Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса C^ψβ,∞ бигармоническими операторами Пуассона в равномерной метрике.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164673 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці / Ю.I. Харкевич, Т.В. Жигалло // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 669–693. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164673 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1646732020-02-11T01:25:45Z Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці Харкевич, Ю.I. Жигалло, Т.В. Статті Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса C^ψβ,∞ бигармоническими операторами Пуассона в равномерной метрике. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class Cˆψ β,∞ by the Poisson biharmonic operators in the uniform metric. 2008 Article Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці / Ю.I. Харкевич, Т.В. Жигалло // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 669–693. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164673 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Харкевич, Ю.I. Жигалло, Т.В. Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці Український математичний журнал |
| description |
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса C^ψβ,∞ бигармоническими операторами Пуассона в равномерной метрике. |
| format |
Article |
| author |
Харкевич, Ю.I. Жигалло, Т.В. |
| author_facet |
Харкевич, Ю.I. Жигалло, Т.В. |
| author_sort |
Харкевич, Ю.I. |
| title |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці |
| title_short |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці |
| title_full |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці |
| title_fullStr |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці |
| title_full_unstemmed |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці |
| title_sort |
наближення функцій із класу c^ψβ,∞ бігармонічними операторами пуассона в рівномірній метриці |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164673 |
| citation_txt |
Наближення функцій із класу C^ψβ,∞ бігармонічними операторами Пуассона в рівномірній метриці / Ю.I. Харкевич, Т.В. Жигалло // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 669–693. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT harkevičûi nabližennâfunkcíjízklasucpsbbígarmoníčnimioperatoramipuassonavrívnomírníjmetricí AT žigallotv nabližennâfunkcíjízklasucpsbbígarmoníčnimioperatoramipuassonavrívnomírníjmetricí |
| first_indexed |
2025-07-14T17:16:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:16:55Z |
| _version_ |
1837643508279672832 |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. I. Харкевич, Т. В. Жигалло (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψ
β,∞
БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ПУАССОНА
В РIВНОМIРНIЙ МЕТРИЦI*
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class Ĉψβ,∞ by
the Poisson biharmonic operators in the uniform metric.
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса Ĉψβ,∞
бигармоническими операторами Пуассона в равномерной метрике.
Нехай L̂1 — множина функцiй ϕ, заданих на всiй дiйснiй осi R iз скiнченною нор-
мою ‖ϕ‖1̂ = sup
a∈R
∫ a+2π
a
|ϕ(t)|dt, L̂∞ — множина вимiрних i суттєво обмежених на
всiй осi функцiй iз скiнченною нормою ‖ϕ‖∞̂ = ess sup
t∈R
|ϕ(t)|. Через Ĉ познача-
ють множину неперервних, заданих на дiйснiй осi функцiй iз скiнченною нормою
‖f‖Ĉ = sup
x∈R
∣∣f(x)
∣∣.
О. I. Степанцем (див., наприклад, [1, 2]) означено класи L̂ψβN функцiй, заданих
на всiй дiйснiй осi таким чином. Нехай β, що належить R, i неперервна при всiх
v ≥ 0 функцiя ψ(v) такi, що перетворення
ψ̂(t) =
1
π
∞∫
0
ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
є сумовним на всiй числовiй осi. Через L̂ψβ позначають множину функцiй f(x) ∈
∈ L̂1, якi майже для всiх x ∈ R можна подати у виглядi
f(x) = A0 +
∞∫
−∞
ϕ(x+ t)
1
π
∞∫
0
ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt, (1)
де A0 — деяка стала, ϕ ∈ L̂1, β ∈ R, а iнтеграл слiд розумiти як границю iнтегралiв
по симетричних промiжках, що розширюються.
Якщо f ∈ L̂ψβ i при цьому ϕ ∈ N, N ⊂ L̂1, то вважають, що f ∈ L̂ψβN. Ĉψβ
(Ĉψβ N) — пiдмножина неперервних функцiй iз L̂ψβ (L̂ψβN),
Ĉψβ,∞ =
{
f ∈ Ĉψβ : ‖ϕ‖∞̂ ≤ 1
}
.
Функцiю ϕ(·) iз (1) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f(·) (див., наприклад, [3,
c. 170]) i позначають fψβ (·).
Через M позначають (див. [4, c. 93] або [5, с. 159]) множину додатних непе-
рервних опуклих донизу функцiй ψ(v), v ≥ 1, для яких lim
v→∞
ψ(v)= 0. Iз множини
M видiляють пiдмножини M0 та MC (див., наприклад, [5, с. 160]):
*Виконано за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (про-
ект 25.1/043).
c©Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5 669
670 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
M0 =
{
ψ ∈ M : 0 <
t
η(t)− t
≤ K ∀t ≥ 1
}
i
MC =
{
ψ ∈ M : 0 < K1 ≤
t
η(t)− t
≤ K2 ∀t ≥ 1
}
,
де
η(t) = η(ψ, t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
,
а ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ. Тут i далi через K, Ki будемо позначати
сталi, взагалi кажучи, не однi i тi ж самi в рiзних спiввiдношеннях.
Кожну функцiю ψ ∈ M продовжимо на промiжок [0, 1) таким чином, щоб:
1) отримана функцiя (яку, як i ранiше, будемо позначати через ψ(v)) була не-
перервною при всiх v ≥ 0, ψ(0) = 0;
2) похiдна ψ′(v) = ψ′(v+0) мала обмежену варiацiю на промiжку [0,∞) i ψ(v)
мала неперервну другу похiдну на [0,∞) скрiзь, за винятком точки v = 1;
3) ψ(v) була зростаючою та опуклою донизу на [0, 1].
Множину таких функцiй позначимо через A. Пiдмножину функцiй ψ ∈ A, для яких∫ ∞
1
ψ(t)
t
dt <∞, позначимо через A′,
AC =
{
ψ(v) ∈ A : ψ ∈ MC , v ∈ [1,∞)
}
.
Нехай Λ =
{
λσ
( v
σ
)}
— сукупнiсть неперервних функцiй при всiх v ≥ 0, залеж-
них вiд дiйсного параметра σ. Кожнiй функцiї f ∈ L̂ψβ поставимо у вiдповiднiсть
вираз вигляду
Uσ(f ;x; Λ) = A0 +
∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
1
π
∞∫
0
ψ(v)λσ
( v
σ
)
cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt,
де ψ(v) — неперервна при всiх v ≥ 0 функцiя, β ∈ R. У випадку, коли λσ(v) =
=
[
1 +
vσ
2
(
1− e−
2
σ
)]
e−v, σ ∈ (0,∞), функцiїUσ(f ;x; Λ) будемо позначати через
Bσ(f ;x) :
Bσ(f ;x) = A0 +
∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
1
π
∞∫
0
ψ(v)×
×
[
1 +
v
2
(
1− e−
2
σ
)]
e−
v
σ cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt. (2)
Оператор Bσ, σ ∈ (0,∞), що дiє на функцiю f за правилом (2), будемо називати
бiгармонiчним оператором Пуассона. Повторюючи мiркування, використанi при
доведеннi твердження 1.1 роботи [3, с. 169], неважко переконатися в тому, що за
умови перiодичностi функцiй f оператор Bσ є вiдомим бiгармонiчним iнтегралом
Пуассона (див., наприклад, [6]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 671
У данiй роботi вивчається асимптотична поведiнка величини
E
(
Ĉψβ,∞, Bσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
‖f(x)−Bσ(f, x)‖Ĉ (3)
при σ →∞, довiльному дiйсному β i ψ ∈ A.
