Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях
Введено клас кусково-гладких⁺ відображень, i для відображень цього класу доведено теорему про неявні функції. Доведення ґрунтується на теоремі про глобальний гомеоморфізм, що походить з відомої теореми A. В. Чернавського....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164668 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях / В.М. Миклюков // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 619–625. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164668 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1646682020-02-11T01:27:04Z Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях Миклюков, В.М. Статті Введено клас кусково-гладких⁺ відображень, i для відображень цього класу доведено теорему про неявні функції. Доведення ґрунтується на теоремі про глобальний гомеоморфізм, що походить з відомої теореми A. В. Чернавського. A class of piecewise smooth⁺ mappings is introduced and the implicit function theorem is proved for mappings from this class. The proof is based on the theorem on global homeomorphism dating back to the well-known Chernavskii theorem. 2008 Article Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях / В.М. Миклюков // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 619–625. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164668 517.51 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Миклюков, В.М. Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях Український математичний журнал |
| description |
Введено клас кусково-гладких⁺ відображень, i для відображень цього класу доведено теорему про неявні функції. Доведення ґрунтується на теоремі про глобальний гомеоморфізм, що походить з відомої теореми A. В. Чернавського. |
| format |
Article |
| author |
Миклюков, В.М. |
| author_facet |
Миклюков, В.М. |
| author_sort |
Миклюков, В.М. |
| title |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| title_short |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| title_full |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| title_fullStr |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| title_full_unstemmed |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| title_sort |
кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164668 |
| citation_txt |
Кусочно-гладкая⁺ версия теоремы о неявных функциях / В.М. Миклюков // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 619–625. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT miklûkovvm kusočnogladkaâversiâteoremyoneâvnyhfunkciâh |
| first_indexed |
2025-07-14T17:16:40Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:16:40Z |
| _version_ |
1837643492525867008 |
| fulltext |
UDK 517.51
V. M. Myklgkov (Volhohrad. un-t, Rossyq)
KUSOÇNO-HLADKAQ
+
VERSYQ TEOREMÁ
O NEQVNÁX FUNKCYQX
A class of piecewise smooth+ mappings is introduced and the implicit function theorem is proved for
mappings from this class. The proof is based on the theorem on global homeomorphism dating back to
the well-known Chernavskii theorem.
Vvedeno klas kuskovo-hladkyx
+ vidobraΩen\, i dlq vidobraΩen\ c\oho klasu dovedeno teoremu
pro neqvni funkci]. Dovedennq ©runtu[t\sq na teoremi pro hlobal\nyj homeomorfizm, wo
poxodyt\ z vidomo] teoremy A. V. Çernavs\koho.
Yzlahaem¥e v nastoqwej stat\e rezul\tat¥ svqzan¥ s vaΩn¥m podklassom
klassa nehladkyx otobraΩenyj — kusoçno-hladkymy otobraΩenyqmy. Rassmat-
ryvaetsq zadaça, voznykagwaq kak vaΩnejßaq sostavnaq çast\ obwej problem¥
poyska πffektyvn¥x metodov tryanhulqcyy oblastej v prostranstve R
n
, n ≥
≥ 2 (sm., naprymer, [1 – 3], hde yssledugtsq blyzkye vopros¥ s toçky zrenyq
prymenenyj v v¥çyslytel\n¥x alhorytmax). Pry yzloΩenyy budem sledovat\
rabote [4, s. 123 – 135]. Otnosytel\no obobwenyj teorem¥ o neqvn¥x funkcyqx
na nehladkyj sluçaj sm., naprymer, [5 – 8].
1. Kusoçno-hladkye
+
otobraΩenyq. V rabote opys¥vagtsq osnovn¥e svqzy
ukazannoj problem¥ s kusoçno-hladkymy otobraΩenyqmy y obsuΩdagtsq voz-
nykagwye pry πtom vopros¥. Zametym, çto oblast\ D n⊂ R odnoznaçno opre-
delena, esly zadan¥ ee hranyca ∂D y xotq b¥ odna vnutrennqq toçka. Sredy
vozmoΩn¥x sposobov zadanyq poverxnosty ∂D razlyçagt heometryçeskyj y
analytyçeskyj sposob¥. Analytyçeskyj sposob predpolahaet zadanye v qvnom
lybo v neqvnom vyde parametryçeskoho predstavlenyq (n – 1)-mernoj poverx-
nosty ∂D. V sluçae odnosvqznoj oblasty D πto parametryçeskoe predstavle-
nye moΩet osuwestvlqt\sq, naprymer, posredstvom otobraΩenyq ϕ: S → ∂D,
hde S — hranyca n-mernoho ßara lybo n-mernoho kuba v R
n
.
