Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста

Дослiджується резонансна задача про iснування перiодичних розв’язкiв параболiчних рiвнянь iз розривними нелiнiйностями та однорiдною граничною умовою Дiрiхле. Припускається, що коефiцiєнти диференцiального оператора не залежать вiд часу, а зростання нелiнiйностi на нескiнченностi є лiнiйним. Операто...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Павленко, В.Н., Федяшев, М.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Український математичний журнал 2012
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164437
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста / В.Н. Павленко, М.С. Федяшев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1080-1088. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164437
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1644372020-02-10T01:28:08Z Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста Павленко, В.Н. Федяшев, М.С. Статті Дослiджується резонансна задача про iснування перiодичних розв’язкiв параболiчних рiвнянь iз розривними нелiнiйностями та однорiдною граничною умовою Дiрiхле. Припускається, що коефiцiєнти диференцiального оператора не залежать вiд часу, а зростання нелiнiйностi на нескiнченностi є лiнiйним. Операторна постановка задачi зводить її до проблеми iснування нерухомої точки в опуклозначного компактного вiдображення. Встановлено теореми iснування узагальненого i сильного перiодичного розв’язку. We consider a resonance problem of existence of periodic solutions of parabolic equations with discontinuous nonlinearities and homogeneous Dirichlet boundary condition. It is assumed that the coefficients of the differential operator are independent of time and that the growth of nonlinearity at infinity is linear. The operator formulation of the problem reduces it to the problem of existence of fixed point of a convex-valued compact mapping. The theorem on existence of generalized and strong periodic solutions is proved. 2012 Article Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста / В.Н. Павленко, М.С. Федяшев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1080-1088. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164437 517.956.2 ru Український математичний журнал Український математичний журнал
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Павленко, В.Н. Федяшев, М.С. Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста Український математичний журнал
description	Дослiджується резонансна задача про iснування перiодичних розв’язкiв параболiчних рiвнянь iз розривними нелiнiйностями та однорiдною граничною умовою Дiрiхле. Припускається, що коефiцiєнти диференцiального оператора не залежать вiд часу, а зростання нелiнiйностi на нескiнченностi є лiнiйним. Операторна постановка задачi зводить її до проблеми iснування нерухомої точки в опуклозначного компактного вiдображення. Встановлено теореми iснування узагальненого i сильного перiодичного розв’язку.
format	Article
author	Павленко, В.Н. Федяшев, М.С.
author_facet	Павленко, В.Н. Федяшев, М.С.
author_sort	Павленко, В.Н.
title	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
title_short	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
title_full	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
title_fullStr	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
title_full_unstemmed	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
