Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 900–917. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647022020-02-11T01:28:15Z Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений Круглов, В.Е. Статті 2008 Article Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 900–917. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164702 517.923:517.912 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Круглов, В.Е. Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Круглов, В.Е. |
| author_facet |
Круглов, В.Е. |
| author_sort |
Круглов, В.Е. |
| title |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| title_short |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| title_full |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| title_sort |
решение уравнения типа пуанкаре–перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164702 |
| citation_txt |
Решение уравнения типа Пуанкаре–Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифференциальных уравнений / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 900–917. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kruglovve rešenieuravneniâtipapuankareperronavtorogoporâdkaisvodâŝihsâknemudifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-14T17:18:16Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:18:16Z |
| _version_ |
1837643592805384192 |
| fulltext |
УДК 517.923:517.912
В. Е. Круглов (Одес. нац. ун-т)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА
ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА
И СВОДЯЩИХСЯ К НЕМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
The analytical solution of the second-order difference Poincare – Perron equation is presented. This enables
us to construct in the explicit form a solution of the differential equation
t2(A1t2 + B1t + C1)u′′ + t(A2t2 + B2t + C2)u′ + (A3t2 + B3t + C3)u = 0.
The solution of the equation is represented in terms of two hypergeometric functions and one new
special function. As a separate case, the explicit solution of the Heun equation is obtained, and polynomial
solutions of this equation are found.
Наведено аналiтичний розв’язок рiзницевого рiвняння другого порядку типу Пуанкаре – Перрона.
Це дозволило побудувати в явному виглядi розв’язок диференцiального рiвняння
t2(A1t2 + B1t + C1)u′′ + t(A2t2 + B2t + C2)u′ + (A3t2 + B3t + C3)u = 0.
Розв’язок рiвняння зображено через двi гiпергеометричнi функцiї та одну нову спецiальну
функцiю. Як окремий випадок отримано явний розв’язок рiвняння Гойна i знайдено полiномiальнi
розв’язки цього рiвняння.
Основные специальные функции математической физики, представленные степен-
ными рядами, получены как решения соответствующих линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка с тремя особыми точками [1, 2]. Коэффициенты ln
этих степенных рядов достаточно просто находятся из двучленных рекуррентных
уравнений типа
βnln = αn−1ln−1, n = 1, 2, . . . . (1)
Если на комплексной плоскости рассмотреть дифференциальное уравнение
t2(A1t
2+B1t+C1)u′′+t(A2t
2+B2t+C2)u′+(A3t
2+B3t+C3)u = 0, C1 6= 0, (2)
частным случаем которого является класс уравнений типа Гойна [2, 3], т. е. уравне-
ний с четырьмя особыми точками, то коэффициенты ln степенного ряда (см. ниже),
удовлетворяющего (2), получают их трехчленного рекуррентного уравнения второ-
го порядка типа Пуанкаре – Перрона [3, c. 61]
γ1l1 = β0l0,
γn+1ln+1 = βnln + αn−1ln−1, n = 1, 2, . . . .
(3)
В [3] приведены достаточно обширная библиография по изучению уравнений клас-
са Гойна, а также большое количество физических задач, сводящихся к уравнению
Гойна. Однако во всех работах, известных автору, отсутствует явное решение урав-
нения (3). В данной работе получено явное решение уравнения (3) при γn 6= 0,
n = 1, 2, . . . , что позволило получить явное решение уравнения (2), содержащее
две гипергеометрические функции и одну новую специальную функцию, а также
c© В. Е. КРУГЛОВ, 2008
900 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 901
остаточные члены степенных рядов, представляющих эти функции. Кроме того,
изучена структура коэффициента ln, выраженная через параметры уравнения (2).
Алгоритм получения явного решения уравнения (3) пригоден для случая, когда
γn, βn, αn — некоторые известные функции, что позволяет, например, явно по-
строить множество ортогональных полиномов ln(t), для которых, как известно [4,
с. 55], имеет место равенство (3).
1. Пусть δ0 = 1, δ1 = 1, δn+1 = δn + δn−1 — числовая последовательность
Фибоначчи.
На последовательности l0, l1, . . . зададим функционал ψ следующим образом:
ψ(ln+1) — это число слагаемых в ln+1.
Лемма 1. ψ(ln+1) = δn+1.
Доказательство. ψ(l0) = 1 = δ0, ψ(l1) = 1 = δ1. Определим очевидные
свойства функционала ψ.
1. ψ(ali+1) = ψ(li+1), где a — число, a 6= 0. (Умножение ln+1 на число не
изменяет количество слагаемых в ln+1.)
2. Для неравных нулю чисел a и b ψ(aln + bln−1) = ψ(ln) + ψ(ln−1).
Действительно, в силу рекуррентности уравнения (3) все коэффициенты ln+1,
n = 0, 1, . . . , представимы как произведение l0 на совокупность слагаемых, которая
состоит из слагаемых, входящих в ln и ln−1. Не ограничивая общности, можно
считать, что среди слагаемых, входящих в ln и ln−1, нет подобных членов. Тогда за
счет умножения коэффициентов ln и ln−1 соответственно на βn/γn+1 и αn−1/γn+1
среди слагаемых, входящих в ln+1, также нет подобных членов.
Пусть для i = n выполнено ψ(ln) = δn. Тогда ψ(ln−1) = δn−1 для i = n − 1.
Вычислим
ψ(ln+1) = ψ
(
βnln
γn+1
+
αn−1ln−1
γn+1
)
= ψ(ln) + ψ(ln−1) = δn + δn−1 = δn+1,
что и требовалось доказать. Из (3) следует, что при нахождении ln+1 используется
набор чисел
In+1 =
(
β0, β1, . . . , βn; α0, α1, . . . , αn−1; γ1, γ2, . . . , γn+1
)
.
Назовем цепью 1-го порядка или 1-цепью любое произведение αiγi+1 элемен-
тов из набора In+1. Две 1-цепи αiγi+1 и αjγj+1 назовем непересекающимися, если
среди элементов этих пар нет элементов с одинаковыми индексами. Цепью k-го
порядка или k-цепью назовем произведение k непересекающихся 1-цепей.
Обозначим I ′n+1 =
(
α0, α1, . . . , αn−1; γ1, γ2, . . . , γn+1
)
.
Лемма 2. Максимальный порядок k-цепи, которую можно составить из эле-
ментов набора I ′n+1, равен
k =
[
n+ 1
2
]
,
где [. . .] обозначает целую часть.
