Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе
Вивчається поведінка квантового осцилятора у нескінченночастковій системі у випадку лінійних взаємодій. Знайдена залежність між спектром динамічної матриці повної системи і затуханням осцилятора. Визначена залежність спектра від параметрів взаємодії....
Збережено в:
| Дата: | 1993 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164593 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе / Н.Н. Роженко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1266–1273. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1645932020-02-11T01:27:43Z Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе Роженко, Н.Н. Статті Вивчається поведінка квантового осцилятора у нескінченночастковій системі у випадку лінійних взаємодій. Знайдена залежність між спектром динамічної матриці повної системи і затуханням осцилятора. Визначена залежність спектра від параметрів взаємодії. The behavior of a quantum oscillator in an infinite-particle system is studied for the case of linear interaction. The relation between the spectrum of the dynamic matrix of a complete system and oscillator damping is established. The dependence of the spectrum on the parameters of interaction is determined. 1993 Article Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе / Н.Н. Роженко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1266–1273. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164593 517.43 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Роженко, Н.Н. Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе Український математичний журнал |
| description |
Вивчається поведінка квантового осцилятора у нескінченночастковій системі у випадку лінійних взаємодій. Знайдена залежність між спектром динамічної матриці повної системи і затуханням осцилятора. Визначена залежність спектра від параметрів взаємодії. |
| format |
Article |
| author |
Роженко, Н.Н. |
| author_facet |
Роженко, Н.Н. |
| author_sort |
Роженко, Н.Н. |
| title |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| title_short |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| title_full |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| title_fullStr |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| title_full_unstemmed |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| title_sort |
квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1993 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164593 |
| citation_txt |
Квантовый осциллятор в бесконечночастичной гармонической системе / Н.Н. Роженко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1266–1273. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT roženkonn kvantovyjoscillâtorvbeskonečnočastičnojgarmoničeskojsisteme |
| first_indexed |
2025-07-14T17:13:03Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:13:03Z |
| _version_ |
1837643264107216896 |
| fulltext |
YJlK 517.43
H. H. PolKeHKO, acn. (KHes. no.mrrexH. HH-T)
KBAHTOBhIU: OCUHJIJUITOP
BEECKOHEquoqACTHquou:
r APMOHHqEcKoli CHCTEME
The behavior of a quantum oscillator in an infinite-particle system is considered in the case of linear in
teraction. The relation between the spectrum of the dynamic matrix of a complete system and the oscil
lator damping is found. The dependence of the spectrum on the interaction parameters is determined.
BHB'la~bCJI nOBe/lIBKa KBaHTOBOro OCI.\HJIJITOpa y HeCKiH'leHHO'laCTKOBill CHCTeMi y BHna/lKY JiiHill
HHX B3llt:MO/lill. 3HaA)leHa 33JleJKHiCTb MilK cneKlJ)OM /lHHaMi'IHOi MaTPHLli noBimi CHCTeMH i :iary
xaHHJIM OCL1HJIJ1TOpa. BH3Ha'!eHa 3aJleJKHiCTb cneKTPa BUI napaMeTPiB B3at:MOllii.
1. Onucanue MOl).CJJH. TiyCTb HMeeTCH CHCTeMa B3alf.M0LJ.eltCTBYIOmHX rapM0HH'-Iec
KHX OCQHJJJIHT0p0B C 0AH0lt BHYTPeHHelt CTeneHblO CB0OOLJ.bl, pacnoJI0)KeHHbIX B
y311ax 6ecKoHe'iH0tt d-MepHott peweTKH ~d :1 k = (k1, k2 , ... , kd). Ka)l(LJ.OM)' ee Y3JIY
k Il0CTaBJieH0 B C00TBeTCTBHe np0CTpaHCTB0 C0CT0HHHlt 0TLl,eJibH0tt 'iaCTHQbl
Li(lR 1, dxk), onepaT0pbI KOOPAHHaTbI H HMny JibCa qk H p *' n.ettcTBYIO~He OObI'i
HbIM o6pa30M [1] (rn. 7, § 3),
jL2 (lR1 ,dxk);
°ifd 3 .k ➔ pkf(xk)=id:kf(xk);
qkf(xk)= xd(xk).