Дослiдження, пов’язанi з вивченням структурних та апроксимативних власти-
востей класiв L̂ψβN, розпочатi О. I. Степанцем [1, 2] та продовженi його учнями.
Зокрема, асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень функцiй iз класiв Ĉψβ,∞
та L̂ψβ,1 рiзноманiтними лiнiйними операторами отримано у роботах М. Г. Дзiмi-
старiшвiлi [7 – 9], В. I. Рукасова, С. О. Чайченка [10, 11], О. В. Островської [12],
Л. А. Репети [13], О. I. Степанця та I. В. Соколенка [14], I. В. Кальчук [15] та iн.
Зазначимо, що дана робота є продовженням дослiджень авторiв [16]. Тут, зокре-
ма, розглянуто випадок, коли функцiя ψ(v), що задає клас Ĉψβ,∞, спадає до нуля
при v → ∞ швидше за функцiю
1
v2
, яка визначає порядок насичення лiнiйного
методу наближення, породженого оператором Bσ.
Покладемо
τ(v) = τσ(v;ψ) =
(
1− [1 + γv] e−v
) ψ(σv)
ψ(σ)
, (4)
де функцiя ψ ∈ A є визначеною i неперервною при всiх v ≥ 0,
γ = γσ =
σ
2
(
1− e−
2
σ
)
.
Враховуючи спiввiдношення (4), iз (1) та (2) отримуємо
f(x)−Bσ (f ;x) = ψ(σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
τ̂β(t)dt. (5)
Тут τ̂β(t) — перетворення функцiї τ(v) вигляду τ̂β(t) =
1
π
∫ ∞
0
τ(v) cos
(
vt +
+
βπ
2
)
dv.
Подамо функцiю τ (v) у виглядi τ(v) = ϕ(v) + µ(v), де
ϕ(v) =
(
v2
2
+
v
σ
)
ψ(σv)
ψ(σ)
, v ≥ 0, (6)
µ(v) =
(
1− [1 + γσv] e−v −
v2
2
− v
σ
)
ψ(σv)
ψ(σ)
, v ≥ 0, (7)
причому на промiжку
[
0,
1
σ
]
функцiя ψ(σv) є опуклою донизу, зростаючою i
ψ(0) = 0.
Далi через f1(x) та f2(x) позначимо такi функцiї:
f1(x) =
1
π
+∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
∞∫
0
vψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
672 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
f2(x) =
1
π
+∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
∞∫
0
v2ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt, (9)
де функцiя ψ(v) визначена та неперервна на промiжку [0,∞), β ∈ R. Має мiсце
таке твердження.
Теорема 1. Якщо ψ ∈ AC , функцiя g(v) = v2ψ(v) опукла донизу при v ∈
∈ [b,∞), b ≥ 1, i
∞∫
1
g(v)
v
dv <∞, (10)
то при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
=
1
σ2
sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥f1(x) +
f2(x)
2
∥∥∥∥
Ĉ
+
+O
1
σ3
σ∫
1
t2ψ(t)dt+
1
σ2
∞∫
σ
tψ(t)dt
. (11)
Доведення. Нехай ϕ̂β(t) та µ̂β(t) — перетворення функцiй ϕ та µ вигляду
ϕ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv, (12)
µ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (13)
З урахуванням iнтегрального зображення (5) величину (3) запишемо у виглядi
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
τ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
=
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
. (14)
Переконаємося, що перетворення ϕ̂β(t) та µ̂β(t), визначенi спiввiдношеннями (12)
та (13) вiдповiдно, є сумовними на всiй числовiй осi.
Покажемо спочатку збiжнiсть iнтеграла A(ϕ) :
A(ϕ) =
∞∫
−∞
|ϕ̂(t)| dt. (15)
Для цього, згiдно з теоремою 1 роботи [17], досить показати збiжнiсть iнтегралiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 673
1
2∫
0
v|dϕ′(v)|,
∞∫
1
2
|v − 1||dϕ′(v)|, (16)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|ϕ(v)|
v
dv,
1∫
0
|ϕ(1− v)− ϕ(1 + v)|
v
dv. (17)
Розглянемо перший iнтеграл iз (16). Iз спiввiдношення (6) маємо
dϕ′(v) =
1
ψ(σ)
(
ψ(σv) + 2
(
v +
1
σ
)
σψ′(σv) +
(
v2
2
+
v
σ
)
σ2ψ′′(σv)
)
dv. (18)
Оскiльки на промiжку
[
0,
1
σ
]
додатна функцiя ψ(σv) є опуклою донизу i монотонно
зростаючою, то з (18) отримуємо
dϕ′(v) > 0, v ∈
[
0,
1
σ
]
. (19)
Звiдси, беручи до уваги, що ϕ
(
1
σ
)
=
3ψ(1)
2σ2ψ(σ)
i ϕ′
(
1
σ
)
=
4ψ(1) + 3ψ′(1− 0)
2σψ(σ)
при 0 ≤ v ≤ 1
σ
, знаходимо
1
σ∫
0
v|dϕ′(v)| =
1
σ∫
0
vdϕ′(v) =
1
σ
ϕ′
(
1
σ
)
− ϕ
(
1
σ
)
= O
(
1
σ2ψ(σ)
)
. (20)
Враховуючи, що
∫ 1
2
1
σ
v|dϕ′(v)| ≤
∫ ∞
1
σ
v|dϕ′(v)| i
∫ ∞
1
2
|v−1||dϕ′(v)| ≤
∫ ∞
1
σ
v|dϕ′(v)|,
одержуємо оцiнку iнтеграла
∞∫
1
σ
v|dϕ′(v)| (21)
на кожному iз промiжкiв
[
1
σ
,
b
σ
)
та
[
b
σ
,∞
)
(при σ > 2b).
З огляду на (18), враховуючи, що функцiя ψ(v) є опуклою донизу та спадною
при v ≥ 1, отримуємо
b
σ∫
1
σ
v|dϕ′(v)| ≤ 1
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v3
2
+
v2
σ
)
σ2ψ′′(σv)dv +
+
2
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v2 +
v
σ
)
σ|ψ′(σv)|dv +
1
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
vψ(σv)dv. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
674 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
Зiнтегрувавши частинами перший та другий iнтеграли з правої частини нерiвностi
(22) та врахувавши, що ψ(σv) ≤ ψ(1) при v ∈
[
1
σ
,
b
σ
)
, будемо мати
b
σ∫
1
σ
v|dϕ′(v)| ≤ K1
σ2ψ(σ)
. (23)
Для оцiнки iнтеграла (21) на промiжку
[
b
σ
,∞
)
використаємо спiввiдношення
lim
v→∞
v2ψ(v) = 0, (24)
lim
v→∞
v3ψ′(v) = 0, (25)
справедливiсть яких випливає iз наступних мiркувань. Оскiльки функцiя g(v) =
= v2ψ(v) є опуклою донизу при v ≥ b, b ≥ 1, то можливi такi випадки:
1) lim
v→∞
v2ψ(v) = 0; 2) lim
v→∞
v2ψ(v) = K > 0; 3) lim
v→∞
v2ψ(v) = ∞.
