О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах
Наведено огляд результатів, отриманих автором та іншими математиками, що стосуються питань значення найкращих наближень функцій при дослідженні властивостей просторів функцій, заданих на нульвимірних компактних комутативних групах....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164432 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах / М.Ф. Тиман // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 719-728. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164432 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644322020-02-23T20:28:30Z О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах Тиман, М.Ф. Статті Наведено огляд результатів, отриманих автором та іншими математиками, що стосуються питань значення найкращих наближень функцій при дослідженні властивостей просторів функцій, заданих на нульвимірних компактних комутативних групах. We present a survey of results obtained by the author, his disciples, and other mathematicians and related to the problem of finding the best approximations of functions in the investigation of properties of spaces of functions defined on zero-dimensional compact commutative groups. 2012 Article О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах / М.Ф. Тиман // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 719-728. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164432 517.52 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Тиман, М.Ф. О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах Український математичний журнал |
| description |
Наведено огляд результатів, отриманих автором та іншими математиками, що стосуються питань значення найкращих наближень функцій при дослідженні властивостей просторів функцій, заданих на нульвимірних компактних комутативних групах. |
| format |
Article |
| author |
Тиман, М.Ф. |
| author_facet |
Тиман, М.Ф. |
| author_sort |
Тиман, М.Ф. |
| title |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| title_short |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| title_full |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| title_fullStr |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| title_full_unstemmed |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| title_sort |
о наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164432 |
| citation_txt |
О наилучших приближениях функций, заданных на нульмерных группах / М.Ф. Тиман // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 719-728. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT timanmf onailučšihpribliženiâhfunkcijzadannyhnanulʹmernyhgruppah |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:42Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:42Z |
| _version_ |
1837642424141217792 |
| fulltext |
© М. Ф. ТИМАН, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 719
УДК 517.52
М. Ф. Тиман (Днепропетр. аграр. ун-т)
О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ НА НУЛЬМЕРНЫХ ГРУППАХ
We present a survey of results of the author, his postgraduates, and other mathematicians related to the problem of finding
the best approximations of functions in the investigation of properties of spaces of functions defined on zero-dimensional
compact commutative groups.
Наведено огляд результатів, отриманих автором та іншими математиками, що стосуються питань значення
найкращих наближень функцій при дослідженні властивостей просторів функцій, заданих на нульвимірних
компактних комутативних групах.
Пусть G = G{g} — некоторая компактная коммутативная группа с групповой операцией
g1 !+ g2( ) и мерой Хаара µ G( ) на ней. Обозначим через Lp G( ) множество функций,
измеримых относительно меры µ G( ) и таких, что при некотором p , 1 ! p ! " ,
f g( ) p dµ g( )
G! < " . Известно, что Lp G( ) есть полное нормированное пространство с
нормой f p = f g( ) p dµ g( )
G!{ }1/ p при 1 ! p < " и f ! = ess sup
g"G
f g( ) при p = ! .
Компактную коммутативную группу называют нульмерной, если топология в ней задается с
помощью системы ее подгрупп. Как известно, топология нульмерной компактной коммута-
тивной группы G = G{g} может быть задана с помощью основной цепочки подгрупп —
окрестностей нуля: G = U0 !U1 !U2 !… !Un !… (см. [1]).
Для компактной коммутативной группы G = G{g} со второй аксиомой счетности при
1 ! p1 < p2 ! " , очевидно, справедливо вложение
Lp1 G( ) ! Lp2 G( ) . (1)
Пусть X = !n{ }0
" — система характеров группы G = G{g} . Характером коммутативной
топологической группы G = G{g} называется непрерывная функция ! = ! g( ) , для кото-
рой: 1) ! g( ) = 1 ; 2) ! g1 !+ g2( ) = ! g1( ) " ! g2( ) ; 3) ! 0( ) = 1 ; 4)
! !"g( ) = 1
! g( ) = ! g( ) .
Систему X = !n{ }0
" называют периодической, если для каждой !n g( ) "X найдется це-
лое число kn такое, что !n g( )[ ]kn = 1 для любого g .
Для коммутативной топологической группы G = G{g} характеры образуют группу X =
= !n{ }0
" относительно умножения. Нулем группы X является элемент !0 g( ) " 1.
Известно, что если группа характеров X = !n{ }0
" компактной коммутативной группы
G = G{g} периодична, то G нульмерна (см. [1]).