PaCCMOTpHM cpopMaJibHbltt onepaTop 3tteprHH 3T0tt CHCTeMbl 'laCTH1~, C'iHTaH HX
B3aHM0AettCTBHe rapM0HH'leCKHM,
1"'2 l"' l __ 1 __
H = 2 £.,,,Pk+ 2 £.,,, dk/MJ = 2(p, p) + 2(Dq ' q),
kE '?l.d k,j E'?l. d
dkj (k , j e ~") - MaTpH'IHbie 3JieMeHTbl onepaTopa D B CTatt!lapTH0M 6a3HCe
npocTpattcrna / 2('if"),
MaTpHQY (dk)k,J•'?l.d tta3bIBalOT AHHaMH'leCK0A MaTpHQeA CHCTeMbr. OnepaTop D
6yAeM C'IHTaTb CHMMeTpH'leCKHM, CTpo,-o Il0JI0)l<:HTeJibHbIM 1-1 orpattH'ieHHbIM
(m2E :-:; D :-:; M2E , m > 0, M < oo). Tipen.nOJIO)KHM, 'ITO cr(D) = (Jac(P) = [m2, M2];
3T0 Bblil0JIH.!leTCH, B 'iaCTHOCTH, 8 CJiy'iae TpaHCJIHQH0HH0A HHBapHaHTHOCTH onepa
T0pa D [l] (rJI. 7, § 4). TipHLl,alOT CMblCJI cpopMaJibHOM)' raMHJibT0HHatty H c
Il0M0~blO npoQeAypbl nepett0pMHp0BKH, B pe3yJibTaTe K0T0poA eM)' CTaBHTCH 8
coorneTCTBHe cpa30soe npocTpattCTBO JR~. npocTpattcrno coCT0HHHlt L2(JR '?l.d, Ys),
rAe 'Ys - rayCC0BCKaH Mepa C K0ppeJIHQH0HHbIM onepaT0poM S = D-112, Ha3bIBa
eMaH oaKyyMH0lt Mepolt, H nepett0pMupoBaHHbllt onepaTop H,en• K0T0pbllt JaAaeTCH
Ha IlJI0TH0M Il0AMH0)KeCTBe cb,cy1(IR z d) C L2(IR zd. Ys) orpaHH'leHHbIX, UHJIHHApH
'ieCKHX, 6eCK0He'iH0 n.mpcpepeHUHpyeMbIX <PYHKUHlt H C0Bnan.aeT C onepaT0p0M
LlHpHXJie Mepbl Ys [1] (rn. 7, § 3):
HrenfM = _ _!_ 2, a2a/~x) + <D 112V/(t),x>.
2 kezd xk
3Aecb H AaJiee <· . ·> -CKaJIHpHoe npoH3BeAeHHe 8 npoc1pattcrne /z(JR'?l.d), V -
© H. H. PO)KEHKO, 1993
1266 ISSN 0041-6053. YKp. MOIII. >Kyp11., 1993, Ill. 45, N• 9
KBAHTOBbltt OCUHJL151TOP B 6ECKOIIE'-1110'-IACrl1'-IIIOti .. 1267
onepaTop npOH3B0AHufi. OnepaTopaM HMnym,ca 1-1 Koop1U11mr H pe3ym,nrre nepe
H0pM11pOBKH C00TBeTCTBYI0T onepaT0!)bl
Pk,ren = ~lcJf(\:)/oxk- <D 112ek,x>f(I:)], qk,ren = xJ(x), k e 'J!.d,
I
r,ne ek - k-A opT CTaHAapn1oro 6a311ca npocrpm1cTBa t2('J!.d).
PaCCMOTpHM ew:e OJ.urn rapMOHH'leCKHfi OCUHJ1Jl51TOp C '!3CT0T0fi Wo H onepaT0-
p0M ::meprnn H 1 = (p2 + W6 Q2) I 2, rJle P 1-1 Q - ero onepaTop1,1 HMITY 111,ca H
K0Op/l.HHaTbl,
p f(K) = i OOK /(K), Q/(K) = K/(K), /(K) E Li(IR I' dK).
OnepaTop H1 HMeeT CMb1c11, 0AHaKo np11MeHHM H K HeM)' npoueAypy nepenop
MHpOnKH. 3TO 6yAeT ymnap110 3Kl3HB3JleHTHOe npeo6pa30BaHHe, B pe3yJlbTaTe
KOT0poro onepaTopy Hi CTaBHTC51 B C00TBeTcnme ero npOCTpHHCTBO COCT0511·IHA
L2(IR 1, "fo) c naKyyMHOfi Mepofi dy0(K) = .Jw0 I 1t e-000 .,=2 dK 11 nepeHopM11ponaHnb1fi
r·aMHJlbTOHHaH H1, ren 3all.311HbJtl: Ha 0JIOTIIOM no,nMHO)Kecrne C6(IR 1) B BI-IJ.\e
flpH 3TOM
- COOTBeTCTBemrn nepenopMHp0BaHHble oneparopbl HMnyJH,Ca H KO0p,llHHaT OT
,neJlbIIOrO OCUHJlJl51TOpa.