Нехай lim
v→∞
v2ψ(v) = K > 0, тодi знайдеться таке 0 < K1 < K, що для всiх
v ≥ 1 v2ψ(v) > K1, отже, vψ(v) >
K1
v
. А це суперечить тому, що функцiя vψ(v),
згiдно з умовою теореми, є сумовною на [1,∞) .
Нехай тепер lim
v→∞
v2ψ(v) = ∞, тобто для довiльного M > 0 iснує таке N > 0,
що для всiх v > N виконується нерiвнiсть v2ψ(v) > M. Тодi
x∫
1
vψ(v)dv =
N∫
1
vψ(v)dv +
x∫
N
v2ψ(v)
v
dv > K2 +
x∫
N
M
v
dv = K2 +M(lnx− lnN).
Таким чином, знову прийшли до суперечностi з умовою (10). З огляду на викладене
робимо висновок про iстиннiсть спiввiдношення (24).
Покажемо тепер, що має мiсце (25). Оскiльки функцiя
(
v2ψ(v)
)′
є сумовною
на [1,∞), то lim
v→∞
∫ v
v/2
(
x2ψ(x)
)′
dx = 0. Внаслiдок того, що при v ≥ b функцiя
v2ψ(v) є опуклою донизу, функцiя −
(
v2ψ(v)
)′
при v ≥ b не зростає, i тому
v∫
v
2
(
−
(
x2ψ(x)
)′)
dx > −
(
v − v
2
)(
2vψ(v) + v2ψ′(v)
)
= −v2ψ(v)− 1
2
v3ψ′(v).
Звiдси i з (24) випливає справедливiсть (25).
Використовуючи спiввiдношення (18) та враховуючи властивостi функцiї ψ(v) ∈
∈ M, v ≥ 1, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 675
∞∫
b
σ
v
∣∣dϕ′(v)∣∣ ≤ 1
ψ(σ)
∞∫
b
σ
(
v3
2
+
v2
σ
)
σ2ψ′′(σv)dv+
+
2
ψ(σ)
∞∫
b
σ
(
v2 +
v
σ
)
σ
∣∣ψ′(σv)∣∣dv +
1
ψ(σ)
∞∫
b
σ
vψ(σv)dv. (26)
Зiнтегрувавши частинами перший та другий iнтеграли iз правої частини нерiвно-
стi (26) та врахувавши спiввiдношення (24), (25) i (10), будемо мати
∞∫
b
σ
v|dϕ′(v)| ≤ K2
σ2ψ(σ)
. (27)
Таким чином, iз спiввiдношень (20), (23) та (27) випливає, що при σ →∞
1
2∫
0
v|dϕ′(v)| = O
(
1
σ2ψ(σ)
)
,
∞∫
1
2
|v − 1|
∣∣dϕ′(v)∣∣ = O
(
1
σ2ψ(σ)
)
. (28)
Враховуючи (6) та умову (10), отримуємо наступну оцiнку для першого iнтеграла
iз (17):
∞∫
0
|ϕ(v)|
v
dv ≤ ψ(1)
ψ(σ)
1
σ∫
0
(
v
2
+
1
σ
)
dv +
1
ψ(σ)
∞∫
1
σ
(
v
2
+
1
σ
)
ψ(σv)dv ≤ K
σ2ψ(σ)
.
Покажемо, що для другого iнтеграла з (17) при σ →∞ справедливою є оцiнка
1∫
0
|ϕ(1− v)− ϕ(1 + v)|
v
dv = O
(
1
σ2ψ(σ)
)
. (29)
Для отримання оцiнки (29) скористаємося такими допомiжними твердженнями.
Означення [17]. Нехай функцiя τ(v) є заданою на [0,∞), абсолютно непе-
рервною i τ(∞) = 0. Кажуть, що функцiя τ(v) належить Ea, якщо похiдну τ ′(v)
в тих точках, де вона не iснує, можна доозначити так, щоб для деякого a ≥ 0
iснували iнтеграли
∫ a/2
0
v
∣∣dτ ′(v)∣∣, ∫ ∞
a/2
∣∣v − a||dτ ′(v)
∣∣.
Твердження 1 [17]. Якщо τ(v) належить Ea, то
∣∣τ(v)∣∣ ≤ H(τ), де
H(τ) = |τ(0)|+ |τ(a)|+
a
2∫
0
v|dτ ′(v)|+
∞∫
a
2
|v − a||dτ ′(v)|. (30)
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
676 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
τ(v) = τσ(v) =
(
1− λσ(v)
)ψ(σv)
ψ(σ)
, σ ≥ 1, (31)
де функцiя ψ є визначеною i неперервною при всiх v ≥ 0.
Лема. Нехай τ(v) ∈ E1, ψ ∈ AC . Тодi при σ →∞
1∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
1∫
0
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv +H(τ)
, (32)
де H(τ) — величина вигляду (30).
Доведення. Iз спiввiдношення (31) знайдемо функцiї τ(1− v) i τ(1 + v) :
τ(1− v) = (1− λσ(1− v))
ψ(σ(1− v))
ψ(σ)
, v ≤ 1, (33)
τ(1 + v) = (1− λσ(1 + v))
ψ(σ(1 + v))
ψ(σ)
, v ≥ −1. (34)
Подамо iнтеграл iз (32) у виглядi суми двох iнтегралiв:
1∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv =
=
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv +
1∫
1− 1
σ
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv. (35)
Оцiнимо спочатку перший доданок iз правої частини рiвностi (35). З цiєю
метою додамо i вiднiмемо пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину
λσ(1− v)− λσ(1 + v).
Отримаємо
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv ≤
1− 1
σ∫
0
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv +
+
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v) + λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv. (36)
Оскiльки, згiдно з (33) та (34), мають мiсце рiвностi
λσ(1− v) = 1− ψ(σ)
ψ(σ(1− v))
τ(1− v) (37)
i
λσ(1 + v) = 1− ψ(σ)
ψ(σ(1 + v))
τ(1 + v), (38)
то для другого iнтеграла iз правої частини формули (36) одержимо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 677
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v) + λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv ≤
≤
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(σ(1− v))
∣∣∣∣ dvv +
1− 1
σ∫
0
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv .
(39)
З огляду на те, що τ(v) належить E1, згiдно з твердженням 1 отримаємо
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(σ(1− v))
∣∣∣∣ dvv +
1− 1
σ∫
0
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv =
= H(τ)O
1− 1
σ∫
0
|ψ(σ(1− v))− ψ(σ)|
vψ(σ(1− v))
dv +
1− 1
σ∫
0
|ψ(σ(1 + v))− ψ(σ)|
vψ(σ(1 + v))
dv
. (40)
Покажемо, що при σ →∞
I1,σ :=
1− 1
σ∫
0
|ψ(σ(1− v))− ψ(σ)|
vψ(σ(1− v))
dv = O(1), (41)
I2,σ :=
1− 1
σ∫
0
|ψ(σ(1 + v))− ψ(σ)|
vψ(σ(1 + v))
dv = O(1), (42)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по σ.
Далi використаємо такi твердження.
Твердження 2 [5, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить MC тодi i лише тодi,
коли величина α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0), задовольняє умову
0 < K1 ≤ α(t) ≤ K2 ∀t ≥ 1.
Твердження 3 [5, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈ M належала M0, необ-
хiдно i достатньо, щоб для довiльного фiксованого числа c > 1 iснувала стала K
така, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалась нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K.
Оскiльки функцiя
1− ψ(σ)/ψ(σ(1− v))
v
обмежена при всiх v ∈
[
δ, 1 − 1
σ
]
,
0 < δ < 1− 1
σ
, то з урахуванням твердження 2 для ψ ∈ M0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
678 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
lim
v→0
1− ψ(σ)/ψ(σ(1− v))
v
=
σ |ψ′(σ)|
ψ(σ)
≤ K.
Отже, I1,σ = O(1), σ →∞. Переходячи до оцiнки iнтеграла I2,σ, зазначимо, що
I2,σ <
1
ψ(2σ − 1)
1− 1
σ∫
0
ψ(σ)− ψ (σ (1 + v))
v
dv.
Пiсля замiни змiнної u = σ(1 + v) будемо мати
I2,σ <
1
ψ(2σ − 1)
2σ−1∫
σ
ψ(σ)− ψ (u)
u− σ
du <
1
ψ(2σ − 1)
2σ∫
σ
ψ(σ)− ψ (u)
u− σ
du.
Застосувавши до правої частини останньої нерiвностi лему 5.5 з роботи [4, с. 97] i
врахувавши, що ψ(2σ − 1) ≥ ψ(2σ), σ ≥ 1, на пiдставi твердження 3 отримаємо
I2,σ <
K1ψ(σ)
ψ(2σ − 1)
≤ K1ψ(σ)
ψ(2σ)
≤ K2.
Поєднавши спiввiдношення (36) iз (39) – (42), запишемо
1− 1
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv =
=
1− 1
σ∫
0
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv +O(1)H(τ), σ →∞. (43)
Оцiнимо другий доданок iз правої частини рiвностi (35). Для цього додамо i
вiднiмемо пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину
ψ(σ(1− v))
ψ(1)
(λσ(1− v)− λσ(1 + v))
та врахуємо, що функцiя ψ (σ(1− v)) є монотонно спадною на
[
1 − 1
σ
; 1
]
. Мати-
мемо
1∫
1−1
σ
|τ(1−v)− τ(1+v)|
v
dv ≤
≤ 1
ψ(1)
1∫
1−1
σ
ψ (σ(1−v)) |λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv+
1∫
1−1
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (σ(1− v))
ψ(1)
(λσ(1− v)− λσ(1 + v))
∣∣∣∣
v
dv ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 679
≤
1∫
1−1
σ
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv+
+
1∫
1−1
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (σ(1− v))
ψ(1)
(λσ(1− v)− λσ(1 + v))
∣∣∣∣
v
dv. (44)
Врахувавши спiввiдношення (37) та (38), а також твердження 1, отримаємо
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (σ(1− v))
ψ(1)
(λσ(1− v)− λσ(1 + v))
∣∣∣∣
v
dv ≤
≤
1∫
1− 1
σ
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv +
1∫
1− 1
σ
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ (σ(1− v)ψ(σ))
ψ(1)ψ (σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv =
= H(τ)O
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv +
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣1− ψ (σ(1− v))ψ(σ)
ψ(1)ψ (σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv
. (45)
Далi маємо
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣1− ψ(σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv =
(
1− ψ(σ)
ψ(1)
)
ln
1
1− 1
σ
= O(1). (46)
Оскiльки на промiжку
[
1− 1
σ
; 1
]
функцiя ψ (σ(1− v)) є монотонно спадною, то
ψ(σ(1− v)) ≤ ψ(1) i, крiм того, на пiдставi твердження 3 при σ ≥ 1
ψ(σ)
ψ(σ(1 + v))
≤ ψ(σ)
ψ(2σ)
≤ K,
тому функцiя
∣∣∣∣1− ψ (σ(1− v))ψ(σ)
ψ(1)ψ (σ(1 + v))
∣∣∣∣ є обмеженою на
[
1− 1
σ
; 1
]
. Отже,
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣1− ψ (σ(1− v))ψ(σ)
ψ(1)ψ (σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv ≤ K1
1∫
1− 1
σ
dv
v
= K ln
1
1− 1
σ
= O(1). (47)
На пiдставi спiввiдношень (45) – (47) маємо
1∫
1− 1
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (σ(1− v))
ψ(1)
(λσ(1− v)− λσ(1 + v))
∣∣∣∣
v
dv = O (H(τ)) .
(48)
Iз формул (44) та (48) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
680 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
1∫
1− 1
σ
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
1∫
1− 1
σ
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv +H(τ)
.
(49)
Поєднуючи спiввiдношення (43) та (49), приходимо до рiвностi (32).
Лему доведено.
Для функцiї ϕ,що визначається спiввiдношенням (6), маємо λσ(v) = λσ(ϕ; v) =
= 1− ψ(σ)
ψ(σv)
ϕ(v) = 1− v2
2
− v
σ
, а тому, як неважко переконатися,
1∫
0
|λσ(1− v)− λσ(1 + v)|
v
dv = O (1) , σ →∞. (50)
Iз формул (30), (6) та оцiнок (28), беручи до уваги спiввiдношення (24), знаходимо
H(ϕ) = O
(
1 +
1
σ2ψ(σ)
)
= O
(
1
σ2ψ(σ)
)
, σ →∞. (51)
Об’єднання спiввiдношень (32), (50) та (51) дозволяє записати оцiнку (29).
Таким чином, на пiдставi теореми 1 iз роботи [17] iнтеграл A(ϕ) вигляду (15)
є збiжним, а отже, перетворення ϕ̂β(t) функцiї ϕ, заданої спiввiдношенням (6), є
сумовним на всiй числовiй осi.