Доказательство. Пусть n = 2s. Цепь максимального порядка имеет вид
α0γ1α2γ3 . . . α2s−1γ2s. Отсюда k = s =
[
2s+ 1
2
]
=
[
n+ 1
2
]
. При n = 2s + 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
902 В. Е. КРУГЛОВ
цепь максимального порядка такова: α0γ1α2γ3 . . . α2sγ2s+1. Тогда ее порядок k =
= s+ 1 =
[
2s+ 2
2
]
=
[
n+ 1
2
]
, что и требовалось доказать.
Лемма 3. Количество k-цепей в наборе I ′n+1 равно(
n− k + 1
k
)
, k = 1, 2, . . . ,
[
n+ 1
2
]
.
Доказательство проведем индукцией по k. Пусть k = 1. Все 1-цепи, которые
можно составить в наборе I ′n+1, это α0γ1, α1γ2, . . . , αn−1γn. Их количество n =
=
(
n
1
)
.
Пусть при k = p−1 выполнено условие леммы, т. е. количество цепей (p− 1)-го
порядка в наборе I ′n+1 равно
(
n− p+ 2
p− 1
)
.
Покажем, что при k = p количество p-цепей в наборе I ′n+1 равно
(
n− p+ 1
p
)
.
При этом используем неполную индукцию по n. Минимальное значение n, для
которого в наборе I ′n+1 существует p-цепь, равно 2p−1, т. е. набор I ′2p =
(
α0, α1, . . .
. . . , α2p−2; γ1, γ2, . . . , γ2p
)
имеет всего лишь одну p-цепь α0γ1α2γ3 . . . α2p−2γ2p−1.
Пусть n = 2p. Подсчитаем число p-цепей в наборе
I ′2p+1 =
(
α0, α1, . . . ,α2p−2, α2p−1; γ1, . . . , γ2p, γ2p+1
)
, I ′2p ⊂ I ′2p+1,
по следующему алгоритму. Найдем сначала все (p− 1)-цепи в наборе
I ′2p−1 =
(
α0, α1, . . . , α2p−3; γ1, . . . , γ2p−1
)
, n = 2p− 2, I ′2p−1 ⊂ I ′2p+1.
По предположению их (
n− p+ 2
p− 1
)
=
(
p
p− 1
)
.
Поскольку в цепях запрещена комбинация α2p−2γ2p−1α2p−1γ2p (есть элементы с
одинаковыми индексами), каждую (p− 1)-цепь из набора I ′2p−1 можно умножить
только на 1-цепь α2p−1γ2p из I ′2p+1. В результате порядок каждой (p− 1)-цепи
увеличится на единицу и в наборе(
α0, . . . , α2p−3, α2p−1;γ1, . . . , γ2p+1
)
⊂ I ′2p+1
получим
(
p
p− 1
)
уже p-цепей. Добавив к этим p-цепям p-цепь α0γ1α2γ3 . . .
. . . α2p−2γ2p−1, получим
(
p
p− 1
)
+ 1 = p + 1 =
(
p+ 1
p
)
p-цепей в наборе
I ′2p+1.
Пусть для n = 2p − 1 + s число p-цепей в наборе I ′2p+s =
(
α0, . . . , α2p+s−2;
γ1, . . . , γ2p+s
)
равно
(
p+ s
p
)
. Покажем, что для n = 2p + s число p-цепей в на-
боре I ′2p+s+1 =
(
α0, . . . , α2p+s−1; γ1, . . . , γ2p+s+1
)
равно
(
p+ s+ 1
p
)
. Так как
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 903
I ′2p+s+1 ⊃ I ′2p+s−1, в наборе I ′2p+s+1 есть
(
p+ s
p
)
„старых” p-цепей. Далее при-
меним для подсчета p-цепей тот же алгоритм, что и при n = 2p. Поскольку в цепях
запрещена комбинация α2p+s−2γ2p+s−1α2p+s−1γ2p+s, выбросив из набора I ′2p+s
элементы α2p+s−2, γ2p+s−1, подсчитаем число (p− 1)-цепей в наборе I ′2p+s−1 =
=
(
α0, . . . , α2p+s−3; γ1, . . . , γ2p+s−1
)
. По предположению для k = p− 1 в этом на-
боре число (p− 1)-цепей равно
(
p+ s
p− 1
)
. Умножая каждую (p− 1)-цепь на 1-цепь
α2p+s−1γ2p+s, получаем уже „новую” p-цепь, и число этих „новых” p-цепей в
наборе I ′2p+s+1 остается неизменным и равно
(
p+ s
p− 1
)
.
Добавляя к числу „новых” p-цепей число „старых” p-цепей, убеждаемся, что в
наборе I ′2p+s+1 число всех p-цепей равно(
p+ s
p− 1
)
+
(
p+ s
p
)
=
(
p+ s+ 1
p
)
=
(
n− p+ 1
p
)
=
(
n− k + 1
k
)
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Количество всех цепей разных порядков в наборе I ′n+1 равно
(δn+1)-му числу Фибоначчи без единицы.
Доказательство вытекает из известного равенства
δn+1 = 1 +
[n+1
2 ]∑
k=1
(
n− k + 1
k
)
.
Замечание 1. С увеличением порядка цепи количество цепей в наборе I ′n+1
сначала увеличивается, а затем уменьшается. Легко получить тот порядок цепи m,
для которого число m-цепей в наборе I ′n+1 максимально, а именно:
при n = 2s+ 1 s+ σ1 − 1 ≤ m ≤ s+ σ1, где σ1 =
7−
√
20s2 + 20s+ 9
10
,
при n = 2s s+ σ2 − 1 ≤ m ≤ s+ σ2, где σ2 =
1−
√
5s2 + 1
5
.
Произведение различных n+ 1 элементов из набора In+1 = (β0, . . . , βn; α0, . . .
. . . , αn−1; γ1, . . . , γn+1) назовем правильным длины n + 1, если оно состоит из
элементов (множителей), имеющих разные индексы. Другими словами, в правиль-
ном произведении не могут встречаться множители из In+1, имеющие одинаковые
индексы.
Из всех правильных произведений длины n + 1 выберем те, которые строятся
следующим образом.
Возьмем произвольную 1-цепь в наборе I ′n+1 и домножим ее на те n−1 элемен-
тов из β0, β1, . . . , βn, индексы которых не совпадают с индексами элементов этой
цепи. Например, α0γ1β2 . . . βn, αmγm+1β0 . . . βm−1βm+2 . . . βn. Сумму всех пра-
вильных произведений длины n+1, содержащих 1-цепи, обозначим d1
n. Слагаемых
в этой сумме столько же, сколько 1-цепей в наборе I ′n+1, т. е.
(
n
1
)
.
