Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости
Для одновимірної фізично лінійної математичної моделі термопружності встановлена стійкість за Ляпуновим. Для доведення побудовано збіжний ітераційний процес, який полягає у послідовному розв’язанні гіперболічної та параболічної задач, з використанням нових оцінок розв’язку мішаної задачі для хвиль...
Gespeichert in:
| Datum: | 1993 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164590 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости / В.П. Орлов // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1239–1252. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164590 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645902020-02-11T01:27:47Z Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости Орлов, В.П. Статті Для одновимірної фізично лінійної математичної моделі термопружності встановлена стійкість за Ляпуновим. Для доведення побудовано збіжний ітераційний процес, який полягає у послідовному розв’язанні гіперболічної та параболічної задач, з використанням нових оцінок розв’язку мішаної задачі для хвильового рівняння. Lyapunov stability is established for a one-dimensional physically linear mathematical model of thermoelasticity. For this purpose, the convergent iteration process is constructed; it consists of solving hyperbolic and parabolic problems successively by using new estimates for the solution of a mixed problem for the wave equation. 1993 Article Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости / В.П. Орлов // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1239–1252. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164590 539.3:51 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Орлов, В.П. Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости Український математичний журнал |
| description |
Для одновимірної фізично лінійної математичної моделі термопружності встановлена стійкість за Ляпуновим. Для доведення побудовано збіжний ітераційний процес, який полягає у послідовному розв’язанні гіперболічної та параболічної задач, з використанням нових оцінок розв’язку мішаної задачі для хвильового рівняння. |
| format |
Article |
| author |
Орлов, В.П. |
| author_facet |
Орлов, В.П. |
| author_sort |
Орлов, В.П. |
| title |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| title_short |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| title_full |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| title_fullStr |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| title_sort |
устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1993 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164590 |
| citation_txt |
Устойчивость нулевого решения одномерной математической модели термоупругости / В.П. Орлов // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1239–1252. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT orlovvp ustojčivostʹnulevogorešeniâodnomernojmatematičeskojmodelitermouprugosti |
| first_indexed |
2025-07-14T17:12:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:12:52Z |
| _version_ |
1837643252835024896 |
| fulltext |
YL{K 539.3 :51
B. II. OpJIOB, Ka1111. cpH3.-MaT. 11ayK (Bopotte>K. yn-T)
YCToii:qJIBOCTh HY JIEBOro PEIIIEHH.H
O,UHOMEPHOU: MATEMATffqECKOU: MO,UEJIH
TEPMOYUPYrOCTH
It is proved that a one-dimensional physical-linear mathematical model of thennoclasticity is Lyapunov
stable. For this pmposc, the convergent i,cration process is constructed, which consists in successive
solving hyperbolic and parabolic problems by using new estimates of the solution of a mixed problem
for the wave equation.
,Um, OAHOBHMipnoi cpiJH'IHO 11i11iA1mi MaTCMaTH'-IHOi MOAeJJi TepMonpy>KHOCTi BCTaHOBJJeua cTiAKiCTb
3a Jl1myHOBHM. )].m, AOBeACIUl.fl no6y11ona110 36i>KHHA iTepa1-1iAHHA npo1-1ec, .IIKHA llOJl.llrac y nocJJi
AOBIIOMY p03B' .113aHHi rinep6oJJi'lHOi Ta napa6oni'lHOi 3Ma'l, 3 BHKOpHCTaHH.IIM IIOBHX 01-1i110K po3B '.113-
KY Mimanoi :JaAa'li AJUI XBHJlbOBOro piBH.111111.11.
1. BBCACHHC. PaccMaTp1maeTc.a Ha'-Ul.TlbHO-rpami'iHM 3aAa'ia
u;; - U~ - 0: = f (t, X), 0 $ t < +oo, 0 :5 X $ 1t,
u(0, x) = 110(.x), u; (0, x) = u 1 (x), 0 :5 x :5 7t,
u(t, 0) = u(t, 7t) = 0, 0 :5 t < +oo,
(1)
(2)
(3)
8(0, x) = 80(.t), 0 :5 X :5 1t; 8(1, 0) = 8(t, 7t) = 0, 0 :5 t < +00 , (5)
OilHCblBa!0W:a.a B JiarpamKeBhlX K00pAHHaTax ABI-DKeHHe 0AHOMepnoro TepMoynpy
roro KOHTHHyyMa. B pa6<ne [ 1] ycTaHOBJICHa JIOKaJibHaj{ pa3peWHMOL'Tb 3aJ~8'{H (1)
- (5) B pa3JIH'J:HbIX <PYHKUHOHaJibHblX npocTpaHCTBaX. B naLI0HW:efi pa6c)Te A0Ka3bl
BaeTCH yCT0fi'iHBOCTb no flHny1IOBY ny11eBoro peweHml 3aAa'J:H (1) - (5 ) H, c11ea.o
BaTeJibHO, ee HeJIOKaJlbHa.a pa3pewHMOCTb npH "MaJibIX" Ha'iaJibHblX a.aHHblX If npa
BbIX 'iaCT.ax.
Tipm-1euem1e cxeMbI pa6on,1 [ 1] no-rpe60Ba110 OI~e11KH npOH3B0AHhIX peweHH:.sr
(-!a'{aJlbllO-rpauH'{H0fi 3aA8'{H AJUf B0JIH0BOro ypanne1rn.a. IlpH 3TOM B OTJIH'{He OT
lf3BeCHll,IX pe3yJibTaTOB (CM., uanpH:Mep, [2, 3)), Tpe6yI0W:HX OT npaaoA '{3CTH
3aAa'{H 11.11¢¢epe1-11~upyeMOCTH no 1 HJIH AH(pcpepem~HpyeMOCTH no X BMeCTe C
YA0BJleTB0pe11HeM rpamt'-IHhlM YCJI0BH.\IM, Mhl Tpe6yeM JIHWh AH(pcpepemwpyeMOCTH
no x. TI011y'{etme Tpe6yeMbtx OI~enoK on11paeTc.sr 1-1a 1-10By10 cpopMyJIY AJIH pewemrn
3aua'{H, HBJ1>11omy1oc51 06o6me1rneM no1ry'iem10A B [I] a.11.a c11y'-Ja}I O :5 t < 1t /2.
