О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами
Описано осциляційні спектральні властивості (число нулів, їх чергованість для власних функцій, простоту спектра та ін.) для задачі Штурма - Ліувілля з узагальненими коефіцієнтами....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164510 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 95–99. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164510 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645102020-02-10T01:26:12Z О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами Покорный, Ю.В. Зверева, М.Б. Шабров, С.А. Статті Описано осциляційні спектральні властивості (число нулів, їх чергованість для власних функцій, простоту спектра та ін.) для задачі Штурма - Ліувілля з узагальненими коефіцієнтами. Oscillation spectral properties (the number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the simplicity of the spectrum, etc.) are described for the Sturm-Liouville problem with generalized coefficients. 2008 Article О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 95–99. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164510 517.927 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Покорный, Ю.В. Зверева, М.Б. Шабров, С.А. О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами Український математичний журнал |
| description |
Описано осциляційні спектральні властивості (число нулів, їх чергованість для власних функцій, простоту спектра та ін.) для задачі Штурма - Ліувілля з узагальненими коефіцієнтами. |
| format |
Article |
| author |
Покорный, Ю.В. Зверева, М.Б. Шабров, С.А. |
| author_facet |
Покорный, Ю.В. Зверева, М.Б. Шабров, С.А. |
| author_sort |
Покорный, Ю.В. |
| title |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_short |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_full |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_fullStr |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_full_unstemmed |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_sort |
о расширении осцилляционной теории штурма - лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164510 |
| citation_txt |
О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 1. — С. 95–99. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT pokornyjûv orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT zverevamb orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT šabrovsa orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami |
| first_indexed |
2025-07-14T17:03:13Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:03:13Z |
| _version_ |
1837642645950693376 |
| fulltext |
UDK 517.927
G. V. Pokorn¥j, M. B. Zvereva, S. A. Íabrov (VoroneΩ. un-t, Rossyq)
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY
ÍTURMA – LYUVYLLQ NA ZADAÇY
S YMPUL|SNÁMY PARAMETRAMY
∗∗∗∗
We describe oscillation spectrum properties (a number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the
simplicity of a spectrum, and so on) for the Sturm – Liouville problem with generalized coefficients.
Opysano oscylqcijni spektral\ni vlastyvosti (çyslo nuliv, ]x çerhovanist\ dlq vlasnyx funk-
cij, prostotu spektra ta in.) dlq zadaçi Íturma – Liuvillq z uzahal\nenymy koefici[ntamy.
V nastoqwej rabote yzlahagtsq rezul\tat¥, pod¥toΩyvagwye yssledovanyq
voroneΩcev za poslednye dva desqtyletyq pry postroenyy oscyllqcyonnoj
teoryy dlq zadaçy o styl\t\esovskoj strune
–( )pu Q u′ ′ + ′ = λ ′M u ,
(1)
u( )0 = u l( ) = 0,
hde ′Q y ′M — obobwenn¥e proyzvodn¥e ot funkcyj ohranyçennoj varyacyy
Q x( ) y M x( ) . ∏ty yssledovanyq suwestvenno tonyzyrovan¥ monohrafyej [1], a
takΩe potrebnostqmy sovremennoj fyzyky [2].
Ydeq yspol\zovanyq yntehrala Styl\t\esa dlq analyza uravnenyj s ym-
pul\sn¥my parametramy zaymstvovana namy yz nekotor¥x rabot Fellera y
M.;Krejna seredyn¥ XX veka. Podskazkoj dlq yspol\zovanyq yntehro-dyf-
ferencyal\noj form¥ dlq uravnenyq (1), t. e.
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = λ udM
x
0
∫ , (2)
b¥la matematyçeskaq model\ Atkynsona y M. Krejna styl\t\esovskoj stru-
n¥;[3]
′+u x( ) = ′u–( )0 – λ udM
x
0
0+
∫ ,
hde ′+u x( ) — pravaq proyzvodnaq, u−( )0 — nekoe „prodlennoe znaçenye” proyz-
vodnoj. Vneßnym symvolom πtoho uravnenyq polahalos\ sçytat\ sootnoßenye
– ( )d
dM
u x′+ = λu x( ).
