Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны
Встановлена стабілізація в середньому квадратичному розв’язків стохастичних лінійних рівнянь параболічного типу з пуассоновими збуреннями та розглянута задача визначення запасу стійкості стержня під дією випадкових збурень....
Збережено в:
| Дата: | 1993 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164592 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1259–1265. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164592 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645922020-02-11T01:27:37Z Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны Перун, Г.М. Ясинский, В.К. Статті Встановлена стабілізація в середньому квадратичному розв’язків стохастичних лінійних рівнянь параболічного типу з пуассоновими збуреннями та розглянута задача визначення запасу стійкості стержня під дією випадкових збурень. It is shown that the solutions of stochastic linear parabolic equations with Poisson perturbations are stabilized in the mean square. The problem of determining the reserve of stability for a rod under random perturbations is studied. 1993 Article Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1259–1265. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164592 510.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Перун, Г.М. Ясинский, В.К. Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны Український математичний журнал |
| description |
Встановлена стабілізація в середньому квадратичному розв’язків стохастичних лінійних рівнянь параболічного типу з пуассоновими збуреннями та розглянута задача визначення запасу стійкості стержня під дією випадкових збурень. |
| format |
Article |
| author |
Перун, Г.М. Ясинский, В.К. |
| author_facet |
Перун, Г.М. Ясинский, В.К. |
| author_sort |
Перун, Г.М. |
| title |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны |
| title_short |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны |
| title_full |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны |
| title_fullStr |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны |
| title_full_unstemmed |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны |
| title_sort |
исследование задачи коши для стохастических уравнений в частных производны |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1993 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164592 |
| citation_txt |
Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производны / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1259–1265. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT perungm issledovaniezadačikošidlâstohastičeskihuravnenijvčastnyhproizvodny AT âsinskijvk issledovaniezadačikošidlâstohastičeskihuravnenijvčastnyhproizvodny |
| first_indexed |
2025-07-14T17:12:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:12:59Z |
| _version_ |
1837643260357509120 |
| fulltext |
YL\K510.21
r. M. Ilepyu, uay•IH. carp. ('IepHOBHI..1- <pHnHan KHee. HH-Tll aBTOMllTHKH},
B. K. 11CHHCKHil, KaHJl. <pH3.-MaT. uayK ('Iepuoeu1..1. yu-T)
HCCJIE,llOBAHHE 3A,llA qu KOillH
,llJI.S CTOXACTUqECKHX YPABHEHHit
B qACTHI,IX IlPOH3BO,llHI,IX
It is found that the solutions of stochastic linear parabolic equations with Poisson perturbations are
stabilized in square mean. The problem of detennining the stability margin of a rod under random per
turbations is studied.
Bc-raooeneua CTa6ini3al..lUI B cepellHbOMY KBaApaTH'IHOMY po3e' Jl3Kie CTOXaCTH'IHHX niHillHHX piBHJIHb
nape6oni'IHOro THny 3 nyaccOHOBHMH J6ypeHHJIMH Ta po3rnJIH)'Ta 3a)la'la BH3Ha'ICHHJI :ianacy CTiA
KOCTI CTCp)KHJI ni)l )lfolO BHOa)lKOBHX 36ypeHb.
B pa6oTe [ 1] pacct-mrpueaeTCH 3aAa'la Kowu AJIH JIHHeRHoro cToxacTH'lecKoro
AH<t>¢epeHQHaJibHOro ypaeHeHHJI e qaCTHblX npOH3BOAHblX napaOOJIH'leCKOro THna,
KOaqxt>HQHeHTbl KOTOporo He 3aBHCJIT OT cpa30BOR nepeMeHHOR H JIBJIJIIOTCJI cpyHK
QHJIMH THna "6eJioro wyMa", H Ha MOAeJibHOM npnMepe n0Ka3aHbl AOCTaT0'IHble yc
JIOBHJI cymeCTBOBaHHJI peweHHJI KaK nepeoro. TaK H BTOporo MOMeHTa.