2. <DopMyJrnpOBKa PC3YJH,TaTOB. O6o3Ha'{HM '{epe3 wqa 6a1-IaXOBO npocTpan
CTB0 <PYHKUHA, HMeJ0W:HX na [0, 7t] o6o6memn,re npon3B0AHbie nopHAKa a> 0 (a
ue 06}13a-re11bH0 uenoe), cyMM11pyeM1,1e co cTenem,IO q E (I, +oo), a '1epe3 w;••·" -
6aHaxono npoci-pru1cTBO onpei~e11e1mb1x 11a Q = {(t, x): 0 :5 t < + oo , 0 :5 x S n} cpy1-1K
~11tl, nMemmux 1-1a Q o6061.J..1e1-t11b1e npon3uoa111,1e no t n.o nop.srn.Ka m H o606meH-
n1,1e npOH3B0AHhle 110 X I\O nop.)IAKa I!, CyMMHpyeMhle co CTeneHbl0 q E (1, + oo). [4].
HopMy B W:~ 6yaeM 06o31ia4arh I · la (I · lo o6oJ11a'J:aeT 11opMy n L q[O, 1t]), HOPMY B
W;"'" - II · 11111 , 11 , HOPMY B Lq<Q)-11 · llo- Hap.)IAY c npoCTpat1crnaM1-1 W;"'" 6ya.eM
W Iii II ,h '1 ( ) paccMa-rpHmlTb BeC0Bhle npocrpaHCTBa q.',.. 'T. e. npocTpatiCTBa 't'Yl·IKLU-M It t, X
TaKHX, '!TO ii (t, x) = exp(yt)u(t, x) E Wt". HopMa B w;:~ 11 3aAaeTC.\f q)()pMy110A
1111(1, x)II,,,,,, ,. = llexp(yt) 11(t , x)ll,.,, 11 • (6)
Ha1<.011e1~. 11aM no11aa.0611TC}I 6a11ax0Bo npoCTpa11cTBO CL= C( [0, oo) : Lq [O, 1t]) c
© B. n. OPJlOB. 1993
ISSN 0041-6053 . Y.:p . Mam . ;,:yptt., 1993. m . .J5. N" 9 1239
1240
HOpMOA
IIC/>lk:L = suplu(1,x)l 0.
t~O
B. n.OPJ10B
PewenHeM 3Ma'l:H (1) - (5) Ha30BeM napy (pyHKl~Hi1 u(t, x), 0 (I, x) TaKHX, '!:TO
0 E w~:;. BCe npOH3BOAHbie u(I, x) AO nOp5IAKa HBa BKJIIO'IHTeJibHO nprrnaAJie)KaT
CL, u(t, x) H 0(1, x) yi10B11emop5110T ypam1eHHHM H ycJIOBHHM (1) - (5).
TeopeMa 1. Ilycmb 3 < q < +oo, 0 < y< l , cp,f, J; E Lq,* 11,
1
KpOMe m ow,
uo(x) E w~. U1(X)E W~, 0o(x)E w~-2/q
l + Uo(X) > 0 .
Tozi)a Oil.II lll060W E > 0 1/al/OCmCJI 8 > 0 maKOC, l/llW npu )'C/10811!1
max( IIJIL.11 J; II*' I 1101 2, I 111 I 1, II C/>11*. I 0ol 2-21q) < 8
3ai)atta (l) - (5) OOH03Ha•aw JW3pClUUMa, ll cnpaaeOll ll8bl Ol{CHKll
II u':.x IICL + 11 u;,; IICL + 11 u;; IICL :,; e,
11011 1,2,• + sup lexp(y1)0(1,x)l2_21q :,; E.
t~O
(7)
(8)
(9)
(10)
3. l(oKa3ame1lbCl1l60 meopeMbl 1. PaCCMOTpHM CHa'laJia rHnep60JIH'leCKYIO
JaAa'ly
u;; - u';_,; = f(1, x), (t, x) E Q; (11)
u(0,x) = u0(x). u;(0.x) = u1(x) , 0:,; x:,; n ;
(12)
11(1, 0) = u(t. 1t) = 0, 0 :,; I < +oo.
JleMMa 1. Ilycmb f, u0 • u 1, y yooa,1enwopJ1iom yc11oau.11;11 meopotbt I. To zoa
3aOal/a (11), (12) OOH03fl{llf/10 pa3pClllUMa II cnpaae0/1.lWbl Ol{CHKU
zoe
llu;IICL:,; MID ,
llu';_,;I ICL:,; MID ,
llu;;11CL:,; MID,
llu;IICL:,; MID.
m = ID(uo, !11 ,f; = I uol2 + I u1 I 1 + 11111. + II 1: 11 •.
(13)
(14)
(15)
(16)
3AeCb H AaJJ.ee M B HepaBeHCTBax HJIH B ~enO'IKe HepaneHCTB o603Ha'laeT, BOo6-
w.e rOBOp51, pa3Hble KOHCTaHTbl.
IlepeAneM K napa6oJIH'l:eCKOi1 JaAa'le (4), (5). Bna'laJJ.e paccMOTpHM 6011ee npo
CTYIO 3Ma'l:y
0; - 0';_,; = w(I, x), (I, x) E Q ,
(17)
0(0. x) = 00(x), 0 :,; x :,; 1t, 0(1, 0) = 0(t, 1t) = 0, 0 :,; I < +oo.
11cnOJib3Y51 pe3yJibTaTbI pa6oT [5, 6], M0)KH0 noKaJaTb, '{TO ,na 3aJta•-rn OAH03Ha'-IHO
pa3peillHMa B L q,* npu y < 1, H AJI51 ee perneHH51 cnpaBeLIJIHBO HepaneHCTBO
ISSN 0041-6053. YKp. ,-wm. )l(yp1t., 1993, m. 45, N' 9
YCTOt-i'-IHBOCTb HYJlEBOfO PEWEHH51 . ..
118Ih.z.• + sup lexp(yt)8(t, x)l2-2/q $ M(llwll. + I 8J2-21q),
t ~O
rae M ue 3aBHClff OT 80 H w .
1241
(18)
.[lm1 3Toro aoc-raTO'IHO 3aMeTHTb, '!TO H3y'letrne Jal).a'IH (17) B Lq.• C IlOMOll(blO
3aMeHbl 9 = exp(yt) 8 CBOl).IITCH K H3y'leHHIO B Lq 3al).a'IH
e; - 9~x -y9 = w(t, X) ( W = exp(yt) w), (t, X) E Q,
9(0, x) = 00(x), 0 $ x $ 7t, 0(t, 0) = 0 (t, 7t) = 0, 0 $ t < +oo ,
a cneKrp aeACTBYIOll(ero s Lq[O, 7t] onepaTOpa A0 = -8~ c D(A) = w; COCTOHT
H3 'IHCM Ak = n2, fl= 1, 2, ... (CM. [7]).
