O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений

O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений

Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
Hauptverfasser: Мамедов, Ф.И., Аманов, Р.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Schriftenreihe:Український математичний журнал
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164694
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-164694
record_format dspace
spelling irk-123456789-1646942020-02-11T01:25:42Z O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений Мамедов, Ф.И. Аманов, Р.А. Статті Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера. For quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) of the Muckenhoupt A p -class, we prove the Harnack inequality, an estimate for the Hölder norm, and a sufficient criterion for the regularity of boundary points of the Wiener type. 2008 Article O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164694 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Мамедов, Ф.И.
Аманов, Р.А.
O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
Український математичний журнал
description Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера.
format Article
author Мамедов, Ф.И.
Аманов, Р.А.
author_facet Мамедов, Ф.И.
Аманов, Р.А.
author_sort Мамедов, Ф.И.
title O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
title_short O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
title_full O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
title_fullStr O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
title_full_unstemmed O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
title_sort o некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2008
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164694
citation_txt O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT mamedovfi onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij
AT amanovra onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij
first_indexed 2025-07-14T17:17:55Z
last_indexed 2025-07-14T17:17:55Z
_version_ 1837643570261000192
fulltext UDK 517.946 F. Y. Mamedov, R. A. Amanov (Yn-t matematyky y mexanyky NAN AzerbajdΩana, Baku) O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ URAVNENYJ For the quasilinear equations div ( , , )A x u u∇ = 0 with degeneracy ω( )x from the Muckenhaupt Ap- class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Hölder norm, and a sufficient test for the regularity of boundary points of the Wiener type. Dlq kvazilinijnyx rivnqn\ div ( , , )A x u u∇ = 0 z vyrodΩennqm ω( )x iz Ap-klasu Makkenxaupta dovedeno nerivnist\ Harnaka, ocinku normy Hel\dera i dostatng oznaku rehulqrnosti meΩovyx toçok typu Vinera. 1. Vvedenye. V dannoj stat\e dokazan¥ neravenstvo Harnaka, ocenka norm¥ Hel\dera y dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek dlq v¥roΩda- gwyxsq kvazylynejn¥x uravnenyj vyda div ( , , ) =A x u u∇ 0 . (1) V sluçae lynejn¥x yly kvazylynejn¥x uravnenyj bez v¥roΩdenyq πty vopros¥ dostatoçno xoroßo yzuçen¥ v rabotax [1 – 5] (sm. takΩe obzorn¥e stat\y [6 – 8]). Pry dokazatel\stve neravenstva Harnaka m¥ budem sledovat\ ydeqm mono- hrafyy [9] (a takΩe [6]), v kotoroj prymenqetsq lemma vozrastanyq poloΩy- tel\n¥x reßenyj uravnenyj (1) v uzkyx oblastqx. V nastoqwej stat\e takaq lemma dokaz¥vaetsq dlq uravnenyj (1), v¥roΩdagwyxsq s Ap -uslovyem Mak- kenxaupta ω ∈ Ap , 1 ≤ p < ∞ : sup Q Q p Q p p n Q d x Q dx A ⊂ − ′ − ∫ ∫             = < ∞ R 1 1 1 1 ω ω . (2) Zdes\ Q — proyzvol\n¥j ßar v R n , Q — eho mera Lebeha, p′ — so- prqΩennoe çyslo k 1 < p < ∞, 1 p + 1 ′p = 1, p′ = 1 pry p = ∞, p′ = ∞ pry p = 1, v¥raΩenye ω1 1 − ′ − ∫( )p Q p d x ymeet sm¥sl ess sup Q ω−1 pry p = 1. Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R n , n ≥ 1, Lip( )D — prostranstvo lypßycevo neprer¥vn¥x v D funkcyj, Lip0 ( )D — lynejnoe podmnoΩestvo Lip( )D funkcyj s kompaktn¥m nosytelem v D, ω : Rn → 0, ∞[ ] — lokal\no yntehryruemaq funkcyq, ω1 1 − ′ ∈p L , loc pry 1 < p < ∞, ω− ∞∈1 L , loc pry p = 1. Oboznaçym çerez ˜ ( )W Dpω 1 prostranstvo funkcyj u L Dp∈ ω( ) , ymegwyx v D proyzvodn¥e ux j{ }, j = 1, 2, … , n, v sm¥sle teoryy raspredelenyj yz L Dpω( ), nadelennoe normoj u u uW D L D L Dp p p ˜ ( ) ( ) ( )ω ω ω 1 = + ∇ , (3) hde u L Dpω ( ) = u dxp D p ω∫( )1/ , ∇u L Dpω ( ) = ∇( )∫ u dxp D p ω 1/ , ∇u = ∂ ∂ u x1   , ∂ ∂ ∂ ∂ u x u xn2 , ,…   . © F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV, 2008 918 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 919 Çerez sup D u inf D u    budem oboznaçat\ ess sup D u ess inf D u     funkcyy u v D; χE oboznaçaet xarakterystyçeskug funkcyg mnoΩestva E. Zam¥kanye Lip( )D Lip0 ( )D( ) otnosytel\no norm¥ (3) oboznaçym çerez W Dpω 1 ( ) °( )W Dpω 1 ( ) . Esly u Dj ∈Lip( ), u uj W Dp − ω 1 ( ) → 0, to { }uj naz¥vaetsq approksymyrugwej posledovatel\nost\g dlq u W Dp∈ ω 1 ( ) . Prostranstva ˜ ( )W Dpω 1 , W Dpω 1 ( ), °W Dpω 1 ( ) qvlqgtsq poln¥my refleksyvn¥my pry ω , ω1− ′p ∈ L1, loc , 1 < p < ∞ (sm. [10]). Zametym, çto v sluçae ω ∈ Ap , 1 < p < ∞, ˜ ( )W Dpω 1 = W Dpω 1 ( ) (sm. [11, 12]). V dal\nejßem budem yspol\zovat\ neravenstvo Soboleva u x dx CR Q u x dxpn Q pn R x n p p Q p R x R x ( ) ( ) ( ) / / / ′ ′ ∫ ∫         ≤ ( ) ∇         ω ω ω 0 0 1 1 1 0 , p ≥ 1, (4) u QR x∈ ( )Lip0 0 s vesom ω, udovletvorqgwym uslovyg (2), hde C = C n p Ap p n( , ) 1 1 1+    , C n p( , ) > 