Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье
З використанням точної оцiнки наближення вiдомими тригонометричними полiномами одержано пiдсилення теореми типу Джексона. Бiльш того, знайдено точний порядок наближення окремих довiльних перiодичних функцiй цими полiномами. Для цього введено спецiальний модуль гладкостi....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164451 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 954-969. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164451 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644512020-02-10T01:28:34Z Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье Котова, О.В. Тригуб, Р.М. Статті З використанням точної оцiнки наближення вiдомими тригонометричними полiномами одержано пiдсилення теореми типу Джексона. Бiльш того, знайдено точний порядок наближення окремих довiльних перiодичних функцiй цими полiномами. Для цього введено спецiальний модуль гладкостi. By using an exact estimate for approximation by known trigonometric polynomials, we strengthen a Jackson-type theorem. Moreover, we determine the exact order of approximation of some periodic functions by these polynomials. For this purpose, we introduce a special modulus of smoothness. 2012 Article Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 954-969. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164451 517.5 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Котова, О.В. Тригуб, Р.М. Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье Український математичний журнал |
| description |
З використанням точної оцiнки наближення вiдомими тригонометричними полiномами одержано пiдсилення теореми типу Джексона. Бiльш того, знайдено точний порядок наближення окремих довiльних перiодичних функцiй цими полiномами. Для цього введено спецiальний модуль гладкостi. |
| format |
Article |
| author |
Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| author_facet |
Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| author_sort |
Котова, О.В. |
| title |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье |
| title_short |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье |
| title_full |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье |
| title_fullStr |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье |
| title_full_unstemmed |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье |
| title_sort |
точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов фурье |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164451 |
| citation_txt |
Точный порядок приближения периодических функций одним неклассическим методом суммирования рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 954-969. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kotovaov točnyjporâdokpribliženiâperiodičeskihfunkcijodnimneklassičeskimmetodomsummirovaniârâdovfurʹe AT trigubrm točnyjporâdokpribliženiâperiodičeskihfunkcijodnimneklassičeskimmetodomsummirovaniârâdovfurʹe |
| first_indexed |
2025-07-14T17:00:30Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:00:30Z |
| _version_ |
1837642475268734976 |
| fulltext |
УДК 517.5
О. В. Котова, Р. М. Тригуб (Донец. нац. ун-т)
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ
By using an exact estimate for approximation by known trigonometric polynomials, we strengthen a Jackson-type theorem.
Moreover, we determine the exact order of approximation of some periodic functions by these polynomials. For this
purpose, we introduce a special modulus of smoothness.
З використанням точної оцiнки наближення вiдомими тригонометричними полiномами одержано пiдсилення тео-
реми типу Джексона. Бiльш того, знайдено точний порядок наближення окремих довiльних перiодичних функцiй
цими полiномами. Для цього введено спецiальний модуль гладкостi.
1. Введение. Порядок приближения непрерывной 2π-периодической функции (будем писать:
f ∈ C(T), T = [−π;π]) тригонометрическими полиномами порядка n при росте n часто
выражают через модуль гладкости ωs
(
f ;
π
n
)
, который определяется следующим образом (‖ · ‖
— норма в C(T)):
ωs(f ;h) = sup
0<δ≤h
‖∆s
δf(·)‖, ∆1
δf(x) = f(x)− f(x+ δ).
Модуль непрерывности ω = ω1 использовал еще Лебег, ωs при s ≥ 2 ввел С. Н. Бернштейн в
1914 г., а основные свойства изучил A. Marchaud (1927 г.) (см., например, [1], гл. 3 и 4).
Известно, например, что
ωs(f ;h) = O(hα), 0 < α ≤ s, h→ +0,
тогда и только тогда, когда:
1) f [α] ∈ Lip(α− [α]) при α /∈ N;
2) ω2(f
(α−1);h) = O(h) при целых α < s (условие Зигмунда);
3) f (s−1) ∈ Lip 1 при α = s.
В теории приближений часто используют полиномы вида
τr,n(f) = τr,n(f ;x) =
1
2παr,n
π∫
−π
f(x+ t)Dr
n(t)dt,
где
Dn(t) =
sin(n+ 1/2)t
sin t/2
, αr,n =
1
2π
π∫
−π
Dr
n(t)dt
(r ∈ N, порядок τr,n равен rn).
При r = 1 это частные суммы Sn(f) ряда Фурье f, при r = 2 — полиномы Фейера σn(f), а
при r = 4 — полиномы Джексона. При четном r это положительные операторы. Известно, что
(c — абсолютная константа)
‖f − Sn(f)‖ ≤ cω
(
f ;
π
n
)
(1 + lnn),
c© О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ, 2012
954 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 955
‖f − σn(f)‖ ≤ cω
(
f ;
ln(n+ 1)
n
)
,
а при r ≥ 4 в силу четности ядра
‖f − τr,n(f)‖ = sup
x
∣∣∣∣∣∣ 1
2παr,n
π∫
0
[
f(x− t)− 2f(x) + f(x+ t)
]
Dr
n(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
x
1
2π|αr,n|
π∫
0
∣∣f(x− t)− 2f(x) + f(x+ t)
∣∣∣∣Dn(t)
∣∣rdt ≤
≤ 1
2π|αr,n|
π∫
0
ω2(f ; t)
∣∣Dn(t)
∣∣rdt ≤ c(r)ω2
(
f ;
π
n
)
(подробнее см. в [1] или [2]).