Otmetym, çto esly yzvestno homeomorfnoe otobraΩenye kuba (ßara) na ob-
last\, to, v¥polnqq skol\ uhodno melkye razbyenyq kuba (ßara), m¥ avtomaty-
çesky poluçaem y sootvetstvugwye razbyenyq oblasty.
Opyßem trebovanyq k kusoçno-hladkomu otobraΩenyg. PredpoloΩym, çto
odnomernaq kusoçno-hladkaq duha l v R
n
zadana v parametryçeskom vyde po-
sredstvom vektor-funkcyy
y f x= [ ]( ) : ,0 1 → Rn , n ≥ 1,
prynadleΩawej klassu C1
vsgdu na otrezke 0 1,[ ], za ysklgçenyem nekoto-
roho koneçnoho çysla osob¥x toçek
0 < a1 < a2 < … < aN < 1.
Toçky duhy, ne qvlqgwyesq osob¥my, naz¥vagtsq rehulqrn¥my.
V kaΩdoj yz osob¥x toçek a i , i = 1, 2, … , N, predpolahaetsq suwestvova-
nye koneçn¥x odnostoronnyx predelov
lim ( )
x ai
f x
→ ±
′
0
.
Pust\ D ⊂ R
2
— oblast\, hranyca kotoroj sostoyt yz koneçnoho çysla ku-
© V. M. MYKLGKOV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5 619
620 V. M. MYKLGKOV
soçno-hladkyx duh. Kusoçno-hladkoe+
otobraΩenye f : D n→ R , n ≥ 1, oprede-
lqem sledugwym obrazom. PredpoloΩym, çto oblast\ D razbyta na koneçnoe
çyslo odnosvqzn¥x (otkr¥t¥x) oblastej Ds, s = 1, … , N, systemoj kusoçno-
hladkyx Ωordanov¥x duh l1, … , lM . PredpoloΩym takΩe, çto v kaΩdoj yz ob-
lastej Dk otobraΩenye f prynadleΩyt klassu C1
y prodolΩymo po nepre-
r¥vnosty na zam¥kanyq D k
tak, çto f C∈ 1
vsgdu v zamknut¥x oblastqx D k
,
za ysklgçenyem opysann¥x v¥ße osob¥x toçek na hranyçn¥x duhax l1, … , lM .
Kusoçno-hladkye+
otobraΩenyq f : D � Rp → Rn
, hde p ≥ 3 y n ≥ 1, opre-
delqgtsq ynduktyvno.
Yzuçym snaçala dvumern¥j sluçaj. Pust\ f : D → R
2
— neprer¥vnoe otob-
raΩenye, prynadleΩawee klassu C1
na kaΩdoj yz podoblastej Ds, s = 1, …
… , N. Pust\ a li∈ — rehulqrnaq toçka, leΩawaq odnovremenno na hranycax
odnosvqzn¥x podoblastej Ds′ , Ds′′ , 1 ≤ ′s , ′′ ≤s N . Dlq kratkosty budem
oboznaçat\ πty podoblasty çerez D–
y D+
sootvetstvenno.
PredpoloΩym, çto kaΩdoe yz C1
-suΩenyj f D ± v toçke a moΩet b¥t\
prodolΩeno hladkym obrazom na podxodqwug okrestnost\ Ua
± � D πtoj toçky
do C1
-otobraΩenyq f ±
: Ua
± → R2
. Pust\ J a f( , )±
— yx qkobyan¥.
Naßej blyΩajßej cel\g qvlqetsq yzuçenye voprosa: moΩno ly s pomow\g
velyçyn J a f( , )±
ukazat\ pryznak lokal\noj homeomorfnosty (osnovnoho) ku-
soçno-hladkoho
+
otobraΩenyq f : D � R2 → R2
?
Ymeem
lim ,
( , )
r
B a r
r
J x f dx dx
→
±( )∫0 2 1 2
1
π
= J a f, ±( ) ,
hde B x r( , ) — kruh radyusa r > 0 s centrom v toçke x ∈R
2
.
