Об одной проблеме Л. А. Шеметкова
Статтю присвячено вивченню будови надрадикальних формацiй.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164524 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной проблеме Л. А. Шеметкова / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1282-1288. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164524 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645242020-02-10T01:28:47Z Об одной проблеме Л. А. Шеметкова Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. Короткі повідомлення Статтю присвячено вивченню будови надрадикальних формацiй. This work is devoted to the investigation of the structure of superradical formations. 2012 Article Об одной проблеме Л. А. Шеметкова / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1282-1288. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164524 512.542 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме Л. А. Шеметкова Український математичний журнал |
| description |
Статтю присвячено вивченню будови надрадикальних формацiй. |
| format |
Article |
| author |
Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. |
| author_facet |
Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. |
| author_sort |
Велесницкий, В.Ф. |
| title |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова |
| title_short |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова |
| title_full |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова |
| title_fullStr |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова |
| title_full_unstemmed |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова |
| title_sort |
об одной проблеме л. а. шеметкова |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164524 |
| citation_txt |
Об одной проблеме Л. А. Шеметкова / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1282-1288. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT velesnickijvf obodnojproblemelašemetkova AT semenčukvn obodnojproblemelašemetkova |
| first_indexed |
2025-07-14T17:03:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:03:54Z |
| _version_ |
1837642689539997696 |
| fulltext |
УДК 512.542
В. Ф. Велесницкий, В. Н. Семенчук (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ Л. А. ШЕМЕТКОВА
This work is devoted to the investigation of the structure of superradical formations.
Статтю присвячено вивченню будови надрадикальних формацiй.
Классический результат Фиттинга состоит в том, что класс нильпотентных групп N замкнут
относительно взятия субнормальных подгрупп и произведений нормальных подгрупп. Форма-
ции Фиттинга, т. е. формации F, замкнутые относительно взятия субнормальных подгрупп и
произведений нормальных F-подгрупп, начали рассматривать с развитием теории формаций.
В 1970 году Хоукс поставил проблему об описании разрешимых наследственных формаций
Фиттинга. В работе [1] Хоукс дал описание метанильпотентных наследственных формаций
Фиттинга. Брайс и Косси [2] в 1972 году доказали, что любая разрешимая наследственная фор-
мация Фиттинга является насыщенной. В работах [3, 4] В. Н. Семенчуком получено полное
описание разрешимых наследственных формаций Фиттинга. Оказалось, что любую разреши-
мую наследственную формацию Фиттинга F можно получить из формаций всех разрешимых
π-групп (для различных множеств π простых чисел) с помощью операций произведения и
пересечения формаций.
Развивая подход Хоукса, Л. А. Шеметков в Коуровской тетради [5] поставил следующую
проблему.
Проблема 1. Классифицировать наследственные насыщенные формации F с тем свой-
ством, что любая группаG = AB, гдеA иB — F-субнормальные F-подгруппы, принадлежит F.
В настоящее время такие формации называют сверхрадикальными формациями.
Полное решение данной проблемы в классе конечных разрешимых групп было получено
В. Н. Семенчуком в работе [6].
В настоящей работе получено полное решение проблемы для произвольных непустых на-
следственных формаций F, у которых минимальные не F-группы разрешимы.
Все группы в работе конечны. В дальнейшем нам потребуются следующие определения и
обозначения.
Обозначим через π некоторое множество простых чисел, через Gπ класс всех π-групп,
через S класс всех разрешимых групп.
Если F — класс групп и G — группа, то корадикал GF — пересечение всех нормальных
подгрупп N из G таких, что G/N ∈ F.
Формация — класс групп, замкнутый относительно фактор-групп и подпрямых произведе-
ний. Формация называется насыщенной, если из G/Φ(G) ∈ F следует, что G ∈ F.
Обозначим через π(F) множество всех простых чисел p, для которых в F имеется нееди-
ничная p-группа.
В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие F-субнормальности.
Пусть F — непустая формация. Подгруппу H группы G называют F-субнормальной, если
либо H = G, либо существует максимальная цепь
c© В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК, 2012
1282 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ Л. А. ШЕМЕТКОВА 1283
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hn = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для всех i = 1, 2, . . . , n.