title_sort	периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста
publisher	Український математичний журнал
publishDate	2012
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164437
citation_txt	Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста / В.Н. Павленко, М.С. Федяшев // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1080-1088. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT pavlenkovn periodičeskierešeniâparaboličeskogouravneniâsodnorodnymgraničnymusloviemdirihleirazryvnojnelinejnostʹûlinejnogorosta AT fedâševms periodičeskierešeniâparaboličeskogouravneniâsodnorodnymgraničnymusloviemdirihleirazryvnojnelinejnostʹûlinejnogorosta
first_indexed	2025-07-14T16:59:55Z
last_indexed	2025-07-14T16:59:55Z
_version_	1837642438339985408
fulltext	УДК 517.956.2 В. Н. Павленко, М. С. Федяшев (Челябин. гос. ун-т, Россия) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ И РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ЛИНЕЙНОГО РОСТА We consider a resonance problem of the existence of periodic solutions of parabolic equations with discontinuous nonli- nearities and a homogeneous Dirichlet boundary condition. It is assumed that the coefficients of the differential operator do not depend on time, and the growth of the nonlinearity at infinity is linear. The operator formulation of the problem reduces it to the problem of the existence of a fixed point of a convex compact mapping. A theorem on the existence of generalized and strong periodic solutions is proved. Дослiджується резонансна задача про iснування перiодичних розв’язкiв параболiчних рiвнянь iз розривними нелi- нiйностями та однорiдною граничною умовою Дiрiхле. Припускається, що коефiцiєнти диференцiального оператора не залежать вiд часу, а зростання нелiнiйностi на нескiнченностi є лiнiйним. Операторна постановка задачi зво- дить її до проблеми iснування нерухомої точки в опуклозначного компактного вiдображення. Встановлено теореми iснування узагальненого i сильного перiодичного розв’язку. 1. Введение. Пусть Ω — ограниченная область в RN с границей ∂Ω класса C2, T > 0 — положительное число и Lu(x) ≡ − N∑ i,j=1 (aij(x)uxi)xj + c(x)u(x) — равномерно эллиптический дифференциальный оператор в Ω [1] с коэффициентами aij ∈ ∈ C1,α(Ω), aij(x) = aji(x) на Ω, c ∈ Cα(Ω), 0 < α < 1. Исследуется проблема существования решения параболического уравнения с разрывной нелинейностью ut + Lu(x, t)− λ1u(x, t) + g(x, t, u(x, t)) = f(x, t), (x, t) ∈ QT , (1) удовлетворяющего однородному граничному условию Дирихле u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ), (2) и условию периодичности u(x, 0) = u(x, T ), x ∈ Ω, (3) где QT = Ω× (0, T ), λ1 — минимальное собственное значение дифференциального операто- ра L с граничным условием u(x) = 0 на ∂Ω, f ∈ Lp(QT ), p > N + 2. Предполагается, что нелинейность g(x, t, u) удовлетворяет следующим условиям: (1) g : QT×R→ R борелева (mod 0) [2], что означает существование множества l ⊂ QT× ×R, проекция которого наQT имеет меру нуль, и борелевой наQT × R функции, совпадающей с g(x, t, u) на (QT × R)\l; (2) для почти всех (x, t) ∈ QT сечение g(x, t, •) имеет на R разрывы только первого рода и для произвольного u ∈ R верно включение g(x, t, u) ∈ [g−(x, t, u), g+(x, t, u)], где c© В. Н. ПАВЛЕНКО, М. С. ФЕДЯШЕВ, 2012 1080 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1081 g+(x, t, u) = lim η→u sup g(x, t, η), g−(x, t, u) = lim η→u inf g(x, t, η); (3) существуют постоянная a > 0 и