊂ R такого, что
x(k)(a) = x(k)(b) = 0, |x(k)(t)| > 0, t ∈ (a, b), (2.8)
выполнены неравенства∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βλ,r−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βλ,r−k)±
∥∥∥∥
q
, (2.9)
где µ±(x(k)) := µ
{
t ∈ [a, b] : x
(k)
± (t) > 0
}
, µ±(ϕα,βλ,r−k) := µ
{
t ∈ [0, 2π/λ] : (ϕα,βλ,r−k)±(t) > 0
}
.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу леммы 1 из (2.6) следует неравенст-
во (2.2). Из (2.2) и неравенства Хермандера [6] (см. также [7, с. 101]) вытекает, что для любого
m = 0, 1, 2, . . . , r − 1
‖x(m)
± ‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r−m)±
∥∥∥∥
∞
. (2.10)
Докажем сначала (2.7) для q = 1.Пусть [a, b] — произвольный отрезок такой, что x(k)
+ (t) > 0,
t ∈ (a, b). Тогда
b∫
a
x
(k)
+ (t)dt = x(k−1)(b)− x(k−1)(a) ≤ ‖x(k−1)
+ ‖∞ + ‖x(k−1)
− ‖∞.
Применяя далее (2.10) (при m = k − 1), получаем
b∫
a
x
(k)
+ (t)dt ≤
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r−k+1
)
+
∥∥∥∥
∞
+
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r−k+1
)
−
∥∥∥∥
∞
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
640 В. А. КОФАНОВ
= ϕα,βλ,r−k+1(c2)− ϕα,βλ,r−k+1(c1) =
c2∫
c1
(
ϕα,βλ,r−k
)
+
(t)dt,
где c1 — точка минимума ϕα,βλ,r−k+1, а c2 — ближайшая к ней справа точка максимума ϕα,βλ,r−k+1.
Отсюда следует неравенство (2.7) (при q = 1) для x(k)
+ . Справедливость (2.7) (при q = 1) для
x
(k)
− проверяется аналогично.
Докажем теперь (2.7) для любого q > 1. Как и в случае q = 1, ограничимся доказательст-
вом (2.7) для x
(k)
+ . Зафиксируем произвольный отрезок [a, b] ⊂ R, удовлетворяющий усло-
вию (2.8), и пусть x
(k)
+ (t) > 0, t ∈ (a, b). Для доказательства (2.7) достаточно проверить
выполнение неравенства
b∫
a
x
(k)
+ (t)qdt ≤
c+2π/λ∫
c
(
ϕα,βλ,r−k
)q
+
(t)dt, (2.11)
где c — точка локального минимума ϕα,βλ,r−k+1. Для краткости через x̄ обозначим сужение
функции x(k)
+ на [a, b], а через ϕ̄ — сужение
(
ϕα,βλ,r−k
)
+
на [c, c+ 2π/λ]. В силу теоремы Харди –
Литтлвуда – Полиа (см., например, [9] теорема 1.3.11) (2.11) будет следовать из неравенства
ξ∫
0
r(x̄, t)dt ≤
ξ∫
0
r(ϕ̄, t)dt, ξ > 0. (2.12)
Для доказательства (2.12) покажем сначала, что разность δ(t) := r(x̄, t) − r(ϕ̄, t), t > 0,
меняет знак с − на + не более одного раза. Для этого заметим, что из неравенства (2.10) при
m = k вытекает неравенство
r(x̄, 0) ≤ r(ϕ̄, 0). (2.13)
Далее, в силу (2.10) (при m = k) и равенств x̄(a) = x̄(b) = 0, ϕ̄(c) = ϕ̄(2π/λ) = 0 для
любого z ∈ (0, ‖x̄‖L∞[a,b]) существуют точки ti ∈ [a, b], i = 1, . . . ,m, m ≥ 2, и две точки
yj ∈ [c, c+ 2π/λ], j = 1, 2, такие, что
z = |x̄(ti)| = |ϕ̄(yj)|,
причем ϕ̄′(y1) > 0, ϕ̄′(y2) < 0, а среди точек ti найдутся точки t1i и t2i , удовлетворяющие
условию
x̄′(t1i ) ≥ 0, x̄′(t2i ) ≤ 0.
