О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx

О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx

Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд ∑1\k sinkx, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам Lp[0,π] або просторам Lp[0,π] з вагою x^−γ,γ<1.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2012
1. Verfasser: Теляковский, С.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2012
Schriftenreihe:Український математичний журнал
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164429
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx / С.А. Теляковский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 713-718. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-164429
record_format dspace
spelling irk-123456789-1644292020-02-23T20:27:55Z О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx Теляковский, С.А. Статті Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд ∑1\k sinkx, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам Lp[0,π] або просторам Lp[0,π] з вагою x^−γ,γ<1. We analyze the possibility of decomposition of the series ∑1\k sinkx in blocks such that the sum of the series formed by the moduli of these blocks belongs to the spaces L p [0 π] or to the spaces L p [0 π] with weight x^−γ,γ<1. 2012 Article О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx / С.А. Теляковский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 713-718. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164429 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Теляковский, С.А.
О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
Український математичний журнал
description Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд ∑1\k sinkx, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам Lp[0,π] або просторам Lp[0,π] з вагою x^−γ,γ<1.
format Article
author Теляковский, С.А.
author_facet Теляковский, С.А.
author_sort Теляковский, С.А.
title О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
title_short О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
title_full О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
title_fullStr О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
title_full_unstemmed О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
title_sort о свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2012
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164429
citation_txt О свойствах блоков членов ряда ∑1/k sinkx / С.А. Теляковский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 713-718. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT telâkovskijsa osvojstvahblokovčlenovrâda1ksinkx
first_indexed 2025-07-14T16:59:31Z
last_indexed 2025-07-14T16:59:31Z
_version_ 1837642413001146368
fulltext УДК 517.5 С. А. Теляковский (Мат. ин-т РАН, Москва, Россия) О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА ∑ 1 k sin kx We investigate the decomposability of the series ∑ 1 k sin kx into blocks such that the sum of the series formed of the moduli of these blocks belongs to the spaces Lp[0, π] or the spaces Lp[0, π] with weight x−γ , γ < 1. Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд ∑ 1 k sin kx, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам Lp[0, π] або просторам Lp[0, π] з вагою x−γ , γ < 1. 1. Введение. Ряд ∞∑ k=1 1 k sin kx (1) часто используется при исследовании тригонометрических рядов и в теории приближения функций. Во многих случаях ряд (1) играет роль модельного при изучении функций ограни- ченной вариации. Настоящая работа посвящена свойствам рядов из модулей блоков членов ряда (1). Рассмотрим строго возрастающую последовательность Λ натуральных чисел 1 = n1 < < n2 < . . . , для которой сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj , и составим с помощью этой последовательности ряд ∞∑ j=1 ∣∣∣∣∣∣ nj+1−1∑ k=nj sin kx k ∣∣∣∣∣∣ . (2) В силу известной оценки∣∣∣∣∣ S∑ k=s sin kx k ∣∣∣∣∣ ≤ π sx , s ≤ S ≤ ∞, 0 < x ≤ π, (3) ряд (2) сходится при всех x, и его сумма, которую обозначим gΛ(x), является непрерывной на (0, π] функцией. В [1] получены условия на последовательность Λ, достаточные для ограниченности функ- ции gΛ(x). В последовавших затем работах эти условия были ослаблены и найдены достаточ- ные условия на