Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве
На основі узагальнення відомої леми Шмідта на випадок лінійних обмежених n- і d-нормальних операторів у банаховому просторі запропоновано конструкції узагальнено-обернених операторів. Отримано критерії розв'язності та формули для зображення розв'язків лінійних рівнянь з такими операторами....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164654 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 167–182. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164654 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1646542020-02-11T01:26:06Z Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве Журавлев, В.Ф. Статті На основі узагальнення відомої леми Шмідта на випадок лінійних обмежених n- і d-нормальних операторів у банаховому просторі запропоновано конструкції узагальнено-обернених операторів. Отримано критерії розв'язності та формули для зображення розв'язків лінійних рівнянь з такими операторами. On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of n-normal and d-normal linear bounded operators in a Banach space, we propose constructions of generalized inverse operators. We obtain criteria for the solvability of linear equations with these operators and formulas for the representation of solutions of these equations. 2010 Article Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 167–182. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164654 517.983 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Журавлев, В.Ф. Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве Український математичний журнал |
| description |
На основі узагальнення відомої леми Шмідта на випадок лінійних обмежених n- і d-нормальних операторів у банаховому просторі запропоновано конструкції узагальнено-обернених операторів. Отримано критерії розв'язності та формули для зображення розв'язків лінійних рівнянь з такими операторами. |
| format |
Article |
| author |
Журавлев, В.Ф. |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. |
| author_sort |
Журавлев, В.Ф. |
| title |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| title_short |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| title_fullStr |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| title_sort |
критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164654 |
| citation_txt |
Критерий разрешимости и представление решений линейных n(d)-нормальных операторных уравнений в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 167–182. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf kriterijrazrešimostiipredstavlenierešenijlinejnyhndnormalʹnyhoperatornyhuravnenijvbanahovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-14T17:15:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:15:54Z |
| _version_ |
1837643443758694400 |
| fulltext |
УДК 517.983
В. Ф. Журавлев (Житомир. нац. агроэкол. ун-т)
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
n (d)-НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
On the basis of generalizing of the well-known Schmidt lemma to the case of linear bounded n- and d-normal
operators in the Banach space, we suggest constructions of generally inverse operators. We also obtain criteria
of the solvability and formulas for the representation of linear equations with these operators.
На основi узагальнення вiдомої леми Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених n- i d-нормальних опера-
торiв у банаховому просторi запропоновано конструкцiї узагальнено-обернених операторiв. Отримано
критерiї розв’язностi та формули для зображення розв’язкiв лiнiйних рiвнянь з такими операторами.
Исследование разрешимости и построение решений краевых задач для счетных
систем дифференциальных уравнений [1], когда число краевых условий конечно
или наоборот, когда число уравнений конечно, а число краевых условий бесконеч-
но, приводит к необходимости построения обобщенных обратных операторов к n-
или d-нормальным [2].
Наиболее полно изучен и широко применяется способ обобщенного обращения
нормально разрешимых операторов, являющихся фредгольмовыми (с ненулевыми
ядрами) — так называемая конструкция Шмидта [3] и ее аналог для нетеровых
операторов [4].
В данной работе доказаны леммы, обобщающие лемму Шмидта [5] на случай
нормально разрешимых операторов, являющихся n- или d-нормальными, предло-
жены конструкции обобщенно-обратных к ним операторов, а также доказаны те-
оремы о разрешимости и представлении решений линейных уравнений с такими
операторами в банаховых пространствах.
Постановка задачи. Рассмотрим вопрос об условиях существования и постро-
ении решений уравнения
Lx = y (1)
в предположении, что L — линейный ограниченный нормально разрешимый n-
или d-нормальный оператор, действущий из банахова пространства B1 в банахово
пространство B2, L : B1 → B2. Если L : B1 → B2 — линейный ограниченный
n-нормальный оператор, то будем предполагать, что его образ дополняем [6] в
пространстве B2, т. е.
B2 = Y ⊕R(L), (2)
а если L : B1 → B2 — линейный ограниченный d — нормальный оператор, то его
ядро N(L) дополняемо в пространстве B1, т. е.
