О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения
В області Dε ⊂ Em₊₁ обмеженій поверхнями |x|=t+ɛ and |x|=1−t і t=0,0≤ɛ<1, доведена коректність багатовимірних задач Дарбу для хвильового рівняння, а також вивчена поведінка одержаних розв’язків при ɛ→0....
Збережено в:
| Дата: | 1993 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164605 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1299–1306. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164605 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1646052020-02-11T01:27:48Z О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения Алдашев, С.А. Короткі повідомлення В області Dε ⊂ Em₊₁ обмеженій поверхнями |x|=t+ɛ and |x|=1−t і t=0,0≤ɛ<1, доведена коректність багатовимірних задач Дарбу для хвильового рівняння, а також вивчена поведінка одержаних розв’язків при ɛ→0. It is proved that multi-dimensional Darboux problems for the wave equation are correct in the domain Dε ⊂ Em₊₁ bounded by the surfaces |x|=t + ɛ and |x|=1- t and the planet = 0, 0 ≤ ɛ < 1. The behavior of the solutions as ɛ→0 is studied. 1993 Article О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1299–1306. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164605 517.956 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Алдашев, С.А. О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения Український математичний журнал |
| description |
В області Dε ⊂ Em₊₁ обмеженій поверхнями |x|=t+ɛ and |x|=1−t і t=0,0≤ɛ<1, доведена коректність багатовимірних задач Дарбу для хвильового рівняння, а також вивчена поведінка одержаних розв’язків при ɛ→0. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения |
| title_short |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения |
| title_full |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения |
| title_fullStr |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения |
| title_full_unstemmed |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения |
| title_sort |
о корректности многомерных задач дарбу для волнового уравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1993 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164605 |
| citation_txt |
О корректности многомерных задач Дарбу для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1299–1306. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa okorrektnostimnogomernyhzadačdarbudlâvolnovogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T17:13:38Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:13:38Z |
| _version_ |
1837643300914331648 |
| fulltext |
KOPOTKI UOBILlOMJJEHH.ff
Y.[{K517.956
C. A. AJJll.3llleB, KaHn. q>H3.-MaT. HayK (AJJMaT•H'i. HH-T muKeHepos )tc-n. TpaHcn.)
0 KOPPEKTHOCTH MHOrOMEPH.bIX 3ALlA q LlAP.6Y
LlJl.ff BOJJHOBOro YPABHEHU.ff
It is proved that the multidimensional Darboux problems for the wave equation are correct in the domain
D, C Em+I bounded by the surfaces lxl = t + £, lxl = 1- t, and the plane t = 0, 0 $ £ < I. The behavior
of the obtained solutions is studied for £ ➔ 0.
B o6naCTi D, C Em+I • o6Me)l(eHiA nosepxH.llMH lxl = t +£,Iii= I - I i t = 0, 0 $ £ < I, noseneHa
KopeKTHiCTb 6araTOBH~lip1rnx :iaaa'l .[{ap6y llJI.H XBHJJbOBoro piBH.HHH.H, a TaKO)I( BHB'leHa noseaiHKa
oaep)l(aHHX po3B'.H3KIB npH £ ➔ 0.
1. IlocTaHOBKa 33l).3'1 H pe3yJlhT3Tbl. TiyCTh DE - KOHe,rna.ii: o6naCTh eBKJIHll,OBa
npocTpaHCTBa E,,.+1 TO'feK (x1, .. . , xm, t), orpaHH'fenna.ii: nosepxnoCTHMH lxl =t +
+ e, lxl = 1- t H nnocKOCThlO t = 0, rll,e lxl - tJ.JIHHa seKTopa (x1, ... , xm), 0 $ t $
$ (1 - e)/ 2, 0 $ e < l. t.{acTH 3THx nosepxHocTeA, 06pa3yiom1-1x rpatt1-1u;y dDE o6-
naCTH DE, o6o3Ha'IHM qepe3 SE, S1 1-1 SE cooTBeTCTBeHHO.
B o6naCTH SE paCCMOTpHM BOJIHOBoe ypaBHeHHe
(1)
rll,e ~x - onepaTop Jlannaca no nepeMeHHhIM x1, ... , x111 , m ~ 2.
B Ka'fecTse MHoroMeptt1,1x attanoros 3al).a'f llap6y ll.JIH ypastteHH.ii: (l) paccMOTpe
HhI CJiel).ylOIUHe 3al).a'fH [l, 2):
3al).a'la 1. HaATH peweHHe ypaBHeirnR (1), Yll.OBJieTBOpH!Oll(ee KpaeBhlM ycno
BHRM
(2)
HJIH
(3)
3al).3'13 2. Hatl:TH peweHHe ypaBHeHHR (1), Yll.OBJieTBOpHIOll(ee KpaeBbIM ycno
BHHM
(4)
HJIH
u, Is• = Ve(x), u ls1 = cr 1 (x). (5)
B ll.aJihHeAweM ytJ.o6Ho nepeATH OT tJ.eKapTOBhIX KOOPll.HI-IaT x 1, •• • , x,,., t K ccpe
pu:'feCKHM r, 81 , ... , 0,n-1• (, r ~ 0, 0 ~ 81 < 27t, 0 $ 0; $7t, i = 2, 3, ... , m- l.