Далее, возьмем произвольную k-цепь в наборе I ′n+1, k = 1, 2, . . . ,
[
n+ 1
2
]
, и
домножим на те n − 2k + 1 элементов из набора β0, . . . , βn, индексы которых не
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
904 В. Е. КРУГЛОВ
совпадают с индексами элементов, входящих в эту k-цепь. Сумму всех правиль-
ных произведений длины n + 1, каждое из которых содержит k-цепь, обозначим
dk
n+k−1. Слагаемых в этой сумме столько же, сколько k-цепей в наборе I ′n+1,
т. е.
(
n− k + 1
k
)
, и, наконец, через d0
n+1 обозначим правильное произведение
β0β1 . . . βn.
В дальнейшем эти суммы правильных произведений длины n+1 будем называть
блоками и сохраним обозначения dk
n−k+1, k = 0, 1, . . . ,
[
n+ 1
2
]
.
Теорема. Решение ln+1 уравнения (3) определяется при l0 = 1 формулой
ln+1 =
[n+1
2 ]∑
k=0
dk
n−k+1
(γ1γ2 . . . γn+1)
−1
, n = 0, 1, 2, . . . , (4)
для набора In+1 =
(
β0, . . . , βn; α0, . . . , αn−1; γ1, . . . , γn+1
)
.
Доказательство проведем индукцией по n. Непосредственно из уравнения (3)
получаем
при n = 0 l1 = β0γ
−1
1 = d0
1γ
−1
1 для набора I1 = (β0; γ1);
при n = 1 l2 = (β0β1+α0γ1)(γ1γ2)−1 = (d0
2 + d1
1)(γ1γ2)−1 для набора I2 =
= (β0, β1;α0; γ1, γ2);
при n = 2 l3 = (β0β1β2 + α0γ1β2 + α1γ2β0)(γ1γ2γ3)−1 = (d0
3 + d1
2)(γ1γ2γ3)−1
для набора I3 = (β0, β1, β2; α0, α1; γ1, γ2, γ3).
Предположим, что (4) справедливо при n = p, т. е. для набора Ip+1 =
(
β0, . . . βp;
α0, . . . αp−1; γ1, . . . , γp+1
)
lp+1 =
[ p+1
2 ]∑
k=0
dk
p−k+1
(γ1γ2 . . . γp+1)
−1
.
Значит, (4) справедливо и при n = p− 1, т. е. для Ip =
(
β0, . . . , βp−1;α0, . . . , αp−2;
γ1, . . . , γp
)
lp =
[ p
2 ]∑
k=0
dk
p−k+1
(γ1γ2 . . . γp)
−1
.
Покажем, что равенство (4) справедливо при n = p + 1 для набора Ip+2 =
=
(
β0, . . . , βp+1;α0, . . . , αp; γ1, . . . , γp+2
)
. Из (3) получаем
lp+2 =
βp+1
γp+2
lp+1+
αplp
γp+2
= (γ1 . . . γp+2)
−1
βp+1
[ p+1
2 ]∑
k=0
dk
p−k+1 + αpγp+1
[ p
2 ]∑
m=0
dm
p−m
.
(5)
Покажем сначала, что все слагаемые в квадратных скобках — это правильные
произведения длины p+ 2 из набора Ip+2.
Действительно, в первой сумме все слагаемые — это правильное произведение
длины p+ 1 из набора Ip+1. Поэтому умножение их на βp+1 не изменяет правиль-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 905
ность этих произведений, увеличивает их длину на 1 и добавляет в набор Ip+1
элемент βp+1. Во второй сумме все слагаемые — это правильные произведения
длины p из набора Ip. Поэтому умножение их на 1-цепь αpγp+1 не нарушает пра-
вильность произведений, увеличивает длину произведения на 2 и порядок каждой
цепи на 1 и добавляет в набор Ip элементы αp, γp+1. Таким образом, в построе-
нии lp+2 участвуют элементы из набора Ip+2 и все слагаемые — это правильные
произведения длины p+ 2.
Запишем теперь квадратную скобку в (5) для p = 2s :
[. . .] = β2s+1
(
d0
2s+1 + d1
2s + . . .+ dk
2s−k+1 + . . .+ ds
s+1
)
+
+α2sγ2s+1
(
d0
2s + d1
2s−1 + . . .+ dk−1
2s−k+1 + . . .+ ds
s
)
.
Сгруппируем те блоки слагаемых, которые содержат цепи одинакового порядка.
Блок, не содержащий цепей: β2s+1d
0
2s+1 = β0β1 . . . β2s+1 = d0
2s+2. 1-Цепи содер-
жат блоки β2s+1d
1
2s+1 и α2sγ2s+1d
0
2s. Их сумма образует блок слагаемых, содер-
жащих 1-цепи в наборе ln+1, т. е. d1
2s+2, и число слагаемых в этом блоке равно(
2s
1
)
+ 1 =
(
2s+ 1
1
)
и т. д.
k-Цепи содержат только блоки β2s+1d
k
2s−k+1 и α2sγ2s+1d
k−1
2s−k+1. Их сумма
образует блок dk
2s−k+2 в наборе I2s+2, и число слагаемых в этом блоке равно(
2s− k + 1
k
)
+
(
2s− k + 1
k − 1
)
=
(
2s− k + 2
k
)
.
Наконец, s-цепи содержатся только в блоках β2s+1d
s
s+1 и α2sγ2s+1d
s−1
s+1. Их сумма
образует блок ds
s+2 в наборе I2s+2, и число слагаемых в этом блоке равно(
s+ 1
s
)
+
(
s+ 1
s− 1
)
=
(
s+ 2
s
)
.
(s+ 1)-Цепь в наборе I2s+2 — это α2sγ2s+1d
s
s = α0γ1 . . . α2s−2γ2s−1α2sγ2s+1 =
= ds+1
s+1, и она одна, т. е.
(
s+ 1
s+ 1
)
.
Таким образом,
l2s+2 = (γ1 . . . γ2s+2)
−1
s+1∑
k=0
dk
2s−k+2 = (γ1 . . . γp+2)
−1
[ p+2
2 ]∑
k=0
dk
p−k+2 = lp+2.
Аналогично рассматривается случай p = 2s+ 1.
Теорема доказана.
Заменив в формуле (4) n + 1 на n и разделив полученную сумму почленно на
γ1γ2 . . . γn, получим для ln эквивалентную (4) форму
ln =
[n/2]∑
k=0
n−2k∑
i1=0
n−2k+2∑
i2=i1+2
. . .
n−2∑
ik=ik−1+2
∆(i1, i2, . . . , ik), n = 1, 2, . . . , (6)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
906 В. Е. КРУГЛОВ
∆(i1, i2, . . . , ik) =
β0β1 . . . βi1−1αi1βi1+2 . . . βik−1αik
βik+2 . . . βn−1
γ1γ2 . . . γi1γi1+2γi1+3 . . . γik
γik+2γik+3 . . . γn
, (7)
при этом числитель первого слагаемого в сумме (6), т. е. при k = 0, равен
β0β1 . . . βn−1; если же k = [n/2], то сумма (6) завершается при n = 2s слагае-
мым с числителем α0α2 . . . α2s−2, а при n = 2s + 1 — слагаемыми с числителями
α0α2 . . . α2s−2β2s и β0α1 . . . α2s−1.
