Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами
Побудовано аналог мартингала Маккіна для гіллястих процесів з неперервним фазовим простором.
Збережено в:
| Дата: | 1993 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164608 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системам / Р.Г. Сафарян // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1315–1319. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164608 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1646082020-02-11T01:27:44Z Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами Сафарян, Р.Г. Короткі повідомлення Побудовано аналог мартингала Маккіна для гіллястих процесів з неперервним фазовим простором. An analog of the McKean martingale is constructed for branching processes with a continuous phase space. 1993 Article Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системам / Р.Г. Сафарян // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1315–1319. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164608 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Сафарян, Р.Г. Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами Український математичний журнал |
| description |
Побудовано аналог мартингала Маккіна для гіллястих процесів з неперервним фазовим простором. |
| format |
Article |
| author |
Сафарян, Р.Г. |
| author_facet |
Сафарян, Р.Г. |
| author_sort |
Сафарян, Р.Г. |
| title |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами |
| title_short |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами |
| title_full |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами |
| title_fullStr |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами |
| title_full_unstemmed |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системами |
| title_sort |
мартингал маккина, связанный с однородными r−d-системами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1993 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164608 |
| citation_txt |
Мартингал Маккина, связанный с однородными R−D-системам / Р.Г. Сафарян // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1315–1319. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT safarânrg martingalmakkinasvâzannyjsodnorodnymirdsistemami |
| first_indexed |
2025-07-14T17:13:46Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:13:46Z |
| _version_ |
1837643309664698368 |
| fulltext |
Y,UK519.21
P. r. Ca<t,apJ1H, KaHn .. q>H3. -MaT. HayK (EpeBaH. nea. HH-T)
MAPTUHr AJI MAKKIIHA, CBH3AHHLIII
C O,UHOPO,UHhIMU R-D-CUCTEMAMU
T he analog of the McKean martingale is constructed for branching processes with a continuous phase
space.
nooynoBaHO am1.11or MaPTHHra.na MaKKiHa llJUI ri.nJI.RCTHX npmieciB 3 HenepepBHHM q>a30BHM npoc
TOpoM.
CorJiaCHO TepMHHOJIOrHH, npHHJITOi:t B.,Pa6ornx [1. 2], non; R-D-CHCTeMOi:t nOHHMa
eTCJI HeJIHHei:tHoe n;0qx:pepeHQH8JlbH<>eypaeHeHHe
u, e J.9 , t ~ 0, Uo(X) = g(x),
(1)
(2)
rn;e L - HHq>HHHTe3HM8JlbHbli:t (CHJibHbIA) onepaTop OAHOPOAHOrO MapKOBCKOro
npoQecCa X1 CO 3Ha"leHHJIMH B q>a30BOM npoCTpaHCTBe (£, e ); J.9 - OOJiaCTb Onpe
n;eJieHHJI onepaTopa L (npen;noJiaraeTCJI, "!TO MHO)KeCTBO J.9 n JIOTHO B TOnOJIOrHH
nOTO"!e"IHOi:t orpaHH"leHHOA CXOAHMOCTH B 6attaXOBOM npocTPaHCTBe .B ecex orpa
HH"leHHblX e - H3MepHMblX q>yHKQHi:t C paBHOMepHOA HOpMOA
Il g II ::: sup lg(x)I, g E .B);
xeE
a f(;t, u) KaK cpyHKQHJI OT u HMeeT BHA
HJIH
00
f(x, u) = c L Pk(uk - u),
k=O
c = c(x) ~ 0, Pk = Pk(x) ~ 0, L Pk = 1,
k=O
f~. u) = au - ~u2 + f (1 - e-uv - uv)A(dv),
0
a = a(x), ~ = ~(x) ~ 0,
00
A (dv) A(x, dv) ~ 0, J (v2 I\ v)A (dv) < oo.
0
(3)
(4)
C cpyHKQHeA f BHAa (4) y paBHeHHe ( I) pacCMaTpHBaJIOCb e pa6cne [I], a cf BHAa (3)
-B [2] . .