последовательность Λ, являющиеся в некоторых случаях и необходимыми для того, чтобы функция gΛ(x) принадлежала пространствам L1, L2 или являлась ограниченной, т. е. принадлежала L∞. Пункт 2 посвящен интегрируемости функции gΛ(x), приведен обзор известных резуль- татов и получено новое утверждение о принадлежности gΛ(x) пространствам Lp[0, π] при p = 3, 4, . . . . В п. 3 изучается задача интегрируемости функции gΛ(x) с весом x−γ . c© С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ, 2012 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 713 714 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ Формулировки утверждений будут содержать не только числа nj , но и построенные с их помощью числа mj := min (nj , nj+1 − nj + 1). Заметим, что mj ≥ 2 при j ≥ 2. 2. Интегрируемость функции gΛ. В [2] установлено, что для ограниченности функции gΛ(x) необходимо и достаточно существование такого числа M, что при всех i = 1, 2, . . . справедлива оценка ∞∑ j=i 1 nj mi ≤M. Из результатов работ [3, 4] следует, что для того чтобы функция gΛ(x) принадлежала L1[0, π], необходима и достаточна сходимость ряда ∞∑ j=1 1 nj log mj . (4) Достаточность доказана в [3], а необходимость — в [4]. В [4] показано также, что ряд (4) сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj+1 log (nj+1 − nj + 1). Заметим, что необходимость сходимости ряда (4) для принадлежности gΛ(x) пространству L1[0, π] легко вывести из теоремы 3 работы [5] (в [5] это не было отмечено). В самом деле, согласно этой теореме, если gΛ(x) ∈ L1[0, π], то сходится ряд ∞∑ j=1 nj+1−1∑ k=nj 1 k(k − nj + 1) . Но в случае, когда mj = nj+1 − nj + 1, имеем nj+1 < 2nj и nj+1−1∑ k=nj 1 k(k − nj + 1) > 1 2nj − 1 nj+1−1∑ k=nj 1 k − nj + 1 > 1 2nj − 1 logmj . А если mj = nj и nj < nj+1 − nj + 1, то nj+1 ≥ 2nj , поэтому nj+1−1∑ k=nj 1 k(k − nj + 1) ≥ 2nj−1∑ k=nj 1 k(k − nj + 1) ≥ 1 2nj − 1 logmj . Таким образом, данное утверждение доказано. В [6] показано, что если сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj √ mj , то gΛ(x) ∈ L2[0, π]. Покажем, что подобное достаточное условие принадлежности функции gΛ(x) простран- ствам Lp[0, π] имеет место при целых p = 3, 4, . . . . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА ∑ 1 k sin kx 715 Теорема 1. При каждом целом p = 2, 3, . . . функция gΛ(x) принадлежит пространству Lp[0, π], если сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj m 1−1/p j . (5) Доказательство. Как и в [6], где эта теорема доказана для p = 2, будем использовать оценку uj(x) := ∣∣∣∣∣∣ nj+1−1∑ k=nj sin kx k ∣∣∣∣∣∣ ≤ A nj min ( 1 x ,mj ) , 0 < x ≤ π, (6) где A — некоторая абсолютная постоянная, вытекающую из (3) и равномерной ограниченности частных сумм ряда (1). Установим равномерную относительно N ограниченность интегралов π∫ 0  N∑ j=1 uj(x) p dx = π∫ 0 N∑ j1=1 uj1(x) . . . N∑ jp=1 ujp(x)dx = = N∑ j1=1 . . . N∑ jp=1 π∫ 0 uj1(x) . . . ujp(x) dx. Разобьем [0, π] на отрезки [0, α] и [α, π]. С помощью (6) получим α∫ 0 uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap α∫ 0 mj1 nj1 . . . mjp njp dx = Ap mj1 nj1 . . . mjp njp α и π∫ α uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap nj1 . . . njp π∫ α dx xp < Ap nj1 . . . njp α1−p (p− 1) . Поэтому, положив α = ( mj1 . . .mjp )−1/p , (7) придем к оценке π∫ 0  N∑ j=1 uj(x) p dx ≤ 2Ap N∑ j1=1 . . . N∑ jp=1 1 nj1 . . . njp ( mj1 . . .mjp )1−1/p ≤ 2Ap ( ∞∑ j=1 1 nj m 1−1/p j )p . Таким образом, в силу сходимости ряда (5) интегралы π∫ 0  N∑ j=1 uj(x) p dx ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 716 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ ограничены величиной, не зависящей от N, и, значит, согласно теореме Б. Леви функция gΛ(x) принадлежит Lp[0, π]. Теорема доказана. Вопросы о принадлежности функции gΛ(x) пространствам Lp[0, π] при нецелых p > 1 и о необходимых условиях при целых p ≥ 2 остаются открытыми. 