Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках
Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений классов интегралов Пуассона периодических функций некоторым линейным методом приближения специального вида в метриках пространств C и Lp ....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164704 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 976–982. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164704 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647042020-02-11T01:25:40Z Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках Сердюк, А.С. Статті Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений классов интегралов Пуассона периодических функций некоторым линейным методом приближения специального вида в метриках пространств C и Lp . We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of classes of Poisson integrals of periodic functions by a linear approximation method of special form in the metrics of the spaces C and L p . 2008 Article Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 976–982. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164704 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сердюк, А.С. Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках Український математичний журнал |
| description |
Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений классов интегралов Пуассона периодических функций некоторым линейным методом приближения специального вида в метриках пространств C и Lp . |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_short |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_fullStr |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full_unstemmed |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| title_sort |
наближення інтегралів пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164704 |
| citation_txt |
Наближення інтегралів Пуассона одним лінійним методом наближення в рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 976–982. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas nabližennâíntegralívpuassonaodnimlíníjnimmetodomnabližennâvrívnomírníjtaíntegralʹnihmetrikah |
| first_indexed |
2025-07-14T17:18:22Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:18:22Z |
| _version_ |
1837643599021342720 |
| fulltext |
UDK 517.5
A. S. Serdgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NABLYÛENNQ INTEHRALIV PUASSONA
ODNYM LINIJNYM METODOM NABLYÛENNQ
V RIVNOMIRNIJ TA INTEHRAL|NYX METRYKAX
We find asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of classes of the Poisson
integrals of periodic functions by a certain linear approximation method of special form in metrics of the
spaces C and L p .
Najden¥ asymptotyçeskye ravenstva dlq toçn¥x verxnyx hranej pryblyΩenyj klassov ynteh-
ralov Puassona peryodyçeskyx funkcyj nekotor¥m lynejn¥m metodom pryblyΩenyq specy-
al\noho vyda v metrykax prostranstv C y L p .
Nexaj L p , 1 ≤ p < ∞, — prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx u p-mu stepeni
funkcij f z normog
f p = f Lp
= f t dtp
p
( )
0
2 1π
∫
;
L∞ — prostir 2π-periodyçnyx, vymirnyx i sutt[vo obmeΩenyx funkcij, u qkomu
normu zadano formulog
f ∞ = ess sup ( )
t
f t ;
C — prostir 2π-periodyçnyx neperervnyx funkcij, normu v qkomu zadano takym
çynom:
f C = max ( )
t
f t .
Intehralamy Puassona sumovno] funkci] ϕ( )⋅ nazyvagt\ funkci] f x( ), wo
oznaçagt\sq za dopomohog rivnosti
f x( ) =
A0
2
+ 1
0
2
π
ϕ β
π
( – ) ( ),x t P t dtq∫ , A0 ∈R , (1)
u qkij P tq, ( )β — qdra Puassona z parametramy q ∈ (0, 1) i β ∈R, tobto funkci]
vyhlqdu
P tq, ( )β = q ktk
k
cos –
βπ
21
=
∞
∑ , q ∈ (0, 1), β ∈R.
MnoΩynu vsix funkcij, qki dopuskagt\ zobraΩennq u vyhlqdi (1) pry ϕ ∈
∈ �, de � — deqka pidmnoΩyna iz L1, poznaçatymemo çerez
L q
β�. V ramkax
dano] roboty rol\ � vidihravatymut\ mnoΩyny
Up
0 = ϕ ϕ ϕ∈ ≤ ⊥{ }L p p: ,1 1 .
Pry c\omu dlq zruçnosti poklademo L L Up
q q
pβ β, =df 0
.
KoΩnij funkci] f iz klasu
L q
β� postavymo u vidpovidnist\ tryhonometryç-
© A. S. SERDGK, 2008
976 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
NABLYÛENNQ INTEHRALIV PUASSONA ODNYM LINIJNYM METODOM … 977
nyj polinom U f xn – ( ; )1
∗
vyhlqdu
U f xn – ( ; )1
∗ =
A0
2
+ λk
n
k k
k
n
a k x b k x( )
–
cos sin+( ){
=
∑
1
1
+ νk
n
k ka k x b k x( ) sin – cos( )},
de ak = ak ( )ϕ , bk = bk ( )ϕ , k = 1, 2, … , — koefici[nty Fur’[ funkci] ϕ, a çys-
la λk
n( ) = λk
n( ) ( ; )q β i νk
n( ) = νk
n( ) ( ; )q β , k = 1, 2, … , n – 1, n ∈N , oznaçagt\sq za
dopomohog rivnostej
λk
n( ) = q q qk n k n k– – cos–2 2
2
+( ) βπ
,
νk
n( ) = q q qk n k n k– sin–2 2
2
+( )+ βπ
.
