Похідні категорії вузлових кривих
Описаны производные категории когерентных пучков над узловыми некоммутативными кривыми струнного и почти струнного типов.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164438 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Похідні категорії вузлових кривих / Д.Є. Волошин, Ю.А. Дрозд // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1033-1040. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164438 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644382020-02-10T01:28:48Z Похідні категорії вузлових кривих Волошин, Д.Є. Дрозд, Ю.А. Статті Описаны производные категории когерентных пучков над узловыми некоммутативными кривыми струнного и почти струнного типов. We describe derived categories of coherent sheaves over nodal noncommutative curves of string and almost string types. 2012 Article Похідні категорії вузлових кривих / Д.Є. Волошин, Ю.А. Дрозд // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1033-1040. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164438 512.58+512.66 uk Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Волошин, Д.Є. Дрозд, Ю.А. Похідні категорії вузлових кривих Український математичний журнал |
| description |
Описаны производные категории когерентных пучков над узловыми некоммутативными кривыми струнного и почти струнного типов. |
| format |
Article |
| author |
Волошин, Д.Є. Дрозд, Ю.А. |
| author_facet |
Волошин, Д.Є. Дрозд, Ю.А. |
| author_sort |
Волошин, Д.Є. |
| title |
Похідні категорії вузлових кривих |
| title_short |
Похідні категорії вузлових кривих |
| title_full |
Похідні категорії вузлових кривих |
| title_fullStr |
Похідні категорії вузлових кривих |
| title_full_unstemmed |
Похідні категорії вузлових кривих |
| title_sort |
похідні категорії вузлових кривих |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164438 |
| citation_txt |
Похідні категорії вузлових кривих / Д.Є. Волошин, Ю.А. Дрозд // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 8. — С. 1033-1040. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vološindê pohídníkategoríívuzlovihkrivih AT drozdûa pohídníkategoríívuzlovihkrivih |
| first_indexed |
2025-07-14T16:59:58Z |
| last_indexed |
2025-07-14T16:59:58Z |
| _version_ |
1837642441450061824 |
| fulltext |
УДК 512.58+512.66
Д. Є. Волошин, Ю. А. Дрозд (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОХIДНI КАТЕГОРIЇ ВУЗЛОВИХ КРИВИХ
We describe derived categories of coherent sheaves over nodal noncommutative curves of string and almost string types.
Описаны производные категории когерентных пучков над узловыми некоммутативными кривыми струнного и почти
струнного типов.
Вступ. Ця стаття є продовженням роботи [1], в якiй описано векторнi розшарування над деяким
класом некомутативних кривих — вузловими кривими струнного та майже струнного типiв.
Такi кривi є некомутативними аналогами лiнiйних конфiгурацiй типу A та Ã, якi вiдiграють
важливу роль у теорiї векторних розшарувань над проективними кривими, а також у теорiї
модулiв Коена – Маколея [2, 3]. Було також доведено, що, за винятком цих кривих i деяких
зважених проективних прямих Гайгле – Ленцiнга [4], всi iншi некомутативнi кривi є дикими
вiдносно класифiкацiї векторних розшарувань. У данiй роботi буде показано, що для вузлових
кривих струнного та майже струнного типiв можна описати не лише векторнi розшарування, а
й похiднi категорiї когерентних пучкiв. Це знов-таки повнiстю вiдповiдає тому, що такий опис
є можливим для лiнiйних конфiгурацiй типу A та Ã [5].
1. Похiднi категорiї та категорiї трiйок. Ми будемо користуватися термiнологiєю й ре-
зультатами роботи [1]. Далi (X,A) — це проективна вузлова (або нодальна) некомутативна
крива над алгебраїчно замкненим полем k, sgAX — множина її особливих точок, H — такий
пучок OX -алгебр, що Hx = EndAx(radAx) для кожної точки x ∈ X , X̃ = spec(centerH). Тодi
(X̃,H) — некомутативна крива, всi локалiзацiї якої спадковi, й визначено морфiзм окiльцьо-
ваних просторiв π : (X̃,H) → (X,A). Зауважимо, що Hx = Ax, якщо x /∈ sgA. Позначимо
через s̃gA теоретико-множинний прообраз sgA при цьому морфiзмi, а через J пучокA-iдеалiв
такий, що
Jx =
Ax, якщо x /∈ sgA,
radAx, якщо x ∈ sgA.
