Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов
Ця робота є продовженням дослiдження зрiзаної матричної тригонометричної проблеми моментiв, розпочатого ав- тором (див. Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 6. – С. 786 – 797). У данiй роботi одержано формулу Неванлiнни для цiєї проблеми моментiв у загальному випадку. При цьому припускається, що задано б...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164433 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов / С.М. Загороднюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1053-1066. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164433 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644332020-02-12T01:27:35Z Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов Загороднюк, С.М. Статті Ця робота є продовженням дослiдження зрiзаної матричної тригонометричної проблеми моментiв, розпочатого ав- тором (див. Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 6. – С. 786 – 797). У данiй роботi одержано формулу Неванлiнни для цiєї проблеми моментiв у загальному випадку. При цьому припускається, що задано бiльш нiж один момент, проблема моментiв розв’язна i має бiльш нiж один розв’язок. Коефiцiєнти вiдповiдного матричного дробово-лiнiйного перетворення явно виражено через заданi моменти. Наведено простi умови визначеностi проблеми моментiв. The paper continues the investigation of the truncated matrix trigonometric moment problem originated by the author in Ukr. Mat. Zh., 63, No. 6, 786–797 (2011). The Nevanlinna formula for the indicated moment problem is deduced in the general case. It is assumed that there is more than one moment and that the moment problem is solvable and has more than one solution. The coefficients of the corresponding matrix linear fractional transformation are expressed in the explicit form via the given moments. Simple determinacy conditions are presented for the moment problem. 2012 Article Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов / С.М. Загороднюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1053-1066. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164433 517.948 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Загороднюк, С.М. Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов Український математичний журнал |
| description |
Ця робота є продовженням дослiдження зрiзаної матричної тригонометричної проблеми моментiв, розпочатого ав- тором (див. Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 6. – С. 786 – 797). У данiй роботi одержано формулу Неванлiнни для цiєї проблеми моментiв у загальному випадку. При цьому припускається, що задано бiльш нiж один момент, проблема моментiв розв’язна i має бiльш нiж один розв’язок. Коефiцiєнти вiдповiдного матричного дробово-лiнiйного перетворення явно виражено через заданi моменти. Наведено простi умови визначеностi проблеми моментiв. |
| format |
Article |
| author |
Загороднюк, С.М. |
| author_facet |
Загороднюк, С.М. |
| author_sort |
Загороднюк, С.М. |
| title |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| title_short |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| title_full |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| title_fullStr |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| title_full_unstemmed |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| title_sort |
формула неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164433 |
| citation_txt |
Формула Неванлинны для усеченной матричной тригонометрической проблемы моментов / С.М. Загороднюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1053-1066. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zagorodnûksm formulanevanlinnydlâusečennojmatričnojtrigonometričeskojproblemymomentov |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:45Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:45Z |
| _version_ |
1837642427118125056 |
| fulltext |
УДК 517.948
С. М. Загороднюк (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ
This paper is a continuation of our investigation on the truncated matrix trigonometric moment problem begun in Ukr. Mat.
Zh. – 2011. – 63, № 6. – P. 786 – 797. In the present paper, we obtain the Nevanlinna formula for this moment problem in
the general case. We assume here that there is more than one moment and the moment problem is solvable and has more
than one solution. The coefficients of the corresponding matrix linear fractional transformation are expressed in explicit
form via prescribed moments. Simple determinacy conditions for the moment problem are presented.
Ця робота є продовженням дослiдження зрiзаної матричної тригонометричної проблеми моментiв, розпочатого ав-
тором (див. Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 6. – С. 786 – 797). У данiй роботi одержано формулу Неванлiнни для
цiєї проблеми моментiв у загальному випадку. При цьому припускається, що задано бiльш нiж один момент, про-
блема моментiв розв’язна i має бiльш нiж один розв’язок. Коефiцiєнти вiдповiдного матричного дробово-лiнiйного
перетворення явно виражено через заданi моменти. Наведено простi умови визначеностi проблеми моментiв.
1. Введение. Данная работа является продолжением исследования автора по усеченной матрич-
ной тригонометрической проблеме моментов с помощью операторного подхода, начатого в [1].
Усеченная матричная тригонометрическая проблема моментов (далее сокращенно УМТПМ)
состоит в нахождении неубывающей CN×N -значной функции M(t) = (mk,l)
N−1
k,l=0, t ∈ [0, 2π],
M(0) = 0, которая является непрерывной слева в (0, 2π] и такой, что
2π∫
0
eintdM(t) = Sn, n = 0, 1, . . . , d, (1)
где {Sn}dn=0 — заданная последовательность комплексных (N ×N)-матриц (моментов). Здесь
N ∈ N и d ∈ Z+ являются фиксированными числами. Положим
Td = (Si−j)
d
i,j=0 =
S0 S−1 S−2 . . . S−d
S1 S0 S−1 . . . S−d+1
S2 S1 S0 . . . S−d+2
...
...
...
. . .
...