функция b ∈ Lp(QT ) такие, что для почти всех (x, t) ∈ QT выполняется неравенство \|g(x, t, u)\| 6 a\|u\|+ b(x, t) ∀u ∈ R. (4) Замечание 1. Условие (1) гарантирует суперпозиционную измеримость g(x, t, u), т. е. из- меримость по Лебегу на QT композиции g(x, t, u(x, t)) для любой измеримой функции u(x, t) на QT [2]. Последнее совместно с условием (3) обеспечивает принадлежность значений опе- ратора Немыцкого Gu = g(x, t, u(x, t)) пространству Lp(QT ) для любого u ∈ Lp(QT ). Кроме того, выполнение условий (1) – (3) влечет справедливость важного для дальнейшего описания овыпукливания оператора Немыцкого в Lp(QT ) [2] G�u = {z : QT → R \| z(x, t) — измеримая на QT функция и для почти всех (x, t) ∈ QT z(x, t) ∈ [g−(x, t, u(x, t)), g+(x, t, u(x, t))]} . Для этого представления G� наличие свойства (2) существенно. Определение 1. Сильным решением задачи (1) – (3) называется функция u ∈W 2,1 p (QT ), для которой выполнены условия (2), (3) (в смысле следа функции) и которая удовлетворяет почти всюду на QT уравнению (1). Замечание 2. Поскольку p > N + 2, пространствоW 2,1 p (QT ) компактно вложено вC(QT ), в силу чего равенства (2) и (3) для u ∈W 2,1 p (QT ) имеют смысл. Определение 2. Обобщенным решение задачи (1) – (3) называется функция u ∈W 2,1 p (QT ), удовлетворяющая условиям (2), (3) и для почти всех (x, t) ∈ QT включению f(x, t)− ut − Lu(x, t) + λ1u(x, t) ∈ [g−(x, t, u(x, t)), g+(x, t, u(x, t))]. (5) Определение 3. Будем говорить, что для функции f(x, t) в уравнении (1) выполне- но A1-условие, если в RN+2 найдется не более чем счетное семейство гиперповерхностей {Sj , j ∈ J} , Sj = {(x, t, u) \| u = ϕj(x, t), (x, t) ∈ QT }, ϕj ∈W 2,1 2,loc(QT ), такое, что для поч- ти всех (x, t) ∈ QT неравенство g−(x, t, u) 6= g+(x, t, u) влечет существование j ∈ J, для которого u = ϕj(x, t) и либо (∂ϕj/∂t+ Lϕj(x, t)− λ1ϕj(x, t) + g−(x, t, ϕj(x, t))− f(x, t))× × (∂ϕj/∂t+ Lϕj(x, t)− λ1ϕj(x, t) + g+(x, t, ϕj(x, t))− f(x, t)) > 0, (6) либо ∂ϕj/∂t+ Lϕj(x, t)− λ1ϕj(x, t) + g(x, t, ϕj(x, t)) = f(x, t). Замечание 3. Неравенство (6) есть отрицание (5) для u = ϕj(x, t). Выделим класс урав- нений вида (1), для которого выполнено A1-условие. Пусть в (1) c(x) и f(x, t) равны нулю, а g(x, t, u) ≡ g(u). Предположим, что g(u) имеет разрывы только первого рода и непрерывна слева на R или непрерывна справа на R. Тогда g(u) борелева и множество ее точек разрыва ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1082 В. Н. ПАВЛЕНКО, М. С. ФЕДЯШЕВ не более чем счетно. Обозначим через {uj , j ∈ B} множество точек разрыва функции g(u) (B — подмножество N). Тогда поверхности разрыва нелинейности g(u) представляются в виде Sj = {(x, t, u) \| u ≡ uj , (x, t) ∈ QT } , j ∈ B. В этом случае выполнение A1-условия означает, что для любого j ∈ B либо (g−(uj)− λ1uj) (g+(uj)− λ1uj) > 0 (т. е. скачок g(u) в точке uj должен быть или над прямой υ = λ1u, или под ней), либо g(uj) = λ1uj . Заметим, что если дополнительно предположить, что g(u) имеет линейный рост на бесконечности, то она удовлетворяет условиям (1) – (3). В пространстве Lp(QT ) определим линейный оператор A с областью определения D(A) = { u ∈W 2,1 p (QT ) \| u удовлетворяет условиям (2) и (3) } равенством Au = ut + Lu(x, t) ∀u ∈ D(A). Заметим, что λ1 — минимальное собственное значение оператора A. Действительно, если λ — собственное значение оператора A и u(x, t) — собственная функция A, соответствующая λ, то λ ∫ QT u2(x, t)dxdt = ∫ QT (Au(x, t))u(x, t)dxdt = = ∫ 