Оскiльки алгебра Ax вузлова, то radAx = radHx, тому J є й пучком H-iдеалiв. Позначимо
також S = A/J , S̃ = H/J . Можна розглядати 0-вимiрнi некомутативнi кривi (sgA,S) i
(s̃gA, S̃) та комутативну дiаграму морфiзмiв
(s̃gA, S̃)
π̄−−−−→ (sgA,S)
ι̃
y yι
(X̃,H)
π−−−−→ (X,A).
(1.1)
Всi шари пучкiв S i S̃ є скiнченновимiрними напiвпростими k-алгебрами, тому когерентнi
пучки модулiв над S i S̃ природно ототожнюються зi скiнченновимiрними модулями над на-
пiвпростими скiнченновимiрними k-алгебрами S =
⊕
x∈sgAAx/Jx i S̃ =
⊕
x∈s̃gAHx/Jx
вiдповiдно.
c© Д. Є. ВОЛОШИН, Ю. А. ДРОЗД, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1033
1034 Д. Є. ВОЛОШИН, Ю. А. ДРОЗД
Ми писатимемо O та Õ замiсть OX та O
X̃
i позначатимемо через K пучок рацiональ-
них функцiй на X (або, що те саме, на X̃), а через K(A) пучок A OK ' H ÕK. Якщо
X1, X2, . . . , Xs — незвiднi компоненти X̃ , позначимо Õi = Õ|Xi i Hi = H|Xi .
Через D−(C) позначатимемо похiдну категорiю обмежених справа комплексiв над абелевою
категорiєю C. Якщо C = coh(R) — категорiя когерентних пучкiв на проективному некомутатив-
ному многовидi (V,R), то з теореми Серра [6] (теорема II.5.17) випливає, що кожен комплекс
з D−(C) iзоморфний у цiй категорiї комплексу локально проективних пучкiв (векторних роз-
шарувань у термiнологiї [1]). Дiаграма (1.1) iндукує дiаграму похiдних функторiв
D−(A)
Lπ∗−−−−→ D−(H)
Lι∗
y yLι̃∗
D−(S)
Lπ̄∗−−−−→ D−(S̃).
(1.2)
Ця дiаграма є комутативною в тому розумiннi, що iснує природний iзоморфiзм функторiв γ:
Lπ̄∗Lι∗
∼→ Lι̃∗Lπ∗.
Аналогiчно [5] визначимо категорiю трiйок T (A):
об’єкти категорiї трiйок — це трiйки (G•,V•, θ), де G• i V• — комплекси з D−(H) i D−(S)
вiдповiдно, а θ — iзоморфiзм Lπ̄∗V•
∼→ Lι̃∗G• у категорiї D−(S̃);
морфiзм iз трiйки (G•,V•, θ) до трiйки (G′•,V ′•, θ′) — це така пара морфiзмiв Φ : G• → G′• i
φ : V• → V ′• у категорiях D−(H) i D−(S) вiдповiдно, що дiаграма
Lπ̄∗V•
θ−−−−→ Lι̃∗G•
Lπ̄∗φ
y yLι̃∗Φ
Lπ̄∗V ′•
θ′−−−−→ Lι̃∗G′•
є комутативною.
Комутативнiсть дiаграми (1.2) дає можливiсть визначити функтор F : D−(A) → T (A),
поклавши F(F•) = (Lπ∗F•, Lι∗F•, γ(F•)). Повторюючи мiркування з [5] (теорема 4.2), одер-
жуємо такий результат.
