Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами
Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на n-вимiрному паралелепiпедi Ω функцiй u таких, що ||Δu||L∞(Ω)≤1, у просторах ||Δu||Lp(Ω)≤1,1≤p≤∞, та функцiй u таких, що Lp(Ω),1≤p≤∞, у просторi L1(Ω)....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164434 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами / В.Ф. Бабенко, Т.Ю. Лескевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1011-1024. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164434 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644342020-02-10T01:25:56Z Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами Бабенко, В.Ф. Лескевич, Т.Ю. Статті Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на n-вимiрному паралелепiпедi Ω функцiй u таких, що ||Δu||L∞(Ω)≤1, у просторах ||Δu||Lp(Ω)≤1,1≤p≤∞, та функцiй u таких, що Lp(Ω),1≤p≤∞, у просторi L1(Ω). We determine the exact values of the upper bounds of the errors of approximation by harmonic splines for functions u defined on an n-dimensional parallelepiped Ω and such that ||Δu|| L∞(Ω) ≤ 1 and functions u defined on Ω and such that ||Δu|| L∞(Ω) ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞. In the first case, the error is estimated in L p (Ω). 1 ≤ p ≤ ∞. In the second case, the error is estimated in L 1(Ω). 2012 Article Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами / В.Ф. Бабенко, Т.Ю. Лескевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1011-1024. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164434 517.5 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бабенко, В.Ф. Лескевич, Т.Ю. Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами Український математичний журнал |
| description |
Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на n-вимiрному паралелепiпедi Ω функцiй u таких, що ||Δu||L∞(Ω)≤1, у просторах ||Δu||Lp(Ω)≤1,1≤p≤∞, та функцiй u таких, що Lp(Ω),1≤p≤∞, у просторi L1(Ω). |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Лескевич, Т.Ю. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Лескевич, Т.Ю. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| title_short |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| title_full |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| title_fullStr |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| title_full_unstemmed |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| title_sort |
приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164434 |
| citation_txt |
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами / В.Ф. Бабенко, Т.Ю. Лескевич // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1011-1024. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf približenienekotoryhklassovfunkcijmnogihperemennyhgarmoničeskimisplajnami AT leskevičtû približenienekotoryhklassovfunkcijmnogihperemennyhgarmoničeskimisplajnami |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:47Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:47Z |
| _version_ |
1837642430455742464 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т; Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
Т. Ю. Лескевич (Днепропетр. нац. ун-т)
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ
We determine the exact values of upper bounds of the error of approximation by harmonic splines for functions u defined on
an n-dimensional parallelepiped Ω for which ‖∆u‖L∞(Ω) ≤ 1 and for functions u defined on Ω for which ‖∆u‖Lp(Ω) ≤ 1,
1 ≤ p ≤ ∞. In the first case, the error is estimated in Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞; in the second case, it is estimated in L1(Ω).
Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на n-вимiрному
паралелепiпедi Ω функцiй u таких, що ‖∆u‖L∞(Ω) ≤ 1, у просторах Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, та функцiй u таких, що
‖∆u‖Lp(Ω) ≤ 1, у просторi L1(Ω).
1. Введение. В пространстве Rn точек x = (x1, . . . , xn) рассмотрим параллелепипед Ω =
=
∏n
i=1
[ai, bi], ai < bi, i = 1, n. Пусть ∂Ω — граница Ω, а Ω◦ — его внутренность. Через
Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, будем обозначать пространство измеримых, интегрируемых в p-й степени
(существенно ограниченных при p =∞) функций u : Ω→ R с соответствующими нормами
‖u‖Lp(Ω) =
∫
Ω
|u(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup{|u(x)| : x ∈ Ω}, p =∞.
(1)
Как обычно, везде ниже p′ обозначает сопряженный показатель, т. е. p′ =
p
p− 1
.
Через C(Ω) будем обозначать пространство непрерывных функций u : Ω→ R с нормой
‖u‖C(Ω) = max{|u(x)| : x ∈ Ω}.
Сплайн-функции занимают важное место в теории аппроксимации функций одной и многих
переменных. К числу простейших сплайнов относятся кусочно-линейные функции (ломаные
в случае функций одной переменной). Приведем два результата об аппроксимации некоторых
классов функций одной переменной интерполяционными ломаными.
Пусть P = {x0, x1, . . . , xN}, a = x0 < x1 < . . . < xN = b, — разбиение отрезка [a, b].
Обозначим через SP (u;x) кусочно-линейную функцию с узлами в точках разбиения P, интер-
полирующую функцию u в точках из P. Пусть также hk = hk(P ) = xk+1−xk для k = 0, N − 1
и h = h(P ) = max{hk : 0 ≤ k ≤ N − 1} — параметр разбиения P. Через PN будем обозначать
совокупность всевозможных разбиений отрезка [a, b] на N частей.