0 dt ∫ Ω (Lu(x, t))u(x, t)dx > λ1 ∫ QT u2(x, t)dxdt. (7) Здесь мы воспользовались условием периодичности (3) для u(x, t) и свойством минимального собственного значения оператора L с граничным условием u\|∂Ω = 0 [3]:∫ Ω (Lu(x))u(x)dx > λ1 ∫ Ω u2(x)dx ∀u ∈W 2 2 (Ω)∩ ◦ W 1 2 (Ω). Из неравенства (7) следует, что λ > λ1. Кроме этого, если v(x) — собственная функция опера- тора L с однородным граничным условием Дирихле, соответствующая собственному значению λ1, то Av = Lv = λ1v, и, значит, λ1 — собственное значение A. Поскольку λ1 — минимальное собственное значение оператора A, соответствующее ему собственное подпространство одно- мерно, причем базисную функцию этого подпространства v(x) можно считать положительной в Ω и ∂v/∂ν < 0 на ∂Ω, где ν — внешняя нормаль к ∂Ω по отношению к Ω [4]. Основным результатом статьи является следующая теорема. Теорема 1. Предположим, что: 1) для функции g(x, t, u) выполнены условия (1) – (3) с p > N + 2; 2) для почти всех (x, t) ∈ QT g(x, t, u) sgnu > d(x, t) ∀u ∈ R, где d ∈ L1(QT ); 3) для положительного решения задачи Дирихле Lv = λ1v, v\|∂Ω = 0 имеют место нера- венства ∫ QT g−(x, t)v(x)dxdt < ∫ QT f(x, t)v(x)dxdt < ∫ QT g + (x, t)v(x)dxdt, где g + (x, t) = lim infu→+∞ g(x, t, u), g−(x, t) = lim supu→−∞ g(x, t, u). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1083 Тогда задача (1) – (3) имеет обобщенное решение, а если для f(x, t) выполнено A1- условие, то обобщенное решение будет сильным. Задача о периодических решениях уравнений параболического типа с гладкими или кара- теодориевыми нелинейностями изучалась многими авторами. Так, Ю. С. Колесов [5] методом верхних и нижних решений доказал теорему существования классических периодических ре- шений квазилинейных параболических уравнений с граничными условиями Дирихле. Этот подход получил дальнейшее развитие для других краевых условий в работе [6]. И. И. Шму- лев [7] доказательство существования классических периодических решений квазилинейного параболического уравнения с неоднородным граничным условием Дирихле провел методом Лере – Шаудера на базе полученных априорных оценок решения. В монографии [8, с. 495 – 498] проблема существования сильных периодических решений квазилинейных параболических уравнений решается методом монотонных операторов, а для уравнения Навье – Стокса реали- зуется подход А. Пуанкаре, который сводит задачу существования периодического решения к отысканию неподвижных точек специально построенного отображения. В [9] задача (1) – (3) рассматривается в случае, когда нелинейность g(x, t, u) ≡ g(u) гладкая, причем существуют ко- нечные пределы g(±∞) = lims→±∞ g(s) и g(−∞) < g(s) < g(+∞) ∀s ∈ R.Получен критерий существования классического периодического решения уравнения (1). В работе [10] теорема существования сильного решения задачи (1) – (3) с каратеодориевой нелинейностью g(x, t, u) получена как следствие общей теоремы существования в гильбертовом пространстве, доказан- ной авторами. Вопросы существования устойчивых и неустойчивых периодических решений и наличие более одного периодического решения при различных граничных условиях обсуж- дались в работах [11 – 13]. Сильные решения краевых задач для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями изучались в работах [14 – 17]. K.