Теорема 1.1. Функтор F є щiльним (тобто кожен об’єкт з T (A) iзоморфний якомусь
образу F(F•) ) та консервативним (тобто з iзоморфiзму F(F•) ' F(F ′•) випливає, що F• '
' F ′•). З цих двох властивостей випливає також, що F переводить нерозкладнi об’єкти в
нерозкладнi.
Як i в комутативному випадку [5], функтор F не є еквiвалентнiстю категорiй, бо вiн не є
строгим (тобто може переводити в нуль ненульовi морфiзми). Вiн є еквiвалентнiстю лише при
обмеженнi на повну пiдкатегорiю векторних розшарувань [1].
Розглянемо iдеал N категорiї трiйок, який складається з морфiзмiв вигляду (Φ, 0) (тодi
ι̃∗Φ = 0). Покладемо T (A) = T (A)/N . Очевидно, композицiя F функтора F з проекцiєю
T (A)→ T (A) також є щiльним i консервативним функтором. Тому класи iзоморфiзму об’єктiв
з D−(A) й T (A) збiгаються.
Зауважимо, що якщо F• = (Fn, ∂n) — комплекс локально проективних пучкiв над A, то
Lπ∗F• можна рахувати почленно, як (π∗Fn, π∗∂n), i те саме має мiсце для iнших складових
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПОХIДНI КАТЕГОРIЇ ВУЗЛОВИХ КРИВИХ 1035
дiаграми (1.2). Категорiї coh(S) i coh(S̃) є напiвпростими, тому кожен комплекс у D−(S)
або D−(S̃) розкладається у пряму суму „зсунутих простих модулiв”, тобто комплексiв U [n],
де U — простий S-модуль, а [n] позначає зсув у категорiї комплексiв. Категорiя coh(H) є
спадковою, тобто в нiй Ext2 = 0, тому кожен комплекс F• з D−(H) iзоморфний (у цiй похiднiй
категорiї) прямiй сумi зсунутих пучкiв гомологiй: F• '
⊕
nHn(F•)[n] [7] (теорема 3.1). Крiм
того, кожен когерентний пучок над H розкладається у пряму суму векторних розшарувань
та хмарочосiв, тобто пучкiв з носiєм у однiй (замкненiй) точцi. Нерозкладний хмарочос F з
носiєм у точцi x ∈ s̃gA iзоморфний фактору Px/P ′, де Px — нерозкладний проективний Hx-
модуль. Бiльш того, завжди iснує векторне розшарування P над H таке, що Px ' Px. При
цьому EndHx Px ' Õx, отже, EndH P ' Õi, де Xi — компонента X̃ , яка мiстить точку x. Такi
векторнi розшарування ми називатимемо лiнiйними розшаруваннями. Вiдомо (див., наприклад,
[8]), що ґратка пiдмодулiв у нерозкладному проективному Hx-модулi є ланцюгом. Тому в P
iснує єдиний пiдпучок P ′ такий, що P/P ′ ' F , до того ж F однозначно визначається своєю
довжиною l = lengthHF i фактором U = F/JF , який є простимHx-модулем. Отже, у категорiї
D−(H) пучок F можна замiнити на комплекс
P(l, x,U) : 0→ P ′ → P → 0,
в якому P стоїть на нульовому мiсцi. Зсуви цього комплексу позначимо через P(x, l,U)[n]
(у цьому комплексi P стоїть на n-му мiсцi). Отже, кожен об’єкт з D−(H) можна розглядати як
пряму суму зсунутих векторних розшарувань P[n] i зсунутих комплексiв P(x, l,U)[n].
2. Кривi струнного типу. Нагадаємо, що вузлову некомутативну криву називають кривою
струнного типу, якщо всi компоненти Xk є рацiональними, тобто iзоморфними P1, а кожен
перетин s̃gkA = s̃gA∩Xk мiстить щонайбiльше двi точки. У цьому випадку кожне нерозкладне
векторне розшарування над H є лiнiйним [1, 4] i з точнiстю до пiдкрутки визначається своїми
локалiзацiями в особливих точках. Тому цi розшарування зручно занумерувати в такий спосiб.