B npeAJiaraeM0R pa6oTe AJIJI CT0XaCTH'leCKHX AHq>cpepeHQHaJibHblX ypaeHeHHR
napaOOJIH'leCK0ro Tuna C nocT0JIHHblMH AeACTBHTeJibHblMH K03q)q>HQHeHTaMH npH
HaJIH'IHH BHHepOBCKHX H nyaCC0HOBCKHX B03t,tymeHHA npn MJiaAWHX 'IJieHax C no
MOl.l.{blO npeo6pa30BaHHJI <I>ypbe H HHTerpaJibH0ro npH3HaKa AJIJI JIHHeAHhlX CT0xa
CTH'lecKHX ypaeHeHHA 0THOCHTeJibH0 nepeMeHH0R t nony'leHbl AOCTaT0'IHble YCJI0-
BH.SI acnMDT0TH'leCKOA YCT0A'IHBOCTH H HeycT0R'IHBOCTH B cpeAHeM KBa,D.paTH'IH0M
peweHnR u3yqaeMbIX yprume1mtt.
IlycTb JaAaHo eepoHTHOCTHoe npocTpaHCTBO (.Q, SP) n noT0K cr-anre6p {S,,
t e [0, 71}, 's, C s. EyAeM paccMaTpHBaTb cnyqafl:HyIO <PYHKQHIO {u(t, x. ro), (t, x.
(J)) e [0, 71 X ID X .Q}, K0T0pylO Ha30BeM S1-COI"JiaC0BaHH08, eCJIH npH q>HKCHpo
BaHHblX (t, X) e [Q, 71 X ID CJiy'lafl:HaJI BeJIH'IHHa u(t, X, (J)) S1-H3MepnMa AJIJI
JII06blx (t, x) e [0, 71 x ID, ID - HeKoTopaH o6nacTb npocrpattcTea JR I = (- oo, oo)
[2]. 06o3tta'IHM qepe3 MT npoCTpaHCTBO <PYHKQHtt {u(t. x. ro)}, H3MepHMb1X npu
n0'ITH ecex ro no t u x 0TH0CHTeJibH0 (J-aJire6pbl 6openeBCKHX MH0)KeCTB Ha
nJIOCKOCTH, AJIJI K0T0pblX
f _ E{I u(t. x. ro) 12}dx < oo
npH JII06bfX t e [0. 71, E{· }-3HaK MaTeMaTH'leCK0r00)KHAaHHJI [3].
IlyCTb B AaJibHettweM cpyHKQHH f: V ➔ JR I CYMMHpyeMbl no V C KBa,D.paTOM
J ~dv < +oo,
V V
rAe 'V C RI [4].
O6o3Ha'IHM qepe3 L211,1, L 2T npocrpattCTea <PYHKQHR { u(t. x. ro)}, HMeIOmue
H0pMhl
2 1- 2 2 . - fT 2 II u(t. x, ro) IIL2R 1 : = __ I u(t, x. ro) I dx, I u(t, x. ro) IILir . - Jo I u(t. x, ro) I dt,
E/t) : = E{II u(t. x. ro) nI }.