-C. Chang [14] применил к исследованию этой проблемы теорию топологической степени многозначных отображений, S. Carl и S. Heikkila [15] использовали технику монотонных итераций, в [16, 17] теоремы существования сильных решений были получены методом верхних и нижних решений. Суще- ствованию периодических решений для эволюционных включений в банаховых пространствах посвящено большое количество работ. В некоторых из них в качестве приложения общих теорем исследуется проблема существования обобщенных периодических решений уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями в нерезонансном случае (см., например, [18 – 20]). При этом вопрос о существовании сильных периодических решений в этих рабо- тах не рассматривался. В статье авторов [21] задача (1) – (3) изучалась в случае ограниченной нелинейности g(x, t, u), а в [22] — в случае подлинейного роста нелинейности, т. е. когда для почти всех (x, t) ∈ QT справедлива оценка \|g(x, t, u)\| ≤ a\|u\|α + b(x, t) ∀u ∈ R, где 0 ≤ α < 1, a — положительная константа и b ∈ Lp(QT ). В данной работе устанавливается существование обобщенных решений резонансной за- дачи (1) – (3) при допущении линейного роста нелинейности и указаны достаточные условия существования сильных периодических решений уравнения (1) с граничным условием (2). 2. Операторная постановка задачи (1) – (3). Линейный операторA в пространстве Lp(QT ), определенный выше, имеет компактную резольвенту [4]. Фиксируем ε > 0. Поскольку λ1 — минимальная точка спектра оператора A, полуинтервал [λ1−ε, λ1) содержится в резольвентном ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1084 В. Н. ПАВЛЕНКО, М. С. ФЕДЯШЕВ множестве оператораA и оператор (A− (λ1 − ε)I)−1 компактен (I — тождественный оператор). Нелинейность g(x, t, u) порождает оператор Немыцкого G в Lp(QT ), действующий по правилу Gu = g(x, t, u(x, t)) ∀u ∈ Lp(QT ). В силу условия (3) для G выполняется неравенство ‖Gu‖ 6 a‖u‖+ ‖b‖ ∀u ∈ Lp(QT ) (8) (измеримость Gu на QT следует из условия (1) [2]). Здесь и далее ‖ ‖ — норма в Lp(QT ). Пусть G�u = ⋂ ε>0 clco {z = Gv \| ‖v − u‖ < ε} — овыпукливание оператора G. В [2] показано, что для любого u ∈ Lp(QT ) G�u = {z : QT → → R \| z(x, t) — измеримая наQT функция и для почти всех (x, t)∈QT z(x, t)∈ [g−(x, t, u(x, t)), g+(x, t, u(x, t))]}. Из (8) для произвольного u ∈ Lp(QT ) и z ∈ G�(u) следует неравенство ‖z‖ 6 a‖u‖+ ‖b‖. (9) Заметим, что u(x, t) — обобщенное решение задачи (1) – (3) тогда и только тогда, когда u удовлетворяет включению f −Au+ λ1u ∈ G�u. Преобразуем его к виду Au− (λ1 − ε)u ∈ f −G�u+ εu, что равносильно включению u ∈ (A− (λ1 − ε)I)−1(f −G�u+ εu) ≡ Φu, т. е. существованию неподвижной точки у многозначного оператора Φ в Lp(QT ). Как и в [23], проверяется, что значения оператора Φ — выпуклые компакты, он полунепрерывен сверху в Lp(QT ) и образ любого шара при отображении Φ предкомпактен. Операторы с такими свой- ствами называют компактными выпуклозначными [24]. Согласно [24, c.107], для доказательства наличия неподвижной точки у отображения Φ достаточно установить ограниченность в Lp(QT ) множества всех решений семейства включений u ∈ τΦu, τ ∈ [0, 1) (принцип Лере – Шаудера для многозначных компактных отображений). 3. Доказательство теоремы 1. 