Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств
Вивчається регулярна еліптична крайова задача в обмеженій області з гладкою межею. Доведено, що оператор цієї задачi є фредгольмовим у дво6ічній уточненій шкалi функціональних гільбертових просторів та породжує там повний набір ізоморфізмів. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Воле...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164503 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 4. — С. 497–520. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164503 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645032020-02-10T01:28:57Z Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Статті Вивчається регулярна еліптична крайова задача в обмеженій області з гладкою межею. Доведено, що оператор цієї задачi є фредгольмовим у дво6ічній уточненій шкалi функціональних гільбертових просторів та породжує там повний набір ізоморфізмів. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха та деякі їх модифікації. Встановлено апріорну оцінку розв'язку та досліджено його регулярність. A regular elliptic boundary-value problem over a bounded domain with smooth boundary is studied. We prove that the operator of this problem is a Fredholm one in the two-sided refined scale of the functional Hilbert spaces and generates a complete collection of isomorphisms. Elements of this scale are the Hormander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces and some their modifications. An a priori estimate for ¨ the solution is established and its regularity is investigated. 2008 Article Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 4. — С. 497–520. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164503 517.956.223 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств Український математичний журнал |
| description |
Вивчається регулярна еліптична крайова задача в обмеженій області з гладкою межею. Доведено, що оператор цієї задачi є фредгольмовим у дво6ічній уточненій шкалi функціональних гільбертових просторів та породжує там повний набір ізоморфізмів. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха та деякі їх модифікації. Встановлено апріорну оцінку розв'язку та досліджено його регулярність. |
| format |
Article |
| author |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_sort |
Михайлец, В.А. |
| title |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_short |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_full |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_fullStr |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_full_unstemmed |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_sort |
эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164503 |
| citation_txt |
Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 4. — С. 497–520. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlecva élliptičeskaâkraevaâzadačavdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv AT muračaa élliptičeskaâkraevaâzadačavdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv |
| first_indexed |
2025-07-14T17:02:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:02:54Z |
| _version_ |
1837642625516044288 |
| fulltext |
УДК 517.956.223
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Чернигов. технол. ун-т)
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ
A regular elliptic boundary-value problem over a bounded domain with smooth boundary is studied. We
prove that the operator of this problem is a Fredholm one in the two-sided refined scale of the functional
Hilbert spaces and generates a complete collection of isomorphisms. Elements of this scale are the
Hörmander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces and some their modifications. An a priori estimate for
the solution is established and its regularity is investigated.
Вивчається регулярна елiптична крайова задача в обмеженiй областi з гладкою межею. Доведено,
що оператор цiєї задачi є фредгольмовим у двобiчнiй уточненiй шкалi функцiональних гiльбертових
просторiв та породжує там повний набiр iзоморфiзмiв. Елементами цiєї шкали є iзотропнi простори
Хермандера – Волевiча – Панеяха та деякi їх модифiкацiї. Встановлено апрiорну оцiнку розв’язку
та дослiджено його регулярнiсть.
Введение. В работах Ж.-Л. Лионса, Э. Мадженеса [1] и Ю. М. Березанского,
С. Г. Крейна, Я. А. Ройтберга [2 – 5] установлены теоремы о полном наборе изо-
морфизмов, который осуществляет оператор регулярной эллиптической краевой
задачи в двусторонней шкале пространств функций/распределений. Полнота на-
бора означает, что указанные изоморфизмы выполняются между пространствами
функций/распределений, которые имеют соответственно s и s − 2q производных,
где s — произвольное вещественное число, а 2q — порядок оператора. Позитивная
часть двусторонней шкалы (s ≥ 2q) состоит из пространств Соболева, а негативная
часть (s < 2q) — из модифицированных специальным образом соболевских про-
странств. Известны две такие модификации. Модификация Лионса – Мадженеса
состоит из некоторых сужений соболевских пространств, что позволяет обеспечить
непрерывность краевых операторов в них. Иной подход предложен Я. А. Ройтбер-
гом [3 – 5] и основывается на расширении соболевских пространств. Более точно,
обобщенное решение краевой задачи трактуется как вектор, компоненты которого
принадлежат соболевским пространствам и связаны определенным образом между
собой. Это позволило исследовать эллиптическую краевую задачу, правые части
которой являются произвольными распределениями.
Теоремы о полном наборе изоморфизмов были доказаны Я. А. Ройтбергом
[5] также для нерегулярных эллиптических краевых задач и краевых задач для
эллиптических систем дифференциальных уравнений. В наиболее общем виде
они установлены А. Н. Кожевниковым [6] для псевдодифференциальных эллипти-
ческих краевых задач. Эти теоремы имеют ряд важных приложений (см. [5] и
приведенную там библиографию). Среди них особое место занимают утвержде-
ния о повышении локальной гладкости решения эллиптической краевой задачи.
В этой связи является актуальным изучение эллиптических задач в двусторонних
шкалах пространств, дающих более тонкую градацию гладкостных свойств рас-
пределений, чем соболевская шкала. К их числу относится гильбертова шкала
специальных изотропных пространств Хермандера – Волевича – Панеяха [7 – 10]
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4 497
498 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Hs,ϕ := H
〈·〉s ϕ(〈·〉)
2 , 〈ξ〉 :=
(
1 + |ξ|2
)1/2
,
где s ∈ R, а функциональный параметр ϕ является медленно меняющейся на +∞
по Карамата функцией t� 1. В частности, допустима любая эталонная функция
ϕ(t) = (log t)r1(log log t)r2 . . . (log . . . log t)rn , {r1, r2, . . . , rn} ⊂ R, n ∈ N.
Эта уточненная шкала изучена в [11, 12]. Она содержит соболевскую шкалу
{Hs} ≡ {Hs,1}, привязана к ней числовым параметром s, но намного тоньше ее.
Пространства Hs,ϕ естественно возникают в ряде спектральных задач: сходи-
мость спектральных разложений самосопряженных эллиптических операторов по-
чти всюду, по норме пространства Lp с p > 2 или C (см. обзор [13]); спектральная
асимптотика общих самосопряженных эллиптических операторов в ограниченной
области, формула Г. Вейля, точная оценка остаточного члена в ней (см. [14, 15])
и др. Можно ожидать, что они окажутся полезными и в иных „тонких” вопросах.
Благодаря своим интерполяционным свойствам Hs,ϕ занимают особое место среди
пространств обобщенной гладкости, которые все активнее исследуются и исполь-
зуются в последние годы (см. обзор [16], недавние работы [17, 18] и приведенную
в них библиографию).
В настоящей статье изучается регулярная эллиптическая краевая задача в дву-
сторонней уточненной шкале пространств, негативная часть которой модифициро-
вана по Ройтбергу. Доказано, что оператор этой задачи ограничен, фредгольмов и
порождает полный набор изоморфизмов в такой шкале. Исследована уточненная
локальная гладкость решения эллиптической задачи. В качестве приложения дано
достаточное условие классичности обобщенного решения задачи.
Отметим для полноты изложения, что в позитивной части уточненной шкалы
неоднородная эллиптическая краевая задача изучена ранее в [19, 12, 20]. Полу-
однородные эллиптические краевые задачи можно исследовать в двусторонних
уточненных шкалах без их модификации (см. [21, 22]). Однако, неоднородная
краевая задача в негативной части шкалы не сводится к двум полуоднородным,
так как их решения являются распределениями разной природы. Случай эллипти-
ческих операторов в двусторонней уточненной шкале пространств на замкнутом
компактном многообразии исследован авторами в [23 – 25]. Отметим также работы
[26, 27], где эллиптическая краевая задача изучалась в двусторонних модифициро-
ванных шкалах пространств Лизоркина – Трибеля и Никольского – Бесова.
1. Постановка задачи и основной результат. Пусть Ω — ограниченная область
в евклидовом пространстве Rn, n ≥ 2, с границей Γ, которая является бесконечно
гладким замкнутым многообразием размерности n−1.Предполагается, что область
Ω локально расположена по одну сторону от Γ. Обозначим Ω = Ω ∪ Γ.
Рассмотрим следующую неоднородную краевую задачу в области Ω:
Au = f в Ω, Bj u = gj на Γ при j = 1, . . . , q. (1.1)
Здесь и далее A — линейное дифференциальное выражение в Ω произвольного
четного порядка 2q ≥ 2, а Bj , j = 1, . . . , q, — граничное линейное дифференци-
альное выражение на Γ порядка mj ≤ 2q − 1. Все коэффициенты выражений A
и Bj являются комплекснозначными функциями, бесконечно гладкими в Ω и на Γ
соответственно. Положим B := (B1, . . . , Bq).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 499
Всюду далее предполагается, что краевая задача (1.1) является регулярной эл-
липтической. Это означает [1, с. 137, 138; 28, с. 167], что выражение A правильно
эллиптическое в Ω, а набор граничных выражений B нормальный и удовлетворяет
условию дополнительности по отношению к A на Γ. Из условия нормальности
следует, что порядки mj граничных дифференциальных выражений все различны.
Наряду с задачей (1.1) рассмотрим краевую задачу
A+ v = ω в Ω, B+
j v = hj на Γ при j = 1, . . . , q. (1.2)
Она формально сопряжена к задаче (1.1) относительно формулы Грина:
(Au, v)Ω +
q∑
j=1
(Bju, C+
j v)Γ = (u,A+v)Ω +
q∑
j=1
(Cju, B+
j v)Γ, u, v ∈ C∞( Ω ),
где A+ — сопряженное к A линейное дифференциальное выражение порядка 2q с
коэффициентами класса C∞(Ω ), а {B+
j }, {Cj}, {C
+
j } — некоторые нормальные
системы линейных дифференциальных граничных выражений с коэффициентами
класса C∞(Γ). Их порядки удовлетворяют условию
ordBj + ordC+
j = ordCj + ordB+
j = 2q − 1.
Здесь через (·, ·)Ω и (·, ·)Γ обозначены скалярные произведения в пространствах
L2(Ω) и L2(Γ) функций, интегрируемых с квадратом в Ω и на Γ соответственно, а
также естественные расширения по непрерывности этих скалярных произведений.