Ey,neM H3Y'l3Tb CHCTeMy, COCTOjil.l.lYI0 H3 3Toro 0CUHJlJIJ!T0pa H 00HCaHH0fi BbIWe
cncTeMbI, npenno1iara51, '!TO 0111-1 cn5133HhI B3aHM0LJ.etl:crnHeM V,_ = Lke 'if.d AkqkQ,
rne A= (Ak\•'if. d e llf2.d),
L AZ< 00, L AZ -:t: 0, Ak e IR, k e f2. d. (1)
ke 'if.d ke 'if.d
<DopMaJJbHblt-i raMHJlbTOHHaH pacw1-1pe1-mot-i CHCTeMbl HMeeT BH,ll H,_ = H +HI+ v,. ..
Pean1-13yeM H,_ B npoCTpaucrne X = L2(IR 1, y0) ® Li IR 'if.d, Y5), KaK oneparop
Hi..,,en =H1.ren ® l + l ® H,en + V,,,
3Wl,3HHbltl: na CO0TBeTCTBYJOJ..UeM 0JlOTHOM 00,llMHO)KeCTBe, r n.e Yo - naKyyMH351
Mepa BbJ/leJ1eH1·IOfi '-IaCTlil.J.bl, Ys - BaKyyMHa>1 Mepa 1-1epacw11peHHOA. CHCTeMbl.
3aMeTHM, '!TO BHA onepaTopa ,mepnrn B33HM0,11.eAcTBli51 v,_ BbI,[l.e11emmro 0CUHJl
Jl.)l.TOpa c nepacw11pe1u1otl: cncreMoit npn nepe1rnpM11ponKe coxpmui:eTC51 KaK con.ep
)1(31.l.lHA TOJlbKO onepaT0pbl KOOpAHHaT.
2. y CJIOBHJI 33TyxaHHJI. 3a,na'la COCTOHT B TOM, 'IT06bI HCCJJeJ1.0B3Tb npeMeHHoe
nonen.eHHe Bbl,11.eJJelJHOit '13CTHQbl. JJ:1151 3Toro paCCM0TpliM npeMem1y10 3BOJJIOUHIO
Q(t), t e IR, onepaTopa Koopn.mrnTbl n1,me11emrnA YaCTHQhI B npocTpaHCTne X ,
nopoJK,neHHYI0 raMHJlbT0HH3HOM H, ren· O6o3Ha'IHM <p( t) = (Q2(t)O, 0) · zd ,
11., - - Lz( IR , Y,)
r,11.e Q = f(K) ® 1 e c;(IR 1, y0) ® Li(IR 'if.d, Y5 )- ycpen.ne1me Q (t) no creneHHM
cno60,11.bl OCTaJlbHbIX OCUHJlJlHTOpOB. KpoMe Toro, BBe)leM oneparop D,_ n
ISSN 0041-6053. Y>.p. MO/II. )l(yp11 .. 1993, 111 . 45, N' 9
1268 H. H. PO)KEHKO
/A: /i(IRzd) ➔ cr 1, /Ax= L x;;-..k, /~: /i(IR 2 d) f- cr 1, /~K = (lCA.k)hzd,
kEZd
Oneparop DA oapeaeJieH B er 1 E& li(IR 2 \ orpattH'leH H CHMMerpH'leH scJieacrsHe
orpaHH'leHHOCTH H CHMMeTpH'IHOCTH onepaTopa D If Bb!IlOJIHeHIUJ ycJIOBHJI (1).
CapaseAJIHBa cJieay10~aH TeopeMa.
TeopeMa 1. llycmb ebmo11w110mc.R yc11oeu.R:
1) DA - cmpow no110)1(,ume1tbHblil onepamop; ·
2) cr(D)..) = cr0 c<DA).
Toioa <p(t) ➔ 0, t ➔ oo .
3aMe<tauue. YcJIOBHe 1 MO)KUO OCJia6HTb: l') DA- nOJJO)KHTeJihHhlR H
'lJ(D~l/4)::, IR ~)UZd.
BhmOJIHeHHe yrsep)KAeHHH TeOpeMbl MOJKHO TpaKTOBaTh KaK 3aTyxaHHe BhlAe
Jie1moro OCl~HJIJI.llTOpa (CM., HanpHMep, [2]).