Тогда согласно теореме сравнения Хермандера [6] (см. также [7, с. 96]) выполнены неравенства
|x̄′(t1i )| ≤ |ϕ̄′(y1)|, |x̄′(t2i )| ≤ |ϕ̄′(y2)|.
Поэтому если точки θ1 и θ2 выбраны так, что
z = r(x̄, θ1) = r(ϕ̄, θ2), (2.14)
то согласно теореме о производной перестановки (см., например, [9], предложение 1.3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 641
|r′(x̄, θ1)| =
[
m∑
i=1
|x̄′(ti)|−1
]−1
≤
2∑
j=1
|ϕ̄′(yj)|−1
−1
=
∣∣r′(ϕ̄, θ2)
∣∣. (2.15)
Отсюда следует, что разность δ(t) := r(x̄, t) − r(ϕ, t) меняет знак на [0,∞) не более одного
раза (с − на +). Рассмотрим интеграл
I(ξ) :=
ξ∫
0
δ(t)dt.
Ясно, что I(0) = 0. Поскольку (2.7) уже доказано для q = 1, для достаточно больших ξ
I(ξ) = ‖x̄‖L1[a,b] − ‖ϕ̄‖L1[0,2π/λ] ≤ L
(
x
(k)
+
)
1
− L
((
ϕα,βr
)
+
)
1
≤ 0.
Кроме того, производная I ′(t) = δ(t) меняет знак на [0,∞) не более одного раза (с − на +).
Следовательно, I(ξ) ≤ 0 для всех ξ ≥ 0. Таким образом, неравенства (2.12), (2.11) и (2.7)
доказаны.
Осталось доказать (2.9). Для этого зафиксируем произвольный отрезок [a, b] ⊂ R, удовлет-
воряющий условию (2.8), и пусть для определенности x(k)(t) > 0, t ∈ (a, b). Перепишем дока-
занное ниже неравенство (2.11) в терминах перестановок. Поскольку перестановка сохраняет
Lq-норму, (2.11) эквивалентно неравенству
b−a∫
0
rq(x̄, t)dt ≤
µ(ϕ̄)∫
0
rq(ϕ̄, t)dt,
где µ(ϕ̄) := µ
{
t ∈ [0, 2π/λ] : ϕ̄(t) > 0
}
. Из последнего неравенства следует существование
точки y ∈ [0, µ(ϕ̄)], для которой
b−a∫
0
rq(x̄, t)dt =
µ(ϕ̄)∫
y
rq(ϕ̄, t)dt.
При этом из (2.13) – (2.15) вытекает неравенство b−a ≥ µ(ϕ̄)−y. Кроме того, нетрудно видеть,
что функция
1
µ(ϕ̄)− y
µ(ϕ̄)∫
y
rq(ϕ̄, t)dt
убывает на [0, µ(ϕ̄)]. Поэтому
1
b− a
b−a∫
0
rq(x̄, t)dt ≤ 1
µ(ϕ̄)− y
µ(ϕ̄)∫
y
rq(ϕ̄, t)dt ≤ 1
µ(ϕ̄)
µ(ϕ̄)∫
0
rq(ϕ̄, t)dt.
Полученное неравенство эквивалентно неравенству (2.9) для функции x(k)
+ .