Polinom U f xn – ( ; )1
∗
moΩna rozhlqdaty qk linijnyj metod nablyΩennq, wo vy-
znaça[t\sq systemog çysel λ1
( )n{ , … , λn
n
–
( )
1, ν1
( )n , … , νn
n
–
( )
1}. Uperße cej metod
(u bil\ß zahal\nomu vypadku) bulo rozhlqnuto v roboti [1]; tam Ωe bulo dos-
lidΩeno deqki aproksymatyvni vlastyvosti vkazanoho metodu na zaprovadΩenyx
O.II.IStepancem [2, s.I33] klasax ( , )ψ β -dyferencijovnyx funkcij. Zokrema, v
[1] dovedeno, wo dlq deqkyx klasiv neskinçenno dyferencijovnyx funkcij da-
nyj metod [ najkrawym (v sensi syl\no] asymptotyky) linijnym metodom nably-
Ωen\ tryhonometryçnymy polinomamy v rivnomirnij metryci. Analohiçnyj re-
zul\tat ma[ misce i dlq nablyΩen\ u metryci prostoru L1.
U danij roboti vstanovymo asymptotyçni rivnosti dlq velyçyn
E L Up
q
n Cβ, –; 1
∗( ) = sup ( ) – ( ; )
,
–
f L
n C
p
q
f x U f x
∈
∗
β
1 ,
E L Uq
n Ls
β, –;1 1
∗( ) = sup ( ) – ( ; )
,
–
f L
n sq
f x U f x
∈
∗
β 1
1
pry dovil\nyx 1 ≤ p, s ≤ ∞.
Teorema 1. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, q ∈ (0, 1), β ∈R i n ∈N . Todi pry n → ∞
vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
E L Up
q
n Cβ, –; 1
∗( ) = q
t
M O
q
n q
n
p
p
p q p p
2
1
1
1
1 1
/
/ , ( )
cos
( )
( – )
′
+ ′ ′ +
π σ ,
de ′p =
p
p – 1
,
Mq p, ′ =
1
2
1
1 2
2
2
–
– cos
q
q t q p+ ′
, (2)
σ( )p =
1
2 1
, ,
, ,
p
p
= ∞
≤ < ∞
a velyçyna O(1) rivnomirno obmeΩena po n, q, p i β.
Dovedennq. Zhidno z lemogI2 z roboty [1, s. 302], dlq bud\-qko] funkci]
f ∈
L q
β�, � ⊂ L1 , ma[ misce intehral\ne zobraΩennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
978 A. S. SERDGK
f x( ) – U f xn – ( ; )1
∗ =
=
2
2
0
2
q
x t nt t dt
n
qπ
ϕ βππ
( – ) cos – ( )∫
P –
q
x t t dt
n
q n
2
0
2
π
ϕ
π
β( – ) ( ), ,∫ P , (3)
v qkomu
Pq t( ) = 1
2 1
+
=
∞
∑ q ktk
k
cos , q ∈ (0, 1),
Pq n t, , ( )β = q ktk
k n
cos +
=
∞
∑ βπ
2
, q ∈ (0, 1), β ∈R.