Положим
N :=
{
u ∈ C∞(Ω ): Au = 0 в Ω, Bju = 0 на Γ для j = 1, . . . , q
}
,
N+ :=
{
v ∈ C∞( Ω ): A+v = 0 в Ω, B+
j v = 0 на Γ для j = 1, . . . , q
}
.
Поскольку задачи (1.1) и (1.2) являются регулярными эллиптическими, простран-
ства N и N+ конечномерны [1, с. 191; 28, с. 168].
Для простоты формулировок предположим в этом пункте, что N = N+ = {0}.
Напомним следующий классический результат [1, с. 191; 28, с. 169]: оператор
(A,B), соответствующий задаче (1.1), определяет топологический изоморфизм
(A,B) : Hs(Ω) ↔ Hs−2q(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2(Γ) при s ≥ 2q, (1.3)
где Hσ(Ω) и Hσ(Γ), σ ∈ R, — гильбертовы пространства Соболева в Ω и на Γ
соответственно.
Легко заметить, что этот результат не верен в случае произвольного веществен-
ного s. Так, при s ≤ mj + 1/2 нельзя задать на пространстве Hs(Ω) граничный
дифференциальный оператор Bj . Я. А. Ройтбергом [3], [5] (п. 2.4) (см. также [4]
(гл. III, § 6), [29] (п. 7.9)) предложено следующее определение обобщенного реше-
ния краевой задачи (1.1), устраняющее этот недостаток.
В окрестности границы Γ запишем дифференциальные выражения A и Bj в
виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
500 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
A =
2q∑
k=0
AkD
k
ν и Bj =
mj∑
k=0
Bj,kD
k
ν . (1.4)
Здесь Dν := i ∂/∂ν, где ν — орт внутренней нормали к границе Γ, а Ak и Bj,k —
некоторые тангенциальные дифференциальные выражения. Проинтегрировав по
частям, запишем следующую формулу Грина:
(Au, v)Ω = (u,A+v)Ω − i
2q∑
k=1
(Dk−1
ν u,A(k)v)Γ (1.5)
для произвольных функций u, v ∈ C∞(Ω ). Здесь A(k) :=
∑2q
r=k
Dr−k
ν A+
r , где
A+
r — дифференциальное выражение, сопряженное к Ar. С помощью предельного
перехода убеждаемся, что формула (1.5) справедлива для каждого распределения
u ∈ H2q(Ω). Обозначим
u0 := u и uk := (Dk−1
ν u) � Γ при k = 1, . . . , 2q. (1.6)
В силу (1.4), (1.5) краевая задача (1.1) относительно искомой функции u ∈
∈ H2q(Ω) равносильна системе условий
(u0, A
+v)Ω − i
2q∑
k=1
(uk, A(k)v)Γ = (f, v)Ω для любого v ∈ C∞( Ω ), (1.7)
mj∑
k=0
Bj,k uk+1 = gj на Γ при j = 1, . . . , q. (1.8)
Заметим, что эти условия имеют смысл в случае произвольных (вообще говоря,
нерегулярных) распределений
u0 ∈ D′(Rn), suppu0 ⊆ Ω, u1, . . . , u2q ∈ D′(Γ). (1.9)
Здесь, как обычно, через D′(Rn) и D′(Γ) обозначены линейные топологические
пространства Шварца распределений в Rn и на Γ соответственно. Поэтому введем
следующее определение.
Вектор u = (u0, u1, . . . , u2q), удовлетворяющий условию (1.9), называется обоб-
щенным (по Ройтбергу) решением краевой задачи (1.1), если выполняются усло-
вия (1.7), (1.8).
Мы будем изучать обобщенные решения задачи (1.1) в специально подобранных
парах гильбертовых пространств, построенных на основе семейства пространств{
Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
.
Оно изучено авторами в [12] и названо уточненной шкалой в Rn. Определение про-
странства Hs,ϕ(Rn) приведено в п. 2. Здесь отметим лишь, что это пространство
гильбертово и состоит из распределений в Rn, гладкость которых охарактеризова-
на с помощью двух параметров — числового s и функционального ϕ. Последний
пробегает достаточно широкое множествоM, состоящее из медленно меняющихся
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 501
(по Карамата) на +∞ функций, и уточняет основную (степенную) гладкость, зада-
ваемую параметром s. В частном случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn) совпадает
с пространством Соболева Hs(Rn).
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M. В случае s ≥ 0 обозначим через Hs,ϕ,(0)(Ω) гильберто-
во пространство сужений в область Ω всех распределений из Hs,ϕ(Rn). Далее, в
случае s < 0 обозначим через Hs,ϕ,(0)(Ω) пространство, сопряженное к простран-
ствуH−s, 1/ϕ,(0)(Ω) относительно полуторалинейной формы (·, ·)Ω. (Здесь уместно
отметить, что ϕ ∈ M ⇔ 1/ϕ ∈ M.) Кроме того, обозначим через Hs,ϕ(Γ) гиль-
бертово пространство распределений на Γ, принадлежащих локально пространству
Hs,ϕ(Rn−1). (Детально указанные пространства будут определены в п. 2.) Для
каждого s ∈ R \ {1/2, 3/2, . . . , 2q − 1/2} положим
Ks,ϕ,(2q)(Ω,Γ) :=
{
(u0, u1, . . . , u2q) : u0 ∈ Hs,ϕ,(0)(Ω), uk ∈ Hs−k+1/2,ϕ(Γ),
k = 1, . . . , 2q, причем uk = (Dk−1
ν u) � Γ, если s > k − 1/2
}
. (1.10)
Сформулируем основной результат статьи.
Теорема 1.1. В предположении N = N+ = {0} оператор (A,B), соответ-
ствующий задаче (1.1), определяет топологический изоморфизм
(A,B) : Ks,ϕ,(2q)(Ω,Γ) ↔ Hs−2q,ϕ,(0)(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2,ϕ(Γ) (1.11)
для произвольных параметров s ∈ R\{1/2, 3/2, . . . , 2q−1/2} и ϕ ∈M. При этом
решение u = (u0, u1, . . . , u2q) задачи (1.1) понимается как обобщенное.
Отождествляя функцию u ∈ C∞( Ω ) с вектором (u0, u1, . . . , u2q), компоненты
которого вычисляются согласно (1.6), получаем, что операторы (1.3) и (1.11) совпа-
дают на множестве классических решений u ∈ C∞( Ω ) краевой задачи (1.1). Это
множество плотно в пространствах Hs(Ω) и Ks,ϕ,(2q)(Ω,Γ), являющихся областя-
ми определения указанных операторов.
Более общее утверждение, чем теорема 1.1, приведено и доказано в п. 5.
2. Уточненные шкалы пространств. Сначала приведем определение уточ-
ненной шкалы в Rn, n ∈ N (см. [12]). Обозначим черезM множество всех функций
ϕ : [1,+∞) → (0,+∞) таких, что:
а) ϕ измерима по Борелю на полуоси [1,+∞);
б) функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где 1 < b < +∞;
в) функция ϕ является медленно меняющейся на +∞ по Карамата, т. е. [30]
(п. 1.1)
lim
t→+∞
ϕ(λ t)
ϕ(t)
= 1 для любого λ > 0.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M. Обозначим через Hs,ϕ(Rn) пространство всех медленно
растущих распределений u ∈ D′(Rn) таких, что преобразование Фурье û распре-
деления u является локально суммируемой по Лебегу в Rn функцией, удовлетво-
ряющей условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
502 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) |û(ξ)|2 dξ <∞.
Здесь интеграл берется по Rn, а 〈ξ〉 = (1 + ξ21 + . . .+ ξ2n)
1/2 — сглаженный модуль
вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn. В пространстве Hs,ϕ(Rn) в качестве скалярного
произведения возьмем величину(
u, v
)
Hs,ϕ(Rn)
:=
∫
〈ξ〉2sϕ2
(
〈ξ〉
)
û(ξ) v̂(ξ)dξ.
Она естественным образом порождает норму. Отметим, что мы рассматриваем
распределения, являющиеся антилинейными функционалами.
ПространствоHs,ϕ(Rn) — частный изотропный гильбертов случай пространств,
рассмотренных Л. Хермандером [7, с. 54; 8, с. 13] и Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом
[9, с. 14; 10, с. 45]. В частном случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn) = Hs,1(Rn)
совпадает с пространством Соболева Hs(Rn) порядка s. В общем случае справед-
ливы включения⋃
ε>0
Hs+ε(Rn) =: Hs+(Rn) ⊂ Hs,ϕ(Rn) ⊂ Hs−(Rn) :=
⋂
ε>0
Hs−ε(Rn). (2.1)
Они означают, что в семействе гильбертовых сепарабельных пространств{
Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
функциональный параметр ϕ уточняет основную (степенную) s-гладкость. По-
этому это семейство естественно назвать уточненной шкалой в Rn (по отношению
к соболевской шкале).
Теперь, следуя стандартной процедуре, определим аналоги пространства
Hs,ϕ(Rn) для областей Ω и Ω (см. [22]).
Обозначим
Hs,ϕ
Ω
(Rn) :=
{
u ∈ Hs,ϕ(Rn) : suppu ⊆ Ω
}
.
Отметим, что Hs,ϕ
Ω
(Rn) — гильбертово сепарабельное пространство относительно
скалярного произведения в Hs,ϕ(Rn).
Далее, положим
Hs,ϕ(Ω) :=
{
u � Ω: u ∈ Hs,ϕ(Rn)
}
,
∥∥ v ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
:= inf
{
‖u‖Hs,ϕ(Rn) : u = v в Ω
}
.
Пространство Hs,ϕ(Ω) сепарабельное и гильбертово, поскольку норма в нем по-
рождена скалярным произведением(
v1, v2
)
Hs,ϕ(Ω)
:=
(
u1 −Πu1, u2 −Πu2
)
Hs,ϕ(Rn)
.
Здесь uj ∈ Hs,ϕ(Rn), uj = vj в Ω, j = 1, 2, а Π — ортопроектор пространства
Hs,ϕ(Rn) на подпространство
{
u ∈ Hs,ϕ(Rn) : suppu ⊆ Rn \ Ω
}
.