B1 = N(L)⊕X. (3)
Обозначим через dimN(L) = µ и dimN(L∗) = ν размерности нуль-прост-
ранств оператора L и ему сопряженного L∗ соответственно. По классификации
С. Г. Крейна [7], если µ конечно, а ν — бесконечность, то L — n-нормальный
оператор, а если, наоборот, µ — бесконечность, а ν конечно, то L — d-нормальный.
c© В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 167
168 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Ставится задача о построении ограниченного обобщенно-обратного операто-
ра L− к оператору L, условиях разрешимости и представлении решений урав-
нения (1).
Вспомогательные утверждения. Проведем рассуждения сначала для n-нор-
мальных операторов. Пусть {fi}µ
i=1 ⊂ N(L), fi = col(f (1)
i , f
(2)
i , f
(3)
i , . . .) — ба-
зис подпространства N(L), который существует вследствие его конечномерности
(µ <∞). Пусть пространство B2 имеет базис. Пространство B∗2 также имеет базис
как пространство, сопряженное к пространству B2 [8, с. 131]. Следовательно, под-
пространство N∗(L) ⊂ B∗2 имеет полную систему базисных элементов (функцио-
налов) {ϕs(·)}∞s=1 ⊂ N∗(L), ϕs(·) = col
(
ϕ
(1)
s (·), ϕ(2)
s (·), ϕ(3)
s (·), . . .
)
. Для элемен-
тов {fi}µ
i=1 и функционалов {ϕs(·)}∞s=1 существуют сопряженно биортогональные
[9] система функционалов
{
γj(·)
}µ
j=1
⊂ B∗1, γj(·) = col
(
γ
(1)
j (·), γ(2)
j (·), γ(3)
j (·), . . .
)
и полная система элементов {ψk}∞k=1 ⊂ B2, ψk = col
(
ψ
(1)
k , ψ
(2)
k , ψ
(3)
k , . . .
)
.
Функционалы
{
γj(·)
}µ
j=1
и
{
ϕs(·)
}∞
s=1
, определенные на подпространствах
N(L) ⊂ B1 и Y ⊂ B2 (по теореме Хана – Банаха), могут быть продолжены, с
сохранением норм, на пространства B1 и B2 соответственно.
Обозначим через
X = (f1, f2, . . . , fµ),
Γ(·) =
(
γ1(·), γ2(·), . . . , γµ(·)
)T
,
Φ(·) =
(
ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕk(·), . . .
)T
,
Ψ =
(
ψ1, ψ2, . . . , ψk, . . .
)
(4)
соответственно (∞×µ)-, (µ×∞)-, (∞×∞)- и (∞×∞)-мерные матрицы, причем
Γ(X) = Eµ, Φ(Ψ) = E∞, Eµ, E∞ — единичные матрицы.
Учитывая обозначения (4), оператор проектированияPN(L) : B1 → N(L) строим
по формуле
PN(L)(·) = XΓ(·), PN(L) : B1 → B1. (5)
Для построения оператора проектирования PY : B2 → B2 рассмотрим после-
довательность проекторов
PY (j)(·) = ΨjΦj(·) (6)
пространства B2 на подпространства Yj ⊂ Y, натянутые на элементы {ψk}j
k=1.
Лемма 1. Последовательность (6) проекторов PY (j) сильно (поточечно) схо-
дится к проектору
PY (·) = ΨΦ(·) = lim
j→∞
ΨjΦj(·), PY : B2 → Y, (7)
где Y ⊂ B2 — бесконечномерное пространство, натянутое на полную систему
элементов {ψs}∞s=1.
Доказательство. По определению сильной сходимости по норме пространства
B2, с учетом определения матриц Φ и Ψ, для y ∈ Y ⊂ B2 имеем
‖PY y − PYj
y‖ =
∥∥∥∥∥∥
∞∑
ξ=1
ϕξ(y)ψξ −
j∑
ξ=1
ϕξ(y)ψξ
∥∥∥∥∥∥ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 169
=
∥∥∥∥∥∥
∞∑
ξ=j+1
ϕξ(y)ψξ
∥∥∥∥∥∥ ≤
∞∑
ξ=j+1
‖ϕξ(y)ψξ‖.