0 zavysyt ot n, p; QR x0 — ßar radyusa R > 0 s centrom v toçke x n 0 ∈R , ω QR x0( ) = ω dx QR x0∫ . Neravenstvo (4) lehko v¥vodytsq yz obwyx veso- v¥x rezul\tatov otnosytel\no neravenstva typa Soboleva [13] (teorema 5) (sm. takΩe [14]) v sluçae Ap -vesov. Yz neravenstva (4) dlq funkcyj u QR x∈ ( )Lip0 0 sleduet eho v¥polnenye takΩe dlq u ∈ � W Qp R x ω 1 0( ). Dejstvytel\no, pust\ { }uj approksymyruet u, tohda dlq nekotoroj podposledovatel\nosty ujk{ } ujk → → u poçty vsgdu na QR x0 y lim j j L Q k k p R xu →∞ ( )∇ ω 0 = ∇ ( )u L Qp R x ω 0 < ∞ . Prymenqq teoremu Fatu y perexodq k predelu v neravenstve (4), dlq ujk{ } poluçaem ne- ravenstvo (4) v sluçae u ∈ � W Dpω 1 ( ). Pust\ a ∈R 1 , E ⊂ D — podmnoΩestvo D, u ∈ L Dpω( ). Budem hovoryt\, çto u x( ) ≥ a u x a( ) ≤( ) poçty vsgdu na mnoΩestve E, esly mes E u x a∩ ( ) <{ } = 0 mes E u x a∩ ( ) >{ } =( )0 . Pust\ a ∈R 1 , E ⊂ D . Budem hovoryt\, çto u x( ) ≥ a u x a( ) ≤( ) na E v sm¥sle W Dpω 1 ( ), esly u xj ( ) ≥ a u x aj ( ) ≤( ) na E dlq nekotoroj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj . Dlq u ∈ W Dpω 1 ( ), z ∈ W Dpω 1 ( ) budem hovoryt\, çto z ≥ u (z ≤ u ) na E ⊂ D v sm¥sle W Dpω 1 ( ), esly z j ≥ uj z uj j≤( ) na E dlq sootvetstvugwyx approksymyrugwyx posle- dovatel\nostej. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 920 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV Dlq p ≥ 1, k ∈R 1, u ∈ W Dpω 1 ( ) poloΩym u k{ } = max ( ),u x k{ } . Tohda ymeet mesto u k{ } ∈ W Dpω 1 ( ). Dejstvytel\no, pust\ uj ∈ Lip D( ) approksymyruet u, u uj W Dp − ω 1 ( ) → 0. PokaΩem, çto uj k { } → u k{ } v W Dpω 1 ( ) syl\no. V¥berem yz { }uj podposledovatel\nost\ (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe samoe obozna- çenye) takug, çto uj → u , ∇uj → ∇u poçty vsgdu v D. Oçevydno, uj k { } ∈ ∈ Lip D( ) , u k{ } = k + χu k u k> −( ) , uj k { } = k + χu k jj u k> −( ), otkuda uj k { } – – u k{ } = ( )u uj u kj − >χ + ( )u k− χ χu k u kj > >−( ). Tohda, prymenqq neravenstvo Mynkovskoho { } { } ( ) u uj k k L Dp − ω ≤ ≤ ( ) ( ) u uj u k L Dj p − >χ ω + ( ) ( ) u k u k u k L Dj p − −( )> >χ χ ω → 0 pry j → ∞ , tak kak u uj L Dp − ω ( ) → 0, ubeΩdaemsq, çto vtoroe slahaemoe stremytsq k nulg v sylu maΩorantnoj teorem¥ Lebeha ( χ χu k u kj > >→ poçty vsgdu v D ). Yz pryvodym¥x v¥ße predstavlenyj dlq uj k { } y u k{ } v¥vodym toΩdestvo ∇ − ∇ = ∇ − ∇ + ∇ −( )> > >{ } { } ( )u u u u uj k k j u k u k u kj j χ χ χ . Tohda, prymenqq teoremu Lebeha y uçyt¥vaq, çto ∇ − ∇u uj L Dpω ( ) → 0, polu- çaem ∇ − ∇{ } { } ( ) u uj k k L Dpω ≤ ≤ ∇ − ∇u uj L Dpω ( ) + χ χ ωu k u k p p D p j u dx> >− ∇    ∫ 1/ → 0. Takym obrazom, uj k { } → u k{ } syl\no v W Dpω 1 ( ). Pust\ { }uj approksymyruet u y dlq nekotoroj eho podposledovatel\nosty (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe samoe oboznaçenye) ymeet mesto lim { } { } ( ) j j k k W D u u p→∞ − ω 1 = δ > 0. Tohda, povto- rqq pred¥duwye rassuΩdenyq, ubeΩdaemsq, çto yz πtoj podposledovatel\nos- ty moΩno v¥brat\ podposledovatel\nost\, dlq kotoroj (soxranqq oboznaçenye) spravedlyvo sootnoßenye lim { } { } ( )j j k k W D u u p→∞ − = ω 1 0 . Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet syl\nug v W Dpω 1 ( ) sxodymost\ uj k { } → → u k{ } dlq lgboj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj → u, çto y trebovalos\ dokazat\. Zameçanye 1. PrynadleΩnost\ u k{ } prostranstvu W Dpω 1 ( ) v [2], a takΩe v [1], pokazana yz druhyx soobraΩenyj, hde suwestvenno yspol\zuetsq slabaq kompaktnost\ ohranyçennoho v W Dpω 1 ( ) mnoΩestva, çto naklad¥vaet dopolny- tel\noe trebovanye p > 1. V [1, s.S75] otmeçeno, çto uj k { } sxodytsq k u k{ } v W Dpω 1 ( ) syl\no. Pryvedennoe v¥ße prqmoe dokazatel\stvo πtoho utverΩdenyq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 921 verno y v sluçae p = 1 (druhoe dokazatel\stvo sm. v [15, s.S82]). Blyzkye rassuΩdenyq pokaz¥vagt, çto esly u ∈ W Dpω 1 ( ), u x( ) ≤ k, k ∈R 1 , na ∂D v sm¥sle W Dpω 1 ( ), to uk = u x k( ){ } – k prynadleΩyt � W Dpω 1 ( ). Esly u ∈ W Dpω 1 ( ), z ∈ W Dpω 1 ( ) y z ≥ u na ∂ D v sm¥sle W Dpω 1 ( ), to ( )u z− + = = max ( ) ( ),u x z x−{ }0 prynadleΩyt � W Dpω 1 ( ). Pust\ A = A xj ( , , )ξ η{ }, j = 1, 2, … , n, — yzmerymaq funkcyq na R n × R 1 × R n → R n , udovletvorqgwaq uslovyqm Karateodory po x ∈ D y ( , )ξ η ∈ R 1 × Rn , t.Se. A( , , )⋅ ξ η — yzmery- maq funkcyq v D dlq kaΩdoho ξ ∈ R 1 , η ∈ R n y A x( , , )⋅ ⋅ neprer¥vna v R 1 × × Rn dlq poçty vsex x ∈ D. V¥polnqgtsq takΩe sledugwye uslovyq rosta: A x x p( , , ) ( )ξ η η ω η≥ , (5) A x x p( , , ) ( )ξ η λω η≤ −1 , λ ∈ ∞[ , )1 , (6) A x A x( , , ) ( , , )ξ η ξ η− = − . (7) Budem hovoryt\, çto u ∈ W Dpω 1 ( ) qvlqetsq subreßenyem (superreßenyem) uravnenyq (1) v D, esly A x u u dx D ( , , )∇ ∇ ≤∫ ϕ 0 ( ≥ 0) ∀ϕ ∈ � W Dpω 1 ( ), ϕ ≥ 0. (8) Funkcyg u ∈ W Dpω 1 ( ) budem naz¥vat\ reßenyem uravnenyq (1) v D, esly A x u u dx D ( , , )∇ ∇ =∫ ϕ 0 ∀ϕ ∈ � W Dpω 1 ( ). (9) 2. Neravenstvo Harnaka y ocenka norm¥ Hel\dera. Lemma 1. Pust\ 1 ≤ p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v QR x0 , ymegwaq pre- del\n¥e toçky na sfere SR x0 y peresekagwaq ßar QR x /2 0 . PredpoloΩym, çto u ∈ W Dpω 1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obra- wagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω 1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D, leΩa- wej stroho vnutry ßara QR x0 , y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda dlq lg- boho A > 0 najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n , p , λ , Ap y A , takaq, çto pry D Rn< δ (10) v¥polnqetsq neravenstvo sup sup / D D Q u A u R x ≥ ∩ 2 0 . (11) Dokazatel\stvo. Pust\ u x( ) ≤ M (M > 0) na SR x0 ∩ D v sm¥sle W Dpω 1 ( ). Oboznaçym z x( ) = u x M( ) −( )+ξ , ξ = 4 3 1 4 0 2 2 x x R − −     + . Pust\ k ∈ 0, sup D z( ], poloΩym zk = z x k( ){ } – k, Dk = x D z x k∈ >{ }: ( ) . Oçevydno, Dk ⊂ D ∩ QR x0 y, kak otmeçeno v¥ße, zk ∈ � W Qp R x ω 1 0( ), zk ≥ 0. Polahaq v (8) ϕ = zk , poluçaem A x u u z dx Dk ( , , )∇ ∇ ≤∫ 0 , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 922 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV yly, çto to Ωe samoe, A u M dx Dk ( )∇ − ∇∫ ξ ≤ 0. Otsgda s uçetom (5), (6) ymeem ω λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫ −u dx M R u dxp D p Dk k 3 1 . Prymenqq neravenstvo Hel\dera, naxodym ω λ ω∇ ≤    ∫ ∫u dx M R dxp D p p Dk k ( )3 . (12) Zametym, çto ∇z ≤ ∇u + 3M R v Dk . Tohda v sylu neravenstva ( )a b p+ ≤ ≤ 2 1p p pa b− +( ), a ≥ 0, b ≥ 0, 1 ≤ p < ∞, ymeem ∇z p ≤ 2 31p p p p u M R − ∇ +         . Poπtomu yz (12) poluçaem ∇ ≤    ∫ ∫z dx C M R dxk p Q p D R x k ω ω 0 1 , C p p p 1 13 2 1= +− ( )λ . Prymenqq neravenstvo (4) k levoj çasty, s pomow\g neravenstva Hel\dera na- xodym z d xk QR x ω 0 ∫ = z dxk Dk ω∫ ≤ z dx dxk pn D pn D pn k k ′ ′ − ′ ∫ ∫            ω ω 1 1 1/ / ≤ ≤ CC M Q dx p R x pn D n p k 1 1 1 1 1 0 / / / ( )ω ω ( )      ∫ + , otkuda poluçaem z dx C M Q dxk D R x pn D n p k k ω ω ω∫ ∫≤ ( )       + ( ) / / 0 1 1 1 , hde C > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap . Polahaq β( )k = ωz dxkDk ∫ , ymeem ′β ( )k = = – ω dx Dk ∫ . Tohda β ω β( ) ( ) ( )/ /k CM Q k R x pn np≤ ( ) − ′( ) + 0 1 1 1 . (13) Reßaq dyfferencyal\noe neravenstvo s uçetom β(sup ) ′D z = 0, naxodym sup ( ) ( ) ( )/ /( ) /( ) ′ + +≤ + ( )        D R x pn np np npz C np M Q 2 1 1 1 11 0 0ω β , hde ′D = x D z x∈ >{ }: ( ) 0 , C2 = C np np/( )+1 , otkuda s pomow\g (13) poluçaem sup ( ) ( ) / ′ ≤ ′   D R x np z CM D Q ω ω 0 1 , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 923 tak kak C C Cnp 2 1 1/( )+ = . Uçyt¥vaq, çto sup /D QR x u ∩ 2 0 = sup /D QR x z ∩ 2 0 ≤ sup ′D z , ymeem sup ( ) /D QR x u x ∩ 2 0 ≤ C M D QR x n p 3 0 ′      ε / , tak kak yz ω ∈ Ap sleduet, çto ω ∈ ∞A y su- westvugt C y ε > 0 takye, çto ω ω ( ) ( ) E Q ≤ C E Q     ε dlq lgb¥x Q n⊂ R , E Q⊂ . V sylu toho, çto ′ ⊂D D, poluçaem sup /D QR x u ∩ 2 0 ≤ C M D Rn n p 3     ε , hde C3 > 0, ε > > 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap . S uçetom uslovyq (10), v¥byraq δ > 0 yz so- otnoßenyq C n p 3δε / = 1 A , ymeem M A u x D QR x ≥ sup ( ) /∩ 2 0 , otkuda vsledstvye v¥bora M takoho, çto sup D u ≥ M, sleduet sup D u ≥ A u D QR x sup /∩ 2 0 . Lemma 1 dokazana. Zameçanye 2. Lemma 1 ostaetsq takΩe v syle dlq reßenyj u ∈ W Dpω 1 ( ) ∩ ∩ C D( ) uravnenyq (1), ravn¥x nulg na Γ. Lemma 2. Pust\ 1 ≤ p < ∞ , ω ∈ Ap , D QR x⊂ 0 — oblast\, ymegwaq pre- del\n¥e toçky na sfere SR x0 y soderΩawaq toçku x0 . PredpoloΩym, çto u ∈ W Dpω 1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1) v D , obrawagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω 1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D, leΩawej stroho vnutry ßara QR x0 , y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , takaq, çto pry D Rn< δ ymeet mesto neravenstvo sup lim sup ( ) exp /( ) D Q n n u u x R Dx ≥          → − ε ε γ 0 1 1 0 , (14) hde γ > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap . Lemma 2 v¥vodytsq yz lemm¥ 1 po standartnoj sxeme [16] (§S4) s prymeneny- em pryncypa maksymuma (sm. nyΩe). Zameçanye 3. V uslovyqx lemm¥ 2 s uçetom zameçanyq 2 dlq reßenyj urav- nenyq (1) u ∈ W Dpω 1 ( ) ∩ C D( ) , ravn¥x nulg na Γ, v¥polnqetsq ocenka sup ( ) exp /( ) D n n u u x R D ≥           − 0 1 1 γ . Lemma 3 (pryncyp maksymuma). Pust\ D — ohranyçennaq oblast\, u ∈ ∈ W Dpω 1 ( ) — subreßenye (superreßenye) uravnenyq (1) v D y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda esly u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω 1 ( ), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 924 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV to u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) poçty vsgdu v D. Dokazatel\stvo. PoloΩym ′D = x D u x M∈ ≥{ }: ( ) , ϕ = max ( ) ,u x M−{ }0 — probnaq funkcyq dlq (8). Tohda ϕ ∈ � W Dpω 1 ( ), ϕ ≥ 0 y A d x D ∇ ′ ∫ ϕ ≤ 0, t.Se. A ud x D ∇ ′ ∫ ≤ 0 y ∇u ≡ 0 poçty vsgdu v ′D , otkuda v sylu neravenstvaS(4) sle- duet, çto u ≡ M poçty vsgdu v ′D . Vtoraq çast\ lemm¥ 3 dokaz¥vaetsq ana- lohyçno. Lemma 4. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap y oblast\ D , raspoloΩennaq v ßare QR x0 , peresekaet ßar QR x / 4 0 y ymeet predel\n¥e toçky na SR x0 . PredpoloΩym, çto Γ — çast\ hranyc¥ D, leΩawaq stroho vnutry ßara QR x0 , u ∈ W Dpω 1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obrawagweesq v nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω 1 ( ), y v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7), sup /D QR x u ∩ 4 0 = m, D2 — mnoΩestvo Q DR x / \2 0 , a D1 — mnoΩestvo x D QR x∈{ ∩ /2 0 : 0 < u x( ) < < m 2} , D0 = x D Q u x m R x∈ ≥{ }∩ / : ( )2 0 2 . Tohda dlq lgb¥x A > 0, 0 < σ < 2−n n nσ / najdetsq takaq postoqnnaq ε > > 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , A y σ, çto yz neravenstv D1 < εRn , D0 > σRn, D2 > σRn sleduet, çto sup D u Am≥ . Dokazatel\stvo. Pust\ uj approksymyruet u, uj = 0 na D2 . Dlq neko- toroj podposledovatel\nosty, dlq kotoroj soxranqetsq preΩnee oboznaçenye, sxodymost\ uj → u, ∇uj → ∇u budet ravnomernoj vne nekotoroho otkr¥toho mnoΩestva Dδ nelynejnoj emkosty capp Dω δ( ) < δ, δ > 0 — proyzvol\noe çyslo (sm. [17, s.S300], opredelenye nelynejnoj emkosty v (29)). Tohda (n – 1)- mernug meru Xausdorfa hranyc¥ ∂Dδ , sovpadagwug s nelynejnoj emkost\g mnoΩestva Dδ pry p = 1, ω ≡ 1 (sm. [17, s.S97]), takΩe moΩno sçytat\ proyz- vol\no maloj. Pust\ δ < σRn 2 takoe, çto u uj − < m 4 v D D\ δ pry j ≥ j0 . Tohda ∇∫ u dx D1 ≥ ∇∫ u dx D D1 \ δ ≥ 1 2 1 ∇∫ u dxj D D\ δ ≥ ≥ 1 2 1 2 0 4 0mesn R x j m x D D Q u x t dt− ∈ ={ }∫ ( \ ) : ( )/ / δ ∩ ≥ ≥ m Rn n n n8 1( )( )/σ β− ≥ m Rn n n n 8 1 1β σ( )/− − . (15) Zdes\ yspol\zovano to, çto v ßare QR x /2 0 poverxnost\ {x ∈ ( \ )D Dδ ∩ QR x /2 0 : u xj ( ) = t, t ∈ ( , / )0 4m } otdelqet mnoΩestvo D2 ot mnoΩestva D D0 \ δ, mera Lebeha kaΩdoho yz kotor¥x bol\ße yly ravna σRn . Poπtomu dlq πtoj poverx- nosty ymeet mesto yzoperymetryçeskoe neravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 925 mesn R x jx D D Q u x t t m− ∈ = ∈( ){ }1 2 0 0 4( \ ) : ( ) , , //δ ∩ ≥ ≥ β σn n n nR( )( )/−1 = β σn n n nR( )/− −1 1 (sm. [9, s.S258]). Krome toho, b¥la uçtena proyzvol\nost\ δ y prymenena for- mula Federera (sm. [17, s.S40]), yz kotoroj sleduet, çto ∇ ≥ ∈ ={ }∫ ∫ −u dx x D D Q u x t dtj D D n R x j m 1 0 1 2 0 4 \ / / ( \ ) : ( ) δ δmes ∩ . Sohlasno neravenstvu Hel\dera ymeem ∇ ≤ ∇            ∫ ∫ ∫ − ′ ′ u dx u dx dx D p D p p D p 1 1 1 1 1 1 ω ω / / v sylu ω1− ′p ∈ Ap′ ⊂ A∞ y D1 ⊂ D ∩ QR x /2 0 , otkuda sleduet, çto ∇ ≤               ∇        ∫ ∫ ∫ ′ − ′ ′ u dx C D Q dx u dx D R x p p Q p p D Q p R x R x 1 0 2 1 1 1 1 0 0 δ ω ω / / / /∩ , (16) hde C, δ > 0 zavysqt ot uslovyq (2). Pust\ 0 ≤ η( )t ≤ 1 — dyfferencyruemaq funkcyq, η( )t ≡ 1 pry t ∈ 0 1 2 ,    , η( )t ≡ 0 pry t ≥ 1, ′η ≤ C0 . PoloΩym ϕ = u x x x R p ( ) η −        0 v (8) v kaçestve probnoj funkcyy. Tohda A u pA u dxp p D ∇ + ∇( )−∫ η η η 1 ≤ 0, otkuda sleduet, çto D p pu dx∫ ∇ω η ≤ p u dx D pλ ω η η η∫ ∇ ∇( ) −1 . V sylu neravenstva Hel\dera v¥vodym ω η λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫u dx p u u dxp p D p p p D ( ) , poπtomu ω λ ω∇ ≤         ( )∫ u dx p C R u Qp D Q p D p R x R x∩ 0 0 0sup . (17) S uçetom uslovyq D1 < εRn yz (15) – (17) poluçaem sup / / D n n n n p R x p Q p p u mR p C C Q dx R x ≥ ( )               − ′ − ′ − − ∫σ β λ ε ω ωδ 1 0 1 1 1 8 0 0 . (18) Yz (18) s uçetom uslovyq ω ∈ Ap sleduet, çto sup / / D n n p p n p n u A n CC p m≥ − − ′ σ β λ ε σδ 1 1 0 8 , σn nS R= ( ) . (19) Ostalos\ v¥brat\ v (19) postoqnnug ε > 0 tak, çtob¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 926 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV σ β σ λ εδ n n p p n n p A n CC p A − − − ′ = 1 1 1 0 8 / / , tohda sup D u Am≥ . Lemma 4 dokazana. Lemma 5. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\, leΩawaq v ßare QR x0 , peresekagwaq ßar QR x / 4 0 y ymegwaq predel\n¥e toçky na sfere SR x0 . Pred- poloΩym, çto Γ — ta çast\ hranyc¥ D, kotoraq raspoloΩena stroho vnut- ry ßara QR x0 , u ∈ W Dpω 1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq (1) v D , obrawagweesq v nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω 1 ( ), y v¥polnqgtsq uslo- vyq (5) – (7). PoloΩym H = Q DR x / \4 0 . Tohda dlq lgboho τ ∈ ( , / )0 2 2− n n nσ suwestvuet γ > 0 takoe, çto yz uslovyq H > τ Rn sleduet, çto sup ( ) sup / D D Q u u R x ≥ +1 4 0 γ ∩ , hde γ > 0 — konstanta, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , τ. Lemma 5 v¥vodytsq yz lemm 1, 4 po standartnoj sxeme [9, s.S143] (s prymene- nyem lemm¥ 3). Teorema 1. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap y v ßare QR x0 opredeleno poloΩy- tel\noe ohranyçennoe reßenye u W Qp R x∈ ( )ω 1 0 uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥- polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda suwestvuet konstanta C > 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , takaq, çto sup inf / / / Q Q R x R x u u C 4 0 2 0 ≤ . (20) Teorema 1 v¥vodytsq yz lemm 1, 5 po standartnoj sxeme [6, s.S115]. Teorema 2. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap , u ∈ W Dpω 1 ( ), — ohranyçennoe reßenye uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda dlq poçty vsex x, ′x yz Dρ = { x D∈ : dist x R Dn, \( ) ≥ ρ} ymeet mesto ocenka u x u x C x x( ) ( )− ′ ≤ − ′ α , hde 0 < α ≤ 1 zavysyt ot n, p, λ, Ap , a C > 0 — ewe y ot ρ > 0. Dokazatel\stvo. Oboznaçym mR x0 = inf QR x u 0 , MR x0 = sup QR x u 0 , osc QR x u 0 = MR x0 – – mR x0 , R > 0. Prymenqq neravenstvo Harnaka dlq lgboho ßara Q DR x 2 0 ⊂ y funkcyj v = u – m R x 2 0 , w = M R x 2 0 – u, ymeem M m C m mR x R x R x R x0 0 0 0 2 2− ≤ −( ) , M m C M MR x R x R x R x 2 2 0 0 0 0− ≤ −( ). M¥ vprave prymenyt\ neravenstvo Harnaka k funkcyqm v, w, tak kak dlq nyx poluçagtsq uravnenyq vyda (1) s temy Ωe postoqnn¥my, çto y dlq reßenyq u x( ) v uslovyqx (5) – (7). Uçyt¥vaq poslednye neravenstva, poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 927 osc osc Q QR x R x u C C u 2 0 0 1 1 ≥ + − , (21) hde C > 0 — konstanta neravenstva Harnaka (ne zavysyt ot u). Mnohokratnoe prymenenye ocenky (21) dokaz¥vaet teoremu 2 (sm., naprymer, [9, s.S59]). 3. Dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek. Dlq prostot¥ yzloΩenyq v πtom punkte ohranyçymsq uravnenyqmy vyda (1) s funkcyqmy A = = A xj ( , )η{ }, j = 1, 2, … , n, ne zavysqwymy ot ξ (reßenyq), otnosytel\no koto- r¥x budem predpolahat\ yzmerymost\ po x D∈ dlq lgboho η ∈R n dlq poçty vsex x — neprer¥vnost\ po η ∈R n , sçytat\, çto v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7) y A x p A x q p q( , ) ( , ) ( )−( ) − > 0 (22) pry p ≠ q, p n∈R , q n∈R dlq poçty vsex x D∈ . Suwestvovanye y edynstvennost\. Lemma 6. Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R n , V = � W Dpω 1 ( ), V ′ — so- prqΩennoe prostranstvo k V, φ ∈ W Dpω 1 ( ), f V∈ ′ — zadann¥e funkcyy y v¥- polnqgtsq uslovyq p > 1, (5) – (7) y (22). Tohda suwestvuet edynstvennoe reßenye u ∈ W Dpω 1 ( ) uravnenyq − ∇ =div A x u f( , ) , (23) udovletvorqgwee uslovyg u – φ ∈ V. Dokazatel\stvo. PoloΩym z = u – φ. Tohda z V∈ , u = z + φ, ∇u = ∇z + + ∇φ, A x z dx f dx D D ( , )∇ + ∇ ∇ =∫ ∫φ ϕ ϕ ∀ ∈ϕ V . (24) Operator A1: V → V ′, dejstvugwyj po pravylu A z A x z dx D 1( ), ( , )ϕ φ ϕ= ∇ + ∇ ∇∫ ∀ ∈ϕ V , ymeet sledugwye svojstva. Ohranyçennost\. Po svojstvu (6) ymeem A z z dx zp D L D p L Dp p1 1 1( ), ( ) ( )ϕ λ φ ω ϕ λ φ ϕ ω ω ≤ ∇ + ∇ ∇ ≤ ∇ + ∇ ∇− −∫ , otkuda A z zV W D W D p p p1 1 1 1( ) ( ) ( )′ − ≤ +( )λ φ ω ω . Monotonnost\. Dlq lgb¥x z z≠ ˜ yz V v sylu uslovyq (22) v¥polnqetsq neravenstvo A z A z z z1 1( ) (˜), ˜− − = = A x z A x z z z dx D ( , ) ( , ˜ ) ( ˜ )∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ] ∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ]∫ φ φ φ φ > 0. Koπrcytyvnost\. Na osnovanyy svojstv (5), (6) y ε-neravenstva Koßy ab ≤ ≤ ε a p′ + C b p( )ε , a ≥ 0, b ≥ 0, ε > 0, ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 928 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV A z z A x z z dx C z dx C D p D W D p p 1 1 2 1( ), ( , ) ( ) = ∇ + ∇ ∇ ≥ ∇ −∫ ∫φ ω φ ω , hde C1 > 0, C2 > 0 ne zavysqt ot z, φ. Dalee, sohlasno neravenstvu (4) A z z C z C W D p W D p p p 1 3 21 1( ), ( ) ( ) ≥ − ω ω φ , otkuda A z z z V 1( ), → ∞ pry z V → ∞ . Semyneprer¥vnost\. Ustanovym neprer¥vnost\ v¥raΩenyq A z tz A x z t z dx D 1( ˜), ( , ˜ )+ = ∇ + ∇ + ∇ ∇∫ϕ φ ϕ po parametru t ∈R 1 , hde ϕ, z, z̃ prynadleΩat V. Pust\ tn → t0 . Po predpoloΩenyg funkcyy A x z t zj ( , ˜ )∇ + ∇ + ∇{ }φ , j = 1, 2, … , n, neprer¥vno zavysqt ot parametra t. Pod¥ntehral\noe v¥raΩenye ma- Ωoryruetsq yntehryruemoj funkcyej A x z t zn( , ˜ )∇ + ∇ + ∇ ∇φ ϕ ≤ λ φ ω ϕ∇ + ∇ + ∇ ∇−z t zn p˜ 1 ≤ ≤ 4 21 0 p p p p pz t z− ∇ + ∇ + ∇( )λ φ ω˜ pry n n≥ 0 . Poπtomu na osnovanyy maΩorantnoj teorem¥ Lebeha poluçaem A z t z A z t zn1 1 0( ˜), ( ˜),+ → +ϕ ϕ pry t tn → 0 . Teper\ posle toho, kak ustanovlen¥ yzloΩenn¥e v¥ße svojstva operatora A1: V → V ′, na osnove [18, s.S182] (teorema 2.1) (yly [19], hl.S2) poluçaem suwestvo- vanye reßenyq z V∈ zadaçy A z1( ) = f ∀ ∈ ′f V . Tohda u = z + φ budet reße- nyem zadaçy − ∇div A x u( , ) = f, u – φ ∈ V, u ∈ W Dpω 1 ( ). DokaΩem edynstvennost\. Pust\ u ∈ W Dpω 1 ( ), ũ ∈ W Dpω 1 ( ), — dva reßenyq pred¥duwej zadaçy. Tohda u – ũ ∈ V, poπtomu yz uravnenyq (23) sleduet A x u A x u u u dx D ( , ) ( , ˜) ( ˜)∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ =∫ 0 . V sylu (22) otsgda v¥vodym, çto ∇ −( ˜)u u ≡ 0 poçty vsgdu v D, t.Se. u ≡ ũ poçty vsgdu v D v sylu neravenstva (4). Lemma dokazana. Lemma 7. Pust\ z ∈ W Dpω 1 ( ) — superreßenye, a u ∈ W Dpω 1 ( ) — subreße- nye uravnenyq (1) v D , pryçem z x( ) ≥ u x( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω 1 ( ). Tohda z x( ) ≥ u x( ) poçty vsgdu v D. Dokazatel\stvo. PoloΩym D′ = { x D∈ : u x( ) ≥ z x( )}. Kak otmeçeno v¥- ße, ( )u z u z− ≥χ ∈ � W Dpω 1 ( ). Tohda A x u A x z u z dxu z D ( , ) ( , ) ( )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ ≤≥∫ χ 0 , otkuda ∇ −( )u z ≡ 0 poçty vsgdu v D ′ y, sledovatel\no, v sylu (4) u ≡ z poçty vsgdu v D ′. Lemma 7 dokazana. Lemma 8. Pust\ E ⊂ D — kompaktnoe podmnoΩestvo, u ∈ � W Dpω 1 ( ) — re- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 929 ßenye uravnenyq (1) v D E\ , u x( ) ≥ M na E ( )M > 0 . Tohda dlq approksy- myrugwej posledovatel\nosty u j{ } pry poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] spravedlyvo ravenstvo t A x u n d A x u u dxj j j D j t j t j ( , ) ( , ) \ ∇ = ∇ ∇ +∫ ∫σ δ ∂Σ Σ , hde Σt j = { x D∈ : u xj ( ) > t }, n — normal\ k ∂ Σt j , napravlennaq v storonu E, M j = min ( ) x E ju x ∈ , δ j → 0 pry j → ∞. Dokazatel\stvo. V¥berem probnug funkcyg ϕ = g uh j , hde pry gh = = t u h j− pry t – h < u j < t, gh = 1 pry u j ≤ t – h, gh = 0 pry u j ≥ t. Tohda ϕ ∈ � W D Epω 1 ( \ ) y yz (9) poluçym δ j – 1 h A u u u dxj j j t h u tj ( , )⋅ ∇ ∇ ⋅ − < < ∫ + + A u u g dxj j h u tj ( , )⋅ ∇ ∇ < ∫ = 0, h > 0 . (25) ∏to sleduet yz toho, çto u — reßenye uravnenyq (1), u j{ } — approksymyrug- waq posledovatel\nost\ dlq neho, t.Se. − ∇ ∇ =∫ A x u dxj D E j( , ) \ ϕ δ , hde δ j → 0 pry j → ∞ dlq lgboho ϕ ∈ � W D Epω 1 ( \ ) . ∏to sleduet yz teorem¥ Vytaly v sylu toho, çto u j → u, ∇u j → ∇u poçty vsgdu v D E\ y yntehral¥ A x u dxj D E ( , ) \ ∇ ∇∫ ϕ ravnostepenno absolgtno neprer¥vn¥, t.Se. dlq lgboho ε > 0 suwestvuet η > 0 takoe, çto dlq lgboho mnoΩestva V ⊂ D E\ , V < < η, v¥polneno neravenstvo A x u dxj V ( , )∇ ∇ <∫ ϕ ε dlq vsex j = 1, 2, … . Dlq vtoroho slahaemoho v (25) sohlasno formule Federera y teoreme Lebeha [20, s.S16] dlq poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] pry h → + 0 ymeem 