Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров
Розглядається система звичайних диференціальних рівнянь, що описують динаміку двох взаємозв'язаних одномодових напівпровідникових лазерів. Зокрема, вивчаються розв'язки, що відповідають амплітудній синхронізації. Показано, що множина таких розв'язків утворює в фазовому просторі тривим...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164493 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров / С.В. Янчук, К.Р. Шнайдер, О.Б. Лыкова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 3. — С. 426–435. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164493 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1644932020-02-10T01:28:18Z Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров Янчук, С.В. Шнайдер, К.Р. Лыкова, О.Б. Статті Розглядається система звичайних диференціальних рівнянь, що описують динаміку двох взаємозв'язаних одномодових напівпровідникових лазерів. Зокрема, вивчаються розв'язки, що відповідають амплітудній синхронізації. Показано, що множина таких розв'язків утворює в фазовому просторі тривимірний інваріантний многовид. Досліджується стійкість траєкторій на цьому многовиді як у тангенціальному, так і в трансверсальному до нього напрямках. Встановлено умови існування глобально асимптотично стійких розв'язків рівнянь на многовиді, що синхронізовані за амплітудою. We consider a system of ordinary differential equations describing the dynamics of two coupled singlemode semiconductor lasers. In particular, we investigate solutions corresponding to amplitude synchronization. We show that the set of these solutions forms a three-dimensional invariant manifold in the phase space. We investigate the stability of trajectories on this manifold in the tangential direction and in the direction transversal to it. We obtain conditions for the existence of globally asymptotically stable solutions of equations on the manifold that are synchronized with respect to the amplitude. 2008 Article Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров / С.В. Янчук, К.Р. Шнайдер, О.Б. Лыкова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 3. — С. 426–435. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164493 517.958+517.95 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Янчук, С.В. Шнайдер, К.Р. Лыкова, О.Б. Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров Український математичний журнал |
| description |
Розглядається система звичайних диференціальних рівнянь, що описують динаміку двох взаємозв'язаних одномодових напівпровідникових лазерів. Зокрема, вивчаються розв'язки, що відповідають амплітудній синхронізації. Показано, що множина таких розв'язків утворює в фазовому просторі тривимірний інваріантний многовид. Досліджується стійкість траєкторій на цьому многовиді як у тангенціальному, так і в трансверсальному до нього напрямках. Встановлено умови існування глобально асимптотично стійких розв'язків рівнянь на многовиді, що синхронізовані за амплітудою. |
| format |
Article |
| author |
Янчук, С.В. Шнайдер, К.Р. Лыкова, О.Б. |
| author_facet |
Янчук, С.В. Шнайдер, К.Р. Лыкова, О.Б. |
| author_sort |
Янчук, С.В. |
| title |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| title_short |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| title_full |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| title_fullStr |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| title_full_unstemmed |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| title_sort |
амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164493 |
| citation_txt |
Амплитудная синхронизация в системе двух взаимосвязанных полупроводниковых лазеров / С.В. Янчук, К.Р. Шнайдер, О.Б. Лыкова // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 3. — С. 426–435. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ânčuksv amplitudnaâsinhronizaciâvsistemedvuhvzaimosvâzannyhpoluprovodnikovyhlazerov AT šnajderkr amplitudnaâsinhronizaciâvsistemedvuhvzaimosvâzannyhpoluprovodnikovyhlazerov AT lykovaob amplitudnaâsinhronizaciâvsistemedvuhvzaimosvâzannyhpoluprovodnikovyhlazerov |
| first_indexed |
2025-07-14T17:02:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:02:26Z |
| _version_ |
1837642597128994816 |
| fulltext |
UDK 517.958+517.95
S. V. Qnçuk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev;
Yn-t Vejerßtrassa prykl. analyza y stoxastyky, Berlyn, Hermanyq;
Yn-t matematyky, Humbol\dt-un-t, Berlyn, Hermanyq),
K. R. Ínajder (Yn-t Vejerßtrassa prykl. analyza y stoxastyky, Berlyn, Hermanyq),
O. B. L¥kova (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ
V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX
POLUPROVODNYKOVÁX LAZEROV
We consider a system of ordinary differential equations describing the dynamics of two coupled single-
mode semiconductor lasers. In particular, we investigate solutions corresponding to amplitude synchro-
nization. We show that the set of these solutions forms a three-dimensional invariant manifold in the
phase space. We investigate the stability of trajectories on this manifold in the tangential direction and
in the direction transversal to it. We obtain conditions for the existence of globally asymptotically stable
solutions of equations on the manifold that are synchronized with respect to the amplitude.
Rozhlqda[t\sq systema zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\, wo opysugt\ dynamiku dvox vza-
[mozv’qzanyx odnomodovyx napivprovidnykovyx lazeriv. Zokrema, vyvçagt\sq rozv’qzky, wo vid-
povidagt\ amplitudnij synxronizaci]. Pokazano, wo mnoΩyna takyx rozv’qzkiv utvorg[ v fazo-
vomu prostori tryvymirnyj invariantnyj mnohovyd. DoslidΩu[t\sq stijkist\ tra[ktorij na c\o-
mu mnohovydi qk u tanhencial\nomu, tak i v transversal\nomu do n\oho naprqmkax. Vstanovleno
umovy isnuvannq hlobal\no asymptotyçno stijkyx rozv’qzkiv rivnqn\ na mnohovydi, wo synxroni-
zovani za amplitudog.