Величина
∑∞
ξ=j+1
‖ϕξ(y)ψξ‖ стремится к нулю при j → ∞ как остаток сходя-
щегося по норме ряда
∑∞
ξ=1
ϕξ(y)ψξ разложения элемента y ∈ Y по системе
элементов {ψξ}∞ξ=1. А так как функционалы {ϕj}∞j=1 продолжаемы с сохранением
нормы на все пространство B2, то
∑∞
ξ=j+1
∥∥ϕξ(y)ψξ
∥∥→ 0 при j →∞ для любого
y ∈ B2.
Операторы PN(L) и PY являются проекторами, т. е. удовлетворяют их опреде-
ляющим условиям P2
N(L) = PN(L), P2
Y = PY . Эти проекторы ограничены. Огра-
ниченность проектора PN(L) следует из его конечномерности, а проектора PY —
из дополняемости образа R(L) оператора L [10].
Проекторы PN(L) и PY разбивают пространства B1 и B2 в прямые топологи-
ческие суммы замкнутых подпространств:
B1 = R(PN(L))⊕N(PN(L)), B2 = R(PY )⊕N(PY ),
где N(PN(L)) = X, R(PN(L)) = N(L), R(PY ) = Y, N(PY ) = R(L).
Построим изоморфизм между подпространствами N(L) и Y1 ⊂ Y. Составим из
µ строк и столбцов матриц Φ и Ψ соответственно матрицы:
Φ(·) = (ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕµ(·))T ,
Ψ =
(
ψ1, ψ2, . . . , ψµ
)
.
(8)
Матрица Ψ составлена из системы элементов
{
ψk
}µ
k=1
⊂ {ψk}ν
k=1, на которую
натянуто подпространство Y1, а матрица Φ — из функционалов
{
ϕs(·)
}µ
s=1
⊂
⊂
{
ϕs(·)
}∞
s=1
, которые удовлетворяют соотношению ϕs
(
ψk
)
= δsk, s, k = 1, 2, . . .
. . . , µ.
Введем в рассмотрение операторы
PY1(·) = ΨΓ(·), (·) ∈ B1,
PN(L)(·) = XΦ(·), (·) ∈ B2.
(9)
Оператор PY1 является расширением на пространство B1 оператора, который
осуществляет изоморфизм N(L) на Y1, а PN(L) — оператор, являющийся расши-
рением оператора, обратного изоморфному, на все пространство B2.
Использовав обозначения (8), проектирующий оператор PY1 : B1 → Y1 ⊂ Y
определим по формуле
PY1(·) = Ψ Φ(·). (10)
Этот проектор разбивает подпространство Y в прямую топологическую сумму
подпространств
Y = Y1 ⊕ Y2, (11)
где Y2 = PY2B2 = (PY − PY1)B2 и является ограниченным.
Для класса нормально разрешимых операторов, являющихся n-нормальными,
докажем утверждение, аналогичное лемме Шмидта.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
170 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Лемма 2. Пусть L : B1 → B2 — линейный ограниченный n-нормальный опе-
ратор. Оператор L = L+ PY1 имеет ограниченный левый обратный
L
−1
l =
(
L+ PY1
)−1
l
.
Общий вид обратных слева операторов L
−1
l0 дается формулой
L
−1
l = L
−1
l0
(
IB2 − PY2
)
.
Доказательство. Пусть L — n-нормальный оператор. Для обратимости слева
оператора L необходимо и достаточно, чтобы [11]:
1) N(L) = {0};
2) линейное многообразие R(L) являлось подпространством, имеющим пря-
мое дополнение в B2.
1. Предположим, что существует x0 6= 0, x0 ∈ B1, такое, что
(L+ PY1)x0 = Lx0 + ΨΓ(x0) = 0.
Очевидно, что Lx0 ∈ R(L), а из определения оператора PY1 следует, что
PY1x0 ∈ Y1 ⊂ Y. Но подпространства R(L) и Y взаимно дополняют одно другое
до всего пространства B2, значит, R(L)
⋂
Y = {0}, т. е. они имеют только один
общий элемент – нулевой. Следовательно, Lx0 = 0 и PY1x0 = 0. Из этого следует,
что x0 ∈ N(L) и x0 ∈ N(PY1) ⊂ X. Но подпространства N(L) и X также взаим-
но дополняют одно другое до пространства B1, следовательно, N(L)
⋂
X = {0}.