При r = 3 так можно получить оценку ω
(
f ;
π
n
)
и только ω2
(
f ;
√
ln(n+ 1)
n
)
. На самом
деле, как доказано в [3], при r ≥ 3
‖f − τr,n(f)‖ � ω2
(
f ;
π
n
)
(двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими лишь от r). Такие
двойные (порядковые) неравенства с правой частью вида ω
(
f ;
π
n
)
и ω2
(
f ;
π
n
)
доказаны в [3]
для сверток функций с ядрами довольно общего вида. Оценки приближения сверху называют
прямыми теоремами, а такие же оценки снизу, которые появились в работах второго из авторов
еще в 60-е годы прошлого века, сейчас часто называют „strong converse theorem” (см., например,
[4] и приведенную там библиографию).
Аналогичные двойные неравенства получены и для модулей гладкости ωs нецелого порядка
s (см. [2]).
Впервые С. Б. Стечкин [5] построил полиномы с порядком приближения не хуже ωs
(
f ;
π
n
)
при любом целом s ≥ 3. При s = 2 они имеют вид
τ̃4,n(f ;x) =
1
2πα4,n
π∫
−π
[
2f(x+ t)− f(x+ 2t)
]
D4
n(t)dt (1)
(см., например, [1, 2]).
Как будет доказано в настоящей статье, приближение такими полиномами лучше, чем
полиномами τ4,n(f) Джексона. Здесь найден точный порядок приближения такими полиномами
(двусторонние оценки).
Доказательство проводится методом мультипликаторов, а для этого нужно знать коэффици-
енты полиномов τ̃4,n(f) (см. ниже перед леммой 3):
τ̃4,n(f) =
∑
k∈Z
ϕn
(
|k|
n
)
f̂kek, f̂k =
1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt, ek = ek(x) = eikx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
956 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
ϕn(x) = 0 при |x| ≥ 4 +
1
n
, а при |x| < 4 +
1
n
и γn = 16 +
24
n
+
14
n2
+
3
n3
γnϕn(x) =
−9|x|3 + 6
(
2 +
1
n
)
x2 + 16 +
24
n
+
14
n2
+
3
n3
, |x| ∈ [0, 1),
7|x|3 − 18
(
2 +
1
n
)
x2 + 8
(
6 +
6
n
+
1
n2
)
|x|+ 6
n2
+
3
n3
, |x| ∈ [1, 2),
3|x|3 − 6
(
2 +
1
n
)
x2 + 32 +
48
n
+
22
n2
+
3
n3
, |x| ∈
[
2, 2 +
1
n
)
,(
4− |x|+ 1
n
)(
4− |x|+ 2
n
)(
4− |x|+ 3
n
)
, |x| ∈
[
2 +
1
n
, 4 +
1
n
]
,
(2)
ϕn(0) = 1 и существует единственное число xn > 0 такое, что ϕn(±xn) = 1.
Ранее доказано (см., например, [2, с. 363]), что
c(s)ωs(f ;h) ≤
∥∥∥∥∥∥
1∫
0
∆s
htf(·)dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ ωs(f ;h)
(c(s) > 0 и зависит только от s).
Оценка сверху очевидна, а для оценки снизу используется классическая теорема Линдемана
о трансцендентности значений показательной функции.
Введем усредненную первую разность, связанную с точкой xn:
∆1
h,xnf(x) =
1∫
0
[
∆1
htf(x)− λn∆2
htf(x)
]
dt,
где
λn =
2(ixn + 1− eixn)
2ixn + 3− 4eixn + e2ixn
(вещественная часть знаменателя 2(1− cosxn)2 > 0).
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема . Для любой функции f ∈ C(T) при любом n ∈ N
‖f − τ̃4,n(f)‖ � ‖∆1
1
n
,xn
∆1
1
n
,−xnf(·)‖
(двустороннее неравенство с положительными абсолютными константами).
Из этой теоремы следует такое же двустороннее неравенство и по норме в Lp(T), 1 ≤ p ≤ ∞
(см. ниже п. 3. в лемме 1).
Порядок насыщения
1
n2
и класс насыщения — это класс W 2(T) периодических функций с
производной из Lip 1 (доказывается стандартным способом).
Если еще воспользоваться известным неравенством [1, 2]
ETn (f) := min
{ak}n−n
∥∥∥∥∥f −
n∑
k=−n
akek
∥∥∥∥∥ ≤ π
2
1
ns
ETn (f (s)), f ∈ Cs(T),
то получим такое утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 957
Следствие. Для f ∈ Cs(T)
ETn (f) ≤ c 1
ns
∥∥∥∥∆1
1
n ,xn
∆1
1
n ,−xn
f (s)(·)
∥∥∥∥ .
Особенность этих полиномов заключается в следующем. В случае классических полиномов,
когда множество неподвижных точек оператора τn одномерно (константы), последовательность
норм ‖f − τn(f)‖ с ростом n почти убывает. Например, для сумм Фейера при m > n
‖f − σm(f)‖ ≤ 4‖f − σn(f)‖.