Випадок 1. Нехай x — єдина точка з s̃gkA, до того ж Hx має n простих модулiв, тобто
Hx є Морiта-еквiвалентною до алгебри R(1;n) у позначеннях [1] (теорема 2.1). Нерозкладнi
проективнi Hx-модулi P1, P2, . . . , Pn можна вибрати так, що Pi+1 = JxPi при 1 ≤ i < n,
а JxPn = tP1, де t — унiформiзуючий елемент з Õx. Зафiксуємо такi лiнiйнi розшарування
P(x, i), 1 ≤ i ≤ n, що P(x, i)x = Pi. Тодi кожне лiнiйне розшарування над Hi iзоморфне
P(x, i)(d) для деякого d. Позначимо U(x, i) = Pi/JxPi (це простий Hx-модуль).
Випадок 2. Нехай тепер s̃gkA = {x, y }, до того ж Hx має n простих модулiв, а Hy
— m простих модулiв. Виберемо нерозкладнi проективнi Hx-модулi P1, P2, . . . , Pn так, що
Pi+1 = JxPi при 1 ≤ i < n, а JxPn = tP1, де t — унiформiзуючий елемент з Õx. Виберемо
нерозкладнi проективнi Hy-модулi P ′1, P
′
2, . . . , P
′
m так, що P ′i+1 = JyP ′i при 1 ≤ i < m, а
JyP ′m = t′P ′1, де t′ — унiформiзуючий елемент з Õy. Зафiксуємо такi лiнiйнi розшарування
P(x, i, j), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, що P(x, i, j)x = Pi, а P(x, i, j)y = P ′j . Тодi кожне лiнiйне
розшарування над Hi iзоморфне P(x, i, j)(d) для деякого d. Зауважимо, що в цьому випадку
ми можемо помiняти ролями точки x та y. Тодi пучок P(x, i, j) перейменується в P(y, j, i).
Позначимо U(x, i) = Pi/JxPx i U(y, j) = P ′j/JyP ′j .
Далi ми фiксуємо таку нумерацiю. Вiдповiдно, нерозкладнi хмарочоси з носiєм x будуть
зображенi комплексами вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1036 Д. Є. ВОЛОШИН, Ю. А. ДРОЗД
P(l, x, i) : 0→ P(x, i′)(d)→ P(x, i)→ 0
або
P(l, x, i) : 0→ P(x, i′, j)(d)→ P(x, i, j)→ 0,
де l = i′ − i + dn, до того ж у другому випадку рiзнi iндекси j дають комплекси, iзоморфнi в
D−(H). Крiм того, цi комплекси iзоморфнi будь-якiй своїй пiдкрутцi.
Отже, в категорiї D−(H) кожен комплекс iзоморфний прямiй сумi зсунутих лiнiйних розша-
рувань P(x, i)(d)[r] або P(x, i, j)(d)[r] та зсунутих комплексiв P(l, x, i)[r]. У категорiї D−(S̃)
образом P(x, i)[r] є зсунутий простий модуль U(x, i)[r] над Hx;
образом P(x, i, j)(d)[r] є пряма сума зсунутих простих модулiв U(x, i)(d)[r]⊕U(y, j)(d)[r]
вiдповiдно над Hx та Hy;
образом комплексу P(l, x, i)[r] є пряма сума зсунутих простих модулiв U(x, i)[r] та
U(x, i′)[r + 1].