C nOMOll(blO (18) l).0Ka3bJBaeTCH cneayIOll(aH JieMMa.
Jie~tMa 2. f!ycmb <p, 80, y yiJ08llemoop.R10m ycAoou.RM meopeMbl 1. flycmb,
KpoMe mow, u;, u';_,;, u; npuHaO/le)Kam CL. ToziJa HatiiJemc.R iJocmamotJHO
J.ta/loe o > 0 maKoe, 11mo npu
max (II u; llci, II u.:X llcv II u;; IICL) $ o
3aiJa1.Ja (4), (5) oiJH03HatJHO pa3pe1uuJ.ta, u cnpaoeiJAuoa Ol{eHKa
ll0Ih.2,. + sup0 lexp(yt)8: I2-2/q $ M(ll<pll. + I8~ 2_2,q),
t ~
ziJe M He 3aoucum om <p u 80 .
.[loKa3aTeJlbCTBa JieMM 1, 2 npHBel).eHbl B n. 4.
IlepeAaeM K l).OKa3aTeJibCTBy TeopeMbl 1. IlyCTb
SR= {z:zE w;:;. ll=lh,2,•$R}.
(19)
(20)
B03bMeM npoH3B0JlbH)'IO 8 1 E SR H IlOCTaBHM B COOTBeTCTBI·Je ett peweHHe U (eCJIH
OHO cyw.eCTByeT) 3aJ).a'IH (l) - (3). 3aTeM nOCTaBHM s COOTBeTCTBHe u peweHHe 8
3al].a'IH (4), (5) (eCJIH OHO TO)f(e cyll(ecrnyeT). TeM caMbIM Ha SR onpeaeJIHeTCji
onepaTop 8 = 1\(81). IloKa)f(eM, '!TO npH JII06oM l).OCTaTO'IHO MaJIOM R > 0 MO)f(HO
yKa3aTb TaKoe O > 0, '!TO npH BbICTOJitleHHH ycJIOBHH (8) onepaTop 1l HMeeT el).HH
CTBeHH)'IO HenOl).BH)f(nyIO TO'IKY 8 Ha SR. Toraa napa cpyHKQHA 8 u U, rae u -
peweHHe Jal).a'IH (1) - (3) npu aaHHOM 8, jlBJIHeTCjl peweHHeM Jal).a'IH (1) - (5).
IloKa)KeM CHa'l:aJia, 'ITO onepaTOp 1l onpeaeneH Ha BCeM s R· PaCCMOTpHM rH-
nep6oJIH'l:eCKYIO Jal).a'ly (1)- (3) npH HeKoTOpott 8 E SR. Jfa JieMMbl 1 H HepaseHCT
sa (8) BbITeKaeT ee Ol].H03Ha'lnaH pa3peWHMOCTb H OQeHKa
II u';_,; llcL + II u; licL + II u;; IICL + sup I u~(t, x)I $
(t,x)eQ
(21)
$ MID(f-0~,Uo,u,) $ M(ll8lh,2,•+ llfllo,1,•+IUol2+l1t1l1) $ M(R+o).
PaCCMOTPHM Tenepb napa6oJIH'l:eCKYIO Jal).a'ly (4), (5) npH IlOJIY'l:eHHOM 3Ha'l:eHHH
u(t, x). )l.nH ee pa3pew11MOCTH BOCil0Jlb3yeMCH JieMMOA 2. lfa OQeHKH (21) BbITeKaeT,
'ITO npH l).OCTaTO'l:HO MaJiblX R H o BbinOJIHHeTCH ycJIOBHe JieMMbl 2 Ha u(t, x).
CneaosaTeJibHO, Jal).a'la (4), (5) Oll.H03Ha'l:HO pa3pewHMa, H ll.JIH ee peweHH.11 cnpa
Bell.JIHBa OQeHKa
118 lh,2 .• + ~~g lexp(yt) 8(t, x)I 2-21q $ M ( ll<i>II. + I 8d 2-21q} (22)
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. X)'pH., 1993, m. 45, N' 9
1242 B. Il.OPJIOB
OTCIO.Ua B CHJIY (8) cne.uyeT, 'IT0 110111,2, • $ R npH A0CTaT0'IH0 MaJI0M 0, H,
CJie.uosaTeJibH0, onepaT0p 1l 0npeAeJieH Ha SR 1-1 nepeBO.UHT SR a ce6.ll.
IloKa)KeM Terrepb, 'IT0 Ha SR 0rrepaT0p 1l JfBJI.lleTC.ll C)KHMalOl.l.l;HM. IlyCTb
A y e, e E SR, U, u - coorneTcTBylOw;He perneHHJf 3a_ua'IH (1) - (3), a 0 H e -
peweHH.ll 3Ma'IH (4), (5) npH u H u COOTBeTCTBeHH0. Tor.ua
(23)
u(0, x) = u; (0, x) = 0, u(t, 0) = u(t, n) = 0,
(24)
0(0, x) = 0, 0(1, 0) = 0(t, 1t) = 0.
0 = e V
0, u = u - u. (25)
lfa JieMMbl 1 BbITeKaeT, 'IT0 l(JIH perneHH.ll u (t, x) 3a_ua'IH (23) cnpaBe.UJIHBbl
ou.eHKH
suplu;(t,x)l'.5:Mll0- 01112.,
t,x ''
sup I u;;(t, x)l 0 $ M II 0 - 0 11 1,2,. ,
t ,x
sup I u;xU, x) l0 '.5: M II 0 - 0 11 1,2, •.
t :?:0
(26)
lfa rntt )Ke neMMbI CJ1e.uyeT, 'IT0 AJI.ll pewe1mtt u H u 3a_ua'IH (1) - (3) crrpase.unH
BbI HepaseHCTBa
sup I u;(t. x)I + sup lu;(t, x)lo + sup IUi;U. x) lo '.5: M (R + o),
t,x t :?:0 t :?:0
sup I If; (t, x)I + sup lu;(t, x) lo + sup lu;(t, x)lo '.5: M (R + o).