Сумовнiсть перетворення µ̂β(t) вигляду (13) на всiй дiйснiй осi випливає iз збiж-
ностi iнтеграла A(µ) =
∫ ∞
−∞
|µ̂β(t)| dt. Для того щоб iнтеграл A(µ) був збiжним,
необхiдно i достатньо (див. теорему 1 iз роботи [17, с. 24]), щоб збiгалися iнтеграли
1
2∫
0
v|dµ′(v)|,
∞∫
1
2
|v − 1||dµ′(v)|, (52)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|µ(v)|
v
dv,
1∫
0
|µ(1− v)− µ(1 + v)|
v
dv. (53)
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з (52) на кожному з промiжкiв:
[
0,
1
σ
]
,
[
1
σ
,
b
σ
]
та
[
b
σ
,
1
2
]
, σ > 2b. Позначимо
µ(v) = 1− e−v − γve−v − v2
2
− v
σ
. (54)
Тодi внаслiдок (7) мають мiсце рiвностi
µ(v) = µ(v)
ψ(σv)
ψ(σ)
, µ′(v) = µ ′(v)
ψ(σv)
ψ(σ)
+ µ(v)
σψ′(σv)
ψ(σ)
, (55)
µ′′(v) = µ ′′(v)
ψ(σv)
ψ(σ)
+ 2σµ ′(v)
ψ′(σv)
ψ(σ)
+ σ2µ(v)
ψ′′(σv)
ψ(σ)
. (56)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 681
Iз спiввiдношення (54) знаходимо
µ ′(v) = e−v − γe−v + γve−v − v − 1
σ
,
µ ′′(v) = −e−v + 2γe−v − γve−v − 1,
µ(0) = 0, µ′(0) = 1− γ − 1
σ
< 0.
Звiдси i з того, що
−1 + 2γ − γv < ev, v ∈ [0,∞),
випливає
µ(v) ≤ 0, µ ′(v) < 0, µ ′′(v) < 0 при v ≥ 0. (57)
Враховуючи (57) i те, що додатна функцiя ψ(σv) на промiжку
[
0,
1
σ
]
є опуклою
донизу та зростаючою, iз спiввiдношення (56) отримуємо
µ′′(v) < 0, v ∈
[
0,
1
σ
]
. (58)
Зiнтегруємо частинами перший iнтеграл iз (52) на промiжку
[
0,
1
σ
]
. Оскiль-
ки µ(0) = 0, µ′(0) = 0 (бо ψ(0) = 0), то, беручи до уваги нерiвнiсть (58) та
рiвностi (55), маємо
1
σ∫
0
v |dµ′(v)| = −
1
σ∫
0
vdµ′(v) =
= µ
(
1
σ
)
ψ(1)
ψ(σ)
− 1
σ
µ ′
(
1
σ
)
ψ(1)
ψ(σ)
− µ
(
1
σ
)
ψ′(1− 0)
ψ(σ)
≤
≤ ψ(1)
σψ(σ)
∣∣∣∣µ ′( 1
σ
)∣∣∣∣ +
ψ′(1− 0)
ψ(σ)
∣∣∣∣µ(
1
σ
)∣∣∣∣ . (59)
Враховуючи нерiвностi
∣∣µ(v)
∣∣ < 2
3σ2
v +
1
σ
v2 +
v3
2
,
∣∣µ ′(v)∣∣ < 2
3σ2
+
2
σ
v +
3
2
v2, v ≥ 0, (60)
iз спiввiдношення (59) отримуємо
1
σ∫
0
v |dµ′(v)| ≤ K1
σ3ψ(σ)
. (61)
Оцiнимо перший iнтеграл iз (52) на промiжку
[
1
σ
,
b
σ
]
. Застосовуючи (56), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
682 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
b
σ∫
1
σ
v |dµ′(v)| ≤ 1
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
v|µ ′′(v)|ψ(σv)dv+
+
2σ
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
v|µ ′(v)||ψ′(σv)|dv +
σ2
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
v|µ(v)|ψ′′(σv)dv.
Враховуючи нерiвностi (60) та оцiнку
∣∣µ ′′(v)∣∣ < 2
σ
+ 3v, v ≥ 0, i iнтегруючи
частинами, отримуємо
b
σ∫
1
σ
v |dµ′(v)| ≤ K2
σ3ψ(σ)
. (62)
Покажемо, що у випадку опуклостi донизу функцiї v2ψ(v) при v ≥ b, b ≥ 1,
виконується нерiвнiсть
dµ′(v) ≤ 0, v ≥ b
σ
. (63)
З цiєю метою покладемо
µ̃(v) =
µ(v)
v2
,
так що, згiдно з (54),
µ̃(v) =
1
v2
− e−v
v2
− γ
e−v
v
− 1
2
− 1
vσ
.
Оскiльки
µ̃′(v) =
1
v3
(
−2 + 2e−v + (1 + γ)ve−v + γv2e−v +
v
σ
)
,
µ̃′′(v) =
1
v4
(
6− 6e−v − (4 + 2γ)ve−v − (1 + 2γ)v2e−v − γv3e−v − 2v
σ
)
,
то, враховуючи нерiвностi e−v ≥ 1− v, v ≥ 0, γ > 1− 1
σ
, одержуємо
µ̃(v) < 0,
µ̃′(v) >
1
v3
(
v2
σ
+ γv2e−v
)
> 0,
µ̃′′(v) <
1
v4
(
−2v2
σ
− (1 + 2γ)v2e−v − γv3e−v
)
< 0.
При v ≥ b ≥ 1, згiдно з умовами теореми, мають мiсце спiввiдношення
g(v) > 0, g′(v) < 0, g′′(v) > 0.
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 683
µ′′(v) =
(
1
σ2
µ̃(v)g(σv)
)′′
=
=
1
σ2
µ̃′′(v)g(σv) +
2
σ
µ̃′(v)g′(σv) + µ̃(v)g′′(σv) < 0 при v ≥ b
σ
,
а отже, нерiвнiсть (63) виконується для всiх v ≥ b/σ, b ≥ 1.
Використовуючи нерiвнiсть (63), спiввiдношення (55), (60) i твердження 2, 3,
знаходимо
1
2∫
b
σ
v |dµ′(v)| = −
1
2∫
b
σ
vdµ′(v) =
= −1
2
µ′
(
1
2
)
+
b
σ
µ′
(
b
σ
)
+ µ
(
1
2
)
− µ
(
b
σ
)
≤ K1 +
K2
σ3ψ(σ)
, σ →∞. (64)
Об’єднуючи формули (61), (62) та (64), записуємо оцiнку першого iнтеграла iз (52):
1
2∫
0
v|dµ′(v)| = O
(
1 +
1
σ3ψ(σ)
)
, σ →∞. (65)
Враховуючи спiввiдношення (24), (25) та твердження 2, 3, неважко переконатися в
тому, що для другого iнтеграла з (52) має мiсце оцiнка
∞∫
1
2
|v − 1||dµ′(v)| = O(1), σ →∞. (66)
Перший iнтеграл iз (53) оцiнимо на кожному з промiжкiв
[
0,
1
σ
]
,
[
1
σ
, 1
]
i
[
1
σ
,∞
)
.
Оскiльки функцiя µ(v) вигляду (54) є недодатною при v ≥ 0, то з першого спiввiд-
ношення (55) маємо |µ(v)| = −µ(v)
ψ(σv)
ψ(σ)
. Тому, враховуючи нерiвнiсть
e−v ≤ 1− v +
v2
2
, v ≥ 0, (67)
i те, що функцiя ψ(σv) є зростаючою при v ∈
[
0,
1
σ
]
, знаходимо
1
σ∫
0
|µ(v)|
v
dv =
1
ψ(σ)
1
σ∫
0
(
−1 + e−v + γve−v +
v2
2
+
v
σ
)
ψ(σv)
v
dv ≤
≤ ψ(1)
ψ(σ)
1
σ∫
0
(
−1 + γ +
1
σ
+ (1− γ)v +
γ
2
v2
)
dv.
