О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций
Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю 2π-перiодичних функцiй у просторi L₂, коли величина похибки наближення En−1(f) оцiнюється через модуль неперервностi k-го порядку Ωk(f), в якому замiсть оператора зсуву Thf(x)=f(x+h) використано оператор Стєклова Shf. Для класiв функцiй, виз...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164436 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций / С.Б. Вакарчук, В.И. Забутная // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1025-1032. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164436 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644362020-02-11T01:26:47Z О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций Вакарчук, С.Б. Забутная, В.И. Статті Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю 2π-перiодичних функцiй у просторi L₂, коли величина похибки наближення En−1(f) оцiнюється через модуль неперервностi k-го порядку Ωk(f), в якому замiсть оператора зсуву Thf(x)=f(x+h) використано оператор Стєклова Shf. Для класiв функцiй, визначених за допомогою вказаної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення рiзних n-поперечникiв. We consider the problem of the best polynomial approximation of 2π-periodic functions in the space L₂ in the case where the error of approximation E n−1(f) is estimated via the kth-order modulus of continuity Ω k (f) in which the Steklov operator S h f is used instead of the operator of translation T h f(x) = f(x + h). For the classes of functions defined by using the indicated characteristic of smoothness, we determine the exact values of various n-widths. 2012 Article О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций / С.Б. Вакарчук, В.И. Забутная // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1025-1032. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164436 517.5 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Вакарчук, С.Б. Забутная, В.И. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю 2π-перiодичних функцiй у просторi L₂, коли величина похибки наближення En−1(f) оцiнюється через модуль неперервностi k-го порядку Ωk(f), в якому замiсть оператора зсуву Thf(x)=f(x+h) використано оператор Стєклова Shf. Для класiв функцiй, визначених за допомогою вказаної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення рiзних n-поперечникiв. |
| format |
Article |
| author |
Вакарчук, С.Б. Забутная, В.И. |
| author_facet |
Вакарчук, С.Б. Забутная, В.И. |
| author_sort |
Вакарчук, С.Б. |
| title |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| title_short |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| title_full |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| title_fullStr |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| title_full_unstemmed |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| title_sort |
о наилучшем полиномиальном приближении в пространстве l₂ и поперечниках некоторых классов функций |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164436 |
| citation_txt |
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L₂ и поперечниках некоторых классов функций / С.Б. Вакарчук, В.И. Забутная // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1025-1032. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vakarčuksb onailučšempolinomialʹnompribliženiivprostranstvel2ipoperečnikahnekotoryhklassovfunkcij AT zabutnaâvi onailučšempolinomialʹnompribliženiivprostranstvel2ipoperečnikahnekotoryhklassovfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:52Z |
| _version_ |
1837642435112468480 |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля),
В. И. Забутная (Днепропетр. нац. ун-т)
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ L2 И ПОПЕРЕЧНИКАХ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
We consider the problem of the best polynomial approximation of 2π-periodic functions in the space L2 in the case where
the error of approximation En−1(f) is estimated in terms of the kth-order modulus of continuity Ωk(f) in which the
Steklov operator Shf is used instead of the operator of translation Thf(x) = f(x+h). For the classes of functions defined
using the indicated smoothness characteristic, we determine the exact values of different n-widths.
Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю 2π-перiодичних функцiй у просторi L2, коли вели-
чина похибки наближення En−1(f) оцiнюється через модуль неперервностi k-го порядку Ωk(f), в якому замiсть
оператора зсуву Thf(x) = f(x + h) використано оператор Стєклова Shf. Для класiв функцiй, визначених за
допомогою вказаної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення рiзних n-поперечникiв.
1. При решении некоторых задач теории аппроксимации функций действительной переменной
часто используют различные модификации классического определения модуля непрерывно-
сти (см., например, [1 – 11]). Во многих случаях это обусловлено специфическими условия-
ми рассматриваемых задач и позволяет получать результаты, раскрывающие содержательную
сущность исследуемых проблем. Так, при аппроксимации непериодических функций алгебраи-
ческими полиномами М. К. Потаповым и его учениками были предложены различные моди-
фикации классического определения модуля непрерывности, использующие вместо оператора
сдвига Thf(x) = f(x+ h) различные усредняющие операторы (см., например, [3, 4]).