Таким образом, пространство Hs,ϕ
Ω
(Rn) состоит из распределений, сосредото-
ченных в замкнутой области Ω, а пространство Hs,ϕ(Ω) — из распределений, за-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 503
данных в открытой области Ω. Отметим следующие их свойства [22] (теорема 3.2).
Множество
C∞0 (Ω) :=
{
u ∈ C∞(Rn) : suppu ⊂ Ω
}
плотно в Hs,ϕ
Ω
(Rn), а множество C∞( Ω ) — в Hs,ϕ(Ω). Пространства Hs,ϕ
Ω
(Rn) и
H−s, 1/ϕ(Ω) взаимно сопряжены с равенством норм относительно расширения по
непрерывности полуторалинейной формы (u, v)Ω, где u ∈ C∞0 (Ω), v ∈ C∞(Ω ).
Заметим здесь, что пространство H−s, 1/ϕ(Ω) определено, поскольку 1/ϕ ∈M.
Рассмотрим также пространства распределений на многообразии Γ. Возьмем
конечный атлас из C∞-структуры на Γ, образованный локальными картами αj :
Rn−1 ↔ Uj , где j = 1, . . . , k. Здесь открытые множества Uj составляют конечное
покрытие многообразия Γ. Пусть функции χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , k, образуют
разбиение единицы на Γ, удовлетворяющее условию suppχj ⊂ Uj . Положим
Hs,ϕ(Γ) :=
:=
{
g ∈ D′(Γ) : (χj g) ◦ αj ∈ Hs,ϕ(Rn−1) для j = 1, . . . , k
}
,
(
g1, g2
)
Hs,ϕ(Γ)
:=
k∑
j=1
(
(χj g1) ◦ αj , (χj g2) ◦ αj
)
Hs,ϕ(Rn−1)
. (2.2)
Здесь h ◦αj — представление распределения h ∈ D′(Γ) в локальной карте αj . Ска-
лярное произведение (2.2) естественным образом порождает норму в пространстве
Hs,ϕ(Γ). Это пространство гильбертово сепарабельное и с точностью до экви-
валентных норм не зависит от выбора атласа и разбиения единицы [12] (п. 3).
Множество C∞(Γ) плотно в Hs,ϕ(Γ).
Отметим далее следующее [12] (п. 3). Если s > 1/2, то для каждой функции
u ∈ Hs,ϕ(Ω) определен по замыканию ее след на границе Γ — функция u � Γ ∈
∈ Hs−1/2,ϕ(Γ). При этом
Hs−1/2,ϕ(Γ) =
{
u � Γ: u ∈ Hs,ϕ(Ω)
}
,∥∥ g ∥∥
Hs−1/2,ϕ(Γ)
� inf
{
‖u‖Hs,ϕ(Ω) : u � Γ = g
}
.
В случае s < 1/2 нельзя корректно определить след произвольного распределения
u ∈ Hs,ϕ(Ω) на границе Γ. Вводимые ниже пространства Hs,ϕ,(r)(Ω), r ∈ N,
лишены этого недостатка.
Определим для каждого целого r ≥ 0 шкалу пространств{
Hs,ϕ,(r)(Ω): s ∈ R, ϕ ∈M
}
. (2.3)
Она сыграет центральную роль при изучении эллиптической краевой задачи (1.1).
Пусть сначала r = 0. В случае s ≥ 0 обозначим через Hs,ϕ,(0)(Ω) гильбертово
пространство Hs,ϕ(Ω). В случае s < 0 обозначим через Hs,ϕ,(0)(Ω) гильбертово
пространство Hs,ϕ
Ω
(Rn), сопряженное к пространству H−s, 1/ϕ(Ω) относительно
полуторалинейной формы (·, ·)Ω.
С точки зрения приложений к дифференциальным операторам удобна трактов-
ка пространства Hs,ϕ,(0)(Ω) как пополнения линеала C∞( Ω ) по соответствующей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
504 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
норме. Действительно, пространствоHs,ϕ,(0)(Ω) при s ≥ 0 совпадает с пополнени-
ем линеала C∞( Ω ) по норме пространстваHs,ϕ(Ω). Далее заметим, что естествен-
но отождествлять функции из пространства L2(Ω) = H0(Ω) с их продолжениями
нулем в Rn; в этом смысле L2(Ω) = H0
Ω
(Rn). При таком отождествлении получим
в силу (2.1) включения
C∞0 (Ω) ⊂ C∞( Ω ) ⊂ L2(Ω) = H0
Ω
(Rn) ⊂ Hs,ϕ
Ω
(Rn) = Hs,ϕ,(0)(Ω) при s < 0.
Отсюда следует, что функции класса C∞( Ω ) (продолженные нулем в Rn) образуют
плотный линеал в пространстве Hs,ϕ,(0)(Ω) при s < 0. Значит, это пространство
является пополнением множества функций u ∈ C∞( Ω ) по норме
sup
{ ∣∣(u, v)
Ω
∣∣∥∥v∥∥
H−s,1/ϕ(Ω)
: v ∈ H−s,1/ϕ(Ω), v 6= 0
}
.
Пусть теперь r ∈ N. Положим Er := {k − 1/2: k = 1, . . . , r}. В случае s ∈
∈ R\Er обозначим через Hs,ϕ,(r)(Ω) пополнение линейного пространства C∞( Ω )
по норме
‖u‖Hs,ϕ,(r)(Ω) :=
(
‖u‖2Hs,ϕ,(0)(Ω) +
r∑
k=1
∥∥(Dk−1
ν u) � Γ
∥∥2
Hs−k+1/2,ϕ(Γ)
)1/2
.
Эта норма гильбертова, следовательно, и пространство Hs,ϕ,(r)(Ω) гильбертово.
Оно сепарабельно, как будет показано ниже в п. 4.
В случае s ∈ Er определим пространство Hs,ϕ,(r)(Ω) посредством интерполя-
ции:
Hs,ϕ,(r)(Ω) :=
[
Hs−ε,ϕ,(r)(Ω), Hs+ε,ϕ,(r)(Ω)
]
1/2
при 0 < ε < 1. (2.4)
Определение использованного здесь интерполяционного метода приведено в п. 3.
В п. 7 будет показано, что пространство (2.4) с точностью до эквивалентных норм
не зависит от ε.
Семейство гильбертовых сепарабельных пространств (2.3) называем модифи-
цированной по Ройтбергу уточненной шкалой порядка r. В случае ϕ ≡ 1 (про-
странства Соболева) эта шкала введена и изучена Я. А. Ройтбергом [3], [5] (п. 2.4)
(см. также [4] (гл. III, § 6), [28, с. 171], [29] (п. 7.9)).
В силу определения модифицированной шкалы оператор следа u 7→ u � Γ,
u ∈ C∞( Ω ), продолжается по непрерывности до ограниченного оператора, дей-
ствующего из пространства Hs,ϕ,(r)(Ω) в пространство Hs−1/2,ϕ(Γ) при любых
s ∈ R, r ∈ N. Более того, для произвольного u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω) корректно определен
по формулам (1.6) посредством замыкания вектор (u0, u1, . . . , u2q). Поэтому можно
трактовать u как обобщенное решение (u0, u1, . . . , u2q) задачи (1.1).
3. Интерполяция с функциональным параметром. Интерполяция с функ-
циональным параметром пар гильбертовых пространств — это естественное обоб-
щение классического интерполяционного метода [1, с. 21 – 23; 28, c. 251] на случай,
когда в качестве параметра интерполяции вместо степенной берется более общая
функция. Приведем определение и некоторые свойства такой интерполяции. Для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 505
наших целей достаточно ограничиться сепарабельными гильбертовыми простран-
ствами.
Упорядоченную пару [X0, X1] комплексных гильбертовых пространств X0 и
X1 будем называть допустимой, если пространства X0, X1 сепарабельные и спра-
ведливо непрерывное плотное вложение X1 ↪→ X0.
Пусть задана допустимая пара X := [X0, X1] гильбертовых пространств. Как
известно [1, c. 22], дляX существует такой изометрический изоморфизм J : X1 ↔
↔ X 0, что J является самосопряженным положительно определенным оператором
в пространстве X 0 с областью определения X1. Оператор J называется порожда-
ющим для пары X, этот оператор определяется парой X однозначно.
Обозначим через B множество всех функций, заданных, положительных и изме-
римых по Борелю на полуоси (0,+∞). Пусть ψ ∈ B. Поскольку спектр оператора
J является подмножеством полуоси (0,+∞), в пространстве X0 определен как
функция от J оператор ψ(J). Область определения оператора ψ(J) есть линейное
многообразие, плотное в X0. Обозначим через [X0, X1]ψ или, короче, Xψ область
определения оператора ψ(J), наделенную скалярным произведением графика
(u, v)Xψ = (u, v)X0 + (ψ(J)u, ψ(J)v)X0 .
Пространство Xψ гильбертово сепарабельное, причем справедливо непрерывное
плотное вложение Xψ ↪→ X0.
Функцию ψ ∈ B называем интерполяционным параметром, если для про-
извольных допустимых пар X = [X0, X1], Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств
и для любого линейного отображения T, заданного на X0, выполняется следую-
щее условие. Если при j = 0, 1 сужение отображения T на пространство Xj
является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и сужение отображения T на
пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ → Yψ.
Иными словами, функция ψ является интерполяционным параметром тогда и
только тогда, когда отображение X 7→ Xψ является интерполяционным функто-
ром, заданным на категории допустимых пар X гильбертовых пространств (см.
[31], п. 1.2.2). В этом случае будем говорить, что пространство Xψ получено в
результате интерполяции пары X с функциональным параметром ψ.
Классический результат [1, c. 41; 28, c. 250 – 255] в теории интерполяции гиль-
бертовых пространств состоит в том, что степенная функция ψ(t) = t θ порядка
θ ∈ (0, 1) является интерполяционным параметром. В этом случае θ естественным
образом выступает в качестве числового параметра интерполяции и интерполя-
ционное пространство Xψ обозначается через Xθ. Нам понадобится следующий,
более широкий, чем степенной, класс интерполяционных параметров [11] (теоре-
ма 2.1, лемма 2.1).