J1oKa3ame✓,bClll80. HaRaeM .llBllbIR BHA speMemlOR 3BOJIIOl~HH KOOPAHHaTbl OT
aeJihHOro OCQHJIJI.llTOpa Q(t), t e IR. nm, 3TOro oneparop HA npeACTaBHM KaK
cpopMaJibHbIR raMHJlbTOHHaH rapMOHH'leCKOR CHCTeMhl OCQHJIJIJITOpOB, pacaOJIO
)KelIHbIX B y3Jlax pacw11peHHOR peweTKH {/} LJ ~d, C AHHaMH'ICCKOR MaTpHQeR
D A: /?({/} LJ ~ d) ➔ I-,({/} LJ ~~. H, = _!_(p, p) + _!_(DAq, q),
- - " 2 2
rAe J5 = (P, p) , q = (Q. q), 11 6yaeM npHMeH.llTh K neMy npoQeaypy nepeuop
MHpOBKH. J]ju1 3TOro norpe6yeTC51 BbinOJIHemre ycJIOBHJI 1 HJIH l' [l] (rJI. 7, § 3). B
pe3yJibTaTe 3TOR nepeHOpMHpOBKH ¢opMaJibHOMY oneparopy HA CTaBHTC.ll B co-
OTBeTCTBHe ero ¢a30 BOe npocTpa11CTB9 IR {/}U zd, apocrpanCTBO COCTORHHR
L 2(IR U}UZ d, YsJ• rae Ys;. - rayccoscKax Mepa c KoppeJIXQHOHHhIM onepaTopoM
SA= D~112 (BaKyyMHaR Mepa pacw11pemIOR CHCTCMbl), If nepenopMHpOBaHHbil'i one
paTOp H ~n, 3aAUHHbiti Ha TTJIOTHOM TTO/J,MHOJKeCTBe r JiaLJ.KHX I~HJIHHLJ.PH'ieCKHX
orpatm:'leHHhIX cpy11KQHA f e C6(IR {l}UZd):
HA Je:.) = _ _!_ o2/(s) _ _!_ "" o2/(s) + «Dl /2 VAJ(!:.) i:.»
ren':> z~ 2 .L...--::;-z A ':>•':> •
uK kE zd oxk
3aecb u AaJiee s= (K, x) e [ 1 <B ti<IR 2 \ Ke (Cl. x e /i( IRzd), << · , ·>>
CKaJ1>1p1-1oe np01nnene1-me n li(IR {/}UZd), VA paccMaTp1-10aeTc.H KaK onepaTop B
npocTpaHCTBe L2( IR {l}Uzd. y,. ). TiepeHop:,mpoBau1-11,1e onepaTop1,1 HMnyJI1,ca 1-1
).
KOopw-rnaT HMelOT BHLJ.
P~n f@ = Ha~~) -{( DL12s, e, ))J<s>].
P~n.d<s) = ![o/(f,) - ((Df 2s. ek ))/(s)],
I OXk
ISSN 004/-6053. Y1,;p ,11011 1. :;,.:ypu .. / 993, m . 45, N" 9
KBAI-ITOBhdt OCUHJIJI.SITOP B 6ECKOHElJHOlJACIW-IHOft . .. 1269
rne
Tenepb MO)l(.HO HaITTH BpeMeHHYIO 3BOJIIOQHIO onepaTOpOB HMllYJibCa H KOOpJ.lH
naT nOJIHOR CHCTeMbl, B 'laCTHOCTH, BpeMeHttylO 3BOJIIOQHIO Q A(t), t e JR, onepa
Topa KOOPJ.lHHaTbl Q~n Bbl/leJieHHOrO OCQHJIJij{TOpa [1]
rne
QA(t) = << (Dl/2) -A )) <<D-1/2 · (Dl/2) -A )) cos A t qren• e1 + A sm A Pren• e1 , •
-A (QA A )
qren = ren• qren •
-A (PA A )
Pren = ren • Pren •
q~l = (q}, ren)k■ zd,
P~n = (p}, ren\■ ii'!d.
(2)
3aMeTHM, 'ITO onucaHHble peaJIH3aQHH onepaTopa HA j{BJlj{lQTCj{ yHHTapuo 3KBHBa
JieHTHblMH. Y'IHTblBaj{ 3TO H HCnOJib3yj{ COOTHOWeHHj{ Me)l(.J.lY onepaTopaMH po)l(.
J.leHHj{ H YHH'ITO)l(.eHHj{ H onepaTopaMH HMllYJibCa H KOOp/lHHaT, JierKO noKa3aTb,
'ITO BpeMeHHaj{ 3BOJIIOQHj1 Q(t), t e JR, nopo)l(.J.leHHaj{ onepaTOpOM HA., ren· 6yneT
Bblpa)l(.aTbCj{ coon1oweHHj{MH (2), HO qepe3 CBOH onepaTOP!>I KOOP/lHHaT H
HMny JibCa:
Q(t) = «cos (Dft) "iiren, e1» + «Di112 sin (Df t) Pren• e1»,
rne
Pren = (Pren• Pren), Pren = (pk, ren)k■ zd,
Y'IHTbJBaj{ BHJ.l onepaTOpoB "iiren H Pren, nony,-iaeM
Q(t) = «cos(Df2 t)s, e1»+~(«Di112 sin(Df2 t)V, e1»
I
«Di112 sin (Df t)D~2 S, e?>J.
ni.e
Do= ( :5 ~l
a V paccMaTp1maeTCj1 KaK onepaTop B X. PaccMOTpHM ycpeu.11e1111e AeitcTmrn
KBanpaTa onepaTopa 3BOJIIOllHH KOOplJ.HHUTbl BbllleJieHIIOro OCQHJIJlj{TOpa 1-m <PYHK
UHIO H3 X, TO)K[leCTBeHHO paimy1O ew-111m1e no CTenetUIM CBOOOHbl TepMOCTaTa, T. e.