t,x t :?:0 t :?:0
B 'laCTHOCTH, rrpH /.\OCTaT0\JH0 MaJlbIX R " o
suplu;(t,x) +lJ-1 $ (l-M(R+o)) - 1 $ ½,
t ,x
suplu: (t,x) + 11- 1 $ (l-M(R+o)) - 1 $ ½·
t,x
C ll0M0l.l.l;blO 3JieMeHTapHblX npeo6pa30BalIHtt nony'laeM
+ u;c 1 + u;)-2 u~0: - u;r< 1 + ft; )-1 + u;( 1 + u;)-1( 1 + u; )-11 x
X 0" - 0' u" [( l + u' )-I + u'( 1 + u' )-1( l + u' )-1) - 0' u' · X
XX X XX· X X X X XX
(27)
(28)
x r-c 1 + u; )-2u; + u~c 1 + u;)-1( 1 + u; )-1 - u;< 1 + u;)-2( 1 + u; )-1 x
8
Xu~ - u;( I+ u;)- 1( l + u; )-2u;] + u;;0 + u;;e = L, s, = s. (29)
i=I
ISSN 0041-6053 . YKp. ;.,am. JKYf'" ·• 1993, m. 45, N• 9
YCT0'1qHBOCTh HYJIEBOfO PEllIEHIUI .. . 1243
IloKaJKeM, qTo AJUI cnaraeMoro S;. COAep)Kamero u. cnpaseAJIHBa oqenKa
(30)
IIS;II. s; M (R + o) 1181'1,2,.. i = 1,2,3,7. (31)
YcTaHOBHM cuaqana (31). CqHTa.ll R H 6 AOCTaToqno MaJiblMH H nonb3y.l1Cb
nepasenCTBaMH (27) H (28), nonyqaeM (31) npH i = 1.
IlpHMeH.ll.ll nepasenCTBO
llq>'(x)llqo, lt} s; MI <pli-21,r <p E wt21q, 3 < q < +00 (32)
(CM. [4]) H (27), (28), HMeeM
IS2(t,x)l0 s; Mlu~(t.x)l 018~(t,x)lcro,itJ s M(R+6) i8(t,x)l2-
0rcl0Aa CJieAyeT (31) AJI.ll i = 2.
Ananoruqno ycTaHaBJIHBalOTC.ll Ol.\eHKH (31) AJUI i = 3, 7.
Ilepett,AeM K ,AOKaJaTeJlbCTBY OQeHOK (30). 3aMeTHM cnaqana, qTQ H3 (22) H (32)
BblTeKaeT
110(t,x)lh 2 .+supllexp(yt)0(t,x)llc1o 11:J s M(llq>ll.+l8d2-21q) s Mo. (33)
' ' t<!O '
IlOJib3Y.llCb (26) n (33), nonyqaeM
IIS4II. S Ms1up I u;(t, x)I 118 lh,2 •• ~ M (R + 6) II 8 - 0 lh,2,•.
,ll.n.ll S5 HMeeM
IISsll. S M sup I u~(t, x)l 0118~ lh.2,. S M (R + o) II 8 - 8 11 1,2, •.
t<!O
Ananornqno yCTaHaBJIHBalOTC.ll OCTaJibHble uepaseucTsa (30).
HcnOJib3Y.ll HepaseHCTBO (20) ,AJl.ll ypasHeHH.ll (29) n OQeHKH (30), (31), HaxO,AHM
8
1181'1,2,. s MIISII. s MI_ IIS;IL s
i=l
~ M(R+o)ll8 - 8 lh,2,.+M(R+o)ll8111,2, •.
OrclOna npn Ma.TlblX R H o CJie.AyeT
118111,2.• s M (R +6) 110 - 8 1'1,2,• s q 110 - 8 lh,2,•
npn HeKOTOpoM O < q < 1. JlpyruMH CJIOBaMH,
II 'fl( 0) -1\(8) 11,.2,. s q 110 - e lh.2, •.
TaKHM o6pa30M, Mbl DOKaJaJIH, ~O onepaTOp fl Ha SR YAOBJieTBOp.lleT BCeM
ycJIOBH.llM npHHQHna C)KHMalOD.(HX OTo6paJKeHHil, H noaTOMY HMeeT Ha SR eJJ,HHCT-
BeHH)'IO nenOJJ,BH)KHYIO TOqKy 8. JierKo BH,AeTb, ~o napa <l>YHKQHA 9, u, r,Ae u -
peweHHe 3aU.aqH (1)- (3) npH JJ,aHHOM 9, 6y.AeT peweHHeM 3aU.aqn (1)- (5), H AJUI 9
n u cnpaBeAJIHBbl OQeHKH (9), (10). TeopeMa 1 AOKa:JaHa.
3'uutuzHue. Ilpn AOKaJaTeJlbCTBe TeOpeMbl I Mbl CJieAOBaJIH cxeMe paOOTbl [I].
ISSN 0041-6053. Y,q,. Mam. ;,cyp,c., 1993, m. 45, N" 9
1244 B. Il. OPJIOB
IlpH 3TOM, B OT JIH'IHe OT [ 1 ], r Ae YCJIOBHJI npHHQHna C.>KHMaIOw;Hx OTo6pa.>Ke1mR
o6ecnelfHBaJIHCb 3a ClfeT MaJIOCTH npoMe:>KyTKa O ~ t ~ to, 3AeCh ~T,f ycJIOBHJI o6ec
nelfHBalOTCJI MaJIOCTblO JJ.aHHbIX 3aAalfH (1) - (5).
4. ,llOK83aTeJlbCTB3 BCDOMOr8TeJ1LHLIX yTBeplKACHHii.
ao,ul3ame.1u,cmao .lleMMbl 1. PaCCMOTPHM CHa<Iana cnyqaR Uo = U1 = 0. C'IH-
TM f(t , x) rJiaAKOR Ha Q, npeACTaBHM peweHHe 3aAa'IH (11), (12) e BHAe [8]
12 00
u(t, x) = -y n L ut(t) sin kx,
k=I
(34)
1 / . lt
u1c(t) = k J sin k(_t- s)f,f._s) ds, h(t) = J f (t, x ) sin kx dx (35)
0 0
Ilpeo6pa3yeM q>OPMYJIY (34) K YA06HOMY A JIH Hae BRAY- PaccMOTpHM nocneAoBa
TeJibHOCTh q>yHKQHtl:
ii.N(t, x ) = {¾ f ut(t)sinkx, N = 1,2, ....
k=l
EcJIH f(t, x) AOCTaTO'IHO rJiaAKM, TO <PYHKQHH liN (t, x) CXOAHTC.8 BMecTe C npoH3-
BOAHblMH K u(t, x) B HOpMa x TeM 6onee CHJlbHbIX, 'leM r Jia)Ke cpyHKQHJI f(t, x).