Из формулы (3), разделенной предварительно на γn+1, видно, что элементу
βn соответствует дробь βn/γn+1, а элементу αn−1 — дробь αn−1/γn+1. Поэтому
знаменатели всех дробей в (6) легко восстанавливаются по числителям этих дробей.
Элемент βm назовем элементом первого ранга, элемент αm — элементом вто-
рого ранга, а числитель каждой дроби в (6) и (7) — гиперцепью порядка n, состав-
ленной из элементов набора I ′′n =
(
β0, β1, . . . , βn−1;α0, α1, . . . , αn−2
)
. Множество
гиперцепей порядка n обозначим l′n, и их столько же, сколько слагаемых содержит
коэффициент ln, т. е. δn. Заметим, что если к каждой гиперцепи из l′n добавить
соответствующий знаменатель, то сумма полученных дробей даст коэффициент ln.
Из формулы (7) следует, что все гиперцепи порядка n строятся из элементов
βm и αm с соблюдением следующей иерархии расположения их в произведениях:
1) любая гиперцепь порядка n начинается c элемента с нулевым индексом;
2) любой элемент βm ранга один умножается на следующий элемент, индекс
которого на единицу больше, чем у βm, причем этот элемент может быть любого
ранга, именно: . . . βmβm+1 . . . или . . . βmαm+1 . . . ; любой элемент αm ранга два
умножается на следующий элемент, индекс которого на две единицы больше, чем
у αm, причем этот элемент может быть любого ранга, именно: . . . αmβm+2 . . . или
. . . αmαm+2 . . . .
Легко заметить, что порядок n каждой гиперцепи равен сумме рангов всех
входящих в эту гиперцепь элементов.
2. Решение уравнения (2) в окрестности точки t = 0 ищем в виде степенного
ряда (решение Фробениуса)
u(t) = l0t
ρ + l1t
ρ+1 + . . . , l0 6= 0. (8)
Обозначим
αn = A3 + (ρ+ n)A2 + (ρ+ n)(ρ+ n− 1)A1,
βn = B3 + (ρ+ n)B2 + (ρ+ n)(ρ+ n− 1)B1, (9)
γn = C3 + (ρ+ n)C2 + (ρ+ n)(ρ+ n− 1)C1.
Предположим, что γn 6= 0, n = 1, 2, . . . .
Подставляя (8) в (2) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях t, полу-
чаем систему уравнений
γ0 = C3 + ρC2 + ρ(ρ− 1)C1 = 0, (10)
l1 = −β0
γ1
l0,
ln+1 = − βn
γn+1
ln −
αn−1
γn+1
ln−1.
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 907
Из уравнения (10) (которое называется определяющим для уравнения (2) в точке
t = 0) найдем значения ρ = ρ1 и ρ = ρ2, и в дальнейшем, взяв какое-либо значение
ρ, будем полагать, что в (9) параметр ρ известен, и для него построим решение (8).
При l0 = 1 для коэффициента ln получим
ln =
[n/2]∑
k=0
n−2k∑
i1=0
n−2k+2∑
i2=i1+2
. . .
n−2∑
ik=ik−1+2
(−1)n−k∆(i1, i2, . . . , ik), (12)
где ∆(i1, i2, . . . , ik) определено в (7).
Рассмотрим форму [
D03 + ρD02 + ρ(ρ− 1)D01
]
. . .
. . .
[
Dn3 + (ρ+ n)Dn2 + (ρ+ n− 1)(ρ+ n)Dn1
]
=
=
∑
i0,i1,...,in
σi0,i1,...,in
(ρ, n)D0i0D1i1 . . . Dnin
, i0, i1, . . . , in = 1, 2, 3. (13)
Если в этой форме не приводить подобных членов и не объединять в степень рав-
ные параметры Djij
, если они имеются, то коэффициенты σi0,i1,...,in
(ρ, n) есть
инварианты относительно замены параметров Djij на любые другие. Поскольку
каждое слагаемое в числителе ln+1 с учетом (9) имеет структуру (13), то, выбирая
конкретный коэффициент σi0,i1,...,in(ρ, n), возле него можно сгруппировать разли-
чные степени параметров Ai, Bi, Ci.
Продемонстрируем это на старших степенях Bi.
Если Di3 = B3, Di2 = B2, Di1 = B1, i = 0, 1, . . . , n, то, как легко вычислить,
коэффициент при Bn+1
1 равен (ρ− 1)ρ2(ρ+ 1)2 . . . (ρ+ n− 1)2(ρ+ n), при Bn+1
2
— ρ(ρ+ 1) . . . (ρ+ n), при Bn+1
3 — 1.
Так как каждое слагаемое в блоке d1
n имеет вид αiγi+1β0 . . . βi−1βi+2 . . . βn,
i = 0, 1, . . . , n− 1, то в форме (13) надо положить Di3 = A3, Di2 = A2, Di1 = A1,
Di+1,3 = C3, Di+1,2 = C2, Di+1,1 = C1, Dj,3 = B3, Dj,2 = B2, Dj,1 = B1,
j = 0, 1, . . . , n, j 6= i, i+1, и потому в каждом слагаемом блока d1
n есть коэффициент
(ρ− 1)ρ2 . . . (ρ+ n− 1)2(ρ+ n), умноженный на A1C1B
n−1
1 , коэффициент ρ(ρ +
+ 1) . . . (ρ+ n), умноженный на A2C2B
n−1
2 , и слагаемое A3C3B
n−1
3 .
Таким образом, в блоке d1
n степень A1C1B
n−1
1 входит с коэффициентом(
n
1
)
(ρ− 1)ρ2 . . . (ρ+ n− 1)2(ρ+ n),
степень A2C2B
n−1
2 — с коэффициентом(
n
1
)
ρ(ρ+ 1) . . . (ρ+ n)
и степень A3C3B
n−1
3 — с коэффициентом
(
n
1
)
.
Аналогично, в блоке d2
n−1 степень A2
1C
2
1B
n−3
1 входит с коэффициентом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
908 В. Е. КРУГЛОВ(
n− 1
2
)
(ρ− 1)ρ2 . . . (ρ+ n− 1)2(ρ+ n),
степень A2
2C
2
2B
n−3
2 — с коэффициентом(
n− 1
2
)
ρ(ρ+ 1) . . . (ρ+ n),
степень A2
3C
2
3B
n−3
3 — с коэффициентом
(
n− 1
2
)
.