В случае аппроксимации 2π-периодических функций вместо оператора сдвига Thf В. А. Аби-
ловым и Ф. В. Абиловой была использована функция Стеклова Sh(f) [5]. Аналогичный подход
был применен В. Кокилашвили и Ю. Уилдириром в работе [8] и авторами в работе [10]. В
данной статье продолжается указанная тематика.
Пусть L2 ≡ L2([0, 2π]) — пространство измеримых по Лебегу 2π-периодических функций,
у которых норма
‖f‖ =
{
1
π
2π∫
0
|f(x)|2dx
}1/2
<∞.
Для произвольного элемента f ∈ L2 запишем функцию Стеклова
Sh(f, x) =
1
2h
x+h∫
x−h
f(τ)dτ ; h > 0,
положив при этом Sh,i(f)
df
= Sh(Sh,i−1(f)), где i ∈ N и Sh,0(f) ≡ f. Обозначив через I
единичный оператор в пространстве L2, определим конечные разности первого и высших
порядков
∆̃1
h(f, x)
df
= Sh(f, x)− f(x) = (Sh − I)(f, x),
c© С. Б. ВАКАРЧУК, В. И. ЗАБУТНАЯ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1025
1026 С. Б. ВАКАРЧУК, В. И. ЗАБУТНАЯ
∆̃k
h(f, x)
df
= ∆̃1
h
(
∆̃k−1
h (f), x
)
= (Sh − I)k(f, x) =
k∑
i=0
(−1)k−i
(
k
i
)
Sh,i(f, x),
где k = 2, 3, . . . . Использовав указанные обозначения, рассмотрим введенную в [5] характерис-
тику гладкости функции f ∈ L2
Ωk(f, t)
df
= sup{‖∆̃k
h(f)‖ : 0 < h 6 t}, (1)
которую назовем специальным модулем непрерывности k-го порядка.
Для произвольной функции f ∈ L2, которая имеет разложение в ряд Фурье
f(x) ∼
a0(f)
2
+
∞∑
j=1
aj(f) cos jx+ bj(f) sin jx,
получаем (см., например, [5])
‖∆̃k
h(f)‖2 =
∞∑
j=1
(
1− sin jh
jh
)2k
ρ2j (f), (2)
где ρ2j (f)
df
= a2j (f) + b2j (f). Используя определение (1) и соотношение (2), имеем
Ωk(f, t) = sup
( ∞∑
j=1
(
1− sin jh
jh
)2k
ρ2j (f)
)1/2
: 0 < h 6 t
. (3)
Отметим, что для решения ряда задач конструктивной теории функций в пространстве 2π-
периодических функций Lp, 0 < p < 1, наряду с модулем непрерывности k-го порядка также
используют усредненную характеристику гладкости
Ω̃m(f, t)p
df
=
1
tm
t∫
0
. . .
t∫
0
‖∆m
h
(f)‖pLp
dh1 . . . dhm
1/p
, (4)
где 0 < t <∞, h = (h1, . . . , hm),∆m
h
= ∆1
h1
◦. . .◦∆1
hm
,∆1
hj
(f, t)
df
= f(t+hj)−f(t), j = 1,m.На-
помним, что Э. А. Стороженко, В. Г. Кротов и П. Освальд в работе [12] использовали величину
Ω̃1(f, t)p для изучения поведения наилучшего приближения функций полиномами, построен-
ными по системе Хаара. Идея применения функции (4) в качестве усредненной характеристики
гладкости получила дальнейшее распространение в статье К. В. Руновского [13]. Отметим, что
иные подходы к построению обобщенных характеристик гладкости функций можно найти, на-
пример, в работах Х. Шапиро и Дж. Бомана [14], А. Г. Бабенко [15], С. Н. Васильева [16],
А. И. Козко и А. В. Рождественского [17].
Характеристика гладкости (4) в случае p = 2 применялась авторами при решении ряда
экстремальных задач теории аппроксимации на классах 2π-периодических функций [9, 11].
Например, для произвольной функции f ∈ L2 на основании (4) при p = 2 имеем [9]
Ω̃2
m(f, t)2 = 2m
∞∑
j=1
(
1− sin jt
jt
)m
ρ2j (f). (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 . . . 1027
Сравнивая соотношения (2), (3) и (5) при m = 2k, получаем
Ω̃2k(f, t)2 = 2k‖∆̃k
t (f)‖ 6 2kΩk(f, t). (6)
Через Tn−1 обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка n − 1.