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
642 В. А. КОФАНОВ
3. Неравенства для локальных норм. Пусть r ∈ N, p, α, β, λ > 0. Для функции x такой,
что L(x)p <∞, положим
Mα,β
λ,r (x)p := max
L(x+)p
L
((
ϕα,βλ,r
)
+
)
p
,
L(x−)p
L
((
ϕα,βλ,r
)
−
)
p
. (3.1)
Вместо Mα,β
1,r (x)p будем писать Mα,β
r (x)p. Заметим, что из очевидных равенств
L
((
ϕα,βλ,r
)
±
)
p
= λ−(r+1/p)L
((
ϕα,βr
)
±
)
p
(3.2)
следует
Mα,β
λ,r (x)p = λr+1/pMα,β
r (x)p. (3.3)
Теорема 1. Пусть k, r ∈ N, k < r, q ≥ 1, p > 0, α, β > 0. Для любой функции x ∈ Lr∞(R)
такой, что L(x)p <∞, выполнено неравенство
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
Mα,β
r (x)γp‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1 , (3.4)
где γ = (r − k + 1/q)/(r + 1/p).
Кроме того, для любого отрезка [a, b] ⊂ R, для которого
x(k)(a) = x(k)(b) = 0, |x(k)(t)| > 0, t ∈ (a, b), (3.5)
выполняются неравенства∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1 , (3.6)
где δ = (r − k)/(r + 1/p), а µ±(x(k)) и µ±(ϕα,βr−k) определены в (1.5).
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Lr∞(R) такую, что L(x)p <
<∞. В силу однородности неравенств (3.4) и (3.6) можно считать, что
‖x(r)‖∞,α−1,β−1 = 1. (3.7)
Тогда x принадлежит W r
∞,α,β(R).
Сначала покажем выполнение неравенства (3.4). В силу (3.7) для этого достаточно доказать,
что
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
Mα,β
r (x)γp . (3.8)
Выберем λ > 0, удовлетворяющее условию
Mα,β
λ,r (x)p = 1. (3.9)
Согласно определению (3.1) из (3.9) следует (2.6). Тогда по лемме 2
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βλ,r−k
)
±
)
q
. (3.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 643
Из (3.9) и (3.10) получаем
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βλ,r−k
)
±
)
q
Mα,β
λ,r (x)γp .
Учитывая (3.2), (3.3) и определение γ, отсюда выводим оценку
L(x
(k)
± )q ≤ λ−(r−k)−1/qL
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
[
λr+1/pMα,β
r (x)p
]γ
= L
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
Mα,β
r (x)γp .
Тем самым доказаны неравенства (3.8) и (3.4).
Осталось доказать неравенство (3.6). Зафиксируем отрезок [a, b] ⊂ R, удовлетворяющий
условиям (3.5). Пусть, как и ранее, λ выбрано из условия (3.9). В силу (3.3) это условие можно
записать в виде
Mα,β
r (x)p = λ−(r+1/p). (3.11)
Кроме того, в силу леммы 2 из (3.9) и (3.1) следует неравенство (2.9). Используя (3.2) и
равенство µ±(ϕα,βλ,r−k) = λ−1µ±(ϕα,βr−k), записываем (2.9) в виде
∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤ λ−(r−k+1/q)
(
µ±(x(k))
λ−1µ±(ϕα,βr−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
.
В силу (3.11) и определения δ отсюда непосредственно следует (3.6), если учесть (3.7).
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. В условиях теоремы 1
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)γ
‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1 ,
где γ = (r − k + 1/q)/r.
Доказательство. Для x ∈ Lr∞(R) выберем число c ∈ R так, чтобы для функции x̄ := x−c
выполнялось равенство
‖x̄+‖∞
‖(ϕα,βr )+‖∞
=
‖x̄−‖∞
‖(ϕα,βr )−‖∞
.
Тогда
Mα,β
r (x̄)∞ =
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
.
Поэтому, применяя (3.4) с p =∞ к функции x̄, получаем утверждение следствия 1.