Продолжая этот процесс, получаем, что числитель в ln+1 с точностью до знака
имеет следующую структуру:
(ρ− 1)ρ2 . . . (ρ+ n− 1)2(ρ+ n)×
×
[
Bn+1
1 −
(
n
1
)
A1C1B
n−1
1 +
(
n− 1
2
)
A2
1C
2
1B
n−3
1 − . . .
. . .+ (−1)s
([n
2
]
+ 1
s
)
As
1C
s
1B
n+1−2s
1
]
+
+ ρ(ρ+ 1) . . . (ρ+ n)
[
Bn+1
2 −
(
n
1
)
A2C2B
n−1
2 +
+
(
n− 1
2
)
A2
2C
2
2B
n−3
2 − . . .+ (−1)s
([n
2
]
+ 1
s
)
As
2C
s
2B
n+1−2s
2
]
+
+Bn+1
3 −
(
n
1
)
A3C3B
n−1
3 +
(
n− 1
2
)
A2
3C
2
3B
n−2
3 − . . .
. . .+ (−1)s
([n
2
]
+ 1
s
)
As
3C
s
3B
n+1−2s
3 + (. . .), (14)
где s =
[
n+ 1
2
]
, а в круглых скобках (. . .) собраны все остальные слагаемые,
которые содержат степени параметровAi, Bi, Ci, сумма показателей которых равна
n + 1, но показатель каждого параметра содержится между 1 и n; коэффициенты
при этих степенях — это легко вычисляемые полиномы от ρ степени меньшей
2n+ 2.
Далее,
γ1 . . . γn =
[
C3 + (ρ+ 1)C2 + ρ(ρ+ 1)C1
]
. . .
. . .
[
C3 + (ρ+ n+ 1)C2 + (ρ+ n)(ρ+ n+ 1)C1
]
=
= ρ(ρ+ 1)2 . . . (ρ+ n)2(ρ+ n+ 1)Cn+1
1 +
+(ρ+ 1) . . . (ρ+ n+ 1)Cn+1
2 + Cn+1
3 + (. . .),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 909
где в круглых скобках (. . .) собраны остальные слагаемые формы, которые содер-
жат степени параметров C1, C2, C3, сумма показателей которых равна n + 1, но
показатели каждого параметра находятся между 1 и n; коэффициенты при этих
степенях — это некоторые полиномы от ρ степени меньшей 2n+ 2.
Таким образом, структура коэффициента ln+1 полностью описывается послед-
ней формулой и формулой (14). Полиномиальные особенности на асимптотику не
влияют, так как числитель и знаменатель, ln+1 имеют одного типа полиномиальные
особенности.
Замечание 2. Учитывая, что γ0 = 0, для чисел γn легко получить γn =
= n
[
C2 + (2ρ+ n− 1)C1
]
. Что касается области сходимости ряда (8), (12), то
согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений [5, с. 536; 6,
c. 219] этот ряд сходится равномерно и абсолютно в круге с центром в точке t = 0
и радиусом, равным меньшему по модулю корню трехчлена A1t
2 +B1t+ C1.
Представим ряд (8) в более наглядном виде. Для этого проведем классифика-
цию гиперцепей, что оказывается равносильным перегруппировке членов степен-
ного ряда (8), а это не изменяет область равномерной и абсолютной сходимости
вновь полученного степенного ряда.
Базовой гиперцепью назовем такую гиперцепь, у которой два последних эле-
мента имеют разные ранги, т. е. это гиперцепь, которая оканчивается произве-
дением или . . . βmαm+1, или . . . αmβm+2. Тогда небазовая гиперцепь — это такая
гиперцепь, у которой, по крайней мере, два последних элемента имеют одинаковые
ранги. Заметим, что если небазовая гиперцепь оканчивается элементами второго
ранга, то индексы этих элементов имеют одинаковую четность.
К тривиальным базовым гиперцепям отнесем гиперцепи β0, α0, β0α1.
Изучим подробнее структуру множества l′n гиперцепей порядка n, построен-
ных из элементов набора I ′′n = (β0, β1, . . . , βn−1;α0, α1, . . . , αn−2). Все они де-
лятся на базовые и небазовые. Базовые гиперцепи порядка n оканчиваются па-
рами или . . . βn−3αn−2, или . . . αn−3βn−1. С небазовой гиперцепью порядка n
поступим следующим образом: будем отбрасывать от конца гиперцепи элемен-
ты одного ранга до тех пор, пока либо появится тривиальная гиперцепь, либо
впервые отбрасываемый элемент „встретится” с элементом другого ранга. Со-
храняя эту пару, получаем базовую гиперцепь порядка меньшего n. Обратно,
имея некоторую базовую гиперцепь порядка s < n, составленную из набора
I ′′s = (β0, β1, . . . , βs−1;α0, α1, . . . , αs−2), умножаем ее с соблюдением иерархии
на элементы из I ′′n \ I ′′s . В результате получим или небазовую гиперцепь поряд-
ка n, порожденную данной базовой гиперцепью порядка s, или одну из базовых
гиперцепей порядка n.
Число разных базовых гиперцепей порядка n равно 2δn−3. Действительно,
любая гиперцепь порядка n − 3, составленная из элементов набора I ′′n−3 = (β0,
β1, . . . , βn−4;α0, α1, . . . , αn−5) (а их δn−3) и умноженная на βn−3αn−1, является
базовой гиперцепью порядка n. Иерархия расположения элементов в этой гипер-
цепи не нарушается, так как любая гиперцепь порядка n− 3 оканчивается парами
или . . . βn−6αn−5, или . . . αn−6βn−4. Аналогичные рассуждения справедливы для
любой гиперцепи порядка n− 3, умноженной на αn−3βn−1.
Таким образом, все базовые гиперцепи порядка n можно разбить на два пучка
базовых гиперцепей порядка n : l′n−3βn−3αn−1 и l′n−3αn−3βn−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
910 В. Е. КРУГЛОВ
Следовательно, все гиперцепи порядка n разделяются на два пучка базовых ги-
перцепей порядка n и небазовые гиперцепи, порожденные базовыми гиперцепями
меньшего порядка.
Базовую гиперцепь и порожденные ею небазовые цепи отнесем к одному классу
гиперцепей. Каждая базовая гиперцепь из пучка порождает собственный класс
гиперцепей. Эти классы не пересекаются, так как порождены разными базовыми
гиперцепями из пучка. Таким образом, каждая гиперцепь порядка n принадлежит
одному и только одному классу гиперцепей.