1. Vvedenye. Poluprovodnykov¥e lazer¥
1
uspeßno prymenqgtsq vo mnohyx
pryloΩenyqx [1]. Osob¥j ynteres predstavlqgt zadaçy synxronyzacyy vzaymo-
dejstvugwyx lazerov [2 – 12]. Takye zadaçy voznykagt, v çastnosty, v svqzy s
neobxodymost\g uvelyçenyq mownosty yzluçenyq s pomow\g lazern¥x reße-
tok [13], a takΩe postroenyq optyçeskyx system dlq peredaçy zawywennoj yn-
formacyy. Matematyçeskoj model\g dannoj zadaçy qvlqetsq systema vzaymo-
svqzann¥x ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj [3]
dE
dt
1 = i E i N E e Eiδ α β ϕ
1 1 1 21+ + + −( ) ,
dN
dt
1 = ε J N N E− − +[ ]1 1 1
22 1( ) ,
(1)
dE
dt
2 = ( )1 2 2 1+ + −i N E e Eiα β ϕ ,
dN
dt
2 = ε J N N E− − +[ ]2 2 2
22 1( ) ,
hde peremenn¥e E1, E2 — kompleksn¥e amplytud¥ optyçeskoho polq, N1, N2
— vewestvenn¥e peremenn¥e (plotnosty nosytelej zarqdov v aktyvnoj zone la-
zera), δ zadaet rasstrojku çastot lazerov, J oboznaçaet velyçynu nakaçky, β,
0 < β < 1 / 2 , xarakteryzuet sylu vzaymodejstvyq lazerov, ϕ — faza vzaymo-
dejstvyq, ε — otnoßenye sredneho vremeny Ωyzny fotona k srednemu vremeny
Ωyzny nosytelej. Nalyçye maloho parametra ε obuslovlyvaet medlenno-b¥st-
rug strukturu system¥ (1).
Otmetym nekotor¥e vaΩn¥e svojstva system¥ (1), svqzann¥e s symmetryqmy.
Symmetryq SO(2) :
1
Lazer — πto ustrojstvo, pozvolqgwee heneryrovat\ koherentnoe πlektromahnytnoe yzluçe-
nye.
© S. V. QNÇUK, K. R. ÍNAJDER, O. B. LÁKOVA, 2008
426 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX … 427
( ), , ,E N E N1 1 2 2 → ( ), , ,E e N E e Ni i
1 1 2 2
µ µ
vleçet za soboj suwestvovanye ynvaryantn¥x peryodyçeskyx reßenyj (CW-re-
ßenyj [12, 3])
E tj ( ) = a ej
i t i jω + v
, N tj ( ) = rj , (2)
hde ω, aj , vj , rj ∈ R , j = 1, 2. Takye reßenyq naz¥vagt takΩe stacyonarn¥-
my, tak kak ony sootvetstvugt reΩymam so stacyonarnoj yntensyvnost\g
E tj( ) . Bolee toho, takaq symmetryq oznaçaet, çto pry sootvetstvugwyx znaçe-
nyqx parametrov systema (1) ymeet modulyrovann¥e volnov¥e reßenyq (MW-
reßenyq), t. e. kvazyperyodyçeskye reßenyq vyda
E tj( ) = a t ej
i t i j( )
ω + v
, N tj( ) = r tj ( ) , a t Tj ( )+ = a tj ( ), r t Tj ( )+ = r tj ( ) , (3)
hde ω, T, aj ( t ) , rj ( t ) , vj ∈ R dlq vsex t ∈ R .
Druhug vaΩnug symmetryg systema (1) ymeet pry ϕ = 0. ∏to Z2 -symmet-
ryq :
E N E N1 1 2 2, , ,( ) → E N E N2 2 1 1, , ,( ) ,
pry kotoroj systema (1) ynvaryantna.
V dal\nejßem polahaem, çto ϕ = 0. Fyzyçesky ϕ = 0 sootvetstvuet slu-
çag, kohda rasstoqnye meΩdu lazeramy ravno celomu çyslu dlyn optyçeskyx
voln [3].
2. Reducyrovannaq systema. Nalyçye v systeme (1) SO(2)-symmetryy poz-
volqet ponyzyt\ razmernost\ system¥. ∏to moΩno osuwestvyt\ posredstvom za-
men¥ peremenn¥x Ej → ( , )aj jµ :
E t1( ) = a t ei t
1
1( ) ( )µ , E t2( ) = a t ei t
2
2( ) ( )µ ,
hde aj y µ j — nov¥e vewestvenn¥e peremenn¥e. Pry πtom polahaem, çto
a t1( ) > 0, a t2( ) > 0 dlq vsex t ∈ R . Çerez ∆ψ = ψ1 – ψ2 oboznaçym raznost\
faz lazerov. V rezul\tate zamen¥ systema (1) prymet vyd
da
dt
1 = N a a1 1 2+ β ψcos∆ ,
dN
dt
1 = ε J N N a− − +[ ]1 1 1
22 1( ) ,
da
dt
2 = N a a2 2 1+ β ψcos∆ , (4)
dN
dt
2 = ε J N N a− − +[ ]2 2 2
22 1( ) ,
d
dt
∆ψ
= δ α β ψ+ − − +
( ) sinN N
a
a
a
a1 2
2
1
1
2
∆ .