Отсюда следует, что x0 = 0. Таким образом, N(L) = {0}.
2. Дополняемость образа R(L) в пространстве B2 следует из (11) и дополняе-
мости подпространства R(L)(2):
B2 = R(L)⊕ Y1 ⊕ Y2 = R(L)⊕ Y2.
Следовательно, оператор L имеет левый обратный оператор. Оператор L осу-
ществляет взаимно однозначное соответствие банахова пространства B1 на под-
пространство B2 Y2, значит, по теореме Банаха [12] оператор L
−1
l ограничен.
Известно [11], что левые обратные операторы в общем виде записываются так:
L
−1
l0 = L
−1
l PR(L), где PR(L) — некоторый проектор на образ R(L) оператора L.
Как следует из (11), такое свойство имеет, например, оператор IB2 − PY2 , т. е.
R(IB2 − PY2) = R
(
L
)
. Итак, общее представление левых обратных операторов
можно записать в виде
L
−1
l0 = L
−1
l (IB2 − PY2).
Лемма 2 доказана.
Замечание 1. Если dim kerL < dim kerL∗ < ∞, т. е. оператор L нетеров
отрицательного индекса, то лемма 2 переходит в лемму 2.4 [4, с. 47].
Замечание 2. Если dim kerL = dim kerL∗ = n < ∞, т. е. оператор L фред-
гольмов ненулевого индекса, то лемма 2 переходит в лемму Шмидта [3, с. 340].
Установим некоторые свойства и соотношения левого обратного оператора L
−1
l0
проекторов (5), (7) и операторов (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 171
Лемма 3. Оператор L
−1
l0 удовлетворяет соотношениям
a1) PN(L)L
−1
l0 = PN(L), a2) LL
−1
l0 = IB2 − PY ,
a3) L
−1
l0 PY = PN(L), a4) L
−1
l0 L = IB1 − PN(L),
(12)
где IB1 , IB2 — тождественные операторы в пространствах B1 и B2 соответ-
ственно.
Доказательство. Из определения левого обратного оператора L
−1
l0 следует,
что если он существует, то [11]
L L
−1
l0 = IB2 − PY2 ,
L
−1
l0 L = IB1 .
Так как
PN(L)L = 0, PN(L)PY1 = PN(L),
действуя справа оператором L на обе части равенства a1) из (12), получаем тожде-
ство
PN(L) = PN(L)IB1 = PN(L)L
−1
l0 L ≡
≡ PN(L)(L+ PY1)=PN(L)L+ PN(L)PY1 =PN(L),
доказывающее это соотношение.
Поскольку PY PY1 = PY1 и PY (Lx) = 0, так как Lx ∈ R(L), действуя на обе
части равенства a2) из (12) оператором L+ PY1 справа, устанавливаем тождество,
доказывающее это соотношение:
L = LIB1 = LL
−1
l0 L ≡ (IB2 − PY )(L+ PY1) =
= L+ PY1 − PY L− PY PY1 = L+ PY1 − PY1 = L.
Далее, так как P2
Y = PY и LPN(L) = 0, действуя слева оператором L на обе части
равенства a3) из (12) и используя равенство a2), получаем тождество
0 = (IB2 − PY )PY = LL
−1
l0 PY ≡ LPN(L) = 0,
которое доказывает равенство a3) из (12).
Действуя оператором L
−1
l0 справа на обе части равенства a4) и используя равен-
ства a1) – a3) из (12), находим тождество, доказывающее это соотношение:
L
−1
l0 − PN(L) = L
−1
l0 IB2 − L
−1
l0 PY = L
−1
l0 LL
−1
l0 ≡
≡ (IB1 − PN(L))L
−1
l0 = IB1L
−1
l0 − PN(L)L
−1
l0 = L
−1
l0 − PN(L).
Лемма 3 доказана.