IlyCTh { Y:m (0)} - CHCTeMa JIHHeAHO He3aBHCHMhIX C<pepH'feCKHX <pyHKU,HA
nop.ii:tJ.Ka n, 1 $ k ~ k,., (m - 2)! n!kn = (11 + m - 3)!(2n + m - 2). Ecnu: m = 2, TO
{Y,~m(0)}-CHCTeMa<.pyHKU,HA {sin1181,COSll81}, 8=(81, .. , , 8m-J), Wi(S), [=0,
1, . .. , - npocTpancrna Co6onesa, a SE= {(r, 0) e St, E < r < (l + e)/2}.
CnpasetJ.JIHBa cneeyioma.ii: J1eMMa [3].
Jler.1r.1a 1. Ec11u f(r, 0) e wJ (SE), I> m - 1, mo pRiJ
© C. A. AJIJlAllIEB, I 993
ISSN 0041-6053. YKp. MOIi!. JKJpH., 1993. Ill . 45, N' 9 1299
1300 C. A. AJI,UAllIEB
oo k.
~ ~ -k k f(r, 8) = £.., £.., fn (r)Yn,m (8) (6)
n=O k=I
cxoiJumc.R a6co11.10mHO u pae110MepHO.
qepe3 t :,.(r), V ~(r), 0 :n(r) H O t,.(r) 00(>3Ha'IHM K03cp¢Hu;HeHTbl pa:3JIO)Ke
HIDI pMa (6) COOTBeTCTBeHHO cpyHKu;mt 'tJ_r, 8), ve(r, 8), Oe{r, 8) u C11(r, 0).
Bae)],eM MHO.>KecTBa cpyHKUHA
oo k.
IJb (st-) = { f(r, 8): ff!!. wj (Se), L L ( IIJ,.k (r)II ~2((e.(l+el/ 2ll +
n=O k=l
+ II J,.k(r)II ~2([e,(l+e)/ 2Jl ) exp2(n2 + n(m - 2)) < 00 , / > m - 1 } ,
wd (S0) = {IE wj (s0): f(r , 0) = ro.J(r, 8), a~ O},
-1 E I, I rt: • - } Wa,e (S ) = ve e W2 (.., ). fe(r, 8) = E°' f e(r, 8), a~ 0 ,
C,,(Do) = {u e C(/5 o)nC1(DoUs0)nC2(Do): u(r, 8, t) =
= (r2 + t2f12 u(r, e, t)} .
EcJIH U e C 1(J5 e)nC2(De), TO 3a)].a'IH 1 H 2 B3aHMHO COnp51)KeHhI.
IlycTb u e C(D o)nC1(DoUs0)nC2(Do)- TOnla B [4] AOKa3aHO, 'I.TO 3a)].a•rn 1
HMeeT 6eC'IHCJieuuoe MHO)KeCTBO pewenHA:. IlpHMepbl uee,ll,HHCTBeHHOCTH perneHH51
3a)],a,m 1 noc-rpoeubl s (4 - 7]. B [4] TaK)Ke IIOKa3auo, '-!TO perneuue 3aAa'IH 2 B KJiac-
ce C 1(Do)nC2<Do) e)],HHCTBeHHO. EcJIH .>Ke u e C(Do)nC1(DoUs0)nC2(Do), TO
3a)].a'la 2 RBJIReTC51 o.o,uo3uaquo pa3PewuMott, no u $ C 1(D0Us0U{O} ). B pa6oTe
[8] yCTaHOBJieHO, 'I.TO npH E > 0 )],Jljf u e C(J5 e)nC1(DEU.5°)nC2(D£) 3a.o,a'IH 1 H 2
KOppeKTHbI.
OTMeTHM, 'I.TO npuse.o,eunbie pe3yJibTaTbI IIOJIY'-!eHbl B CJiy'fae, KOr,lla rpaHH'IHbie
AaHHbIe3a.o,a,m 1 (E~O) H 3a.o,a'IH2 (E>O) npuua.une)KaTKJiaccy Bb(se) (4,6].
B aa1moit CTaTbe yKa3aHHble Bblllle orpaHH'lelrnR Ha 3a,uaHHbie cpyHK[lHH CHHMa-
lOTCR, a HMeHHO npH e = 0 cnpase,nJIHBa CJie.o,yIOLUa51. TeOpeMa.
-1 ,..o -1 -0 -1 -o
Teopet.1a l.Ec11.u 't 0 ( x )e Wn(.) -), v 0(x)e W,, _1(S), , cr 0(x)e Wn(S),
I > m + 9, mo :JaOatta 1 uMeem eiJuHcmeeHHOe petueHue e K11acce C n(D 0).