Neskol\ko ran\ße poslednee uravnenye voznyklo u Fellera v zadaçe o dyffu-
zyy [3]. Oscyllqcyonn¥e svojstva v πtyx rabotax ne rassmatryvalys\.
1. Na mnoΩestve E absolgtno neprer¥vn¥x na 0, l[ ] funkcyj s proyzvod-
n¥my yz BV l0,[ ] rassmatryvaetsq uravnenye (2), t. e.
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = λ udM
x
0
∫ ,
hde p( )⋅ >> 0, p ∈ BV l0,[ ], funkcyq Q( )⋅ ne ub¥vaet, a M ( )⋅ stroho vozrasta-
et na 0, l[ ]. Yntehral¥ ponymagtsq po Styl\t\esu (sm., naprymer, [4, 5]). Esly
p, Q , M dostatoçno hladkye, to uravnenye (2) πkvyvalentno ob¥knovennomu
dyfferencyal\nomu uravnenyg
∗
V¥polnena pry fynansovoj podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj
(hrant # 07-01-00397).
© G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1 95
96 G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV
–( )pu′ ′ + qu = λmu
pry q Q= ′, m M= ′ .
Okaz¥vaetsq, pry ob¥çn¥x kraev¥x uslovyqx
u( )0 = u l( ) = 0 (3)
zadaça (2), (3) ymeet dyskretn¥j stroho poloΩytel\n¥j prostoj spektr ( )0 <
λ0 < λ1 < … , a sootvetstvugwye sobstvenn¥e funkcyy ϕ0( )x , ϕ1( )x , … yme-
gt peremeΩagwyesq nuly, pryçem ϕk ymeet vnutry ( , )0 l toçno k nulej-
uzlov.
Nalyçye v (2) yntehrala Styl\t\esa oznaçaet vozmoΩnost\ poqvlenyq (v ot-
lyçye ot ob¥knovennoho dyfferencyal\noho uravnenyq) osobennostej, poroΩ-
denn¥x skaçkamy p, Q, M. Esly S — sovokupnost\ toçek, hde p, Q, M mohut
ymet\ razr¥v¥, to v kaΩdoj yz takyx toçek uravnenye (2) kak b¥ razdvayvaetsq,
pryobretaq razn¥j sm¥sl pry x = ξ − 0 y x = ξ + 0 (esly ξ ∈S ). XuΩe toho,
neqsno, çto ponymat\ pod ′ −u ( )ξ 0 ; : to ly levug proyzvodnug
lim
( ) – ( – )
ε
ξ ξ ε
ε↓0
u u
, to ly lev¥j predel lim ( – )
ε
ξ ε
↓
′
0
u . Analohyçn¥j vopros voz-
nykaet y o symvole yntehrala
0
0ξ –
∫ — to ly πto nesobstvenn¥j yntehral, to
ly yntehral po poluyntervalu 0, ξ[ ). ∏ty nedorazumenyq snymaet sledugwaq
teorema.
Teorema(1. Dlq lgboj funkcyy u x( ) ∈ E y lgboj toçky ξ > 0 oba na-
zvann¥e znaçenyq sleva sovpadagt. To Ωe verno y sprava dlq lgboj ξ < l, a
takΩe dlq yntehralov.
Napomnym, çto çerez E m¥ oboznaçaem mnoΩestvo absolgtno neprer¥vn¥x
na 0, l[ ] funkcyj, proyzvodn¥e kotor¥x ymegt ohranyçennug varyacyg na
0, l[ ].
Vvedem pomymo (2) neodnorodnoe uravnenye
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = dF
x
0
∫ , (4)
hde F — funkcyq ohranyçennoj varyacyy.
Oboznaçym çerez S mnoΩestvo vsex toçek, hde p x( ), Q x( ), F x( ) ymegt ne-
nulev¥e prost¥e skaçky, t. e. ne sovpadagwye lev¥e y prav¥e predel¥. V¥bro-
syv S yz 0, l[ ], zamenym kaΩdug toçku ξ ∈ S paroj symvolov ξ – 0{ , ξ + }0 .