Через W 2
p ([a, b]) обозначим класс функций u : [a, b] → R таких, что u′ абсолютно непре-
рывна и ‖u′′‖Lp([a,b]) ≤ 1. Для 1 ≤ p, q ≤ ∞ и заданного разбиения P ∈ PN положим
EP
(
W 2
p ([a, b])
)
Lq([a,b])
= sup
u∈W 2
p ([a,b])
‖u(·)− SP (u; ·)‖Lq([a,b]).
c© В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1011
1012 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Пусть также
EN
(
W 2
p ([a, b])
)
Lq([a,b])
= inf
P∈PN
EP
(
W 2
p ([a, b])
)
Lq([a,b])
.
Для k = 0, N − 1 положим
Gk(x, t) =
(xk+1 − x)(t− xk)
xk+1 − xk
, t ∈ [xk, x],
(xk+1 − t)(x− xk)
xk+1 − xk
, t ∈ [x, xk+1].
Пусть F1(x) =
x2
2
и M1,p =
(
Γ2(p+ 1)
Γ(2p+ 2)
)1/p
, 1 ≤ p <∞.
Отметим, что для x ∈ (xk, xk+1)
xk+1∫
xk
Gk(x, t)dt =
(x− xk)(xk+1 − x)
2
=
∣∣F1(x)− SP (F1;x)
∣∣
и для q ∈ [1,∞]∥∥∥∥∥∥
xk+1∫
xk
Gk(x, t)dt
∥∥∥∥∥∥
Lq([xk,xk+1])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lq([xk,xk+1]) =
M1,q
2
h
2+(1/q)
k .
Теорема A. Пусть q ∈ [1,∞] и N ∈ N. Тогда для любого разбиения P ∈ PN
EP
(
W 2
∞([a, b])
)
Lq([a,b])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lq([a,b]) =
M1,q
2
(
N−1∑
k=0
h2q+1
k
)1/q
, (2)
если q <∞, и
EP
(
W 2
∞([a, b])
)
L∞([a,b])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖L∞([a,b]) =
h2
8
. (3)
Теорема B. Пусть p ∈ [1,∞] и N ∈ N. Тогда для любого разбиения P ∈ PN
EP
(
W 2
p ([a, b])
)
L1([a,b])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lp′ ([a,b])
=
M1,p′
2
(
N−1∑
k=0
h2p′+1
k
)1/p′
, (4)
если p > 1, и
EP
(
W 2
1 ([a, b])
)
L1([a,b])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖L∞([a,b]) =
h2
8
. (5)
Замечание 1. Равномерное разбиение h0 = h1 = . . . = hN−1 = h доставляет минимум
правым частям соотношений (2) – (5), и результаты теорем A и B в этом случае будут иметь
вид
EN
(
W 2
∞([a, b])
)
Lq([a,b])
=
M1,q
2
(b− a)2+(1/q)
N2
, 1 ≤ q <∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1013
EN
(
W 2
p ([a, b])
)
L1([a,b])
=
M1,p′
2
(b− a)2+(1/p′)
N2
, 1 < p <∞,
EN
(
W 2
∞([a, b])
)
L∞([a,b])
= EN
(
W 2
1 ([a, b])
)
L1([a,b])
=
(b− a)2
8N2
.
Соотношения (2) – (5) хорошо известны (см., например, [1, 2], гл. 4, 7), однако мы приведем та-
кие их доказательства, которые смогут послужить основой для обобщения результатов теорем A
и B на случай аппроксимации классов функций многих переменных кусочно-гармоническими
функциями.
В обоих случаях будем использовать следующее интегральное представление для u ∈
∈W 2
p ([a, b]), 1 ≤ p ≤ ∞ : если x ∈ [xk, xk+1], то
u(x) = u(xk)
xk+1 − x
xk+1 − xk
+ u(xk+1)
x− xk
xk+1 − xk
−
xk+1∫
xk
Gk(x, t)u
′′(t)dt =
= u(xk)
∂Gk
∂t
(x, xk)− u(xk+1)
∂Gk
∂t
(x, xk+1)−
xk+1∫
xk
Gk(x, t)u
′′(t)dt. (6)
Используя (6) и учитывая, что
SP (u;x) = u(xk)
∂Gk
∂t
(x, xk)− u(xk+1)
∂Gk
∂t
(x, xk+1), x ∈ [xk, xk+1],
для u ∈W 2
∞([a, b]) при любом k и любом x ∈ [xk, xk+1] получаем
u(x)− SP (u;x) = −
xk+1∫
xk
Gk(x, t)u
′′(t)dt, (7)
так что
|u(x)− SP (u;x)| =
∣∣∣∣∣∣
xk+1∫
xk
Gk(x, t)u
′′(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
xk+1∫
xk
Gk(x, t)dt = |F1(x)− SP (F1;x)|.
Таким образом, для любого q ∈ [1,∞)
EP
(
W 2
∞([a, b])
)
Lq([a,b])
≤ ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lq([a,b]) =
M1,q
2
(
N−1∑
k=0
h2q+1
k
)1/q
.