Величина наилучшего приближения функции f ∈ L2 элементами подпространства Tn−1 равна
En−1(f) = inf{‖f − Tn−1‖ : Tn−1 ∈ Tn−1} = ‖f − S̃n−1(f)‖ =
{∑∞
j=n
ρ2j (f)
}1/2
,
где S̃n−1(f) — частная сумма порядка n− 1 ряда Фурье функции f.
Символом Lr2, r ∈ N, обозначим множество функций f ∈L2, у которых производные (r−1)-
го порядка абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка принадлежат пространству L2.
Также полагаем L0
2 ≡ L2.
Из полученной в [9] теоремы 1 следует, что для произвольной функции f ∈ Lr2 выполняется
неравенство
En−1(f) 6
{
2
(
1− sin t
t
)}−m/2
n−rΩ̃m(f (r), t/n)2, m ∈ N, (7)
которое является неулучшаемым в том смысле, что существует функция f ∈ Lr2, f 6≡ const,
для которой (7) обращается в равенство. Полагая в (7) m = 2k и учитывая (6), получаем
En−1(f) 6
(
1− sin t
t
)−k
n−rΩk(f
(r), t/n). (8)
Рассмотрим функцию f0(x) = sinnx, принадлежащую классуLr2.Очевидно, чтоEn−1(f0) =
= 1, и при 0 < nτ 6 3π/4, исходя из геометрических соображений, имеем (см., например, [18,
c.132]) min
{
sinx
x : 0 < |x| 6 nτ
}
= sinnτ
nτ . Согласно определению (3) запишем
Ωk(f
(r)
0 , τ) = nr sup
(
1− sinnh
nh
)k
, 0 < h 6 τ
=
= nr
(
1− min
0<x6nτ
sinx
x
)k
= nr
(
1− sinnτ
nτ
)k
. (9)
Полагая t = nτ, из (9) получаем Ωk
(
f
(r)
0 , t/n
)
= nr
(
1− sin t
t
)−k
. Из вышеприведенного сле-
дует, что для функции f0 неравенство (8) обращается в равенство, т. е. является неулучшаемым
на классе Lr2.
2. Напомним необходимые определения и понятия. Пусть B — единичный шар в L2,M —
выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2, Λn ⊂ L2 — n-мерное подпространст-
во, Λn ⊂ L2 — подпространство коразмерности n, V : L2 → Λn — непрерывный линейный
оператор, V ⊥ : L2 → Λn — непрерывный оператор линейного проектирования. Величины
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1028 С. Б. ВАКАРЧУК, В. И. ЗАБУТНАЯ
bn(M;L2) = sup
{
sup
{
ε > 0: εB ∩ Λn+1 ⊂M
}
: Λn+1 ⊂ L2
}
,
dn(M;L2) = inf
{
sup
{
inf
{
‖f − g‖ : g ∈ Λn
}
: f ∈M
}
: Λn ⊂ L2
}
,
δn(M;L2) = inf
{
inf
{
sup
{
‖f − V f‖ : f ∈M
}
: V L2 ⊂ Λn
}
: Λn ⊂ L2
}
,
dn(M;L2) = inf
{
sup
{
‖f‖ : f ∈M∩ Λn
}
: Λn ⊂ L2
}
,
пn(M;L2) = inf
{
inf
{
sup
{
‖f − V ⊥f‖ : f ∈M
}
: V ⊥L2 ⊂ Λn
}
: Λn ⊂ L2
}
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским,
проекционным n-поперечниками. В силу того, что L2 является гильбертовым пространством,
имеют место следующие соотношения между перечисленными величинами:
bn(M;L2) 6 dn(M;L2) 6 dn(M;L2) = δn(M;L2) = пn(M;L2). (10)
Напомним, что вычислению в пространстве L2 точных значений n-поперечников классов
дифференцируемых 2π-периодических функций, определенных с помощью модулей непрерыв-
ности и иных характеристик гладкости, посвящены работы Л. В. Тайкова [19], В. В. Шалаева
[20], М. Г. Есмаганбетова [21] и других (см., например, [6, 9 – 11]).