R-D-CHCTeMy (1) 6yn;eM Ha3bIBaTb OAHOPOAHOA (TO"!Hee, O1vmpon;1rnA no
npocTpaHCTBy), ecJIH f(x, u) He 3<1.BHCHT OT XE £,
f(x, 11) = /(u), (5)
a x, - npou;ecc C He3aBHCHMblMH npHpa [J.lemp!MH co 3Ha"leHHJIMH B JIHHeAHOM
npocTpancTee E.
3AeCb Mb! paCCMOTPHM CJiy"lait, KOl"A8 £ = R1 - BeUleCTBeHIIUJI np51M8JI, e = fl
- 6opeJieBCKaJI cr-anre6pa,
© P. r . CA<I>APRH, 1993
ISSN 0041-6053. YKp. ~,am . JKJP" ·· /993. 111. 45, N" 9 1315
1316 P. r. CA<l>APRH
Lu(x) = au'(x) + bu"(x) + J [u(x + y)- u(x) - yu'(x)] IT (dy). (6)
b ~ O. IT(dy) ~ O. IT{O} = 0, J y2IT(dy) < 00
Eo11ee Toro. OTHOCHTeJibHO Mepbl IT npe,[1,nOJIO)l(HM BbinOJIHeHHbIM ABYCTOpOI-IHee
yCJIOBHe KpaMepa: Hatt,[l,yTC.ll 'IHCJia s- ::;; 0 s si-. s- < s+. nurne. 'ITO
00
J (1 A l)esy ITtfy) < 00 (7)
npH s- < s < s+.
B Ka'leCTBe MHO)l(eCTBa f:J paCCMOTpHM MHO)l(eCTBO ,[l,Ba)l(,[l,bl HenpepbIBHO
,[l,Hq:>cpepeHQHpyeMhIX q:>yHKQHtt, HC'le3a!OLQHX Ha ± 00 BMeCTe co CBOHMH nepBblMH
ABYM.ll npOH3B0,[l,HblMH (CM. no noMY llOBOAY 3aMe'laHHe 2 B [ 1 ]). ITpH 3TOM
TPHBHaJibHO BbllIOJIHeHO yCJIOBHe (9) H3 [ 1 ].
KaK noKa3aHO B [2]. pewenHe ypamfeHH.ll (1), (2) c f BH,[l,a (3) H OS q S 1
npeACTaBHMO B BH,[l,e
V(I)
ui{:r) = lEx TI g(xk(t)),
k=l
rAe lEx-YCJIOBHoe cpeAHee npH yc110BHH X(O) = x; X1(t), X2(t), ... -ne3aBHCHMbie
KOllHH npoQecca X(t); V(t) - 'IHCJIO 'laCTHQ B BeTB.llLQeMC>I npoQecce, onpeAe
m1eMOM q:>yHKQHett f(u) BHAa (3) (CM., HanpHMep, [3]) H He :k'lBHCRLQeM OT nocJieAO
BaTeJibHOCTH Xit), k ~ 1.
EcJIH )Ket HMeeT BRA (4), TO perneHHe ypaBHeHH>I (1), (2) c g ~ 0 npeACTaBHMO
B BHAe (1)
(8)
rAe M ,(dy} - TaK Ha3blBaeMbltt BeTBHLQHitCH npoQecc Hp)l(HHbl C MHO)l(eCTBOM
THilOB E. PeweHHe (7) eAHHCTBeHHO B HeKOTOpoM KJiacce K . ll0Apo6uoe OnHcanHe
KOTOporo COAep)l(HTCH s [ 1 ].