В случае q =∞
EP
(
W 2
∞([a, b])
)
L∞([a,b])
≤ ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖L∞([a,b]) = max
0≤k≤N−1
h2
k
8
=
h2
8
.
Так как F1 ∈W 2
∞([a, b]), для любого q ∈ [1,∞] получаем
EP
(
W 2
∞([a, b])
)
Lq([a,b])
= ‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lq([a,b]).
Соотношения (2) и (3) доказаны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1014 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Соотношение (4) в случае p =∞ содержится в теореме A. Для доказательства (4) в случае
1 ≤ p <∞ запишем для u ∈W 2
p ([a, b]) (снова с учетом (7))
‖u(·)− SP (u; ·)‖L1([a,b]) =
N−1∑
k=0
xk+1∫
xk
∣∣∣∣∣∣
xk+1∫
xk
u′′(t)Gk(x, t)dt
∣∣∣∣∣∣ dx ≤
≤
N−1∑
k=0
xk+1∫
xk
|u′′(t)|
xk+1∫
xk
Gk(x, t)dxdt =
N−1∑
k=0
xk+1∫
xk
|u′′(t)||F1(t)− SP (F1; t)|dt. (8)
Отсюда в случае p > 1 получаем
‖u(·)− SP (u; ·)‖L1([a,b]) ≤
N−1∑
k=0
xk+1∫
xk
|u′′(t)|pdt
1/p xk+1∫
xk
|F1(t)− SP (F1; t)|p′dt
1/p′
≤
≤ ‖u′′‖Lp([a,b])‖F1(·)− SP (F1; ·)‖Lp′ ([a,b])
.
В случае p = 1 оценку (8) продолжим следующим образом:
∥∥u(·)− SP (u; ·)
∥∥
L1([a,b])
≤
N−1∑
k=0
xk+1∫
xk
|u′′(t)||F1(t)− SP (F1; t)|dt ≤
≤ max
0≤k≤N−1
max
t∈[xk,xk+1]
|F1(t)− SP (F1; t)|‖u′′‖L1([a,b]) ≤ max
0≤k≤N−1
h2
k
8
=
h2
8
.
На доказательстве точности равенств (4) и (5) мы не останавливаемся.
Естественными многомерными обобщениями кусочно-линейных функций являются кусоч-
но-аффинные функции, порожденные заданной триангуляцией области определения (ряд точ-
ных результатов по аппроксимации классов функций многих переменных такими функциями
можно найти в [3 – 6], кусочно-полилинейные функции (некоторые результаты см. в [7 – 12]) и,
наконец, кусочно-гармонические функции. Направление, связанное с кусочно-гармонической
аппроксимацией, активно развивается в течение последних десятилетий (см., например, [13,
14]), в частности, в связи с методом конечных элементов [15].
В данной статье получены точные результаты по аппроксимации кусочно-гармоническими
функциями класса функций u, заданных на n-мерном параллелепипеде Ω и таких, что
‖∆u‖L∞(Ω) ≤ 1, где ∆ — оператор Лапласа, в метрике пространств Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ (эти
результаты уточняют и обобщают результаты работы [13]), а также класса функций u таких,
что ‖∆u‖Lp(Ω) ≤ 1, в метрике пространства L1(Ω).
2. Гармонические сплайны. Пусть Ω =
∏n
i=1
[ai, bi], ai < bi, i = 1, n, n ≥ 2. Отрезки
[ai, bi] разобьем на части точками ai = x0
i < x1
i < . . . < xNi
i = bi. Для j = (j1, . . . , jn),
ji ∈ {0, . . . , Ni − 1}, положим Ωj =
∏n
i=1
[xjii , x
ji+1
i ]. Пусть также N = (N1, . . . , Nn). Ясно,
что Ω =
⋃
j Ωj , причем множества (параллелепипеды) Ωj′ и Ωj′′ при j′ 6= j′′ не имеют общих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1015
внутренних точек. Совокупность {Ωj} множеств Ωj будем называть разбиением параллеле-
пипеда Ω и обозначать через P. Совокупность всевозможных разбиений параллелепипеда Ω,
порожденных разбиениями отрезков [ai, bi] на Ni, i = 1, n, частей, будем обозначать через PN .
Как обычно, через ∆ будем обозначать оператор Лапласа, т. е.
∆ =
∂2
∂x2
1
+ . . .+
∂2
∂x2
n
.
Для 1 ≤ p ≤ ∞ через W∆
p (Ω) обозначим следующий класс функций:
W∆
p (Ω) =
{
u ∈ C2(Ω◦) ∩ C1(Ω): ‖∆u‖Lp(Ω) ≤ 1
}
,
где C1(Ω) — множество непрерывно дифференцируемых на Ω функций, а C2(Ω◦) — множество
дважды непрерывно дифференцируемых в области Ω◦ функций.