(Q 2(/) 1 @ 1, 1 @ 1) zd
L1(lR . Y,l
B pe3yJibTaTe ycpem1e1-11-1.11 no BCeM nepeMellllblM 11OJI)'4HM KOHCTallTY BCJte11cnme
ymffapHOCTH rpynn1,1 e-iill.._ "":
Q(t) l @ 1 = < <cos (Dt2 t) S, e1> > + i < <D~ 1' 2 sin (Dt 1) o/(2 S, e1> >.
(Q 2(t) I@ 1, I @1) zd = J ( «cos(D~21)~. e?> +
L1<lR . Y, I
ISSN 004/-6053. Y,q, .. ,,am. ;i.;yp11 .• /993, 111 . .J5. N" 9
1170 H. H. PO)KEHKO
TipnMeIUUI <1>0PMYJihl HIITerpHpoBaHH51 no rayccOBCKOl-i Mepe, HMeeM
(Q2(t) I® 1, I® 1) = x:2«(cos (D~ 2 t) + iu\Pi112 sin (Df2t)) e1• e?> 2 +
I - 1e t/? 11?
+ 2<<Do -pxcos(D,._-t)e1, Pxcos(D,._-r)e?> +
+ i«P, cos(Df2t)e1• Pxsin(D ft)D'i._ 112 e?> -
- _!_((p sin (D 112 t)D- 112 e D 112 P s·n (D 112 t)D-112 e >> 2 x "- ,,_. !• o x 1 "- "- 1 ,
r.ue Pl,= P_.(K, x) = (0,x).
JierKo 011,ueTh, •no ec1rn cr(D,._) = cr0 c(D,._). TO (Q2(t) I ® 1. I ® 1) ➔ 0, t➔ 00 •
· ol l'
noCKOJlbKY B 3TOM c11y'lae e'1 1- -J➔ O. t ➔ °", B c1ia60M CMh1C11e [3] (§ Xl.3).
3aMeTIIM .ua.nee, '!TO
Q(t)Q = Q(t)/(x) ® 1 = /(K)Q(t) 1 ® 1 +
+ (-i-1WoK/(K) + i-1j'(K))«e,, Di 112 sin (Dfr) e?>,
q>(f) = (Q2(t) (}_ , (}_) = j2(K)(Q2(t) I® 1, I® 1) -
- f'(x)2«er Di 112 sin (Dt 2 t) e1» 2 .
CxO,UHMOCTh K HYJIIO nepooro CJlaraeMoro nOKa3aHa Bhlille, CXO,UHMOCTh BTOporo
cne,uyeT H3 Tex )Ke coo6pa)Ke1mti. TaKHM o6pa30M, <p(t ) ➔ 0. t ➔ oo , 1-1 TeopeMa
,uoKaJana.
3. CBOHCTB3 1•HH3MH'fCCKOH M3TpHUl,I H YCJIOBHII 33TYX311HII B TCpMHH3X
napaMeTpOB B33HMOUCHCTBHII. Boe,ueM q>yHKIJ,HIO 6(s) = w5 -s + <(s - D)-1A, 'A.>
C o6mtCTbl0 onpe,ueJielJH51
'iJ(A) = (-00, m2) U (M2 , + oo) U {s e [m2, M2]: A e D((s -D)- 1)} .
TeopeMa 2 (CBOHCTBa onepaTopa D').. B TCpMHHax napaMeTpOB B33HMOUCH
CTBHII). llycmb 6bl/lO.III-IJlemc.fl )'C.1106lle (1). T0taa c11pai3eiJ.11110bl c.11eay10U(Ue
ymeep)Kaeftu.fl:
l. D').. cmpow 110.11o)K11me,1eH <=>
II s'A. II < Wo. (3)
l'. D,._ 110.11o)Kw1ie.11eN <=>
II SA II ~ ffio. (3')
2. cr (D,._) = cr0 c(D,._) U I. ioe MNOJKecmoo I. ,11160 nycmo, iU.160 mo'le't11b1t1
cneKmp. (J0 c(D,._) = [m2, M2].