3.1. Существование обобщенного решения задачи (1) – (3). Допустим, что Φ не имеет неподвижных точек. Тогда в силу принципа Лере – Шаудера для многозначных компактных отображений существуют последовательности (τn) ⊂ [0, 1), (un) ⊂ Lp(QT ) такие, что un ∈ τnΦun и ‖un‖ > n. Отсюда следует для любого натурального n существование функции zn ∈ G�un, для которой справедливо равенство Aun − (λ1 − ε)un = τnf − τnzn + τnεun. (10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1085 Разделив обе части (10) на ‖un‖ и положив vn = un‖un‖−1, получим (A− (λ1 − ε)I)vn = τnf‖un‖−1 − τnzn‖un‖−1 + τnεvn. (11) Поскольку τn ⊂ [0, 1), ‖vn‖ = 1, ‖zn‖‖un‖−1 6 a + ‖b‖‖un‖−1 (в силу оценки (9)) и Lp(QT ) — рефлексивное пространство, можно считать, что τn → τ ∈ [0, 1), vn ⇀ v, zn‖un‖−1 ⇀ k в Lp(QT ), переходя при необходимости к подпоследовательности. Поэтому правая часть равен- ства (11) слабо сходится к −τk+ τεv. Так как оператор (A− (λ1 − ε)I)−1 компактный, из (11) следует сильная сходимость (vn) к v ∈ D(A), и, значит, ‖v‖ = 1. Переходя в (11) к пределу при n→∞, получаем Av − λ1v = −(1− τ)εv − τk. (12) Умножим обе части последнего равенства на v(x, t) и проинтегрируем по QT :∫ QT (Av(x, t)− λ1v(x, t))v(x, t)dxdt+ (1− τ)ε ∫ QT v2(x, t)dxdt+ τ ∫ QT kv(x, t)v 2(x, t)dxdt = 0, (13) где kv(x, t) = k(x, t)/v(x, t), если v(x, t) 6= 0, и kv(x, t) = 0, если v(x, t) = 0. Заметим, что пер- вое и второе слагаемые в левой части (13) неотрицательные, причем ∫ QT v2(x, t)dxdt > 0. Если установить неотрицательность kv(x, t) почти всюду на множестве Q◦ = {(x, t) ∈ QT \| v(x, t) 6= 6= 0}, то из (13) непосредственно следует, что τ = 1 и kv(x, t) = 0 почти всюду на Q◦. Отсюда с учетом (12) следует равенство нулю k(x, t) почти всюду на QT (в силу (12) функция k(x, t) рав- на нулю почти всюду на QT \Q◦). Таким образом, правая часть равенства (12) окажется равной нулю и, значит, v(x, t) — собственная функция оператора A, соответствующая собственному значению λ1. Докажем, что почти всюду на Q◦ функция kv(x, t) неотрицательна. Поскольку правая часть (11) равномерно по n ограничена в Lp(QT ), последовательность (vn) ограничена в W 2,1 p (QT ) [4]. По условию p > N + 2, поэтому W 2,1 p (QT ) компактно вложено в пространство C1,0(QT ) функций u(x, t), непрерывных вместе с производными uxj (x, t), j = 1, N, на QT [25]. Значит, можно считать, что vn → v в C1,0(QT ). Пусть Qε = {(x, t) ∈ QT \| \|v(x, t)\| > ε} , 0 < ε < ‖v‖C(QT ), и ‖ ‖(ε) — норма в Lp(Qε). Так как vn → v в C(QT ), для любого 0 < ε < ‖v‖C(QT ) найдется n0(ε) ∈ N такое, что \|vn(x, t)\| > ε/2 на Qε для произвольного n > n0(ε). Для любого n > n0(ε) имеем∥∥∥∥ znun − zn v‖un‖ ∥∥∥∥(ε) = ∥∥∥∥ zn ‖un‖ ( 1 vn − 1 v )∥∥∥∥(ε) = ∥∥∥∥ zn ‖un‖ v − vn vnv ∥∥∥∥(ε) 6 ‖zn‖ ‖un‖ 2 ε2 ‖vn − v‖C(Q ε ), из чего заключаем о сильной сходимости zn un − zn v‖un‖ к нулю в Lp(Qε), что влечет слабую сходимость zn un к kv в Lp(Qε). Далее, для любой неотрицательной функции ϕ ∈ C(QT ) и ε ∈ (0, ‖v‖C(QT ))∫ Qε kv(x, t)ϕ(x, t)dxdt = lim n→∞ ∫ Qε zn(x, t) un(x, t) ϕ(x, t)dxdt = lim n→∞ ∫ Qε zn(x, t) sgnun(x, t) ‖un‖\|vn(x, t)\| ϕ(x, t)dxdt. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1086 В. Н. ПАВЛЕНКО, М. С. ФЕДЯШЕВ Поскольку последовательность (vn) сходится в C(QT ), она ограничена в этом пространстве, и, значит, существует постоянная C > 0 такая, что \|vn(x, t)\| 6 C на QT для любого n ∈ N. Поэтому с учетом условия 2 теоремы 1 получаем zn(x, t) sgnun(x, t) ‖un‖\|vn(x, t)\| ϕ(x, t) > d(x, t) ‖un‖C ϕ(x, t). Таким образом, ∫ Qε kv(x, t)ϕ(x, t)dxdt > lim n→∞ 1 C‖un‖ ∫ Qε d(x, t)ϕ(x, t)dxdt = 0, так как ‖un‖ → ∞ и d · ϕ ∈ L1(Qε). Из этого заключаем о неотрицательности kv(x, t) почти всюду наQε.