Несколько другое понятие F-субнормальности введено Кегелем. Фактически оно объеди-
няет понятие субнормальности и F-субнормальности.
ПодгруппуH называют F-субнормальной в смысле Кегеля или F-достижимой, если сущест-
вует цепь подгрупп
G = H0 ⊇ H1 ⊇ . . . ⊇ Hm = H
такая, что для любого i = 1, 2, . . . ,m либо подгруппаHi нормальна вHi−1, либо (Hi−1)
F ⊆ Hi.
Формация F называется X-сверхрадикальной, если любая группаG ∈ X такая, чтоG = AB,
где A,B ∈ F и F-субнормальны в G, принадлежит F.
Если X — класс всех групп, то X-сверхрадикальная формация является сверхрадикальной.
GS — произведение всех нормальных S-подгрупп (разрешимых подгрупп) группы G.
Формация F называется композиционной, если из G/Φ(GS) ∈ F следует, что G ∈ F.
Лемма 1. Пусть F — непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) если H — подгруппа группы G и GF ⊆ H, то H — F-субнормальная подгруппа группы G;
2) еслиH — F-субнормальная подгруппа группыG, тоH∩K — F-субнормальная подгруппа
K для любой подгруппы K группы G.
Доказательство. 1. Пусть H — подгруппа группы G и GF ⊆ H. Поскольку G/GF ∈ F и F
— наследственная формация, подгруппа H/GF является F-субнормальной подгруппой группы
G/GF. Отсюда, согласно определению F-субнормальной подгруппы, следует, что существует
максимальная цепь
G/GF = H0/G
F ⊃ H1/G
F ⊃ . . . ⊃ Hn/G
F = H/GF
такая, что (Hi−1/G
F)F ⊆ Hi/G
F для всех i = 1, 2, . . . , n. Поэтому в группе G существует
максимальная цепь
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hn = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для всех i = 1, 2, . . . , n, а это значит, что H — F-субнормальная
подгруппа группы G.
2. Пусть H — F-субнормальная подгруппа группы G. Тогда, по определению, существует
максимальная цепь подгрупп
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hm = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для любого i = 1, 2, . . . ,m.
Пусть K — некоторая подгруппа из G. Рассмотрим цепь подгрупп
K = H0 ∩K ⊇ H1 ∩K ⊇ . . . ⊇ Hm ∩K = H ∩K.
Поскольку (Hi−1)
F ⊆ Hi и формация F наследственна, из Hi−1/(Hi−1)
F ∈ F следует, что
(Hi−1 ∩K)(Hi−1)
F/(Hi−1)
F ∈ F.
Теперь в силу изоморфизма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1284 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
(Hi−1 ∩K)(Hi−1)
F/(Hi−1)
F ' Hi−1 ∩K/Hi−1 ∩K ∩ (Hi−1)
F
имеем
Hi−1 ∩K/(Hi−1)
F ∩K ∈ F.
Значит,
(Hi−1 ∩K)F ⊆ (Hi−1)
F ∩K.
Так как (Hi−1)
F ⊆ Hi, то (Hi−1 ∩K)F ⊆ Hi ∩K. Итак, (Hi−1 ∩K)F ⊆ Hi ∩K. Отсюда, по
определению, H ∩K — F-субнормальная подгруппа группы K.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть F — непустая формация, H и N — подгруппы группы G, причем N
нормальна в G. Тогда:
1) если H F-субнормальна в G, то HN F-субнормальна в G и HN/N F-субнормальна в
G/N ;
2) если N ⊆ H, то H F-субнормальна в G тогда и только тогда, когда H/N F-
субнормальна в G/N.
Доказательство. Пусть H — F-субнормальная подгруппа группы G. Тогда, по определе-
нию, существует максимальная цепь подгрупп
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hm = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для любого i = 1, 2, . . . ,m.
Рассмотрим цепь подгрупп
G = H0N ⊇ H1N ⊇ . . . ⊇ HmN = HN.