Пусть заданы вектор N = (N1, . . . , Nn) и разбиение P ∈ PN . Каждой функции u ∈W∆
p (Ω)
сопоставим кусочно-гармоническую функцию (гармонический сплайн) SnP , положив для лю-
бого j
SnP (u;x) = uΩj (x), x ∈ Ωj ,
где функция uΩj (x) удовлетворяет уравнению
∆uΩj (x) = 0, x ∈ Ω◦j , (9)
и краевому условию
uΩj (x) = u(x), x ∈ ∂Ωj . (10)
Как известно (см., например, [16, c. 130]), краевая задача (9), (10) однозначно разрешима. Ясно
также, что функция SnP (u;x) принадлежит C(Ω). Заметим, что введенные в пункте 1 сплайны
SP можно рассматривать как сплайны S1
P .
Положим
Fn(x) =
1
2n
n∑
i=1
x2
i . (11)
Ясно, что Fn(x) ∈W∆
∞(Ω).
Как известно (см., например, [16, 17]), для любого j функция u ∈ C2(Ω◦j ) ∩ C1(Ωj) может
быть представлена в виде
u(x) = −
∫
∂Ωj
∂GΩj (x; y′)
∂ny′
u(y′)dy′ −
∫
Ωj
GΩj (x; y)∆u(y)dy, x ∈ Ω◦j , (12)
где GΩj (x; y) — функция Грина области Ω◦j , а
∂GΩj (x; y′)
∂ny′
— ее производная по направлению
внешней нормали ny′ к поверхности ∂Ωj в точке y′.
Из представления (12), в частности, следует, что решение задачи (9), (10) можно записать
следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1016 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
uΩj (x) = −
∫
∂Ωj
∂GΩj (x; y′)
∂ny′
u(y′)dy′. (13)
Комбинируя равенства (12), (13), получаем
u(x)− uΩj (x) = −
∫
Ωj
GΩj (x; y)∆u(y)dy, x ∈ Ωj . (14)
Отметим, что если u(x) = Fn(x), то для любых y ∈ Rn и x ∈ Ωj из (14) получим
Fn(x)− SnP (Fn;x) = Fn(x− y)− SnP (Fn(· − y);x) = −
∫
Ωj
GΩj (x; y)dy. (15)
Для 1 ≤ p, q ≤ ∞ и заданного разбиения P ∈ PN положим
EP (W∆
p (Ω))Lq(Ω) = sup
u∈W∆
p (Ω)
∥∥u(·)− SnP (u; ·)
∥∥
Lq(Ω)
.
Цель данной работы состоит в вычислении величин EP (W∆
∞(Ω))Lq(Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, и
EP (W∆
p (Ω))L1(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞. Полученные результаты можно рассматривать как многомерные
обобщения теорем A и B, а также как обобщение и уточнение относящихся к случаю n = 2
результатов работы В. Т. Клименко [13]. Приведем эти результаты, использовав обозначения,
близкие к обозначениям работы [13] и приспособленные к двумерному случаю. Точки прямо-
угольника Ω = [a1, b1] × [a2, b2] будем обозначать через (x, y) и (ξ, η). Прямоугольники, на
которые разбивается прямоугольник Ω для определения гармонических сплайнов, будем обо-
значать через Ωi,j = [xi, xi+1]×[yj , yj+1].Пусть еще li = xi+1−xi, hj = yj+1−yj , i = 0, N1 − 1,
j = 0, N2 − 1, N = (N1, N2), αki = kπ/li, βkj = kπ/hj и
J(s− t) :=
1, t ≤ s,
0, t > s,
— функция Хевисайда. Нам понадобятся следующие явные выражения для функций Грина
прямоугольников Ω◦ij :
G1
Ωij
(x, y; ξ, η) = − 2
π
∞∑
k=1
1
k sh(αkihj)
(J(y − η) sh(αki(y − yj+1)) sh(αki(η − yi))+
+J(η − y) sh(αki(y − yj)) sh(αki(η − yj+1))) sin(αki(x− xi)) sin(αki(ξ − xi)), (16)
G2
Ωij
(x, y; ξ, η) = − 2
π
∞∑
k=1
1
k sh(βkili)
(J(x− ξ) sh(βki(x− xi+1)) sh(βki(ξ − xi))+
+J(ξ − x) sh(βki(x− xi)) sh(βki(ξ − xi+1))) sin(βki(y − yj)) sin(βki(η − yj)). (17)
В [13] получены следующие оценки уклонения функций u ∈W∆
∞(Ω) от гармонических сплай-
нов S2
P (u;x):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1017
|u(x, y)− uΩij (x, y)| ≤
l2i
8
− 4l2i
π3
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)3 ch
(
(2k+1)πhj
2li
)
max
(x,y)∈Ωij
|∆u(x, y)|,
|u(x, y)− uΩij (x, y)| ≤
h2
j
8
−
4h2
j
π3
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)3 ch
(
(2k+1)πli
2hj
)
max
(x,y)∈Ωij
|∆u(x, y)|.