Пусть теперь L : B1 → B2 — линейный ограниченный d-нормальный опера-
тор. В этом случае подпространство N(L) бесконечномерно (µ = ∞), а подпро-
странство N(L∗) конечномерно (ν < ∞). Пусть пространство B1 имеет базис.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
172 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Следовательно, и N(L) также имеет базис. Пусть {fi}∞i=1 ⊂ N(L) — полная сис-
тема базисных элементов. Подпространство N(L∗) имеет конечномерный базис
{ϕs}ν
s=1 ⊂ N(L∗). Для элементов {fi}∞i=1 и функционалов {ϕs}ν
s=1 существуют
сопряженно биортогональные [9] система функционалов {γj}∞j=1 ⊂ N∗(L) ⊂ B∗1
и полная система элементов {ψk}ν
k=1 ⊂ B2. Каждый из функционалов {γj}∞j=1 и
{ϕs}ν
s=1, определенных на подпространствах N(L) ⊂ B1 и Y ⊂ B2 (по теореме
Хана – Банаха), может быть продолжен, с сохранением норм, на пространства B1
и B2 соответственно.
Аналогично (3) обозначим через
X = (f1, f2, . . . , fs, . . .),
Γ(·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γs(·), . . .)T ,
Φ(·) =
(
ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕν(·)
)T
и
Ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψν)
соответственно (∞×∞)-, (∞×∞)-, (ν×∞)- и (∞×ν)-мерные матрицы, причем
Γ(X) = E∞, Φ(Ψ) = Eν , E∞, Eν — единичные матрицы.
Для построения оператора проектирования PN(L) : B1 → N(L) определим по-
следовательность проекторов
PN(i)(L)(·) = XiΓi(·), i = 1, 2, 3, . . . , (13)
пространства B1 на подпространства Ni(L) нуль-пространства N(L).
Лемма 4. Последовательность (13) проекторов PN(i)(L) сильно (поточечно)
сходится к проектору
PN(L)(·) = XΓ(·) = lim
i→∞
XiΓi(·), PN(L) : B1 → N(L). (14)
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1.
Оператор проектирования PY : B2 → Y пространства B2 на подпространство
Y определим по формуле
PY (·) = ΨΦ(·). (15)
Рассмотрим матрицы
X = (f1, f2, . . . , fν),
Γ(·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γν(·))T .
(16)
Матрица X размерности ∞× ν составлена из ν произвольных столбцов мат-
рицы X, а матрица Γ(·) размерности ν × ∞ — из функционалов матрицы Γ(·),
которые удовлетворяют соотношению Γ(X) = Eν , где Eν — единичная матрица.
Введем в рассмотрение операторы
PY (·) = Ψ Γ(·), (·) ∈ B1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 173
PN1(L)(·) = X Φ(·), (·) ∈ B2.
Оператор PY : B1 → Y является расширением на все пространство B1 опера-
тора, осуществляющего изоморфизм N(L) → Y, а оператор PN1(L) : B2 → N1(L)
— расширением ему обратного на пространство B2.
Использовав обозначения (16), проектирующий операторPN1(L) : B1 → N1(L) ⊂
⊂ N(L) определим по формуле
PN1(L)(·) = X Γ(·).
Этот оператор ограничен и разбивает подпространство N(L) в прямую топологи-
ческую сумму подпространств
N(L) = N1(L)⊕N2(L), N2(L) = PN2(L)B1, (17)
где PN2(L) = PN(L) − PN1(L) — ограниченный проектор.
Для класса нормально разрешимых операторов, являющихся d-нормальными,
докажем утверждение, аналогичное лемме Шмидта.
Лемма 5. Пусть L : B1 → B2 — линейный ограниченный d-нормальный опе-
ратор. Оператор L = L+ PY имеет ограниченный правый обратный
L
−1
r = (L+ PY )−1
r .
Общий вид обратных справа операторов L
−1
r0
дается формулой
L
−1
r0
= (IB1 − PN2(L))L
−1
r .
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2 и поэтому
здесь не приводится.
Замечание 3. Если dim kerL∗ < dim kerL < ∞, т. е. оператор L нетеров
положительного индекса, то лемма 5 переходит в лемму 2.4 [4, с. 47].
Для правого обратного оператора L
−1
r0
справедлива лемма, аналогичная лем-
ме 3, которую приведем без доказательства.
Лемма 6. Оператор L
−1
r0
удовлетворяет соотношениям
a1) PN(L)L
−1
r0
= PN1(L), a2) LL
−1
r0
= IB2 − PY ,
a3) L
−1
r0
PY = PN1(L), a4) L
−1
r0
L = IB1 − PN(L),
(18)
где IB1 , IB2 — тождественные операторы в пространствах соответственно B1
и B2.