Для полиномов τ̃4,n никакой почти монотонности быть не может. Действительно, если при
n→∞ xn −
pn
qn
→ 0 (pn и qn ∈ N), то для f = epn и m = 2qn, например, было бы
∥∥epn − τ̃4,m(epn)
∥∥ =
∣∣∣∣1− ϕ2qn
(
pn
2qn
)∣∣∣∣ ≤ c ∣∣∣∣1− ϕqn (pnqn
)∣∣∣∣ ,
где правая часть стремится к нулю при n→∞, а левая — нет.
Заметим еще, что для доказательства теоремы нельзя брать r = 3.
Через c, возможно с разными индексами, будем обозначать некоторые абсолютные поло-
жительные константы.
2. Доказательства. Комплекснозначная числовая последовательность {λk}∞−∞ является
мультипликатором из C(T) в C(T), если для любой функции f ∈ C(T) ряд∑
k∈Z
λkf̂kek ∼ Λf
является рядом Фурье некоторой функциии Λf ∈ C(T) и∥∥{λk}∥∥M = sup
‖f‖≤1
‖Λf‖ <∞.
Такие операторы перестановочны со сдвигом и являются свертками функции f с некоторыми
мерами на окружности.
Аналогично определяется мультипликатор из Lp(T) в Lp(T), 1 ≤ p ≤ ∞ ({λk} ∈ Mp), и
всегда
∥∥{λk}∥∥Mp
≤
∥∥{λk}∥∥M (см., например, [6], гл. I и VI или [7], гл. 16).
При доказательстве нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 1 (принцип сравнения, [2, с. 316]). 1. Пусть
Λf ∼
∑
k∈Z
λkf̂kek, Λ̃f ∼
∑
k∈Z
λ̃kf̂kek.
Если из λk = 0 следует, что и λ̃k = 0 (это и необходимо), то
∥∥Λ̃f
∥∥ ≤ K∥∥Λf
∥∥, K = inf
0
0
∥∥∥∥∥
{
λ̃k
λk
}∥∥∥∥∥
M(
нижняя грань относится к выбору дробей вида
0
0
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
958 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
2. Если, к тому же, (I−Λ) — компактный оператор в C(T ), где I — единичный оператор,
то ∥∥Λ̃f
∥∥ ≤ K∥∥Λf
∥∥ (3)
для всех f ∈ C(T) тогда и только тогда, когда
inf
0
0
∥∥∥∥∥
{
λ̃k
λk
}∥∥∥∥∥
M
≤ K.
3. Из условий пункта 2 и неравенства (3) следует такое же неравенство по норме в Lp(T),
1 ≤ p ≤ ∞.
В случае λk = g(εk), g ∈ C(R), ε > 0 важно определить принадлежность g банаховой
алгебре (относительно поточечного сложения и умножения)
B(R) =
g : g(x) =
∞∫
−∞
e−ixtdµ(t), ‖g‖B = varµ <∞
,
где µ — конечная на R комплекснозначная борелевская мера, а varµ — ее полная вариация, так
как в этом случае
sup
ε>0
∥∥{g(εk)}
∥∥
M
= ‖g‖B
(см. [6, 7, 2]).
Если мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, т. е. dµ = hdx, то получим
подалгебру A(R) абсолютно сходящихся интегралов Фурье, которая является идеалом в B(R)
с нормой ‖g‖B = ‖g‖A = ‖h‖1.
Ниже мы воспользуемся достаточным условием принадлежности A(R), указанным Берлин-
гом (1938 г.) (см. обзорную статью и препринт [8]).
Лемма 2. Если g : R→ C локально абсолютно непрерывна на R, g и g′ ∈ L2(R), то
‖g‖A ≤ c
(
‖g‖2 + ‖g′‖2
)
.
Перейдем непосредственно к доказательству теоремы.
Очевидно, что
∆1
h,xnek(x) = ek(x)
1∫
0
[
1− eikht − λn
(
1− eikht
)2]
dt.
Введем функцию
ψn(x) =
1∫
0
[
1−eixt−λn
(
1− eixt
)2 ]
dt = 1−λn+(2λn−1)
eix − 1
ix
−λn
e2ix − 1
2ix
, ψn(0) = 0.
Тогда
∆1
h,xnf ∼
∑
k∈Z
ψn(kh)f̂kek.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 959
В силу леммы 1 нужно проверить для оценки приближения сверху и снизу соответственно, что
sup
n
∥∥∥∥{gn(kn
)}∥∥∥∥
M
<∞, sup
n
∥∥∥∥∥∥∥∥
1
gn
(
k
n
)
∥∥∥∥∥∥∥∥
M
<∞,
где при x ∈ R
gn(x) =
1− ϕn(x)
ψn(x)ψn(−x)
, gn(∞) =
1
(1− λn)2
.
Учитывая, что норма в M постоянной последовательности равна модулю ее члена, а |gn(∞)| =
= O(1) (см. ниже (15) и (12)), будем доказывать (см. лемму 2), что
sup
n
‖gn − gn(∞)‖2 + sup
n
‖g′n‖2 <∞, sup
n
∥∥∥∥ 1
gn
− 1
gn(∞)
∥∥∥∥
2
+ sup
n
∥∥∥∥( 1
gn
)′∥∥∥∥
2
<∞. (4)
Определим сначала функцию ϕn (см. (2)).
Коэффициенты ядра Dr
n вычислены в [3] (лемма 1). В частности, при r = 4
D4
n(t) =
1
β4n
4n∑
k=−4n
β|k|+4ne
ikt,
где βm = 0 при m > 8n, а при 0 ≤ m ≤ 8n
βm = 4
[
m
2n+1
]∑
ν=0
(−1)ν
(m− ν(2n+ 1) + 3)!