Sd Sd−1 Sd−2 . . . S0
, (2)
где
Sk := S∗−k, k = −d,−d+ 1, . . . ,−1,
и {Sn}dn=0 определены в (1). Известно, что условие
Td ≥ 0 (3)
является необходимым и достаточным для разрешимости проблемы моментов (1) (см., напри-
мер, [2]).
c© С. М. ЗАГОРОДНЮК, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1053
1054 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Проблему моментов (1) называют определенной, если она имеет единственное решение,
и неопределенной — в противном случае. Заметим, что термин „определенная (неопределен-
ная) проблема моментов” является стандартным для ряда классических проблем моментов
(см. [3 – 6]). Такая терминология применялась и для усеченной тригонометрической проблемы
моментов [7, с. 312; 6, с. 213].
Мы не приводим здесь изложение истории и современных результатов для проблемы мо-
ментов (1), так как это содержится в работе [1]. Отметим лишь дополнительно работу [8],
не упоминавшуюся нами ранее. Целью настоящего исследования является вывод формулы
Неванлинны для УМТПМ в общем случае. Именно, мы предполагаем, что d ≥ 1, выполнено
условие (3) и проблема моментов является неопределенной. Коэффициенты соответствующе-
го матричного дробно-линейного преобразования явно выражаются через заданные моменты.
Заметим, что в некоторых случаях (например, при многократном применении) формула Неван-
линны имеет то преимущество, что числа строк и столбцов для коэффициентов матричного
дробно-линейного преобразования не превышают N. Также получены простые условия опре-
деленности УМТПМ в терминах заданных моментов.
Обозначения. Как обычно, обозначаем через R, C, N, Z, Z+ множества вещественных,
комплексных, натуральных, целых и целых неотрицательных чисел соответственно; D = {z ∈
∈ C : |z| < 1}. Множество всех комплексных матриц размера m × n обозначаем через Cm×n,
m, n ∈ N. Если M ∈ Cm×n, то MT обозначает транспонированную матрицу для M, а M∗ —
комплексно-сопряженную матрицу для M. Единичная матрица из Cn×n обозначается через In,
n ∈ N.
Если H является гильбертовым пространством, то (·, ·)H и ‖ · ‖H обозначают скаляр-
ное произведение и норму в H соответственно. В очевидных случаях индексы можно опус-
кать. Посредством CN мы обозначаем конечномерное гильбертово пространство комплексных
векторов-столбцов размера N с обычным скалярным произведением (~x, ~y)CN =
∑N−1
j=0
xjyj
для ~x, ~y ∈ CN , ~x = (x0, x1, . . . , xN−1)T , ~y = (y0, y1, . . . , yN−1)T , xj , yj ∈ C.
Для линейного оператора A в H обозначаем через D(A) его область определения, через
R(A) его область значений; A∗ обозначает сопряженный оператор, если он существует. Если A
обратим, то A−1 обозначает обратный оператор для A. Если A ограничен, то ‖A‖ обозначает
его норму. Если некоторое множество M состоит из конечного числа элементов, то количество
элементовM обозначается card(M). Для произвольного набора элементов {xn}n∈I вH обозна-
чаем посредством Lin{xn}n∈I линейную оболочку элементов xn, n ∈ I. Здесь I — произвольное
множество индексов. Через EH обозначаем единичный оператор в H, т. е. EHx = x, x ∈ H.
В очевидных случаях индекс H можно опускать. Если H1 является подпространством в H, то
PH1 = PHH1
обозначает оператор ортогонального проектирования на H1 в H.
2. Определенность УМТПМ. Формула Неванлинны для УМТПМ. Пусть задана проб-
лема моментов (1) с d ≥ 1 и выполнено условие (3), где Td определены в (2). Пусть
Td = (γn,m)
(d+1)N−1
n,m=0 , Sk = (Sk;s,l)
N−1
s,l=0, −d ≤ k ≤ d,
где γn,m, Sk;s,l ∈ C. Заметим, что
γkN+s,rN+l = Sk−r;s,l, 0 ≤ k, r ≤ d, 0 ≤ s, l ≤ N − 1. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1055
Повторим здесь вкратце некоторые построения из [1]. Рассмотрим комплексное линейное век-
торное пространство H, элементами которого являются векторы-строки ~u = (u0, u1, u2, . . .
. . . , u(d+1)N−1) с un ∈ C, 0 ≤ n ≤ (d+1)N−1. Сложение и умножение на скаляр определяются
для векторов обычным образом. Положим
~εn = (δn,0, δn,1, δn,2, . . . , δn,(d+1)N−1), 0 ≤ n ≤ (d+ 1)N − 1,
где δn,r — символ Кронекера. В H мы определим линейный функционал B посредством соот-
ношения
B(~u, ~w) =
(d+1)N−1∑
n,r=0
anbrγn,r,
где
~u =
(d+1)N−1∑
n=0
an~εn, ~w =
(d+1)N−1∑
r=0
br~εr, an, br ∈ C.
Пространство H с B является квазигильбертовым пространством [5]. Согласно обычной про-
цедуре введения классов эквивалентности (см., например, [5, с. 24]), мы относим два эле-
мента ~u, ~w из H к одному классу эквивалентности, который обозначается [~u] или [~w], если
B(~u− ~w, ~u− ~w) = 0. Пространство классов эквивалентности является (конечномерным) гиль-
бертовым пространством. Всюду в дальнейшем мы обозначаем его через H. Положим
xn := [~εn], 0 ≤ n ≤ (d+ 1)N − 1.