Заметим далее, что если число r нечетное, то функция ϕα,βr нечетная относительно точек
tk = πβ/(α+ β) + 2kπ. Следовательно,
L
((
ϕα,βr
)
+
)
p
= L
((
ϕα,βr
)
−
)
p
= L
(
ϕα,βr
)
p
. (3.12)
В этом случае выполнено равенство
Mα,β
r (x)p =
L(x)p
L(ϕα,βr )p
. (3.13)
Отсюда вытекает следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
644 В. А. КОФАНОВ
Следствие 2. Если в условиях теоремы 1 число r нечетное, то
L(x
(k)
± )q ≤ L
((
ϕα,βr−k
)
±
)
q
(
L(x)p
L(ϕα,βr )p
)γ
‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1 ,
где γ = (r − k + 1/q)/(r + 1/p). Если же число r − k является нечетным, то
L(x
(k)
± )q ≤ L
(
ϕα,βr−k
)
q
Mα,β
r (x)γp‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1
с тем же показателем γ.
Учитывая, что при α = β равенства (3.12) и (3.13) справедливы для любого r ∈ N, получаем
еще одно следствие.
Следствие 3. В условиях теоремы 1
L(x(k))q ≤ L (ϕr−k)q
(
L(x)p
L(ϕr)p
)γ
‖x(r)‖1−γ∞ ,
где γ = (r − k + 1/q)/(r + 1/p).
Теорема 2. Пусть r ∈ N, p > 0, α, β > 0. Для любой функции x ∈ Lr∞(R) такой, что
L(x)p <∞, имеет место неравенство
‖x±‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βr )
±
∥∥∥∥
∞
Mα,β
r (x)γp‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1 , (3.14)
где γ = r/(r + 1/p). В частности,
E0(x)∞ ≤ E0
(
ϕα,βr
)
∞
Mα,β
r (x)γp‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1 . (3.15)
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Lr∞(R) такую, что L(x)p <
<∞. Вследствие однородности доказываемых неравенств можно считать, что
‖x(r)‖∞,α−1,β−1 = 1. (3.16)
Тогда x ∈W r
∞,α,β(R). Выберем λ > 0 так, чтобы
Mα,β
λ,r (x)p = 1.
Теперь для функции x выполнены условия леммы 1, согласно которой
‖x±‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r )±
∥∥∥∥
∞
.
Таким образом,
‖x±‖∞ ≤
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r )±
∥∥∥∥
∞
Mα,β
λ,r (x)γp .
Учитывая (3.3), очевидное равенство
∥∥∥∥(ϕα,βλ,r )±
∥∥∥∥
∞
= λ−r
∥∥∥∥(ϕα,βr )
±
∥∥∥∥
∞
и определение γ, отсюда
получаем
‖x±‖∞ ≤ λ−r
∥∥∥∥(ϕα,βr )
±
∥∥∥∥
∞
[
λr+1/pMα,β
r (x)p
]γ
=
∥∥∥∥(ϕα,βr )
±
∥∥∥∥
∞
Mα,β
r (x)γp ,
что в силу (3.16) и завершает доказательство (3.14). Неравенство (3.15) непосредственно сле-
дует из (3.14).
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 645
Замечание. Неравенство (3.15) является непериодическим аналогом следующего неравенст-
ва для функций x ∈ Lr∞(T) [10]:
E0(x)∞ ≤ E0
(
ϕα,βr
)
∞
(
E0(x)p
E0(ϕα,βr )p
)r/(r+1/p)
‖x(r)‖1/p/(r+1/p)
∞,α−1,β−1 ,
где E0(x)p := inf{‖x− c‖p : c ∈ R}.
4. Основные результаты.
Теорема 3. Пусть k, r ∈ N, k < r, q ≥ 1, p > 0, α, β > 0. Для любой функции x ∈ Lr∞(R),
удовлетворяющей условию L(x)p <∞, и произвольного отрезка [a, b] ⊂ R такого, что
x(k)(a) = x(k)(b) = 0, (4.1)
выполняются неравенства
‖x(k)
± ‖Lq [a,b] ≤
(
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1 , (4.2)
где δ = (r − k)/(r + 1/p), а µ±(x(k)) и µ±(ϕα,βr−k) определены в (1.5).