3. llycmb
Vs e 'ZX,M n [m2, M2]: 6(s) * 0. (4)
ToliJa I. 011peoe.11J1en1CJ1113 ma6.11w4b1
6M ~ 0 6M > 0
6111::?: 0 {0}
6 111 <0 {S.}
ISSN 0041-6053 . .YKp. MO/II. »:yp11., 1993, Ill . 45, N· 9
K3AIIT0Bbltt OCUHJJAATOP B 6ECKOHE'lli0l.J:ACIWIHOtt ... 1271
zi)e C08Me~eHlte YKa3QHHblX no WpLt30HmQ/IU U 8epmUKa/lU mpe608QHUU yKa3bl6aem
Ha xapaKITlep MHO)Kecm8a I.. s. < m2, s• > M2 , am= lim 6(s), 6M = lim 6(s).
sim2 sJ.M2
,lfo,ca3ame11bcmso. 1. lleA:cTBHTeJibHO, nycTb llsA II< O)o => 3 o: 0 < o < 1:
II SA II< OO)o. IlpeACTaBHM s = (K, x). socnOJib3yeMcB BHAOM onepaTopa D'). H
npHMeHHM l{Ba)Kl{bl uepaseHCTBO Kowu - EyHBKOBCKOro. B pe3yJibTaTe IlOJIY'IHM
< <D,._s, s>) = 005 K2 + 2K(A, JC) + (Dx, x> ~
m2
~ 005(l - 02)K2 + ~ II x 112 (02005 - II sA 11 2) ~ o 000
~ min (005(1- 82 ). ~( 02005 -II sA12)) 111 S 1112 .
0 OOo
JierKo su.a.eTb, 'ITO MHO)KHTeJib nepe.a. Ills 1112 nOJIO)KHTeJibublA:, a 3Ha'IHT, DA
cTporo noJIO)KHTeJibHbIA: onepaTOp (3.a.ecb Ill· Ill - uopMa B l,J_IRV}UZd), II· II
HOpMa B /z(JR zd)).
IlyCTb uepaBeHCTBO ue BblfiOJIH.lleTC.ll. IlOJIO)KHM s = (-1, v-111.). Tor.a.a
«D,._;, s» = < <D,._(-1, D-111.), (-1, D-1A)» =
= 005 - <D-111., A,) = 005 - II SA 112 ~ 0,
T. e. D'),_ He .llBJI.lleTC.ll noJIO)KHTeJibHblM.
1 '. lloKa3aTeJibCTBO auanoruquoe.
2. Ey.a.eM paccMaTpusaTb onepaTop D,._ KaK B03MYmeuue onepaTopoM runb6eprn
- IIIMHATa L,._ onepaTOpa D0:
D - o (
002
- [~
IloKa)KeM, 'ITO L,._ - onepaTop runb6eprn - IllMHATa e cnny Bbmonuemra (1).
lfaseCTHO [4] (rn. 15), 'ITO
cr(D0) = cr0/D0) U cr /P0),
cr0/D0) = cr0 c(D) = [m2 , M2]. cr/P0) = {005}.
IlpH TaKOM B03MYIUeHHH C06cTBeHHble 3Ha'-leHH.ll MOryT nOBBJI.llTbC.ll H HC'-!e3aTb,
HO B OCTaJibHOM cneKTp OCTaeTC.ll HeH3MeHHblM [4] (r JI. 15). TaKHM o6pa30M,
cr(D,.) = (Jac<P').) LJ I,, r.a.e (Jac<P').) = [m2, M2]. a MHO)KecTBO I, JIH6o nyCTO, JIH6o
.llBJI.lleTC.ll TO'-!e'-IHblM cneKTpoM.
3. IlepeAAeM K uaxo)KAeHHIO TO'le'-IHOro cneKTpa onepaTopa D,,: HaA.a.eM ero
co6cTBeHHoe 3Ha'-!eHHe l'l, ll I!! JR (B CHJIY CHMMeTpH'-IHOCTH ~). H COOTBeTCTBy
lOIUHtt co6cTeeHHbill: BeKTop S, s $ 0, s e li(lR zd):
(D,._ - ll)S = (D,._ -ri) (K, x) = (005 K + (A, x>. Dx + KA) -ri (K, x) = 0.
B cuny orpaHH'-lenuocTH D H BbmonuenuB ( 1)
w5K + <11.. x> e <I: 1, Dx + KA. e li(JRZd).
llnB HaXO)K.a.emrn co6CTBeHHblX BeKTOpOB H 3Ha'-!eHHA onepaTopa D,._ nony'-IHM
ISSN 004/ -6053. YKp . Mll/11 . )l(JpH.., /993, Ill. 45 , N• 9
1272 H. H. PO)KEI-IKO
CHCTeM)'
(5)
Dx +KA= TJX.