Тогда
(xn, xm)H = γn,m, 0 ≤ n,m ≤ (d+ 1)N − 1, (5)
и Lin{xn}(d+1)N−1
n=0 = H. Пусть LN := Lin{xn}N−1
n=0 . Рассмотрим оператор
Ax =
dN−1∑
k=0
αkxk+N , x =
dN−1∑
k=0
αkxk, αk ∈ C, (6)
D(A) = Lin{xn}dN−1
n=0 .
Оператор A является изометрическим. Согласно теореме 3 из [1] все решения проблемы мо-
ментов (1) имеют вид
M(t) = (mk,j(t))
N−1
k,j=0, t ∈ [0, 2π], (7)
где mk,j находят из соотношения
2π∫
0
1
1− ζeit
dmk,j(t) = ([EH − ζ(A⊕ Φζ)]
−1 xk, xj)H , ζ ∈ D. (8)
Здесь Φζ — аналитическая в D операторнозначная функция, значениями которой являются
линейные сжатия из H D(A) в H R(A). Наоборот, каждая аналитическая в D оператор-
нозначная функция с указанными свойствами посредством соотношений (7), (8) дает решение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1056 С. М. ЗАГОРОДНЮК
проблемы моментов (1). Соответствие между всеми аналитическими в D операторнозначны-
ми функциями с вышеуказанными свойствами и решениями проблемы моментов (1) взаимно
однозначно.
Поскольку мы предполагаем получить формулу Неванлинны для неопределенной УМТПМ,
важно установить простые необходимые и достаточные условия определенности УМТПМ.
Теорема 1. Пусть задана усеченная матричная тригонометрическая проблема момен-
тов (1) с d ≥ 1 и условие (3) с Td из (2) выполнено. Пусть оператор A в гильбертовом
пространстве H задан соотношением (6). Тогда следующие условия эквивалентны:
(A) проблема моментов (1) является определенной;
(B) индексы дефекта A равны нулю;
(C) для каждого фиксированного r, dN ≤ r ≤ dN +N − 1, система линейных уравнений
dN−1∑
n=0
αr,nγn,j = γr,j , 0 ≤ j ≤ dN +N − 1,
относительно неизвестных αr,0, αr,1, . . . , αr,dN−1 имеет решение; здесь числа γ·,· определены
в (4).
Если указанные условия выполнены, то единственное решение проблемы моментов (1)
дается формулой
M(t) = (mk,j(t))
N−1
k,j=0, mk,j(t) = (Etxk, xj)H ,
где Et — непрерывное слева ортогональное разложение единицы унитарного оператора A.
Это решение является кусочно-постоянной функцией.
Доказательство. (A) ⇒ (B). Вначале заметим, что дефектные числа оператора A всегда
равны, так как он изометрический и действует в конечномерном пространстве. Если дефектные
числа больше нуля, можно выбрать единичные векторы u1 ∈ H D(A) и u2 ∈ H R(A).
Положим
Φζ(cu1 + u) = cu2, c ∈ C, u ∈ (H D(A)) Lin{u1}, ζ ∈ D.
С другой стороны, полагаем Φ̃ζ ≡ 0.Функции Φζ и Φ̃ζ порождают различные решения УМТПМ
посредством соотношения (8).
(B) ⇒ (A). Если дефектные числа A равны нулю, то единственной допустимой функцией
Φζ в соотношении (8) является Φζ ≡ 0.
Далее, справедлива следующая цепочка:
(B)⇔ (D(A) = H)⇔
(
xdN , xdN+1, . . . , xdN+N−1 ∈ Lin{xn}dN−1
n=0
)
⇔
⇔
xdN =
∑dN−1
n=0
αdN,nxn,
xdN+1 =
∑dN−1
n=0
αdN+1,nxn,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xdN+N−1 =
∑dN−1
n=0
αdN+N−1,nxn,
αdN,n, αdN+1,n, . . . , αdN+N−1,n ∈ C
⇔
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1057
⇔
(xdN , xj)H =
(∑dN−1
n=0
αdN,nxn, xj
)
H
,
(xdN+1, xj)H =
(∑dN−1
n=0
αdN+1,nxn, xj
)
H
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(xdN+N−1, xj)H =
(∑dN−1
n=0
αdN+N−1,nxn, xj
)
H
,
αdN,n, αdN+1,n, . . .
. . . αdN+N−1,n ∈ C,
0 ≤ j ≤ dN +N − 1
⇔ (C).
Теорема 1 доказана.
Продолжим наши рассуждения, начатые перед теоремой 1. Всюду в дальнейшем будем
предполагать, что УМТПМ является неопределенной и оба дефектных числаA равны δ = δ(A),
δ ≥ 1.
Применим процесс ортогонализации Грама – Шмидта к векторам
x0, x1, . . . , xdN+N−1.
Во время этого процесса будем использовать числа γ·,·, определенные в (4), а также свойство (5).
Шаг j, 0 ≤ j ≤ dN +N − 1. Вычисляем
nj :=
∥∥∥∥∥∥xj −
∑
k: 0≤k≤j−1, nk 6=0
(xj , yk)Hyk
∥∥∥∥∥∥
H
, (9)
где сумма в правой части может быть пустой (т. е. не содержать слагаемых и быть равной
нулю). Если nj 6= 0, то полагаем
yj :=
1
nj
xj − ∑
k: 0≤k≤j−1, nk 6=0
(xj , yk)Hyk
. (10)
Если nj = 0, переходим к следующему шагу.