З останнього спiввiдношення внаслiдок нерiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
684 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
−1 + γ +
1
σ
<
2
3σ2
, γ < 1, 1− γ <
1
σ
, (68)
маємо
1
σ∫
0
|µ(v)|
v
dv = O
(
1
σ3ψ(σ)
)
, σ →∞. (69)
Знову беручи до уваги нерiвностi (67), (68), отримуємо такi оцiнки:
1∫
1
σ
|µ(v)|
v
dv ≤
1∫
1
σ
ψ(σv)
ψ(σ)
(
1
σ
+ γ − 1 + (1− γ)v +
γ
2!
v2
)
dv ≤
≤ K1
σ3ψ(σ)
σ∫
1
ψ(v)dv +
K2
σ3ψ(σ)
σ∫
1
vψ(v)dv +
K3
σ3ψ(σ)
σ∫
1
v2ψ(v)dv =
= O
1
σ3ψ(σ)
σ∫
1
v2ψ(v)dv
, (70)
∞∫
1
|µ(v)|
v
dv =
1
ψ(σ)
∞∫
1
ψ(σv)
(
e−v − 1
v
+ γe−v +
v
2
+
1
σ
)
dv ≤
≤ 1
ψ(σ)
∞∫
1
ψ(σv)
(
−1 +
v
2
+ γ +
v
2
+
1
σ
)
dv =
= O
1
σ2ψ(σ)
∞∫
σ
vψ(v)dv
. (71)
Об’єднуючи спiввiдношення (69) – (71) i враховуючи, що
∫ σ
1
v2ψ(v)dv ≥ K, запи-
суємо оцiнку першого iнтеграла з (53):
∞∫
0
|µ(v)|
v
dv = O
1
σ3ψ(σ)
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σ2ψ(σ)
∞∫
σ
vψ(v)dv
. (72)
Оцiнимо другий iнтеграл з (53). Для цього використаємо спiввiдношення (32)
у випадку, коли
λ(v) = λσ(µ; v) = 1− ψ(σ)
ψ(σv)
µ(v) = [1 + γv] e−v +
v2
2
+
v
σ
.
Неважко переконатись, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 685
1∫
0
∣∣λ(1− v)− λ(1 + v)
∣∣
v
dv =
=
1∫
0
∣∣∣∣γ + 1
e
ev − e−v
v
− γ
e
(ev + e−v) + 2
(
1 +
1
σ
)∣∣∣∣ dv = O(1), σ →∞. (73)
Крiм того, iз спiввiдношень (30), (7), (65) та (66) випливає оцiнка
H(µ) = O
(
1 +
1
σ3ψ(σ)
)
, σ →∞. (74)
Спiвставляючи (73) та (74), iз (32) бачимо, що
1∫
0
|µ(1− v)− µ(1 + v)|
v
dv = O
(
1 +
1
σ3ψ(σ)
)
, σ →∞. (75)
Таким чином, перетворення µ̂β(t) вигляду (13) функцiї µ, заданої спiввiдношен-
ням (7), є сумовним на всiй дiйснiй осi. Тодi iз спiввiдношення (14) випливає
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
=
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
ϕ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
+O (ψ(σ)A(µ)). (76)
Враховуючи спiввiдношення (6), (8) та (9), знаходимо
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
ϕ̂β(t)dt =
1
σ2ψ(σ)
(
f1(x) +
f2(x)
2
)
. (77)
Iз (76) та (77) отримуємо
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
=
1
σ2
sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥f1(x) +
f2(x)
2
∥∥∥∥
Ĉ
+O (ψ(σ)A(µ)) . (78)
Крiм того, на пiдставi формул (2.14), (2.15) роботи [17, с. 25], а також спiввiдно-
шень (72), (74) та (75) для величини A(µ) справедливою є оцiнка
A(µ) = O
1 +
1
σ3ψ(σ)
+
1
σ3ψ(σ)
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σ2ψ(σ)
∞∫
σ
vψ(v)dv
.
Враховуючи, що
∫ σ
1
v2ψ(v)dv ≥ K,
1
σ3ψ(σ)
∫ σ
1
v2ψ(v)dv ≥ K, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
686 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
A(µ) = O
1
σ3ψ(σ)
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σ2ψ(σ)
∞∫
σ
vψ(v)dv
. (79)
Iз (78) та (79) випливає справедливiсть спiввiдношення (11).
Теорему 1 доведено.
Зазначимо, що теорему 1 задовольняють, наприклад, функцiї ψ ∈ A, якi при
v ≥ 1 мають вигляд ψ(v) =
1
v2
lnα(v+K), деK > 0, α < −1, ψ(v) =
1
vr
(K+e−v),
ψ(v) =
1
vr
lnα(v +K), ψ(v) =
1
vr
arctg v, де K > 0, r > 2, α ∈ R.
Теорема 2. Якщо ψ ∈ A, функцiя g(v) = v2ψ(v) при v ≥ b ≥ 1 є опуклою
донизу i
∫ ∞
1
vg(v)dv <∞, то при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
=
1
σ2
sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥f1(x) +
f2(x)
2
∥∥∥∥
Ĉ
+O
(
1
σ3
)
, (80)
де f1(x), f2(x) — функцiї вигляду (8) та (9) вiдповiдно.
Доведення. Нехай τ(v) = ϕ(v) + µ(v), де функцiї ϕ(v) та µ(v) визначенi
формулами (6) та (7) вiдповiдно. Тодi з урахуванням (3) i (5) має мiсце спiввiдно-
шення (14):
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
,
де ϕ̂β(t) та µ̂β(t) — перетворення вигляду (12) та (13) функцiй ϕ та µ вiдповiдно.
Покажемо сумовнiсть на всiй дiйснiй осi перетворень ϕ̂β(t) i µ̂β(t). Доведемо
спочатку збiжнiсть iнтеграла A(ϕ) вигляду (15). Для цього роздiлимо промiжок
(−∞,+∞) на двi пiдмножини (−σ, σ) i (−∞, σ] ∪ [σ,+∞).