IlonarM
\jl(t, x) = f~f('t, x )dt,
HHTerpttpyj{ B (35) no lfaCT.IJ.M H HCilOJib3YH 3JieMeHTapHble npeo6pa30BaHH.8, no
JiylfaeM
J2 I (lt I
u.N(t, x ) = ½-v 7t J J sin((N + ½)(x + t-s - y ))(sm½(x+t -s - y)r \jl(s,y)dy +
0 0
lt -1
+ f sin{(N + ½)(t - s- x + y))(sin½(t - s-x + y)) \j/(s, y) dy +
0
lt - 1
+ J sin({N + ½)(t+ x - s +y))(sin½(t+ x -s +y)) \jl(s , y )dy + (36)
0
7t -1 )
+ [ sin((N + ½)(1 - x-s -y))(sin½(t - x - s -y)) \jl(s , y )dy ds =
1127t( 4
) = g~i f I_9; ds.
0 •=I
PaCCMOrpHM 91. C nOMOlllblO 3aMeHbl nepeMeHHOR y = X + t - s - 2z HMeeM
½<x+t-s)
91 = 2 f sin((2N+ l)z)(sinz)-1 \jl(s,x +t - s-2z)dz.
½<x+l-s-lt )
M1rrerpan 11 npH N ➔ +oo MO.>KeT HMeTb OTJIH'IHbI8 OT HYJI.8 npeAeJI JIHWb B TOM
CJiylfae, KOrtla npoMe:>KyTOK HHTerpttpoBaHH.8 COtlep:>KHT krc (k - QeJioe). TorAa
ISSN 0041-6053 . YKp . 1owm. ;KJp11.., 1993. m. 45 , N • 9
YCTOtNHBOCib HY JIEBOro PEIIIEHHR .. . 1245
11 = lim 11 = 2'1'(s,x+t-s-2/at).
N-++oo
Y'IHTbIB<UI nerKO AOKa3bIBaeMy'IO orpaHH'leHHOCTb IlOAblHTerpaJibHOit q>yHKIIHH B
11 H npHMemu1 TeOpeMY Jle6era o npeaenbHOM nepexoae noa 3HaKOM HHTerpana
[9], nonyqaeM
I I I
1; = lim J 11(x,t,s,N)ds = J lim g1(x,t,s,N)ds = J 11(x,t,s)ds.
~-o o~- o
Ilpn q>HKCHpoBaHHbIX t H X IlOAbIHTerpaJibHaJI q>yHKIIH.ll B 1 I OT JIH'!Ha OT HY JI.ll
JIHlllb npn s E [x + t - (2k + l)1t, x + t- 2k1t] = lk. IlpoMe)KyToK lk HMeeT nenycToe
nepeceqenHe c (0, t] JIHlllb npH k = 0, 1, ... , [(x + t)/(21t)] ([a] - 11enu qacTb
a), npH'leM
/ 0 n (0, t] = [(x + t -1t)+, t],
lk1 n (0, t] = [(x + t - 2k,1t)+, t - (2k,1t -X)+], k1 = [ 2~ (t + x)].
T a KHM o6pa30M,
t-(2kit-x)+
J 'l'(s, x + t - s - 2/at) ds.
k=O (x +t-(2k+l)it)+
{
x, x;;::0,
(X)+ =
0, x<0.
3tta'IOK + s sepxneM H HH)KHeM npeaene no cyw:eCTBY tty)KeH JIHWb AJI.ll k = 0 "
k = [(x + t)I (21t)], OOTOMY 'ITO HIITepBaJibl IO H / [{x+/)/(2it)] MOryT BbIXOAHTb 3a
npeaeJibl npoMe)KyTKa (0, t]. ,UJI.ll OCTaJibHblX k 3TOT 3Ha'IOK MO)KHO onyCTHTb.
PaCCMOTpHM g 2· C IlOMOW:blO JaMeHbl y = - t + X + s + 2z HMeeM
½<it+l-x-s )
1 2 = 2 J ~in~#+ 1)z)(sinzf1 '1'(s,-t+x+s+2z)dz. (37)
½<t-x-s)
IlOJib3Y.llCb ananorH'IHblMH co cnyqaeM 11 00O3Ha'leHH.llMH H paccy)KaeHH.llMH,
nonyqaeM
I
g; = 2 p 2 (x, t, s)ds.
0
flOAblHTerpaJibHa.ll q>yHKIIH.ll 3AeCb OTJIH'IHa OT ttyJI.ll (B c1my (37)) JIHWb npn
SE [t-x-2k1t,t -x-(2k-1)1t]=h.
IlpoMe)KyTKH h · HMeIOT nenycToe nepece'leHlie c [0. t] JIHWb nptt k = 0, 1, ... ,
[(t - x)I (21t) + 1/2], npH 3TOM
['; ,,X+½] t -(x+(2k-1)7t)
a;= 2 L f 'l'(s,2/at-t+x+s)ds.
k=O (l-x-U'1t)+
C IlOMOll(blO JaMeHbI y = - t -t x + s + 2z HMeeM
ISSN 0041-6053. YKp. Ma/II . JKyp11., /993 , Ill. 45. N· 9
1246 B. n. OPJIOB
½<1+.r-s+lt)
!J 3 = 2 J sil){(llA-1) z) (sin zf1 'f'(s, 2z - t - x + s) ds.
½<1+.r-,) .
IlepeXO,lUI' K npe,LJ.e.ny, no.nyqaeM
I
g; = 2 J ~3 (x, t, s) ds.
0
Ilo,LJ.1,UITerpa.m,uM cpyuKQHJI 3,LJ.ec& OT mNua OT uy JIJI npu
s e [t + x- 2/at, t + x- (2k- 1)1t] = ft.
IlpoMeXYTKH I1c MOryT HMeT& uenycToe nepeceqeuue c [0, t] nuw& npu k = 1, 2,
... , [(t + X)/(21t) + 1/2) H, CJie,LJ.OBaTCJibHO,
(Tif+½] (I+ .r-(2.1:-l)lt)+
!J; = 2 2, f 'lf(s,2/at-t-x+s)ds.
k=I (1+.r-2.1:ltl+
OTMeTHM OT JIH'l:ttyfO OT npuse,LJ.eHHblX pauee <POPMY 3allHCH sepxHero npe,nena
HHTerpupoBaHIDI. '.,ro o6ycnoBJieHo TeM, 'l:TO Ii scerAa nexHT nesee t, no MOJKeT
nexaTb u nesee 0.