Предложение 3.1. Пусть функция ψ ∈ B ограничена на каждом отрезке
[a, b], где 0 < a < b < +∞. Пусть, кроме того, ψ — правильно меняющаяся на
+∞ по Карамата функция порядка θ, где 0 < θ < 1, т. е. [30] (п. 1.1)
lim
t→+∞
ψ(λ t)
ψ(t)
= λθ для любого λ > 0.
Тогда ψ является интерполяционным параметром. При этом справедливы непре-
рывные плотные вложения X1 ↪→ Xψ ↪→ X0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
506 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Ниже будут использованы следующие свойства интерполяции.
Предложение 3.2 ([19], теорема 4). Пусть задано конечное число допусти-
мых пар
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
, k = 1, . . . ,m, гильбертовых пространств. Тогда для любой
функции ψ ∈ B справедливо[
m∏
k=1
X
(k)
0 ,
m∏
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
m∏
k=1
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
ψ
с равенством норм.
Предложение 3.3 ([32], теорема 2). Пусть интерполяционные параметры ζ,
η, χ ∈ B удовлетворяют следующему условию: для каждого числа ε > 0 суще-
ствуют положительные числа c1(ε), c2(ε) такие, что
1 ≤ c1(ε) ζ(t) ≤ c2(ε) η(t) и 1 ≤ c1(ε)χ(t) при t > ε.
Тогда для произвольной допустимой пары X гильбертовых пространств справед-
ливо равенство пространств [Xζ , Xη]χ = Xψ с эквивалентностью норм. Здесь
функция ψ(t) := ζ(t)χ
(
η(t)/ζ(t)
)
аргумента t > 0 является интерполяционным
параметром.
Напомним следующее определение. Линейный ограниченный оператор T :
X → Y, где X, Y — банаховы пространства, называется фредгольмовым, если его
ядро конечномерно, а область значений T (X) замкнута в Y и имеет там конечную
коразмерность. Индексом фредгольмового оператора T называется число indT =
= dim kerT − dim(Y/T (X)).
Предложение 3.4 ([33], предложение 5.2). Пусть заданы две допустимые па-
ры X = [X 0, X1] и Y = [Y 0, Y1] гильбертовых пространств. Пусть, кроме того,
на X 0 задано линейное отображение T, для которого существуют ограниченные
фредгольмовы операторы T : Xj → Yj , j = 0, 1, имеющие общее ядро N и оди-
наковый индекс κ. Тогда для произвольного интерполяционного параметра ψ ∈ B
ограниченный оператор T : Xψ → Yψ фредгольмов с ядром N, областью значений
Yψ ∩ T (X 0) и тем же индексом κ.
4. Свойства модифицированной уточненной шкалы. Сначала изучим мо-
дифицированную шкалу (2.3) порядка r = 0. Отметим следующие ее свойства,
установленные в [22] (теорема 3.3).
Предложение 4.1. Пусть s, σ ∈ R и ϕ, χ ∈M. Тогда:
а) если |s| < 1/2, то нормы в пространствах Hs,ϕ
Ω
(Rn) и Hs,ϕ(Ω) эквива-
лентны на плотном линейном многообразии C∞0 (Ω), что означает следующее
равенство пространств с эквивалентностью норм в них:
Hs,ϕ,(0)(Ω) = Hs,ϕ
Ω
(Rn) = Hs,ϕ(Ω) при |s| < 1/2; (4.1)
б) пространства Hs,ϕ,(0)(Ω) и H−s,1/ϕ,(0)(Ω) взаимно сопряжены (при s 6= 0
с равенством норм, а при s = 0 с эквивалентностью норм) относительно полуто-
ралинейной формы (·, ·)Ω;
в) если s < σ, то справедливо компактное плотное вложение Hσ,χ,(0)(Ω) ↪→
↪→ Hs,ϕ,(0)(Ω);
г) если ϕ(t) ≤ c χ(t) при t � 1 для некоторого числа c > 0, то справедливо
непрерывное плотное вложение Hs,χ,(0)(Ω) ↪→ Hs,ϕ,(0)(Ω); это вложение ком-
пактно, если ϕ(t)/χ(t) → 0 при t→ +∞;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 507
д) неравенство
+∞∫
1
d t
t ϕ 2(t)
<∞, (4.2)
равносильно непрерывности вложенияHρ+n/2,ϕ,(0)(Ω) ↪→ Cρ( Ω ), где целое ρ ≥ 0;
непрерывность такого вложения влечет его компактность.
В связи с пунктами в), г) предложения 4.1 отметим следующее. Плотное не-
прерывное вложение Hσ,χ,(0)(Ω) ↪→ Hs,ϕ,(0)(Ω) понимается следующим образом.
Существует число c > 0 такое, что
‖u‖Hs,ϕ,(0)(Ω) ≤ c ‖u‖Hσ,χ,(0)(Ω) для любого u ∈ C∞
(
Ω
)
.
Кроме того, тождественное отображение, заданное на плотном линейном много-
образии C∞( Ω ), продолжается по непрерывности до ограниченного линейного
инъективного оператора I : Hσ,χ,(0)(Ω) → Hs,ϕ,(0)(Ω) (он называется оператором
вложения). Аналогично понимается плотное непрерывное вложениеHσ,χ,(r)(Ω) ↪→
↪→ Hs,ϕ,(r)(Ω) (см. ниже).
Следующая теорема устанавливает тот факт, что каждое пространство
Hs,ϕ,(0)(Ω) может быть получено в результате интерполяции пары соболевских
пространств с подходящим функциональным параметром.
Теорема 4.1. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положительные числа ε, δ.
Положим ψ(t) := tε/(ε+δ)ϕ(t1/(ε+δ)) при t ≥ 1 и ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Тогда:
а) функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром;
б) для каждого числа s ∈ R такого, что s − ε > −1/2 или s + δ < 1/2,
справедливо[
Hs−ε,1,(0)(Ω), Hs+δ,1,(0)(Ω)
]
ψ
= Hs,ϕ,(0)(Ω) с эквивалентностью норм.
Доказательство. Пункт а). Непосредственно проверяется, что функция ψ ∈ B
удовлетворяет условию предложения 3.1, где θ = ε/(ε+δ) ∈ (0, 1). Следовательно,
она является интерполяционным параметром.
Пункт б). Как установлено в [12] (теоремы 3.5, 3.7) и [22] (теорема 3.1), для
произвольного s ∈ R справедливы следующие равенства пространств с эквива-
лентностью норм в них:[
Hs−ε,1(Ω),Hs+δ,1(Ω)
]
ψ
= Hs,ϕ(Ω), (4.3)[
Hs−ε,1
Ω
(Rn),Hs+δ,1
Ω
(Rn)
]
ψ
= Hs,ϕ
Ω
(Rn). (4.4)
Если s− ε > −1/2, то в силу (4.1) и (4.3) получаем[
Hs−ε,1,(0)(Ω), Hs+δ,1,(0)(Ω)
]
ψ
=
=
[
Hs−ε,1(Ω),Hs+δ,1(Ω)
]
ψ
= Hs,ϕ(Ω) = Hs,ϕ,(0)(Ω).
Если s+ ε < 1/2, то в силу (4.1) и (4.4) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
508 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ[
Hs−ε,1,(0)(Ω), Hs+δ,1,(0)(Ω)
]
ψ
=
=
[
Hs−ε,1
Ω
(Rn),Hs+δ,1
Ω
(Rn)
]
ψ
= Hs,ϕ
Ω
(Rn) = Hs,ϕ,(0)(Ω).
Здесь наряду с равенством пространств выполняется эквивалентность норм в них.
Пункт б) доказан.
Далее изучим модифицированную шкалу (2.3) порядка r ∈ N. Нам понадобятся
следующие свойства пространства Hs,ϕ(Γ), установленные в [12] (теоремы 3.5,
3.6, 3.8).
Предложение 4.2. Пусть s, σ ∈ R и ϕ, χ ∈M. Тогда:
а) для произвольных положительных чисел ε, δ справедливо[
Hs−ε,1(Γ), Hs+δ,1(Γ)
]
ψ
= Hs,ϕ(Γ) с эквивалентностью норм,
где ψ — интерполяционный параметр из теоремы 4.1;
б) пространства Hs,ϕ(Γ) и H−s,1/ϕ(Γ) взаимно сопряжены (с эквивалент-
ностью норм) относительно полуторалинейной формы (·, ·)Γ;
в) пункты в), г) предложения 4.1 сохраняют силу, если в их формулировках
заменить пространства Hσ,χ,(0)(Ω), Hs,ϕ,(0)(Ω), Hs,χ,(0)(Ω) на пространства
Hσ,χ(Γ), Hs,ϕ(Γ), Hs,χ(Γ) соответственно;
г) неравенство (4.2) равносильно непрерывности вложенияHρ+(n−1)/2,ϕ(Γ) ↪→
↪→ Cρ(Γ), где целое ρ ≥ 0; непрерывность такого вложения влечет его компакт-
ность;
д) для любых k ∈ N, s > k − 1/2 линейное отображение u 7→ (Dk−1
ν u) � Γ,
u ∈ C∞( Ω ), продолжается по непрерывности до ограниченного оператора, дей-
ствующего из пространства Hs,ϕ,(0)(Ω) = Hs,ϕ(Ω) в пространство
Hs−k+1/2,ϕ(Γ).
Для произвольных s ∈ R, ϕ ∈M положим
Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ) := Hs,ϕ,(0)(Ω)×
r∏
k=1
Hs−k+1/2,ϕ(Γ).
Кроме того, если s /∈ Er, обозначим (см. (1.10))
Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ) :=
{
(u0, u1, . . . , ur) ∈ Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ):
uk = (Dk−1
ν u) � Γ для всех k = 1, . . . , r таких, что s > k − 1/2
}
.
В силу предложения 4.2 д) Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ) — (замкнутое) подпространство в
Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ).