Поскольку (Hi−1)
F ⊆ Hi, то
(Hi−1N)FN = (Hi)
FN.
Отсюда следует, что
(Hi−1N)F ⊆ (Hi−1)
FN ⊆ HiN.
Итак, (Hi−1N)F ⊆ HiN для каждого i = 1, 2, . . . ,m. Отсюда, по определению, HN — F-
субнормальная подгруппа группы G.
Из свойств корадикала группы имеем
(Hi−1N/N)F = (Hi−1)
FN/N.
Поэтому (Hi−1N/N)F ⊆ HiN/N для любого i = 1, 2, . . . ,m. Значит,HN/N — F-субнормальная
подгруппа группы G/N.
Утверждение 2 леммы следует из утверждения 1 и свойств корадикала группы.
Лемма доказана.
Пусть F — некоторый класс групп. Напомним, что группа G называется минимальной не
F-группой, если G не принадлежит F, а любая ее собственная подгруппа принадлежит F.
Множество всех таких групп будем обозначать M(F).
Лемма 3. Пусть F — непустая формация, G — разрешимая минимальная не F-группа,
тогда GF — p-группа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ Л. А. ШЕМЕТКОВА 1285
Доказательство. Пусть G — разрешимая неединичная минимальная не F-группа. Извест-
но, что Φ(G) ⊂ F (G). Тогда существует такая p-группа N из F (G), что N /∈ Φ(G). Следова-
тельно, найдется такая максимальная подгруппа M, что G = NM. Так как M — собственная
подгруппа группы G и G — минимальная не F-группа, то M ∈ F.
Рассмотрим фактор-группу G/N :
G/N = MN/N 'M/M ∩N ∈ F.
Тогда GF ⊆ N. Так как G /∈ F, то GF 6= 1. Следовательно, GF — p-группа.
Лемма доказана.
В следующих леммах содержатся известные результаты о сплетениях групп.
Лемма 4 [8]. ПустьW = Zpn−1 oZp иB — база сплетения, p ∈ P, p ∈ N. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) W содержит субнормальную подгруппу, изоморфную Zpn ;
2) если M = [B,Zp], N = MZp и ω ∈ N \M, то ωp = 1;
3) W = BN, где B и N — нормальные подгруппы W экспоненты pn−1, n ≥ 2.
Лемма 5 [8]. Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Тогда существует мономор-
физм
µ : G→W = N o (G/N)
такой, что Bµ(G) = W и B ∩ µ(G) = µ(N), где B — база сплетения W.
Лемма 6. Пусть F — непустая наследственная S-сверхрадикальная формация. Тогда
Nπ(F) ⊆ F.
Доказательство. Вначале докажем, что любая примарная минимальная не F-группа являет-
ся циклической. Пусть G ∈ M(F) и G — p-группа. Если G не циклическая, то в G найдутся
две различные максимальные подгруппы M1 и M2. Ясно, что они нормальны в G и G/Mi ∈ F,
Mi ∈ F, i = 1, 2. Отсюда следует, что GF ⊆ Mi. По лемме 1 M1, M2 — F-субнормальные
подгруппы группы G. Поскольку G = M1M2 и F — S-сверхрадикальная формация, то G ∈ F,
что невозможно.
Покажем, что Nπ(F) ⊆ F. Предположим противное и пусть G — группа наименьшего по-
рядка из Nπ(F) \ F. Так как Nπ(F) — наследственная формация, то G — минимальная не F-
группа. Покажем, что G — примарная группа. Пусть |π(G)| > 1. Поскольку G нильпотентна, то
G = A×B. Очевидно, что G/A ∈ F и G/B ∈ F. Так как F — формация, то G ' G/A ∩B ∈ F,
что невозможно. Итак, G — p-группа. Вначале было показано, что G — циклическая p-группа.
Пусть |G| = pn, где n — некоторое фиксированное натуральное число.
Если n = 1, то G — группа простого порядка p. Поскольку G ∈ Nπ(F), где π(F) — характе-
ристика формации F, то G ∈ F, что невозможно.