J1,nJI g4 c noMOUU>fO JaMem,1 y = t - x - s - 2z no.nyqaeM
½<t-,-.r)
g4 = 2 J sir(i.tl+ -1 ) j{sin zf1 'f'(S, t-x- s- 2z) dz.
½{it-1-.r-,)
IlepexOAJI K npeAe.ny, HMeeM
t g: = 2 J ~4 (x. t, s)ds.
0
IlOAblHTerpa.m,uM <l>YHKQH.11 OT JIH'l:Ha OT uy JIJ1 npu
se [t-x-(2k+ 1)1t,t-x-2/at] = h-
IlpoMeJKYTKH I1c MoryT HMeT& uenycToe nepeceqeuue c [0, t) nuw& npu k = 0, 1,
... , [(t - x)I (21t) + 1/2] H, cne,LJ.OBaTeJibffO,
[ ';:] (t- .r-2.1:ltl+
g: = 2 2, f 'lf(S, t-x-s-2/at)ds.
fc=O (I+ .r-(2/c+ l)lt)+
0rMCTHM, 'l:TO ecJIH B <l><>PMY nax AJI.11 !J; eepxHHR HH,LJ.eKC cyMMHpOBaHHJI Mellhwe
HHxuero, TO cyMMa pruma uynIO, TaK KaK B 3TOM cnyqae nepeceqeuue HHTepBaJIOB
l1c C (0, t] nycTO.
IlOJib3Y.IICb nony'l:eHHhlMH BblJ)a)KeHHJIMH AJIJI g; u <l><>PMYJIOR (36), no.ny'laeM
{
[i+ll 1 2 Tt, 1-(2.1:lt-.r)+
u(t, x) = 4 H 2, f 'lf(S, x + t - s - 2/at) ds +
fc=O (.r+l-(2/c+l)lt)+
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. xypn., 1993, m. 45, N" 9
YCTGti'-IHBOCTb HYJIEBOfO PEllIEHIUI ... 1247
[~+½] (1-(;c+(2k-1)1t)+
+ L f 'lf(s,2k11:-t+x+s)ds-
k=O (1-x -2k1t )+
[ r+x 1 ]
2n+2 (1+:c-(2k-1)1t)+
L f 'lf(s, 2k11: - t - x + s) ds-
k=I (1+x-2k1t)+
[ ';,; ] (1-x-2k1t}+ }
- L f 'lf(s,t-x-s-2/crr.)ds .
k=O (l+x -(2k+l)1t )+
(38)
HaAAeM oQeHKH JJ,m1 npoH3B0JJ.HhIX u(t, x). ,Djui: :noro cJJ,enaeM 3aMeny nepeMeHHI,JX
B HHTerpanax, npmurn B KatfeCTBe H0B0A nepeMeHH0A: BT0phle apryMeHTbl <PYHKQHH
"'· B pe3yJibTaTe noJiytfHM
x-2bt-( 2k1t-x)+
u(t, x) f 'lf(X + t - 2k11: - 't, 't) dt +
x+ t-2k1t-( x +t -(2k + l}1t)+
2k1t - (x-(2k-l}it)+
f 'lf('t - 2kn: + t - X, "t) d't -
2 k1t-l + x + (l- x -2k1t)+
2k1t - 1-x + ( 1+x -(2k-1)1tl+
f 'lf("t - 2kn: + t + X, 't) d't -
2k1t-l- x +(I+ x - 2k1t)+
1-x -2k1t- ( 1+x-(2k+l}1t)+ }
f 'lf ( I - 2k11:- x - "t, 't) d't .
t-x-2k1t - (1 -x-2k1t)+
(39)
OrpaHHtfHMCR HaX0)l(JJ,e1meM npoH3B0JJ,HblX J!Hlllb nepsoA CYMMbl z B (39). (.[l:JIR
0CTaJibHblX cyMM J T0 JJ,eJiaeTCH aHclJIOrHtfHO.) IlyCTb
m
z = I, zk, z* =
k=O x+t - 2k1t - ( x+ 1-(2k+1)1tl+
rAe m = [(x + t)/(21t)] . IlpH AOCTaT04H0 OOJibW0M t
m-1 m-1 1t
'If (x + t - 2k11: - 't, 't) d't,
i = L zk =
k=I
- L f 'lf(X + t - 2k11: - 't, 't) d't.
k=I O
.D:H<t><l>epeHQHPYR no x H Y4HTbmaR, 4TO '\jf(t, x) = f~ f("t, x)d't, nonytJaeM
m-1 1t
z; = t; = - L f <p(x + t - 2k11:- 't, "t) d't,
k=I O
C Il0M0l.QblO 3aMeHbl nepeMeHH0A HMeeM
m- 1 x+t-2k1C
t; = t; = L f cp(s, x - t - 2k11: - s) ds.
k=I x+t - (2k+l)1t
I SSN 0041 -6053 . YKp. Mam. JKYP"·• /993 , m . 45, NQ 9
1248 B. CT. OPJ10B
OTc10.ua cne.uyeT
m-1
i;; = i;, = L [ q>(x + t - 2kn:, 0) - q>(x + t - (2k + l)1t, ri:) +
k=I
x +t-2kx
+ J <i>:(s,x+t-2kn:-s)ds],
x +t -(2k +l)x
m-1
z:;, = L [ q>(x + t - 2kn:, 0) - q>(x + t - (2k + l)1t, 1t) -
k=I
x+t-2kx
J <i>: (s, x - t - 2kn: - s) ds].
x +t-(2k+l)x
,lleniu1 CH0Ba 3aMetty nepeMeHH0it, n0ny'laeM
m-1
i;; = z;, = L [ q>(x + t- 2kn:, 0)- q>(x + t - (2k + l)1t, 1t) -
m-1
k=I
lt
- J <p: (x+t-2kn:-'t,'t)d't],
0
i;; = L [ q>(x + t- 2kn:, 0) - q>(x + t - (2k + l)1t, 1t) +
k=I
lt
+ J cp: (x + t - 2kn:- 't, 't) d't].
0
,lln.ll nepooro cnaraeMoro B nepBOlt cyMMe B (39) nony'laeM (t 3.uecb 6onbwoe)
lt
Zo = - f v(x + t- t, t)dt.