Otsgda, oboznaçaq çerez E plowad\ mnoΩestva E � R2
, naxodym
lim
( , )
r
f B a r
r→
±( )
0 2π
= J a f, ±( ) .
Poskol\ku a li∈ — rehulqrnaq toçka, duha li ymeet v nej kasatel\nug, a
potomu
lim
( , )
r
aB a r U
r→
±
0 2
∩
π
= 1
2
.
Funkcyy f x±( ) ymegt v toçke a poln¥e dyfferencyal¥, t.Ge.
f x±( ) = f a±( ) + f a x a±( )′ ( )( – ) + ε( ) –x x a , (1)
hde ε( )x → 0 pry x → a.
Tak kak
det ( )f a±( )′ = J a f, ±( ) ,
kak netrudno vydet\,
lim
( , )
r
af B a r U
r→
± ±( )
0 2
∩
π
= 1
2
J a f, ±( ). (2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
KUSOÇNO-HLADKAQ
+
VERSYQ TEOREMÁ O NEQVNÁX FUNKCYQX 621
Ymeem
f B a r( , )( ) = f B a r U Ua a( , ) –∩ ∪+( )( ) = f B a r Ua( , ) ∩ +( ) ∪ f B a r Ua( , ) –∩( ) =
= f B a r Ua
+ +( )( , ) ∩ ∪ f B a r Ua
− +( )( , ) ∩ .
Tem sam¥m v sylu (2) pryxodym k sootnoßenyg
lim
( , )
r
f B a r
r→
( )
0 2π
= 1
2
J a f, +( ) + 1
2
J a f, –( ) .
V mnohomernom sluçae rassuΩdenyq praktyçesky ne menqgtsq y spravedly-
va sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ f : D � R
n → R
n
— k usoçno-hladkoe+
otobraΩenye,
a li∈ — rehulqrnaq toçka. Esly f qvlqetsq C1
-prodolΩym¥m na poluok-
restnosty Ua
±
tak, çto J x f, ±( ) > 0 v Ua
±
, to
lim
( , )
( , )r
n
n n
f B a r
r B→
( )
0 0 1
= 1
2
J a f, +( ) + 1
2
J a f, –( ) , (3)
hde B x rn( , ) — n-mern¥j ßar radyusa r > 0 s centrom v x.
PokaΩem, çto pry ukazann¥x predpoloΩenyqx uslovye
J a f, ±( ) > 0
vleçet lokal\nug homeomorfnost\ kusoçno-hladkoho+
otobraΩenyq f : D →
→ R2
v rehulqrnoj toçke a li∈ .
Poskol\ku otobraΩenyq f ±
sovpadagt vdol\ li v okrestnosty toçky a,
yz (1) sleduet suwestvovanye postoqnn¥x θ π∈[ ]0, , p ± ≥ 1 takyx, çto v ob-
lastqx Ua
±
otobraΩenyq mohut b¥t\ zapysan¥ v vyde
y1 = x1 cosθ + x2 sinθ + ε1
±( ) –x x a ,
(4)
y2 = p x x± +( )– sin cos1 2θ θ + ε2
±( ) –x x a ,
hde εi x±( ) → 0, i = 1, 2, pry x → a.
Esly okrestnost\ Ua toçky a dostatoçno mala y kaΩdoe yz C1
-otobraΩe-
nyj f ±
ymeet nenulevoj qkobyan v a, to moΩno sçytat\, çto suΩenyq f ±
na
Ua
±
homeomorfn¥. ∏to oznaçaet, çto lgbaq, dostatoçno blyzkaq k f a( ), toç-
ka y ∈ f Ua( ) moΩet ymet\ ne bolee odnoho proobraza v kaΩdoj yz poluokrest-
nostej Ua
±
. S druhoj storon¥, v sylu predstavlenyj (4) proobraz¥ takoj toçky
ne mohut leΩat\ v razn¥x Ua
±
. Otsgda sleduet, çto f vzaymno odnoznaçno v
okrestnosty toçky a li∈ .
RassuΩdenyq v sluçae n > 2 analohyçn¥ y, tem sam¥m, ymeet mesto sledug-
wee utverΩdenye.