В качестве примера запишем все гиперцепи порядков 4 и 5.
Гиперцепи порядка 4: β0β1β2β3, α0β2β3, β0α1β3, β0β1α2, α0α2. Здесь базо-
вые гиперцепи — β0α1β3, β0β1α2; небазовые гиперцепи — все остальные: первая
гиперцепь порождена тривиальной базовой гиперцепью β0, вторая — базовой ги-
перцепью α0β2, а последняя — тривиальной базовой гиперцепью α0.
Гиперцепи порядка 5: β0β1β2β3β4, α0β2β3β4, β0α1β3β4, β0β1α2β4, β0β1β2α3,
α0α2β4, α0β2α3, β0α1α3. Базовые гиперцепи: β0β1α2β4, α0α2β4, β0β1β2α3,
α0β2α3. Здесь первые две и две последние образуют пучки. Все остальные гипер-
цепи — небазовые: первая гиперцепь порождена тривиальной базовой гиперцепью
β0, вторая — базовой гиперцепью α0β2, третья — базовой гиперцепью β0α1β3, а
последняя — тривиальной гиперцепью β0α1.
Умножая базовую гиперцепь неограниченно на элементы того же ранга, что
и последний элемент этой гиперцепи, получаем расширенный класс гиперцепей,
порожденный данной базовой гиперцепью.
Перегруппируем члены степенного ряда (8) относительно расширенных клас-
сов гиперцепей. Положим l0 = 1. Расширенный класс гиперцепей, порожденный
тривиальной базовой гиперцепью β0, т. е. β0, β0β1, . . . , β0β1 . . . βk−1, . . . , опреде-
ляет функцию
F0(t) = −β0
γ1
t+
β0β1
γ1γ2
t2 − . . .+ (−1)k β0β1 . . . βk−1
γ1γ2 . . . γk
tk + . . . .
Расширенный класс гиперцепей, порожденный тривиальной базовой гиперцепью
α0, т. е. α0, α0α2, . . . , α0α2, . . . , α2k−2, . . . , определяет функцию
F1(t) = −α0
γ2
t2 +
α0α2
γ2γ4
t4 − . . .+ (−1)kα0α2 . . . α2k−2
γ2γ4 . . . γ2k
t2k + . . . .
Расширенный класс гиперцепей, порожденный тривиальной базовой гиперце-
пью β0α1, т. е. β0α1, β0α1α3, . . . , β0α1α3 . . . α2k−1, . . . , определяет функцию
−β0t
γ1
F1/2(t) = −β0
γ1
t
[
−α1
γ3
t2 +
α1α3
γ3γ5
t4 − . . .+ (−1)kα1α3 . . . α2k−1
γ3γ5 . . . γ2k+1
t2k + . . .
]
.
(Смысл индекса 1/2 будет пояснен ниже.)
Введем также функции
F
(n)
0 (t) = −β0
γ1
t+ . . .+ (−1)n β0β1 . . . βn−1
γ1γ2 . . . γn
tn,
F
(n)
1 (t) = −α0
γ2
t2 +
α0α2
γ2γ4
t4 − . . .+ (−1)nα0α2 . . . α2n−2
γ2γ4 . . . γ2n
t2n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 911
F
(n)
1/2(t) = −α1
γ3
t2 +
α1α3
γ3γ5
t4 − . . .+ (−1)nα1α3 . . . α2n−1
γ3γ5 . . . γ2n+1
t2n.
Пучки базовых гиперцепей порядка n порождают следующие расширенные
классы гиперцепей:
l′n−3αn−3βn−1, l′n−3αn−3βn−1βn, l′n−3αn−3βn−1βnβn+1, . . . , (15)
l′n−3βn−3αn−2, l′n−3βn−3αn−2αn, l′n−3βn−3αn−2αnαn+2, . . . . (16)
Функция, определенная расширенным классом гиперцепей (15), — это ряд
− ln−3αn−3
γn−1
[
−βn−1
γn
tn +
βn−1βnt
n+1
γnγn+1
− . . .
]
. (17)
Преобразуем выражение в квадратных скобках:
[. . .] =
(−1)n−1γ1 . . . γn−1
β0β1 . . . βn−2
×
×
[
(−1)n β0 . . . βn−1
γ1 . . . γn
tn + (−1)n+1 β0 . . . βn
γ1 . . . γn+1
tn+1 + . . .
]
=
=
(−1)n−1γ1 . . . γn−1
β0β1 . . . βn−2
[
F0(t)− F
(n−1)
0 (t)
]
,
а значит, (17) приводится к виду
(−1)n ln−3γ1 . . . γn−2αn−3
β0β1 . . . βn−2
[
F0(t)− F
(n−1)
0 (t)
]
.
Учитывая, что простейшая базовая гиперцепь в рассматриваемом случае — это
α0β2, окончательно для базовых гиперцепей порядка n, n = 3, 4, . . . , заканчиваю-
щихся парой элементов αn−3βn−1, получаем функцию
∞∑
n=3
Rn
[
F0(t)− F
(n−1)
0 (t)
]
,
где известные числа
Rn = (−1)n ln−3γ1 . . . γn−2αn−3
β0β1 . . . βn−2
.
Функция, определенная расширенным классом гиперцепей (16), — это ряд
− ln−3βn−3
γn−2
[
−αn−2
γn
tn +
αn−2αn
γnγn+2
tn+2 + . . .
]
. (18)
Для упрощения этой формулы надо различать случаи: n = 2k и n = 2k + 1.
Пусть n = 2k. Тогда квадратную скобку в (18) можно записать таким образом:
(−1)k−1γ2 . . . γ2k−2
α0α2 . . . α2k−4
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
912 В. Е. КРУГЛОВ
×
[
(−1)kα0 . . . α2k−2
γ2 . . . γ2k
t2k + (−1)k+1 α0 . . . α2k
γ2 . . . γ2k+2
t2k+2 + . . .
]
=
=
(−1)k−1γ2 . . . γ2k−2
α0 . . . α2k−4
[
F1(t)− F
(k−1)
1 (t)
]
,
и окончательно (18) преобразуется к виду
(−1)k l2k−3β2k−3γ2 . . . γ2k−4
α0α2 . . . α2k−4
[
F1(t)− F
(k−1)
1 (t)
]
.
Учитывая, что простейшая базовая гиперцепь в рассматриваемом случае —
это β0β1α2, для базовых гиперцепей любого порядка, заканчивающихся парой
элементов β2k−3α2k−2, k = 2, 3, . . . , получаем функцию
∞∑
k=2
Pk
[
F1(t)− F
(k−1)
1 (t)
]
,
где известные числа
Pk =
(−1)kl2k−3β2k−3γ2 . . . γ2k−4
α0α4 . . . α2k−4
.