X
Orc101la cne.uyeT
I a lt ,
-a Zo = '\jf(t, x)- I q>(x + t- 't, 't)dt = J cp(s, x) ds +
X x 0
J cp(s, x +t-s)ds,
l+x-lt
a x
at Z0 = - f q>(x+t-'t,t)d't =
I
J cp(s,x+t-s)ds,
X l+x-lt
I a2 ,
dx1 Zo = J
0
<p~(s,x)ds+ J q>~(s,x+t-s)ds-<p(t+x-1t,1t) =
l+X-lt
/ lt
= J <p~(s, x) ds - J <p~(x + t- 't, t)dt - q>(t + x -1t, 1t),
0 X
a2
'iJti)x Z 0 = -cp(t+x-1t,1t)+cp(t,x)+
I
J q>~(s, x + t - s) ds =
t+x-x
(40)
ISSN 0041-6053. Y,q, . Malll. JKYP"·• 1993, m. 45, N" 9
YCTOit'-IIIBOCTb HYJIEBOfO PEIIIEHJUI . ..
IC
= cp(t,x)-cp(t+x-1t,1t)+ J cp:(x+t-'t,'t)dt,
X
It
cp(t, x)- cp(t + x - 1t, 1t) + J <p:(x + t - 't, 't) d't.
X
Unjl rrocneAttero cJiaraeMoro B rrepsofi cyMMe s (39) HMeeM
It
z,,, = - J 'l'(X + 1- 2m7t - 't, 't) d't.
0
a a IC -a Z,,, =·-a Z"' = - J <p(x+t-2m1t-'t,'t)d't,
X t O
1249
a2 a2 = at1° Z,,, = arax Zm = <p(x + t- (2m + l)1t, 1t) - <p(x + t- 2m1t, 0)-
It
- J <p:(x + t - 2m1t - 't, 't) d't.
0
IlpH 0 < t < 1tl 2 B cpopM)'ne (39) ocTaeTCjl He 6()Jlee 'lenipex cnaraeMhlX., H
CHryaQffjl cymeCTBeHH0 ynpomaeTCjl. Il03T0M)' 3T0T CJIY'lafi onycKaeM.
Ilepefi,neM K OQeHKe npoH3BOAHbIX Z, Z O H Z m· OQeHHM, HarrpHMep, z;... Jfa
cpopM)'Jibl (40) cne,nyer
I
+ (! (% l<p(x+t-(2k+1)1t,1t)lrdx y +
x+t-2k1t q ¼
f l<p:(s.x+t-2k1t-s)lds) dx) = S 1 +S2+S3.
x+t-(2k + l )1t
nonb3ygcb ttenpepbIBH0CTblO BJl0)KeHHjl wj (0, 1t) c C[0, 1t) H .nenag 3aMetty
nepeMeHH0A,nony'laeM
111-l (1t )1.
S1 ~ L J I <p(x+t-2k1t, 0) lq dx q ~
k=l O
~ M I_1 (J j (l<p:(x+t-2k1t,1;)1q+l<p(x +t-2k1t,l;)lq)dxdl; )¼ =
k=l O O
m-1 ( 1-(2k-l)IC ) 1
= M ~ ,-LIC I cp('t, x) If d't 7i. (41)
C II0M0ll{blO 3JleMeHTapHblX npeo6pa30Bal-lHA HMeeM
ISSN 0041-6053. YKp. Mam . .1Kyp11., 1993, m . 45, N• 9
1250
(
1-(2k-1)1t ) l
J I cp(t, x) If d't q =
l-2k!t
(
1-(2k-1)1t ) l
~ exp{-Y<r-2/m:)) f I (j)('t, x) 1r exp~)d't q ~
l-2k!t
~ exp{-Y<r-2kn:))11cp(t,x)llo,1,•·
Orc1011.a H H3 ( 41) cnenyeT
m-1
S1 ~ Mllq,11 0,1~2, exp{-f(t-2/m:)) ~
k=I
m-1
~ Mllq>llo.1:"2, exp(-t2n(m-k-l)) ~ Mll<pllo,1:"·
k=I
True.HM o6pa30M,
B. TT.OPJIOB
AHanornqHo oQeHHBaeTcg S2. OQeHHM cnaraeMoe S3• O6o3Haqag qepe3 \jl(t,x)
nponomKeHHe onpeneneHHoA Ha Q q>yttKQHH 'ljl(t, x) HyneM sHe Q, npHMeHgg
HIITerpa.TlbHoe HepaBeHCTBO MHHKOBCK0ro H .nenag 3JieMeHTapHble npeo6pa30BaHH.!1,
HMeeM
m-1 I
~ 2, JI <$~(s,x+t-2/m:-s)l 0 ds =
k=O O
m-1 t-2kx ( t-(2k+l)lt-s )l
= 2, J J I<$~ (s, xW dx q ds ~
k=I 1-(2k+l)1t t-2k1t-s
m- 1 t-2kit ( It I
~ 2, J J I q>~(s, xW dry ds.
k=I 1-(2k+l)it 0
IlpuMengg ttepasencTBO renh.nepa, nony'laeM
S3 ~ ,~J 1t q;I ( l-rlt j I (j): (s. xW dxds r =
k=I t-(2k + !)it 0
ISSN 0041-6053. YKp. /,f(J/11_ )Kypu., 1993, m. 45, N• 9
YCTOtl'-111.BOC'lb HY JIEBOfO PEillEHHji ...
q- 1 m- 1
$ 1t -q- L exp(-1 (t-(2k+ l)1t))llq,:11. $ Mll<i>:11. $ Mll<i>llo,t,• ·
k=I
lfa oueHOK S;, i = l, 2, 3, BbITeKaeT
sup IZI O $ M ll<i>llo.1.•·
1.::0
1251
Ar-1aJTOrlf'IHO ouemrnalOTC.ll Bblpa)KeHH.ll Zi H Zm . TaKHM o6pa30M, Mbl noKa3a./IH,
'ITO BTOpa.ll npOH3BOAHa.ll no X OT nepsoli cyMMbl z B npaaoli 'laCTH (39) OQeHH
aaeTC.ll TaK:
sup IZlo $ M ll<i>llo 1 • ·
1.::0 ' •
TaK)Ke ouemrnalOTCH OCTaJlbHbie cyMMbl a (39). TeM CaMhJM AOKa3aHO, 'ITO
sup lu~,(t , x) lo $ M ll<r>llo 1 ••
1.::0 ' '
AnaJIOrH'IHO 0QeimBalOTCH 1-1 0CTaJibHble npOH3B0tJ,Hble. CJiy'lali Uo = u I = 0
paCCM0TpeH. Cny•Jali f = 0 AOKa3bIBaeTCH npome, H Mbl ero onycKaeM. .JieMMa 1
AOKa3aHa.