1 h s ds A u u u d t A u nd t h t j j j j s j t j− ∫ ∫ ∫⋅ ∇ ∇ ∇       → ⋅ ∇( , ) ( , )σ σ ∂ ∂Σ Σ , a takΩe A u g d xj hu x tj ∇ ⋅ <∫{ ( ) } → A u dxj u x tj ∇ <∫{ ( ) } pry h → 0 na osnove maΩo- rantnoj teorem¥ Lebeha. Yz (25), perexodq k predelu pry h → 0 s uçetom πtyx sootnoßenyj, poluçaem trebuemoe ravenstvo. Lemma 8 dokazana. Lemma 9. Pust\ u ∈ W Gpω 1 ( ) — reßenye uravnenyq (1) v oblasty G, u j j{ } = ∞ 1 — approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq neho. Tohda dlq poçty vsex t1, t2 yz oblasty znaçenyj funkcyy u xj ( ) spravedlyvo ravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 930 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV A x u nd A x u ndj j j t j t j ( , ) ( , )∇ = ∇ +∫ ∫σ σ δ ∂ ∂Σ Σ 1 2 , (26) hde Σt j = { x G∈ : u xj ( ) > t }, δ j → 0 pry j → 0, n — normal\ k ∂Σt j . Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 8; dostatoçno zametyt\ tol\ko, çto A x u dxj G j( , )∇ ∇ =∫ ϕ δ , ϕ ∈ � W Gpω 1 ( ) , (27) hde δ j → 0 v sylu toho, çto u — reßenye uravnenyq. Lemma 10. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v ßare Q R x 4 0 , perese- kagwaq QR x0 y ymegwaq predel\n¥e toçky na S R x 4 0 . PredpoloΩym, çto u ∈ ∈ W Dpω 1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq (1), obrawagwe- esq v nul\ v sm¥sle W Dpω 1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D , leΩawej stroho vnutry ßara Q R x 4 0 , y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7) y (22). Tohda sup sup D p R x p p D Q u H Q R u R x ≥ + ( )               ′ − 1 0 0 1 η ω ωcap ∩ , (28) hde η > 0 zavysyt tol\ko ot n, p, Ap ; H = Q DR x0 \ , capp Hω — eho nely- nejnaq vesovaq emkost\: capp p R nH z dx z R z H n ω ω= ∇ ∈ ≥         ∫inf : Lip ( ),0 1 na . (29) Dokazatel\stvo. PoloΩym M = sup D u, y pust\ G = Q HR x 4 0 \ . Suwestvuet φ ∈ Lip G( ), ravnaq M na ∂H y nulg na S R x 4 0 , takaq, çto φ ∈ ˜ ( )W Gpω 1 , a yz ω ∈ Ap sleduet, çto φ ∈ W Gpω 1 ( ) (m¥ vospol\zovalys\ tem, çto lgbug lypßy- cevug funkcyg v zamknutom podmnoΩestve E ⊂ Rn moΩno prodolΩyt\ na vse R n s soxranenyem ee lypßycevosty, sm. [20, s.S206]). Pust\ Uh — reßenye zadaçy div A x UH( , )∇ = 0 v G, UH – φ ∈ � W Gpω 1 ( ) , U W GH p∈ ( )ω 1 . (30) Suwestvovanye y edynstvennost\ reßenyq rassmatryvaemoj zadaçy v¥tekaet yz lemm¥ 6. PoloΩym z = M – UH v G . Tohda z qvlqetsq reßenyem uravne- nyqS(1) y z – M + φ ∈ � W Gpω 1 ( ) . Poπtomu suwestvugt ψ j ∈ Lip0( )G , approksy- myrugwye z – M + φ, takye, çto funkcyy α j = M – φ + ψ j budut approksy- myrovat\ funkcyg z v G , pryçem α j ∈ Lip G( ) v sylu φ ∈ Lip G( ). Tohda z x( ) > 0 na S R x 4 0 v sm¥sle W Dpω 1 ( ) y z x( ) = 0 na ∂H. Prymenym lemmu 7 k re- ßenyqm z, u v oblasty D. Ymeem z x( ) ≥ u x( ) na ΓUS R x 4 0 v sm¥sle W Dpω 1 ( ); z S R x 4 0 = M ≥ u x( ) , z Γ ≥ 0 ≡ u x( ) . Tohda na osnovanyy lemm¥ 7 z x( ) ≥ u x( ) poçty vsgdu v D. Poπtomu sup sup D Q D QR x R x u z ∩ ∩0 0 ≤ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 931 yly sup inf ( ) D Q D Q H R x R x u M U x ∩ ∩0 0 ≤ − , otkuda M U u D Q H D QR x R x ≥ +inf sup ∩ ∩ 0 0 . (31) Doopredelyv UH = M na H, ocenym v¥raΩenye inf Q H R x U 0 snyzu. Pust\ UH j j{ } = ∞ 1 — approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq UH , UH j H = M, 0 ≤ ≤ UH j ≤ M. Oboznaçym a j = sup ( ) \x Q Q H j R x R x U x ∈ 4 0 2 0 , M = sup ( ) x Q H j R x U x ∈ 4 0 , Σt j = { x Q R x∈ 4 0 : U xH j ( ) > t}, hde t ∈ ( , )0 M . Vo yzbeΩanye dal\nejßej hromozdkosty v oboznaçenyqx UH j , a j , Σ j t , δ j yndeks j budem opuskat\. Tohda Σa soderΩytsq v ßare Q R x 2 0 . V sylu lemm¥ 9 najdutsq dostatoçno maloe ε > 0 y a1 ∈ a a M, min( , )2( ) takye, çto A x U nd A x U ndH H M a ( , ) ( , )∇ = ∇ + − ∫ ∫σ σ δ ∂ ∂εΣ Σ 1 , (32) hde, sohlasno lemme 8, A x U nd M A x U U dx MH H H QM R x M ( , ) ( ) ( , ) \ ∇ ≥ − ∇ ∇ − − − ∫ ∫σ ε δ ∂ ε εΣ Σ 1 2 2 4 0 . Sohlasno uslovyg (5), pervoe slahaemoe pravoj çasty prev¥ßaet 1 2 4 0 ( ) \ M U dxH p Q R x M − ∇ − ∫ε ω εΣ ≥ ≥ ( )M p p M − − − ε ω ε 1 2 cap Σ ≥ ( )M H p p − −ε ω 1 2 cap . Sledovatel\no, v¥byraq ε > 0 tak, çtob¥ ( )M p− −ε 1 2 > M p−1 4 , poluçaem A x U nd M H MH p p M ( , )∇ ≥ − − ∫ − σ δ ∂ ω εΣ 1 4 2 cap (33) çerta    nad cappω oznaçaet, çto emkost\ beretsq otnosytel\no ßara Q R x 4 0 : capp Hω = inf Q p R x z dx 4 0 ∫     ∇ ω ): z Q R x∈ ( )0Lip 4 0 , z ≥ 1 n a H        . Yz lemm¥ 8 sleduet takΩe, çto A x U nd a A x U U d x aH H H Qa R x a ( , ) ( , ) \ ∇ ≤ ∇ ∇ +∫ ∫σ δ ∂Σ Σ 1 4 0 1 1 . (34) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 932 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV Pust\ ϕa1 — potencyal dlq Σa1 : div ω ϕ ϕ∇ ∇( )− a p a1 1 2 = 0 v Q R x a4 0 1 \ Σ y ϕa1 – UH ∈ � W Qp R x aω 1 4 0 1 \ Σ( ). Tohda sohlasno varyacyonnomu sm¥slu funkcyy ϕa1 ymeem ω ϕ ω∇ =∫ a p Q p p adx a R x a 1 4 0 1 11 \ Σ Σcap (sm. [3]). S pomow\g uravnenyq (1), v¥byraq probnug funkcyg ϕ = UH – ϕa1 , naxodym A x U U dxH H Q R x a ( , ) \ ∇ ∇∫ 4 0 1 Σ = ≤ A x U dxH a Q R x a ( , ) \ ∇ ∇∫ ϕ 1 4 0 1 Σ ≤ λ ω ϕ∇ ∇−∫ U dxH p a Q R x a 1 1 4 0 1 \ Σ ≤ ≤ λ ω ∇      ∫ ′ U dxH p Q p R x a4 0 1 1 \ / Σ ω ϕ∇      ∫ a p Q p d x R x a 1 4 0 1 1 \ / Σ ≤ ≤ λ A x U U dxH H Q p R x a ( , ) \ / ∇ ∇        ∫ ′ 4 0 1 1 Σ capp a p aωΣ 1 1 1( ) / , otkuda v sylu (5), (6) A x U U d xH H Q R x a ( , ) \ ∇ ∇∫ 4 0 1 Σ ≤ λ ω p p p aa1 1 cap Σ ≤ ≤ ( )2λ ω p p p aa cap Σ ≤ ( )2 2 0λ ω p p p R xa Qcap , (35) tak kak Σa1 ⊂ Σa ⊂ Q R x 2 0 . Yz (32) – (35) sleduet, çto