Замечание 1. Отметим, что всегда существует ненулевое nj с 0 ≤ j ≤ N − 1. Действи-
тельно, в противном случае мы бы получили ‖xj‖2H = γj,j = 0, 0 ≤ j ≤ N − 1. Следовательно,
S0 = 0 и M(t) ≡ 0, что противоречит неопределенности УМТПМ.
Замечание 2. С помощью соотношения (10) каждый yj может быть представлен как ли-
нейная комбинация векторов x0, x1, . . . , xj . Таким образом, числа nj вычисляются с использо-
ванием заданных моментов посредством соотношений (5) и (4).
Положим Ω1 = {j : 0 ≤ j ≤ dN+N−1, nj 6= 0}. Тогда A := {yj}j∈Ω1 является ортонорми-
рованным базисом в H. Кроме того, A1 := {yj}j∈Ω1 : j≤N−1 является ортонормированным бази-
сом в LN и A2 := {yj}j∈Ω1: j≤dN−1 — ортонормированный базис в Lin{xn}dN−1
n=0 = D(A). Сле-
довательно, A3 := {yj}j∈Ω1: dN≤j≤dN+N−1 является ортонормированным базисом в H D(A).
Отсюда заключаем, что δ ≤ N.
Заметим, что card(A3) = δ ≥ 1. Положим ρ := card(A1), τ := card(A2). Отметим, что
1 ≤ ρ ≤ N, τ ≥ ρ ≥ 1.
Обозначим k-й элемент, считая от нуля, в множестве A, упорядоченном в порядке постро-
ения его элементов, через uk, k = 0, 1, . . . , τ + δ − 1. Тогда A = {uk}τ+δ−1
k=0 , A1 = {uk}ρ−1
k=0,
A2 = {uk}τ−1
k=0, A3 = {uk}τ+δ−1
k=τ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1058 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Нам потребуется еще один ортонормированный базис в H. Заметим, что A′2 := {vk}τ−1
k=0, где
vk := Auk, является ортонормированным базисом вR(A).Кроме того,R(A) = Lin{xn}dN+N−1
n=dN .
Значит, линейная оболочка векторов {vk}τ−1
k=0, {xn}
N−1
n=0 равна H. Тогда линейная оболочка век-
торов {vk}τ−1
k=0, {uk}
ρ−1
k=0 также равна H.
Применим процесс ортогонализации Грама – Шмидта к векторам
v0, v1, . . . , vτ−1, u0, u1, . . . , uρ−1.
Как и в предыдущей процедуре ортогонализации, будем использовать числа γ·,·, определенные
в (4), и свойство (5). Заметим, что первые τ элементов уже ортонормированы.
Шаг j, 0 ≤ j ≤ ρ− 1. Вычисляем
mj :=
∥∥∥∥∥∥uj −
τ−1∑
l=0
(uj , vl)Hvl −
∑
k: 0≤k≤j−1, mk 6=0
(uj , fk)Hfk
∥∥∥∥∥∥
H
, (11)
где последняя сумма в правой части может быть пустой. Если mj 6= 0, то полагаем
fj :=
1
mj
uj − τ−1∑
l=0
(uj , vl)Hvl −
∑
k: 0≤k≤j−1, mk 6=0
(uj , fk)Hfk
. (12)
Если mj = 0, переходим к следующему шагу.
Положим Ω2 = {j : 0 ≤ j ≤ ρ − 1, mj 6= 0}. Тогда A′ := {vk}τ−1
k=0 ∪ {fj}j∈Ω2 является
ортонормированным базисом в H. Полагаем A′3 := {fj}j∈Ω2 . Заметим, что card(A′3) = δ.
Обозначим k-й элемент, считая от нуля, в множестве A′3, упорядоченном в порядке постро-
ения его элементов, через vτ+k, k = 0, 1, . . . , δ − 1. Тогда A′ = {vk}τ+δ−1
k=0 , A′3 = {vk}τ+δ−1
k=τ .
Обозначим черезM1,ζ(Φ) матрицу оператора EH − ζ(A⊕Φζ) в базисе A, ζ ∈ D. Здесь Φζ
является аналитической в D операторнозначной функцией, значения которой являются линей-
ными сжатиями из H D(A) в H R(A). Тогда
M1,ζ(Φ) =
(
([EH − ζ(A⊕ Φζ)]uk, uj)H
)τ+δ−1
j,k=0
=
(
A0,ζ B0,ζ(Φ)
C0,ζ D0,ζ(Φ)
)
,
где
A0,ζ =
(
([EH − ζ(A⊕ Φζ)]uk, uj)H
)τ−1
j,k=0
=
(
(uk − ζAuk, uj)H
)τ−1
j,k=0
=
= Iτ − ζ
(
(vk, uj)H
)τ−1
j,k=0
, (13)
B0,ζ(Φ) =
(
([EH − ζ(A⊕ Φζ)]uk, uj)H
)
0≤j≤τ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
=
(
(uk − ζΦζuk, uj)H
)
0≤j≤τ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
= −ζ
(
(Φζuk, uj)H
)
0≤j≤τ−1, τ≤k≤τ+δ−1
,
C0,ζ =
(
([EH − ζ(A⊕ Φζ)]uk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, 0≤k≤τ−1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1059
=
(
(uk − ζAuk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, 0≤k≤τ−1
=
= −ζ
(
(vk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, 0≤k≤τ−1
, (14)
D0,ζ(Φ) =
(
([EH − ζ(A⊕ Φζ)]uk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
=
(
(uk − ζΦζuk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
= Iδ − ζ
(
(Φζuk, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤k≤τ+δ−1
, ζ ∈ D.