Teorema 2. Pust\ f : D � R
n → R
n
— k usoçno-hladkoe+ otobraΩenye,
a li∈ — rehulqrnaq toçka. Esly f qvlqetsq C1
-prodolΩym¥m na polu-
okrestnosty Ua
±
tak, çto J x f, ±( ) > 0 v Ua
±
, t o f homeomorfno v
okrestnosty toçky a.
Zametym, çto uslovye C1
-prodolΩymosty f lokal\no çerez poverxnosty
li , i = 1, … , M, kak pravylo, v¥polnqetsq na praktyke avtomatyçesky. Otobra-
Ωenyq, ne ymegwye takyx svojstv, voobwe hovorq, qvlqgtsq matematyçeskymy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
622 V. M. MYKLGKOV
abstrakcyqmy y vstreçagtsq ysklgçytel\no redko.
Teoryq neodnolystn¥x otobraΩenyj s toçky zrenyq yx topolohyçeskoho
stroenyq k nastoqwemu vremeny ves\ma razvyta (sm., naprymer, [9 – 14] ).
2. Dve bazov¥e teorem¥. Nam potrebuetsq teorema o hlobal\nom homeo-
morfyzme, neposredstvenno v¥tekagwaq (sm. [4]) yz yzvestnoj teorem¥ Çernav-
skoho [10]. Pryvedem ee zdes\, predvarytel\no utoçnyv yspol\zuemug termyno-
lohyg. Ymenno, zamknutoj oblast\g U � R
n
naz¥vaetsq zamknutoe mno-
Ωestvo, ymegwee svqznug vnutrennost\ int U y sovpadagwee s zam¥kanyem
svoej vnutrennosty U = int U . Kompaktnaq oblast\ est\ ohranyçennaq zam-
knutaq oblast\.
Teorema 3. Pust\ f : D � R
n → R
n
— k usoçno-hladkoe+
otobraΩenye
kompaktnoj oblasty D � R
n
, ymegwee koneçnoe çyslo osob¥x toçek y polo-
Ωytel\n¥j qkobyan v kaΩdoj toçke hladkosty. PredpoloΩym, çto f pro-
dolΩymo do C1
-otobraΩenyj f ± : Ua
± → R
n
na poluokrestnosty Ua
±
rehu-
lqrn¥x toçek a D∈ tak, çto J x f( , )± > 0 v Ua
±
. Esly pry πtom v¥pol-
neno:
α) f D( )∂ ∩ f D(int ) = ∅,
β) f ( )Γ ∩ f D( \ )Γ = ∅, hde Γ — otkr¥taq porcyq hranyc¥,
pryçem
γ) f Γ — homeomorfyzm,
to f Dint qvlqetsq hlobal\n¥m homeomorfyzmom.
Zametym, çto alhorytm proverky vzaymnoj odnoznaçnosty kusoçno-hladko-
ho
+
otobraΩenyq (za ysklgçenyem proverky homeomorfnosty otobraΩenyq f
na hranyce Γ) vklgçaet lyß\ ßahy, svodqwyesq k v¥çyslenyg qkobyana v ob-
lasty D y na poverxnostqx li , çto svydetel\stvuet ob eho πffektyvnosty.
Nam potrebuetsq takΩe pryncyp soxranenyq oblasty dlq kusoçno-hladkyx
+
otobraΩenyj [4].
Teorema 4. Pust\ y = f x( ) : D � R
n → R
n
— kusoçno-hladkoe+
otobra-
Ωenye s poloΩytel\n¥m qkobyanom v toçkax hladkosty, ymegwee koneçnoe
çyslo osob¥x toçek. PredpoloΩym, çto f prodolΩymo do C1
-otobraΩenyj
f ± : Ua
± → Rn
na poluokrestnosty Ua
±
rehulqrn¥x toçek a tak, çto
J x f( , )± > 0 v Ua
±
.
Tohda dlq lgboj podoblasty U � D ee obraz f U( ) takΩe qvlqetsq ob-
last\g.
3. Osnovnaq teorema. Pust\ m, n ≥ 1 — cel¥e y U � R
n
, V � R
m
— oh-
ranyçenn¥e oblasty. Pust\ F x y( , ) — proyzvol\naq kusoçno-hladkaq
+
funk-
cyq v D = U × V. Esly ( , )x y — toçka, v kotoroj suwestvugt çastn¥e proyz-
vodn¥e
∂ ∂F xi/ , ∂ ∂F yi/ , i = 1, … , n, j = 1, … , m,
to pust\, kak y v¥ße, ′F x y( , ) — ee matryca Qkoby, ′F x yx( , ) — matryca Qkoby
po peremenn¥m x = (x1, … , xn) pry fyksyrovann¥x y = (y1, … , ym) y ′F x yy( , )
— matryca Qkoby otnosytel\no peremenn¥x y pry fyksyrovann¥x x.