2R 1
© r . M. IlEPYH, B. K. j{CHHCKI-dt, 1993
ISSN 004/-6053. YKp . Mam . .IKJP"·· /993. m. 45. N• 9 1259
1260 f . M. IlEPYH, B. K . .slCHHCKHit
T
II u(t, x, co) 112 : = J JEu(t)dt
0
11.1u1 mo6oro T > 0. 06o3Ha'IHM
" m
Q(A, q, P) = L L ak/fpi,
k=O j=O
r11.e A - 11.eACTB1:ITenbHaJ1 MaTpuua nopx11.Ka (n + 1) >< (m + 1), COCTaBJieHHaJI H3
a kJ e R 1. PaccMOTPHM no11.npOCTPaHCTBO M 1T C Mp JJ.JIJI ::meMeHTOB KOToporo
npH .mo6ott MaTPHQe A BblOOJIHJleTcx
Q( A,:,,! )u(t.x, CO) e Mr
IlyCTb 3a11.aua CTOXaCTH'leCKax 3a11.aqa KolllH JJ.JIX JIHHettfforo JJ.Hq><pepeHQHaJib
uoro ypaimeHHX B 'laCTHblX npoH3BOJJ.HbIX
:, [ Q( A, :, , ! }(t, x, CO)] + Q( B, ;, , ! )u(t, X, CO) =
= [ Q( C, ;, • ! )u(t, x. CO) ]u(t, CO)+
+ l[ Q( G, ;,. r y<v)u(t,x,CO) ]v(dv,t), (1)
Q( A, ;, , :x )u<t, x, co) l,=O = [Qu]o, (2)
r11.e {a.(t. co)} - BHnepoBCKfftt npouecc, v(dv, t) = v(dv, t)- Il(dv)t - ueUTpuposau
uu nyaccouoscKu Mepa, E{v(dv, t)} = Il(dv)t; v ne 3aBHCHT OT a. H v, a. corna
coBailbl c noTOKOM O'-anre6p {S,, t ~ O}.
Ilo11. perneHHeM (1). (2) nonuMaeM <t>YHKUHIO { u(t, x) : = u(t, x. co)}, cornacosau
uy10 C nOTOKOM O'-anre6p { s ,} H y JJ.OBJieTBOpXIOll.{ylO nO'ITH mrnepuoe npH Ka)K
AblX (t , x) ypasneHHIO [1]
Q( A, ;, , :x )u<t. x) = [Qu]0 + I Q( B, ts, ! )u<s. x)ds +
' ( a 0 ) 1
( o a) _ +IQ c. OS. OX u(s. x)da.(s. co)+ I l Q c. as. ax u(s, x'}f(v)v(dv, ds).
0TMeTHM, 'ITO {u(t, x)} He HMeeT pa3pb1BOB BTOporo poll.a no ,. uenpepblBHa cnpasa
no t [5].
IiyAeM paccMaTPHBaTb 3a11.aqy o cyll.{eCTBOBaHHH a M rr pernenHx 3aJJ.a'IH Kornu
ypasneHHJI (1). (2), a TaK)Ke BOnpoc o6 yCTOi't'lHBOCTH a CpeAHeM KBaApaTH'IHOM
3TOro perneHHX npH t ➔ 00 [6).
JleMMa 1. flpeo6pa:1000Hue <Pypbe no x </JYHK,£4UU {u(t, x)}
1 - .
v(t, O', co) = - J e-•axu(t, x, co)dx
21t --
(3)
ISSN 0041-(,()53. YKp. Mam. ;,rypn., 1993, m. 45, N" 9
HCCJIE.UOBAHHE 3A,UA1IH KOlliH JVUI CTOXAClWIECKHX YPABHEHHii ... 1261
He obl6oiJum ee U3 Mr OAJI ,i,o6ozo Ko11e<tHOlO 3Ha<teHu11 T.
lfo,ca3amem,emso. CymecTsosauue npeo6pa3osauu.11 <Dyp1>e no•nn uasepuoe
BhITeKaeT H3 Toro, 'IT0 {u(t, x, ro)} no'ITH uasepuoe npHHaJJ.Jie)KHT ½11.1 npu scex
t, TaK KaK
IlocKOJibKY no Te0peMe IlJianwepen.11 [3]
- -J I v(t, CJ, ro) 12de1 = J I u(t. x. ro) j2dx-,
a T HMeeT K0He'lttylO Mepy, TO JieMMa 1 A0Ka3affa.