Пусть n = 2k+ 1. Тогда квадратную скобку в (18) преобразуем таким образом:
(−1)k−1γ3γ5 . . . γ2k−1
α1α3 . . . α2k−3
×
×
[
(−1)kα1α3 . . . α2k−1
γ3γ5 . . . γ2k+1
t2k+1 + (−1)k+1α1 . . . α2k+1
γ3 . . . γ2k+3
t2k+3 + . . .
]
=
=
(−1)k−1γ3γ5 . . . γ2k−1t
α1 . . . α2k−3
[
F1/2(t)− F
(k−1)
1/2 (t)
]
,
а значит, окончательно ряд (18) преобразуется в функцию
(−1)k l2k−2β2k−2γ3 . . . γ2k−3t
α1α3 . . . α2k−3
[
F1/2(t)− F
(k−1)
1/2 (t)
]
.
Учитывая, что простейшие базовые гиперцепи в рассматриваемом случае — это
β0β1β2α3 или α0β2α3, для базовых гиперцепей любого порядка, заканчивающихся
парой β2k−2α2k−1, k = 2, 3, . . . , получаем функцию
t
∞∑
k=2
Sk
[
F1/2(t)− F
(k−1)
1/2 (t)
]
,
где известные числа
Sk =
(−1)kl2k−2β2k−2γ3γ5 . . . γ2k−3
α1α3 . . . α2k−3
,
но S2 = l2β2/α1.
Таким образом, решение уравнения (2) представлено в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 913
u(t) = tρ
{
1 + F0(t)−
β0t
γ1
F1/2(t) + F1(t) +
∞∑
k=2
[
Rk+1
(
F0(t)− F
(k)
0 (t)
)
+
+Pk
(
F1(t)− F
(k−1)
1 (t)
)
+ Skt
(
F1/2(t)− F
(k−1)
1/2 (t)
)]}
. (19)
Запишем теперь функции F0(t), F1(t) и F1/2(t) в ином виде, воспользовавшись
разложениями на множители чисел αn, βn и γn из (9).
Пусть αn = A1(n+ p1)(n+ p2), βn = B1(n+ q1)(n+ q2), n = 0, 1, . . . .
Учитывая, что γ0 = 0, получаем γn = C1n(n + σ − 1), где σ = 2ρ + C2/C1,
n = 1, 2, . . . . Тогда
F0(t) =
∞∑
k=1
(q1)k(q2)k
(1)k(σ)k
(−1)kBk
1
Ck
1
tk = F
(
q1, q2;σ;−B1
C1
t
)
− 1,
где F — гипергеометрическая функция, (a)k = a(a+ 1) . . . (a+ k − 1), (1)k = k!,
F1(t) =
∞∑
k=1
(p1
2
)
k
(p2
2
)
k
(1)k
(
1 + σ
2
)
k
(−1)kA
k
1
Ck
1
t2k = F
(
p1
2
,
p2
2
;
σ + 1
2
;−A1
C1
t2
)
− 1.
Обозначим стандартную гипергеометрическую функцию
F (a1, a2; b1; t) =
∞∑
k=0
(a1)k(a2)k
(1)k(b1)k
tk
следующим образом:
F (a1, a2; b1; t) ≡ F (a1, a2; 1, b1; t).
Введем функцию
F1/2(a1, a2; 1, b1; t) = F
(
a1 +
1
2
, a2 +
1
2
; 1 +
1
2
, b1 +
1
2
; t
)
=
=
∞∑
k=0
(
a1 +
1
2
)
k
(
a2 +
1
2
)
k(
1 +
1
2
)
k
(
b1 +
1
2
)
k
tk.
Назовем эту функцию гипергеометрической функцией половинного порядка.
Тогда
F1/2(t) = F1/2
(
p1
2
,
p2
2
; 1,
1 + σ
2
;−A1
C1
t2
)
− 1 =
∞∑
k=1
(−1)k×
× (1 + p1)(3 + p1) . . . (2k − 1 + p1)(1 + p2)(3 + p2) . . . (2k − 1 + p2)
3 · 5 . . . (2k + 1)(σ + 2)(σ + 4) . . . (σ + 2k)
Ak
1
Ck
1
t2k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
914 В. Е. КРУГЛОВ
Если B1 = 0, то βn = B2(n+ σ1), где σ1 = B3/B2 + ρ, и F0(t) — вырожденная
гипергеометрическая функция, F0(t) = F
(
σ1;σ;−B2
C1
t
)
− 1; если A1 = 0, то
αn = A2(n+σ2), где σ2 = A3/A2+ρ, и F1(t) — вырожденная гипергеометрическая
функция, F1(t) = F
(
σ2
2
;
σ + 1
2
;−A2
C1
t2
)
− 1.
Рассмотрим частные случаи уравнения (2).
1. Пусть A1 = A2 = A3 = 0. Тогда αn = 0. Трехчленное рекуррентное уравне-
ние (11) переходит в двучленное типа (1) и
ln+1 = (−1)n β0β1 . . . βn
γ1γ2 . . . γn
l0.
Решение дифференциального уравнения
t2(B1t+ C1)u′′ + t(B2t+ C2)u′ + (B3t+ C3)u = 0
определяется формулой
u(t) = tρ [1 + F0(t)] = tρF
(
q1, q2;σ;−B1
C1
t
)
.
Этот результат следует также из формулы (19), так как функции
F1(t) ≡ F1/2(t) ≡ Rn
[
F0(t)− F
(n−1)
0 (t)
]
≡ 0.
2. Пусть B1 = B2 = B3 = 0. Тогда βn = 0. Трехчленное рекуррентное уравне-
ние (11) переходит в двучленное
ln+1 = −αn−1
γn+1
ln−1, n = 1, 2, . . . .
а) l0 6= 0 и l1 = 0. Тогда l2k+1 = 0, k = 0, 1, . . . ,
l2k = (−1)kα0α2 . . . α2k−2
γ2γ4 . . . γ2k
l0,
и решение уравнения
t2(A1t
2 + C1)u′′ + t(A2t
2 + c2)u′ + (A3t
2 + C3)u = 0
определяется формулой
u(t) = tρ [1 + F1(t)] = tρF
(
p1
2
,
p2
2
;
σ + 1
2
;−A1
C1
t2
)
.
б) l0 = 0 и l1 6= 0. Тогда l2k = 0, k = 0, 1, . . . . В этом случае определяющее
уравнение γ1 = C3 + (ρ + 1)C2 + (ρ + 1)ρC1 = 0 имеет корни ρ1 − 1 и ρ2 − 1,
где ρ1 и ρ2 — корни уравнения γ0 = 0. Подставляя в (9) вместо ρ параметр ρ − 1,
получаем α2k+1 = α2k, γ2k+1 = γ2k, где α2k и γ2k вычислены по формуле (9) для
параметра ρ. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 915
l2k+1 = (−1)kα0α2 . . . α2k−2
γ2γ4 . . . γ2k
l1.