3. Интегрируемость функции gΛ с весом. Задачи об интегрируемости функции gΛ(x) с весом x−γ будем рассматривать при естественном условии γ < 1. Теорема 2. Если для γ ∈ (0, 1) сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj mγ j , то сходится интеграл π∫ 0 1 xγ gΛ(x) dx. (8) Доказательство. Имеем π∫ 0 1 xγ gΛ(x) dx = ∞∑ j=1 π∫ 0 1 xγ uj(x) dx. (9) Как и при доказательстве теоремы 1, разбиваем [0, π] при каждом j на отрезки [0, αj ] и [αj , π] и, используя оценку (6), находим αj∫ 0 1 xγ uj(x) dx ≤ A αj∫ 0 1 xγ mj nj dx = A 1− γ mj nj α1−γ j и π∫ αj 1 xγ uj(x) dx ≤ A π∫ αj 1 xγ 1 njx dx < A γnj α−γj . При αj = m−1 j из (9) следует оценка π∫ 0 1 xγ gΛ(x) dx ≤ A(γ) ∞∑ j=1 1 nj mγ j , в которой множитель A(γ) зависит только от γ. Теорема доказана. Если p > 1 и p′ — сопряженное с p число, то согласно неравенству Гельдера интеграл (8) сходится, если gΛ(x) ∈ Lp[0, π] и γp′ < 1. Последнее условие означает, что γ < 1− 1 p . (10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА ∑ 1 k sin kx 717 Таким образом, из теоремы 1 следует, что если при p = 2, 3, . . . сходится ряд (5), то интеграл (8) сходится при условии (10), а теорема 2 показывает, что если сходится ряд (5), то интеграл (8) сходится и при γ = 1− 1 p . Дополним теперь теорему 1, рассмотрев вопрос о сходимости интеграла π∫ 0 1 xγ gpΛ(x) dx (11) при γ < 1. Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 1, при p = 2, 3, . . . имеем π∫ 0 1 xγ  N∑ j=1 uj(x) p dx = N∑ j1=1 . . . N∑ jp=1 π∫ 0 1 xγ uj1(x) . . . ujp(x) dx. Используя оценку (6), при γ > 1− p для α ∈ (0, π) находим α∫ 0 1 xγ uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ ≤ Ap α∫ 0 1 xγ mj1 nj1 . . . mjp njp dx = Ap mj1 nj1 . . . mjp njp 1 1− γ α1−γ (12) и π∫ α 1 xγ uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ ≤ Ap nj1 . . . njp π∫ α dx xγ+p < Ap nj1 . . . njp 1 (γ + p− 1) α1−γ−p. (13) Из этих оценок при α, заданном формулой (7), получаем π∫ 0 1 xγ  N∑ j=1 uj(x) p dx ≤ A(p, γ) N∑ j1=1 . . . N∑ jp=1 1 nj1 . . . njp (mj1 . . .mjp) 1−1 p (1−γ) , где A(p, γ) зависит только от p и γ. Следовательно, π∫ 0 1 xγ  N∑ j=1 uj(x) p ≤ A(p, γ)  N∑ j=1 1 nj m 1−1 p (1−γ) j p . Опираясь, как и в доказательстве теоремы 1, на теорему Б. Леви, видим, что справедливо следующее утверждение. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 718 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ Теорема 3. При целых p = 2, 3, . . . и γ, удовлетворяющих условию 1 − p < γ < 1, интеграл (11) сходится, если сходится ряд ∞∑ j=1 1 nj m 1−1 p (1−γ) j . В доказательстве теоремы 3 условие γ > 1−p было использовано по существу. Рассмотрим теперь случай, когда γ = 1− p. Теорема 4. При целых p = 2, 3, . . . и γ = 1 − p интеграл (11) сходится, если сходится ряд (4). Доказательство. Выше отмечалось, что при p = 1 такое утверждение доказано в [3]. При γ = 1− p оценка (12) принимает вид α∫ 0 1 x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Apmj1 nj1 . . . mjp njp 1 p αp, а вместо (13) получаем π∫ α 1 x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap nj1 . . . njp π∫ α dx x = Ap nj1 . . . njp log π α . Выбрав α согласно (7), находим log π α = log π + 1 p log ( mj1 . . .mjp ) . Поэтому π∫ 0 1 x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap nj1 . . . njp ( 1 p + log π + 1 p p∑ i=1 logmji ) . Таким образом, справедлива оценка π∫ 0 1 x1−p g p Λ(x) dx ≤ CAp ∞∑ j1=1 . . . ∞∑ jp=1 1 nj1 . . . njp p∑ i=1 logmji = CAp  ∞∑ j=1 1 nj p−1 ∞∑ j=1 logmj nj , где C — некоторая абсолютная постоянная. Теорема доказана. 1. Теляковский С. А. О частных суммах рядов Фурье функций ограниченной вариации // Труды Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 378 – 386. 2. Белов А. С., Теляковский С. А. Усиление теорем Дирихле – Жордана и Янга о рядах Фурье функций ограни- ченной вариации // Мат. сб. – 2007. – 198, № 6. – С. 25 – 40. 3. Telyakovskii S. A. Certain properties of Fourier series of functions with bounded variation // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1–2. – P. 215 – 218. 4. Trigub R. M. A note on the paper of Telyakovskii “Certain properties of Fourier series of functions with bounded variation” // East J. Approxim. – 2007. – 13, № 1. – P. 1 – 6. 5. Белов А. С. О сумме модулей членов сгруппированного тригонометрического ряда с монотонными коэффици- ентами // Вестн. Иванов. гос. ун-та. Биология, Химия, Физика, Математика. – 2006. – Вып. 3. – С. 107 – 121. 6. Теляковский С. А. Некоторые свойства рядов Фурье функций ограниченной вариации. II // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2005. – 11, № 2. – С. 168 – 174. Получено 13.12.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5

Ähnliche Einträge