TeopeMa 1. flycmb:
A) KOpHu noAUHOMa P('A,, iCJ) = 'A,Q(A, A, iCJ) =Q(B, A, iCJ) npu ocex CJ yooo,ie
moopJ110m HepaoeHcmoy Re A s; q>(CJ) s; 0, npu<teM <p(CJ) ➔ - oo npu I CJ I ➔ +oo u
paseHcmoo q>(CJ) = 0 6blllOIIHJ1emcJ1 moAbKO npu C1 = 0;
B) npu KiVKOOM t e (0, D (T-KOHe'tHOU Mepbl u C = 0, G = 0) 0/IJI oemepMU
HUpooaHHOW ypaoHeHUJI ( 1), (2) cyll,fecmoyem eouHCmoeHHOe peweHue 3aiJa<tu Koiuu
6 L2E.l•
Tozoa peweHUe 3aiJa<tu Kowu OIIJI cmoxacmu<teCKOW ypaoHeHUJI (1), (2) napa6o-
AU<teCKozo muna (C * 0, G * 0) cyll,fecmoyem o MIT·
/.f o1Cll3ilme11&emso. IlocK0JibKY npeo6pa30BaHHe <Dyp1>e coxpau.11eT H0PMY B
MIT• AOCTaT0'IH0 ll0Ka3aTb, 'IT0 cymecTsyeT peweHHe 3aJJ,a'IH Kowu AJI.11 ypaB
HeHH.11
: 1 [ Q( A, ! , ie1 }<,. e1. _ro)] = Q( B, ! , ie1 }<r. e1, ro) +
+ [ Q( C, :, , ie1 )vu. o-, ro) ]a.(t, ro) +
+ ![ Q( G, !,io-}(r,e1.rof(v) ]t(dv,t)
TaKoe, 'IT0 AJI.11 JII06ott MarpHQbl D
Q( D, :, , iCJ }<t. CJ, ro) e MIT·
(4)
PeweHHe {v(t, O', ro)} CTOXaCTH'lecKoro AHq><pepeHUHaJibHOro ypasHeHH.11 (4)
npH Ka)KA0M o- i:- 0 cymecTsyeT u eAHHCTBeHH0 c T0'IHOCTblO AO CTOxaCTH'leCK0it
3KBHBa.lleHTHOCTH[4]. . .
OcraeTC.11 A0Ka:3a.Tb, 'ITO cymecTByeT Eu(t) npH KlUKJ).0M t e [0, n. ,lL,I.11 3T0ro
3aI1HllleM ypasHeHHe ( 4) s HHTerpaJibH0it q>opMe [7, 8)
' ( d . ) . v(t, CJ, ro) = v 0(t, CJ)+ J II(t - s. o-) Q C, - , 1e1 v(s. CJ, ro) da(s, ro) +
o ds
+ J J H(t-s,e1)Q(G,.!!_,cr)v(s,e1,ro)J(v)v(dv,ds), (5)
o V ds
ISSN 0041-{,<}53. Y,q,. >tam. xyp1e., 1993. m. 45. NV 9
1262 r. M. IIEPYH, B. K. jiCHHCKldt
rAe {v0(t, o-)}-peweuue JaAa'lll Kowu (4) npu C = 0, G = 0, B(t, ~) - cpyHJJ.a
MeHT8JlhHoe peweHHe, KOTOpoe HMeeT BH,lJ. [9]
I e')..Ja>..
B(t, <1) = -2. f P(A . ) ' (6) . m r ,,a
rAe r - KOHTYP, oxsaTblB310UUdl see uynu nonHHOMa PQ.., ia).