Решение дифференциального уравнения (2) определяется при l1 = 1 формулой
u(t) = tρ−1(l1t+ l3t
3 + . . .) = tρ(1 + F1(t)).
Таким образом, случай б) не дал иного решения по сравнению со случаем а).
Тот же результат получается из формулы (19), так как F0(t) ≡ 0, Pk = Sk = 0
и
F1(t) + 1 = F
(
p1
2
,
p2
2
;
σ + 1
2
;−A1
C1
t2
)
.
В заключение остановимся на решениях уравнения (2), представленных в виде ко-
нечных сумм степеней t. Естественным условием вырождения ряда (8) в конечную
сумму степени ρ+N − 1 относительно t является равенство нулю коэффициентов
lN , lN+1, . . . этого ряда.
Вопрос многочленности решения подробно изучен в работах [7] (гл. III. § 3)
и [8] (гл. IV. § 3, 4), где приведен алгоритм нахождения многочленных решений,
коэффициенты которых при степенях t также удовлетворяют рекуррентному урав-
нению, пригодный как для регулярной, так и иррегулярной особой точки.
Для изучаемого уравнения (2), вследствие рекуррентного уравнения (11), усло-
вия многочленности решения проще, чем в [7, 8], и они уже учитывают структуру
коэффициента lN и параметры уравнения (2).
1. Если в (11) lN = 0 и αN−1 = 0, то lN+k = 0, k = 1, 2, . . . , т. е. рекуррент-
ность уравнения (11) обрывается на N шаге, а значит, при построении гиперцепей
используется набор I ′′N = (β0, . . . , βN−1;α0, . . . , αN−2). Поэтому функции F0(t),
F1(t) и F1/2(t) — это полиномы от t.
Из (14) следует, что уравнение lN = 0 — это алгебраическое уравнение степени
N относительно каждого из параметров B1, B2, B3 и степени [N/2] относительно
каждого из остальных параметров.
Лемма 4. Если A1, A2, A3 таковы, что для каждого из корней определяю-
щего уравнения (10) αn 6= 0, n = 0, 1, 2, . . . , то уравнения ln+1 = 0 и ln = 0 не
могут иметь общих корней.
Доказательство очевидно, так как если τ — общий корень уравнений ln+1 = 0
и ln = 0, то из (11) следует, что lk(τ) = 0, k = 1, 2, . . . . Но это приводит к
противоречивому равенству α0l0 = 0.
2. Если в (11) αN−1 = αN = βN = 0, то lN+k = 0, k = 1, 2, . . . , и функции
F0(t),F1(t) и F1/2(t) — полиномы от t.
Продемонстрируем этот случай на дифференциальном уравнении Гойна
t(t− 1)(t− σ)u′′ +
[
dt(t− σ) + c(t− 1)(t− σ)+
+(a+ b+ 1− c− d)t(t− 1)
]
u′ + (abt− λ)u = 0.
Это уравнение получается из (2) при
A1 = 1, A2 = a+ b+ 1, A3 = ab,
B1 = −(σ + 1), B2 = d− a− b− 1− (c+ d)σ,B3 = −λ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
916 В. Е. КРУГЛОВ
C1 = σ,C2 = cσ, C3 = 0.
Определяющее уравнение γ0 = ρσ(c+ ρ− 1) = 0 дает при σ 6= 0 корни ρ1 = 0
и ρ2 = 1− c. При ρ = 0
αn = (n+ a)(n+ b), γn = nσ(c+ n− 1),
βn = −(σ + 1)n2 +
[
σ − a− b− (c+ d)σ + d
]
n− λ.
Из равенств αN−1 = αN = 0 получаем αn = (n−N) (n−N + 1) , т. е. a =
= −N ; b = −N + 1. Из равенства βN = 0 следует, что
λN = N [(d+N − 1) (1− σ)− cσ] , βn =
n−N
N
[λN − nN(σ + 1)] ,
а уравнение Гойна имеет вид
t (t− 1) (t− σ)u′′ +
{
(2− 2N) t2 +
[
λN
N
+ (N − 1) (σ + 1)
]
t+ cσ
}
u′+
+ [N (N − 1)− λN ]u = 0.
Тогда:
1) N = 0, λ0 = 0, u0(t) ≡ 1;
2) N = 1, λ1 = d(1− σ)− cσ, u1(t) = 1 +
λ1
cσ
t;
3) N = 2, λ2 = 2 [(d+ 1)(1− σ)− cσ] ,
αn = (n− 2)(n− 1), βn =
n− 2
2
[
λ2 − 2n(σ + 1)
]
,
u2(t) = 1 +
λ2
σc
t+
[
λ2 [λ2 − 2(σ + 1)]
4σ2c(c+ 1)
− 1
σ(c+ 1)
]
t2;
4) N = 3, λ3 = 3
[
(d+ 2)(1− σ)− cσ
]
, βn =
n− 3
3
t
[
λ3 − 3n(σ + 1)
]
,
αn = (n− 3)(n− 2),
u3(t) = 1 +
λ3
cσ
t+
[
λ3 [λ3 − 3 (σ + 1)]
3c (c+ 1)σ2
− 3
σ (c+ 1)
]
t2+
+
[
λ3 [λ3 − 3 (σ + 1)] [λ3 − 6 (σ + 1)]
27c (c+ 1) (c+ 2)σ3
−
− λ3 − 6 (σ + 1)
3 (c+ 1) (c+ 2)σ2
− 2λ3
3c (c+ 2)σ2
]
t3.
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 2 т. – М.: Наука, 1973. – Т. 2. –
589 c.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971.
– 576 с.
3. Славянов С., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенно-
стей. – С.-Петербург: Невский диалект, 2002. – 311 с.
4. Сеге Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962. – 500 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПУАНКАРЕ – ПЕРРОНА ВТОРОГО ПОРЯДКА... 917
5. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков: ОНТИ, 1939. – 719 с.
6. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. – 436 с.
7. Латышева К. Я., Терещенко Н. И. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений и их приложения (метод Фробениуса – Латышевой). – Киев: Ин-т математики АН
УССР, 1970. – 393 с.
8. Латышева К. Я., Терещенко Н. И., Орел Г. С. Нормально-регулярные решения и их приложе-
ния. – Киев: Вища шк., 1974. – 135 с.
Получено 03.04.06,
после доработки — 17.09.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
|