Пусть n > 1. Рассмотрим группуW = Zpn−1 oZp. ТогдаW = [B]Zp, гдеB — база сплетения.
По лемме 4W содержит подгруппу P, изоморфнуюG. Так как P ∈M(F) и F — наследственная
формация, W не принадлежит F.
Согласно лемме 4 W = BN, где B и N — нормальные подгруппы группы W экспоненты
pn−1. Заметим, что B ∈ F и N ∈ F. Отсюда следует, что W/B ∈ F и W/N ∈ F. Это значит, что
W F ⊆ B ∩N. Согласно лемме 1 B и N — F-субнормальные подгруппы группы W. Так как F
— S-сверхрадикальная формация, то W ∈ F. Получили противоречие.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1286 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
Напомним, что минимальную ненильпотентную группу называют группой Шмидта.
Лемма 7. Пусть F — непустая наследственная S-сверхрадикальная формация. Если
группа Шмидта H = [Hp]Hq, где |Hq| = q, принадлежит F, то формация F содержит любую
группу G = [Gp]Gq, где Gq — циклическая группа.
Доказательство. Вначале по индукции докажем, что любая группа G = [Gp]Gq, где
|Gq| = q, принадлежит F.
Предположим, что G имеет нормальную подгруппу K, индекс которой в G есть степень
простого числа p. Очевидно, что K = [Kp]Kq, где |Kq| = q. По индукции K ∈ F. По условию
группа H = [Hp]Hq ∈ F. Так как F — наследственная формация, то p, q ⊆ π(F). По лемме 6
N{p,q} ⊆ F. Поскольку G/K ∈ F, то GF ⊆ K. По лемме 1 K — F-субнормальная подгруппа
группы G. Аналогично можно показать, что Gp — F-субнормальная подгруппа группы G.
Очевидно, что G = GpK. Так как K,Gp принадлежат F, из S-сверхрадикальности формации F
следует, что G ∈ F. Поэтому можно считать, что G′ = Gp 6= 1. Тогда в G найдется нормальная
p-подгруппа T такая, что G/T ' H.
Если T = 1, то G ' H ∈ F. Пусть T 6= 1. Поскольку G/T ∈ F, то GqT/T и Gp/T —
F-субнормальные подгруппы G/T по лемме 2. По лемме 2 GqT и Gp — F-субнормальные
погруппы группы G. Так как |GqT | < |G|, по индукции GqT ∈ F. Аналогично Gp ∈ F. Так как
GqTGp = G и F — S-сверхрадикальная формация, то G ∈ F.
Пусть теперь G = [Gp]Gq, где Gq — циклическая группа и |Gp| = qt. Доказательство
проведем индукцией по t. Если t = 1, то, как показано выше, G ∈ F.
Пусть t > 1 и R — нормальная подгруппа группы G такая, что |G : R| = q. По лемме 5
существует мономорфизм µ : G → E = R o A, где A ' Zq. Пусть B — база сплетения.
Очевидно, что E — p-замкнутая группа. По индукции EpA ∈ F, B ∈ F. Очевидно, что EpA — F-
субнормальная подгруппа группы E и B — F-субнормальная подгруппа E. Так как E = EpAB,
из S-сверхрадикальности F следует, что E ∈ F. Рассмотрим подгруппу W = Epµ(G) группы
E. Поскольку F — наследственная формация, то W ∈ F. Это значит, что G ∈ F.
Лемма доказана.
Напомним, что формация F называется формацией Шеметкова, если любая минимальная
не F-группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Лемма 8 [9]. Пусть F — насыщенная разрешимая наследственная формация, f — ее мак-
симальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда F — формация Шеметкова,
когда F имеет локальный экран h такой, что h(p) = Sπ(f(p)) для любого простого числа
p ∈ π(F) и h(p) = ∅ для любого простого числа p /∈ π(F).
В следующих теоремах получено решение проблемы для произвольных непустых наследст-
венных формаций F, у которых минимальные не F-группы разрешимы.
Теорема 1. Пусть F — непустая наследственная S-сверхрадикальная формация. Тогда
любая разрешимая минимальная не F-группа является либо группой простого порядка, либо
группой Шмидта.