Заметим, что матрица A0,ζ является обратимой, так как она является матрицей оператора
PD(A)(EH − ζA)PD(A) = ED(A)− ζPD(A)APD(A), рассматриваемого в гильбертовом простран-
стве D(A), в базисе A2, ζ ∈ D. Отметим также, что матрицы A0,ζ , C0,ζ , ζ ∈ D, явно вычисля-
ются с использованием соотношений (5) и (4).
Обозначим через Fζ , ζ ∈ D, матрицу оператора Φζ , действующего из H D(A) в H R(A),
относительно базисов A3 и A′3:
Fζ = (fζ(j, k))τ+δ−1
j,k=τ , fζ(j, k) := (Φζuk, vj)H .
Тогда
Φζuk =
τ+δ−1∑
l=τ
fζ(l, k)vl, τ ≤ k ≤ τ + δ − 1,
и
B0,ζ(Φ) = −ζ
((
τ+δ−1∑
l=τ
fζ(l, k)vl, uj
)
H
)
0≤j≤τ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
= −ζ
(
τ+δ−1∑
l=τ
(vl, uj)H fζ(l, k)
)
0≤j≤τ−1, τ≤k≤τ+δ−1
, ζ ∈ D.
Положим
W :=
(
(vl, uj)H
)
0≤j≤τ−1, τ≤l≤τ+δ−1
. (15)
Тогда
B0,ζ(Φ) = −ζWFζ , ζ ∈ D.
Мы можем записать
D0,ζ(Φ) = Iδ − ζ
((
τ+δ−1∑
l=τ
fζ(l, k)vl, uj
)
H
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤k≤τ+δ−1
=
= Iδ − ζ
(
τ+δ−1∑
l=τ
(vl, uj)H fζ(l, k)
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤k≤τ+δ−1
, ζ ∈ D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1060 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Пусть
T :=
(
(vl, uj)H
)
τ≤j≤τ+δ−1, τ≤l≤τ+δ−1
. (16)
Тогда
D0,ζ(Φ) = Iδ − ζTFζ , ζ ∈ D.
Таким образом, получаем
M1,ζ(Φ) =
(
A0,ζ −ζWFζ
C0,ζ Iδ − ζTFζ
)
, ζ ∈ D,
гдеA0,ζ , C0,ζ задаются соотношениями (13), (14), аW, T заданы в (15), (16). Применим формулу
Фробениуса обращения блочной матрицы [9, с. 59]. Тогда
M−1
1,ζ(Φ) =
(
A−1
0,ζ − ζA
−1
0,ζWFζH
−1
ζ (Φ)C0,ζA
−1
0,ζ ∗
∗ ∗
)
=
=
1
hζ
A+
0,ζ −
ζ
h2
ζ
A+
0,ζWFζH
−1
ζ (Φ)C0,ζA
+
0,ζ ∗
∗ ∗
, ζ ∈ D,
где звездочками обозначены блоки матрицы, которые не представляют для нас интереса, и
Hζ(Φ) = Iδ − ζTFζ + ζC0,ζA
−1
0,ζWFζ = Iδ − ζTFζ +
ζ
hζ
C0,ζA
+
0,ζWFζ =
= Iδ +
(
ζ
hζ
C0,ζA
+
0,ζW − ζT
)
Fζ , ζ ∈ D. (17)
Здесь A+
0,ζ обозначает матрицу, транспонированную к матрице, составленной из алгебраиче-
ских дополнений к элементам A0,ζ , т. е. на месте (i, j) матрицы A+
0,ζ стоит алгебраическое
дополнение к элементу на месте (j, i) матрицы A0,ζ , и
hζ = detA0,ζ . (18)
Пусть ζ ∈ D. Часть матрицыM−1
1,ζ(Φ), стоящую на пересечении первых ρ строк и первых
ρ столбцов, обозначим черезM2,ζ(Φ), а часть матрицы A+
0,ζ , стоящую на пересечении первых
ρ строк и первых ρ столбцов, — через A1,ζ . Первые ρ строк матрицы A+
0,ζ обозначим A2,ζ , а
первые ρ столбцов — A3,ζ . Тогда
M2,ζ(Φ) =
1
hζ
A1,ζ −
ζ
h2
ζ
A2,ζWFζH
−1
ζ (Φ)C0,ζA3,ζ , ζ ∈ D. (19)
Заметим, чтоM2,ζ(Φ) является матрицей оператора
PLN
[
EH − ζ(A⊕ Φζ)
]−1
PLN
,
рассматриваемого как оператор в LN , в базисе A1, ζ ∈ D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1061
Рассмотрим следующий оператор из CN в LN :
K
N−1∑
n=0
cn~en =
N−1∑
n=0
cnxn, cn ∈ C,
где ~en = (δn,0, δn,1, . . . , δn,N−1) ∈ CN . Пусть K является матрицей K по отношению к базисам
{~en}N−1
n=0 и A1:
K =
(
(K~ek, uj)H
)
0≤j≤ρ−1, 0≤k≤N−1
=
(
(xk, uj)H
)
0≤j≤ρ−1, 0≤k≤N−1
. (20)
Тогда можно записать (
[EH − ζ(A⊕ Φζ)]
−1 xk, xj
)
H
=
=
(
PLN
[EH − ζ(A⊕ Φζ)]
−1 PLN
K~ek,K~ej
)
H
=
=
(
K∗PLN
[EH − ζ(A⊕ Φζ)]
−1 PLN
K~ek, ~ej
)
CN
, ζ ∈ D.