Поскольку F2 ∈ W∆
∞
(
[a1, b1] × [a2, b2]
)
, нетрудно проверить, что приведенные оценки яв-
ляются неулучшаемыми на классе W∆
∞
(
[a1, b1]× [a2, b2]
)
, т. е. фактически в [13] доказано, что
EP (W∆
∞([a1, b1]× [a2, b2]))L∞(Ω) =
l2i
8
− 4l2i
π3
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)3 ch
(
(2k + 1)πhj
2li
)
и
EP (W∆
∞([a1, b1]× [a2, b2]))L∞(Ω) =
h2
j
8
−
4h2
j
π3
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)3 ch
(
(2k + 1)πli
2hj
) .
3. Вычисление величин EP (W∆
∞(Ω))Lq(Ω) и EP (W∆
p (Ω))L1(Ω).
Теорема 1. Для любой функции u ∈W∆
∞(Ω), любого разбиения P ∈ PN и любого x ∈ Ω
|u(x)− SnP (u;x)| ≤ |Fn(x)− SnP (Fn;x)|, (18)
и, следовательно, для любого 1 ≤ q ≤ ∞
EP (W∆
∞(Ω))Lq(Ω) = ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lq(Ω) =
∑
j
‖ Ij(·)‖qLq(Ωj)
1/q
, (19)
где
Ij(x) =
∫
Ωj
GΩj (x; y)dy.
Замечание 2. Соотношение (19), конечно, непосредственно следует из соотношения (18).
Более того, если мы соотношением (1) определим величину ‖ · ‖Lq(Ω) и при q ∈ (0, 1), то эта
величина перестанет быть нормой, однако величина ‖ · ‖qLp(Ω) породит метрику в пространстве
измеримых функций, для которых она конечна. При этом соотношение (19) останется очевидно
справедливым и при q ∈ (0, 1). Оно также останется верным и для более общих метрик в
пространстве измеримых функций.
Замечание 3. Если мы положим
‖u‖L0(Ω) := e
1
|Ω|
∫
Ω ln |u(x)|dx
,
где |Ω| — объем Ω, то в силу соотношения ‖u‖Lq(Ω) → ‖u‖L0(Ω), q → 0, получим, что соотно-
шение (19) остается справедливым и при q = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1018 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Замечание 4. В соотношении (19) Lp(Ω)-норму, конечно, можно заменить любой моно-
тонной нормой в пространстве измеримых функций u : Ω→ R.
Доказательство теоремы 1. Для произвольной функции u(x) ∈W∆
∞(Ω) и произвольного
параллелепипеда Ωj разбиения P с учетом соотношений (14), (15) и положительности функции
Грина имеет место оценка
|u(x)− uΩj (x)| ≤
∫
Ωj
GΩj (x, y)dy = |Fn(x)− SnP (Fn;x)|, x ∈ Ωj , (20)
откуда следует, что для всех x ∈ Ω
|u(x)− SnP (u;x)| ≤ |Fn(x)− SnP (Fn;x)|. (21)
Из последнего неравенства непосредственно получаем, что при всех q ∈ [1,∞]
‖u(·)− SnP (u; ·)‖Lq(Ω) ≤ ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lq(Ω).
Поскольку приведенная оценка справедлива для всех функций u(x) ∈W∆
∞(Ω), то
sup
u∈W∆
∞(Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖Lq(Ω) ≤ ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lq(Ω).
Так как функция Fn(x) принадлежит классу W∆
∞(Ω), в последней оценке имеет место
равенство, т. е.
sup
u∈W∆
∞(Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖Lq(Ω) = ‖F (·)− SnP (F ; ·)‖Lq(Ω).
Заметим, что при 1 ≤ q <∞ последнее соотношение можно записать в виде
sup
u∈W∆
∞(Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖Lq(Ω) =
∑
j
‖ Ij(·)‖qLq(Ωj)
1/q
,
а при q =∞ — в виде
sup
u∈W∆
∞(Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L∞(Ω) = max
j
‖ Ij(·)‖L∞(Ωj) .
Теорема доказана.
Теорема 2. Для всех 1 ≤ p ≤ ∞ и любого разбиения P ∈ PN имеет место равенство
EP (W∆
p (Ω))L1(Ω) = ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω),. (22)
Доказательство. В случае p =∞ утверждение теоремы содержится в теореме 1. Найдем
значения уклонения в норме пространстваL1(Ω) произвольной функции u(x) из классаW∆
p (Ω),
1 ≤ p < ∞, от аппроксимирующего ее кусочно-гармонического сплайна SnP (u;x). Используя
равенства (14) и (15), получаем
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) =
∑
j
‖u(·)− uΩj (·)‖L1(Ωj) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1019
=
∑
j
∫
Ωj
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Ωj
GΩj (x; y)∆u(y)dy
∣∣∣∣∣∣∣ dx ≤
∑
j
∫
Ωj
∫
Ωj
GΩj (x, y)dx|∆u(y)|dy =
=
∑
j
∫
Ωj
|Fn(y)− SnP (Fn; y)||∆u(y)|dy =
∫
Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)||∆u(y)|dy.