Budem sçytat\, çto ξ – 0 > x dlq vsex x < ξ y ξ + 0 < x dlq vsex x > ξ. Mno-
Ωestvo, poluçennoe yz 0, l[ ] zamenoj toçek ξ ∈ S na sootvetstvugwye par¥
ξ – 0{ , ξ + }0 , oboznaçym çerez 0, l S[ ] .
MnoΩestvu 0, l S[ ] moΩno dat\ sledugwee korrektnoe opredelenye kak od-
nomernomu metryçeskomu prostranstvu.
Vzqv Ωordanovo predstavlenye ysxodn¥x koπffycyentov p, Q, F v vyde
p = p+ – p– , Q = Q+ – Q–
y F = F+ – F –
, oboznaçym çerez σ summu neub¥-
vagwyx funkcyj
σ( )x = x p x+ +( ) + p x–( ) + Q x+( ) + Q x–( ) + F x+( ) + F x–( ).
Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno predpolahat\, çto σ( )x ymeet razr¥v¥ (pol-
n¥e skaçky) tol\ko v toçkax S.
Vvedem na mnoΩestve 0, l[ ] \ S metryku ρ( , )x y = σ σ( ) – ( )x y . Esly S ≠ ∅,
to πto metryçeskoe prostranstvo, oçevydno, ne polno. Eho standartnoe metry-
çeskoe popolnenye s toçnost\g do yzomorfyzma sovpadaet s 0, l S[ ] , ynducyruq
v nem topolohyg.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY ÍTURMA – LYUVYLLQ … 97
Oçevydna razr¥vnost\ πtoho prostranstva, ravno kak y eho kompaktnost\.
M¥ rassmatryvaem uravnenye (4) na mnoΩestve znaçenyj x yz 0, l S[ ] , ne do-
puskaq tem sam¥m v (4) znaçenyq x yz S. Na 0, l S[ ] funkcyy p( )⋅ , Q( )⋅ , F( )⋅
stanovqtsq neprer¥vn¥my, poskol\ku yx znaçenyq p( )ξ + 0 , p( – )ξ 0 , Q( )ξ + 0 ,
Q( – )ξ 0 , F( )ξ + 0 , F( – )ξ 0 , qvlqgwyesq v 0, l[ ] predel\n¥my, teper\ okaz¥-
vagtsq sobstvenn¥my znaçenyqmy v sootvetstvugwyx toçkax yz 0, l S[ ] .
Neprer¥vnost\ rassmatryvaem¥x funkcyj u( )⋅ pozvolqet soxranqt\ ob¥ç-
n¥j sm¥sl Rymana – Styl\t\esa dlq yntehral\noho slahaemoho v (4) pry x = ξ –
– 0 y x = ξ + 0, esly v kaçestve sobstvenn¥x yspol\zovat\ znaçenyq, kotor¥e
ranee b¥ly predel\n¥my.
Takym obrazom, uravnenye (4) namy rassmatryvaetsq kak b¥ dvuxslojno: per-
v¥j uroven\ — dlq znaçenyj x ∈; 0, l[ ] v sluçae reßenyj u x( ) (pod znakom yn-
tehrala) y vtoroj uroven\ — dlq znaçenyj x v toΩdestve (4), hde x prynymaet-
sq yz 0, l S[ ] . ∏to skaΩetsq uΩe na opredelenyy zadaçy Koßy, kohda pry x S∉
ona formulyruetsq ob¥çno, t.;e. sçytagtsq napered zadann¥my znaçenyq reße-
nyq u( )ξ y eho proyzvodnoj ′u ( )ξ , a pry x S∈ narqdu so znaçenyem u( )ξ mo-
Ωet b¥t\ zaranee zadana odna yz odnostoronnyx proyzvodn¥x ′u ( – )ξ 0 yly
′ +u ( )ξ 0 .