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Lr∞(R) и отрезок [a, b] ⊂ R,
удовлетворяющие условиям теоремы. Рассмотрим совокупности I± всех отрезков [a±j , b
±
j ] ⊂
⊂ [a, b] таких, что
x(k)(a±j ) = x(k)(b±j ) = 0, x
(k)
± (t) > 0, t ∈ (a±j , b
±
j ).
Ясно, что
∑
j∈I±
(b±j − a
±
j ) = µ±(x(k)),
∥∥∥x(k)
±
∥∥∥q
Lq [a,b]
=
∑
j∈I±
b±j∫
a±j
∣∣∣x(k)
± (t)
∣∣∣q dt. (4.3)
Оценим интегралы
∫ b±j
a±j
∣∣∣x(k)
± (t)
∣∣∣q dt в (4.3) с помощью неравенства (3.6). Полагая для краткости
S± :=
1
µ±(ϕα,βr−k)
∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥q
q
Mα,β
r (x)δqp ‖x(r)‖(1−δ)q∞,α−1,β−1 ,
из (4.3) выводим оценку∥∥∥x(k)
±
∥∥∥q
Lq [a,b]
≤
∑
j∈I±
(b±j − a
±
j )S± = µ±(x(k))S±,
которая эквивалентна (4.2).
Теорема 3 доказана.
Исходя из тех же соображений, с помощью которых из теоремы 1 были выведены следст-
вия 1 – 3, из теоремы 3 получаем следующие утверждения.
Следствие 4. В условиях теоремы 3∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
646 В. А. КОФАНОВ
Следствие 5. Если в условиях теоремы 3 число r нечетное, то∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
µ±(ϕα,βr−k)
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
L(x)p
L(ϕα,βr )p
)δ
‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1 ,
где δ = (r − k)/(r + 1/p). Если же число r − k является нечетным, то∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
2π
)1/q ∥∥∥ϕα,βr−k∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1
и ∥∥∥x(k)
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥ϕα,βr−k∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1
с тем же показателем δ.
Следствие 6. В условиях теоремы 3∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
µ±(x(k))
2π
)1/q
‖ϕr−k‖q
(
L(x)p
L(ϕr)p
)δ
‖x(r)‖1−δ∞
и ∥∥∥x(k)
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q
‖ϕr−k‖q
(
L(x)p
L(ϕr)p
)δ
‖x(r)‖1−δ∞ ,
где δ = (r − k)/(r + 1/p).
В случае 2π-периодических функций x ∈ Lr∞(T) и отрезка [a, b] длиной 2π последнее
неравенство было доказано в [11]. Для таких функций и отрезка это неравенство (при p =∞)
трансформируется в (1.1).
Теорема 4. Пусть k, r ∈ N, k < r, q ≥ 1, p > 0, α, β > 0. Если функция x ∈ Lr∞(R) и
отрезок [a, b] ⊂ R таковы, что
x(k)(a) = x(k)(b) = 0,
b∫
a
x(k)(t)dt = 0, (4.4)
а также L(x)p <∞, то∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1 , (4.5)
где δ = (r − k)/(r + 1/p).
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Lr∞(R) и отрезок [a, b] ⊂
⊂ R, удовлетворяющие условиям теоремы. Положим ω :=
2π
b− a
. Тогда функция ϕα,βω,r (t) имеет
период 2π/ω = b − a. Повторяя дословно рассуждения, использованные при доказательстве
теорем 6.1.2 и 6.2.2 из [7] и заменяя в этих рассуждениях функцию ϕα,βr (t) функцией ϕα,βω,r (t),
получаем неравенство∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
∥∥∥∥(ϕα,βω,r−k)±
∥∥∥∥
Lq [0,
2π
ω
]
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βω,r )∞
)1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 . (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ . . . 647
При этом условие (4.4) заменяет условие периодичности функции x в упомянутых теоремах,
ибо в этих теоремах от свойства периодичности функции x используется лишь второе из ус-
ловий (4.4), а выполнение первого условия достигается за счет перехода к подходящему сдвигу
функции x.