Доказательство. Пусть G — произвольная разрешимая минимальная не F-группа. По
лемме 3 GF — p-группа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ Л. А. ШЕМЕТКОВА 1287
Покажем, что |π(G)| ≤ 2. Предположим противное, т. е. |π(G)| > 2. Тогда найдутся, по
крайней мере, три попарно различных простых числа p, q, r, принадлежащих π(G). Поскольку
G — разрешимая группа, в G найдутся максимальные подгруппы M1 и M2, индексами которых
являются числа q и r соответственно. Так как G — минимальная не F-группа, то M1 ∈ F
и M2 ∈ F. Поскольку GF — p-группа, где p 6= q, q 6= r, то GF ⊆ M1 и GF ⊆ M2. По
лемме 1 M1 и M2 — F-субнормальные подгруппы группы G. Согласно теореме Оре любые
две максимальные подгруппы в G либо сопряжены, либо перестановочны. Отсюда следует, что
G = M1M2. Поскольку F — S-сверхрадикальная формация, то G ∈ F. Получили противоречие.
Итак, |π(G)| ≤ 2.
Пусть |π(G)| = 1. Покажем, что G — группа простого порядка p, p /∈ π(F). Действительно,
если p ∈ π(F), из леммы 6 следует, что G ∈ F. Получили противоречие. Итак, p /∈ π(F). Так
как G — минимальная не F-группа, то |G| = p.
Рассмотрим случай |π(G)| = 2. Пусть π(G) = {p, q}, p 6= q. Согласно лемме 3 GF — p-
группа. Покажем, чтоGF = Gp.Предположим противное, т. е.GF ⊂ Gp. Рассмотрим подгруппы
GFhGq и Gp. Поскольку они являются собственными подгруппами группы G, то GFhGq ∈ F
и Gp ∈ F. Так как GF ⊆ GF h Gq и GF ⊆ Gp, по лемме 1 они являются F-субнормальными
подгруппами группы G. Вследствие того, что F S-сверхрадикальна и G = (GFhGq)Gp, G ∈ F,
что невозможно. Следовательно, GF = Gp. Таким образом, G — бипримарная p-замкнутая
группа, а также согласно лемме 6 группа G ненильпотентна.
Итак, G = [GF]Gq. Покажем, что G — группа Шмидта. Допустим противное. Пусть G — не
группа Шмидта. Тогда G ненильпотентна, но каждая ненильпотентная группа содержит группу
Шмидта H. Отсюда следует, что H/Φ(H) — группа Шмидта,
∣∣H/Φ(H)
∣∣ = pαq. Так как H ⊂ G,
то H ∈ F, а значит, H/Φ(H) ∈ F, но по лемме 7 G ∈ F. Получили противоречие.
Теорема доказана.
Теорема 2. Любая непустая наследственная сверхрадикальная формация F, у которой
M(F) ⊆ S, является композиционной.
Доказательство. Согласно теореме 1 и требованию M(F) ⊆ S любая минимальная не
F-группа — группа Шмидта либо группа простого порядка. Следовательно, F — формация
Шеметкова. Тогда, как показано в работе [10], F — композиционная формация.
Теорема 3. Пусть F — непустая наследственная формация. Тогда следующие утвержде-
ния эквивалентны:
1) F — S-сверхрадикальная формация и M(F) ⊆ S;
2) F — формация Шеметкова.
Доказательство. 1)⇒ 2) следует из теоремы 1 и требования M(F) ⊆ S.
2) ⇒ 1). Для этого надо показать, что любая разрешимая группа G = AB, где A, B —
F-субнормальные F-подгруппы (F — формация Шеметкова), принадлежит F. Доказательство
проведем индукцией по порядку группы G.
Покажем, что G содержит единственную минимальную нормальную подгруппу N. Пусть G
содержит две разрешимые минимальные нормальные подгруппы N1 и N2. По лемме 2 ANi/Ni,
BNi/Ni, i = 1, 2, — F-субнормальные подгруппы группы G/Ni. Очевидно, что ANi/Ni ∈ F и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1288 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
BNi/Ni ∈ F. По индукции G/N1 ∈ F и G/N2 ∈ F. Так как F — формация, то G ∈ F. Получили
противоречие.