Teorema 2. Dlq lgb¥x çysel u0 , v0 y dlq lgboj toçky x S S0 0∉[ ], su-
westvuet edynstvennoe reßenye u x( ) uravnenyq (4) takoe, çto
u x( )0 = u0 , ′u x( )0 = v0 . (5)
2. M¥ suwestvenno opyraemsq na vozmoΩnost\ adekvatnoho opysanyq urav-
nenyq (2) v vyde
– ( )d pu′ + udQ = λudM , (6)
hde symvol dg pry g ∈ ; BV l0,[ ] toçno opys¥vaetsq, çto pozvolqet rassmatry-
vat\ dyfferencyal\noe neravenstvo
– ( )d pu′ + udQ ≥ 0 (7)
y yzuçat\ raspredelenye nulej eho reßenyj, a takΩe bolee sloΩnoe nera-
venstvo
v0 0( ) – ( )x d pu udQ′ +[ ] ≥ (8)
so znakoperemennoj v0( )x .
Opyraqs\ na henezys ponqtyq dyfferencyala, opredelqgweho yntehral
Styl\t\esa, m¥ ponymaem pod dg pry g( )⋅ ∈ ; BV l0,[ ] lynejn¥j funkcyonal
l u( ) yz C l∗[ ]0, , opredelqem¥j ravenstvom
l u( ) = udg
l
0
∫ .
Symvol dg m¥ naz¥vaem dyfferencyalom Styl\t\esa. Lynejnost\ po g πto-
ho dyfferencyala dg oçevydna. Ravenstvo dg = 0 oznaçaet (analohyçno lem-
me Dgbua – Rejmona), çto g ≡ const, a neravenstvo dg ≥ 0 — çto dg est\ polo-
Ωytel\n¥j funkcyonal na mnoΩestve (konuse) neotrycatel\n¥x funkcyj, çto
πkvyvalentno neub¥vanyg g x( ). Sohlasno teoreme o preobrazovanyy mer¥ dlq
lgboj neprer¥vnoj u x( ) suwestvuet h BV∈ takaq, çto udg = dh. Poπtomu
dlq g x( ) yz C l1 0,[ ] dyfferencyal dg adekvaten ′g dx .
Qz¥k dyfferencyalov delaet zapysy dlq lev¥x çastej (6) – (8) vneßne
bolee vnqtn¥my, çem vse slahaem¥e v (2). ∏to çysto assocyatyvnoe vpeçatlenye
pomohaet prowe ulavlyvat\ analohyg meΩdu rezul\tatamy dlq uravnenyq (2) y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
98 G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV
klassyçeskymy faktamy dlq teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj. V otlyçye ot (2), vse slahaem¥e v (6) – (8) — funkcyonal¥, t.;e. abstrakt-
n¥e πlement¥, ne ymegwye nykakoho potoçeçnoho soderΩanyq na 0, l[ ], çto yx
otlyçaet ot ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Naprotyv, uravne-
nye (2) — potoçeçnoe.
3. Dlq kvazydyfferencyal\noho v¥raΩenyq
Du = – ( )d pu′ + udQ
spravedlyvo „razloΩenye na mnoΩytely” Poja – Mamman¥.
Teorema 3. Esly d Q ≥ 0, t .,e. Q ne ub¥vaet, to suwestvugt stroho
poloΩytel\n¥e funkcyy ϕ0 , ϕ1 takye, çto
Du = – ( )ϕ ϕ ϕ0 1 0d d
dx
u
.
∏to predstavlenye obosnov¥vaet xarakternug dlq teoryy zadaçy (2), (3) tex-
nyku podsçeta çysla nulej s pomow\g teorem¥ Rollq. Prost¥m prymenenyem
πtoho fakta qvlqetsq takoe sledstvye.
Sledstvye. Funkcyq Hryna G x s( , ) zadaçy Du = dF pry uslovyqx (3) su-
westvuet y stroho poloΩytel\na pry 0 < x, s < l.