JlerKO IIOKa3aTb, 'HO K ~ 0, X ~ 0, rrpeAllOJIO)KHB o6paTHOe. 04eBHAHO, Tl E [m2'
M2J, HHoe rrpOTHBOpe'lHJIO 6bI ycJIOBHIO (4). IlOCKOJibKY K~ 0, IIOJiaraeM K = 1 H
H3 (5) IIO.Tiy4aeM
ro5 -TJ + «ri -D)- 1A, A> = 6(TJ) = 0.
lfa rrpHBeAeHHblX paccy.>KAeHHlt BHL\HO, 4TO co6cTBeHHbie 3Ha'leHH.II orrepaTopa DA
cymecTBYIOT TOrAa H TOJibKO TOrAa, KOrAa cymeCTBYIOT HYJIH cpyHKQHH 6{1-), H
COBllaJJ,aI()T C HHMH. 3aMeTHM, 4TO eCJIH co6cTBem-1oe 3Ha4eHHe Tl cymeCTByeT, TO
eM)' OTBe'laeT co6crneHHbilt seKTOP (1, (TJ - D)- 1'>.) . HerrpepbIBHOCTb H CTpora.11
MOHOTOHHOCTb cpyHKQHH 6(s) Ha Ka)KAOM H3 ,nrrepBaJIOB (--00, m2) H (M2, +00 )
04eBHAHbl. JlerKO rrpoBepHTb TaK)Ke H TO, 'ITO 6(S) ➔ ±oo, S ➔ +00 • ffa 3THX
paccy)l(AeHHlt CJieAyeT, 4TO
:l! s. < m2: 6(s.) = 0 ~ 6,,, <0,
TeopeMa .llOKa3atta.
IlyCTb BblllOJIIDfeTC.11 ycJIOBHe (3), 4TO paBl·IOCHJibHO 6 (0) > Q Tor.lla s. > 0 B
CHJIY MOHOTOHHOro y6blBaHH.II 6(s) Ha (--00, m2) . BBe.lleM o603Ha4eHH.II s. = ro~,,
s*=wi.
3aMe'UlUUJl. 1. lfa BH.lla cpyHKQHH 6(s) H CBOlt:CTB orrepaTopa D,._ JierKO
IIOJIY4HTb CJie.llyIOmHe yTBep)l(AeHH.11 .
.UocTaTO'lHbIM ycJIOBHeM cymeCTBOBaHH.11 HYJI.11 cpyHKQHH 6{1-) (co6cTBeHHOro
3Ha'leHH.II y orrepaTopa D')..) .IIBJIHeTC.11 BblllOJIHeHHe 0.llHOro 03 HepaBeHCTB ffio < m,
C0o >M.
Heo6XO.llHMblM yCJIOBHeM OTCYTCTBHX HyJielt cpyHKQHH 6 (s) (HJIH Toro, 'ITO
cr(D')..) = (Jac(/)0) .IIBJIXeTC .11 BblllOJIHeHHe HepaseHCTBa m< Wo < M.
2. IlyCTb 6m = 0 (6M = 0). ECJIH He BblllOJIHHeTC.11 yCJIOBHe (4) B TO'lKe m2
(M2), TO ro;" = m2 (rot= M2).
3. B Q)OpM)'JIHp0BKe TeOpeMbl 2 MO)KHO OTKa3aTbCjf OT yCJIOBHlt B TepMHHax
cpyHKQHH 6(s) H rrepeltnt K 3KBHBaJieHTHblM cpopMyJIHpOBKaM B TepMHHax rrapa
MeTpoB B3aHMOAeltCTBH.II. HarrpHMep,
(4) ~ Vs e [m2, M2J: A e 'D((s - D)-1): <(s - D )-1'>., '>.> ~ s - ro5;
6M<0 ~ lim <(s - D)-1A, A)< M2-ro5 HT.A.
, J.M2
TeopeMa 3 (KpHTepHit 33TYX3HH11 OCQHJIJIJITOpa) . ' flycmb 6btnOIIIUI.IOmCJI
yc11oouJ1 (1)- (3). Tozoa <p(t) ➔ 0, t ➔ oo ~
lim ((D - s)-IA, A> ~ ro5 - nz2
,iM2
(6)
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. ;,r.yp1<., 1993, m . 45, N" 9
KBAHTOBhdt OCI.IHJIJI51TOP B EECKOHEt.fHOt.fACTH'-IHOft ... 1273
l(oKa3ame✓,bCffl60. B CHJIY BbIOOJIHeHHJI YCJIOBH!t (1) - (4) K onepaTopy D')._
npHMeHHMa TeopeMa 2. lfa (3) ⇒ DA - CTPOrO OOJIO.lKHTeJibHbllt, H3 (6)
⇒ cr(DA) = crac(D')..,). T. e. npHMeHHMa TeopeMa 1 H q>(t) ➔ 0, t ➔ oo.