Использовав определение характеристики гладкости (3), рассмотрим следующие классы
функций. Пусть Ψ(t), t > 0, — непрерывная возрастающая функция, такая, что Ψ(0) = 0. Всюду
далее будем ее называть мажорантой. Символом W r(Ωk,Ψ), r ∈ Z+, k ∈ N, обозначим класс
функций f ∈ Lr2, для которых при любом 0 < t 6 2π имеет место неравенство Ωk(f
(r), t) 6
6 Ψ(t).
Доопределим функцию sin(t)/t в точке t = 0 значением 1. Обозначим через t∗ величину
аргумента t функции sin(t)/t, при котором она достигает на полусегменте [0,∞) своего наи-
меньшего значения. Очевидно, что t∗ — наименьший положительный корень уравнения t = tg t,
4, 49 < t∗ < 4, 51.
Полагаем [11](
1− sin t
t
)
∗
df
=
{
1− sin t
t
, если 0 6 t 6 t∗; 1− sin t∗
t∗
, если t > t∗
}
.
Для множества K ⊂ L2 обозначим En−1(K)
df
= sup{En−1(f) : f ∈ K}. Имеет место следующая
теорема.
Теорема . Пусть для любых чисел 0 < t < ∞ и n ∈ N мажоранта Ψ удовлетворяет
ограничению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 . . . 1029
Ψ(t)
Ψ(π/2n)
>
(
π
π − 2
)k (
1− sinnt
nt
)k
∗
. (11)
Тогда имеют место равенства
q2n−1
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
= q2n
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
=
= En−1
(
W r(Ωk,Ψ)
)
=
(
π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)
, (12)
где qn(·) — любой из перечисленных выше n-поперечников. При этом множество мажорант,
удовлетворяющих (11), не пусто.
Доказательство. Для произвольной функции f ∈ W r(Ωk,Ψ) из соотношения (8), в кото-
ром полагаем t = π/2, имеем
En−1(f) 6
(
π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)
.
Из данного неравенства и неравенства (10) получаем оценки сверху
q2n
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
6 q2n−1
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
6
6 En−1
(
W r(Ωk,Ψ)
)
6
(
π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)
. (13)
Для получения оценок снизу рассмотрим в L2 шар
B2n+1
df
=
{
Tn ∈ Tn : ‖Tn‖ 6
( π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)}
.
Поскольку для произвольного тригонометрического полинома Tn ∈ Tn
‖∆̃k
h(T (r)
n )‖2 =
n∑
j=1
(
1− sin jh
jh
)2k
j2rρ2j (Tn) 6
6 n2r
n∑
j=1
(
1− sin jh
jh
)2k
∗
ρ2j (Tn) 6 n2r
(
1− sinnh
nh
)2k
∗
‖Tn‖2,
отсюда в силу (3) имеем
Ωk(T
(r)
n , t) 6 nr
(
1− sinnt
nt
)k
∗
‖Tn‖. (14)
Использовав неравенство (14) и ограничение на мажоранту (11), для произвольного поли-
нома Tn ∈ B2n+1 при 0 < t 6 2π запишем
Ωk(T
(r)
n , t) 6
(
π
π − 2
)k (
1− sinnt
nt
)k
∗
Ψ
( π
2n
)
6 Ψ(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1030 С. Б. ВАКАРЧУК, В. И. ЗАБУТНАЯ
Следовательно, имеет место включение B2n+1 ⊂W r(Ωk,Ψ). Из определения бернштейновско-
го n-поперечника и соотношения (10) получаем
q2n
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
> b2n
(
W r(Ωk,Ψ);L2
)
>
> b2n(B2n+1, L2) >
(
π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)
. (15)
Соотношение (12) следует из сопоставления неравенств (13) и (15).
Покажем, что множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (11), не пусто. Для
этого рассмотрим степенную функцию Ψ0(t)
df
= tβ, где β
df
= kα, α
df
= 2/(π − 2), и убедимся в
том, что для нее выполнено указанное ограничение. Иными словами, установим неравенство
(nt)α >
π1+α
2α(π − 2)
(
1− sinnt
nt
)
∗
. (16)
Положив v
df
= nt, 0 6 v <∞, запишем (16) в виде
vα >
π1+α
2α(π − 2)
(
1− sin v
v
)
∗
.