Systema (4) uΩe ne obladaet SO(2)-symmetryej y rassmatryvaetsq v fazo-
vom prostranstve R
4
× S
1
. Poπtomu v nov¥x peremenn¥x vse CW-reßenyq vyda
(2) stanovqtsq stacyonarn¥my, a vse MW-reßenyq vyda (3) — peryodyçeskymy.
Dlq system¥ (4) spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema-1. Podprostranstvo
M : = ( , , , ) : ,a N a N a a N N1 1 2 2 1 2 1 2= ={ }
ynvaryantno otnosytel\no potoka, zadavaemoho systemoj (4).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
428 S. V. QNÇUK, K. R. ÍNAJDER, O. B. LÁKOVA
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye teorem¥ v¥tekaet yz toho fakta, çto
systema (4) ynvaryantna otnosytel\no preobrazovanyq T : ( , , , )a N a N1 1 2 2 →
→ ( , , , )a N a N2 2 1 1 . Poskol\ku podprostranstvo M qvlqetsq nepodvyΩnoj
toçkoj πtoho preobrazovanyq, ono ynvaryantno otnosytel\no potoka, zadavae-
moho systemoj (4).
Podprostranstvo M v dal\nejßem budem naz¥vat\ mnohoobrazyem synxrony-
zyrovann¥x po amplytude reßenyj system¥ (4). Tak kak v obwem sluçae ∆ψ ≠
≠ 0, faz¥ mohut b¥t\ ne synxronyzyrovann¥my. ∏to pozvolqet otmetyt\ naly-
çye novoho qvlenyq v systeme vzaymodejstvugwyx lazerov, kotoroe xaraktery-
zuetsq synxronyzacyej tol\ko nekotor¥x yz komponent dvux vzaymosvqzann¥x
neydentyçn¥x system.
Lehko ubedyt\sq, çto na mnohoobrazyy M systema (4) svodytsq k rassmotre-
nyg system¥ yz trex ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Dejstvy-
tel\no, podstavlqq N1 = N2 = N, a1 = a2 = a v (4), poluçaem
da
dt
= Na a+ β ψcos ∆ , (5)
dN
dt
= ε J N N a− − +[ ]( )2 1 2 , (6)
d
dt
∆ψ
= δ β ψ− 2 sin ∆ . (7)
Dynamyka system¥ (5) – (7) obuslovlyvaet dynamyku ysxodnoj system¥ sko-
rostn¥x uravnenyj, synxronyzyrovann¥x po amplytude. Naßa cel\ sostoyt v
tom, çtob¥ dokazat\ suwestvovanye ustojçyv¥x reßenyj, naprymer, hlobal\no
asymptotyçesky ustojçyvoho poloΩenyq ravnovesyq yly peryodyçeskoho reße-
nyq system¥ (5) – (7).
Systema (5) – (7) ymeet sledugwye osobennosty:
a) prostranstvo R × R × S
1
qvlqetsq fazov¥m;
b) uravnenye (7) ne zavysyt ot druhyx uravnenyj; suwestvuet qvn¥j obwyj
yntehral ∆ψ ( t, c ) πtoho skalqrnoho dyfferencyal\noho uravnenyq;
v) podprostranstvo { a = 0 } × R × S
1
ynvaryantno otnosytel\no potoka,
zadavaemoho systemoj (5) – (7);
h) systema (5) – (7) ynvaryantna otnosytel\no preobrazovanyq ( , , )a N ∆ψ →
→ ( , , )− a N ∆ψ .
Sohlasno svojstvu b) systemu (5) – (7) moΩno rassmatryvat\ kak dvumernug
neavtonomnug systemu. V çastnosty, esly parametr β mal — kak dvumernug
avtonomnug systemu s neavtonomn¥m vozmuwenyem
da
dt
= a N t c+[ ]β ψcos ( , )∆ ,
(8)
dN
dt
= ε J N N a− − +[ ]( )2 1 2 .
Esly uravnenye (7) ymeet asymptotyçesky ustojçyvoe poloΩenye ravnovesyq
∆ψ0, to v fazovom prostranstve system¥ (5) – (7) suwestvuet prytqhyvagwee
ynvaryantnoe podprostranstvo R R× × { }∆ψ0 .