Rassmotrym otobraΩenye Φ : D → Rn m+
, opredelqemoe kak
( , ) ( , )x y X YΦ → = x x F x y F x yn m1 1, , , ( , ), , ( , )… …( ) . (5)
TeoremaG3 o hlobal\nom homeomorfyzme vleçet sledugwug versyg teorem¥ o
neqvnoj funkcyy.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
KUSOÇNO-HLADKAQ
+
VERSYQ TEOREMÁ O NEQVNÁX FUNKCYQX 623
Teorema 5. Pust\ F x y( , ) — proyzvol\naq kusoçno-hladkaq+
v oblasty
D = U × V y neprer¥vnaq v D funkcyq, ymegwaq koneçnoe çyslo osob¥x to-
çek. PredpoloΩym, çto opredelytel\ det ( , )′F x yx poloΩytelen v toçkax
hladkosty F y F prodolΩyma do C1
-vektor-funkcyy F ±
: Ua
± → R
n
n a
poluokrestnosty Ua
±
rehulqrn¥x toçek a U∈ tak , çto det ( , )′F a yx > 0 v
Ua
±
pry lgbom y V∈ .
PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq Φ , opredelennaq ravenstvom (5),
udovletvorqet uslovyqm α), β), γ) teorem¥G3. Tohda vektor-funkcyq Φ :
D → Rn m+
osuwestvlqet hlobal\n¥j homeomorfyzm y dlq kaΩdoj toçky (x0,
y0) ∈ U × V najdutsq podoblast\ ′ ⊂U U y edynstvennoe kusoçno-hladkoe+
otobraΩenye
G x( ) : ′ ⊂U U → V, G x( )0 = y0,
takoe, çto
F x G x, ( )( ) = F x y0 0,( ) pry vsex x U∈ ′ .
Dokazatel\stvo. PreΩde vseho zametym, çto toçky hladkosty F sut\
toçky hladkosty Φ, a toçky rehulqrnosty F sut\ toçky rehulqrnosty Φ.
Pry πtom matryca Qkoby otobraΩenyq Φ ymeet vyd
′Φ ( , )x y =
I Z
F x y F x y
n m
n
x y′ ′
( , ) ( , )
,
hde In — edynyçnaq ( )n n× -matryca y Zm
n
— nulevaq ( )n m× -matryca.
V kaΩdoj toçke hladkosty ( , )x y ∈ D ymeem
det ( , )′Φ x y = det ( , )′F x yy . (6)
Vektor-funkcyq Φ udovletvorqet uslovyqm α), β), γ) teorem¥G3 y v soot-
vetstvyy s πtoj teoremoj osuwestvlqet hlobal\no homeomorfnoe otobraΩenye.
Poskol\ku otobraΩenye Φ qvlqetsq kusoçno-hladkym
+
y ymeet poloΩy-
tel\n¥j qkobyan vsgdu, za ysklgçenyem osob¥x toçek, obratnoe otobraΩenye
Φ–1
takΩe qvlqetsq kusoçno-hladkym
+
. Dokazatel\stvo praktyçesky sovpada-
et s dokazatel\stvom sootvetstvugweho utverΩdenyq v sluçae vektor-funkcyj
klassa C1
(sm., naprymer, [5], teoremuG4.7.1).
OtobraΩenye Φ b¥lo opredeleno takym obrazom, çto obratnoe k nemu otob-
raΩenye Φ–1
ymeet vyd
x = X y y = Θ( , )X Y .
Ymeem
( , )X Y = Φ Φ� – ( , )1 X Y = X F X X Y, ( , ( , ))Θ( )
y potomu
F X X Y( , ( , ))Θ = Y. (7)
Pereseçenye Π oblasty Φ( )D s ploskost\g
Y1 = F x y1 0 0( , ), … , Ym = F x ym( , )0 0
ymeet korazmernost\ m y soderΩyt toçku ( , )X Y0 0 = x F x y0 0 0, ( , )( ). Oboznaçym
çerez j ortohonal\nug proekcyg prostranstva R
n × Rm
na R
n
. Dlq lgboho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
624 V. M. MYKLGKOV
mnoΩestva A � Rn × Rm
ymeem
j A( ) =
∪
y
n
m x x y A∈ ∈ ∈{ }
R
R : ( , ) .