IlpHMeHJ1J1 onepamp Q(C, d I dt, ia) K o6eHM 'laCTJIM (5), B03BOAJI no MOAYnIO B
KBaApaT o6e 'laCTH nony'leHHoro ypasueHHJI, npHMeHJ1J1 onepaQHIO MaTeMaTH'lecKo
ro O.>KH,lJ.aHHJI H HCnOnb3yJI CBORCTBa HHTerpana no npo~eccy 6poyHOBCKOrO ABH
.>KeHHJI H HHTerpana no nyaccouoscKoR Mepe [4], nony'laeM
Zi(t, iC1) = IQ( C,:,. j(J }o(t, O')r +
+II Q( C, :,. i<J )e(t-s, <J)r [Zi(s. <J) +Zi(s, <J)]ds, (7)
Zi(t, <J) = E{ I~( C,:,' (J }<r. <J, ro)r }·
{ I ( d ) 12 } /2(v) Zi(t, a) = E Q G, dt, a v(t, a, ro) £ ---;;r-dv.
AuanorH'lno, npHMeHJ1J1 Q( G, :, , i<J) K o6eHM 'laCTJIM (5), B03BOAJI no MOAY
nlO B KBaApaT H DpHMeHJIJI onep~HIO MaTeMaTH'leCKOl"O O.>KHAaHHJI, MO.>KHO 3aDH
caTb
E{ IQ( G, :, • i<J }<,. (J, ro)r} = IQ( G, :, • i<J }o(t, <J) r +
+ I IQ( G, :,,i<J )B(t-s,<J)r[Zi(s,<J)+Z2(s,<J)]ds. (8)
YMHO.>KaJI o6e 'laCTH (8) ua J f:.!tldv H CKnaAblBaJI c COOTBeTCTBYIOIUHMH 'laCTJl
v V
MH ypa&HeHHJI (7), HMeeM
Z(t, i<J) = IQ( c. :, . i<J }o(t, <J) r +
+IQ( G, :,.i<J }o(t,<J)r l t)v>dv+ I {IQ( c. :,.ia )e_(t-s,a)l2 +
+IQ( G, :,.ia )e(t-s,a)l2 l t)v)dv }z(s,ia)ds, (9)
rAe Z(t, i<J) =Zi(t, i<J) +Z2(t, i<J).
B cuny ycnOBHJI A) TeopeMbl I
IQ( c. :,.ia }o<t,a)l2 ~ Ki; IQ( c. :,.ia )e<,.a)j ~ Li,
ISSN 004/-6053. Y,q, . Mam. JKJpn,, 1993, m. 45, N" 9
MCCJIEil,OBAHHE 3AJ];At-lM KOIIlM AJUI CTOXACTHqECKJiX YPABHEIIBtt . .. 1263
I ( d ) 12 /2(v)
Q G, dt , iCJ v0(t, CJ) I -:;;rdv ~ K2,
I ( d . ) 12 /2(v) Q G, dt , iCJ IH(t, CJ) I --;;z-dv ~ L2
,nm1 scex t e (0, 7) H JIIOObIX Ma-rpm~ C H G. To!'J.J.a
I
Z(t, iCJ) ~ K + L J Z(s, iCJ')ds,
0
r,ne K = K 1 + K2 , L = L 1 + L 2• Ilo JieMMe f'pouyoJIJia [4] HMeeM
Z(t, iCJ) ~ KeL1•
CJie,nosaTeJibHO,
Q( C, :, , iCJ )vu. a, ro) e Mr,
Q( G, . .!!:._' ia)v(t, a, w) J tJ;ldv e
dt V V
IlpHMeIUUI K (5) onepaTOp Q( D, :, , ia} JierKO JaOHCUTb
IE{ IQ( D , :, 'iCJ }u. a, w)r} = IQ( D , :, 'ia }o(t, CJ)r +
+ [ IQ( D, :s,iCJ )IH(t-s,cr)l
2
Z(s,ia)ds.
(10)
(11)
TaK KUK HHTerpa.n: no t s (11) Cyl..llecTByeT D.JIR KU,KLJ.Oro t e (0, 7), TO s CHJiy uepa
BeHCTBa (10) H ycJIOBl{R A) cpa3y CJien.yeT cnpaBet(JIHBOCTb TeopeMbI I.