720 М. Ф. ТИМАН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Нумерация характеров в группе X = !n{ }0
" компактной нульмерной коммутативной
группы G устанавливается следующим образом. Группа X представляется в виде возрас-
тающей цепочки конечных подгрупп X0 ! X1 ! X2 !…! Xn !…. При этом порядок под-
группы Xn равен mn , а mn+1
mn
= pn — простое число. Далее полагаем !0 g( ) " 1. Затем в
каждой подгруппе Xn+1 , n = 0,1, 2,… , выбираем по одному характеру ! , не принадлежа-
щему Xn , и присваиваем ему номер mn . Пусть теперь натуральное число n = akmkk=0
s!
(m0 = 1) , ak = 0,1, 2,…, pk ! 1 . Тогда !n g( ) = !mk g( )"# $%
ak
k=0
s& . При этом элементы
подгруппы Xn имеют номера 0,1, 2,…,mn ! 1 .
Известно также (см. [1, 4, 9, 14]), что система характеров X = !n{ }0
" образует полную
ортонормированную систему функций относительно меры Хаара на G = G{g} .
Одним из важных утверждений относительно свойств системы характеров, аналогично
тригонометрической системе функций, является следующее.
Лемма. Пусть X = !n{ }0
" — система характеров некоторой нульмерной компактной
коммутативной группы G . Тогда для любого многочлена Pn g( ) = c!"! g( )!=0
n# при
1 ! p < q ! " выполняется неравенство
Pn q ! C(p, q) n + 1( )1/ p"1/q Pn p , (2)
где C(p, q) — постоянная, зависящая лишь от p , q .
Доказательство. Очевидно, что Pn g( ) = Pn t( ) !" g( )!" t( ) dµ t( )"=0
n#G$ . Следо-
вательно, в силу неравенства Буняковского – Коши и ортонормированности системы X =
= !n{ }0
" , находим
Pn g( ) ! Pn 2 "#
#=0
n
$ g( )"# t( )
2
dµ t( )
G
%
&
'
(
(
)
*
+
+
1/2
=
= Pn 2 !" g( ) 2
"=0
n
#
$
%&
'
()
1/2
= n + 1( )1/2 Pn 2 . (3)
Пусть теперь 1 ! p < " . Выберем четное число q0 > p . В силу (3) имеем
Pn g( ) g0 /2 !
nq0
2
+ 1"
#$
%
&'
1/2
Pn g( ) q0 dµ g( )(( )1/2 =
О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА НУЛЬМЕРНЫХ ГРУППАХ 721
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
=
nq0
2
+ 1!
"#
$
%&
1/2
Pn g( ) q0 ' p Pn g( ) p dµ g( )(( )1/2 )
nq0
2
+ 1!
"#
$
%&
1/2
Pn *
(q0 ' p)/2 Pn p
p /2 .
Из этой оценки следует, что
Pn ! "
nq0
2
+ 1#
$%
&
'(
1/ p
Pn p . (4)
Наконец, используя оценку (4), получаем
Pn q = Pn g( ) q! p
G
" Pn g( ) p dµ g( )
#
$
%
&
'
(
1/q
) Pn *
(q! p)/q Pn g( )
G
"
p
dµ g( )
#
$
%
&
'
(
1/q
≤
≤
nq0
2
+ 1!
"#
$
%&
(q' p)/q
Pn p
(q' p)/q Pn p
p /q ≤ C p, q( ) n + 1( )1/ p!1/q Pn p .
Таким образом, неравенство (2) доказано.
Аналогичное неравенство для тригонометрических полиномов ранее установлено Джексо-
ном при p = ! и С. М. Никольским при 1 ! p < " .
С помощью неравенства (2) можно для компактных коммутативных групп G со второй
аксиомой счетности указать вложения, обратные к вложению (1).
Для этого, рассматривая банахово пространство Lp G( ) , обозначим через Enp( ) f( ) на-
илучшее приближение функции f !Lp G( ) многочленами по системе характеров X поряд-
ка не выше n ! 1 в метрике Lp G( ) , т. е.
Enp( ) f( ) = inf
ak{ }
f g( ) ! ak
k=0
n!1
" #k g( )
p
dµ g( )
G
$
%
&
'
('
)
*
'
+'
1/ p
, 1 ! p ! " . (5)
Следовательно, каждая функция f ! Lp G( ) порождает последовательность ее наилучших
приближений {En(p)( f )} , n = 0,1, 2,… , которая для нее является важной конструктивной ха-
рактеристикой. Для пространства Lp G( ) верно также, что для любой монотонно
стремящейся к нулю числовой последовательности !n{ } найдется функция f !Lp G( ) , у
которой Enp( ) f( ) = !n , n = 0,1, 2,!… .