M H M a Q a p p p p p R x − −− ≤ + +    1 1 24 2 2 1 10cap capω ω δ λ δ( ) , yly a C H Q Mp p R x p ≥       − ′ − cap cap ω ω δ 2 1 0 , hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, a, H, M. Ustremyv j k ∞ , analohyçnug ocenku poluçym dlq reßenyq U xH ( ) (opuskaem δ j ). V sylu neravenstva Harnaka y lemm¥ 3 inf inf Q H Q H p p R x p R x R x U U Ca C H Q M 0 2 0 0 2 1 ≥ ≥ ≥       ′ − cap cap ω ω , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 933 hde C > 0 ne zavysyt ot R, x0 , H, M. Dejstvytel\no, v sylu lemm¥ 3 inf Q H R x U 2 0 , a takΩe sup \Q Q H R x R x U 4 0 2 0 budut dostyhat\sq na poverxnosty sfer¥ S R x 2 0 . Poskol\ku lgb¥e dve toçky na S R x 2 0 moΩno soedynyt\ cepoçkoj samoe bol\ßee µn ßarov QR x /2 ν{ }, hde xν ∈ S R x 2 0 , to, prymenqq v kaΩdoj QR x /2 ν neravenstvo Harnaka, yme- em sup sup inf inf \Q Q H S H S H Q H R x R x R x n R x n R x U U C U C U 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 5 5= ≤ =µ µ , hde C5 — konstanta yz teorem¥ 1, t.Se. C = C n 5 −µ vo vtoroj ocenke, pryvody- moj v¥ße. Vospol\zuemsq teper\ πlementarn¥my ocenkamy capp R xQω 2 0 ≤ CR Qp R x− ( )ω 4 0 , capp Hω ≥ capp Hω . Dalee, ω Q R x 4 0( ) ≤ C QR xω 0( ) v sylu svojstva udvoenyq funkcyj ω ∈ Ap , v ytohe poluçaem ocenku inf S H p p R x p R x U C R H Q M 0 0 1 ≥ ( )       ′ − cap ω ω , hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, H, M. S uçetom poslednej ocenky yz (31) sle- duet utverΩdenye lemm¥ 10. Lemma 10 dokazana. Obobwennoe reßenye zadaçy Dyryxle. Pust\ f — proyzvol\naq neprer¥v- naq na ∂D funkcyq. Postroym obobwennoe reßenye uf zadaçy Dyryxle dlq uravnenyq (1) v oblasty D : div A x u( , )∇ = 0 v D, u fD∂ = . (36) V sluçae f ∈ Lip( )∂D suwestvuet ee prodolΩenye φ s ∂D na vse D takoe, çto φ ∈ Lip D( ) . Tohda φ ∈ W Dpω 1 ( ) y obobwenn¥m reßenyem uf zadaçy (36) nazovem reßenye zadaçy div A x u( , )∇ = 0 v D, u – φ ∈ � W Dpω 1 ( ). (37) Zadaça (37) razreßyma v sylu lemm¥ 6. Proyzvol\nug neprer¥vnug funkcyg f na ∂D approksymyruem hladkymy funkcyqmy fk → f ravnomerno na ∂D, hde fk ∈ Lip( )∂D . Pust\ φk — pro- dolΩenye fk na D, φk ∈ Lip D( ) . Oboznaçym çerez uk reßenye zadaçy (37) dlq φ = φk . Ymeem f fk m− ≤ δkm → 0 na ∂D pry k, m → ∞ . Tohda v sylu lemm¥ 7 u uk m− ≤ δkm poçty vsgdu v D. Poπtomu posledovatel\nost\ funkcyj uk{ } sxodytsq v L D∞( ) k nekotoroj suwestvenno ohranyçennoj v D funkcyy u f , kotorug budem naz¥vat\ obobwenn¥m reßenyem zadaçy (36). Funkcyq u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v lgboj stroho vnutrennej podoblasty G : G ⊂ D . Dejstvytel\no, lim sup k D ku →∞ ≤ 2 max ∂D f y lim ( )k k W Du p→∞ ω 1 < ∞, tak kak yz uravnenyq (37) sleduet (v¥byraem probnug funkcyg ϕ = uk pξ , hde ξ ∈ Lip D( ) ravna 1 na G , G ⊂ Ω, y nulg vne Ω, Ω ⊂ D) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 934 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV A x u u dxk k p D ( , )∇ ∇∫ ξ ≤ λ ξ ξ ωp u u dxk p k p D − −∇ ∇∫ 1 1 ≤ ≤ λ ω ξ ω ξp u dx u dxk p p D p k p p D p ∇     ∇    ∫ ∫ ′1 1/ / , yly s uçetom (5) ω ξ∇∫ u dxk p p D ≤ C G D f D , , max , ∂ ω    , (38) otkuda ω ∇∫ u dxk p D ≤ C G D f D , , max , ∂ ω    . Tohda ∇uk → v v L D p p( ) ( )ξ ω slabo dlq nekotoroj podposledovatel\nosty, dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye. Yz sxodymosty uk → u f v L D∞( ) sleduet, çto v = ∇u f . Tohda ∇uk → ∇u f v L D p p( ) ( )ξ ω y L Gpω( ) sla- bo, ∇u f ∈ L Gpω( ). PokaΩem, çto ∇uk → ∇u f poçty vsgdu v G dlq nekotoroj podposledova- tel\nosty. Podbyraq probnug funkcyg ( )u uk f p− ξ , yz uravnenyq (37) naxo- dym A x u A x u u u dxk f k f p D ( , ) ( , )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )∫ ξ ≤ ≤ p A x u u u dx Ik k f p D k( , )∇ − ∇ −−∫ ξ ξ1 ≤ ≤ p u u u dx dx Ik f p k p D p p p kλ ξ ω ω ξsup / / Ω Ω − ∇     ∇     −∫ ∫ ′1 1 , (39) I A x u u u d xk f k f p D = ∇ ∇ − ∇ →∫ 1 0 ω ξ ω( , )( ) , k → ∞. Tohda s uçetom (38), slaboj sxodymosty ∇uk → ∇u f v L D p p( ) ( )ξ ω y sup Ω uk – – u f → 0 poluçaem F dxk G ∫ = δk → 0, hde F A x u A x u u uk k f k f= ∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )( , ) ( , ) . Yz πtoho v¥tekaet, çto Fk → 0 po mere v G. Tohda dlq nekotoroj podposledo- vatel\nosty, dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye, Fk → 0 poçty vsg- du v G . Otsgda sleduet, çto ∇uk → ∇uf poçty vsgdu v G v sylu uslovyq (22): pust\ ∇uk → g v toçke x G∈ , hde F xk ( ) → 0, tohda yz (5) v¥tekaet, çto g koneçen, a yz (22) sleduet, çto g = ∇u xf ( ) . Tohda ω− ∇1/ ( , )p kA x u → → ω− ∇1/ ( , )p fA x u poçty vsgdu v G vsledstvye neprer¥vnosty funkcyj {A xj ( , )η : j = 1, 2, … , n} po η. No lim ( , ) / ( )k k p L G A x u p→∞ −∇ ′ ω 1 ≤ λ ω ∇ −uk L G p p ( ) 1 < < ∞. Po teoreme Lyonsa [18, s.S25], A x uk p( , ) /∇ −ω 1 → ω− ∇1/ ( , )p fA x u v L Gp′( ) slabo, tak çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 935 0 = ∇ ∇ → ∇ ∇∫ ∫A x u dx A x u dxk G f G ( , ) ( , )ϕ ϕ ∀ϕ ∈ � W Gpω 1 ( ) , t.Se. u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v G. Opredelenye. Toçka x D0 ∈∂ naz¥vaetsq rehulqrnoj dlq uravnenyq (36), esly dlq lgboj neprer¥vnoj na ∂D funkcyy f lim ( ) ( ) x x fu x f x → = 0 0 . (40) Teorema 3. Pust\ pry 1 < p < ∞, ω ∈ Ap v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7) y (22) dlq uravnenyq (36). Tohda dlq rehulqrnosty hranyçnoj toçky x0 dosta- toçno, çtob¥ 4 4 1 1 0 − ′ − = ∞ −( )       = ∞∑ m p p m x p m H Q m cap ω ω , (41) hde Hm = Q Dm x 4 0 − \ , capp mHω — eho nelynejnaq vesovaq emkost\ (29). Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno [6, s.S151]. Pust\ ε > 0, tohda najdetsq δ1 > 0 takoe, çto f x f x( ) ( )− 0 < ε 4 pry x x− 0 < δ1, x D∈∂ . Krome toho, najdetsq fk ∈ Lip( )∂D , dlq kotoroj f fk − < ε 4 dlq vsex x ∈ ∈ ∂D. Pust\ uk — reßenye zadaçy div A x uk( , )∇ = 0 v D , uk – φk ∈ � W Dpω 1 ( ), hde φk ∈ Lip D( ) — prodolΩenye fk s ∂D na vsg D . Funkcyq z = uk – – f x( )0 – ε 2 est\ reßenye zadaçy div A x z( , )∇ = 0 v D , z – φk + f x( )0 + + ε 2 ∈ � W Dpω 1 ( ). Tohda dlq lgboho x ∈ Qx δ1 0 ∩ ∂D ymeem z < 0. Funkcyq z ne- prer¥vna v D. Oboznaçym ′D = { x D∈ : z x( ) > 0}. Pust\ m0 — takoe natu- ral\noe çyslo, çto 4 0−m < δ1. Prymenqq k ßaram Q m x 4 0 − , Q m x 4 1 0 − +( ) y podoblas- ty ′D dlq m = m0, m0 + 1, … , l, mnohokratno lemmu 10, poluçaem sup max exp ( )Q D D p m x m p p m m l l x m z f H Q 4 0 0 0 3 4 4 1 − − ≤ −               − ′ − = ∑ ∩ ∂ ωγ ω cap . Yz πtoj ocenky y analohyçnoj dlq funkcyj z1 = f x( )0 – ε 2 – uk ymeem sup ( ) ( ) exp Q D f mp p m x p m m l l x m u x f x L H Q 4 0 0 0 0 4 1 2 4 − − − < + − ( )               − ′ − = ∑ ∩ ε γ ω ωcap , (42) hde L > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap , max ∂D f (podrobnee sm. [6, s.S151]). Otsgda, v¥byraq l( )ε ∈ N tak, çtob¥ vtoroe slahaemoe (42) b¥lo men\ße ε/2 pry l ≥ ≥ l( )ε , poluçaem u x f xf ( ) ( )− 0 < ε pry x x− 0 < δ, x D∈ , hde δ = 4−l( )ε . Yz dokazatel\stva teorem¥ 3 vydno, çto v rehulqrnoj hranyçnoj toçke moΩno ocenyt\ modul\ neprer¥vnosty funkcyj u xf ( ) v zavysymosty ot modu- lq neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy f y skorosty rasxodymosty rqda (41). Pust\ f x f x( ) ( )− 0 ≤ θ x x−( )0 , hde θ (θ( )0 = 0, θ ′ > 0, θ ′′ ≤ 0) — modul\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 936 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy. Tohda u x f x f H Q d f D p p x p x x ( ) ( ) ( ) max exp− ≤ + − ( )               ′ − − ∫0 1 2 3 0 0 θ δ γ τ ω τ τ∂ ω τ τ δ cap pry x x− 0 < δ, x D∈ , hde δ > 0, γ > 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap ; Hτ = Q Dx τ 0 \ ; capp Hω τ — nelynejnaq vesovaq emkost\ Hτ (29). 1. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for equations with discontinuous coefficients // Ann. sci. norm. super. Pisa. Cl. Sci. – 1963. – 17. – P. 43 – 77 (Sb. per. „Mate- matyka”. – 1965. – 9, # 2. – S. 72 – 97). 2. Fabes E. B., Kenig C. E., Serapioni R. P. The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations // Communs Part. Different. Equat. – 1982. – 7. – P. 77 – 116. 3. Fabes E. B., Jerison D., Kenig C. The Wiener test for degenerate elliptic equations // Ann. Inst. Forier (Grenoble). – 1982. – 32. – P. 151 – 182. 4. Chanillo S., Wheeden R. L. Harnack’s inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerated elliptic equations // Communs Part. Different. Equat. – 1986. – 11(10). – P. 1111 – 1134. 5. Garieppy R., Ziemer W. P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1977. – 67. – P. 25 – 39. 6. Kondrat\ev V. A., Landys E. M. Kaçestvennaq teoryq lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x vtoroho porqdka // Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq. – M.: VYNYTY, 1988. – 32. – S. 99 – 217. 7. Maz’ya V. G. On Wiener’s type regularity of a boundary points for higher order elliptic equations // Nonlinear Anal. Function Spaces and Appl. / Eds M. Krbec, A. Kufner (Proc. Spring School Held in Prague, May 31 – June 6, 1988). – 1988. – 6. – P. 119 – 155. 8. Maly J., Ziemer W. P. Regularity of solutions of elliptic partial differential equations // Math. Surv. and Monogr. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997. – 51. 9. Landys E. M. Uravnenyq vtoroho porqdka πllyptyçeskoho y parabolyçeskoho typov. – M.: Nauka, 1971. – 287 s. 10. Kufner A. Weighted Sobolev spaces. – Leipzig: Feubner, 1980. 11. Kilpelainen T. Smooth approximation in weighted Sobolev spaces // Comment math. Univ. carol. – 1997. – 38. – P. 29 – 35. 12. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Approximation and embedding theorems for weighted Sobolev spaces associated with Lipschitz continuous vector fields // Boll. Unione mat. ital. – 1997. – 7, # 11-B. – P. 83 – 117. 13. Sawyer E. T., Wheeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces // Amer. J. Math. – 1992. – 114. – P. 813 – 874. 14. Mamedov F. I. On two weighted Sobolev inequalities in unbounded domains // Proc. A. Razmadze Math. Inst. Georgian Acad. Sci / Ed. V. M. Kokilashvili. – 1999. – 21. – P. 117 – 123. 15. Lad¥Ωenskaq O. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravnenyq πllyptyçesko- ho typa. – M.: Nauka, 1967. – 574 s. 16. Landys E. M. Nekotor¥e vopros¥ kaçestvennoj teoryy πllyptyçeskyx uravnenyj // Uspexy mat. nauk. – 1963. – 18, # 1. – S. 3 – 62. 17. Maz\q V. H. Prostranstva Soboleva. – L.: Yzd-vo Lenynhr. un-ta, 1985. 18. Lyons Û.-L. Nekotor¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x kraev¥x zadaç. – M.: Myr, 1972. – 585 s. 19. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Nonlinear elliptic equations (singular and degenerated case). – Univg West Bohemia in Pilshen, 1996. – 211 p. 20. Stejn Y. Synhulqrn¥e yntehral¥ y dyfferencyal\n¥e svojstva funkcyj. – M.: Myr, 1973. – 342 s. Poluçeno 26.04.06, posle dorabotky — 28.08.07 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7

Ähnliche Einträge