JleMMa 2. flycmb 6Wl011He110 yc1106tte A) meop eMbL I. Tozaa a11J1 11106020 a * 0
u 11106btx Mampul{ C u G cnpaeea111wo 6KIIJ04ew,e
[ Q( C, !!_, ia)IH(t, cr) + J 12;v) dv Q( G, !!_, ia)IH(t, cr)] e L'l/..0 •l
dt 'I{ V dt '
u a11J1 HOpMbl 6blllO.!lf1.11emcJ1 coonuwwe,me
II Q( C, ! , iCJ) IH(t, cr) [, + II Q( G, :, , icr) IH(t, CJ) L f)v) dv [, =
= _l_ •s I Q(C, i'A, iCJ)i2 cIA, +
2n -~ IP(iA., iCJ)i2
- . ? 2
+ _l J I Q(G, 1A, icrW cIA, J f (v) dv =: S(cr).
21t __ IP(i'A, icr)l2 V -:;;r-
DoKll3ame.m,e.meo. B c1rny ycJIOBHR A) H q>opMyJtbI (6) JierKo nonyqaeM
/4:; j [ Q( C, !!_, icr) + Q(l G, !!_, ia) J tJ;ldv ]IH(t, CJ)e-"711dt =
-V 27t O dt cit V v
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. )l(YP"· · 1993, 111. 45, N• 9
(12)
1264 r . M . IIEPYH, B. K. RCI-IHCKl-ftt
_ 1 ( Q(C, i'A, icr) Q(G, i'A, icr) J f 2 (v)d )
- - ----- + ----- ---,,-- V •
21t P(i'A, icr) P(i'A, icr) w v-
Jla.nee, npHMewu1. reopeMY Ilnattlllepem1. [ 11], no.rryqaeM yrnep)KAeHHe (12) neMMhI 2.
TeopeMa 2. llycmb Bbmo111-1eHO yc11oeue A) meopeMbl 1. Ec11u supS(cr) < 1, mo
0
Iim lEw(t) = 0, zoe
t➔~
W (t, X , OJ) : = Q( D, :t, :x )u<t. X , OJ)
npu 11,06oi1 .wimputfe D.
Ec11u S(cr) > l Ha MI-IO)Kecmee no11o)Kume11b11oi1 Mepbt Jle6eza A, mo lim lE w(t) = 00 •
t ➔ ~
l(oKa:Jatne/lbCfflBO. Ifa ypaBHenm1 (9) B CHJIY IlOJIO)KifTeJibHOrO y6hIBaHHR R,Upa
npH t ➔ oo HMeeM ycnoaue crpeMJ1ettuR K ttyn10 Z(t, icr) (npu cr :1= 0, S(cr) < 1).
ECJIH S( cr) > 1, TO H3 (11) 3aKJIIOllaeM, llTO MOAY Jib npeo6pa30BaHHH <Dyphe
W (t, X, ro) npH mo6oA MarpHQe D 6yJJ.eT CTpeMHTbCR K HYJIIO npH t ➔ + oo. Ilpu
t:t:eM aro crpeMneHue paBHOMepHo no cr, ecJm supS(cr) < 1. na.nee nepeAJJ.eM K npe
o
,ll.eJiy no.u 3HaKOM HHTerpa.na Jle6era. IlepBaH llaCTb TeopeMbl 2 AOKa3aHa.
JlJIH AOKa3aTeJihCTBa BTOpoA llaCTH a CHJIY (11) AOCTaTOllHO noKa3aTb, "!:TO
+~
lim J Z(t, icrxJcr = oo.
l ➔ +oo
IIycTh S(cr) > l Ha A, ror.ua lim Z(t, icr) = oo a CHJIY nOJIO)KHTeJihHOCTH Z(t,
I ➔~
icr), . H reopeMa 2 AOKa3atta.