MaKKHH B [ 4] OTMeTHJI ,llJIR Cny'laR
,no npH nI06oM s npo1~ecc
Lu = lu" 2 • f(u) = u2 - u,
v(1) 2
':t _ -1 ~ -sX,(1)-s 1/2
<11 1 - e L, e
k=I
(9)
06pa3yeT MapTHHraJI, H HCnOJib30BaJI 3TO o6cTO>!TeJibCTBO AJIH AOKa3aTeJibCTBa TeO
peM nma KonMoropoBa - ITeTpoBCKoro - ITHcKyttosa. Ero KOHCTPYKUH.ll TPHBH
aJibHO nepeHOCHTC>I c CHTyaQHH (9) Ha (3), (6). (7), a HMeHHO, MapTHiffaJIOM >IBJIHeT
cg cny'la8Hbltt npouecc
V(I)
":t --0.1 ~ sX,(1)-L(s)I
<11 1 = e L, e ,
·k=l
ISSN 0041 -6053 . YKp. Mam. xypn., 1993, m. 45, N" 9
MAPTHHrAJlMAKKHHA ... 1317
-
L(s) =as+b.?+ J (e' 11 -l-sy)TI(dy),
a= c [ L,~=O kPt - 1] (npeanonaraeTC.ll , 'ITO a< oo ).
UeJib HaCTOJl(Uett CTaTbH - ITOCTpDHTb ananorH'IHbitt MapTHHraJI t).JIJI R-D-CHC
TeMbl (1), (2), (4). HanoMHHM, 'ITO M i(dy) - npou;ecc lfp)KHHbl H3 (7), a - napa
MeTp H3 (4).
Teope1>1a 1. B yc11oeuJ1.X (4) - (7) npoijecc
-
~1 = e--0.1-L(s')I J Mr(dy)/11
npu s- < s < s+ 06pa3Jem M.apmuHW/1.
aoKa3Dllle/lbClll60. TIOKa)KeM CHalfaJia, 'ITO
(10)
(11)
tJ.JI.ll Bcex s E (s-, s+). C 3TOtt u;enb!O o6<>3Ha'IHM qepe3 T1 no.nyrpynny onepaTopos
B 6aHaxOBOM npocTpaHCTBe .B, OObl'IHblM o6pa30M DOp0)KtJ.eHHYIO MapKOBCKHM npo
u;eCCOM xi' T. e. T/g(x) = lExg(Xr), g E .B, XE R 1, H ITOKa)KeM, 'ITO
(12)
KaK y)Ke OTMelfaJIOCb, B (1] DOKa3aHO, 'ITO npaBaJI lfaCTb (8) JIBJI.lleTCJI et).HHCTBeH
HblM B K Jiacce K peweHHeM ypasneHHJI (1), (2). TaM )Ke noKa3aHo, 'ITO npaBa.ll
lfaCTb (8) ytJ.OBJieTBOp.sieT HeJmnettHOMY HHTerpaJibHOMY ypaBHeHHIO
I
U1 = T1g + J T1 - slf(us)]ds ,
0
(13)
B KOTOpoM Tr _ slf(us)] cneayeT ITOHHMaTb KaK pe3yJibTaT aettCTBHJI onepaTopa Tl_ s
Ha cpyHKQHIO /,(~) = /(u,(x)).
He orpaHH'IHBaJI OOIUHOCTH, 6yaeM C'IKraTb cpyHKQHIO g H3 (12) Heo-rpuu;aTeJib
HOtt. )lm1 'A.> 0 o6o3Ha'IHM
H 3aMeTHM, 'ITO
u~(.\:) = -logJExexp{-Al M1(dy)g(y)}
-
JEX J M1(dy)g(y) = lim {- u~(x).
t...J.O /1,
CornacHo (13) HMeeM
I
u";-(x) = AT1g(,x) + J T1 _slf(u~(x))](x)ds.
0
KpoMe Toro, s [l] ycTaHOBJieHO, 'ITO O :S Ur(,x) :S eaJTlg(x), H, CTaJIO 6b1Tb,
ISSN 0041-6053. YKp. Mam. JKyp11. , 1993, m. 45, N' 9
(14)
(15)
1318 P. r . CA<l>AP}IH
(16)
O6o3Ha'IHM JieBbie 'laCTH (12), (14) qepe3 v,(x). HepaseHCTBO (16), B 'IUCTHOCTH,
nOKU3bIBaeT, 'ITO u~(x) ~ 0 paBHOMepHO no XE R1, 0 ~ s ~ t J].J151 scex t > 0.