O -1 0 I nO -o TeopeMa2. 1 . Ec11.u 't0(x)e Wn+m- 2(S ), cr 1(x)e W2 (.) · \S ), I> m+ 5,
mo :JaOatta (1), (4) uMeem eiJu11cmeeHHOe pemeHue e K11.acce C(.D0)nC2(D0) .
O -1 nO I nO -o 2 .flycmb Vo(x)e w,,+m- 1(.) -), C11(x)e W2(.) · \s ), l>m+5. ToziJa:JaOal./a
(1), (5) pa3pemu,.ta, nputteM eiJuHcmeeHflblM o6pa3oM, ec11.u u e C ,,(D 0)nC1(D0U
U.5°)nC2(Do)-
IlycTb Tenepb E > 0. Toraa cnpaae1:vmsa TaKa51. TeopeMa.
-1 ( £) -1 ( £) -1 ( -£ TeopeMa 3. Ec11u 'te(X) e wn,E s ' Ve(X) e w,, - 1,E s , O'e(X) e w,,,E s ), I>
> m + 9, mo 3aOa'ta 1 6 K/1.acce q:>yHKL{UU C(.De)nC1(DeUS£)nC2(De) UMeem
eiJu11cmee111we pemeHue.
TeopeMa 4. 1°. flycmb 'te(x) e w!+m-2,e(Se), cr 1(x) e Wj(SE\§t), I> m + 5.
Tozaa eC/1.U U e C(.D£)nC2(De), mo 3aoatta (1), (4) OOH03HQ'tHO pa3peUlUMa, npu
3ntOM OIi.Ji KWKOOlO HamypallbflOlO II cyu{ecmey,om O' I (r, 0) :!! 0, 'te(r, 0) =
ISSN 0041 -6053 . YKp. J.Wm. )l(yp11 .• /993, m . 45 , N' 9
0 KOPPEKTIIOCTH MHOfOMEPHhlX 3AJlA t.f JlAPEY ... 1301
= 't :(r)Y:,m(0) moKue, ~mo 8blno11H.Remc.11 HepoeeHCmeo
clY: m(0~
IO"e(r, 0)1 ~ n~m-2 · ,. (7)
2°. Ec11u ve(x) e w,.'+m-1(St), 0"1 (x) e wj (st\§t), I> m + 5 u u E C(l5 e)n
nC1(DeUSt)nC2(De), m O 3000~0 (1), (5) po3peumMO, npu~eM eouHCmeeHHblM o6-
p030M, ripu 3moM 011.11 KOJKiJozo ri Hoi1oymcJ1 cr 1(r, 0) = 0, ve(r, 0) = = v !(r) x
X f: m (0), U Cllp08eOl1U80 OL{eHKO
I m- 1 dO" I -2-0"e(r, 0) + r a/ (8)
zoe c > 0-11ocmo.11HHOJ1, He 3oeuc.11U{o.R om 11.
yfa ou:eHOK (7), (8) BbITeKaeT, 'ITO peweHH.8 Ja,!J.a'l (1), (4) H (1), (5) Ha OOBepXHO-
CTH Se npH e ➔ 0 MOryT HMeTb "oco6eHHOCTH" nOp.8AKa en+m-2 H en+m-l COOT
BeTCTBeHHO.
0TMeTHM, •no amlJiorH'lHa.8 ou:enKa BHAa (7) npH m = 2 nonyqena B [9].
2. J];OK838TCJlbCTBO TCOpcM B CJiyqac E = 0. CHa'laJia paCCMOTpHM 3aAa'ly (1),
(2). B cq>epH'leCKHX KOOPAHHaTax ypaBHeHHe (1) HMeeT BHA
m-1 1
u,, + --u, - 2 ou - u11 = 0,
r r
(9)
m-l 1 d . d
0 = - 2. .. m- j -19 '..\n . ( sinm-J-1(:)j '..\0 ),
1 = 1 g I sm I oo I a 1
g 1 = 1, gi=(sin01 sin02 ... sin0j_1)2, j> 1.
TaK KaK HCKOMoe pewen0e 3Ma'-IH (1), (2) npHHMJie)KHT Knaccy C(D 0)n
nC2(Do), TO em MO)KHO HCKaTb B BHAe p.8Aa
.., k,
u(r, 0, t) = 2, 2, v! (r, t) Y:,,,, (0),
n=O k=I
r Ae v! (r. t) - q>yHKLUU~, OOAJle)Kall.lHe onpet1.eJ1eHHIO.
ilOACTaBJl.8.8 (10) B (9), nerKO y6eAHTbC.8 B TOM, '-ITO
-k m - 1-k -k A. -k O ~ ( 2)
V,.,, + --v,,, - V 1111 - 2 v,. = , I\,= II I!+ m - .
r ,.