Uçyt¥vaq svojstva v) y h), dostatoçno rassmotret\ povedenye system¥ (5) –
(7) v poluploskosty a > 0
2
. Posle zamen¥ x = ln a yz (8) poluçym systemu
dx
dt
= N t c+ β ψcos ( , )∆ , (9)
2
V¥bor a > 0 qvlqetsq takΩe fyzyçesky obosnovann¥m.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX … 429
dN
dt
= ε J N N e x− − +[ ]( )2 1 2 . (10)
Zametym, çto poluçennaq systema πkvyvalentna uravnenyg L\enara
′′ + ′ + +x x e t c
d
dt
t cxε β ψ ψ( ) sin ( , ) ( , )1 2 2 ∆ ∆ +
+ ε β ψ β ψ( cos ( , )) cos ( , )1 2 2− − −[ ]∆ ∆t c e J t cx = 0, (11)
hde ßtryx oboznaçaet proyzvodnug po t .
Sledugwaq lemma opys¥vaet dynamyku uravnenyq (7).
Lemma-1. Pust\ δ y β — poloΩytel\n¥e parametr¥, pryçem β udov-
letvorqet neravenstvu
0 < β <
1
2
. (12)
Tohda:
i) pry δ = 2 β uravnenye (7) ymeet na S
1
edynstvennoe nehruboe neus-
tojçyvoe poloΩenye ravnovesyq ∆ ψ = ∆ ψm = π / 2 ( mod 2 π ) ;
ii) pry 0 < δ < 2 β uravnenye (7) ymeet v toçnosty dva poloΩenyq ravno-
vesyq ∆ ψ = ∆ ψ0 < π / 2 y ∆ ψ = ∆ ψ1 > π / 2; poloΩenye ravnovesyq ∆ ψ0
( ∆ ψ1 ) qvlqetsq asymptotyçesky ustojçyv¥m (neustojçyv¥m);
iii) pry δ > 2 β > 0 uravnenye (7) ymeet peryodyçeskoe reßenye
∆ ψ = ∆ ψp ( t ) = 2
2
2
4 1
22 2
2
arctan tan
β
δ
δ β β
δ
+ −( ) −
t
(13)
s peryodom
T =
2
42 2
π
δ β−
,
udovletvorqgwee sootnoßenyg ∆ ψp ( 0 ) = 2 2arctan( / )β δ ( t. e. ∆ ψp ( T ) =
= ∆ ψp ( 0 ) + 2 π ) .
Yz πtoj lemm¥ sleduet, çto pry 0 < δ < 2 β suwestvugt dva poloΩenyq
ravnovesyq y dve heteroklynyçeskye traektoryy, soedynqgwye poloΩenyq rav-
novesyq. Pry δ = 2 β poloΩenyq ravnovesyq sovpadagt y suwestvuet odna ho-
moklynyçeskaq traektoryq. Pry δ > 2 β suwestvuet peryodyçeskoe reßenye,
kotoroe roΩdaetsq yz homoklynyçeskoj traektoryy, t. e. peryod πtoho reße-
nyq stremytsq k beskoneçnosty, esly δ stremytsq k 2 β .
3. PoloΩenyq ravnovesyq na mnohoobrazyy M y yx hlobal\naq us-
tojçyvost\. V dannom punkte m¥ yssleduem poloΩenyq ravnovesyq system¥
(5) – (7) y yx ustojçyvost\. Yz lemm¥SS1 sleduet, çto systema (5) – (7) moΩet
ymet\ ustojçyvoe poloΩenye ravnovesyq tol\ko pry uslovyy 0 < δ < 2 β, pry
πtom ∆ ψ = ∆ ψ0 < π / 2. Sledovatel\no, systema (5) – (7) na ustojçyvom pod-
prostranstve R R× × { }∆ψ0 ymeet vyd
da
dt
= aN a+ β ψcos∆ 0, (14)
dN
dt
= ε J N N e x− − +[ ]( )2 1 2 . (15)
Pry uslovyy (12) vsledstvye toho, çto J > 0, cos∆ψ0 > 0, πta systema yme-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
430 S. V. QNÇUK, K. R. ÍNAJDER, O. B. LÁKOVA
et poloΩenyq ravnovesyq
R0 : a = a0 =
J +
−
β ψ
β ψ
cos
cos
∆
∆
0
01 2
, N = – β ψcos∆ 0, (16)
a takΩe
R1 : a = 0, N = J. (17)
Sobstvenn¥e znaçenyq λ1 2, , sootvetstvugwye poloΩenyg ravnovesyq R0 ,
ymegt vyd
λ1 2, = –
ε
β ψ
ε
β ψ
ε β ψ( )
( cos )
( )
( cos )
( cos )
1 2
2 1 2
1 2
2 1 2
2 2
0 0
2
0
+
−
± +
−
− +J J
J
∆ ∆
∆ .
Pry uslovyqx (12) y J > 0 sobstvenn¥e znaçenyq λ1, λ2 ymegt otrycatel\-
n¥e dejstvytel\n¥e çasty. ∏to oznaçaet, çto poloΩenye ravnovesyq R0 qvlq-
etsq (lokal\no) asymptotyçesky ustojçyv¥m. Çtob¥ yssledovat\ oblast\ pry-
tqΩenyq poloΩenyq ravnovesyq R0 , vospol\zuemsq tem, çto systemu (14), (15)
moΩno svesty k uravnenyg L\enara (11) zamenoj x = ln a :
d x
dt
dx
dt
e e Jx x
2
2
2
0
2
01 2 1 2+ + + − − −[ ]ε ε β ψ β ψ( ) ( cos ) cos∆ ∆ = 0.