Vnaslidok rivnosti (3) ta invariantnosti mnoΩyny Up
0
vidnosno zsuvu arhu-
mentu dlq dovil\noho 1 ≤ p ≤ ∞ ma[mo
E L Up
q
n Cβ, –; 1
∗( ) =
2
20
0
2
q
t nt t dt
n
U
q
Cp
π
ϕ βπ
ϕ
π
sup ( ) cos – ( )
∈
∫ P + Rn , (4)
de
Rn ≤
q
x t t dt
n
q n
Cp
2
1 0
2
π
ϕ
ϕ
β
π
sup ( – ) ( ), ,
≤
∫ P . (5)
Vidomo (dyv., napryklad, [3, s. 137, 138]), wo qkwo ϕ ∈L p , 1 ≤ p ≤ ∞, i
K L p∈ ′ ,
1
p
+ 1
′p
= 1, to
ϕ
π
( – ) ( )x t K t dt
C0
2
∫ ≤ ϕ p pK ′ . (6)
Zastosovugçy nerivnist\ (6) pry K t( ) = Pq n t, , ( )β , iz (5) oderΩu[mo ocinku
Rn ≤
q n
q n p
2
π βP , , ( )⋅ ′ ′p =
p
p – 1
. (7)
U roboti [4, s. 1083, 1087, 1088] oderΩano rezul\taty, z qkyx pry 1 ≤ ′p ≤ ∞
vyplyvagt\ rivnosti
P
P
P P
R
R
q n p
q n p
h
q n q n p
t
t
t h t
, ,
, ,
, , , ,
( )
inf ( ) –
sup ( ) – ( )
β
λ β
β β
λ
′
∈ ′
∈
′
+
1
2
= q
t
Zn p
p q p
cos
( ) /
′
′ ′
2 1π
+ O
q
n q s p
( )
( – ) ( )
1
1 ′
, (8)
de
Z tq( ) = 1
1 2 2– cosq t q+
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
NABLYÛENNQ INTEHRALIV PUASSONA ODNYM LINIJNYM METODOM … 979
s p( ) =
1 1
2 1
, ,
, , ,
p
p
=
∈ ∞( ]
(9)
a velyçyna O( )1 rivnomirno obmeΩena vidnosno parametriv ′p , q i n.
Vraxovugçy (7) i (8), ma[mo
Rn = O
q
q
n
( )
–
1
1
3
, (10)
de O( )1 — velyçyna, rivnomirno obmeΩena za vsima rozhlqduvanymy paramet-
ramy.
Dlq ocinky perßoho dodanka u pravij çastyni rivnosti (4) skorysta[mos\
spivvidnoßennqm dvo]stosti (dyv., napryklad, [5, s. 27]):
inf ( ) –
λ
λ
∈ ′
R
x t p = sup ( ) ( )
y Up
x t y t dt
∈
∫
0
0
2π
, 1
p
+ 1
′p
= 1, x L p∈ ′ , 1 ≤ ′p ≤ ∞.
(11)
Pokladagçy v (11) x t( ) = cos nt
–
βπ
2
Pq t( ), y t( ) = ϕ( )t , otrymu[mo
sup ( ) cos – ( )
ϕ
π
ϕ βπ
∈
∫
U
q
p
t nt t dt
0 2
0
2
P =
inf cos – ( ) –
λ
βπ λ
∈ ′
R
nt tq
p2
P . (12)
Wob znajty toçnu asymptotyçnu ocinku velyçyny inf cos –
λ
βπ
∈
R
nt
2
Pq t( ) –
– λ
′p
, skorysta[mos\ nastupnym tverdΩennqm z roboty [4, s. 1083].
Lema 1. Nexaj 1 ≤ s ≤ ∞ i 2π-periodyçni funkci] g t( ) t a h t( ) magt\
obmeΩenu variacig, qkwo s = 1, abo naleΩat\ klasu Hel\dera K H1
, qkwo
1 < s ≤ ∞. Todi dlq funkci] ϕ( )t = g t( ) cos(nt + α) + h t( ) sin(nt + α), α ∈R,
n ∈N , vykonugt\sq asymptotyçni rivnosti
ϕ s = ( ) cos– /2 1π s
s st r + O Mn( ) –1 1, (13)
inf –
c sc
∈R
ϕ = ( ) cos– /2 1π s
s st r + O Mn( ) –1 1, (14)
sup ( ) – ( )
h
st h t
∈
+
R
ϕ ϕ = ( ) cos– /2 1π s
s st r + O Mn( ) –1 1, (15)
v qkyx
r t( ) = g t h t2 2( ) ( )+ ,
M = Ms =
V V
V
– –
– –
–
( ) ( ) ,
( ) ,
,
π
π
π
π
π
π
g h s
K s r r s
K s
s
s s
+ =
+ < < ∞
= ∞
pry
pry
pry
1
11 1
a velyçyny O( )1 rivnomirno obmeΩeni vidnosno usix rozhlqduvanyx parametriv.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
980 A. S. SERDGK
Zapysugçy funkcig cos nt( –
βπ
2
Pq t( ) u vyhlqdi
cos – ( )nt tq
βπ
2
P =
cos ( ) cos
βπ
2
Pq t nt
+
sin ( ) sin
βπ
2
Pq t nt
(16)
i zastosovugçy lemuI1, pokladagçy v ]] umovax s = ′p ,
g t( ) =
cos ( )
βπ
2
Pq t , h t( ) =
sin ( )
βπ
2
Pq t ,
iz rivnosti (14) oderΩu[mo
inf cos – ( ) –
λ
βπ λ
∈
′R
nt q t
p2
P =
cos
( )
( )/
t p
q t
pp
′
′′2 1π
P + O
n p
( )1 γ ′ , (17)
de
γ ′p =
V
V
–
–
–
( ) ,
( ) ( ) ,
( ) .