Заметим, что правая часть последнего выражения равна элементу матрицы K∗M2,ζ(Φ)K, сто-
ящему в j-й строке, k-м столбце. Используя (8), записываем
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) = K∗M2,ζ(Φ)K, ζ ∈ D. (21)
Полагаем
Cζ = ζC0,ζA
+
0,ζW − ζhζT, Aζ = K∗A1,ζK,
Bζ = K∗A2,ζW, Dζ = C0,ζA3,ζK, ζ ∈ D.
(22)
Используя (17), (19), (21), получаем
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) =
1
hζ
Aζ −
ζ
h2
ζ
BζFζ
(
Iδ +
1
hζ
CζFζ
)−1
Dζ ,
где ζ ∈ D.
Теорема 2. Пусть задана усеченная матричная тригонометрическая проблема момен-
тов (1) с d ≥ 1 и условие (3) выполнено. Предположим, что проблема моментов является
неопределенной. Все решения проблемы моментов (1) получаются из соотношения
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) =
1
hζ
Aζ −
ζ
h2
ζ
BζFζ
(
Iδ +
1
hζ
CζFζ
)−1
Dζ , ζ ∈ D, (23)
где Aζ , Bζ , Cζ ,Dζ являются матричными многочленами, определенными соотношением (22),
со значениями в CN×N ,CN×δ,Cδ×δ,Cδ×N соответственно. Скалярный многочлен hζ , deg hζ ≤
≤ τ, определяется в (18). Здесь Fζ является аналитической в D Cδ×δ-значной функцией, такой,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1062 С. М. ЗАГОРОДНЮК
что F ∗ζ Fζ ≤ Iδ ∀ζ ∈ D. Наоборот, произвольная аналитическая в D Cδ×δ-значная функция,
такая, что F ∗ζ Fζ ≤ Iδ ∀ζ ∈ D, порождает согласно соотношению (23) некоторое решение
проблемы моментов (1). Соответствие между всеми аналитическими в D Cδ×δ-значными
функциями, такими, что F ∗ζ Fζ ≤ Iδ ∀ζ ∈ D, и всеми решениями проблемы моментов (1)
взаимно однозначно.
Доказательство следует из вышеприведенных рассуждений.
Пример 1. Пусть N = 3, d = 1, S0 =
1 1 0
1 1 0
0 0 1
, S1 =
1 1 0
1 1 0
0 0 0
. Рассмот-
рим УМТПМ с моментами S0, S1. Непосредственно проверяется, что условие (3) выполнено,
а условие (C) теоремы 1 не выполняется. Таким образом, УМТПМ разрешима и является
неопределенной. Матрица T1 из (2) имеет вид
T1 = (γn,m)5
n,m=0 =
1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1
.
Пусть H — гильбертово пространство, построенное так, как это было описано для проблемы
моментов после формулы (4), и {xn}5n=0 — элементы этого пространства со свойством (5).
Применим процесс ортогонализации (9), (10) к элементам x0, x1, x2, x3, x4, x5.
Шаг 0. Вычисляем n0 = ‖x0‖H =
√
(x0, x0)H =
√
γ0,0 = 1 6= 0. Полагаем y0 = x0.
Шаг 1. Вычисляем
n2
1 = ‖x1 − (x1, y0)Hy0‖2H = ‖x1 − (x1, x0)Hx0‖2H = (x1 − γ1,0x0, x1 − γ1,0x0)H =
= (x1 − x0, x1 − x0)H = (x1, x1)H − (x1, x0)H − (x0, x1)H + (x0, x0)H =
= γ1,1 − γ1,0 − γ0,1 + γ0,0 = 0.
Следовательно, переходим к следующему шагу.
Шаг 2. Вычисляем
n2
2 = ‖x2 − (x2, y0)Hy0‖2H = ‖x2 − γ2,0x0‖2H = (x2, x2)H = γ2,2 = 1.
Полагаем
y2 = x2 − (x2, y0)Hy0 = x2 − γ2,0y0 = x2.
На шаге 3 получим n3 = 0, на шаге 4 — n4 = 0. Наконец, на шаге 5 мы вычислим n5 = 1 и
y5 = x5.
Полагаем A = {y0, y2, y5}. Пусть u0 := y0 = x0, u1 := y2 = x2, u2 := y5 = x5. Тогда
A = {uk}2k=0. Заметим, что в данном случае ρ = τ = 2, δ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1063
Полагаем v0 := Au0 = Ax0 = x3, v1 := Au1 = Ax2 = x5. Применим процесс ортогонали-
зации (11), (12) к элементам v0, v1, u0, u1.