ПосколькуQ◦ = ⋃ ε>0Q ε, неотрицательность kv(x, t) почти всюду наQ◦ доказана. Итак, v(x, t) — собственная функция оператора A, соответствующая собственному значению λ1, vn(x, t) → v(x, t) в C1,0(QT ). Как отмечалось выше, v(x, t) = v(x) (не зависит от t), v(x) = 0 на ∂Ω, и либо v(x) > 0 в Ω и ∂v ∂ν ∣∣∣ ∂Ω < 0, либо v(x) < 0 в Ω и ∂v ∂ν ∣∣∣ ∂Ω > 0, ν — внешняя нормаль к ∂Ω по отношению к Ω. Заметим, что для любого n ∈ N функция vn(x, t) удовлетворяет условиям (2) и (3). В таком случае найдется натуральное число m такое, что для любого n > m vn(x, t) sgn v(x) > 0 на QT [4] (лемма 2.2). Умножим обе части равенства (10) на v(x) и проинтегрируем по QT . Так как∫ QT (Aun(x, t)− λ1un(x, t)) v(x) dxdt = ∫ QT un(x, t) (Lv(x)− λ1v(x)) dxdt = 0, в результате получим τn ∫ QT f(x, t)v(x) dxdt = (1− τn)ε ∫ QT un(x, t)v(x) dxdt+ τn ∫ QT zn(x, t)v(x) dxdt. Поскольку (τn) ⊂ [0, 1) и τn → 1, а lim n→∞ ∫ QT un(x, t)v(x) dxdt = lim n→∞ ‖un‖ ∫ QT vn(x, t)v(x) dxdt = +∞, найдется m0 ∈ N такое, что∫ QT f(x, t)v(x) dxdt > ∫ QT zn(x, t)v(x) dxdt (14) для любого n > m0. Для произвольного n > n1 = max {m,m0} (14) перепишем в виде∫ QT f(x, t)v(x) dxdt > ∫ QT zn(x, t) sgnun(x, t)\|v(x)\| dxdt. (15) Из условия 2 теоремы 1 для любого n > n1 zn(x, t) sgnun(x, t) > d(x, t) почти всюду на QT . В силу леммы Лебега – Фату [26] ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1087 lim inf n→∞ ∫ QT zn(x, t) sgnun(x, t)\|v(x)\| dxdt > ∫ QT lim inf n→∞ (zn(x, t) sgnun(x, t)\|v(x)\|) dxdt. Отсюда если v(x) > 0 на Ω, то∫ QT f(x, t)v(x) dxdt > ∫ QT lim inf n→∞ g−(x, t, un(x, t))v(x) dxdt = ∫ QT g + (x, t)v(x) dxdt, так как un(x, t) = ‖un‖vn(x, t)→ +∞. Аналогично, если v(x) < 0 на Ω, то∫ QT f(x, t)v(x) dxdt > ∫ QT − lim sup n→∞ g+(x, t, un(x, t))\|v(x)\| dxdt = − ∫ QT g−(x, t)\|v(x)\| dxdt. Полученное неравенство противоречит условию 3 теоремы 1. Таким образом, установлено су- ществование неподвижной точки у отображения Φ в Lp(QT ), что равносильно существованию обобщенного решения задачи (1) – (3). 3.2 Существование сильного решения задачи (1) – (3). Пусть для f(x, t) в уравнении (1) выполнено A1-условие. Покажем, что тогда обобщенное решение u(x, t) задачи (1) – (3) явля- ется ее сильным решением. Заметим, что u(x, t)((x, t) ∈ QT ) — точка непрерывности g(x, t, •) тогда и только тогда, когда g−(x, t, u(x, t)) = g+(x, t, u(x, t)). Почти всюду на множестве та- ких (x, t) ∈ QT функция u(x, t) удовлетворяет уравнению (1). Рассмотрим множество D = = {(x, t) ∈ QT \| g−(x, t, u(x, t)) 6= g+(x, t, u(x, t))} . Поскольку f удовлетворяет A1-условию, с точностью до множества меры нуль D = ⋃ j∈J Dj , Dj = {(x, t) ∈ QT \| u(x, t) = ϕj(x, t)} , причем Dj = D∗j +D◦j для любого j ∈ J, где D∗j = { (x, t) ∈ Dj \| f(x, t)− ∂ϕj ∂t (x, t)− Lϕj(x, t) + λ1ϕj(x, t) /∈ /∈ [g−(x, t, ϕj(x, t)), g+(x, t, ϕj(x, t))] } , D◦j = { (x, t) ∈ Dj \| ∂ϕj ∂t (x, t) + Lϕj(x, t) + g(x, t, ϕj(x, t)) = f(x, t) } . Заметим, что mesD∗j = 0 для всех j ∈ J, так как u(x, t) удовлетворяет (5) для почти всех (x, t) ∈ QT . Поскольку J не более чем счетно, ⋃ j∈J D∗j — множество меры нуль. Таким обра- зом, u(x, t) удовлетворяет уравнению (1) для почти всех (x, t) ∈ QT и, значит, u(x, t) — сильное решение задачи (1) – (3). Теорема 1 доказана. 1. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука, 1964. – 540 c. 2. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. – М.: Наука, 1983. – 272 c. 3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 c. 4. De Coster C., Omari P. Unstable periodic solutions of a parabolic problem in the presence of non-well-ordered lower and upper solutions // J. Funct. Anal. – 2000. – 175. – P. 52 – 88. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1088 В. Н. ПАВЛЕНКО, М. С. ФЕДЯШЕВ 5. Колесов Ю. С. Об одном признаке существования периодических решений у параболических уравнений // Докл. АН СССР. – 1966. – 170, № 5. – С. 1013 – 1015. 6. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear Anal. A collection of paper in honor of E. Rothe / Eds L. Cesari, R. Kannan, H. F. Weinberger. – New York: Acad. Press, 1978. – P. 1 – 29. 7. Шмулев И. И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений // Мат. сб. – 1965. – 66(108), № 3. – С. 398 – 410. 8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 c. 9. Castro A., Lazer A. C. Results on periodic solutions of parabolic equation suggested by elliptic theory // Boll. Unione mat. ital. – 1982. – B1. – P. 1089 – 1104. 10. Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems // Ann. Scuola norm. super Pisa. – 1978. – 5, № 2. – P. 225 – 325. 11. Danser E. N., Hess P. On stable solutions of quasilinear periodic — parabolic problems // Ann. Scuola norm. super. Pisa CL. Sci. Ser. 4. – 1987. – 14, № 1. – P. 123 – 141. 12. Hirano N., Kim W. S. Existence of stable and unstable solutions for semilinear parabolic problems with a jumping nonlinearity // Nonlinear Anal. – 1996. – 26, № 6. – P. 1143 – 1160. 13. Kim W. S. Existence of multiple periodic solutions for semilinear parabolic equations with sublinear growth nonlinearities // J. Korean Math. Soc. – 2009. – 46, № 4. – P. 691 – 699. 14. Chang K.-C. Free boundary problems and set-valued mappings // J. Different. Equat. – 1983. – 49, № 1. – P. 1 – 28. 15. Carl S. On a parabolic boundary value problem with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. – 1990. – 15, № 11. – P. 1091 – 1095. 16. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения парабо- лического типа с разрывной немонотонной нелинейностью // Дифференц. уравнения. – 1991. – 27, № 3. – С. 520 – 526. 17. Павленко В. Н., Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2002. – 38, № 4. – С. 499 – 504. 18. Papageorgiou N. S. Boundary value problem for evolution inclusions // Comment. math. Univ. carol. – 1988. – 29, № 2. – P. 355 – 363. 19. Cardinali T., Papageorgiou N. S. Periodic problems and problems with discontinuities for nonlinear parabolic equations // Czech. Math. J. – 2000. – 50, № 125. – P. 467 – 497. 20. Kandilakis D. A., Papageorgiou N. S. Periodic solutions for nonlinear evolution inclusions // Arch. math. – 1996. – 32, № 3. – P. 195 – 209. 21. Павленко В. Н., Федяшев М. С. Периодические решения параболических уравнений с разрывными нелиней- ностями // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – № 27(242). – С. 94 – 102. 22. Павленко В. Н., Медведев Д. Ю. Периодические решения параболического уравнения с зависящими от времени коэффициентами и разрывной нелинейностью // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – № 26(241). – С. 20 – 26. 23. Павленко В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. – 1994. – 45, № 6. – С. 729 – 736. 24. Борисович Ю. Г. и др. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. – М.: КомКнига, 2005. – 216 c. 25. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.: Наука, 1975. – 480 c. 26. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 c. Получено 17.11.11, после доработки — 09.06.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8

Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста

Institution

Ähnliche Einträge