Легко переконатися, що аналогiчно [5] морфiзми комплексiв з D−(H) iндукують ненульовi
морфiзми їхнiх образiв у D−(S̃) лише в наступних випадках (з точнiстю до зсуву):
(1) морфiзми P(x, i)(d)→ P(x, i)(d′) при d ≤ d′;
(2) морфiзми P(x, i, j)(d) → P(x, i, j′)(d′) при d < d′ або d = d′, j′ < j, якi iндукують
ненульове вiдображення на U(x, i) й нульове на U(y, j);
(3) морфiзми P(x, i, j)(d) → P(x, i′, j)(d′) при d < d′ або d = d′, i′ < i, якi iндукують
ненульове вiдображення на U(y, j) й нульове на U(x, i);
(4) морфiзми P(x, i, j)(d) → P(x, i, j)(d), якi iндукують однаковi вiдображення на U(x, i)
й U(y, j);
(5) морфiзми P(x, i)(d)→ P(l, x, i) або P(x, i, j)→ P(l, x, i)(d) при довiльних d та j;
(6) морфiзми P(l, x, i) → P(x, i′)(d)[1] або P(l, x, i) → P(x, i′, j)(d)[1] при довiльних d
та j;
(7) морфiзми P(l, x, i) → P(l1, x, i) при l1 < l, якi iндукують ненульове вiдображення на
компонентi U(x, i) й нульове на компонентi U(x, i′)[1];
(8) морфiзми P(l, x, i) → P(l1, x, i1) при l < l1, l + i ≡ l1 + i1 (mod n), якi iндукують
ненульове вiдображення на компонентi U(x, i′)[1] i нульове на компонентi U(x, i);
(9) морфiзми P(l, x, i) → P(l, x, i), якi iндукують однаковi вiдображення на обох компо-
нентах U(x, i) та U(x, i′).
Це дає можливiсть ототожнити зведену категорiю трiйок T (A) з деякою категорiю зображень
в’язки ланцюгiв у розумiннi [9, 10].
Визначимо в’язку ланцюгiв B = B(A) таким чином.
Множина iндексiв в’язки B — це множина трiйок I = { (x, i)[r] }, де x ∈ s̃gA, r ∈ Z, а
1 ≤ i ≤ n, де n — кiлькiсть простих Hx-модулiв.
F(x,i)[r] = { (x, i)[r] }.
E(x,i,r) складається з таких символiв:
четвiрок (x, i, d)[r] (d ∈ Z), якщо x — єдина особлива точка на своїй компонентi;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПОХIДНI КАТЕГОРIЇ ВУЗЛОВИХ КРИВИХ 1037
п’ятiрок (x, i, j, d)[r] (d ∈ Z, 1 ≤ j ≤ m), якщо на цiй компонентi крiм x є й iнша особлива
точка y, до того ж Hy має m простих модулiв;
четвiрок (l, x, i)[r], де l ∈ Z \ {0}.
Четвiрка (l, x, i)[r] символiзує r-ту компоненту комплексу P(l, x, i)[r] при l > 0 й r-ту компо-
ненту комплексу P(−l, x, i′)[r − 1], де i′ ≡ i+ l (mod n), при l < 0.
Порядок на E(x,i)[r] визначається в такий спосiб:
(x, i, d)[r] < (x, i, d′)[r] тодi й тiльки тодi, коли d < d′;
(x, i, j, d)[r] < (x, i, j′, d′)[r] тодi й тiльки тодi, коли d < d′ або d = d′, j > j′;
(l, x, i)[r] < (x, i, d)[r] < (l′, x, i)[r] при довiльних l < 0, l′ > 0 та d;
(l, x, i)[r] < (x, i, j, d)[r] < (l′, x, i)[r] при довiльних l < 0, l′ > 0, j та d;
(l, x, i)[r] < (l′, x, i)[r] тодi й тiльки тодi, коли l < l′.
Вiдношення ∼ визначається в такий спосiб:
(x, i, j, d)[r] ∼ (y, j, i, d)[r], якщо x i y належать однiй незвiднiй компонентi;
(l, x, i)[r] ∼ (−l, x, i′)[r + 1], якщо l > 0, а i′ ≡ l + i (mod n);
(x, i)[r] ∼ (x, i)[r], якщо iснують два рiзнi простi S-модулi V та V ′, для яких π̄∗V ' π̄∗V ′ '
' U(x, i) (нагадаємо, що таких модулiв завжди не бiльше двох [11]);
(x, i) ∼ (x′, i′), якщо iснує такий простий A-модуль V , що π̄∗V ' U(x, i)⊕ U(x′, i′).