V sylu opredelenyq vektor-funkcyy Φ moΩem zapysat\
j AΦ( )′( ) = Φ j A( )′( ) ∀ ′ ⊂A D ,
j AΦ– ( )1 ′′( ) = Φ– ( )1 j A′′( ) ∀ ′′ ⊂A DΦ( ).
Uravnenye komponent¥ svqznosty poverxnosty Φ Π–1( ), soderΩawej toçku
( , )x y0 0 , moΩet b¥t\ perepysano v neparametryçeskom vyde. Ymenno, pust\
( , )X Y = ( , ( , ))x x YΘ 0 , x j B∈ ′( )Φ– ( )1
.
Vvedem oboznaçenye G x( ) = Θ( , )x Y0 . Yspol\zuq sootnoßenye (7), naxodym
F x G x, ( )( ) = Y0 = F x y( , )0 0
y
G x( )0 = Θ( , )x Y0 0 = Θ( , )X Y0 0 = y0.
Edynstvennost\ otobraΩenyq G v¥tekaet yz vzaymnoj odnoznaçnosty otob-
raΩenyq (5). Dejstvytel\no, predpoloΩym, çto
( , ), ( , )x y x y D1 2 ∈ y F x y( , )1 = F x y( , )2 .
Tohda Φ( , )x y1 = Φ( , )x y2 . Takym obrazom, y1 = y2.
Teorema dokazana.
4. Prymer¥. Pryvedem dva prymera, poqsnqgwyx vozmoΩnosty dlq otob-
raΩenyj vyda (5) udovletvorqt\ uslovyqm α), β) y γ ).
Prymer 1. Pust\ U = ( , )′ ′′a a � R1
, U = ( , )′ ′′b b � R
1
y F x y( , ) — proyz-
vol\naq kusoçno-hladkaq
+
v prqmouhol\nyke D = U × V y neprer¥vnaq v D
funkcyq, ymegwaq koneçnoe çyslo osob¥x toçek. PredpoloΩym, çto proyz-
vodnaq ′F x yx( , ) poloΩytel\na v toçkax hladkosty F y F prodolΩyma do C1
-
funkcyy F ±
: Ua
±
→ R
1
na poluokrestnosty Ua
±
rehulqrn¥x toçek a U∈
tak, çto ′F a yx( , ) > 0 v Ua
±
pry lgbom y V∈ .
PredpoloΩym, çto
F a y( , )′ 1 ≠ F a y( , )′ 2 pry vsex y1 ≠ y2 (8)
y pry vsex x a a∈ ′ ′′( , ), y b b∈ ′ ′′( , ) v¥polneno
min ( , ), ( , )F x b F x b′ ′′{ } < F x y( , ) < max ( , ), ( , )F x b F x b′ ′′{ }. (9)
Oboznaçym çerez Γ otrezok ′ ′′[ ]b b, na storone x = ′a prqmouhol\nyka D .
V sylu (8) otobraΩenye Φ udovletvorqet uslovyg γ ).
Trebovanye β) na otobraΩenye Φ v¥polnqetsq avtomatyçesky v sylu spe-
cyal\noho eho vyda Φ = x F x y, ( , )( ).
V sylu (6) y teorem¥G4 otobraΩenye Φ ymeet svojstva, opys¥vaem¥e pryn-
cypom soxranenyq oblasty. Tem sam¥m dlq v¥polnenyq uslovyq α) dostatoç-
no v¥polnenyq (9).
Prymer 2. Pust\ U � Rn
y V � R
m
— ohranyçenn¥e oblasty, F x y( , ) —
proyzvol\naq kusoçno-hladkaq
+
v oblasty D = U × V y neprer¥vnaq v D funk-
cyq, ymegwaq koneçnoe çyslo osob¥x toçek. PredpoloΩym, çto opredelytel\
det ( , )′F x yx poloΩytelen v toçkax hladkosty F y F prodolΩyma do C 1
-
vektor-funkcyy F ±
: Ua
±
→ R
n
na poluokrestnosty Ua
±
rehulqrn¥x toçek
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
KUSOÇNO-HLADKAQ
+
VERSYQ TEOREMÁ O NEQVNÁX FUNKCYQX 625
a U∈ tak, çto det ( , )′F a yx > 0 v Ua
±
pry lgbom y V∈ .