Для банаховых пространств Lp G( ) справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть G — нульмерная компактная коммутативная группа и для
банахового пространства Lp G( ) , 1 ! p ! " , при некотором q , 1 ! p < q ! " ,
выполнено условие
722 М. Ф. ТИМАН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
nq / p!2
n=0
"
# Enp( ) f( )$% &'
q
< " , (6)
где Enp( ) f( ) определено равенством (5). Тогда имеет место вложение Lq G( ) ! Lp G( )
(обратное к вложению (1)) и выполняется неравенство
f q ! C p, q( ) f g( )dµ g( )
G
"
q
+ n
q
p
#2
Enp( ) f( )$% &'
q
n=1
(
)
*
+
,
-,
.
/
,
0,
1/q
.
Доказательство. Введем следующие обозначения: !" = T
2"+1
p( ) # T
2"
p( ) , где {Tn( p) } — по-
следовательность полиномов наилучших в Lp G( ) приближений функции f по системе
характеров X , !" = lq / p#2 El
p( ) f( )$
%
&
'
q
2"#1+1
2"( . Обозначая ! =
p + q
p
, !" =
p + q
q
, с по-
мощью неравенства Гельдера и неравенства (2), как и в [1] (см. также. [2]), получаем оценку
!µ!"
q /2 dµ(g)
G
# $ C p, q( ) % &µ
1/2 &"
1/2 2' "'µ 1/2'(( ) . (7)
Пусть теперь r = q[ ] + 1 и !" = #"
q /2 . Тогда с помощью оценки (7) находим
!=1
N
" #!
q
dµ g( )
G
$ % &!
!=1
N
"
'
()
*
+,
r
G
$ dµ g( ) = … &!1
!r =1
N
" …&!r dµ g( )
!1=1
N
"
G
$ =
= …
!1=1
N
" #!i
1/(r$1) #! j
1/(r$1) dµ g( ) % … #!i
r /2#! j
r /2
G
& dµ g( )
'
(
)
*
+
,
2/r(r$1)
i, j=1
i< j
r
-
!r =1
N
"
!1=1
N
"
i, j=1
i< j
r
-
G
&
!r =1
N
" ≤
≤ C p, q( )[ ]2/r(r!1) ...
"1=1
N
# $"i
1/2 $" j
1/2 2– "i !" j 1/2!%( )( )
i, j=1
i< j
r
&
2/r(r!1)
"r =1
N
# !
! C1 p, q( ) …
!1=1
N
" #!i
1/r 2– !i $! j 1/2$1/%( ) 2 /r(r$1)
j=1
r
&
i=1
r
&
!r =1
N
" !
≤ C1 p, q( )
i=1
r
! …
"1=1
N
# $"i
"r =1
N
# 2
j=1
r
!
% "i %" j 1/2%1/&( )2/r(r%1)
≤
≤ C1 p, q( ) 2! " (#!2)/#
"=!$
$
% &" ' C1 p, q( )
"=1
N
% n p /q!2 Enp( ) f( )() *+ q
n=1
$
%
,
-
.
/.
0
1
.
2.
. (8)
О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА НУЛЬМЕРНЫХ ГРУППАХ 723
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Таким образом, ряд T1
p( ) + T
2!+1
p( ) " T
2!
p( )#
$
%
&!=0
'( сходится в метрике Lp G( ) к функции, эк-
вивалентной f . Поскольку
T1
p( )
q
! C p, q( ) T1 p( )
p
! C p, q( ) f g( )dµ g( )
G
" + E0
p( ) f( )
#
$
%
%
&
'
(
(
,
эта оценка вместе с (8) завершают доказательство теоремы 1.
Заметим, что при доказательстве теоремы нигде не предполагалась ограниченность систе-
мы чисел pn{ } .
Необходимость условия (6) подтверждается следующим примером.
Пусть функция
f g( ) ~
! " n + 1( ) #!
p " #!+1
p( )
(! + 1)p!=n
$
%
&
'
(
(
)
*
+
+n=0
$
%
1/ p
,n g( ) , 1 ! p < " ,
где !n{ } — некоторая монотонно стремящаяся к нулю последовательность чисел, для кото-
рой при q > p ! 1 расходится ряд nq / p!2"n
q
n=1
#$ . Тогда f !Lp G( ) , Enp( ) f( ) = О !n( ) ,
однако f !Lq G( ) .