Теорема 4.2. Пусть r ∈ N, s ∈ R \ Er, ϕ ∈M. Тогда:
а) линейное отображение
Tr : u 7→
(
u, u � Γ, . . . , (Dr−1
ν u) � Γ
)
, u ∈ C∞(Ω ), (4.5)
продолжается по непрерывности до изометрического изоморфизма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 509
Tr : Hs,ϕ,(r)(Ω) ↔ Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ); (4.6)
б) для произвольных положительных чисел ε, δ таких, что числа s, s− ε, s+ δ
принадлежат одному из интервалов
α0 := (−∞, 1/2), αk := (k − 1/2, k + 1/2), k = 1, . . . , r − 1,
αr := (r − 1/2,+∞),
справедливо[
Hs−ε,1,(r)(Ω), Hs+δ,1,(r)(Ω)
]
ψ
= Hs,ϕ,(r)(Ω) с эквивалентностью норм, (4.7)
где ψ — интерполяционный параметр из теоремы 4.1.
Доказательство. В случае ϕ ≡ 1 (модификация соболевских пространств)
пункт а) установлен Я. А. Ройтбергом [5] (лемма 2.2.1). Выведем отсюда пункт б)
для произвольного ϕ ∈M, а затем пункт а).
Обозначим через Xψ левую часть равенства (4.7). Рассмотрим изометрические
операторы
Tr : Hσ,1,(r)(Ω) → Πσ,1,(r)(Ω,Γ), σ ∈ {s− ε, s+ δ}.
Применив к ним интерполяцию с параметром ψ, получим ограниченный оператор
Tr : Xψ →
[
Πs−ε,1,(r)(Ω,Γ), Πs+δ,1,(r)(Ω,Γ)
]
ψ
. (4.8)
В силу предложений 3.2, 4.2 а) и теоремы 4.1 имеем[
Πs−ε,1,(r)(Ω,Γ), Πs+δ,1,(r)(Ω,Γ)
]
ψ
=
=
[
Hs−ε,1,(0)(Ω), Hs+δ,1,(0)(Ω)
]
ψ
×
r∏
k=1
[
Hs−ε−k+1/2,1(Γ), Hs+δ−k+1/2,1(Γ)
]
ψ
=
= Hs,ϕ,(0)(Ω)×
r∏
k=1
Hs−k+1/2,ϕ(Γ) = Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ)
с эквивалентностью норм. Следовательно,
‖u‖Hs,ϕ,(r)(Ω) =
∥∥Tru ∥∥Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ)
≤ c1 ‖u‖Xψ для всех u ∈ C∞
(
Ω
)
. (4.9)
Здесь c1 — норма оператора (4.8).
Докажем неравенство, обратное к (4.9). По условию s, s − ε, s + δ ∈ αp для
некоторого номера p ∈ {0, 1, . . . , r}. Рассмотрим линейное отображение
Tr,p : u 7→
(
u,
{(
Dk−1
ν u
)
� Γ: p+ 1 ≤ k ≤ r
})
, u ∈ C∞
(
Ω
)
.
(Как и прежде, индекс k целый.) Это отображение продолжается по непрерывности
до топологического изоморфизма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
510 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Tr,p : Hσ,1,(r)(Ω) ↔ Hσ,1,(0)(Ω) ×
∏
p+1≤k≤r
Hσ−k+1/2,1(Γ), σ ∈ {s− ε, s+ δ}.
(4.10)
Действительно, существование и ограниченность оператора (4.10) следует из
определения пространства Hσ,1,(r)(Ω). Покажем, что этот оператор биективный.
Пусть u ∈ Hσ,1,(r)(Ω),(
u0, {uk : p+ 1 ≤ k ≤ r}
)
∈ Hσ,1,(0)(Ω) ×
∏
p+1≤k≤r
Hσ−k+1/2,1(Γ).
Положим uk := (Dk−1
ν u0) � Γ при 1 ≤ k ≤ p. Распределение uk определено
корректно в силу предложения 4.2 д), поскольку σ > k−1/2 для указанных номеров
k. Заметим, что σ < k − 1/2 при p + 1 ≤ k ≤ r. Поэтому (u0, u1, . . . , ur) ∈
∈ Kσ,1,(r)(Ω,Γ). Как отмечено выше, пункт а) известен в случае ϕ ≡ 1. Значит,
существуют топологические изоморфизмы
Tr : Hσ,1,(r)(Ω) ↔ Kσ,1,(r)(Ω,Γ), σ ∈ {s− ε, s+ δ}.
Отсюда, поскольку
Tr u = (u0, u1, . . . , ur) ⇔ Tr,p u =
(
u0, {uk : p+ 1 ≤ k ≤ r}
)
,
следует, что ограниченный оператор (4.10) является биективным. Следовательно,
по теореме Банаха об обратном операторе (4.10) — топологический изоморфизм.
Применим к (4.10) интерполяцию с параметром ψ. В силу предложений 3.2,
4.2 а) и теоремы 4.1 получим топологический изоморфизм
Tr,p : Xψ ↔ Hs,ϕ,(0)(Ω) ×
∏
p+1≤k≤r
Hs−k+1/2,ϕ(Γ). (4.11)
Отсюда следует неравенство, обратное к (4.9):
‖u‖Xψ ≤ c2
‖u‖2Hs,ϕ,(0)(Ω) +
∑
p+1≤k≤r
∥∥(Dk−1
ν u) � Γ
∥∥2
Hs−k+1/2,ϕ(Γ)
1/2
≤
≤ c2 ‖u‖Hs,ϕ,(r)(Ω)
для всех u ∈ C∞( Ω ). Здесь c2 — норма оператора, обратного к (4.11). Таким
образом, нормы в пространствах Xψ и Hs,ϕ,(r)(Ω) эквивалентны на множестве
C∞( Ω ). Оно плотно вHs,ϕ,(r)(Ω) по определению и вXψ в силу предложения 3.1.
Следовательно, Xψ = Hs,ϕ,(r)(Ω) с точностью до эквивалентных норм. Пункт б)
доказан.
Докажем пункт а). Согласно определению пространства Hs,ϕ,(r)(Ω) отображе-
ние (4.5) продолжается по непрерывности до изометрического оператора
Tr : Hs,ϕ,(r)(Ω) → Πs,ϕ,(r)(Ω,Γ). (4.12)
На основании предложения 4.2 д) справедливо включение Tr
(
Hs,ϕ,(r)(Ω)
)
⊆
⊆ Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ). Докажем обратное включение. Пусть (u0, u1, . . . , ur) ∈
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 511
∈ Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ). В силу (4.11) и равенства Xψ = Hs,ϕ,(r)(Ω) существует топо-
логический изоморфизм
Tr,p : Hs,ϕ,(r)(Ω) ↔ Hs,ϕ,(0)(Ω) ×
∏
p+1≤k≤r
Hs−k+1/2,ϕ(Γ).
Поэтому найдется такое u ∈ Hs,ϕ,(r)(Ω), что
Tr,p u =
(
u0, {uk : p+ 1 ≤ k ≤ r}
)
.
Отсюда в силу предложения 4.2 д) вытекает равенство Tr u = (u0, u1, . . . , ur).
Тем самым доказано включение Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ) ⊆ Tr(Hs,ϕ,(r)(Ω)). Таким образом,
Tr(Hs,ϕ,(r)(Ω)) = Ks,ϕ,(r)(Ω,Γ), что вместе с изометрическим оператором (4.12)
влечет изометрический изоморфизм (4.6). Пункт а) доказан.
Теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3. Пусть r ∈ N, s, σ ∈ R и ϕ, χ ∈M. Тогда:
а) гильбертово пространство Hs,ϕ,(r)(Ω) сепарабельное;
б) множество C∞( Ω ) плотно в пространстве Hs,ϕ,(r)(Ω);
в) если s > r − 1/2, то Hs,ϕ,(r)(Ω) = Hs,ϕ(Ω) с эквивалентностью норм;
г) пункты в), г) предложения 4.1 сохраняют силу, если в их формулировках в
обозначениях пространств заменить (0) на (r).
Доказательство. Пункт а). Для s /∈ Er сепарабельность пространства
Hs,ϕ,(r)(Ω) вытекает из теоремы 4.2 а) и сепарабельности пространства Ks,ϕ,(r)(Ω,
Γ). Если s ∈ Er, то пространство Hs,ϕ,(r)(Ω) сепарабельно в силу (2.4) как резуль-
тат интерполяции сепарабельных гильбертовых пространств.
Пункт б) в случае s /∈ Er содержится в определении пространства Hs,ϕ,(r)(Ω).
Если s ∈ Er, то в силу (2.4) и предложения 3.1 справедливо непрерывное плотное
вложение Hs+ε,ϕ,(r)(Ω) ↪→ Hs,ϕ,(r)(Ω) для достаточно малого ε > 0. Поскольку
s+ε /∈ Er, множество C∞( Ω ) плотно в пространстве Hs+ε,ϕ,(r)(Ω). Следователь-
но, это множество плотно и в пространстве Hs,ϕ,(r)(Ω).
Пункт в). Если s > r − 1/2, то в силу предложения 4.2 д) нормы в простран-
ствах Hs,ϕ,(r)(Ω) и Hs,ϕ,(0)(Ω) = Hs,ϕ(Ω) эквивалентны на плотном линейном
многообразии C∞(Ω ). Следовательно, эти пространства равны.
Пункт г) для s, σ /∈ Er вытекает из предложений 4.1 в), г) и 4.2 в) в силу
теоремы 4.2 а). Если {s, σ} ∩ Er 6= ∅ и s < σ, то в силу (2.4) и предложения 3.1
для достаточно малого числа ε > 0 справедливы непрерывные плотные вложения
Hσ,χ,(r)(Ω) ↪→ Hσ−ε,χ,(r)(Ω) ↪→ Hs+ε,ϕ,(r)(Ω) ↪→ Hs,ϕ,(r)(Ω).
Наконец, если s ∈ Er, то в силу (2.4) имеем
Hs∓ε,χ,(r)(Ω) ↪→ Hs∓ε,ϕ,(r)(Ω) ⇒ Hs,χ,(r)(Ω) ↪→ Hs,ϕ,(r)(Ω),
причем наследуется как непрерывность, так и компактность [31] (п. 1.16.4) вло-
жений.
Теорема 4.3 доказана.
5. Эллиптическая краевая задача в модифицированной уточненной шкале.