OTCIO.lla H H3 (4) BbITeKaeT, 'ITO f(u~(x)) I A~ av/x) TaK)Ke paBHOMepHO no
x e R 1, 0 ~ s ~ t .llJ151 scex t > 0. ITocne tJ.eJieHHa o6eHx 'IUCTett (14) Ha A H
nepexo.lla K npe.lle.rcy npH A J, 0 HaXO.llHM
I
v 1(x) = T1g(x) + a J T, _,v,(x)ds. (17)
0
Ho ypasHeHHe (17) HMeeT e.llHHCTBeHHOe paBHOMepno orpaHH'le1moe no XE R 1 H
JIOKaJihHO orpaHH'lenuoe no t ~ 0 pewenHe v,(x) = e01T,g(x). PasencTBO (12)
JJ.0KU3aHO.
11cnOJib3ya npetJ.eJibHbltt nepeXO.ll no MOHOTOHHbIM nocJieJJ,OBaTeJibHOCTaM cpyu-
KQHtt H3 13 , no.rcyqaeM, 'ITO (12) cnpaBeJJ,JIHBO JJ,JHI scex 1-1eOTpm.1;aTeJibHbIX .l3-H3Me
pHMblX q>yHKQHtt (npH 3TOM, pa3yMeeTC}I, .llJ151 o6eHx 'IUCTett (12) .llOITyCKaeTCR 31-Ia-
'leHHe + 00 ). Tenepb, 'ITOObl y6etJ.HTbC51 B cnpaBeJJ;JlHBOCTH (11 ), .llOCTUTO'IHO npose
pHTb KOHe'IHOCTb cpetJ.nero IExexp{sX,} npH_ s- < s < s+. Ho, KaK CJie.llyeT H3 q>op
MYJibI JlesH-XHH'IHHa H npu1-1u;Hna ananHTH'leCK0ro npo.ll()Jl)KeHH51, IEx exp{sX,} =
= e5xetL(I) .llJ151 TeX s, .llJ151 KOTOpbIX onpe.lleJieH CHMBOJI L(s) onepaTopa L BHJ).a (6),
T. e . .llJlH s- < s < s+. 3THM .llOKa3aHO He T0JibKO COOTHOUie1me (11), HO H
YCTaH0BJieHO paseHCTBO
00
JEX J M,(dy) esy = esxerA+L(s)I_ (18)
Tenepb H3 (18) JierKO BbITeKaeT YTBep)KtJ.eHHe TeOpeMbI. ,UettCTBHTeJibHO, nyCTb
noTOK cr-anre6p ~, nopo)KtJ.eH npou;eccoM Hp)KHHbI M,(dy). TaK KaK npou;ecc
M,(dy) - 0.llHOpo.llHbltt MapKOBCKHtt H BeTBal..l\HtlCH, TO
J).J151 BC ex X E RI H Tex HeOTpHu;aTeJibHbIX .l3-H3MepHMbIX q>yHKQHit g, JJ.J151
KOTOpbIX
00
JEX f M,(dy)g(y) < oo, V x e R1, ~ 0.
OTCIO.lla c y<leTOM (10), (18) npH r < s < s+ HMeeM
IE(~ I~)= e-a(t+u)-L(s)(t+u)IE [ooJ M (dy)esy 1~] =
s t+u I X t+u I
~
'ITO H TpeOOBaJIOCb .llOKa3aTb.
ISSN 0041-6053. YKp ~WIil. )/(Y/J"·· 1993, 111. 45, N9 9
M , ?THHrAJl MAKKHHA 1319
B 3aKJ11Ol{e1-me ycTaHOBHM ow-mpor.lHOCTb npouecca Hp)KHHbI M1(.) no npoc
TpaHcrny AJUl CHCTeM BHAa (1 ), (2), ( 4). (6).