Posle zamen¥
x = x0 + ξ ,
hde x0 = ln a0 , poluçym
d
dt
f
d
dt
g
2
2
ξ ξ ξ ξ+ +( ) ( ) = 0.
Zdes\
f ( ξ ) = ε ξ1 2 2 20+[ ]e ex ,
g ( ξ ) = ε β ψ β ψξ( cos ) cos1 2 0
2 2
0
0− − −[ ]∆ ∆e e Jx .
Sledovatel\no, ymegt mesto sootnoßenyq
f ( ξ ) > 0 dlq vsex ξ ,
f d( )σ σ
ξ
0
∫ → ∞ pry ξ → ∞ ,
g ( 0 ) = 0, g ′ ( ξ ) > 0 dlq vsex ξ .
Prymenqq yzvestn¥j rezul\tat [14, c. 225], moΩem zaklgçyt\, çto poloΩe-
nye ravnovesyq R0 qvlqetsq hlobal\no asymptotyçesky ustojçyv¥m otnosy-
tel\no peremenn¥x x, N, a sledovatel\no, oblast\ prytqΩenyq v peremenn¥x
a, N vklgçaet a > 0, N ∈ R . V rezul\tate ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema-2. Pust\ δ < 2 β , J, ε > 0, 0 < β < 1 / 2 . Tohda poloΩenye rav-
novesyq R0 system¥ (5) – (7) asymptotyçesky ustojçyvo s oblast\g pry-
tqΩenyq a S>{ } × ×0 1R .
Zametym, çto s uçetom symmetryy analohyçnoe utverΩdenye ymeet mesto
dlq symmetryçnoho poloΩenyq ravnovesyq
′R0 : a = – a0 , N = – β ψcos ∆ 0 (18)
v poluploskosty a < 0.
4. Voznyknovenye ustojçyv¥x peryodyçeskyx reßenyj na mnohoobra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX … 431
zyy M. V praktyçesky vaΩnom sluçae, kohda vzaymodejstvye meΩdu lazeramy
slaboe, t. e. β << 1, moΩno ustanovyt\ suwestvovanye ustojçyv¥x peryody-
çeskyx reßenyj system¥ na mnohoobrazyy.
Teorema-3. Esly parametr β > 0 dostatoçno mal y, krome toho, ε, J > 0,
to v systeme (5) – (7) suwestvuet ustojçyv¥j predel\n¥j cykl, kotor¥j pry
β → 0 stremytsq k poloΩenyg ravnovesyq N = 0, a = J .
Dokazatel\stvo. Pry β = 0 poloΩenye ravnovesyq system¥ (5), (6) N =
= 0, a = J ymeet sobstvenn¥e znaçenyq
λ1 2, = –
ε ε ε( ) ( )1 2
2
1 2
2
2
2+ ± +
−J J
J
s otrycatel\n¥my dejstvytel\n¥my çastqmy: Re ,λ1 2 < 0, t. e. qvlqetsq πkspo-
nencyal\no ustojçyv¥m. Dalee, poskol\ku dlq kaΩdoho maloho β ymeet mesto
neravenstvo δ > 2 β , to reßenye uravnenyq (7) ymeet vyd (13) y funkcyq
cos ( )∆ψ t qvlqetsq peryodyçeskoj po t. UtverΩdenye teorem¥S3 sleduet yz ob-
wej teorem¥ o peryodyçeskom vozmuwenyy πksponencyal\no ustojçyvoho polo-
Ωenyq ravnovesyq [15].
Odnym yz xaraktern¥x svojstv uravnenyj dynamyky poluprovodnykov¥x
lazerov qvlqetsq malost\ parametra ε . Uçyt¥vaq πtot fakt, dokaΩem suwest-
vovanye peryodyçeskyx reßenyj v druhom vaΩnom sluçae, kohda ne predpola-
haetsq malost\ β .
Teorema-4. Esly parametr ε > 0 dostatoçno mal, a takΩe J > 0 y δ >
> 2 β , to v systeme (5) – (7) suwestvuet ustojçyv¥j predel\n¥j cykl.
Dlq dokazatel\stva dannoj teorem¥ yspol\zuem bolee obwyj rezul\tat, do-
kazatel\stvo kotoroho v¥xodyt za ramky dannoj rabot¥. Zdes\ m¥ sformuly-
ruem πtot rezul\tat.
Teorema-5. Pust\ zadana peryodyçeskaq kraevaq zadaça
′′ + ′ +x f t x x g tε ( , , ) ( ) = 0, x ( 0 ) = x ( T ) , ′x ( )0 = ′x T( ), (19)
hde T > 0, f C∈ 1 3( )R , g C∈ ( )R . Esly
g s ds
T
( )
0
∫ = 0, (20)
to pry ε = 0 suwestvuet odnoparametryçeskoe semejstvo reßenyj zadaçy
(19). Pry dostatoçno malom ε ≠ 0 suwestvuet edynstvennoe reßenye zadaçy
(19), esly v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
1) uravnenye
f s s s ds
T
( ), ( ), ( )ζ µ µ+ ′∫
0
= 0 (21)
ymeet edynstvennoe reßenye ζ0, hde
µ( )t =
t
T
g d ds g d ds
T s t s
0 0 0 0
∫ ∫ ∫ ∫−( ) ( )σ σ σ σ ; (22)
2)
∂
∂
+ ′∫ f
x
s s s ds
T
( ), ( ), ( )ζ µ µ0
0
≠ 0.