TTyCTb yCJIOBHe (6) He BblOOJIHReTCJI. Tor.a:a s CHJiy TeOpeMbl 2 cr/DA) '# {0}.
TTycTb cr/PA) ={co~,} . PaccMoTpHM q>(t) ,a:nR Q = 1 @ 1:
q>(t) = ic2«(cos (D~2 t) + icocP~112 sin (D~ 2 t)) e1, e?>2 + ...
(oCTaJibHbie cnaraeMbie He co.a:ep.lKaT ic) .
nocKOJibKY cr(DJ = craJD')..,) U crp(DA), TO cnpase.a:nuso pa3JIO.lKeHHe s su,a:e
npRMOlt CYMMbl npoeKQHH Ha a6cOJIIOTHO HenpepblBHOe H co6CTBeHHoe no.a:npo
CTPaHCTBa
3aMeHHM e1 ua Pace1+ P pe1 B rnaBHOM •rneHe q>(t). OH pacmmaeTCR Ha TPH cna
raeMbIX, .a:sa H3 KOTOpblX co.a:ep.lKaT COMHO.lKHTeJieM (3)
«(cos (Df2 t) + icocP'i,_112 sin (Df2 t)) Pace 1, e1» ➔ 0, t ➔ oo.
TpeTbe cnaraeMoe HMeeT BH.D:
ic2«(cos(Df2t) +icocP'i,_112 sin(D~2t))Pp e1, e?>2 =
= ic2(cos (COmt) + i (COo / com) sin (comt))2 ( (P pej, e1> >2 -A- 0, t ➔ 00 ,
nOCKOJibKY <<Pp e I• e? > '# 0, 'ITO CJieAyeT H3 BHAa COOCTBeHHOro BeKTOpa, HaRAeH
HOrO npH AOKa3aTeJibCTBe TeopeMhl 2. Cne.a:osaTeJibHO, q>(!) -h 0, t ➔ oo. AHaJIO
rH'IHO nocTynaeM, Kor.a:a crp(DA)={co~{} HJIH crp(DA)={co~, coi} . TeopeMa
AOKa3aHa.
3aMellaHue 4. BMeCTO ycnOBHJI (3) AOCTaTO'IHO Tpe6oBaTb BblOOJilleHHJI
ycnOBH51 (3') sMecTe c 'D(D'i,_ 114):) R~Juzd (CM. 3aMe11aHHe K TeopeMe 1 H n. 1'
TeOpeMbl 2). 0TMeTHM eme, 'ITO Heo6XOAHMblM YCJIOBHeM 3aTyxaHHJI OCQHJIJIJITOpa
eCTb m < COo < M (CM. 3aMe'laHHe 1 K TeopeMe 2 H TeOpeMY 1). ,[(ocTaTO'IHblM .D:JIJI
BblOOJIHeHHJI yCJIOBHJI (4) JIBJlj{eTCJI ycJIOBHe (5)
lim I t..(s ± iE) I > 0 V s e [m2, M2].
£-+0
3,a:ecb OOJiaCTblO OnpeAeJieHHJI <PYHKQHH t..(s) C'IHTaeTCJI o6naCTb Q; \ [m2, M2].
1. 5epe3aHCKUfJ JO. M., KoHiJparrn,ee JO. r . CneK-rpanbHblC MeT0,111,l n 6ecKOHe'IHOMepHOM aHaJJH3e.
- KHen: HayK. ,11yMKa, 1988. - 680 c.
2. r 1ray6ep P. KorcpeHTHOCTb H ,11eTeKTHpoBaHHe KBaHTOB // KorepeHTHble COCTOJIHHJI B KBaHTO
B01! reopHH. - M.: MHp, I 972. - C. 26 - 70.
3. PuiJ M., CailMon 5 . Mcro,11hl coepeMeliHol! MaTeMaTH'!ecKoll qJH3HKH: B 4-x T. - M. : MHp, 1982.
-T. 3: -443 c. .
4. XaA MOIU n. rHnb6eproBO npocTPaHCTBO e 3alla'!ax. -M.: MHp, 1970. - 352 C.
5. Arai A. Spectral Analysis of a Quantum Hannonic Oscillator Coupled to Infinitely Many Scalar
Bosons //Hokkaido University preprint series in mathematics. - 1987. -N" 16. -37 p.
Ilony'letto 11. 03. 92
ISSN 004/-6053. Y,q,. Mam. JKJpH., /993, m . 45 , N' 9
0080
0081
0082
0083
0084
0085
0086
0087
|