З попереднiх розглядiв безпосередньо випливає наступна основна теорема.
Теорема 2.1. Якщо (X,A) — вузлова некомутативна крива струнного типу, то зведена
категорiя трiйок T (A) еквiвалентна повнiй пiдкатегорiї категорiї зображень в’язки ланцюгiв
B(A), що складається з таких зображень M, у яких усi матрицi M(x,i)[r] обертовнi.
Зауважимо, що оскiльки йдеться про категорiю D−(A), в якiй комплекси обмеженi лише
справа, то в цiй теоремi, як i в теоремi 3.1 з наступного пункту, потрiбно врахувати нескiнченнi
зображення в’язки B(A), розглянутi в [10] (додаток C). Скiнченнi зображення описують об’єк-
ти похiдної категорiї Dper(A) досконалих комплексiв, тобто таких, якi iзоморфнi (у похiднiй
категорiї) скiнченним комплексам векторних розшарувань.
Оскiльки нерозкладнi зображення в’язки ланцюгiв — це струни й стрiчки (див. [9, 10]),
до того ж при фiксованiй розмiрностi кiлькiсть струн скiнченна, а стрiчки параметризуються
елементами поля k, одержуємо такий наслiдок.
Наслiдок 2.1. Кожна вузлова некомутативна крива струнного типу є похiдно ручною в
розумiннi [12].
Зауваження 2.1. Нагадаємо, що досконала похiдна категорiя Dper(A) є густою в похiд-
нiй категорiї обмежених комплексiв Db(A) [13], тому визначена фактор-категорiя Dsg(A) =
= Db(A)/Dper(A), яка вимiрює „нерегулярнiсть” кривої A, тобто те, наскiльки вона вiдрiзня-
ється вiд такої, на якiй категорiя когерентних пучкiв має скiнченну гомологiчну розмiрнiсть.
Оскiльки в описi об’єктiв з D−(A) параметр виникає лише в стрiчках, якi напевне вiдповiдають
комплексам з Dper(A), для кривих струнного типу категорiя Dsg(A) є дискретною, тобто не
має нетривiальних сiмей неiзоморфних нерозкладних комплексiв.
Те саме стосується й кривих майже струнного типу, якi розглядаються в наступному пунктi.
3. Кривi майже струнного типу. Нагадаємо, що вузлову некомутативну криву називають
кривою майже струнного типу, якщо всi компоненти Xk є рацiональними, тобто iзоморфни-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1038 Д. Є. ВОЛОШИН, Ю. А. ДРОЗД
ми P1, а кожен перетин s̃gkA = s̃gA ∩ Xk мiстить щонайбiльше три точки, до того ж якщо
цих точок три, то для двох з них алгебра Aπ(x) є спадковою й має два простi модулi, тобто є
Морiта-еквiвалентною до алгебри R(1; 2) у позначеннях [1] (теорема 2.2). Цi точки називати-
мемо «зайвими» й позначатимемо через s̃g′kA множину s̃gkA, з якої вилучено зайвi точки, а
s̃g′A = ∪k s̃g′A. Точку x ∈ s̃g′kA назвемо спецiальною, якщо на компонентi Xk є зайвi точки.
Компоненту Xk назвемо спецiальною, якщо на нiй є спецiальнi точки.
Векторнi розшарування на неспецiальних компонентах Hk залишаються такими ж, як у
випадку струнного типу. Нехай Xk — спецiальна компонента, x ∈ Xk — спецiальна точка, а
x1, x2 — зайвi точки з компоненти Xk. Припустимо, що Hx має n простих модулiв, тобто є
Морiта-еквiвалентною доR(1;n). Тодi з [1, 4] випливає, що нерозкладнi векторнi розшарування
над Hk є такими:
1. Лiнiйнi розшарування P(x, i | c1, c2)(d), де 1 ≤ i ≤ n, d ∈ Z, а c1, c2 ∈ { 1, 2 }. Це таке
лiнiйне розшарування P степеня d, що P/JP ' U(x, i)⊕ U(x1, c1)⊕ U(x2, c2).