Используя (3.2), очевидное равенство E0(ϕα,βω,r )∞ = ω−rE0(ϕα,βr )∞ и определение ω, запи-
сываем (4.6) в виде∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤ ω−(r−k+ 1
q
)
∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
ω−rE0(ϕα,βr )∞
)1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 =
=
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 .
Оценивая далее E0(x)∞ с помощью неравенства (3.15), имеем∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
[
Mα,β
r (x)γp‖x(r)‖1−γ∞,α−1,β−1
]1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 ,
где γ = r/(r + 1/p). Отсюда непосредственно следует (4.5).
Теорема 4 доказана.
Замечание. Чтобы сравнить оценки, даваемые теоремами 3 и 4, положим для краткости
∆ := µ+(x(k)) + µ−(x(k)), δ := µ+(ϕα,βr−k) + µ−(ϕα,βr−k), M = µ+(x(k)), m = µ+(ϕα,βr−k). Ясно,
что ∆ ≤ b− a, δ = 2π и для любых M ∈ [0,∆], m ∈ (0, δ) выполняются неравенства
min
{
M
m
,
∆−M
δ −m
}
≤ ∆
δ
, max
{
M
m
,
∆−M
δ −m
}
≥ ∆
δ
.
Поэтому одна из оценок (4.2) для норм функций x(k)
+ и x(k)
− лучше (не хуже), чем соответству-
ющая оценка (4.5). При этом если ∆ = b − a, то другая из оценок (4.2) хуже (не лучше), чем
соответствующая оценка (4.5).
Аналогично следствиям из теорем 1 и 3 получаем такие утверждения.
Следствие 7. В условиях теоремы 4∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
E0(x)∞
E0(ϕα,βr )∞
)1−(k/r)
‖x(r)‖k/r∞,α−1,β−1 .
В случае 2π-периодических функций x ∈ Lr∞(T) и отрезка [a, b] длиной 2π данное нера-
венство трансформируется в (1.2).
Следствие 8. Если в условиях теоремы 4 число r нечетное, то∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
2π
)1/q ∥∥∥∥(ϕα,βr−k)±
∥∥∥∥
q
(
L(x)p
L(ϕα,βr )p
)δ
‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1 ,
где δ = (r − k)/(r + 1/p). Если же число r − k является нечетным, то∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
4π
)1/q ∥∥∥ϕα,βr−k∥∥∥
q
Mα,β
r (x)δp‖x(r)‖1−δ∞,α−1,β−1
с тем же показателем δ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
648 В. А. КОФАНОВ
Следствие 9. В условиях теоремы 4∥∥∥x(k)
±
∥∥∥
Lq [a,b]
≤
(
b− a
4π
)1/q
‖ϕr−k‖q
(
L(x)p
L(ϕr)p
)δ
‖x(r)‖1−δ∞ ,
где δ = (r − k)/(r + 1/p).
1. Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functionals // Anal. Math. – 1976. – 2, № 1. – P. 11 – 40.
2. Бабенко В. Ф. Несимметричные экстремальные задачи теории приближения // Докл. АН. СССР. – 1983. – 269,
№ 3. – С. 521 – 524.
3. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
d’Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
4. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сравнения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
5. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
6. Hörmander L. A new proof and generalization of inequality of Bohr // Math. scand. – 1954. – 2. – P. 33 – 45.
7. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения.
– Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
8. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр., лит., 1948. – 456 c.
9. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
10. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities of Kolmogorov type and some their applications in
approximation theory // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. II, Suppl. – 1998. – 52. – P. 223 – 237.
11. Kofanov V. A. Some exact inequalities of Kolmogorov type // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2002. – 9, № 3. –
С. 1 – 8.
Получено 06.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|