ao1«l3ame.11bC1n80 ✓leMMbl 2. O6o3Ha'IHM 'Iepe3 L(w, 8 o) pewetme 3aAa'IH
(17). lfa (18) BbTreKaeT
II fr L(w, 8ot + II ::2 L(w, 8o>t $ M(llwll. + !80! 2-2/q). (42)
KpoMe Toro. HCHO, 'ITO
(43)
npH Jiio6bIX W1, W2 E Lq,•· Tiepen0weM ypaBHeHHe (4) B BHAe
8, 8" 8" [ '(l ')-18']' I - = = <p + "ix - Ux + Ux X X = ¾-' . (44)
11cn0Jib3Y.ll onepaTop L , nony<iaeM, 'ITO 3aAa'la (4), (5) 3KBHBMeHTHa onepaTop
noMy ypaaHeHHIO
w = <p + u;;L(w, 80)- [ u; (l + u;)-1 ! L(w, 00 >L = K(w). (45)
YcTaHOBHM pa3peWHMOCTb ypaBHeHHH (45) B Lq.•· TioKa)KeM CHa'laJia, 'ITO
oneparnp K onpeAeJieH na Lq.•· ,llmpcpepeHu0py.s: a (45), HMeeM
K(w) = <p + u;;L(w, 80) - u:X(l + u;r' ai:) L(w, 80) +
X
2
+ u; u~(l + u;)-2 ! L(w, 80) - u;(l + u;)-1 tx2 L(w, 80). (46)
113 (19) CJieAyeT, 'ITO npH MaJIOM 6
11 + u; ,-, :S (1 - sup I u;(t, x)lf1 :S (l - or1. (47)
t,x
OTCIOAa, H3 (19) H HenpepbIBHblX BJIO)Ke!IHli
W i [0, 1t] c C[0, 1t], w,; [0, 1t] c C1 [0, 1t] (48)
BbITeKaeT
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. ;,rypH., 1993, m. 45, N" 9
1252 B. II. OP JIOB
I K(w)lo $ I q>lo+ I u;; lollL(w, 0o)llqo, xJ + (1 - o)-11 u.:X lol ! L(w, 80) I qo, xJ +
+ o(l - 0)21 u;,, I~ ! L(w, 0o)I C10, xJ + 6(1 - 6)- 11 L(w, 0o)li $
$ lq>lo+ ojl.(w, 80)11 + o(l-of11L(w, 80)12+02<1-of11L(w, 80)11 +
+ 6(1 - of11L(w, 0o)b
Il03TOM)'
11 K(w)II. s llq>II. +M IIL(w, 80)111,2,• s llq>II. +M(llwll. + l8ol2-21q} (49)
TaKHM o6pa3oM, onepaTop K onpe.n.eJieH Ha Lq,•. IloKaJKeM, •no OH .llBJUieTC.ll
CJKHMalOUUIM. lfa (43) H (46) CJie.n.yer
K(w) - K(w) = u;;L(w - w, 0) - u;,,(l + u;)-1 lx L(w - w, 0) +
2
+ u;u;_,,(I + u;f2 ! L(w- W, 0)- u;(l + u;)-1 :x2L(w- w, 0).
0TCIO,D.a H H3 (19), (42), (47), (48) BbITeKaeT, 'ITO npH MaJIOM o
11 K(w) - K(w) 11. s &fllw- w 11 •.
CJie.n.oaaTeJibHO, onepaTop K npH MaJIOM o .llBJI.llCTC.ll CJKHMa10UU1M Ha Lq.•. lfa
npHHL\Hila CJKHMalOIUHX OT06paJKeHHi:t BbITeKaeT 0,ll.H03HaqHa.ll pa3peWHMOCTb ypas
HeHH.ll (45) Ha Lq.•· 0QeHKa (20) CJie,D.yeT H3 (18), (44) 0 (49). JleMMa 2 ,ll.OKaJaua.
1. 0pA06 8 . n ., Co6oAe6CKUil n. E. Pa3peWHMOCTb OUHOMCpHOI! 3aUa'IH TepMoynpyrOCTH // .llOKJI.
AH CCCP. - 1989. - 304, N25. -C. 1105 - 1109. .
2. Mu.milA08 8. n. .llHqxpepeHQHaJJbHblC ypaBHCHHJI B 'laCTHblX npoH3BOUHblX ~ M.: HayKa, 1976. -
390c.
3. Co6oAe8CKUil n. E. , llozopeAeHKO 8 . A. 0 pa3peWHMOCTH CMCWaHHOll 3a/la'IH llJIJI 0/lHOMCpttoro
KBa3HJIHHCl!Horo rnnep6oJJH'ICCKoro ypasHCHH.R // YKp. MaT. )KypH. - 1970. - 22, N21. - C. 114 -
121.
4. Eecoe 0. 8., l1Abu11 8. n., HuKOAbCKull C. M . HttTerpaJJbHble npeAcTasneHHR cpyHKQHR ·"
TCOpeMbl BJIO)KCHHJI - M .: HayKa, 1975. - 480 C.
5. JlaobVlf.eHCKa,i 0. A ., CoAowmKoe 8. A., YpaAb11eea JI. H . Ypas11e11H.R napa6onH'lecKoro
THna. - M.: HayKa, 1967. - 736 c.
6. Co6oAe8CKUil n. E. HepaBeHCTBa K03pQHTHBHOCTH llJI.R a6cTPaKTHblX napa6oJJH'ICCKHX ypaBHe
HHll // .lloKJJ. AH CCCP. - 1964. - 157, N21. - C. 52 - 55.
7. HailMapK M.A. JIHHellm,1e AHqxpepeHQHaJJbH1>1e onepaTopbl. - M .: HayKa, 1969. - 528 c.
8. Tuxo11oe A . II., CaMOpcKuil A. A. YpaBHeHH.R MaTeMaTH'ICCKOI! q>H3HKH. - M.: HayKa, 1972. -
736 C.
9. Hamanco11 11. n. Kypc TeopHH cpyHKl~Hll ee11~eCTeeu11oro nepeMemwro. - M.: rocrexTeopeT
H3/laT, 1957. - 552 C.
TTony'leHo 25.12.91
ISSN 0041-6053. YKp. Mam . Jl(yp11., 1993, m. 45, N" 9
0053
0054
0055
0056
0057
0058
0059
0060
0061
0062
0063
0064
0065
0066
|