2. Для кожної пари 1 ≤ i < j ≤ n i кожного d ∈ Z ще два такi нерозкладнi векторнi
розшарування P(i, j | c)(d), де c ∈ { 1, 2 }, що degP(i, j | c)(d) = 2d− c+ 1,
P(i, j | c)(d)/JP(i, j | c)(d) ' U(x, i)⊕ U(x, j)⊕
⊕U(x1, 1)⊕ U(x1, 2)⊕ U(x2, 1)⊕ U(x2, 2),
до того ж iснують точнi послiдовностi
0→ P(j | 1, 2)(d)→ P(i, j | 1)(d)→ P(i | 2, 1)(d)→ 0, (3.1)
0→ P(j | 2, 1)(d)→ P(i, j | 1)(d)→ P(i | 1, 2)(d)→ 0, (3.2)
0→ P(j | 1, 1)(d− 1)→ P(i, j | 2)(d)→ P(i | 2, 2)(d)→ 0, (3.3)
0→ P(j | 2, 2)(d)→ P(i, j | 2)(d)→ P(i | 1, 1)(d− 1)→ 0, (3.4)
а також
0→ P(i | 1, 1)(d− 1)→ P(i, j | 1)(d)→ P(j | 2, 2)(d+ 1)→ 0, (3.5)
0→ P(i | 2, 2)(d)→ P(i, j | 1)(d)→ P(j | 1, 1)(d)→ 0, (3.6)
0→ P(i | 1, 2)(d− 1)→ P(i, j | 2)(d)→ P(j | 2, 1)(d)→ 0, (3.7)
0→ P(i | 2, 1)(d− 1)→ P(i, j | 2)(d)→ P(j | 1, 2)(d→ 0). (3.8)
Можна переконатися, що ненульовi вiдображення в категорiї D−(S̃) iндукуються лише морфiз-
мами (1) – (9) з попереднього пункту, морфiзмами, якi входять до послiдовностей (3.1) – (3.8),
та їх композицiями. Тому категорiю T (A) знову можна ототожнити з категорiєю зображень
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ПОХIДНI КАТЕГОРIЇ ВУЗЛОВИХ КРИВИХ 1039
деякої в’язки ланцюгiв B = B(A), яка будується аналогiчно струнному випадку, а саме в
такий спосiб.
Множина iндексiв в’язки B — це множина трiйок I = { (x, i)[r] }, де x ∈ s̃g′A, r ∈ Z, а
1 ≤ i ≤ nx, nx — кiлькiсть простих Hx-модулiв.
F(x,i)[r] = { (x, i)[r] }.
Якщо точка x не є спецiальною, то множина E(x,i)[r] i порядок на нiй визначаються, як у
струнному випадку.
Якщо точка x є спецiальною, то множина E(x,i)[r] складається з таких символiв:
п’ятiрок (x, i, d | c)[r] (d ∈ Z, c ∈ { 1, 2 });
шiсток (x, i, j, d | c)[r] (d ∈ Z, c ∈ { 1, 2 } , j 6= i, 1 ≤ j ≤ nx);
четвiрок (l, x, i)[r] (l ∈ Z \ {0}).