ν!(4− ν)!(m− ν(2n+ 1))!
.
Поскольку еще α4,n = β4n, множители при коэффициентах Фурье f̂k у полинома τ̃4,n (см. (1))
равны
ϕn
(
|k|
n
)
=
1
2πβ4n
π∫
−π
[
2eikt − e2ikt
]
D4
n(t)dt =
1
β4n
(2β|k|+4n − β2|k|+4n).
После простых преобразований получаем формулу (2).
Лемма 3. ϕn(0) = 1, ϕn имеет в нуле строгий минимум, ϕn(x) = 1 при x > 0 один раз в
точке xn. При этом при n ∈ N
1,386 < x0 = lim
n→∞
xn < xn ≤ 2.
Кроме того, при |x| ≤ 4 +
1
n
|1− ϕn(x)| ≤ cx2
∣∣|x| − xn∣∣, (5)
и
x2
∣∣|x| − xn∣∣ ≤ c|1− ϕn(x)|. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
960 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Доказательство. ϕn — это четный непрерывный сплайн, „склеенный” из восьми алгеб-
раических полиномов третьей степени. Графиком предельной функции
ϕ(x) = lim
n→∞
ϕn(x)
является сплайн третьей степени из C2(R) (минимального дефекта). В нуле — строгий мини-
мум, а производная на [0; 2] меняет знак один раз. Обозначим через x0 единственную точку на
(0; 2), в которой ϕ(x0) = 1. Тогда x0 = 1,3868 . . . .
График ϕn(x) имеет такой же вид. ϕn(0) = 1, на
[
0;
8
9
+
4
9n
]
ϕn строго возрастает, а далее
убывает, ϕn
(
4
3
)
> 1, ϕn(2) < 1 при n ≥ 2 и ϕ1(2) = 1. Так что ϕn(xn) = 1 при некотором
xn ∈
(
4
3
; 2
]
.
Уточним оценку снизу для xn. Для этого проверим, что ϕ(x) < ϕn(x) при x ∈ [x0; 2].
На этом отрезке
ϕn(x) =
7x3 − 36x2 + 48x+
6
n
(8x− 3x2) +
2
n2
(4x+ 3) +
3
n3
16 +
24
n
+
4
n2
+
3
n3
,
а
0 < ϕ(x) =
7x3 − 36x2 + 48x
16
≤ 1.
Учитывая, что 8x− 3x2 ≥ 4 на [1; 2], а
a+ ε
b+ ε
≥ a
b
при 0 < a ≤ b и ε > 0, получаем
ϕn(x) >
7x3 − 36x2 + 48x+
24
n
+
4
n2
+
3
n3
16 +
24
n
+
4
n2
+
3
n3
≥ ϕ(x).
Так что ϕn(x0) > ϕ(x0) = 1 = ϕn(xn), откуда x0 < xn.
А если limxn = x0 + ε, ε > 0, хотя бы по одной подпоследовательности n, то ϕ(x0 + ε) =
= limϕn(xn) = 1, что невозможно, так как 1 = ϕ(x0) > ϕ(x0 + ε). Неравенство (5) становится
очевидным, если заметить, что ϕn на каждом из промежутков определения (см. (2)) является
полиномом третьей степени с ограниченными по n коэффицентами, а точки 0 и xn отделены
абсолютной константой 1.
Для доказательства неравенства (6) достаточно проверить, что при |x| ≤ 4 +
1
n
и некотором
c > 0
|1− ϕn(x)| ≥ cmin
{
x2,
∣∣|x| − xn∣∣}.
Действительно, если h(x) ≥ min{h1(x), h2(x)}, где h1(x) ≥ 0 и h2(x) ≥ 0, то при h1(x) ≤
≤ h2(x), например,
h(x) ≥ h1(x)h2(x)
1
h2(x) + 1
≥ 1
1 + maxh2(x)
h1(x)h2(x).
Считаем далее, что n ≥ 5 (при n ≤ 4 рассуждения упрощаются).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 961
Минимум ϕ′n на (1; 2) достигается в точке
12
7
+
6
7n
. Поэтому
|ϕ′n(x)| ≥ min{|ϕ′n(1 + 0)|, |ϕ′n(2− 0)|}.
Но |ϕ′n(1 + 0)| ≥ 0,012, а |ϕ′n(2− 0)| ≥ 0,5. Тогда на [1; 2]∣∣∣∣1− ϕn(x)
x− xn
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ϕ′n(xn + u(x− xn))du
∣∣∣∣∣∣ =
=
1∫
0
|ϕ′n(xn + u(x− xn))|du ≥ min{|ϕ′n(1 + 0)|, |ϕ′n(2− 0)|} ≥ 0,012.
А при x ≥ 2 имеем 1− ϕn(x) ≥ 0,333, так как ϕn(2) ≤ 0,667. Так что
|1− ϕn(x)| ≥ c1
∣∣|x| − xn∣∣ (
1 ≤ |x| ≤ 4 +
1
n
)
.
При x ∈ [0; 1] (и n ≥ 5), когда ϕ′′n — линейная функция,∣∣∣∣1− ϕn(x)
x2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
(1− u)ϕ′′n(ux)du
∣∣∣∣∣∣ ≥ 1
2
min{|ϕ′′n(0)|, |ϕ′′n(1− 0)|} ≥ 0,5.