IlpoH3Bea;.ll 3aMeHy nepeMe1rnott no cpopMy.ne v~(r, t) = ,-(1-m)l2 v~(r , t)
3aTeM s = (r + t) I 2, Tl= (r - t) I 2, H3 (11) 6yt1.eM HMeTb
k [(m-1)(3-m)-4'J....J k 0 V + ------...---~v -
11!;11 4<s+TJ)2 ,. - .
(11)
H OOJ10)KHB
(12)
Tort1.a KpaeBhie ycnoBH.8 (2) AJI.8 cpyHKUHH v~(S, T]) c y'-leTOM neMMbI 1 npHMYT BHA
(13)
rt1.e
•t@ = (2s)(m-l)/ 2'ft (2S), <pt@ = S(m-l )/ 2crt(s).
HcnoJib3Y.8 06U1ee perneHHe ypaBHemrn (12) (cM. [lOD. HeTPYAHO noKaJaTh, '-ITO
ISSN 0041-6053 . YKp. Mam . )KYP"·· 1993, m . ./5. N• 9
1302 C. A. AJI)lAIIIEB
peweuue JaJW-IH Kowu AJUI ypaeueum1 (12) HMeeT BUA
" 1 _.l: 1 " vn(S, rt) = 2 •on (rt) R(rt, rt;!;, rt)+ 2 'ton@ R(!;, !;; !;, rt) +
1 1; a
+ riI [ vt<s1)R(!;,,!;,;!;,rt) - 'tt(s,) aNR(!;,,11,;!;,rt) 1!;1=111 ]d!;,, (14)
11
rAe
R(!;, 11 ; !;, ll) = p f (!;1 - 111)(!;-11) + 2(S1ll1 +!;11)]
I I µI_ (S1 +111)(S+Tt)
- cpymrn:HJI PHMaua ypaBHeHHH (12) [ 11], a P µ(z) - <PYHKIUIH Jie)K.aHApa, µ = n +
+ (m-3)/2,
vt<s,) = av! I = ( as,, av~ + ari,, av! ) I .
i)N !;1 =111 i)N dl'li i)N i)!;1 !;1 =111
N' - uopMa.Tlb K npHMott !; = 11 B TOqKe ( !;1, Tl 1), uanpae11eHHaH B CTopouy no11y
n11ocKocrn rt ~ !;.
l:fa ypaeHeHHH (14) npH rt = 0 no11yqaeM HIITerpa.TlbHoe ypaBHeHHe BOJibTeppa
nepeoro poAa
(15)
r)le
g" ("") = -ff. m" ("")- ~n(S) + _1 J!; 1 t<s1) P.'( k) d""
On ', 't'On ', ../2 ../2 0 S1 µ !; ',I •
Ypaeueuue (15) o6parnMo no <PoPMYJie [12, c. 541-542]
" "" i Ji; "" ""2 ""2 _, ,2 , ( s ) a " ):. "" Von(-,)= ~o -,1(-, --,,) Pµ ft dS1 gn(-,,)d-,1, (16)
C11e)loeaTeJibHO, <PYHKI.\HH
- "· u(r, 0, t) = L, L, ,-(l-m)/2v!(r, t) r:,n,(0) (17)
n=O k=l
" -.HBJUleTCH peweuHeM JaAaqu (1), (2), rAe vn(r, t) , k = 1,kn, n = 0, 1, ... , uaxo)lHTC.H
no <PoPMYJie (14), B KOTOpott vt(s) onpe)leJIHeTCH H3 (16) .
YqHTbIBrul orpauuqeHHR Ha Ja)laHm,re <PYHKI.\HH 't(f..r, 0), <ro(r, 0), TeOpeMJ 37.9
H3 [12] u <PoPMYJibl [13]
dm r(µ+m+l) { 1- z )
-Pµ(z) = -----F 1 +m+µ,m-µ, 1 +m, - ,
dzm 2mr(µ-m+l) 2
r(z+a)
r(z+j3)
a TaIOKe 01.\eHKH [3]
= za-ll[ 1 + 2
1z (a - j3)(a -13 - 1) + O(z-2) ],
(18)
(19)
(20)
ISSN 0041-6053. YKp. MOm. ;,cyp1<., 1993, m . 45, N" 9
0 KOPPEKTHOCTH M HOf OMEPHblX 3A):xA '-! ):xAP6Y .. . 1303
,Ae F(a, b, C, z) - nmeprnoMeTpH'IeCKaH Q)YHK[J;HH , a H 13 - np0 H3B0JlbHbie AeA
crmrreJibHble 'mCJia, j= L m-1, l= O, 1, ... , ueTPYAH0 noKa3aTh, 4T0 non y 4e1rnoe
pewe,rne u(r. e, t) R DH/le (1 7) npm ra1v1e)lrnT Knaccy C,,(D0 ).
TaKHM o6pa30M, TeopeMa 1 /l]IH 3aAa4H (I). (2) A0Ka3a1ra; D CJiy l!ae Jatl a4H (1 ),
(3) ee cnpa.BeAJIHB0CTh ycTaHaBJIHBaeTCH ananorHllH0 .