Для периодических функций и тригонометрической системы аналогичный факт с подроб-
ным доказательством изложен в [12, c. 88].
Последовательность наилучших приближений позволяет также без использования струк-
турных свойств функций из пространств Lp G( ) получить и некоторые другие важные
оценки.
Пусть функция f g( ) принадлежит L G( ) . Тогда она представима рядом f g( ) ~
~ cn ( f )!n (g)n=0
"# , где cn f( ) = f g( )!n g( )dµ g( )
G" — коэффициенты Фурье функции
f g( ) по системе характеров. В силу ортогональности системы характеров легко получить,
что если f g( ) ! Lp G( ) , 1 ! p ! " , то
cn f( ) ! En"1
p( ) f( ) , n = 1, 2,!… . (9)
Действительно, пусть Tn!1 g( ) — многочлен наилучшего приближения функции f g( ) в
метрике пространства L p( ) G( ) . Справедливо равенство
cn f( ) = f g( )
G
! "n g( )dµ g( ) = f g( ) ! Tn!1 g( ){ }
G
" #n g( )dµ g( ) ,
из которого следует (9).
724 М. Ф. ТИМАН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Кроме того, если функция f g( ) принадлежит L2 G( ) , то
En2( ) f( ) = inf
ak{ }
f g( ) ! ak
k=0
n!1
" #k g( )
2
dµ g( )
G
$
%
&
'
('
)
*
'
+'
1/2
= ck2 f( )
k=n
!
"
#
$
%
&%
'
(
%
)%
1/2
,
где ck f( ) — коэффициенты Фурье функции f g( ) .
Далее, полагая an = cn2 f( ) в известном числовом неравенстве (см. [5, с. 307], теоре-
ма 345)
an1/2
n=1
!
" < 2 an + an+1 +…
n
!
"#
$
%&n=1
'
(
1/2
, (10)
где an{ } — последовательность положительных чисел, получаем
cn f( )
n=1
!
" < 2 En2( ) f( )
nn=1
!
" . (11)
Неравенство (11), таким образом, задает критерий абсолютной сходимости ряда Фурье
функции f g( ) ! L2 G( ) , который для периодических функций в метрике C получил
С. Н. Бернштейн, а для метрики L2 — С. Б. Стечкин (см. [7]).
Последовательности наилучших приближений позволяют также в общем виде оценивать
отклонения функций в соответствующей метрике от линейных операторов, построенных на
базе рядов Фурье функций, заданных на нульмерных группах.
Пусть f ! Lp G( ) , 1 ! p ! " , и cn f( )!n g( )n=0
"# — ее ряд Фурье. Рассмотрим част-
ную сумму порядка mn ряда Фурье функции f , которая имеет вид
Smn f ; g( ) = cn f( )
k=0
mn !1
" #n g( ) =
f g !! h( )
G
" Dmn u( )dµ u( ) , (12)
где
Dmn g( ) = !n g( )
k=0
mn "1
# =
mn pry g !Un ,
0 pry g !G \Un
"
#
$
%$
— ядро Дирихле порядка mn , Un , n = 0,1, 2,!… , — элементы основной цепочки подгрупп
группы G .
Из (12) следует, что если f принадлежит Lp G( ) , 1 ! p ! " , то
f g( ) ! Smn f ; g( ) p " 0 (mn ! ") .
О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА НУЛЬМЕРНЫХ ГРУППАХ 725
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Из этого соотношения вытекает, что для восстановления функции по ее ряду Фурье в про-
странстве Lp G( ) достаточно воспользоваться лишь последовательностью ее частных сумм
Smn f ; g( ) порядка mn .
Пусть теперь ! "r,k{ } , 0 ! r , k < ! , — произвольная треугольная матрица чисел, где
!r, 0 = 1 , !r, k = 0 при k > r , r = 0,1, 2,!…. Рассмотрим линейный оператор
Ur f ;!; g( ) = !r,k
k=0
r
" ck f( )#k g( ) , (13)
где ck f( ) = f g( )!k g( )dµ g( )
G" .