При x ∈ [2; 5] 1− ϕn(x) ≥ 0,333 ≥ 0,013x2. Так что при |x| ≤ 1 и 2 ≤ |x| ≤ 5
|1− ϕn(x)| ≥ c2x2.
Поэтому при |x| ≤ 4 +
1
n
|1− ϕn(x)| ≥ min
{
c1
∣∣|x| − xn∣∣, c2x2},
и лемма 3 доказана.
Перейдем теперь к функции
ψn(x) = 1− λn + (2λn − 1)
eix − 1
ix
− λn
e2ix − 1
2ix
, ψn(0) = 0,
где
λn =
2(ixn + 1− eixn)
2ixn + 3− 4eixn + e2ixn
.
Число λn выбрано так, что ψ(xn) = 0.
Нужно проверить, что кроме 0 и xn у ψn других вещественных нулей нет.
Введем функцию R× (0;π]→ C
ψ(x, t) = 1− λ(t) + (2λ(t)− 1)
eix − 1
ix
− λ(t)
e2ix − 1
2ix
, (7)
где
λ(t) =
2(it+ 1− eit)
2it+ 3− 4eit + e2it
(ψn(x) = ψ(x, xn)).
Очевидно, что
ψ(0, t) ≡ ψ(t, t) ≡ 0, lim
t→+0
λ(t) =∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
962 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Лемма 4. Для того чтобы при фиксированном t ∈ (0;π] функция ψ(x, t) имела на R
только два нуля (x = 0 и x = t), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
e
1
2 (a(t)−a(t)) 6= λ(t)(λ(t)− 1)
λ(t)(λ(t)− 1)
e−it, (8)
где
a(t) =
2λ(t)(λ(t)− 1)e−it + 3λ(t) + λ(t)
2|λ(t)− 1|2
.
Доказательство. Сначала найдем все вещественные нули Re(1− λ(t))2ixψ(x, t).
При z = eix (вместо λ(t) будем писать просто λ)
e2ix
[
(1− λ)2ixψ(x, t)− (1− λ)2ixψ(x, t)
]
=
= e2ix
{
(1− λ)
[
2i(1− λ)x+ (4λ− 2)eix − λe2ix + 2− 3λ
]
+
+(1− λ)
[
−2i(1− λx+ (4λ− 2)e−ix − λe−2ix + 2− 3λ
]}
=
= λ(λ− 1)z4 + (4λ− 2)(1− λ)z3 +
[
(2− 3λ)(1− λ) + (2− 3λ)(1− λ)
]
z2+
+(4λ− 2)(1− λ)z + λ(λ− 1) =
= (z − 1)2
[
λ(λ− 1)z2 − 2|λ− 1|2z + λ(λ− 1)
]
(последнее равенство можно проверить умножением двух полиномов второй степени).
У функции ψ(x, t) оба нуля (x = 0 и x = t) простые (см. также ниже (11)). Поэтому
2e2ix Re(1− λ(t))2ixψ(x, t) = λ(t)(λ(t)− 1)(z − 1)2(z − eit)(z − z1(t)),
где z1(t) 6= 1 и z1(t) 6= eit.
Отметим, что λ(t) 6= 0, так как Re(it+ 1− eit) = 1− cos t > 0 и λ(t) 6= 1 (см. (15)).
Вид z1(t) определяем по известному произведению нулей полинома четвертой степени:
z1(t) =
λ(t)(λ(t)− 1)
λ(t)(λ(t)− 1)
e−it = eit1 , t1 6= 0, t1 6= t, t1 ∈ R.
Следовательно, если ψ(x, t) = 0, то x = 0, t или t1, где t1 определяется однозначно (см. (7)).
Используя равенство
λ(t)(λ(t)− 1)z21(t) = 2(λ(t)− 1)z1(t) + λ(t)(1− λ(t)), (9)
получаем
0 = 2ixψ(x, t) = 2i(1− λ(t))t1 + (4λ(t)− 2)z1(t)− λ(t)×
×
[
2(λ(t)− 1)
λ(t)
z1(t) +
λ(t)(1− λ(t))
λ(t)(λ(t)− 1)
]
+ 2− 3λ(t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 963
= 2i(1− λ(t))t1 + 2λ(t)z1(t) +
λ(t)(λ(t)− 1)
λ(t)− 1
+ 2− 3λ(t).
Учитывая еще вид z1(t), это равенство можно переписать в виде
it1 =
λ(t)
λ(t)− 1
eit1 +
λ(t)
2(λ(t)− 1)
+
2− 3λ(t)
2(λ(t)− 1)
=
=
λ(t)
λ(t)− 1
e−it +
3λ(t)− λ(t)− 2− 2|λ(t)|2
2|λ(t)− 1|2
=
=
2
(
|λ(t)|2 − λ(t)
)
e−it + 3λ(t) + λ(t)− 2− 2|λ(t)|2
2|λ(t)− 1|2
.