Знайдемо оцiнку iнтеграла A(ϕ) вигляду (15) на промiжку (−σ, σ). Враховуючи
спiввiдношення (6), зростання функцiї ψ(σv) при v ∈
[
0,
1
σ
]
та беручи до уваги,
що
∫ ∞
1
vg(v)dv <∞, отримуємо
σ∫
−σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt ≤ 2σ
∞∫
0
|ϕ(v)|dv =
=
2σ
ψ(σ)
∞∫
0
(
v2
2
+
v
σ
)
ψ(σv)dv ≤
≤ 2σψ(1)
ψ(σ)
1
σ∫
0
(
v2
2
+
v
σ
)
dv +
2σ
ψ(σ)
∞∫
1
σ
(
v2
2
+
v
σ
)
ψ(σv)dv ≤ K1
σ2ψ(σ)
. (81)
Знайдемо оцiнку iнтеграла (15) при |t| ≥ σ. Для цього розглянемо iнтеграл∫ ∞
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv на кожному з промiжкiв [0; 1/σ] та [1/σ;∞]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 687
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
1
σ∫
0
+
∞∫
1
σ
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (82)
Оскiльки, як випливає з (6), ϕ(0) = 0, ϕ
(
1
σ
)
=
3ψ(1)
2σ2ψ(σ)
i при v ∈
[
0,
1
σ
)
ϕ′(0) = 0, ϕ′
(
1
σ
)
=
4ψ(1) + 3ψ′(1− 0)
2σψ(σ)
, (83)
то, двiчi iнтегруючи частинами перший iнтеграл iз правої частини рiвностi (82),
одержуємо
1
σ∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
3ψ(1)
2tσ2ψ(σ)
sin
(
t
σ
+
βπ
2
)
+
+
4ψ(1) + 3ψ′(1− 0)
2t2σψ(σ)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1
σ∫
0
ϕ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (84)
Далi, внаслiдок того, що функцiя g(v) = v2ψ(v) є опуклою донизу i
∫ ∞
1
vg(v)dv <
< ∞, мають мiсце спiввiдношення (24) та (25). Тодi, двiчi iнтегруючи частинами
другий iнтеграл iз правої частини рiвностi (82) на промiжку
[
1
σ
,∞
)
i враховуючи,
що lim
v→∞
ϕ(v) = lim
v→∞
ϕ′(v) = 0, знаходимо
∞∫
1
σ
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= −ϕ
(
1
σ
)
sin
(
t
σ
+
βπ
2
)
− 1
t
∞∫
1
σ
ϕ′(v) sin
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= − 3ψ(1)
2tσ2ψ(σ)
sin
(
t
σ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
4ψ(1) + 3ψ′(1)
2σψ(σ)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
− 1
t2
∞∫
1
σ
ϕ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (85)
Поєднуючи формули (82) – (85), записуємо
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
=
3ψ′(1− 0)− 3ψ′(1)
2t2σψ(σ)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
688 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
− 1
t2
1
σ∫
0
ϕ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv − 1
t2
∞∫
1
σ
ϕ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv.
Звiдси ∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 3ψ′(1− 0)− 3ψ′(1)
2t2σψ(σ)
+
1
t2
1
σ∫
0
|ϕ′′(v)|dv +
1
t2
∞∫
1
σ
|ϕ′′(v)|dv. (86)
Враховуючи спiввiдношення (19) та (83), отримуємо
1
σ∫
0
|ϕ′′(v)|dv = ϕ′
(
1
σ
)
− ϕ′(0) =
K
σψ(σ)
. (87)
Далi, беручи до уваги спiввiдношення (18), спадання та опуклiсть донизу функцiї
ψ(σv), v ∈
[
1
σ
,∞
)
, маємо
b
σ∫
1
σ
|ϕ′′(v)|dv ≤ 1
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
ψ(σv)dv +
2σ
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v +
1
σ
)
|ψ′(σv)| dv+
+
σ2
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v2
2
+
v
σ
)
ψ′′(σv)dv. (88)
Неважко переконатися, що
σ2
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v2
2
+
v
σ
)
ψ′′(σv)dv =
K1
σψ(σ)
− σ
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v +
1
σ
)
ψ′(σv)dv.
Поєднуючи останнє спiввiдношення з нерiвнiстю (88) та врахувуючи, що
1
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
ψ(σv)dv ≤ (b− 1)ψ(1)
σψ(σ)
,
знаходимо
b
σ∫
1
σ
|ϕ′′(v)|dv ≤ K2
σψ(σ)
+
3σ
ψ(σ)
b
σ∫
1
σ
(
v +
1
σ
)
|ψ′(σv)| dv.
Тодi, iнтегруючи частинами iнтеграл iз правої частини останньої нерiвностi, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 689
b
σ∫
1
σ
|ϕ′′(v)|dv ≤ K
σψ(σ)
. (89)
Знову використовуючи формулу (18) та враховуючи, що ψ(v) є спадною при
v ∈ [1,∞), lim
v→∞
ψ(v) = 0, а також беручи до уваги (24), (25), отримуємо оцiнку
iнтеграла
1
t2
∞∫
1
σ
|ϕ′′(v)|dv ≤ K
t2σψ(σ)
.
З останнього спiввiдношення та з формул (86) – (89) знаходимо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2σψ(σ)
,
а отже, ∫
|t|≥σ
|ϕ̂(t)| dt ≤ 2K
σ2ψ(σ)
. (90)
Iз спiввiдношень (81) i (90) випливає така оцiнка iнтеграла A(ϕ) вигляду (15):
A(ϕ) =
O (1)
σ2ψ(σ)
.
Отже, перетворення ϕ̂β(t) вигляду (12) є сумовним на всiй числовiй осi.
Далi переконаємось у сумовностi iнтеграла A(µ) =
∫ ∞
−∞
∣∣µ̂β(t)∣∣dt, де µ̂β(t) —
перетворення вигляду (13) функцiї µ(v). З цiєю метою iнтеграл A(µ) запишемо у
виглядi
A(µ) =
1
π
σ∫
−σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt +
+
1
π
∫
|t|≥σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = I1 + I2. (91)
Оцiнимо iнтеграл I1:
I1 ≤
1
π
σ∫
−σ
∣∣∣∣∣∣∣
1
σ∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣∣ dt +
+
1
π
σ∫
−σ
∣∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
σ
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣∣ dt = I3 + I4. (92)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
690 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
Використовуючи першi спiввiдношення з (55) i (60), а також те, що ψ(σv) ≤ ψ(1)
при v ∈
[
0,
1
σ
]
, отримуємо оцiнку iнтеграла I3:
I3 ≤
1
π
σ∫
−σ
1
σ∫
0
|µ(v)| dvdt ≤ 2σψ(1)
πψ(σ)
1
σ∫
0
(
2v
3σ2
+
v2
σ
+
v3
2
)
dv =
K
σ3ψ(σ)
. (93)
Оскiльки, згiдно з умовою теореми,
∫ ∞
1
v3ψ(v)dv <∞, то, знову використовуючи
першу нерiвнiсть iз (60), знаходимо оцiнку iнтеграла I4:
I4 ≤
1
π
σ∫
−σ
∞∫
1
σ
|µ(v)|dvdt =
=
2σ
πψ(σ)
2
3σ4
∞∫
1
vψ(v)dv +
1
σ4
∞∫
1
v2ψ(v)dv +
1
2σ4
∞∫
1
v3ψ(v)dv
≤ K
σ3ψ(σ)
.