Таким образом,
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) ≤
∫
Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)||∆u(y)|dy. (23)
Применяя неравенство Гельдера, при любом p ∈ [1,∞) имеем
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) ≤ ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω)‖∆u‖Lp(Ω) ≤ ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω).
Значит, при любом p ∈ [1,∞)
EP (W∆
p (Ω))L1(Ω) ≤ ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω). (24)
Покажем, что в последнем соотношении имеет место равенство. Пусть сначала p = 1.
Рассмотрим семейство функций
ωε(y) =
Cεe
− ε2
ε2−|y|2 , |y| ≤ ε,
0, |y| > ε,
где константы Cε выбираются из условия∫
Rn
ωε(y)dy = 1.
Обозначим через y0 ∈ Ω◦ точку, в которой
|Fn(y0)− SnP (Fn; y0)| = max
y∈Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)|.
Пусть j′ таково, что y0 ∈ Ω◦j′ . Выберем ε0 настолько малым, чтобы supp ωε0(· − y0) ⊂ Ωj′ .
Для каждого 0 < ε < ε0 определим функцию uε(y) как произвольное решение уравнения
∆uε(y) = ωε(y − y0), y ∈ Ω◦.
Поскольку uε(y) ∈ W∆
1 (Ω) и неравенство (23) для функций uε(y) обращается в равенство,
то
sup
u∈W∆
1 (Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) ≥ ‖uε(·)− SnP (uε; ·)‖L1(Ω) =
=
∫
Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)|∆uε(y)dy =
∫
Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)|ωε(y − y0)dy. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1020 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Так как
lim
ε→+0
∫
Ω
|Fn(y)− SnP (Fn; y)|ωε(y − y0)dy = |Fn(y0)− SnP (Fn; y0)|,
из (25) в пределе при ε→ +0 получаем
sup
u∈W∆
1 (Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) ≥ |Fn(y0)− SnP (Fn; y0)| = ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖L∞(Ω).
Значит, неравенство (24) при p = 1 превращается в равенство.
Пусть теперь 1 < p <∞. Покажем, что
sup
u∈W∆
p (Ω)
‖u(·)− SnP (u; ·)‖L1(Ω) = ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω).
Для этого рассмотрим функцию ũ(x), которую определим как произвольное решение урав-
нения
∆ũ(x) =
(
|Fn(x)− SnP (Fn;x)|
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω)
)p′−1
, x ∈ Ω◦.
Функция ũ(x) очевидно принадлежит классуW∆
p (Ω) при каждом 1 < p <∞. С использова-
нием равенств (14) и (15) преобразуем L1-норму отклонения функции ũ(x) от приближающего
ее гармонического сплайна. Имеем
‖ũ(x)− SnP (ũ;x)‖L1(Ω) =
∑
j
‖ũ(x)− SnP (ũ;x)‖L1(Ωj) =
=
∑
j
∫
Ωj
∫
Ωj
GΩj (x, y)
(
|Fn(y)− SnP (Fn; y)|
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω)
)p′−1
dydx =
=
1
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖p
′−1
Lp′ (Ω)
∑
j
∫
Ωj
|Fn(x)− SnP (Fn;x)|p′−1
∫
Ωj
GΩj (x, y)dxdy =
=
1
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖p
′−1
Lp′ (Ω)
∑
j
∫
Ωj
|Fn(x)− SnP (Fn;x)|p′dy = ‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖Lp′ (Ω).
Теорема доказана.
4. Некоторые следствия. В [13] показано, что для функцийG1
Ωij
(x, y; ξ, η) иG2
Ωij
(x, y; ξ, η)
(см. соотношения (16) и (17))
I1
ij(x, y) =
∫
Ωij
G1
Ωij
(x, y; ξ, η)dξdη =
4
π
∞∑
k=0
1
(2k + 1)α2
2k+1,i sh(α2k+1,ihj)
×
×(sh(α2k+1,i(y − yj+1)) + sh(α2k+1,ihj)− sh(α2k+1,i(y − yj))) sin(α2k+1,i(x− xi)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1021
I2
ij(x, y) =
∫
Ωij
G2
Ωij
(x, y; ξ, η)dξdη =
4
π
∞∑
k=0
1
(2k + 1)β2
2k+1,i sh(β2k+1,ili)
×
×(sh(β2k+1,i(x− xi+1)) + sh(β2k+1,ili)− sh(β2k+1,i(x− xi))) sin(β2k+1,i(y − yj)).
Используя эти соотношения, легко убедиться в том, что
‖I1
ij(·, ·)‖L1(Ωij) =
16
π5
∞∑
k=0
l4i
(2k + 1)5
(
(2k + 1)πhj
2li
− tanh
(
(2k + 1)πhj
2li
))
,
‖I2
ij(·, ·)‖L1(Ωij) =
16
π5
∞∑
k=0
h4
j
(2k + 1)5
(
(2k + 1)πli
2hj
− tanh
(
(2k + 1)πli
2hj
))
.
Тогда из теоремы 1 получаем такое следствие.