Справа — число чисто мнимое, так как
2
(
|λ(t)|2 − λ(t)
)
e−it + 2
(
|λ(t)|2 − λ(t)
)
eit + 3λ(t) + 3λ(t) + λ(t) + λ(t)− 4− 4|λ(t)|2 =
= 2
[
λ(t)(λ(t)− 1)e−it + λ(t)(λ(t)− 1)eit + 2(λ(t) + λ(t))− 2− 2|λ(t)|2
]
,
а используя равенство (9), получаем
0 = λ(t)(λ(t)− 1)eit + λ(t)(λ(t)− 1)e−it − 2(λ(t)− 1)(λ(t)− 1) =
= λ(t)(λ(t)− 1)eit + λ(t)(λ(t)− 1)e−it + 2(λ(t) + λ(t))− 2− 2|λ(t)|2.
Поэтому (в обозначениях леммы)
e
1
2
(a(t)−a(t)) = eit1 =
λ(t)(λ(t)− 1)
λ(t)(λ(t)− 1)
e−it.
Достаточность доказана.
Для доказательства необходимости нужно неравенство (8) заменить равенством, положить
it1 =
a(t)− a(t)
2
и провести те же рассуждения в обратном порядке (появится третий нуль у ψ(x, t1)).
Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Неравенство (8) выполняется для всех t ∈ [t0; 2], где t0 = 1, 386.
Доказательство см. в конце статьи.
Лемма 6. При t ∈ [t0; 2] и x ∈ R
|ψ(x, t)| ≤ c|x||x− t| (10)
и
min{1, |x||x− t|} ≤ c|ψ(x, t)|. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
964 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Доказательство. Начнем с λ(t). При t ∈ (0;π]
|λ(t)| ≤
∣∣∣∣2i ∫ t
0
(1− eiu)du
∣∣∣∣
2(1− cos t)2
≤
4 sin
t
2
8 sin2 t
2
=
1
2 sin
t
2
. (12)
Поэтому при x ∈ R
|ψ(x, t)| ≤ |1− λ(t)|+ |2λ(t)− 1|+ |λ(t)| ≤ 4|λ(t)|+ 2 ≤ 2
1 +
1
sin
t
2
.
Но ψ(z, t) — целая функция по z экспоненциального типа 2 и по неравенству Бернштейна,
например,
|ψ′x(x, t)| ≤ 4
1 +
1
sin
t
2
, |ψ′′x(x; t)| ≤ 8
1 +
1
sin
t
2
.
Поэтому при t ≥ t0
sup
x∈R
|ψ(x, t)|+ sup
x∈R
|ψ′x(x, t)|+ sup
x∈R
|ψ′′x(x, t)| ≤ 14
1 +
1
sin
t0
2
= c0 (13)
и, следовательно, при t ∈ [t0;π]∣∣∣∣ψ(x, t)
x− t
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ψ(x, t)− ψ(t, t)
x− t
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ψ′x(t+ u(x− t), t)du
∣∣∣∣∣∣ ≤ c0,
|ψ(x, t)| = |ψ(x, t)− ψ(0, t)| ≤ c0|x|.
Неравенство (10) доказано.
Перейдем к доказательству (11).
Имеем (см. (7))(
2ixψ(x, t)
)′
x
=
[
2ix(1− λ(t)) + 2− 3λ(t) + (4λ(t)− 2)eix − λ(t)e2ix
]′
x
=
= 2i
[
1− λ(t) + (2λ(t)− 1)eix − λ(t)e2ix
]
= 2i(eix − 1)(λ(t)− 1− λ(t)eix).
Подставляя x = t и учитывая, что ψ(t, t) = 0, получаем
|2tψ′x(t, t)| = 2
∣∣eit − 1
∣∣∣∣λ(t)− 1− λ(t)eit
∣∣ = 4 sin
t
2
∣∣∣λ(t)(1− eit)− 1
∣∣∣,
а при t ∈ [t0; 2]∣∣λ(t)(1− eit)− 1
∣∣ =
∣∣∣∣(2it+ 2− 2eit)(1− eit)− 2it− 3 + 4eit − e2it
2it− 3 + 4eit − e2it
∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 965
=
|e2it − 2it+ eit − 1|
|2it− 3 + 4eit − e2it|
=
2|teit − sin t|
|2it− (1− eit)(3− eit)|
≥ t− sin t
t+ 4
≥ t0 − sin t0
6
= c3.
Так что при t ∈ [t0; 2]
|ψ′x(t, t)| ≥ 1
2t
4 sin
t
2
c3 ≥ c3 sin 1.
Учитывая еще, что
ψ(x, t) = ψ′x(t, t)(x− t)−
x∫
t
ψ′′x(u, t)(u− t)du,
и неравенство (13), при |x− t| ≤ c3
c0
получаем
|ψ(x, t)| ≥ c3 sin 1 · |x− t| − c0
1
2
|x− t|2 ≥ c4|x− t|.
Аналогичное неравенство выполняется в окрестности нуля (x = 0) фиксированного ради-
уса.
Поскольку ψ′x(0, t) = − i
2
, то при |x| ≤ 1
2c0
(см. (13))
|ψ(x, t)| ≥ 1
2
|x| − c0
2
x2 ≥ 0,25|x|.
А в силу лемм 4 и 5 при t ∈ [t0; 2] ψ имеет только два нуля на R. Таким образом, при
δ =
1
c0
min
{
c3; 0, 5
}
и |x| ≤ δ, |x− t| ≤ δ
|ψ(x, t)| ≥ c5|x||x− t|.