Рассмотрим при любом p , 1 ! p ! " , величину
Rr p( ) f ;!( ) = f !Ur f ;"( ) p = f g( ) !Ur f ;"; g( ) p dµ g( )
G
#
$
%
&
'&
(
)
&
*&
1/ p
. (14)
Аналогичная величина для тригонометрической системы в периодическом случае рассматри-
валась автором в [3]. В [3] установлена оценка величины (14) через наилучшие приближения в
тригонометрическом случае. Ниже приводится аналог результата автора, установленный
С. Л. Блюминым в его кандидатской диссертации для нульмерных групп (см. [10]).
Теорема 2. Пусть f ! Lp G( ) , 1 ! p ! " , и ! "r,k{ } — произвольная треугольная
матрица чисел, где !r,0 = 1 , !r,k = 0 при k > r , r = 0,1, 2,!…. Тогда
Rr p( ) f ;!( ) = f !Ur f ;"( ) p # 1+ $r( )Er p( ) f( ) + 2 % k + 1; r( )Emk
p( ) f( )
k=0
n
& , (15)
где mn ! r < mn+1 , Enp( ) f( ) определено равенством (5),
!r = "r,k #k g( )
k=0
r
$
G
% dµ(g) ,
! s + 1; r( ) = 1" #r,k( )
k=1
mn+1"1
$ %k h( ) dµ h( )
G
& .
Доказательство. Пусть Tr g( ) , r = 1, 2,!… , — полиномы наилучшего приближения по-
рядка r функции f в метрике Lp G( ) . Тогда при mn ! r < mn+1 в силу ортогональности
системы характеров группы G находим
Rr p( ) Tr ; !( ) =
Tr g !! h( ) 1! "r,k( ) #k h( )dµ h( )
k=1
r
$
G
%
p
=
726 М. Ф. ТИМАН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
=
Tr g !! h( ) 1! "r,k( ) #k h( )dµ h( )
k=1
mn+1!1
$
G
%
p
=
=
s=1
n!1
" Tms+1 g !! h( ) ! Tms g !! h( )#$ %&
G
' 1! (r,k( ) )k h( ) dµ h( )
k=1
mn+1!1
" +
+
Tr g !! h( ) ! Tmn g !! h( )"# $% 1! &r,k( ) 'k h( )dµ h( )
k=1
mn+1!1
(
G
) +
+ Tm1 ! Tm0"# $% 1! &r,k( ) 'kdµ
k=1
m1!1
(
G
)
p
.
Используя неравенство Минковского, имеем
Rr p( ) Tr ; !( ) " 2 1# $r,k( ) %k h( )
k=1
mn+1#1
& dµ h( )Ems
p( ) f( )
G
'
s=1
n#1
& +
+ 2 Emn
p( ) f( ) 1! "r,k( )
k=1
mn+1!1
# $k h( ) dµ h( )
G
% +
+ 2 Em0
p( ) f( )
G
! 1" #r,k( ) $k h( )
k=1
m1"1
% dµ h( ) =
= 2 ! s + 1; r( )
s=0
n
" Ems
p( ) f( ) . (16)
Далее, используя неравенство Минковского, получаем
Rr p( ) f ; !( ) ≤ f ! Tr p + Rr p( ) Tr ;!( ) + Ur Tr ! f ;"; g( ) p =
= Er p( ) f( ) + Rr p( ) Tr ;!( ) + Ur Tr ! f ;"; g( ) p . (17)
Наконец, оценим величину Ur Tr ! f ; "; g( ) p .
Ur Tr ! f ;"; g( ) p =
f g !! h( ) ! Tr g !! h( )[ ]
G
" #r,k$k h( ) dµ h( )%
p
G
"
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/ p
≤
≤ Er p( ) f( )!r . (18)
О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА НУЛЬМЕРНЫХ ГРУППАХ 727
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Из оценок (16) – (18) вытекает утверждение теоремы 2.
Рассматривая указанные выше вопросы для функций, заданных на группе G отрезка 0,1[ ]
с групповой операцией x !+ y =
x! + y! mod p!( )
m!!=1
"# , x !! y =
x! " y! + #!p!
m!!=1
$% (!" =
= 1, если x! < y! и !" = 0 при x! " y! ), где x =
x!
m!!=1
"# , y = y!
m!!=1
"# , получаем,
что для измеримых интегрируемых по Лебегу на отрезке 0,1[ ] функций справедливо ука-
занное Моргенталером [6] равенство
f
0
1
! x !+ y( ) dy = f
0
1
! y( ) dy =
f
0
1
! x !" y( ) dy .