T enepb nepeAAeM K A0Ka3aTeJJl,CTBY y1sep.1KJleHHH 1° TeopeMhl 2. ,[l,JlH 3T0f'0
paCCM0TpHM 3a]la'IY (1). (4) . PeweH11e 3T0A 3a11_alltt, KaK H B cnyllae 3aAa4H (1). (2),
6y]leM IICKaTh B BH/le PHlla (10) . To,/la ee K03¢<pmi;tteHTbl 6yAyT YLl0BJieTB0pHTb
ypannenmo (12). ITpH 3T0M ycnoBtte (4) 11-nH <pynKu;ttti v~(S, 11 ) c ylleT0M JieMMhI 1
3am1wercH B sm:i;e
k ):. J:. k ):. k ( 1 ) k v ,,(',, '>) = '!011 ('>), v,, 2, 11 = '1'1,,(11 ). (21)
I'Ae 'Jft(ll) = ( ½+11rm-l)/ 2ot( ½ + 11), 0:<,; 11 :<,; 1 /2.
,D.anee, 11cn0Jth3Y>1. pewe1me 3':1Aa4H fypca JVIH ypas11emrn (12) [10]
TJ . d k
v~(S,11) = cpt(s) - IR( ¾,111:s.11) ~ 1" d111 -
0 - u•11
I;
- J <?t cs1) a! R<s1 . o: s, 11 ) ds 1.
½ '>I .
(22)
3aAa4y (12), (21) rno11.1-1M K m rrer pam,H0MY ypasuemIIo
½
k - k ):. . J-k a,(s)):. f,, (S) - <?o,1('>) -t- <?o,,(S1)a,:-l µ ~ d'> l •
1; '> I '>I
(23)
C, l. + J:.2 d k
J,k (1'-) -Ck (F) + J p [ 2 11 I '> ] ~ Jr. .
,, " = o,, ..., o µ s<½+111) a111 ·,1
Ypam1e1rne (23) - llaCTllblA c.11y4all ypai.memrn (35.17) H3 [ 12]. K0Topoe o6paTHMO B
£ml.le (CM. TalOKe 114])
(24)
CJienou,rrem ,110. q)y11K r1.1rn. (17) >1.11Jrn erc>1. pewe1111eM Jana,111 (1), (4). ni.e v;, ( r, t).
k = I, k,,. II= 0, I, .... onpenem1er c>1. no ctl0pMyJ1e (22). B K0T0poh cp7i,, (s) IH\X0-
11-,m.:}f 113 (24).
Y ,111T1,ma>1. 01pa11ll'1e1111>1 11a 3a;1.a11111,ie qly11KqH11 1:0(r , 0). <J 1 (r, 0) 11 -reopeMy
35. 2 H3 [ l 2]. a TaK>Ke <t >op ~1y Jlbl ( 18) - (20), M0>Kl!0 n0Ka3aTb. 'ITO non yYemme
peu1e1rne u(r, 0 , 1) (17 ) np1111a1u1e>KHT K1iaccy u e C ( D 0 )nC 2(D 0 ). Ha '.HOM
3,lBepwaeTC}f /l0Ka:J<\TeJlhCTII0 reope~lbl 2 /lJl>I 3aWlYII ( l ). (4) .
CnpaBe/VllHlOCTh Teope~11,1 2 /\JI}! :J<Uta'III ( l ). (5) yciammmmaeTC>l a11aJIOf'HYH0.
3. ,UoKa33TCJlhCTBO TCOpC~I B CJIY'HlC E > 0. C 11a,iam1 paccwffpHM 3a/J.aYY ( I ),
(2). PeUJe1rne 3 1 o ti 3a/Hl'IH oy/leM IICKaTh TaK)Ke fl BHJte p >l.i \a ( 10). TOI / HI ee K03</>
ct \J11\ll e11Tbl 6y II.YT y /lOIIJler11op>1.Tb ypam1e111110 (12) . fl pH 3T0 ~t Kpae 11 1,1e YC.ll()Bfl}I (2 )
n11>1. cfly 11K1111n v;,(~, T] ) . k = f-c. 11 = 0, 1 . . .. . :J<1n1-1wyrc >1. 11 11 11ne
ISSN 0041 -6053 . .Y,p. \f(l/ /1 . )K\'f' II . • / <)93 . 111 . ./5 , N" 9
1304 C. A. AJlL(AlIJEB
(25)
TaKHM o6pa30M, 3a.naqa (1), (2) CBOAHTCjj K Ja,AatJe (12), (25).