Dokazatel\stvo teorem¥-4. Uçyt¥vaq (11), systemu (5) – (7) moΩno za-
pysat\ v vyde (19) s
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
432 S. V. QNÇUK, K. R. ÍNAJDER, O. B. LÁKOVA
f t x x( , , )′ = – J x t x t e x+ ′ + + ′ − +( )β ψ β ψcos ( ) cos ( )∆ ∆2 2 1 2 ,
g t( ) = β ψ ψsin ( ) ( )∆ ∆t t′ = β ψ δ β ψsin ( ) sin ( )∆ ∆t t−( )2 ,
hde dlq kratkosty opuwen parametr c v ∆ψ( , )t c y ∆ψ( )t — T-peryodyçeskoe
reßenye (7) sohlasno lemmeS1. Dlq dokazatel\stva teorem¥S4 dostatoçno pro-
veryt\ v¥polnenye uslovyj teorem¥SS5.
1. Proverym v¥polnenye uslovyq (20). Ymeem
0
T
s s ds∫ ′β ψ ψsin ( ) ( )∆ ∆ = – β ψ ψcos ( ) cos ( )∆ ∆T −( )0 = 0.
2. Proverym v¥polnenye uslovyqS1. Opredelym qvn¥j vyd funkcyy µ ( t ) ,
zadannoj (22). Dlq πtoho yspol\zuem sledugwye predvarytel\n¥e sootnoße-
nyq:
g d
s
( )σ σ
0
∫ =
0
s
d∫ ′β ψ σ ψ σ σsin ( ) ( )∆ ∆ = – β ψ ψcos ( ) cos ( )∆ ∆s −( )0 . (23)
Krome toho, ymeet mesto ravenstvo
0
T
d∫ cos ( )∆ψ σ σ = 0. (24)
Dyfferencyruq (7), poluçaem
∆ψ( )′′ = – 2β ψ ψcos∆ ∆ ′ ,
otkuda sleduet
ln∆ ′( )′ψ = – 2β ψcos∆ . (25)
Dalee, yntehryruq (25) po peryodu y uçyt¥vaq peryodyçnost\ ∆ψ( )t , poluça-
emS(24).
Yz sootnoßenyj (22), (24) y (25) sleduet v¥raΩenye dlq µ :
µ ( t ) = β ψcos ( )∆ s ds
t
0
∫ . (26)
Uçyt¥vaq (26), uravnenye (21) zapys¥vaem v vyde
0
2
2 0
T
d
J s e ds
s
∫ − + + ∫
+( )β ψ
ζ β ψ ξ ξ
cos ( )
cos ( )
∆
∆
=
= – JT s ds e ds
T T
d
s
+ + ∫∫ ∫
+( )
2
0 0
2
0β ψ
ζ β ψ ξ ξ
cos ( )
cos ( )
∆
∆
=
= – JT e e ds
T
d
s
+ ∫∫2
0
2
0ζ β ψ ξ ξcos ( )∆
= 0. (27)
Uravnenye (27 ) ymeet edynstvennoe reßenye otnosytel\no ζ
ζ0 = –
1
2
1
0
2
0ln
cos ( )
JT
e ds
T
d
s
∫ ∫
β ψ ξ ξ∆
.
Sledovatel\no, uslovye 1 teorem¥SS5 v¥polneno.
3. Proverym v¥polnenye uslovyqSS2. Ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX … 433
∂
∂
+ ′∫ f
x
s s s ds
T
( ), ( ), ( )ζ µ µ0
0
= 2
0
2 20 0
T
d
e ds
s
∫ + ∫ζ β ψ ξ ξcos ( )∆
= 2 JT ≠ 0.
Takym obrazom, teoremaSS4 dokazana.