Напомним, что краевая задача (1.1) регулярная эллиптическая, а N и N+ — конеч-
номерные бесконечно гладкие ядра операторов задач (1.1) и (1.2) соответственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
512 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Теорема 5.1. Для произвольных параметров s ∈ R и ϕ ∈ M линейное ото-
бражение
(A,B) : u→ (Au,B1u, . . . , Bqu), u ∈ C∞(Ω), (5.1)
продолжается по непрерывности до ограниченного оператора
(A,B) : Hs,ϕ,(2q)(Ω) → Hs−2q,ϕ,(0)(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2,ϕ(Γ) =: Hs,ϕ(Ω,Γ).
(5.2)
Этот оператор фредгольмов. Его ядро совпадает с N, а область значений равна
множеству{
(f, g1, . . . , gq) ∈ Hs,ϕ(Ω,Γ): (f, v)Ω +
q∑
j=1
(gj , C+
j v)Γ = 0 для всех v ∈ N+
}
.
(5.3)
Индекс оператора (5.2) равен dimN − dimN+ и не зависит от s, ϕ.
Доказательство. В соболевском случае ϕ ≡ 1 эта теорема установлена
Я. А. Ройтбергом [5] (теоремы 4.1.1 и 5.3.1). Отсюда мы выведем общий слу-
чай ϕ ∈M с помощью интерполяции.
Сначала предположим, что s /∈ E2q. Пусть положительное число ε = δ та-
кое, как в теореме 4.2 б). Отображение (5.1) продолжается по непрерывности до
ограниченных фредгольмовых операторов
(A,B) : Hs∓ε,1,(2q)(Ω) → Hs∓ε,1(Ω,Γ). (5.4)
Они имеют общие ядро N, дефектное подпространство{
(v, C+
1 v, . . . , C
+
q v) : v ∈ N+
}
(5.5)
и индекс dimN − dimN+. Применим к (5.4) интерполяцию с функциональным
параметром ψ из теоремы 4.1. В силу предложения 3.4 получим ограниченный
фредгольмов оператор
(A,B) :
[
Hs−ε,1,(2q)(Ω),Hs+ε,1,(2q)(Ω)
]
ψ
→
[
Hs−ε,1(Ω,Γ),Hs+ε,1(Ω,Γ)
]
ψ
.
Он означает существование оператора (5.2), удовлетворяющего условию настоящей
теоремы. Это вытекает из теорем 4.1 б), 4.2 б) и предложений 3.2, 4.2 а).
Предположим теперь, что s ∈ E2q. Выберем произвольное число ε ∈ (0, 1). По-
скольку s∓ ε /∈ E2q, существуют, как было доказано, ограниченные фредгольмовы
операторы
(A,B) : Hs∓ε,ϕ,(2q)(Ω) → Hs∓ε,ϕ(Ω,Γ),
имеющие общие ядро N, дефектное подпространство (5.5) и индекс dimN −
− dimN+. Применив к этим операторам интерполяцию со степенным параметром
t1/2, получим в силу предложения 3.4 и формулы (2.4) ограниченный фредгольмов
оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 513
(A,B) : Hs,ϕ,(2q)(Ω) → [Hs−ε,ϕ(Ω,Γ),Hs+ε,ϕ(Ω,Γ)]1/2 . (5.6)
Он имеет те же ядро, дефектное подпространство и индекс.
Покажем, что[
Hs−ε,ϕ(Ω,Γ),Hs+ε,ϕ(Ω,Γ)
]
1/2
= Hs,ϕ(Ω,Γ) с эквивалентностью норм. (5.7)
Пусть число δ > 0 такое, что s− ε− δ > −1/2 (это возможно, поскольку s ≥ 1/2).
На основании теоремы 4.1 и предложений 3.2, 4.2 а) запишем
Hs∓ε,ϕ(Ω,Γ) = [Hs−ε−δ,1(Ω,Γ),Hs+ε+δ,1(Ω,Γ)]ψ∓ с эквивалентностью норм.
Здесь интерполяционные параметры ψ∓ определяются по формулам
ψ−(t) := tδ/(2ε+2δ)ϕ(t1/(2ε+2δ)),
ψ+(t) := t(2ε+δ)/(2ε+2δ)ϕ(t1/(2ε+2δ)) при t ≥ 1
и ψ∓(t) := 1 при 0 < t < 1. Отсюда в силу теоремы 3.3 о повторной интерполяции
получаем следующие равенства пространств с эквивалентностью норм в них:[
Hs−ε,ϕ(Ω,Γ),Hs+ε,ϕ(Ω,Γ)
]
1/2
=
=
[[
Hs−ε−δ,1(Ω,Γ),Hs+ε+δ,1(Ω,Γ)
]
ψ−
,
[
Hs−ε−δ,1(Ω,Γ),Hs+ε+δ,1(Ω,Γ)
]
ψ+
]
1/2
=
=
[
Hs−ε−δ,1(Ω,Γ),Hs+ε+δ,1(Ω,Γ)
]
ψ
. (5.8)
Здесь интерполяционный параметр ψ определяется по формулам
ψ(t) := ψ−(t) (ψ+(t)/ψ−(t))1/2 = t(ε+δ)/(2ε+2δ)ϕ(t1/(2ε+2δ)) при t ≥ 1
и ψ(t) = 1 при 0 < t < 1. Поэтому на основании тех же теоремы 4.1 и предложе-
ний 3.2, 4.2 а) имеем[
Hs−ε−δ,1(Ω,Γ),Hs+ε+δ,1(Ω,Γ)
]
ψ
= Hs,ϕ(Ω,Γ) с эквивалентностью норм.
(5.9)
Теперь равенства (5.8), (5.9) влекут формулу (5.7).
В силу (5.7) ограниченный фредгольмов оператор (5.6) означает существование
оператора (5.2), удовлетворяющего условию настоящей теоремы.
Теорема 5.1 доказана.
Как отмечалось выше, теорема 5.1 уточняет применительно к шкале про-
странств Hs,ϕ,(2q)(Ω) известный результат Я. А. Ройтберга о свойствах эллипти-
ческой краевой задачи в модифицированной шкале соболевских пространств [3, 5]
(см. также [28, с. 169; 4, с. 248]). В этой теореме s — произвольное вещественное
число. Поэтому фредгольмовость оператора задачи установлена в двусторонней
(иначе говоря, полной) модифицированной уточненной шкале пространств. Заме-
тим, что этот оператор оставляет инвариантным параметр ϕ ∈ M, характеризую-
щий уточненную гладкость.
В силу теоремы 4.2 а) равенство (A,B)u = f, где u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω), f ∈
∈ Hs,ϕ(Ω,Γ), равносильно тому, что вектор (u0, u1, . . . , u2q) := T2qu является
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
514 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
обобщенным решением по Ройтбергу задачи (1.1). Указанный элемент u часто
отождествляется с вектором (u0, u1, . . . , u2q) и также называется обобщенным ре-
шением задачи (1.1).
Из теоремы 4.3 в) вытекает, что оператор (5.2) совпадает с оператором
(A,B) : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω,Γ) при s > 2q − 1/2.
Его фредгольмовость установлена в [12] (теорема 4.1).
В частном случае N = N+ = {0} оператор (5.2) является топологическим
изоморфизмом в силу теоремы 5.1 и теоремы Банаха об обратном операторе. Сле-
довательно, теорема 5.1 содержит теорему 1.1. В общем случае изоморфизм удобно
задавать с помощью следующих проекторов (ср. [5], леммы 4.1.2 и 5.3.2).
Лемма 5.1. Для произвольных s ∈ R и ϕ ∈ M существуют следующие раз-
ложения пространств Hs,ϕ,(2q)(Ω) и Hs,ϕ(Ω,Γ) в прямые суммы замкнутых под-
пространств:
Hs,ϕ,(2q)(Ω) = N u
{
u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω): (u0, w)Ω = 0 ∀w ∈ N
}
, (5.10)
Hs,ϕ(Ω,Γ) =
{
(v, 0, . . . , 0) : v ∈ N+
}
u (A,B)
(
Hs,ϕ,(2q)(Ω)
)
. (5.11)
Здесь u0 — начальная компонента вектора (u0, u1, . . . , u2q) := T2qu. Обозначим
через P косой проектор пространства Hs,ϕ,(2q)(Ω) на второе слагаемое суммы
(5.10), а через Q+ косой проектор пространства Hs,ϕ(Ω,Γ) на второе слагаемое
суммы (5.11) (паралельно первому слагаемому). Эти проекторы не зависят от s, ϕ.
Доказательство. Докажем (5.10). Из определения пространства Hs,ϕ,(2q)(Ω)
вытекает, что отображение u 7→ u0 является ограниченным оператором T0 :
Hs,ϕ,(2q)(Ω) → Hs,ϕ,(0)(Ω). Поэтому второе слагаемое суммы (5.10) — замкнутое
подпространство. Оно имеет тривиальное пересечение с N. В силу предложе-
ния 4.1 б) и конечномерности подпространства N справедливо разложение
Hs,ϕ,(0)(Ω) = N u
{
u0 ∈ Hs,ϕ,(0)(Ω): (u0, w)Ω = 0 для любого w ∈ N
}
.
Обозначим через Π косой проектор на первое слагаемое этой суммы параллельно
второму слагаемому. Для произвольного u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω) запишем u = u′ + u′′,
где u′ := Πu0 ∈ N, а u′′ := u − Πu0 ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω) удовлетворяет условию
(u′′0 , w)Ω = (u0 −Πu0, w)Ω = 0 при любом w ∈ N. Равенство (5.10) доказано.
Равенство (5.11) вытекает из того, что в силу теоремы 5.1 подпространства,
записанные в сумме (5.11), замкнутые, имеют тривиальное пересечение и ко-
нечная размерность первого пространства совпадает с коразмерностью второго.
Независимость проекторов P и Q+ от параметров s, ϕ вытекает из включений
N,N+ ⊂ C∞( Ω ).
Лемма 5.1 доказана.