Следствие 1. Пусть Ω = [a1, b1] × [a2, b2] и N = (N1, N2). Тогда для любого P ∈ PN
справедливы равенства
EP (W∆
∞(Ω))L1(Ω) =
=
16
π5
N1−1∑
i=0
N2−1∑
j=0
∞∑
k=0
l4i
(2k + 1)5
(
(2k + 1)πhj
2li
− tanh
(
(2k + 1)πhj
2li
))
(26)
и
EP (W∆
∞(Ω))L1(Ω) =
=
16
π5
N1−1∑
i=0
N2−1∑
j=0
∞∑
k=0
h4
j
(2k + 1)5
(
(2k + 1)πli
2hj
− tanh
(
(2k + 1)πli
2hj
))
. (27)
Минимизируя правые части соотношений (26) и (27) при ограничениях
∑N2−1
j=0
hj = b2−a2
и
∑N1−1
i=0
li = b1 − a1 соответственно
(
для этого можно воспользоваться методом неопреде-
ленных множителей Лагранжа и учесть, что функция
u = v − tanh v
и ее производная
u′ = 1− 1
ch2 v
строго возрастают с ростом v > 0
)
, получаем, что наименьшие значения достигаются при
равномерных разбиениях отрезков [a1, b1] и [a2, b2], т. е. в случае h0 = h1 = . . . = hN2−1 и
l0 = l1 = . . . = lN1−1. В частности, имеет место такое следствие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1022 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Следствие 2. Пусть N = (N1, N2) и Ω = [0, 1]× [0, 1]. Тогда
EN (W∆
∞(Ω))L1(Ω) =
16
π5
N2
N3
1
∞∑
k=0
1
(2k + 1)5
(
(2k + 1)πN1
2N2
− tanh
(
(2k + 1)πN1
2N2
))
и, в частности, при N1 = N2
EN (W∆
∞(Ω))L1(Ω) =
16
π5
1
N2
1
∞∑
k=0
1
(2k + 1)5
(
(2k + 1)π
2
− tanh
(
(2k + 1)π
2
))
.
Приведем далее некоторые следствия из теоремы 1 для пространств произвольной размер-
ности.
Прежде всего отметим, что в случае разбиения P ∈ PN области Ω на неравные области
найдется параллелепипед разбиения, имеющий наибольшие линейные размеры (обозначим
через Ωj′ какой-нибудь такой параллелепипед).
Следствие 3. Имеет место следующее равенство:
EP (W∆
∞(Ω))L∞(Ω) = max
x∈Ωj′
|Fn(x)− SnP (Fn;x)| = max
x∈Ωj′
Ij′(x).
Доказательство. Пусть Ωj′ — параллелепипед разбиения P, имеющий наибольшие ли-
нейные размеры, и Ωj — параллелепипед, один из линейных размеров которого строго меньше
соответствующего линейного размера параллелепипеда Ωj′ . Напомним, что через uΩj мы обо-
значаем гармоническую в области Ωj функцию, совпадающую с функцией u для x ∈ ∂Ωj .
Для параллелепипеда Ωj =
∏n
i=1
[xjii , x
ji+1
i ] положим xj = (xj11 , . . . , x
jn
n ). Учитывая (15),
видим, что для всех x ∈ Ωj имеет место равенство
Fn(x− xj)− (Fn)Ωj−xj (x− x
j) = Fn(x)− (Fn)Ωj (x). (28)
Поэтому для доказательства следствия 3 достаточно для y ∈ Ωj − xj сравнить значения
Fn(y)− (Fn)Ωj−xj (y) и Fn(y)− (Fn)Ωj′−xj
′ (y).
Ясно, что в силу (28) для y ∈ ∂Ωj − xj
(Fn)Ωj′−xj
′ (y)− Fn(y) ≥ (Fn)Ωj−xj (y)− Fn(y), (29)
и, следовательно,
(Fn)Ω′
j−xj
′ (y)− (Fn)Ωj−xj (y) ≥ 0,
причем если xji+1
i − xjii < x
j′i+1
i − xj
′
i
i , то на внутренности той грани области Ωj − xj , которая
лежит в гиперплоскости xi = xji+1
i − xjii , в (29) будет иметь место строгое неравенство.
В силу принципа максимума для гармонических функций строгое неравенство в (29) будет
иметь место для любого y ∈ Ω◦j − xj .
Следствие 3 доказано.
Из следствия 3 легко выводится такое следствие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 1023
Следствие 4. Пусть вектор N = (N1, . . . , Nn) задан и Ω(N) =
∏n
i=1
[
0,
bi − ai
Ni
]
. Тогда
EN (W∆
∞(Ω))L∞(Ω) = max
x∈Ω(N)
|FN (x)− Sn
P̃
(Fn;x)| = max
x∈Ω(N)
∫
Ω(N)
GΩ(N)(x, y)dy.