Введем вспомогательную функцию
G(v)
df
= vα − π1+α
2α(π − 2)
(
1− sin v
v
)
∗
,
для которой G(0) = 0, и покажем, что для 0 6 v < ∞ выполняется неравенство G(v) > 0.
Связанные с этим рассуждения проведем для трех случаев: 0 6 v 6 π/2, π/2 6 v 6 t∗ и
t∗ 6 v <∞.
Пусть 0 6 v 6 π/2. Очевидно, что в бесконечно малой окрестности нуля имеет место
представление
G(v) = vα
(
1− π1+α
2α(π − 2)
O(v3−α)
)
,
т. е. G(v) > 0 при v → 0 + 0. Для получения нужного результата G(v) > 0 при 0 6 v 6 π/2
применим метод доказательства от противного, предположив, что существует по крайней мере
одна точка ξ ∈ (0, π/2), в которой функция G меняет знак. Из равенств G(0) = G(ξ) =
= G(π/2) = 0 в силу теоремы Ролля следует, что первая производная
G(1)(v) =
1
v2
{
αv1+α +
π1+α
2α(π − 2)
(v cos v − sin v)
}
df
=
G1(v)
v2
, (17)
а значит и функция G1(v), должна иметь на интервале (0, π/2) не менее двух различных нулей.
Рассмотрим далее функциюG1. ПосколькуG1(0) = 0 и, как нетрудно проверить, в силу выбора
числа α G1(π/2) = 0, на основании теоремы Ролля заключаем, что производная
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 . . . 1031
G
(1)
1 (v) = v
{
(1 + α)αvα−1 − π1+α
2α(π − 2)
sin v
}
df
= vG2(v) (18)
должна обращаться в нуль на интервале (0, π/2) не менее трех раз. Очевидно, что функция G2,
к анализу которой мы переходим, также должна иметь на (0, π/2) не менее трех различных
нулей. Поскольку G2(0) = 0, в силу теоремы Ролля производная
G
(1)
2 (v) = (1 + α)α(α− 1)vα−2 − π1+α
2α(π − 2)
cos v
должна обращаться в нуль на интервале (0, π/2) не менее чем в трех различных точках. Однако
это невозможно, потому что G(1)
2 , как разность двух монотонно убывающих и выпуклых соот-
ветственно вниз и вверх функций, может иметь на (0, π/2) не более двух различных нулей. Из
полученного противоречия следует, что первоначальное предположение о знакопеременности
функции G на интервале (0, π/2) является неверным. Следовательно, для любого v ∈ (0, π/2)
имеет место неравенство G2(v) > 0.
Пусть π/2 6 v 6 t∗. Нетрудно проверить, что
G(π) = πα
(
1− π/(2α(π − 2))
)
> 0,
а значит, в некоторой окрестности точки v = π в силу непрерывности функция G принимает
положительные значения. Покажем, что в интервале (π/2, t∗) G является знакопостоянной, для
чего снова проведем рассуждения от противного. Пусть существует по крайней мере одна точка
η ∈ (π/2, t∗), в которой функция G меняет знак. Поскольку G(π/2) = G(η) = 0, по теореме
Ролля в силу (17) производная G(1), а значит и функция G1, имеет на интервале (π/2, t∗) по
крайней мере один нуль. Рассмотрим далее функциюG1.Из равенстваG1(π/2) = 0 следует, что
производная G(1)
1 должна, согласно приведенным выше соображениям, иметь не менее одного
нуля на интервале (π/2, t∗). В силу (18) это касается и функции G2. Несложно подсчитать, что
G2(π/2) = α(π/2)α−1(α+ 1− π2/4) > 0.
Отсюда и из того факта, что функция G2 является разностью монотонно возрастающей и
монотонно убывающей функций, заключаем, что нигде на рассматриваемом интервале G2
в нуль обращаться не может. Из полученного противоречия следует требуемое неравенство
G(v) > 0 для любого v ∈ (π/2, t∗).
Пусть теперь t∗ 6 v < ∞. Путем несложных вычислений можно убедиться в том, что
G(t∗) > 0. Поскольку в рассматриваемом случае G является монотонно возрастающей функ-
цией, выполнение неравенства G(v) > 0 для любого v ∈ (t∗,∞) очевидно. Следовательно, для
рассматриваемой функции Ψ0 ограничение (11) имеет место.
Теорема доказана.