Докажем теперь методом от противного, что вне указанных δ-окрестностей 0 и t
1 ≤ c|ψ(x, t)|.
Сначала рассмотрим окрестность точки x =∞.
Поскольку ∣∣∣1− eix
ix
∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1x
x∫
0
eiudu
∣∣∣∣∣∣ ≤ min
{
1,
2
|x|
}
,
то при x ∈ R (см. еще (12))
|1− λ(t)− ψ(x, t)| ≤ |2λ(t)− 1|min
{
1,
2
|x|
}
+ |λ(t)|min
{
1,
1
|x|
}
≤
≤ min
{
1,
1
|x|
}
(5|λ(t)|+ 2) ≤ c6 min
{
1,
1
|x|
}
. (14)
При этом
|1− λ(t)| = 2|1− eit|2
|2it+ 3− 4eit + e2it|
≥
8 sin2 t
2
2t+ 8
≥ c7. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
966 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Отсюда при |x| ≥ N =
2c6
c7
|ψ(x, t)| ≥ |1− λ(t)| − c6 min
{
1,
1
|x|
}
≥ c7 −
c6
|x|
≥ 1
2
c7.
При фиксированном t ∈ [t0; 2] на компакте, определяемом неравенствами |x| ≤ N, |x| ≥ δ и
|x− t| ≥ δ, существует y = y(t) такой, что
ε(t) = min
x
|ψ(x, t)| = |ψ(y(t), t)|.
В силу лемм 4 и 5 ε(t) > 0. Предположим, что inf ε(t) = 0 при t ∈ [t0; 2]. Тогда по некоторой
последовательности натуральных чисел
tn → t∗, yn → y∗, ψ(yn, tn)→ ψ(y∗, t∗) = 0.
А так как |yn| ≥ δ и |y∗| ≥ δ, а t∗ ∈ [t0; 2], то в силу лемм 4 и 5 y∗ = t∗. Но
|yn − tn| → |y∗ − t∗| ≥ δ > 0.
Противоречие доказывает, что inf ε(t) > 0.
Лемма 6 доказана.
С помощью программы Maple можно указать число c > 0 такое, что ε(t) > c.
Доказательство теоремы. Чтобы применить леммы 1 и 2, нужно доказать неравенства (4)
при
gn(x) =
1− ϕn(x)
ψn(x)ψn(−x)
=
1− ϕn(x)
ψn(x, xn)ψn(−x, xn)
, gn(∞) =
1
(1− λn)2
.
Очевидно, что при n ≥ 1
‖hn‖22 =
∫
|x|≤4+ 1
n
|hn(x)|2dx+
∫
|x|≥4+ 1
n
|hn(x)|2dx ≤
≤ 10 sup
|x|≤4+ 1
n
|hn(x)|2 +
∫
|x|≥4+ 1
n
|hn(x)|2dx.
Применим это неравенство к функциям hn = gn − gn(∞), h′n и учтем при этом, что (см.
еще (15))
sup
n
‖gn‖B ≤ sup
n
‖gn − gn(∞)‖A + sup
n
|gn(∞)| ≤ sup
n
‖gn − gn(∞)‖A +
1
c27
.
При |x| ≤ 4 +
1
n
gn(x) =
1
|x|+ xn
1− ϕn(x)
x2
∣∣|x| − xn∣∣ x(x− xn)
ψn(x)
x(x+ xn)
ψn(−x)
или
gn(x) =
1
|x|+ xn
g1,n(x)g2,n(x)g2,n(−x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 967
Поскольку g1,n — сплайн, „склеенный” из полиномов не выше третьей степени с ограниченными
по n коэффициентами (см. (2)) и гладкими множителями
(
на
[
2 +
1
n
, 4 +
1
n
]
, например, это
1
x2(x− xn)
)
, то при |x| ≤ 4 +
1
n
|g1,n(x)|+ |g′1,n(x)| ≤ c8.
К g2,n применяем лемму 6: при |x| ≤ 4 +
1
n
|g2,n(x)| ≤ c9,
∣∣∣∣ 1
g2,n(x)
∣∣∣∣ ≤ c10.
Но
1
g2,n
— целая функция экспоненциального типа 2. Поэтому опять же по неравенству Берн-
штейна ∣∣∣∣∣g′2,n(x)
g22,n(x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣( 1
g2,n(x)
)′∣∣∣∣ ≤ 2c10,
∣∣g′2,n(x)
∣∣ ≤ 2c10c
2
9.
Следовательно, при |x| ≤ 4 +
1
n
|gn(x)|+ |g′n(x)| ≤ c11.
При |x| ≥ 4 +
1
n
gn(x) =
1
ψn(x)ψn(−x)
и
gn(x)− gn(∞) =
(1− λn)(1− λn − ψn(−x)) + ψn(−x)(1− λn − ψn(x))
ψn(x)ψn(−x)(1− λn)2
.
Каждый из трех множителей в знаменателе по модулю ограничен сверху и снизу абсолютной
положительной константой (см. лемму 6, (12) и (15)), а в силу (14)
|1− λn − ψn(x)| ≤ c6
|x|
.
Если еще воспользоваться неравенством (13), то получим∫
|x|≥4+ 1
n
(
|gn(x)− gn(∞)|2 + |g′n(x)|2
)
dx ≤ c12.
Оценка в теореме приближения сверху доказана.