,Ua.nee, ucn0Jib3Yjj pewettue (14) 3MatJu Kown AJijj ypaeHeHHjj (12) npu ll = E / 2
c ytJeT0M KpaeebIX ycnoeuA (25), nonytJaeM mner·pa.nbHoe ypaene1me Bonbreppa
nepeoro poaa
gk(r-) = ../z ,nk (r-) - 't~11 (E/2) _ ,:,, (S) +
11 ~ 't'£11 ~ .Ji ../2
r- S k 2
+ ~ - e/2 J •r,,(S, ) P.'( s, +se/2 ) ds
.Ji<s+e/2) s, µ s,<s+e/2) 1• £/2
K0T0poe AH<pcpepemiupoeattueM CBOAHTC51 K ypaeHeHmo BoJibTeppa BT0poro poaa
dg~ k JS k d ( Sf +se/2 )
dx = v£n(S) + v£n(S,)~kµ(s, s,) dS1, kµ(S, s,) = pµ S (s+e/2) ·
£/2 ~I I
O6parue nocneattee ypaeHeHue, pewenue 3MatJH (12), (25) H3 (14) M0)KH0 nonytJHTb
B 51BH0M BHAe (CM. TaK)Ke [14]):
vk(S ll) = ,k (Tt) + s- Tl 511 1:!,,<s, ) P.'( STl + Sf ) dr- +
n ' £II S + Tl £/2 s, µ (s + Tt)S1 ~,
+ J [P ( 2s11+S1E+(s-11)(s,-e/2)) +
£ 12 µ <s + 11)(s1 +e/2)
+ sgn(s1-11) - Ip ( 2STt+S1E-(S-Tt)(s1-E/2) )]d'l'~n dS. (26)
2 µ <s + 11)(s1 +e/2) ds1 1
CneaoeareJibHO, cpyHKQHj! (17) j!BJijjeTcj! pewe1meM 3aAa'l.H (1), (2), rAe v!(r. t),
k = 1, k,., n = 0, 1, .. . , onpeAeJijjlOTCjj H3 (26).
Tenepb aepeAAeM K Ja.na'l.e (1 ), (3). Ee peweHHe TaK)Ke M0)KH0 U0JIYtJHTb e BHAe
k --pjjAa (17), rAe v,.(r, t), k = I, k,., n = 0, I, . .. , j!BJIReTcjj pewettueM ypaetteHHjj
(12), YAOBJiereopRIOlllHM K.paeeoMy ycnoemo
( ~€ -~ ) ls~11 = vt,@, v!( S, ½) = <?!,.(s), (27)
v:,.(s) = ../2 (2s)'m---l)/2 v:n<2s), ~ $ S $ .!._
2 2
3aaatJa (12), (27) pewaercjj atta.norHtJH0 3aAatJe (12), (25), H ee pewettue Janucb1ea
ercJ1 B BHAe [14)
k ( 4s11 + e2 ) k ( e ) 5s ( s11 + s? ) k
v,.(S, Tl) = pµ 2(s + Tt)E <p£11 2 + £// µ (s + Tt)S1 vt,,(S,) ds, +
ISSN 0041-6053. YKp. J,W/11 , JK.JpH., 1993, Ill. 45, N• 9
O KOPi-'i:KTHOCTH MIIOfOMEPllblX ]i\nA'-1 nAPGY . .. nos
+ f [ p ( 2sri + ½le+(f, - ri)(f,l - ei 2) ) +
½ µ (f, + T1)(S1 +c:/2)
+ 1-sgn(f,1-ri)p ( 2f,11+f,1e- (f, - ri)(f,1 - e/2) )]d<p~,, df,. ,28)
2 µ (f, + ri)(f,, +e/2) elf,, ~
Tenepb H3Y'HIM none11.e11He 33l\a4H l npu £ ➔ 0. lh npeL1.CTa1u1e1rnjf pewemu1
(17) 3T0t:l: 3aJla4'.H BHLJ.H0, 4'.T0 LlJUI 3T0r0 LI.0CTaT0'IH0 HCCJieJl(maTb n0Be11.e1me cpyHK
QHH (26) u c11y4:ae 3Ma41-1 (1), (2) 1-1 (28) n c11y4ae 3aLl.a'm (I), (3) . I-fa (26) HeTPYJlll0
n0JIY4'.HTb, lfT0 eCJm 't:11 (f,) - e" H <p!11 (f,) - E"-1, TO v!11 (f,) - c:11- l np11 e ➔ 0 . A
H3 (28) CJ1eL1.yeT, 4TO eCJIH v!,,(f,) - i::11- 1 H <i>!,,(f,) - E" , TO -r!,,(f,) - E" npu: e ➔ 0.
113 YKa3allHblX Bb!We <:paKTOB H H3 orpamc14e1rnH Ha 3a)l.am11,1e cpyHKUHlt -re<r, 0),
vr(r, 0), cr E(r., 0), a TaK)Ke 1-13 cpopMy11 (18) - (20) BhITeKaeT cnpaBeHJIHBOCTb
Te0peMbl 3.
Tenepb nepet:l:11.eM K I\0Ka3aTeJibCTBY TeopeMhl 4. Ec11u: pewe,rne 3Ma4'.u: (1), (4)
6yJJ,eM HCKaTb 8 BHJJ,e pHJJ,a (17), TO Olla CBeJJ.eTCH K peweumo 3al\a'IH (12), (21), rJJ,e
e / 2 ~ S ~ I/ 2, e / 2 ~ Tl ~ I/ 2.