Для функции f ∈ Lr2, r = 2, 3, . . . , ее промежуточные производные f (r−ν), ν = 1, . . . , r− 1,
принадлежат пространству L2. Учитывая, что f (r−ν) ∈ Lν2 , и используя при t = π/n вытекаю-
щее из (8) неравенство En−1(f (r−ν)) 6
( π
π − 2
)k
n−νΩk
(
f (r),
π
2n
)
, а также применяя опреде-
ление класса W r(Ωk,Ψ) и вытекающую из доказательства теоремы принадлежность функции
f1(x)
df
=
( π
π − 2
)k
n−rΨ
( π
2n
)
sinnx классу W r(Ωk,Ψ), получаем следующий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1032 С. Б. ВАКАРЧУК, В. И. ЗАБУТНАЯ
Следствие. Пусть k, n ∈ N, r = 2, 3, . . . . Если функция Ψ при любом значении аргумента
t ∈ (0,∞) удовлетворяет ограничению (11), то для ν = 0, 1, . . . , r − 1 справедливы равенства
sup
{
En−1(f
(r−ν)) : f ∈W r(Ωk,Ψ)
}
=
(
π
π − 2
)k
n−νΨ
( π
2n
)
.
1. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smoothness. – New York: Springer-Verlag, 1987. – 228 p.
2. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости. – М.: Мир, 1988. – 328 c.
3. Потапов М. К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестн. Моск.
ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1998. – 3. – С. 38 – 48.
4. Потапов М. К. О применении несимметричных операторов обобщенного сдвига в теории приближений
// Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы V Казан. междунар. летней шк.-конф.
(Казань, 27 июня – 4 июля 2001 г.). Труды Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. – 2001. – 78. – С. 185 – 189.
5. Абилов В. А., Абилова Ф. В. Некоторые вопросы приближения 2π-периодических функций суммами Фурье в
пространстве L2(2π) // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – С. 803 – 811.
6. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Некоторые вопросы теории аппроксимации 2π-периодических функций в
пространствах Lp, 1 6 p 6 ∞ // Проблемы теории приближения функций и смежные вопросы: Сб. трудов
Ин-та математики НАН Украины. – 2004. – 1, № 1. – С. 25 – 41.
7. Ephremidze L., Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the inverse inequalities for trigonometric polynomial approximations
in weighted Lorentz spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. – 2007. – 144. – P. 132 – 136.
8. Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the approximation in weighted Lebesgue spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. –
2007. – 143. – P. 103 – 113.
9. Вакарчук С. Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функцио-
нальных классов из L2 // Мат. заметки. – 2005. – 78, № 5. – С. 792 – 796.
10. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Точные неравенства типа Джексона – Стечкина в L2 и поперечники функцио-
нальных классов // Мат. заметки. – 2009. – 86, № 3. – С. 328 – 336.
11. Vakarchuk S. B., Zabutna V. I. Widths of functional classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities
// East. J. Approxim. – 2008. – 14, № 4. – P. 411 – 421.
12. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространстве Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
13. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространстве Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1984. – 185, № 8. – С. 81 – 102.
14. Shapiro H. S., Boman J. Comparison theorems for a generalized modulas of continuity // Bull. Amer. Math. Soc. –
1969. – 75, № 6. – P. 1266 – 1268.
15. Бабенко А. Г. О неравенстве Джексона – Стечкина для наилучших L2 приближений функций тригонометриче-
скими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 1999. – 6. – С. 2 – 19.
16. Васильев С. Н. Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным
произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. – 2000. – 385,
№ 1. – С. 11 – 14.
17. Козко А. И., Рождественский А. В. О неравенствах Джексона в L2 с обобщенным модулем непрерывности //
Мат. сб. – 2004. – 195, № 8. – С. 3 – 46.
18. Рыбасенко В. Д. Рыбасенко И. Д. Элементарные функции. Формулы, таблицы, графики. – М.: Наука, 1987. –
416 с.
19. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 //
Мат. заметки. – 1976. – 20, № 3. – С. 433 – 438.
20. Шалаев В. В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерыв-
ности высших порядков // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 1. – С. 125 – 129.
21. Есмаганбетов М. Г. Поперечники классов из L2[0, 2π] и минимизация точных констант в неравенствах типа
Джексона // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 6. – С. 816 – 820.
Получено 15.11.10,
после доработки — 30.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|