B pa6ore [10] aBTOpbI HCCJie,UyIOT norepIO yCTOAllHBOCTH crep)KHH, na KOTOpbIA
.ueACTByeT "6eJiblA llIYM"
4 /
4 ax (13)
a > 0, b > 0, c > 0,
u(t, 0) = u(t, I)
au(t, 0) au(t, I) a2u(t, 0)
~ ~ ~2
= = O;
du(0, x)
u(0, x) = /1 (x); dt = fz(x). (14)
AHa.11orHllHO AHCKpeTHOMY cnyqa10 [ 11] MO)KHO onpeileJIHTh crarucTHlleCKHA
3anac ycroAt:t:HBOCTH s; no napaMerpy a KaK naHOOJibllIYIO ,ll.OnyCTHMYIO HHTeI-ICH
BHOCTb npoQecCOB C B3aHMHO ue3aBHCHMbIMH 3HalleHHJIMli, npli KOTOpOA CliCTeMa yc
TOAt:t:HBa B Cpe,ll.HeM KB3ApaTlit:t:HOM, T. e. pellleHlie cra6HJili31ipyeTCR K IfYJIIO B yKa-
3aHHOM Bblllle CMbICJie.
Torl{a JierKO HaATli CTaTHCTlilfeGKliA Janae ycroAlfHBOCTH sk1k2 CliCTeMbI
~ a dku(t , X) - 0
L. k1k2 alia k 2 -
k1 +k2=k=0 X
no napaMerpaM akiki . O6o3nat:t:HM
m
P('A, cr) = L ak1k2').__k1(icrf2.
k=O .
ISSN 0041-6053 . YKp. Mam. )l(JP"· · 1993, m . 45, N• 9
11CCJ1E,UOBAHHE 3AllAYH KOWH ,Ufl51 CfOXACTl1L£ECKHX YPABHEI-U1tt ... 1265
TOfAacor11ac1-10 [ll] BbNHCJUl.eM sk1k2:
[
l ~ 111l1 1cr1k2 ]- 1
Sk k = sup - f ---- QA
1 2 cr 2rr - ~ IP(1A, cr)I
(15)
B onpoc, nOCTaBJleHiib!ll aBTOpaMH pa6oTbl [10) LJ.)151 ypaBHeHHll (13), (14), B y Ka3aH
HOll pa6oTe He 6bIJI peweH.
I1cno; 1b3YR np1-meAem1b1e Bhrwe yrnep)KAemrn, MO)KJ'IO Jam1can,
2ac
H CHCTeMa ycTOlltJ:rrna npH BCex HH'reHCHBHOCTRX 6eJioro wyMa, AJIR KOToporo
"s- 1 1 s " E- a < , T. e. a> e-.
EcJIH ytJ:eCTb eme nyacconoBCKHe B03MYmerrna. napaMeTpa a [31
cJ 4u a2u a2u dlt a2u . J" a2u .:.
- 4 - a-2 + b-,, - c-::;- = - 2 a(t, w) + - 2 f(v) v(dv, t), (16)
dX dX ar of dX 'II dX
TO
Sa = 2ac( 1 + [ f)v) dv}
CHCTeMa (14), (16) yCTOlltJ:HBa npH BCex HHTeHCH.BHOCTRX 6e11orn wyMa H. nyacco
I-IOBCKOro npou;ecca, ec11tt s;; 1e2 < l.
B3RB a= b = c = 1, 1 :=; cr :=; 20, f (v) = Jb, noJiy tJ:HM, Y:TO CHCTeMa (14),
( I 6) npH BbI6paHHblX napaMeTpax CTa6H.J1H3HpyeTC51 B cpeAHeM KBaApaTH'l:HOM npH.
BQIITOJIHeHHH yc11omrn Sa= 0,984 > e2.
l. Tu.xMaH HA. H., Mecme«KuHa T. M. 3ana<Ja K ow11 llJJJI napa60J111<JecKoro ypastteHHJI c K03<pq}H
UHeHTaMH THna "6em,1A wyM" // TeopHJ1 cny<JaAH. npoueccos. - 1987. - 81,m. 15. - C . 19 - 28.