5. Transversal\naq ustojçyvost\ stacyonarn¥x reßenyj na mnohoob-
razyy M. Yssleduem transversal\nug ustojçyvost\ stacyonarn¥x reßenyj
system¥ (4) na mnohoobrazyy M. Dlq πtoho vvedem v systeme (4) nov¥e pere-
menn¥e:
x a a= +1 2, y N N= +1 2 , ξ = −a a1 2, η = −N N1 2 . (28)
V rezul\tate poluçym systemu uravnenyj
dx
dt
=
1
2
xy x+( ) +ξη β ψcos ∆ ≡ g x y1 , , , ,∆ψ ξ η( ) , (29)
dy
dt
= ε ξ ξη2
1
2
1 2 2J y y x x− − + +( ) −
( ) ≡ g x y2 , , , ,∆ψ ξ η( ) , (30)
d
dt
( )∆ψ
= δ αη β ξ
ξ
ψ+ − +
−
2
2 2
2 2
x
x
sin∆ ≡ g x y3 , , , ,∆ψ ξ η( ) , (31)
d
dt
ξ
=
1
2
x yη ξ β ξ ψ+( ) − cos ∆ ≡ f x y1 , , , ,∆ψ ξ η( ), (32)
d
dt
η
= – η η ξ ξ+ +( ) + +
1
2
12 2x x y( ) ≡ f x y2 , , , ,∆ψ ξ η( ) , (33)
v kotoroj uravnenyq (29) – (31) opys¥vagt dynamyku ysxodnoj system¥ na mno-
hoobrazyy M, a uravnenyq (32), (33) — dynamyku ysxodnoj system¥ v transver-
sal\nom k M napravlenyy. V nov¥x koordynatax mnohoobrazye M prymet vyd
M : = x y, , , , : ,∆ψ ξ η ξ η( ) = ={ }0 0 .
Lehko ubedyt\sq, çto v sylu ynvaryantnosty M ymegt mesto sootnoßenyq
f x yj , , , ,∆ψ 0 0( ) = 0, j = 1, 2.
Pust\ δ v = δ δ δ ψx y T, , ∆( ) y δ w = δξ δη,( )T
— varyacyy koordynat vdol\
tanhencyal\noho y, sootvetstvenno, transversal\noho k M napravlenyj; F =
= ( , )f f T
1 2 , G = ( , , )g g g T
1 2 3 . Dlq reßenyq s ( t ) = x t y t t( ), ( ), ( ), ,∆ψ 0 0( ) na
mnohoobrazyy M sostavym sootvetstvugwye (29) – (33) uravnenyq v varyacyqx
d
dt
( )δv
= A s t B s t w( ( )) ( ( ))δ δv + , (34)
d w
dt
( )δ
= C s t w( ( ))δ , (35)
hde
A ( s ) =
1
2
1
2
1 1 1
2
0
0 0 2
2
y x x
x y x
+ −
− + − +
−
β ψ β ψ
ε ε
β ψ
cos sin
( )
cos
∆ ∆
∆
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
434 S. V. QNÇUK, K. R. ÍNAJDER, O. B. LÁKOVA
B ( s ) =
0 0
0 0
0 α
,
C ( s ) =
y x
x y x
2 2
1 1
1
2
2
−
− + − +
β ψ
ε ε
cos
( )
∆
.
Yz (34), (35) sleduet, çto uravnenyq v varyacyqx ymegt treuhol\nug matry-
cu koπffycyentov, pry πtom, kak vydym, transversal\noe varyacyonnoe uravne-
nye, t. e. uravnenye dlq δ w , otwepleno ot uravnenyq dlq δ v . Poπtomu dlq
opredelenyq transversal\noj ustojçyvosty traektoryj na mnohoobrazyy M
dostatoçno rassmotret\ systemu (35).
Opredelenye. Budem hovoryt\, çto reßenye ( )( ), ( ), ,x t y t 0 0 na mnohoob-
razyy M transversal\no asymptotyçesky ustojçyvo (neustojçyvo), esly
lynejnoe uravnenye v varyacyqx (35) πksponencyal\no asymptotyçesky us-
tojçyvo (neustojçyvo).
Çto kasaetsq lokal\noj tanhencyal\noj ustojçyvosty stacyonarn¥x reße-
nyj na M, to sootvetstvugwye rezul\tat¥ v¥tekagt yz provedennoho v pred¥-
duwem punkte analyza hlobal\noj ustojçyvosty na M.
Stacyonarn¥e reßenyq na M v nov¥x koordynatax prymut vyd
R0S: x a1 02= , y1 02= − β ψcos∆ , ∆ ∆ψ ψ1 0= , ξ η1 1 0= = ,
R1 : x 2 0= , y J2 2= , ∆ ∆ψ ψ2 0= , ξ η2 2 0= = ,
hde ∆ψ0 = arcsin( / )δ β2 .
Transversal\nug ustojçyvost\ stacyonarnoho reßenyq R0 opredelqem po
znakam kornej xarakterystyçeskoho uravnenyq
det
cos
cos
cos
cos
cos
( cos )
cos
− − +
−
− +
−
− − +
−
−
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
0
0
β ψ λ β ψ
β ψ
ε β ψ
β ψ
β ψ ε
β ψ
λ
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
J
J J
= 0
yly
( ) ( )cos
cos
cosλ β ψ λ ε
β ψ
ε β ψ+ + +
−
+ +2
1 2
1 2
2 20
0
0∆
∆
∆J
J = 0. (36)
Reßaq uravnenye (36), naxodym
λ1 2, = – β ψ ε
β ψ
cos
cos
∆
∆0
02
1 2
1 2
−
+
−
J ±
±
1
2
2
1 2
1 2
80
0
2
0β ψ ε
β ψ
ε β ψcos
cos
cos( )∆
∆
∆− +
−
− +J
J .