В работах Моргенталера [6] и Н. Я. Виленкина [11] для функций, заданных на нульмерных
группах, введено понятие так называемого модуля непрерывности, являющегося основной
структурной характеристикой функций f ! Lp G( ) .
Определение. Пусть функция f принадлежит Lp G( ) , 1 ! p ! " . Модулем непре-
рывности функции f называют величины
!n
p( ) f( ) =
sup
h!Un
f g !+ h( ) " f g( ) p dµ g( )
G
#
$
%
&
'&
(
)
&
*&
1/ p
при 1 ! p < "
и
!n
"( ) f( ) = !n f( ) =
sup
h!Un ;g!G
f g !+ h( ) " f g( ) при p = ! ,
где Un , n = 0,1, 2,!… , — элементы основной цепочки подгрупп группы G .
А. И. Рубинштейном (см. [1], гл. II) установлено, что для любой монотонно стремящейся к
нулю последовательности чисел !n в случаях p = ! , p = 1 , p = 2 найдутся функции f ,
f1 и f2 , для которых при каждом n , n = 0,1, 2,!… , соответственно справедливы равенства
!n f( ) = !n
1( ) f1( ) = !n
2( ) f2( ) = !n .
В случае, когда функции f ! Lp G( ) , 1 ! p ! " , определяются последовательностью (5)
своих наилучших приближений, А. В. Ефимов [8] получил при любом p , 1 ! p ! " , следу-
ющую оценку модулей непрерывности через наилучшие приближения Enp( ) f( ) :
Emn
p( ) f( ) ! !n
p( ) f( ) ! 2 Emn
p( ) f( ) , n = 0,1, 2,!… .
Окончательные порядковые соотношения между структурными и конструктивными харак-
теристиками периодических функций из пространств Lp 0,1[ ] , 1 ! p ! " , т. е. между
728 М. Ф. ТИМАН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
модулем непрерывности ! f ; h( )p с шагом h периодической периода 1 функции f и ее
наилучшими приближениями En f( )p порядка n в метрике пространства Lp 0,1[ ] , выра-
жаются следующими точными порядковыми неравенствами:
En f( )p ! E!
!=1
n
" f( )p
#
$
%
&%
'
(
%
)%
1/n
! 1
n + 1
!" #1E!
" f( )p
!=1
n
$
%
&
'
('
)
*
'
+'
1/"
! ! f ; 1
n + 1
"
#$
%
&' p
!
! 1
n + 1
!"#1E!
" f( )p
!=1
n
$
%
&
'
('
)
*
'
+'
1/"
, где ! = max 2, p( ) , ! = min 2, p( ) . (19)
По поводу неравенств (19), которые существенно дополняют известные неравенства Джексо-
на и С. Н. Бернштейна для пространств Lp 0,1[ ] , см. монографию [12].
1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультикативные системы функций и
гармонический анализ на нульмерных группах. – Баку: Элм, 1981. – 180 с.
2. Тиман М. Ф., Рубинштейн А. И. О вложении классов функций, определенных на нульмерных группах // Изв.
вузов. Математика. – 1980. – № 8.
3. Тиман М. Ф. Наилучшее приближение функций и линейные методы суммирования рядов Фурье // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1965. – 29, № 3. – С. 587 – 604.
4. Виленкин Н. Я. Теория мультипликативных систем. Дополнение к книге С. Качмажа и Г. Штейнгауза ,,Теория
ортогональных рядов”. – М.: Физмагиз, 1958.
5. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
6. Morgenthaler G. Walsh – Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. – 1947. – 84, № 2. – P. 472 – 507 .
7. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1953. – 17, № 2. – С. 87 –
98.
8. Ефимов А. В. О некоторых аппроксимативных свойствах периодических мультипликативных ортонормирован-
ных систем // Мат. сб. – 1966. – 69, № 3. – С. 354 – 370.
9. Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 2. – С. 597 –
310.
10. Блюмин С. Л. О линейных методах суммирования рядов Фурье по мультипликативным системам // Сиб. мат.
журн. – 1968. – 9, № 2. – С. 449 – 455.
11. Виленкин Н. Я. Об одном классе полных ортонормированных систем // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1947. – 11. –
С. 363 – 400.
12. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 376 с.
13. Тиман М. Ф., Тухлиев К. Свойства некоторых ортонормированных систем. – Днепропетровск, 1980. – Деп. в
ВИНИТИ, № 4929-80.
Получено 21.10.11
|