Шаг 0. Вычисляем
m2
0 = ‖u0 − (u0, v0)Hv0 − (u0, v1)Hv1‖2H = ‖x0 − (x0, x3)Hx3 − (x0, x5)Hx5‖2H =
= ‖x0 − γ0,3x3 − γ0,5x5‖2H = ‖x0 − x3‖2H = (x0 − x3, x0 − x3)H =
= γ0,0 − γ0,3 − γ3,0 + γ3,3 = 0.
Переходим к следующему шагу.
Шаг 1. Вычисляем
m2
1 = ‖u1 − (u1, v0)Hv0 − (u1, v1)Hv1‖2H =
= ‖x2 − (x2, x3)Hx3 − (x2, x5)Hx5‖2H = ‖x2 − γ2,3x3 − γ2,5x5‖2H =
= ‖x2‖2H = (x2, x2)H = γ2,2 = 1.
Полагаем
f1 = u1 − (u1, v0)Hv0 − (u1, v1)Hv1 =
= x2 − (x2, x3)Hx3 − (x2, x5)Hx5 = x2 − γ2,3x3 − γ2,5x5 = x2.
Положим A′ = {v0, v1, f1}. Пусть v2 = f1 = x2. Тогда A′ = {vk}2k=0.
Используя (15), (16), записываем
W =
(
(vl, uj)H
)
0≤j≤1, 2≤l≤2
=
(
(x2, x0)H
(x2, x2)H
)
=
(
γ2,0
γ2,2
)
=
(
0
1
)
,
T =
(
(vl, uj)H
)
2≤j≤2, 2≤l≤2
= (v2, u2)H = (x2, x5)H = γ2,5 = 0.
Согласно (13), (14) вычисляем
A0,ζ = I2 − ζ
(
(vk, uj)H
)1
j,k=0
= I2 − ζ
(
(x3, x0)H (x5, x0)H
(x3, x2)H (x5, x2)H
)
=
(
1− ζ 0
0 1
)
,
C0,ζ = −ζ
(
(vk, uj)H
)
2≤j≤2, 0≤k≤1
= −ζ(γ3,5, γ5,5) = −ζ(0, 1).
Тогда hζ = detA0,ζ = 1− ζ,
A+
0,ζ =
(
1 0
0 1− ζ
)
= A1,ζ = A2,ζ = A3,ζ .
Используя (20), записываем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1064 С. М. ЗАГОРОДНЮК
K =
(
(xk, uj)H
)
0≤j≤1, 0≤k≤2
=
(
γ0,0 γ1,0 γ2,0
γ0,2 γ1,2 γ2,2
)
=
(
1 1 0
0 0 1
)
.
Используя (22), вычисляем
Cζ = −ζ2(1− ζ), Aζ =
1 1 0
1 1 0
0 0 1− ζ
, Bζ =
0
0
1− ζ
,
Dζ = −ζ(0, 0, 1− ζ).
Наконец, с помощью (23) получаем
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) =
1
1− ζ
1
1− ζ
0
1
1− ζ
1
1− ζ
0
0 0 1 + ζ2 Fζ
1− ζ2Fζ
, ζ ∈ D. (24)
Любая аналитическая в D комплексная функция Fζ такая, что |Fζ | ≤ 1, ζ ∈ D, порождает
согласно соотношению (24) некоторое решение проблемы моментов (1). При этом получаются
все решения проблемы моментов, а соответствие между функциями Fζ и решениями взаимно
однозначно. В частности, если положить Fζ ≡ 1, то
M(t) =
m̃(t) m̃(t) 0
m̃(t) m̃(t) 0
0 0 m̂(t)
, t ∈ [0, 2π],
где
m̃(t) =
0, если t = 0,
1, если t ∈ (0, 2π],
m̂(t) =
0, если t = 0,
1
2
, если t ∈ (0, π],
1, если t ∈ (π, 2π],
является решением УМТПМ.
Замечание 3. В процессе ортогонализации (9), (10), если nj = 0 для некоторого j, то
nk = 0 для всех j + 1 ≤ k ≤ dN + N − 1, имеющих вид k = j + Nr, r ∈ N. Это следует
из того, что оператор A изометрический. Действительно, если xj лежит в линейной оболочке
предыдущих элементов ортогонализуемой последовательности, то и вышеуказанные элементы
тоже, что получается применением оператора A к разложению xj по элементам линейной
оболочки. В частности, в примере 1 мы видели, что n1 = 0, а потому и n4 = 0. Это наблюдение
позволяет упростить процесс (9), (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ФОРМУЛА НЕВАНЛИННЫ ДЛЯ УСЕЧЕННОЙ МАТРИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ . . . 1065
Рассмотрим теперь случай определенной УМТПМ (1) и укажем, как пользоваться форму-
лой (23) в этом случае. Согласно теореме 1, в этом случае индексы дефекта соответствующего
оператора A в гильбертовом пространстве H равны нулю. Следовательно, Lin{xn}dN+N−1
n=0 =
= Lin{xn}dN−1
n=0 . Проводя процесс ортогонализации (9), (10), получаем ортонормированный
базис A в H. В данном случае базис A1 задается так же, как и ранее, базис A2 совпада-
ет с A, а базис A3 нам не понадобится. Полагаем ρ := card(A1), τ := card(A2). При этом
1 ≤ ρ ≤ τ ≤ N. Еще один ортонормированный базис в H нам не потребуется. Согласно (8), в
данном случае решение M(t) = (mk,j(t))
N−1
k,j=0, t ∈ [0, 2π], находится из соотношения
2π∫
0
1
1− ζeit
dmk,j(t) =
(
[EH − ζA]−1 xk, xj
)
H
, ζ ∈ D.