Zdes\ m¥ pod funkcyej Hryna ponymaem funkcyg G x s( , ) takug, çto reße-
nye uravnenyq Du = dF pry uslovyqx (3) moΩno zapysat\ v vyde
u x( ) = G x s dF s
l
( , ) ( )
0
∫ .
4. Analyz raspredelenyq nulej dyfferencyal\n¥x neravenstv pozvolqet
ustanavlyvat\ vaΩn¥e svojstva spektra. Naprymer, lgbaq sobstvennaq funk-
cyq v0( )x , sootvetstvugwaq sobstvennomu znaçenyg λ0 , navernqka udovlet-
vorqet dyfferencyal\nomu neravenstvu
v0 0Du ≥ ,
ravno kak y prysoedynennaq funkcyq.
Teorema 4. Pust\ v0( )x — netryvyal\noe reßenye zadaçy
Du = 0, u u l( ) ( )0 0= = ,
a funkcyq u x( ) qvlqetsq reßenyem neravenstva
v0 0( )x Du ≥ ,
pryçem v lgboj nulevoj toçke ξ funkcyy v0( )x v¥polnqetsq ravenstvo
p u( – ) ( – )ξ ξ0 0′ = p u( ) ( )ξ ξ+ ′ +0 0 . Pust\ u( )0 = 0, ′v0 0( – ) ( )l u l ≤ 0. Tohda
funkcyy v0( )x y u x( ) kollynearn¥, t.,e. dlq nekotoroj konstant¥ C ver-
no toΩdestvo u x( ) = C xv0( ) .
V πtoj teoreme m¥ snymaem predpoloΩenye o neub¥vanyy Q x( ) y sçytaem
Q BV l∈ [ ]0, .
Otsgda sleduet kak heometryçeskaq, tak y alhebrayçeskaq prostota vsex
sobstvenn¥x znaçenyj.
5. Çyslo nulej sobstvenn¥x funkcyj namy ustanavlyvaetsq s pomow\g
sxem¥, kotorug m¥ uslovno naz¥vaem „nakaçkoj nulej”. Prototyp πtoj sxem¥
ymeetsq u Íturma y yspol\zuetsq v [3, 6].
Esly vvesty v rassmotrenye reßenye u x( , )λ uravnenyq (2) s naçal\n¥my us-
lovyqmy
u( )0 0= , ′ =u ( )0 1, (9)
to pry kaΩdom λ, kohda u l( , )λ = 0, poluçaem sobstvennug funkcyg. Poπto-
mu otsleΩyvanye povedenyq nulej funkcyy u x( , )λ , yx zavysymosty ot λ pry-
vodyt k otvetu o nulqx sobstvenn¥x funkcyj. Svqz\ nulej πtoj funkcyy s pa-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY ÍTURMA – LYUVYLLQ … 99
rametrom λ y yx πvolgcyej pry yzmenenyy λ opredelqetsq uravnenyem
u x( , )λ = 0 v vyde neqvnoj funkcyy x( )λ . ∏ta funkcyq zavedomo mnohoznaçna
( pry kaΩdom λ funkcyq u x( , )λ moΩet ymet\ po x mnoho nulej, y kolyçest-
vo yx na 0, l[ ] vozrastaet s ub¥vanyem λ ) . V πtoj mnohoznaçnosty udobno ra-
zobrat\sq, v¥delyv neprer¥vn¥e vetvy.
Metod nakaçky nulej. ProdolΩym vpravo ot toçky x = l, t.;e. na mno-
Ωestvo l, ∞[ ), koπffycyent¥ p, Q, M ysxodnoho uravnenyq tak, çtob¥ ony
b¥ly neprer¥vn¥my v toçke x = l y çtob¥ p, Q b¥ly konstantamy vpravo ot l,
a M — lynejnoj vozrastagwej funkcyej ( M x( ) = m x0 + c pry m0 > 0). Re-
ßenyq πtoho prodolΩennoho uravnenyq budut opredelen¥ na 0, ∞[ ) , pryçem na
0, l[ ] ony budut sovpadat\ s reßenyqmy ysxodnoho uravnenyq. Soxranym za pro-
dolΩenn¥my koπffycyentamy ysxodnoe oboznaçenye. Na l, ∞[ ) πto uravnenye
ymeet vyd
– ( )d p u0 ′ = λm udx0 ,
t.;;e. – p u0 ′′ = λm u0 (zdes\ p0 = p l( )) . Rasprostranqq na l, ∞[ ) sootvetstvug-
wee reßenye u x( , )λ zadaçy (2) – (9), zameçaem, çto pry λ > 0 πta funkcyq
ymeet beskoneçnoe çyslo nulej v l, ∞[ ) y, znaçyt, v 0, ∞[ ) .