Покажем, что Φ(G) = 1.Предположим противное. Тогда, как и выше, по индукции нетрудно
показать, что G/Φ(G) ∈ F. Так как G разрешима, то G/Φ(G) ∈ S ∩ F.
В работе [11] было доказано, что разрешимая наследственная формация Шеметкова являет-
ся насыщенной. Отсюда следует, чтоG ∈ S∩F. Следовательно,G ∈ F.Получили противоречие.
Итак, G имеет единственную минимальную нормальную p-подгруппу N и Φ(G) = 1. Отсюда
следует, что CG(N) = N.
Рассмотрим подгруппы AN и BN. Покажем, что они принадлежат F. Из того факта, что
G = AB, где A ∈ F, B ∈ F, следует, что π(G) ⊆ π(F). Так как F∩S — насыщенная формация
и N — p-группа, где p ∈ π(G), то N ∈ F. Далее, поскольку G/N ∈ F, то GF ⊆ N. По лемме 1
N — F-субнормальная подгруппа группы G. Если AN — собственная подгруппа группы G, то,
по индукции, AN ∈ F. Итак, G = AN.
Так как G/N ∈ F и G /∈ F, то N = GF. Поскольку A — собственная F-субнормальная
подгруппа группы G, то A ⊆ M, где M — максимальная F-нормальная подгруппа группы G.
Теперь из того факта, чтоN = GF содержится вM, следует, чтоG = AN ⊆M, что невозможно.
Итак, AN ∈ F. Аналогичным образом получим, что BN ∈ F. Так как F ∩ S — насыщенная
наследственная формация Шеметкова, по лемме 8 она имеет локальный экран h такой, что
h(p) = Sπ(f(p)) для любого p ∈ π(F∩S), где f — максимальный внутренний локальный экран
формации F ∩S. Так как AN ∈ F и N — p-группа, по лемме 4.5 из [7] AN/Fp(AN) ∈ h(p).
Поскольку CG(N) = N, нетрудно показать, что Op′(AN) = 1. Следовательно, Fp(AN) — p-
группа. Так как h — полный экран, то AN ∈ h(p). Поскольку h(p) — наследственная формация,
то A ∈ h(p) = Sπ(f(p)). Очевидно, что G = AB ∈ h(p) = Sπ(f(p)). Теперь из того факта, что
G/CG(N) ∈ h(p) и G/N ∈ F, следует, что G ∈ F. Получили противоречие.
Теорема доказана.
Заметим, что если в определении сверхрадикальной формации понятие F-субнормальности
заменить понятием F-достижимости, то теоремы 1 – 3 остаются справедливыми.
1. Hawkes T. On Fitting formations // Math. Z. – 1970. – 117. – S. 177 – 182.
2. Bryce R. A. Fitting formations of finite soluble groups // Math. Z. – 1972. – 127, № 3. – S. 217 – 233.
3. Семенчук В. Н. Разрешимые тотально локальные формации // Сиб. мат. журн. – 1995. – 36, № 4. – С. 861 – 872.
4. Семенчук В. Н. О разрешимых тотально локальных формациях // Вопросы алгебры. – 1997. – № 11. – С. 109 –
115.
5. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). – Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР,
1992. – 172 с.
6. Семенчук В. Н. Разрешимые F-радикальные формации // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 1. – С. 261 – 266.
7. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.
8. Doerk K. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
9. Семенчук В. Н. Характеризация локальных формаций F по заданным свойствам минимальных не F-групп
// Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. Ин-та математики АН БССР. –
Минск: Наука и техника, 1984. – С. 175 – 181.
10. Каморников С. Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова // Сиб. мат. журн. – 1994. – 35, № 4. – С. 801 – 812.
11. Скиба А. Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп // Докл. АН БССР. – 1990. – 34, № 11. –
С. 382 – 385.
Получено 04.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|