TeopeMa 2. B ycAoouRx (4) , (5), (6) ycAO011oe pacnpeoe11em1e Mepbt M 1(dy)
11p11 ycAoouu X0 = x coonaoaem c yc11O0HblM pacnpeoe11e1me.M Mepbt M(dy •- x) npu
yc11oouu X0 = 0.
/(OKll3ll l1le.AbC11l60. )locTaTOl{HO nOKa3aTb, l{TO
(19)
I
AJUI BCex x E R • g E J.9, g ~ 0.
3aq:rnKCHpyeM x0 E R 1 H o6o3ttal{HM 111 (x) = ui(x + x0), g (x) = g(x + x0). rAe
g E J.9 , g ~ 0, u1(t) onpeAeJ1etto no (8).
KaK noKa3a.t lO B [l] , cpyHKUIUI ll1(t) yn,oB.JiernopjjeT ypaBHe11111O (1), (2), a H3 (5)
cnen,yeT, l{TO If cpyHKUHR iii (.r) yn,OBJJeTBOpjjeT ypaB11e1-1111O (1) C Hal{aJlbHbIM
ycJ1O1meM 110 (x) = g (x). Cne11.0BaTeJ1b110 [I) ,
no11arM 3D,eCb X = o. nOJTyl{ aeM ( 19) C Xo BMeCTO X. TeopeMa AOKa3atta.
B Kal{eCTBe 1-1enocp etKTBe1 111o r o CJieD,CTBlrn TeopeMbl 2 OTMeTHM CJ1en,y1oll(ee
YTBep)K t.ler-m e.
TeopeMa 3. n _vcrllb ll1(X) - pe11te1-1L1e 3GOG'lll (1 ). (2) (3 )'C/IO0ll JIX (4) - (7) C
g(x) = e5X, r < s < s+. T02oa
2oe
U1(t - Cf),
c = aJs + L(s)ls.
/(oKa3ame.;1bC11wo. Cor11ac110 (8) , ( 19). (2 l) HMeeM
11 1(r+ cl) = - log lEx + ctexp{- l M1(cly)c''Y} =
l{TO u /~OK,l3bmaer (20).
(20)
(21)
l-h1e 11110 3TO y ruep>Kn,e1111 e (nep11ee. ero AHCKpen11,1H a 11a.J 101·) u c no.111,3ona.11
MaKKHII B 14J.
I. C,u/){IJ'fllt P . r . R- D CIIC I e>IIJ II lll'Tl\l!ll Ull'Cl! 11po11ccc 1,1 llp}K Hlll,I // YKp. "", . }K y p11 . - I ')'II . -
43, '<0 2. - C. 162 - 167.
2. C{J(pap11// P. r . Be I n >11 11m·c>1 11 11, ) ><1>Y3H011111,1 e 11prn1cn: 1,1 H c 1-1 c 1crn,1 1tml><l>c pc111u1a.r 11,111-,1 x y pa n-
11rn11f.l pcaKlllUl-/llHl">< l>YJll>I // Mar. c6. - 1987. - 134. l\04. - C. 530 - 545.
J. Ce,i<ir1111,11//oo E . A . Be rBH1111 1ccl! 11po 1tt·cc 1,1 . - M .: I l ayK a , 197 1. - -B6 c.
4 . M ,K ca,1 I I . P. i\pplicalion n f Brown ian Mo tion lo the Equati on of Ko lmognrnv- 1'-:trovskii - l'i sku
nov // Commun, Pun: and i\ppl. ll'IJ tlt . - 1'17.'i . - 28. - l' .323 - :n I.
ISSN 0041 -6053 . .Yhp. ·""111 . A-.\ '/!i t . • /911.i . 111 . ./5 . !\''' 'i
0129
0130
0131
0132
0133
|