2. r,a~Ullt H. H . CToxaCTll'lCCKHC l~Hq><pepeHUHaJJbHble ypaBHeHHJI C 'l3CTHblMII npoH3B0/lHblMH //
K a <JeCTBCHHble MCT0/lbl II HCCJIC/l0BaHHJI HeJJHHCAH. llllq><pepeHu. ypaBI-ICHIIA II HCJIHHCAH. K0JJe-
6attHA. - KHeB: 11H-T MaTeMaTHKH AH YCCP, 1981. - C. 25 - 59.
3. Tu.xM£111 H . H., CKopoxoo A. B. CToxacT11<JecK11e n11qxpepettu11a;11,tt1,1e ypaBHCHIIJI H HX npHJJ0-
)KCHH.ll. - KHeB: HayK. llYMKa, 1982. - 612 c .
4. Tu.xMaH H . H ., CKopoxoo A. B. CToxacT11'lecK11c n11cpq>epe ttu11an1,111,1e ypaBHCHHJI. - K11eB:
HayK. llYMKa, 1968. - 354 c.
5. flc1t1U:Ka.R JI. H. , flcw<CKltll B. K. ACIIMIIT0Tll'ICCKaJI ycT0A'lHBOCTb B cpenHeM KBanpaTH'IH0M
TpllBllaJJbH0ro peweHHJI CT0XaCTH'lCCKOl-o cpyttKUHOHaJJbtlO-llHq><pepeHUHaJJbHOro ypaBHCHll.ll .//
YKp. MaT. )KypH. - 1980. - 32, N" l. - C. 89 - 98.
6. Xac=uHCKUll P .3. YcTOA'lHBOCTh CHCTCM nttqxpepcttUHaJJbHblX ypaauett11J.\ npH cnyqaAHhlx B03-
MYll.lCHHJIX HX napaMCTpoB. - M.: HayKa, 1969. - 367 C.
7. Cao06.RK A. M ., I.{apbKOO E. <P. MaTpHua K o wH CIICTCMbl JI HHCJ.lHblX CT0XaCTH'lC-CKHX n11¢q>e
pem1HaJJbHblX ypasHeHHA // MaT. aHaJJH3 H Teop11J1 BepD.llTHOCTCA. - KHeB: I-layK. llYMKa, 1978. -
C . 150-154.
8. I.{apbK06 E . <P. , flcuHCKllll B. K . Kaa3HJIHHeA1-1ble CT0xacTH'ICCKHe /lH<pq>epem1HaJJbllO•<pyHKI.lll-
0HaJJbHble ypaBHCHHJI. - P11ra: OPT, 1992. - 331 C.
9. I.{apbK06 E. <P. CJJy<JaAHble B03MYl1.ICHH.ll l1Hcpq>epeHUHaJJbHO-cpy1-IKI.lllOHaJ1bHblX ypaBHCHHA. -
Pttra: 311HaTHe, 1989. - 421 c.
10. Samuels J . K., Eringen A. C. On stochastic linear systems // J. M ath. and Phys. - 1959. - 32 , N2 2.
- P . 83 - 103.
11. XwKH.RK B. H., ll,apbK06 E. <P. CTaTHCTH'lCCKHA 3anac yCTOA'lllB0CTH JJHHCAllblX CTaUH0HapHblX
CHCTCM // Bonpocbl /lHHaMIIKII H npo'IHOCTH. - PHra: 3 HHaTHe, 1969. - 81,1n, 19. - C. 133 - 149.
Tiony<JeHo 26.11.91
ISSN 0041-6053 . YKp. Mam. )l(JpH., 1993, m. 45, N• 9
0073
0074
0075
0076
0077
0078
0079
|