,llanee. u:cn0Jib3Y H pewe,me 3c'\D.a4'.1-1 fypca JJ.JIH ypam1ettu:H (12)
k I'- _ k I'- J ( 1 . I'- ) V\jlf,, v,.(..,, Tl) - <i>e,,(..,) - J R 2,111, ..,,, Tl ~ dT11 -
e/2 v•11
I;
- f <p~,,<s,> 0! R( S1, f; s, ri) cJri, ,
1/2 ':,)
(29)
3Malfy (12). (21) CBOAHM K yprumemno
k * 'J'2
k )'- a ( s 2 +s,c:12 ) )'-
1,, (S) = <i>e,.@ + ~ <i>e,.(..,,,) OS1 p µ S(S1 +e/2) c1..,,,, (30)
rD,e
!; I Tl +f,2 d k
f, k (I'-) 1 t (I'-) + J p [ "'> I ] 'JI 111 dT) .
" ':, = (II ':, µ I'-( I +n ) an I
e/2 ':, 2 'II 'II
O6paTHB (30), 6y,!J.eM HMeTb (14]
k . k f,-E/2 IJ/2 l '[ f,f+f,,e/2] k
<pe,.(SJ = f,. (S) + s + e/2 S1 Pµ f,(s1 + E/2) f,, (S1) df,1.
!;
(3 I)
TaKHM o6pa30M. pHA (17) .llBJrnercH pewe~meM 3aAalfH (1), (4). rne v~(r, t) , k =
= I, k11 • 11 = 0, I, ... , onpeAeJIHeTCH H3 (29), B Koropot:l: <p:11 (f,) uaxoD..lITCH H3 (31).
TipH 3T0M C y4'.eT0M rJIMKOCTH rpaHH'IHblX n.aHHblX. a TaK)Ke cpopMyJI (18) - (20)
tterpy.ntto noKa3aTb, lfT0 n0JIY'lemme pewem1e u e C(l5 e)()C2(De)-
Cnpa~~.UJIHBa c11e.ny10ll.la.ll 11et-1Ma.
JleMMa 2. flpu z ~ 1, µ ~ 3 <PYHK14uu P µ(z) u P~ (z) Jt011R10mcR oo3pacma
,ou~u.Mu U y008AClll80JJRIOn1 HCJ)Q8CHCnl8QJ.1
ISSN 0041 -6053 . YKp. Mam . xyp1<., 1993, m. 45. N• 9
1306 C. A. AJijlAWEB
CrrpaBe/lJlHBOCTb JieMMbl 2 Jiel' K 0 CJ1e1weT H3 mnerpaJibHhlX npeHCTaBJie1mtr
Q)YHKI.J;liH Jle)Kannpa H ee np01i3B0/lH0TT:
1 7( ~
Pµ(z) = - J (z + ✓z~-lcos cpl dcp,
7t 0
P~(z) = µPµ _1(z) + µ(µ4+l) j (z + ✓z 2 -lcos cpt-2 sin2cpd<p.
0
)la.nee, ecJm B03bMe!>1' cr1 (r, 0) = 0. 'tr(r, 0) = 'r~ (r) Y,~,,, (8), TO p ewe,me 3aAa'-IH (1) ,
8 -k - k --(4) M0)KH0 HCKan, B BUL(e u(r, , t) = v,, (r) Y,,_,., (8), k = 1. k,.. 11 = 0, l , . . . . Ton~a
cnpase,u1mB0CTb ouenKH (7) IIJrn Ka)Knoro II c .11enyeT H3 tpopMyJI1,1 (31) c y<JeT0M
JieMMbl 2.
TaKli1'1 o6pa30M, nepna>1 •iaCT b TeopeMhl 4 H0K33aHa; BT0pa.>1 lJ3CTI, 1WKa3h!BaeTC51
aHaJIOrli'Hl0.
CJieAyer 3aMeTHTb, lJT0 npH f, ➔ 0 TeopeMa 3 cormtcyeTC51 C pe3yJJbTaTaMM
reopeMhl l, jlJI.>I Teope).f 2 H 4 T3K)Ke c rrpaueJ~JIHB am1JI0rHl.J.l·lhl0 cpaKT.
B [15] /l0Ka:XlH0 cyw.eCTB0BclHHe KJiaCCHlJeCKHX pewe,rnrl. 3a/lalJH 2 npH m = 2 ,
y /WBJieTD0pRI0W.HX yCJIOBH51M er(H HCTBeJIH0CTH. HeTpy /lH0 3UMeTHTh, '-ITO 3TH yc
JI0BH>I e/llfHCTBCHH0CTH BblIT0JIIUHOTC.sl, B l.J.3CTII0CTH, H {lJl.>I 1·pa1rn'-!I-Ib!X Il.fillHblX Te0-
peMbl 2.