Доказанные леммы позволяют предложить конструкции обобщенных обратных
операторов к n- и d- нормальным.
Теперь сформулируем основной результат этой статьи.
Теорема 1. Пусть L — линейный ограниченный n-нормальный оператор,
образ R(L) которого дополняем в банаховом пространстве B2. Тогда оператор
L− = L
−1
l0 − PN(L) (19)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
174 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Для доказательства теоремы необходимо и достаточно проверить, что L−
удовлетворяет свойствам, определяющим обобщенный обратный оператор [13]
L− = L−LL−, L = LL−L. (20)
Для этого предварительно покажем, что
LL− = IB2 − PY , L−L = IB1 − PN(L). (21)
Используя равенство a2) из (12) и представление (19), имеем
LL− = L(L
−1
l0 − PN(L)) = LL
−1
l0 − LPN(L) = IB2 − PY .
Используя соотношение
PN(L)(Lz) = 0
и равенство a4) из (12), получаем
L−L = (L
−1
l0 − PN(L))L = L
−1
l0 L− PN(L) L = IB1 − PN(L).
С учетом (11) проверим выполнение свойств (20). Имеем
LL−L = L(IB1 − PN(L)) = L− LPN(L) = L,
L−LL− = (IB1 − PN(L))L− = L− − PN(L)L
− = L−,
так как PN(L)L
− = PN(L)L
−1
l0 − PN(L)PN(L) = PN(L) − PN(L) = 0. Ограничен-
ность оператора L− следует из ограниченности операторов L
−1
l0 и PN(L).
Теорема доказана.
Замечание 4. Если обобщенно-обратимый оператор L имеет конечномерные
ядро и коядро, т. е. является нетеровым, то конструкция (19) переходит в конструк-
цию 2.14 из [4, c. 53].
Использовав лемму 5, сформулируем теорему, дающую конструкцию обоб-
щенно-обратного оператора к d-нормальному.
Теорема 2. Пусть L— линейный ограниченный d-нормальный оператор, ядро
N(L) которого дополняемо в банаховом пространстве B1. Тогда оператор
L− = L
−1
r0
− PN1(L) (22)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
Доказательство осуществляется проверкой свойств (20), определяющих обоб-
щенно-обратный оператор и аналогично доказательству теоремы 1.
Теоремы 1, 2 позволяют с помощью конструкций (19) и (22) решить вопрос
о записи в явном виде общего решения операторного уравнения (1) c линейным
ограниченным n- или d-нормальным оператором L. Общее решение уравнения
(1) представляет собой прямую сумму общего решения x̃, соответствующего (1),
однородного уравнения Lx = 0 и частного решения x̄ = L−y неоднородного
уравнения (1). Из определения проектора на нуль-пространство N(L) оператора L
следует, что общее решение однородного уравнения можно записать в виде
x̃ = PN(L)x̂,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 175
где x̃ ∈ N(L) ⊂ B1, а x̂ – произвольный элемент пространства B1.
Поскольку линейное операторное уравнение (1) является нормально разреши-
мым, то для его разрешимости [12] необходимо и достаточно выполнения условия
PN(L∗)y = 0, (23)
где PN(L∗) — проектор на нуль-пространство оператора L∗. Выполнение усло-
вия (23) гарантирует принадлежность y образу R(L) оператора L. Поскольку
R(L) = N(PY ), (23) эквивалентно условию
PY y = 0.
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть L — линейный ограниченный n-нормальный оператор,
образ R(L) которого дополняем в банаховом пространстве B2. Операторное
уравнение (1) с линейным ограниченным n-нормальным оператором разрешимо
для тех и только тех y ∈ B2, для которых выполнено условие
PY y = 0, (24)
и при этом имеет µ-параметрическое семейство решений, представимое в виде
прямой суммы
x = x̃+ x̄ = PN(L)x̂+ L− y, (25)
первое слагаемое которой — общее решение соответствующего однородного урав-
нения, а второе — частное решение операторного уравнения (1).