(94)
Об’єднуючи спiввiдношення (92) – (94), записуємо
I1 =
1
π
σ∫
−σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt =
O (1)
σ3ψ(σ)
, σ →∞. (95)
Оцiнимо iнтеграл I2. Двiчi iнтегруючи частинами i враховуючи те, що µ(0) = 0,
µ′(0) = 0, отримуємо
1
σ∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
1
t
µ
(
1
σ
)
sin
(
t
σ
+
βπ
2
)
+
+
1
t2
µ′
(
1
σ
− 0
)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1
σ∫
0
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (96)
З урахуванням спiввiдношень (24), (25) маємо lim
v→∞
µ(v) = 0 i lim
v→∞
µ′(v) = 0. Тодi
∞∫
1
σ
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= −1
t
µ
(
1
σ
)
sin
(
t
σ
+
βπ
2
)
− 1
t2
µ′
(
1
σ
)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
∞∫
1
σ
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (97)
Об’єднуючи спiввiдношення (96) та (97), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 691
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
=
1
t2
(
µ′
(
1
σ
− 0
)
− µ′
(
1
σ
))
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1
σ∫
0
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv − 1
t2
∞∫
1
σ
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv.
Згiдно з другою формулою iз (55) одержуємо
µ′
(
1
σ
− 0
)
= µ ′
(
1
σ
)
ψ(1)
ψ(σ)
+ µ
(
1
σ
)
σψ′(1− 0)
ψ(σ)
, (98)
µ′
(
1
σ
)
= µ ′
(
1
σ
)
ψ(1)
ψ(σ)
+ µ
(
1
σ
)
σψ′(1)
ψ(σ)
. (99)
Тому
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
=
1
t2
µ
(
1
σ
)
σ (ψ′(1− 0)− ψ′(1))
ψ(σ)
cos
(
t
σ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1
σ∫
0
+
∞∫
1
σ
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv. (100)
Iз спiввiдношення (100), враховуючи першу нерiвнiсть з (60), отримуємо
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤ K1
t2σ2ψ(σ)
+
1
t2
1
σ∫
0
|µ′′(v)|dv +
1
t2
∞∫
1
σ
|µ′′(v)|dv.
(101)
Використовуючи (58), (98) i те, що µ′(0) = 0, знаходимо
1
σ∫
0
|µ′′(v)|dv = −µ′
(
1
σ
− 0
)
=
∣∣∣∣µ′( 1
σ
)∣∣∣∣ ψ(1)
ψ(σ)
+
∣∣∣∣µ(
1
σ
)∣∣∣∣ σψ′(1− 0)
ψ(σ)
.
Звiдси, враховуючи обидва спiввiдношення з (60), отримуємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
692 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, Т. В. ЖИГАЛЛО
1
σ∫
0
|µ′′(v)|dv ≤ K2
σ2ψ(σ)
. (102)
Розглянемо другий iнтеграл iз правої частини нерiвностi (101) на кожному iз
промiжкiв
[
1
σ
,
b
σ
]
та
[
b
σ
,∞
)
. Врахувавши (56) та мiркуючи, як i при доведеннi
спiввiдношення (62), одержуємо
b
σ∫
1
σ
|µ′′(v)|dv ≤ K3
σ2ψ(σ)
. (103)
На пiдставi (63), враховуючи, що lim
v→∞
µ′(v) = 0, та беручи до уваги друге спiввiд-
ношення з (55) i нерiвностi (60), маємо
∞∫
b
σ
|µ′′(v)|dv = −
∞∫
b
σ
dµ′(v) = µ′
(
b
σ
)
ψ(b)
ψ(σ)
+
∣∣∣∣µ(
b
σ
)∣∣∣∣ σ|ψ′(b)|ψ(σ)
≤ K4
σ2ψ(σ)
. (104)
Iз спiввiдношень (101) – (104) випливає∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2σ2ψ(σ)
.
Тодi
I2 =
1
π
∫
|t|≥σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
σ3ψ(σ)
)
, σ →∞. (105)
Поєднуючи спiввiдношення (91), (95) та (105), записуємо оцiнку iнтеграла A(µ) =
=
∫ ∞
−∞
|µ̂β(t)| dt при σ →∞
A(µ) = O
(
1
σ3ψ(σ)
)
. (106)
Отже, перетворення µ̂β(t) вигляду (13) є сумовним на дiйснiй осi.
Оскiльки перетворення ϕ̂β(t) i µ̂β(t) є сумовними на всiй числовiй осi, то має
мiсце спiввiдношення
E
(
Ĉψβ,∞;Bσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(σ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
σ
)
ϕ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
+O (ψ(σ)A(µ)) .
Звiдси на пiдставi спiввiдношень (77) та (106) отримуємо, що при σ → ∞ має
мiсце асимптотична рiвнiсть (80).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСУ Ĉψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ... 693
Зазначимо, що умови теореми 2 задовольняють, зокрема, функцiї ψ ∈ A, якi
при v ≥ 1 мають вигляд ψ(v) =
lnα(v +K)
vr
, ψ(v) =
1
vr
(K + e−v), де r > 4,
K > 0, α ∈ R, а також ψ(v) = vre−Kv
α
, α > 0, K > 0, r ∈ R.
1. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми
функциями. I // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – С. 102 – 112.
2. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми
функциями. II // Там же. – № 2. – С. 210 – 222.
3. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002.
– Ч. 2. – 468 с.
4. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
5. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002.
– Ч. 1. – 427 с.
6. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл.
АН СССР. – 1963. – 153, № 5.– С. 995 – 998.
7. Дзимистаришвили М. Г. Приближение классов непрерывных функций операторами Зигмунда
// Приближение операторами Зигмунда и наилучшее приближение. – Киев, 1989. – С. 3 – 42. –
(Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 89.25).
8. Дзимистаришвили М. Г. Приближение классов L̂ψβ,1 в метрике L1 // Гармонический анализ и
развитие аппроксимационных методов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. – С. 52 – 54.
9. Дзимистаришвили М. Г. О поведении верхних граней уклонений операторов Стеклова. – Киев,
1990. – С. 3 – 29. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 90.25).
10. Рукасов В. И. Приближение операторами Валле Пуссена функций, заданных на действитель-
ной оси // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 5. – С. 682 – 691.
11. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Наближення операторами Валле Пуссена iнтегралiв Пуассона
функцiй, заданих на дiйснiй осi // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання:
Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 228 – 237.
12. Островська О. В. Наближення класiв неперервних функцiй операторами Зигмунда // Наближе-
ння класiв неперервних функцiй, заданих на дiйснiй осi. – Київ, 1994. – С. 1 – 15. – (Препринт
/ НАН України. Iн-т математики; 94.5).
13. Репета Л. А. Приближение функций классов Ĉψβ,∞ операторами вида Uϕ,Fσ // Ряды Фурье:
Теория и приложения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1992. – С. 147 – 154.
14. Степанець О. I., Соколенко I. В. Наближення операторами Фур’є ψ̄-iнтегралiв функцiй, зада-
них на дiйснiй осi // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 7. – С. 960 – 965.
15. Кальчук I. В. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй, заданих на дiйснiй осi, операто-
рами Вейєрштрасса // Там же. – 2007. – 59, № 9. – С. 1201 – 1220.
16. Харкевич Ю. I., Жигалло Т. В. Наближення функцiй, заданих на дiйснiй осi, бiгармонiйними
операторами Пуассона // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту
математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 295 – 310.
17. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными
матрицами. I // Изв. вузов. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
Одержано 23.02.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
|