3a.Me'lauue. OrMeTI-IM, '-ITO B H0Ka3aHllhlX TeopeMax npHHaLVIe)KJI0CTb 3a)laJ-I
llblX cpyHKqHR K yKa.JaHHbIM KJiaccaM cymecrnemia . ITpu 1-1apyweHim 3THX YCJI013Htl
B [6] noKa3aH0, lJT0 ecJm £ = 0, TO 3a{lal.J.a 1 M0)KeT HMeTb 6ec•rnc11e1moe MH0)KeCT-
130 pewem-1rl., a /lJI.sJ :kVJ.a'IH 2 ur 11 111 np11 r ➔ 0 HMeI0T oco6em1ocT1, nop>1L{Ka ,-- 2 ,
a B c1iy•me £ > 0 pernen11e .JaWl '-1 1, 2 M0)KeT ue cyw.ecTBonari,.
I. Prolter M. H New boundary va lue problems for the wave eq uation and equat ions of mixed type//
J. Rath. Mech . and Anal. - 1954. - 3, N" 4. - P. 435-446.
2. Wand Guand Wind. The Goursat problems in space// Sci . Rec. New scr. - 1957. - l , N" 5. -
P. 7-10.
3 . Mux,11111 C. T. l'vlH01 ·m1epm,e c11m-y11.Hpm,1e 1111Terpai1L111,1e ypaB11eHH.H . - M.: (])u3~1:nT113, 1962. -
254 C.
--1- . A.1oaweo C. A. 0 11eK0Top1,1x Kpacm,1 x 3a11a'-lax 1111.11 ~1Hor0Mcp11oro no,1110Boro ypan11e 11 1-1.11 //
/lOK,1 . AH CCCP. - 1982. - 265, N° 6. - c. 1289-1292.
5. Tong Kwand Chang. On a lxrnndary value problem for the wave equation// Sci. Rec. New ser. -
1957. - I , N2 5. - P. 1- 2.
6. A ,1oa111eo C. A . KpaeB1,1e '.k'lila'-11-1 rvrn M11oro~1epm,x 1·m1cp(x>J1H'-!eCKHX ypa1111e 11H l-1 11 ypan11em1l-1
c~1e1u a11uo1--o -runa: /lHc .. . . 11-pa ,p113AtaT. 11ayK. - K11es, 1990. - 188 c.
7. Xe Kall '-lep . 0 HCC/lHHCTBCIIIIOCTl1 pc1uc1rnll HCKor op1,1x Kpaenux 3a/l a'-I 11 .1 1.11 BUpO)KLlaKllllHXC.11
ypaBHetmtl // )loKJJ. All CCCP. - 1983. - 272, N° 5. - C. 1066-1068.
8. A.1oa111eo C. A. 0 11eKOTopux 110KaJ1LllhlX H 11e110KanLmn Kpaen1,1x 3a;ia•rnx Ll'1.II no111101,or:o
ypaBHCHIUl // }J,11ct)(pcpc111). y paBHCIIH.11. - 1983. - 19. 1'2 1. - C. 3-8.
9. Popiva1101• N. /. , Schneider M. The Darboux-problem in R3 for a Class of Degenerated Hyperbolic
Equation// )loKJJ. Eo;w AKa11emn1 11ayK. - I 988. - 41 , N° 11. - C. 7-9.
10. Ewiao3e A . B. Ypan11c1111.H orn111a1moronma. - M.: H3/l-BO AH CCCP, 1959. - 164 c .
1 I. Copso11 E . T . On the Rie mann-Green functi on // J . Rath. Mech. and Anal. - 1958. - J. -
P. 324-348.
12. CaMk·o C. r .. Ku ,16ac A. A ., Mapu•,eo 0. 1-f. l-f11Tcr·pa111,1 1-1 11po1-130011111,1c npo611on> 11op.llHKa H Hc
KOTopue HX np1111o)Kc11>1.11. -M>1 11cK: llay Ka H Texm1Ka, 19R7 . - 688 c.
13. Eei111l.M((/l r. , 3poeilu A. BhlCllll-lC rpa!ICUCll!lt'-ITl'I-ILIC lPYIIKIWH'. B 3-x T. - M .: H ayKa, 1973. - T. I.
- 294 c .
14 . Jlu B. 0 Ht:KOTOp1,1x npoc-rpaHCTDCIUIIJX 3ULla'-!ax nma f y pca: J111cc . . Ka 1w . ,t>H3.-MaT. 11ayK. -
Am1a-A1a, 1969. - 81 c.
15. Xe Km, '-lep. 3a;1a'-IH )lap6y - npoTrcpa /lJl.11 ;m r 1cp 11010 BOJIIIOllOfO ypaBIIC III-I.>!. - Bm1m1BOCTOK,
1990. - 25 c. - \ ITpe 11pmrr / JlBO All CCCP. HnMJ.
noJ1y<1e110 23. Ill . 91
ISSN 004/-6053 . .Y,;p. ,wm. ;,cy1m., !993 . 111. ,/5. N" 9
0113
0114
0115
0116
0117
0118
0119
0120
|