Доказательство. Подставив решение (25) в исходное уравнение (1), с учетом
первого соотношения (21) и (24) получим
Lx = LPN(L)x̂+ LL−y = LL−y = (IB2 − PY ) y =
= IB2y − PY y = IB2y = y.
Решение уравнения (1) с учетом определения (5) оператора PN(L) можно запи-
сать следующим образом:
x = PN(L)x̂+ L− y = XΓ(x̂) + L− y = Xc+ L− y,
где c = Γ(x̂) — произвольный постоянный вектор пространства Rµ.
Поскольку проектор PY бесконечномерный, линейное уравнение с n-нормаль-
ным оператором разрешимо тогда и только тогда, когда y ∈ B2 удовлетворяет
бесконечному числу линейно независимых условий.
Для линейных уравнений с d-нормальным оператором справедлива следующая
теорема.
Теорема 4. Пусть L— линейный ограниченный d-нормальный оператор, ядро
N(L) которого дополняемо в банаховом пространстве B1. Операторное уравне-
ние (1) с линейным ограниченным d-нормальным оператором разрешимо для тех
и только тех y ∈ B2, для которых выполнено условие (24), и при этом имеет
бесконечномерное семейство решений, представимое в виде прямой суммы
x = x̃+ x̄ = PN(L)x̂+ L− y, (26)
первое слагаемое которой — общее решение соответствующего однородного урав-
нения, а второе — частное решение операторного уравнения (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
176 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Решение уравнения (1) с учетом определения оператора PN(L) запишем следу-
ющим образом:
x = PN(L)x̂+ L− y = XΓ(x̂) + L− y = Xc+ L− y,
где c = Γ(x̂) — произвольный постоянный вектор некоторого банахова простран-
ства числовых последовательностей c = {c1, c2, c3, . . .} таких, что ряд
∑∞
i=1
fici
сходится.
Поскольку проектор PY конечномерный, линейное уравнение с d-нормальным
оператором разрешимо тогда и только тогда, когда y ∈ B2 удовлетворяет конечному
числу линейно независимых условий.
Пример. Найдем условия разрешимости и общий вид решения уравнения
Ax = y,
где (∞× n)-мерная матрица A имеет вид
A =
1
2
0
1
2
0 0 0
1
4
0
1
4
0 0 0
1
8
0
1
8
0 0 0
1
16
0
1
16
0 0 0
...
...
...
.
Очевидно, что элементы aij матрицы A удовлетворяют соотношению
∞∑
i=1
3∑
j=1
aij <∞,
поэтому A является линейным ограниченным оператором, отображающим R3 в
`2 [14].
Оператор A — простейший случай n-нормального оператора, действующего из
пространства R3 в пространство `2, так как N(L) имеет два линейно независимых
базисных вектора
f1 =
1
0
−1
, f2 =
0
1
0
,
а N(L∗) — бесконечное число линейно независимых базисных векторов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 177
ϕ1 =
−1
0
2
0
0
0
0
0
...
, ϕ2 =
0
1
0
0
0
0
0
0
...
, ϕ3 =
0
0
2
0
−4
0
0
0
...
,
ϕ4 =
0
0
0
1
0
0
0
0
...
, ϕ5 =
0
0
0
0
−4
0
8
0
...
, . . . .
Построим оператор, обобщенно-обратный к оператору A.
Матрицы X и Γ, составленные из базисных векторов fi и γj , будут иметь вид
X =
1 0
0 1
−1 0
, Γ =
1 0
0 1
0 0
T
, Γ(X) = E3.
Тогда оператор проектирования PN(A) : R3 → N(A) построим по формуле
PN(A) = XΓ =
1 0 0
0 1 0
−1 0 0
, PN(A) : R3 → R3. (27)
Матрицы Φ и Ψ, составленные из базисных векторов ϕs и ψk, будут иметь вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
178 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Φ =
−1 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
2 0 2 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 1 0 0 0 0 . . .
0 0 −4 0 −4 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 1 0 0 . . .
0 0 0 0 8 0 8 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T
,
Ψ =
−1 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 1 0 0 0 0 . . .
0 0 −1
4
0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 1 0 0 . . .
0 0
1
8
0
1
8
0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
, Φ(Ψ) = E∞.