Теорема 5.2. Для произвольных параметров s ∈ R, ϕ ∈ M сужение опера-
тора (5.2) на подпространство P (Hs,ϕ,(2q)(Ω)) является топологическим изомор-
физмом
(A,B) : P
(
Hs,ϕ,(2q)(Ω)
)
↔ Q+
(
Hs,ϕ(Ω,Γ)
)
. (5.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 515
Доказательство. Согласно теореме 5.1, N — ядро, аQ+(Hs,ϕ(Ω,Γ)) — область
значений оператора (5.2). Следовательно, оператор (5.12) — биекция. Кроме того,
он ограничен. Значит, оператор (5.12) является топологическим изоморфизмом в
силу теоремы Банаха об обратном операторе.
Замечание 5.1. Теорема 5.2 остается верной, если заменить проектор Q+
на оператор проектирования Q+
1 пространства Hs,ϕ(Ω,Γ) на подпространство
(A,B)(Hs,ϕ,(2q)(Ω)) параллельно дефектному подпространству (5.5).
Из теоремы 5.2 вытекает следующая априорная оценка решения эллиптической
краевой задачи (1.1).
Теорема 5.3. Для произвольных фиксированных параметров s ∈ R, ϕ ∈ M
и σ < s существует число c > 0 такое, что для каждого u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω)
выполняется неравенство
‖u‖Hs,ϕ,(2q)(Ω) ≤ c
(∥∥(A,B)u
∥∥
Hs,ϕ(Ω,Γ)
+ ‖u‖Hσ,1,(2q)(Ω)
)
. (5.13)
Доказательство. Пусть u ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω). Поскольку N — конечномерное
подпространство в пространствах Hs,ϕ,(2q)(Ω) и Hσ,1,(2q)(Ω), нормы в этих про-
странствах эквивалентны на N. В частности, для функции u−Pu ∈ N имеет место
неравенство
‖u− Pu‖Hs,ϕ,(2q)(Ω) ≤ c1 ‖u− Pu‖Hσ,1,(2q)(Ω)
с постоянной c1 > 0, не зависящей от u. Отсюда получаем
‖u‖Hs,ϕ,(2q)(Ω) ≤ c1 ‖u− Pu‖Hσ,1,(2q)(Ω) + ‖Pu‖Hs,ϕ,(2q)(Ω) ≤
≤ c1 c2 ‖u‖Hσ,1,(2q)(Ω) + ‖Pu‖Hs,ϕ,(2q)(Ω), (5.14)
где c2 — норма проектора 1−P, действующего в пространстве Hσ,1,(2q)(Ω). Далее,
поскольку (A,B)Pu = (A,B)u, то Pu ∈ Hs,ϕ,(2q)(Ω) — прообраз распределения
(A,B)u ∈ Hs,ϕ(Ω,Γ) при топологическом изоморфизме (5.12). Следовательно,
‖Pu‖Hs,ϕ,(2q)(Ω) ≤ c3 ‖(A,B)u‖Hs,ϕ(Ω,Γ),
где c3 — норма оператора, обратного к (5.12). Отсюда и из неравенства (5.14)
вытекает оценка (5.13).
Теорема 5.3 доказана.
6. Локальная гладкость решения. Предположим, что правые части эллипти-
ческой краевой задачи (1.1) имеют на некотором открытом в Ω множестве допол-
нительную гладкость в уточненной шкале пространств. Покажем, что обобщенное
решение u унаследует такую же дополнительную гладкость на этом множестве.
Предварительно рассмотрим случай дополнительной гладкости во всей области Ω.
Теорема 6.1. Пусть s ∈ R. Предположим, что элемент u ∈ Hs,1,(2q)(Ω)
является обобщенным решением задачи (1.1), где
f ∈ Hs+ε−2q,ϕ,(0)(Ω) и gj ∈ Hs+ε−mj−1/2,ϕ(Γ) при j = 1, . . . , q
для некоторых ε ≥ 0 и ϕ ∈M. Тогда u ∈ Hs+ε,ϕ,(2q)(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
516 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Доказательство. По условию и теореме 5.1 имеем
F := (f, g1, . . . , gq) = (A,B)u ∈ (A,B)
(
Hs,1,(2q)(Ω)
)
∩Hs+ε,ϕ(Ω,Γ) =
= (A,B)
(
Hs+ε,ϕ,(2q)(Ω)
)
.
Следовательно, существует такое v ∈ Hs+ε,ϕ,(2q)(Ω), что (A,B)v = F. Отсюда
получаем (A,B)(u − v) = 0, что в силу теоремы 5.1 влечет w := u − v ∈ N ⊂
⊂ C∞( Ω ). Таким образом, поскольку C∞( Ω ) ⊂ Hs+ε,ϕ,(2q)(Ω), справедливо
u = v + w ∈ Hs+ε, ϕ,(2q)(Ω), что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь случай локальной гладкости. Пусть U — открытое непустое
подмножество замкнутой области Ω.Положим Ω0 := U∩Ω и Γ0 := U∩Γ (возможен
случай Γ0 = ∅). Введем следующие локальные аналоги пространств Hσ,ϕ,(r)(Ω)
и Hσ,ϕ(Γ), где σ ∈ R, ϕ ∈M и целое r ≥ 0. Положим
H
σ,ϕ,(r)
loc (Ω0,Γ0) :=
{
u ∈
⋃
s∈R
Hs,1,(r)(Ω):
χu ∈ Hσ,ϕ,(r)(Ω) для всех χ ∈ C∞(Ω), suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
,
Hσ,ϕ
loc (Γ0) :=
{
h ∈ D′(Γ) : χh ∈ Hσ,ϕ(Γ) для всех χ ∈ C∞(Γ), suppχ ⊂ Γ0
}
.
В связи с определением пространстваHσ,ϕ,(r)
loc (Ω0,Γ0) отметим, что для произволь-
ной функции χ ∈ C∞( Ω ) отображение u 7→ χu, u ∈ C∞(Ω ), продолжается по
непрерывности до ограниченного оператора в каждом пространстве Hs,1,(r)(Ω)
[5] (п. 2.3). Тем самым для u ∈ Hs,1,(r)(Ω) корректно определено произведение
χu ∈ Hs,1,(r)(Ω).
Теорема 6.2. Пусть s ∈ R. Предположим, что элемент u ∈ Hs,1,(2q)(Ω)
является обобщенным решением задачи (1.1), где
f ∈ Hs+ε−2q,ϕ,(0)
loc (Ω0,Γ0) и gj ∈ H
s+ε−mj−1/2,ϕ
loc (Γ0) при j = 1, . . . , q
(6.1)
для некоторых ε ≥ 0 и ϕ ∈M. Тогда u ∈ Hs+ε,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0).
Доказательство. Покажем сначала, что из условия (6.1) вытекает следующее
свойство повышения локальной гладкости решения u: для каждого числа r ≥ 1
справедлива импликация
u ∈ Hs+ε−r,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0) ⇒ u ∈ Hs+ε−r+1,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0). (6.2)
Выберем произвольно функции χ, η такие, что
χ, η ∈ C∞( Ω ); suppχ, supp η ⊂ Ω0 ∪ Γ0 и η = 1 в окрестности suppχ.
(6.3)
Переставив оператор умножения на функцию χ с дифференциальными оператора-
ми A и Bj , j = 1, . . . , q, для произвольного v ∈ C∞(Ω) можно записать следующие
равенства:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 517
(A,B)(χv) = (A,B)(χηv) = χ(A,B)(ηv)+(A′, B′)(ηv) = χ(A,B)v+(A′, B′)(ηv).
(6.4)
Здесь A′ — некоторое линейное дифференциальное выражение в Ω, а B′ = (B′1, . . .
. . . , B′q) — набор граничных линейных дифференциальных выражений на Γ. Коэф-
фициенты этих выражений бесконечно гладкие, а порядки удовлетворяют условиям
ordA′ ≤ 2k−1 и ordB′j ≤ mj−1. Отсюда следует, что отображение v 7→ (A′, B′)v,
где v ∈ C∞(Ω ), продолжается по непрерывности до ограниченного оператора
(A′, B′) : Hσ,ϕ,(2q)(Ω) → Hσ+1,ϕ(Ω,Γ) для произвольного σ ∈ R. (6.5)
В случае ϕ ≡ 1 это доказано в [5] (п. 2.3). Отсюда общий случай ϕ ∈M выводится
с помощью интерполяции так же, как и в доказательстве теоремы 5.1. Аналогично
доказывается, что оператор умножения на функцию класса C∞(Ω ) ограничен
в пространствах Hσ,ϕ,(r)(Ω) и Hσ,ϕ(Ω,Γ) для каждого σ ∈ R. Следовательно,
равенство (6.4) продолжается по непрерывности на класс функций v ∈ Hσ,ϕ,(r)(Ω).
Возьмем в этом равенстве v := u, где u — указанное в условии решение задачи (1.1).
Запишем
(A,B)(χu) = χF + (A′, B′)(ηu). (6.6)
Здесь вектор F := (f, g1, . . . , gq) удовлетворяет в силу (6.1) и (6.3) условию
χF ∈ Hs+ε,ϕ(Ω,Γ). (6.7)
Предположим, что u ∈ Hs+ε−r,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0) для некоторого числа r ≥ 1. Тогда
ηu ∈ Hs+ε−r,ϕ,(2q)(Ω), что вместе с формулами (6.5) – (6.7) влечет включение
(A,B)(χu) ∈ Hs+ε−r+1,ϕ(Ω,Γ).
Отсюда в силу теоремы 6.1 следует свойство χu ∈ Hs+ε−r+1,ϕ,(2q)(Ω), которое
вследствие произвольности выбора функции χ, удовлетворяющей условию (6.3),
означает включение u ∈ Hs+ε−r+1,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0). Импликация (6.2) доказана.
Теперь легко вывести теорему из (6.2). В силу теоремы 4.3 г) имеем
u ∈ Hs,1,(2q)(Ω) ⊂ Hs+ε−k,ϕ,(2q)(Ω) ⊆ H
s+ε−k,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0)
для целого k > ε. Применив импликацию (6.2) последовательно для значений
r = k, . . . , 1, получим
u ∈ Hs+ε−k,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0) ⇒ u ∈ Hs+ε−k+1,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0) ⇒ . . .
. . .⇒ u ∈ Hs+ε,ϕ,(2q)
loc (Ω0,Γ0),
что и требовалось доказать.