Таким образом, в рассматриваемом случае под матрицей M1,ζ(Φ) понимаем матрицу опера-
тора EH − ζA в базисе A, ζ ∈ D, т. е. матрицу A0,ζ из соотношения (13). Тогда A−1
0,ζ будет
матрицей оператора (EH − ζA)−1 в базисе A, ζ ∈ D. Заметим, что A−1
0,ζ =
1
hζ
A+
0,ζ , где hζ ,
A+
0,ζ определяются так, как и раньше. ОбозначенияM2,ζ(Φ) и A1,ζ имеют тот же смысл, что и
ранее. Формула (19) принимает вид
M2,ζ(Φ) =
1
hζ
A1,ζ , ζ ∈ D.
Повторяя дословно рассуждения после формулы (19) до (21), получаем соотношение
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) = K∗M2,ζ(Φ)K =
1
hζ
K∗A1,ζK =
1
hζ
Aζ , ζ ∈ D,
где Aζ задается так же, как и в (22).
Таким образом, приходим к следующему выводу: формулой (23) можно пользоваться и для
определенной УМТПМ (1), опуская последнее слагаемое в правой части и учитывая вышеопи-
санные замечания к общей процедуре построения коэффициентов.
Пример 2. Пусть N = 2, d = 1, S0 = S1 =
(
1 1
1 1
)
. Рассмотрим УМТПМ с моментами
S0, S1. Непосредственно проверяется, что условие (3) выполнено, и условие (C) теоремы 1
также выполняется. Значит, УМТПМ разрешима и является определенной. Матрица T1 из (2)
имеет вид
T1 = (γn,m)3
n,m=0 =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
.
Пусть H — гильбертово пространство, построенное так, как это было описано для проблемы
моментов после формулы (4), и {xn}3n=0 — элементы этого пространства со свойством (5).
Применим процесс ортогонализации (9), (10) к элементам x0, x1, x2, x3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1066 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Шаг 0. Вычисляем n0 = ‖x0‖H =
√
(x0, x0)H =
√
γ0,0 = 1 6= 0. Полагаем y0 = x0.
Шаги 1 – 3 приводят к n1 = n2 = n3 = 0. Полагаем A = {y0}. Пусть u0 := y0 = x0. Тогда
A = {u0}. Заметим, что в данном случае ρ = τ = 1. Далее вычисляем
A0,ζ = 1− ζ, hζ = 1− ζ, A+
0,ζ = 1 = A1,ζ ,
K = (1, 1),
2π∫
0
1
1− ζeit
dMT (t) =
1
1− ζ
(
1 1
1 1
)
, ζ ∈ D.
Следовательно, единственное решение M(t) = (mk,j(t))
1
k,j=0, t ∈ [0, 2π], задается соотноше-
нием
mk,j(t) =
0, t = 0,
1, 0 < t ≤ 2π
0 ≤ k, j ≤ 1.
Замечание 4. В одномерном случае формула Неванлинны для усеченной тригонометриче-
ской проблемы моментов была получена М. Е. Чумакиным (см. [10], теорема 2, [7], теорема 2).
Формула Чумакина имеет несколько иной вид, отличный от формулы (23), и не было выяснено,
можно ли ею пользоваться в вырожденном случае и как это делать. Общая идея построения
формулы Неванлинны: использование формулы (8) или ее аналога (см. [10, с. 258, 259; 7,
с. 323]) и вычисление соответствующей матрицы оператора в подходящем базисе совпадают,
но детали построения и конечный результат у М. Е. Чумакина и в данной статье различны. Вы-
рожденный случай рассматривался М. Е. Чумакиным отдельно, и был получен аналог формулы
для решения из теоремы 1 (см. [7], замечание 2).
1. Загороднюк С. М. Усеченная матричная тригонометрическая проблема моментов: операторный подход // Укр.
мат. журн. – 2011. – 63, № 6. – С. 786 – 797.
2. Ando T. Truncated moment problems for operators // Acta sci. math. (Szeged). – 1970. – 31, № 4. – P. 319 – 334.
3. Shohat J. A., Tamarkin J. D. The problem of moments. – New York: Amer. Math. Soc., 1943. – 140 p.
4. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. – М.:
Физматгиз, 1961. – 312 с.
5. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 800 с.
6. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы
П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. – М.: Наука, 1973. – 552 с.
7. Чумакин М. Е. Решения усеченной тригонометрической проблемы моментов // Учен. зап. Ульянов. пед. ин-та.
– 1966. – 20, вып. 4.- С. 311 – 355.
8. Ильмушкин Г. М., Турицын А. Б. Усеченная операторная тригонометрическая проблема моментов // Изв. вузов.
Математика. – 1982. – 242, № 7. – С. 18 – 21.
9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
10. Чумакин М. Е. О решениях усеченной тригонометрической проблемы моментов // Волж. мат. сб. – 1964. –
Вып. 2. – С. 254 – 260.
Получено 20.01.12,
после доработки — 29.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|