Pry dostatoçno malom ε poluçym
λ1 = –
ε
β ψ
β ψ
β ψ
ε1 2
1 2 0
0
0
2+
−
+ +
+J J
cos
cos
cos
( )
∆
∆
∆
O ,
λ2 = –
2 0
0
0
2β ψ β ψ
β ψ
εcos
cos
cos
( )∆ ∆
∆
+ + +J O .
Transversal\nug ustojçyvost\ stacyonarnoho reßenyq R1 opredelqem po
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
AMPLYTUDNAQ SYNXRONYZACYQ V SYSTEME DVUX VZAYMOSVQZANNÁX … 435
znakam kornej xarakterystyçeskoho uravnenyq
det
cosJ − −
− −
β ψ λ
ε λ
∆ 0 0
0
= 0.
Ymeem λ1 = J − β ψcos∆ 0 y λ2 = – ε. Takym obrazom, moΩno sformulyrovat\
sledugwug teoremu.
Teorema-6. Pust\ 0 < δ < 2 β , β < 1 / 2 . Tohda:
a) suwestvuet takoe ε0 = ε β ψ0 0( ), ,J ∆ , çto dlq vsex 0 < ε < ε0 polo-
Ωenye ravnovesyq R0 system¥ (29) – (33) qvlqetsq transversal\no asymp-
totyçesky ustojçyv¥m;
b) poloΩenye ravnovesyq R1 system¥ (29) – (33) transversal\no asymp-
totyçesky ustojçyvo (neustojçyvo) dlq vsex dostatoçno mal¥x ε, esly v¥-
polnqetsq uslovye J − β ψcos∆ 0 < 0 ( J − β ψcos∆ 0 > 0 ) .
Dlq dokazatel\stva utverΩdenyq a) dostatoçno zametyt\, çto β ψcos∆ 0 > 0
sohlasno lemmeS1 y pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ ymeet mesto neravenstvo
1 2
1 2
1
0 0
+
−
+ +J J
β ψ β ψcos cos∆ ∆
> 0.
V zaklgçenye otmetym, çto namy poluçen¥ uslovyq suwestvovanyq (teore-
maS1) y ustojçyvosty (teorem¥S2 – 4, 6) amplytudno synxronyzyrovann¥x reße-
nyj system¥ (1) vyda (2) y (3).
1. Optoelectronic devices / Ed. J. Piprek. – New York: Springer, 2005.
2. Sieber J., Recke L., Schneider K. R. Dynamics of multisection semiconductor lasers // J. Math. Sci.
– 2004. – 124. – P. 5298 – 5309.
3. Yanchuk S., Schneider K. R., Recke L. Dynamics of two mutually coupled semiconductor lasers:
Instantaneous coupling limit // Phys. Rev. E. – 2004. – 69. – P. 056221.
4. Yanchuk S., Stefanski A., Kapitaniak T., Wojewoda J. Dynamics of an array of coupled
semiconductor lasers // Ibid. – 2006. – 73.
5. Koryukin I. V., Mandel Paul. Two regimes of synchronization in unidirectionally coupled
semiconductor lasers // Ibid. – 2002. – 65. – P. 026201.
6. Kozyreff G., Vladimirov A. G., Mandel Paul. Global coupling with time delay in an array of semi-
conductor lasers // Phys. Rev. Lett. – 2000. – 85. – P. 3809 – 3812.
7. Samoilenko A. M., Recke L. Conditions for synchronization of one oscillation system // Ukr. Math.
J. – 2005. – 57, # 7. – P. 1089 – 1119.
8. Vicente Raúl, Shuo Tang, Mulet Josep, Mirasso Claudio R., Jia Ming Liu. Synchronization pro-
perties of two self-oscillating semiconductor lasers subject to delayed optoelectronic mutual coup-
ling // Phys. Rev. E. – 2006. – 73.
9. Wedekind I., Parlitz U. Synchronization and antisynchronization of chaotic power drop-outs and
jump-ups of coupled semiconductor lasers // Ibid. – 2002. – 66. – P. 026218.
10. White J. K., Matus M., Moloney J. V. Achronal generalized synchronization in mutually coupled
semiconductor lasers // Ibid. – 2002. – 65. – P. 036229.
11. Wille E., Peil M., Fischer I., Elsäßer W. Dynamical scenarios of mutually delay-coupled semicon-
ductor lasers in the short coupling regime // Semiconductor Lasers and Laser Dynamics: Proc. SPIE
/ D. Lenstra, G. Morthier, T. Erneux, M. Pessa. – 2004. – 5452. – P. 41 – 50.
12. Recke L., Wolfrum M., Yanchuk S. Analysis and control of complex nonlinear processes // World
Sci. Lect. Notes Complex Systems. – 2007. – 5. – P. 185 – 212.
13. Hlova A. F. Synxronyzacyq yzluçenyq lazerov s optyçeskoj svqz\g // Kvant. πlektronyka.
– 2003. – 33, # 4. – S.S283 – 306.
14. Brauer F., Nohel J. A. Qualitative theory of ordinary differential equations. – New York; Amster-
dam: W. A. Benjamin, Inc., 1969.
15. Farkas M. Periodic motions. – Springer, 1994.
Poluçeno 07.11.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
|