В соболевском случае ϕ ≡ 1 теоремы 6.1, 6.2 доказаны Я. А. Ройтбергом [3, 5]
(гл. 7) (см. также [4], гл. III, § 6).
В качестве приложения теорем 6.1 и 6.2 приведем одно достаточное условие
того, что обобщенное по Ройтбергу решение u эллиптической краевой задачи (1.1)
является классическим, т. е. удовлетворяет условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
518 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
u ∈ Hσ+2q,1(Ω) ∩ C2q(Ω) ∩ Cm
(
Ω
)
, (6.8)
где σ > −1/2, m := max{m1, . . . ,mq}. Это условие возникает следующим обра-
зом. В силу теоремы 4.3 в) и предложения 4.2 д) из включения
u ∈ Hσ+2q,1,(2q)(Ω) = Hσ+2q,1(Ω)
следует, что элемент u является решением задачи (1.1) в смысле теории рас-
пределений, заданных в области Ω. Теперь корректно рассматривать включение
u ∈ C2q(Ω) ∩ Cm(Ω ). Оно означает, что в (1.1) функции Au и Bju вычисляются
с помощью классических производных, т. е. решение u является классическим.
Теорема 6.3. Пусть s ∈ R. Предположим, что элемент u ∈ Hs,1,(2q)(Ω)
является обобщенным решением задачи (1.1), где
f ∈ Hn/2,ϕ,(0)
loc (Ω,∅) ∩Hm−2q+n/2,ϕ,(0)(Ω) ∩Hσ,1,(0)(Ω), (6.9)
gj ∈ H m−mj+(n−1)/2, ϕ(Γ) ∩Hσ+2q−mj−1/2, 1(Γ) при j = 1, . . . , q (6.10)
для некоторых числа σ > −1/2 и функционального параметра ϕ ∈M, удовлетво-
ряющего неравенству (4.2). Тогда решение u является классическим.
Доказательство. В силу теорем 6.1, 6.2 из условий (6.9), (6.10) вытекает
включение
u ∈ H2q+n/2,ϕ,(2q)
loc (Ω,∅) ∩Hm+n/2,ϕ,(2q)(Ω) ∩Hσ+2q,1,(2q)(Ω).
Отсюда на основании предложения 4.1 д) и теоремы 4.3 в) имеем
u ∈ Hm+n/2,ϕ,(2q)(Ω) ∩Hσ+2q,1,(2q)(Ω) =
= Hm+n/2,ϕ(Ω) ∩Hσ+2q,1(Ω) ⊂ Cm( Ω ) ∩Hσ+2q,1(Ω).
(Последнее равенство становится понятным, если рассмотреть отдельно случаи
m+ n/2 ≥ σ+ 2q и m+ n/2 < σ+ 2q и воспользоваться пунктом г) теоремы 4.3.)
Кроме того,
χu ∈ H2q+n/2,ϕ,(2q)(Ω) = H2q+n/2,ϕ(Ω) ⊂ C2q( Ω )
для любой функции χ ∈ C∞0 (Ω), что влечет включение u ∈ C2q(Ω). Таким образом,
выполняется условие (6.8), т. е. u — классическое решение.
Теорема 6.3 доказана.
7. Корректность определения некоторых пространств. Покажем, что про-
странство (2.4) не зависит от использованного в его определении параметра ε.
Теорема 7.1. Пусть r ∈ N, s ∈ Er и ϕ ∈M. Пространство
Hs,ϕ,(r)(Ω, ε) :=
[
Hs−ε,ϕ,(r)(Ω),Hs+ε,ϕ,(r)(Ω)
]
1/2
не зависит с точностью до эквивалентности норм от параметра ε ∈ (0, 1).
Доказательство. Предположим сначала, что r = 2q — четное число. Рассмот-
рим какую-нибудь регулярную эллиптическую краевую задачу (1.1), для которой
пространства N и N+ тривиальны. (Например, задачу Дирихле для A := (1−∆)q,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ДВУСТОРОННЕЙ УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ... 519
где ∆ — оператор Лапласа.) Согласно теореме 5.1 существует топологический
изоморфизм
(A,B) : Hs,ϕ,(2q)(Ω, ε) ↔ Hs,ϕ(Ω,Γ) при 0 < ε < 1.
Отсюда непосредственно следует теорема для четного r = 2q.
Предположим далее, что число r нечетное. В силу теоремы 4.2 для любого
числа σ ∈ (−∞, r + 1/2) \ Er существуют изометрические изоморфизмы
Tr : Hσ,ϕ,(r)(Ω) ↔ Kσ,ϕ,(r)(Ω,Γ),
Tr+1 : Hσ,ϕ,(r+1)(Ω) ↔ Kσ,ϕ,(r+1)(Ω,Γ) = Kσ,ϕ,(r)(Ω,Γ)×Hσ−r−1/2,ϕ(Γ).
Поэтому композиция отображений
u 7→ Tr+1 u =: (u0, u1, . . . , ur, ur+1) 7→ (T−1
r (u0, u1, . . . , ur), ur+1),
u ∈ Hσ,ϕ,(r+1)(Ω),
определяет изометрический изоморфизм
T : Hσ,ϕ,(r+1)(Ω) ↔ Hσ,ϕ,(r)(Ω)×Hσ−r−1/2,ϕ(Γ).
Возьмем здесь σ = s ∓ ε, 0 < ε < 1, и применим интерполяцию со степенным
параметром t1/2. Получим топологический изоморфизм
T : Hs,ϕ,(r+1)(Ω, ε) ↔ Hs,ϕ,(r)(Ω, ε)×Hs−r−1/2,ϕ(Γ) := X(ε). (7.1)
При этом используется предложение 3.2 и интерполяционное равенство[
Hs−ε−r−1/2,ϕ(Γ), Hs+ε−r−1/2,ϕ(Γ)
]
1/2
= Hs−r−1/2,ϕ(Γ)
с эквивалентностью норм, которое доказывается аналогично равенству (5.7). Те-
перь в силу (7.1) имеем
‖u‖Hs,ϕ,(r)(Ω,ε) = ‖(u, 0)‖X(ε) � ‖T−1(u, 0)‖Hs,ϕ,(r+1)(Ω,ε).
Отсюда, поскольку параметр r + 1 четный, следует, по доказанному, что нормы в
пространствах Hs,ϕ,(r)(Ω, ε), 0 < ε < 1, эквивалентны. Значит, эти пространства
равны, поскольку множество C∞( Ω ) плотно в каждом из них согласно теоре-
ме 4.3 б).
Теорема 7.1 доказана.
1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 с.
2. Березанский Ю. М., Крейн С. Г., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и локальное
повышение гладкости вплоть до границы решений эллиптических уравнений // Докл. АН
СССР. – 1963. – 148, № 4. – С. 745 – 748.
3. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное
повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений // Там же. – 1964. – 157, № 4.
– С. 798 – 801.
4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. –
Киев: Наук. думка, 1965. – 800 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
520 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
5. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1996. – 427 p.
6. Kozhevnikov A. Complete scale of isomorphisms for elliptic pseudodifferential boundary-value
problems // J. London Math. Soc. (2-nd series). – 2001. – 64, № 2. – P. 409 – 422.
7. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.:
Мир, 1965. – 380 с.
8. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4 т. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.: Мир, 1986.
– 456 с.
9. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложе-
ния // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
10. Paneyakh B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. – Berlin etc.: Wiley-VCH,
2000. – 348 p.
11. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. I //
Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 2. – P. 244 – 262.
12. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II //
Ibid. – № 3. – P. 398 – 417.
13. Alimov Sh. A., Il’in V. A., Nikishin E. M. Convergence problems of multiple trigonometric series
and spectral decompositions. I // Rus. Math. Surv. – 1976. – 31, № 6. – P. 29 – 86.
14. Mikhailets V. A. Asymtotics of the spectrum of elliptic operators and boundary conditions // Sov.
Math. Dokl. – 1982. – 266, № 5. – P. 464 – 468.
15. Mikhailets V. A. A precise estimate of the remainder in the spectral asymptotics of general elliptic
boundary problems // Funct. Anal. and Appl. – 1989. – 23, № 2. – P. 137 – 139.
16. Kalyabin G. A, Lizorkin P. I. Spaces of functions of generalized smoothness // Math. Nachr. – 1987.
– 133, № 1. – P. 7 – 32.
17. Haroske D. D., Moura S. D. Continuity envelopes of spaces of generalised smoothness, entropy and
approximation numbers // J. Approxim. Theory. – 2004. – 128. – P. 151 – 174.
18. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann.
mat. pura ed appl. – 2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
19. Шлензак Г. Эллиптические задачи в уточненной шкале пространств // Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 1. Мат., мех. – 1974. – 29, № 4. – С. 48 – 58.
20. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи.
III // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 5. – С. 679 – 701.
21. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation
in a two-sided improved scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operator with homogeneous regular boundary conditions in
two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math. Bull. – 2006. – 3, № 4. – P. 529 – 560.
23. Мурач А. А. Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале про-
странств на замкнутом многообразии // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6. – С. 798 – 814.
24. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic systems of pseudodifferential equations in a refined scale on
a closed manifold // arXiv:0711.2164v1 [math.AP]. – 6 p.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces
// arXiv:0712.1135v1 [math.AP]. – 23 p.
26. Мурач А. А. Эллиптические краевые задачи в полных шкалах пространств типа Лизоркина –
Трибеля // Докл. НАН Украины. – 1994. – № 12. – С. 36 – 39.
27. Murach A. A. Elliptic boundary value problems in comlete scales of Nikolskii-type spaces // Ukr.
Math. J. – 1994. – 46, № 12. – P. 1827 – 1835.
28. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
29. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci., 79. Pt. Different. Equat. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1 – 144.
30. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
31. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные опера-
торы. – М.: Мир, 1980. – 664 с.
32. Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяция с функциональным параметром и пространства
дифференцируемых функций // Доп. НАН України. – 2006. – № 6. – С. 13 – 18.
33. Geymonat G. Sui problemi ai limiti per i sistemi lineari ellittici // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 4. –
1965. – 69. – P. 207 – 284.
Получено 12.12.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 4
|