Оператор проектирования PY : `2 → Y построим по формуле (7):
PY = ΨΦ =
1 0 −2 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 1 0 0 0 0 . . .
0 0 −1
2
0 1 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 1 0 0 . . .
0 0 −1
4
0 0 0 1 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
, PY : `2 → Y.
Поскольку размерность нуль-пространства N(A) оператора A равна двум, ма-
трицы (8) определим следующим образом:
Ψ =
(
−1 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
)T
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 179
Φ =
(
−1 0 2 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
)
.
Тогда операторы (9) примут вид
PY1 = ΨΓ =
−1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
...
...
...
,
PN(A) = X Φ =
−1 0 2 0 0 . . .
0 1 0 0 0 . . .
1 0 −2 0 0 . . .
.
Построим оператор A :
A = A+ PY1 =
1
2
0
1
2
0 0 0
1
4
0
1
4
0 0 0
1
8
0
1
8
0 0 0
1
16
0
1
16
0 0 0
...
...
...
+
−1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
...
...
...
=
−1
2
0
1
2
0 1 0
1
4
0
1
4
0 0 0
1
8
0
1
8
0 0 0
1
16
0
1
16
0 0 0
...
...
...
.
Левый обратный оператор A
−1
l к оператору A будет иметь вид
A
−1
l =
−1 0 2 0 1 0 −2 0 1 0 −2 . . .
0 1 0 1 −1 0 2 0 −1 0 2 . . .
1 0 2 0 −8 0 16 0 −32 0 64 . . .
.
Чтобы найти общий вид левых обратных операторов A
−1
l0 , построим проектор
I − PY2 . По формуле (10) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
180 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
PY1 = Ψ Φ =
−1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
...
...
(
−1 0 2 0 0 . . .
0 1 0 0 0 . . .
)
=
=
−1 0 2 0 0 . . .
0 1 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Тогда, поскольку PY2 = PY − PY1 ,
IB2 − PY2 = IB2 − PY + PY1 =
1 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 . . .
0 0 1 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
0 0
1
2
0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
0 0
1
4
0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
0 0
1
8
0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Общий вид левого обратного оператора относительно проектора PY2 в выбран-
ном базисе будет
A
−1
l0 = A
−1
l (IB2 − PY2) =
−1 0 2 0 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 0 . . .
1 0 2 0 0 0 0 0 0 . . .
.
По формуле (20) обобщенно-обратный оператор A− будет иметь вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ . . . 181
A− = A
−1
l0 − PN(A) =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 4 0 0 0 0 0 0 . . .
.
Тогда по теореме 4 уравнение (27) разрешимо для тех и только тех y ∈ `2,
которые удовлетворяют условию
PY y =
1 0 −2 0 0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 1 0 0 0 0 . . .
0 0 −1
2
0 1 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 1 0 0 . . .
0 0 −1
4
0 0 0 1 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
. . .
= 0.
Этому условию удовлетворяет, например, вектор вида
y = col
(
2y3, 0, y3, 0,
1
2
y3, 0,
1
4
y3, 0, . . .
)
.
При выполнении этого условия уравнение имеет двупараметрическое семейство
решений
x = PN(L)x̂+ L−y = XΓ(x̂) + L−y =
1 0 0
0 1 0
−1 0 0
c1
c2
c3
+
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 4 0 0 0 0 0 0 . . .
2y3
0
y3
0
1
2
y3
0
1
4
y3
0
...
=
c1
c2
−c1
+
0
0
4y3
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
182 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
1. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у бана-
хових просторах. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. – 495 с.
2. Бойчук А. А., Панасенко Є. В. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi
// Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 1. – С. 16 – 19.
3. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.: Наука,
1969. – 527 с.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы
краевые задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 320 с.
5. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflosungen der
nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. – 1908. – № 65.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
7. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
8. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высш. шк., 1982.
– 271 с.
9. Гринблюм М. М. Биортогональные системы в пространстве Банаха // Докл. АН СССР. – 1945. –
47, № 2. – С. 79 – 82.
10. Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи
мат. наук. – 1973. – 28, вып. 6. – С. 77 – 94.
11. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных опера-
торов. – Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
12. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
13. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems.
– Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
14. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967. – 415 с.
Получено 06.04.09,
после доработки — 27.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|