V¥berem v kaçestve Γ oblast\ V v ploskosty
x1 = … = xn = 0.
PredpoloΩym, çto
F y( , )0 ′ ≠ F y( , )0 ′′ pry ′ ≠ ′′y y
y pry lgbom x U∈ otobraΩenye F x y( , ) : V → R
m
preobrazuet hranycu ∂V v
hranycu ∂F x V( , ) .
Dann¥e trebovanyq vlekut v¥polnenye uslovyjGα) y γ ). Uslovye β) v¥pol-
nqetsq avtomatyçesky v sylu specyal\noho vyda vektor-funkcyy Φ.
1. Bob¥lev N. A., Yvanenko S. A., Ysmaylov Y. H. Neskol\ko zameçanyj o homeomorfn¥x otob-
raΩenyqx // Mat. zametky. – 1996. – 60, v¥p. 4. – S. 593 – 596.
2. Bob¥lev N. A., Yvanenko S. A., Kazunyn A. V. O kusoçno-hladkyx homeomorfn¥x otobraΩe-
nyqx ohranyçenn¥x oblastej y yx pryloΩenyqx k teoryy setok // Ûurn. v¥çyslyt. matema-
tyky y mat. fyzyky. – 2003. – 43, # 6. – S. 808 – 817.
3. Proxorova M. F. Nekotor¥e kryteryy homeomorfnosty // Alhebra y topolohyq: Tr.
XXXVIII mol. ßk.-konf. – Ekaterynburh, 2007. – S. 65 – 69.
4. Myklgkov V. M. ∏ffektyvn¥e metod¥ proverky vzaymnoj odnoznaçnosty kusoçno-hladko-
ho otobraΩenyq // Zap. sem. „Sverxmedlenn¥e process¥”. – Volhohrad: Yzd-vo Volhohrad.
un-ta, 2007. – V¥p. 2. – S. 123 – 135.
5. Kartan A. Dyfferencyal\noe ysçyslenye. Dyfferencyal\n¥e form¥. – M.: Myr, 1971.
–G392 s.
6. Ûuravlev Y. V., Yhumnov A. G. O neqvn¥x funkcyqx // Tr. kaf. mat. analyza y teoryy
funkcyj Volhohrad. un-ta. – Volhohrad: Yzd-vo Volhohrad. un-ta, 2002. – S. 41 – 46.
7. Krantz S. G., Parks H. R. The implicit function theorem. History, theory, and applications. – New
York: Springer, 2002.
8. Myklgkov V. M. Heometryçeskyj analyz. Dyfferencyal\n¥e form¥, poçty-reßenyq, poç-
ty kvazykonformn¥e otobraΩenyq. – Volhohrad: Yzd-vo Volhohrad. un-ta, 2007. – 532 s.
9. Çernavskyj A. V. O koneçnokratn¥x otkr¥t¥x otobraΩenyqx mnohoobrazyj // Mat. sb. –
1964. – 65, # 3. – S. 352 – 393.
10. Çernavskyj A. V. Dopolnenye k stat\e „O koneçnokratn¥x otkr¥t¥x otobraΩenyqx mnoho-
obrazyj” // Tam Ωe. – 1965. – 66, # 3. – S. 471 – 472.
11. Kudrqvcev L. D. O varyacyy otobraΩenyj oblastej // Metryçeskye vopros¥ teoryy funk-
cyj y otobraΩenyj. – 1969. – V¥p. 1. – S. 34 – 108.
12. Troxymçuk G. G. Ob otkr¥t¥x nul\mern¥x otobraΩenyqx mnohoobrazyj // Tam Ωe. –
S.G209 – 221.
13. Troxymçuk G. G., Bondar\ A. V. O lokal\noj stepeny nul\mernoho otobraΩenyq // Tam Ωe.
– S. 221 – 241.
14. Zelynskyj G. B. O neprer¥vn¥x otobraΩenyqx oblastej obobwenn¥x mnohoobrazyj // Tam
Ωe. – 1973. – V¥p. 4. – S. 79 – 91.
Poluçeno 29.01.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
|