Порядок на E(x,i)[r] при цьому визначається таким чином:
(x, i, j, d | 2)[r] < (x, i, j′, d | 2)[r] < (x, i, d | 2)[r] < (x, i, j, d | 1)[r] < (x, i, j′, d | 1)[r] <
< (x, i | 1)[r] < (x, i, j, d′ | 2)[r] при довiльних d, j, d′ > d, j′ < j < i;
(x, i, d | 2)[r] < (x, i, j, d | 2)[r] < (x, i, j′, d | 2)[r] < (x, i, d | 1)[r] < (x, i, j, d | 1)[r] <
< (x, i, j′, d | 1)[r] < (x, i, d′ | 1)[r] при довiльних d, j, d′ > d, j > j′ > i;
(l, x, i)[r] < (x, i, d | c)[r] < (l′, x, i)[r] при довiльних c, d, l < 0, l′ > 0;
(l, x, i)[r] < (x, i, j, d | c)[r] < (l′, x, i)[r] при довiльних c, d, j, l < 0, l′ > 0;
(l, x, i)[r] < (l′, x, i)[r] тодi й тiльки тодi, коли l < l′.
Вiдношення ∼ визначається, як у струнному випадку, з додачею того, що (x, i, d | c)[r] ∼
∼ (x, i, d | c)[r] i (x, i, j, d | c)[r] ' (x, j, i, d | c)[r].
У цьому кодуваннi символ (x, i, d | 1) вiдповiдає розшаруванням P(x, i | 1, 2)(d) та P(x, i |
| 2, 1)(d), символ (x, i, d | 2) — розшаруванням P(x, i | 2, 2)(d) та P(x, i | 1, 1)(d − 1), а символ
(x, i, j | c)(d) — розшаруванню P(x, i, j | c)(d) при i < j i розшаруванню P(x, j, i | c)(d) при
i > j.
Знов-таки з попереднiх мiркувань випливає наступна теорема.
Теорема 3.1. Якщо (X,A) — вузлова некомутативна крива майже струнного типу, то
зведена категорiя трiйок T (A) еквiвалентна повнiй пiдкатегорiї категорiї зображень в’язки
ланцюгiв B(A), що складається з таких зображень M , у яких усi матрицi M(x,i)[r] обертовнi.
Наслiдок 3.1. Кожна вузлова некомутативна крива майже струнного типу є похiдно
ручною.
1. Drozd Y. A., Voloshyn D. E. Vector bundles over noncommutative nodal curves // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2.
– С. 185 – 199.
2. Drozd Y., Greuel G.-M. Tame and wild projective curves and classification of vector bundles // J. Algebra. – 2001. –
246, № 1. – P. 1 – 54.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1040 Д. Є. ВОЛОШИН, Ю. А. ДРОЗД
3. Drozd Y., Greuel G.-M., Kashuba I. On Cohen – Macaulay modules on surface singularities // Moscow Math. J. –
2003. – 3, № 2. – P. 397 – 418.
4. Geigle W., Lenzing H.. A class of weighted projective curves arising in representation theory of finite dimensional
algebras // Singularities, Representations and Vector Bundles. Lect. Notes Math. – 1987. – 1273. – P. 265 – 297.
5. Burban I., Drozd Y. Coherent sheaves on rational curves with simple double points and transversal intersections //
Duke Math. J. – 2004. – 21, № 2. – P. 129 – 229.
6. Hartshorne R. Algebraic geometry. – Springer, 1977. – xvi+496 p.
7. Lenzing H. Hereditary categories // Handb. Tilting Theory. London Math. Soc. Lect. Note Ser. – Cambridge Univ.
Press, 2007. – 332. – P. 105 – 146.
8. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В., Ройтер А. В. О наследственных и бассовых порядках // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1967. – 31, № 6. – С. 1415 – 1436.
9. Бондаренко В. М. Представления связок полуцепных множеств и их приложения // Алгебра и анализ. – 1991.
–3, № 5. – С. 38 – 61.
10. Burban I., Drozd Y. Derived categories of nodal algebras // J. Algebra. – 2004. – 272, № 1. – P. 46 – 94.
11. Волошин Д. Є. Будова нодальних алгебр // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 880 – 888.
12. Drozd Y. A. Derived tame and derived wild algebras // Algebra and Discrete Math. – 2004. – № 1. – P. 54 – 74.
13. Neeman A. Triangulated categories. – Princeton Univ. Press, 2001. – vii+449 p.
Одержано 19.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|