В заключение приведем следствия из теорем 1 и 2, касающиеся случая разбиения области
Ω на N равных частей. Пусть Ω̃ =
∏n
i=1
[0, ci] — параллелепипед единичного объема такой,
что элементы соответствующего разбиения P = PN области Ω имеют вид
dj + γΩ̃, dj ∈ Rn, γ > 0, j = 1, N.
Тогда γ =
(
|Ω|
N
)1/n
=
(
1
N
∏n
i=1
(bi − ai)
)1/n
. Учитывая, что для функции Грина области Ω̃
справедливы соотношения
G
γΩ̃
(x; y) =
1
γn−2
G
Ω̃
(
x
γ
;
y
γ
)
, x ∈ γΩ̃, y ∈ γΩ̃, (30)
G
Ω̃+d
(x; y) = G
Ω̃
(x− d; y − d), x ∈ Ω̃ + d, y ∈ Ω̃ + d, (31)
преобразуем правую часть выражения (19) с помощью равенства (15). В результате получим
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖qLq(Ω) =
∑
j
∫
Ωj
∫
Ωj
GΩj (x; y)dy
q
dx.
Учитывая (30) и (31), имеем
‖Fn(·)− SnP (Fn; ·)‖qLq(Ω) = N
∫
γΩ̃
∫
γΩ̃
G
γΩ̃
(x; y)dy
q
dx =
= N
∫
γΩ̃
∫
γΩ̃
1
γn−2
G
Ω̃
(
x
γ
;
y
γ
)
dy
q
dx = Nγn
∫
Ω̃
γn ∫
Ω̃
1
γn−2
G
Ω̃
(x; y)dy
q
dx =
= Nγn+2q
∫
Ω̃
∫
Ω̃
G
Ω̃
(x; y)dy
q
dx = N
(
|Ω|
N
)n+2q
n
∫
Ω̃
∫
Ω̃
G
Ω̃
(x; y)dy
q
dx.
Таким образом, доказано такое следствие.
Следствие 5. При 1 ≤ q <∞ для P = PN имеет место равенство
EP (W∆
∞(Ω))Lq(Ω) = N−
2
n
(
n∏
i=1
bi − ai
)1
q+
2
n
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Ω̃
G
Ω̃
(·; y)dy
∥∥∥∥∥∥∥
Lq(Ω̃)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1024 В. Ф. БАБЕНКО, Т. Ю. ЛЕСКЕВИЧ
Аналогично из теоремы 2 выводится такое утверждение.
Следствие 6. При 1 ≤ p <∞ для P = PN имеет место равенство
EP (W∆
p (Ω))L1(Ω) = N−
2
n
(
n∏
i=1
bi − ai
) 1
p′ +
2
n
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Ω̃
G
Ω̃
(·; y)dy
∥∥∥∥∥∥∥
Lp′ (Ω̃)
.
1. Великин В. Л. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на классах дифференцируемых функций
// Изв. АН СССР Сер. мат. – 1973. – 37, № 1. – С. 165 – 185.
2. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. – М.: Наука, 1984. – 352 с.
3. Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Об интерполяции многогранными функциями // Мат. заметки. – 1975. – 18, № 6. –
С. 803 – 814.
4. Бабенко В. Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными // Мат. заметки. – 1978. – 24,
№ 1. – С. 43 – 52.
5. Субботин Ю. Н. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами малых степеней на n-
симплексах // Мат. заметки. – 1990. – 48, № 4. – С. 88 – 99.
6. Килижеков Ю. А. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами первой степени на n-
симплексах // Мат. заметки. – 1996. – 60, № 4. – С. 504 – 510.
7. Сторчай В. Ф. Приближение непрерывных функций двух переменных многогранными функциями и сплайн-
функциями в равномерной метрике // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения
функций и их приложениям. – Днепропетровск, 1975. – С. 82 – 89.
8. Вакарчук С. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки. – 1990. – 47, № 5. – С. 26 – 30.
9. Шабозов М. Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 11.
– С. 1554 – 1560.
10. Шабозов М. Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных
билинейными сплайнами // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 1. – С. 142 – 152.
11. Вакарчук С. Б., Мыскин К. Ю. Некоторые вопросы одновременной аппроксимации функций двух переменных
и их производных интепроляционными билинейными сплайнами // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 2. –
С. 147 – 157.
12. Бабенко В. Ф., Лескевич Т. Ю. Погрешность при интерполяции некоторых классов функций полилинейными
сплайнами // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2010. – 18, № 6/1. – С. 28 – 37.
13. Клименко В. Т. Аппроксимация гармоническими сплайнами функций двух переменных // Укр. мат. журн. –
1995. – 47, № 9. – С. 1190 – 1196.
14. Kounchev O. Multivariate polysplines: applications to numerical and wavelet analysis. – Acad. Press, 2001. – 460 p.
15. Hoppe V. Finite elements with harmonic interpolation functions // Proc. Conf. MAFELAP / Ed. J. R. Whiteman. –
London: Acad. Press, 1973. – P. 131 – 142.
16. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 488 с.
17. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: БИНОМ, 2005. – 260 с.
Получено 14.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|