В силу (12) ∣∣∣ 1
gn(∞)
∣∣∣ = |1− λn|2 ≤ c13,
а применяя леммы 3 и 6 при |x| ≤ 4 +
1
n
, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
968 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ∣∣∣∣ 1
gn(x)
∣∣∣∣ = (|x|+ xn)
∣∣∣∣x2 (|x| − xn)
1− ϕn(x)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ψn(x)
x(x− xn)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ψn(−x)
x(x+ xn)
∣∣∣∣ ≤ c14.
При |x| ≥ 4 +
1
n
(см. еще (14))∣∣∣∣ 1
gn(x)
− 1
gn(∞)
∣∣∣∣ =
∣∣ψn(x)ψn(−x)− (1− λn)2
∣∣ =
=
∣∣∣[ψn(x)− (1− λn)]ψn(−x) + (1− λn)[ψn(−x)− (1− λn)]
∣∣∣ ≤ c15
|x|
.
И, как и ранее, получаем
sup
|x|≤4+ 1
n
∣∣∣∣( 1
gn
)′∣∣∣∣2 +
∫
|x|≥4+ 1
n
∣∣∣∣( 1
gn
)′∣∣∣∣2 dx ≤ c16.
Теорема доказана.
Доказательство леммы 5. Введем функцию
H(t) = Im
[
λ(t)(λ(t)− 1)
λ(t)(λ(t)− 1)
e−it − e
1
2 (a(t)−a(t))
]
=
=
t(2 cos t+ t sin t− 2)
2(cos t− 1) + t(2 sin t− t)
− sin
2 sin t− t(1 + cos t)
1− cos t
и докажем, что H(t) > 0 при t ∈ [t0; 2].
Для этого понадобится оценка сверху |H ′(t)|.
Очевидно, что
|H ′(t)| ≤
∣∣∣∣[ t(2 cos t+ t sin t− 2)
2(cos t− 1) + t(2 sin t− t)
]′∣∣∣∣+
∣∣∣∣[2 sin t− t(1 + cos t)
1− cos t
]′∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣(2 cos t+ t2 − 2)(2t sin t− t2 cos t+ 2 cos t− 2)
[2(cos t− 1) + t(2 sin t− t)]2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣cos2 t+ 2 cos t+ 2t sin t− 3
(1− cos t)2
∣∣∣∣ .
Начнем со второй дроби. На отрезке [0; 2] числитель
| cos2 t+ 2 cos t+ 2t sin t− 3| ≤ π − 3
и, значит, на [t1, 2], t1 ∈ (0; 2), второе слагаемое не больше
π − 3
(1− cos t1)2
.
В первой дроби числитель
h1(t) = (2 cos t+ t2 − 2)(2t sin t− t2 cos t+ 2 cos t− 2)
равен произведению двух положительных и возрастающих множителей и знаменатель
h2(t) = 2(cos t− 1) + t(2 sin t− t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНИМ НЕКЛАССИЧЕСКИМ . . . 969
положителен и возрастает. Так что при t ∈ [t1; t2], 0 < t1 < t2 ≤ 2,
|H ′(t)| ≤ h1(t2)
h22(t1)
+
π − 3
(1− cos t1)2
.
Очевидно, что если H(t1) > 0 и |H ′(t)| ≤M1 при t ∈ [t1 − δ1; t1 + δ1], где δ1 =
1
M1
H(t1),
то и при t ∈ (t1 − δ1; t1 + δ1)
H(t) ≥ H(t1)−M1|t− t1| > H(t1)−H(t1) = 0. (16)
При t0 = 1,386 H(t0) > 0,0637.
Если H(ts) > 0 при s ≥ 0, то полагаем ts+1 = ts + 2δs, где Hs = H(ts + δs) > 0 и
max
ts≤t≤ts+1
|H ′(t)| ≤Ms.
Если при этом δs ≤
Hs
Ms
и H(ts+1) > 0, то в силу предыдущего (см. (16)) H(t) > 0 при
t ∈ [ts; ts+1]. И так продолжаем до 2. Имеем
(ts+1;Hs;Ms;H(ts+1))
при s = 0, 1, 2, 3 : t0 = 1,386; t1 = 1,513; t2 = 1,7; t3 = 1,926; t4 = 2,086,
(1,513; 0,0637; 1; 0,0826), (1,7; 0,0826; 0,869; 0,1132),
(1,926; 0,1132; 1,032; 0,1702), (2,086; 0,1702; 1,032; 0,2173).
Лемма 5, а с ней и теорема, доказаны.
1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960.
2. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Kluwer-Springer, 2004. – 585 р.
3. Trigub R. M. Exact order of approximation of periodic functions by linear positive operators // East J. Approxim. –
2009. – 15, № 1. – P. 25 – 50.
4. Draganov B. R. Exact estimates of the rate of approximation of convolution operators// J. Approxim. Theory. – 2010.
– 162. – P. 952 – 979.
5. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951.
– 15, № 3. – С. 219 – 242.
6. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974.
7. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. – М.: Мир, 1985. – Т. 2.
8. Liflyand E., Samko S., Trigub R. The Wiener algebra of absolutely convergent fourier integrals: an overview // Anal.
and Math. Phys. – 2012. – 2. – P. 1 – 68. (См. также препринт тех же авторов „Know and new results on absolute
convergence of Fourier integrals”. – CRM, Preprint № 859. – June 2009.)
Получено 13.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|