Oboznaçym nuly u x( , )λ na ( , )0 ∞ v porqdke yx vozrastanyq çerez
z z zk0 1( ), ( ), , ( ),λ λ λ… …;.
Vse ony qvlqgtsq prost¥my nulqmy u x( , )λ , neprer¥vno zavysqwymy ot λ. V
sylu teorem¥ Íturma kaΩdaq yz funkcyj zk ( )λ stroho ub¥vaet po λ, kohda
ee znaçenye prynadleΩyt luçu ( ; )0 ∞ .
Pry λ , sovpadagwem s veduwym sobstvenn¥m znaçenyem λ 0, oçevydno,
z0 0( )λ = l. Pry λ = 0 funkcyq u x( , )0 ne ymeet nulej v 0, l( ], tak kak uravne-
nye – (– )d pu′ + udQ = 0 ne oscyllyruet na 0, l[ ], poskol\ku dQ ≥ 0. Poπtomu
λ0 > 0. Esly λ neprer¥vno uvelyçyvat\, to vse nulev¥e toçky zi( )λ budut ne-
prer¥vno, nyhde ne ostanavlyvaqs\, dvyhat\sq vlevo. Kohda oçerednaq yz nyx
zk ( )λ sovpadet s l, sootvetstvugwee reßenye u x( , )λ , obnulyvßys\ v toçke
x = l, okaΩetsq sobstvennoj funkcyej (2), (3), a znaçenye λ, dlq kotoroho
zk ( )λ = l, — sobstvenn¥m znaçenyem. Poskol\ku popadanyg zk ( )λ v toçku l
dolΩno b¥lo predßestvovat\ proxoΩdenye çerez πtu toçku pred¥duwyx nulej
z0( )λ , z1( )λ , … , zk −1( )λ , to ravenstvo zk ( )λ = l opredelqet λ k, t.;e. k-e sobst-
vennoe znaçenye.
Teorema 5. Pust\ funkcyq Q x( ) ne ub¥vaet, a M x( ) stroho vozrastaet
na 0, l[ ]. Tohda spektr Λ zadaçy (2), (3) sostoyt yz neohranyçennoj posledo-
vatel\nosty vewestvenn¥x stroho poloΩytel\n¥x prost¥x sobstvenn¥x zna-
çenyj λ0 < λ1 < … . Pry πtom sootvetstvugwaq λ k sobstvennaq funkcyq
ϕk x( ) ymeet v ( , )0 l toçno k nulej, v kaΩdom yz kotor¥x ona menqet znak;
nuly ϕk x( ) y ϕk x+1( ) peremeΩagtsq.
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥my vozdej-
stvyqmy. – Kyev: Vywa ßk., 1987.
2. Al\beveryo S., Hestezy F., Xoπh-Kron R., Xol\den X. Reßaem¥e modely v kvantovoj mexany-
ke. – M.: Myr, 1991.
3. Atkynson F. Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e dyskretn¥e zadaçy. – M.: Myr, 1991.
4. Saks S. Teoryq yntehrala. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1974. – 480 s.
5. Ryss F., Sekefal\dy-Nad\ B. Lekcyy po funkcyonal\nomu analyzu. – M.: Myr, 1978. –
587;s.
6. Levytan B. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm. – M.; L.: Hostexteoryzdat, 1950. –
159;s.
Poluçeno 30.08.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
|