π
π
π
π
P
P P P
P
q
q C q p
p
q
p
q C
p
p
p
p
pry
pry
pry
′ =
⋅ +
′
⋅ ( ) < ′ < ∞
⋅ ′ = ∞
′
′
′
′ ′
1
1 1
1
(18)
Oskil\ky, qk nevaΩko perekonatys\,
V
–
( )
π
π
Pq = 2 0P Pq q( ) – ( )π( ) =
4
1 2
q
q–
,
′ ⋅Pq C
( ) ≤ kqk
k =
∞
∑
1
=
q
q( – )1 2 ,
V
–π
π
Pq
p′( ) = 2 1 2– ( ) ( )
–
q p t h t dtq
p
q( ) ′ ∫ ′
π
π
P ≤
2 1 2– ( ) ( )q p hq C q p
p( ) ′ ⋅ ⋅ ′
′
P ,
de
h t
q t
q t q
q( )
sin
– cos
=
+
df
1 2 2 ,
to na pidstavi formul (17) i (18) ta oçevydnyx nerivnostej
hq C
( )⋅ ≤
q
q1 –
, Pq p
( )⋅ ′ ≤
( ) ( )
( – )
/2 1
2 1
1π ′ +p q
q
otrymu[mo rivnist\
inf cos – ( ) –
λ
βπ λ
∈ ′
R
nt tq
p2
P =
cos
( )
( )
/
t
tp
p q p
′
′ ′2 1π
P + O
q
n q s p
( )
( – ) ( )
1
1 ′ , (19)
u qkij s p( )′ oznaça[t\sq formulog (9), a velyçyna O( )1 rivnomirno obmeΩena
vidnosno usix rozhlqduvanyx parametriv.
Ob’[dnugçy formuly (4), (10), (12) i (19), ma[mo
E L Up
q
n Cβ, –; 1
∗( ) =
q
t
t O
q
n q
n
p
p
p q p s p
2
1
1
1
1 1
/
/ ( )
cos
( ) ( )
( – )
′
+ ′ ′ ′+
π
P .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
NABLYÛENNQ INTEHRALIV PUASSONA ODNYM LINIJNYM METODOM … 981
TeoremuI1 dovedeno.
Teorema 2. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, q ∈ (0, 1), β ∈R i n ∈N . Todi pry n → ∞
vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
E L Uq
n L p
β, –;1 1
∗( ) = q
t
M O
q
n q
n
p
p
p q p s p
2
1
1
1 1
1 1
– /
/ , ( )
cos
( )
( – )π + +
,
de velyçyny Mq p, ta s p( ) vyznaçagt\sq za dopomohog formul (2) i (9) vid-
povidno, a velyçyna O( )1 rivnomirno obmeΩena po n, q, p i β.
Dovedennq. Vyxodqçy iz zobraΩennq (3), dlq dovil\noho 1 ≤ p ≤ ∞ moΩemo
zapysaty rivnist\
E L Uq
n L p
β, –;1 1
∗( ) =
2
2
1
0
0
2
q
x t nt t dt
n
U
q
p
π
ϕ βπ
ϕ
π
sup ( – ) cos – ( )
∈
∫ P + R̃n , (20)
de
R̃n ≤
q
x t t dt
n
U
q n
p
2
0
2
1
0π
ϕ
ϕ
β
π
sup ( – ) ( ), ,
∈
∫ P . (21)
Vykorystovugçy tverdΩennq 1.5.5 iz [5, s. 43], zhidno z qkym pry ϕ ∈L1,
K L p∈ , 1 ≤ p ≤ ∞,
ϕ
π
( – ) ( )x t K t dt
p0
2
∫ ≤ K p ϕ 1,
iz (21) oderΩu[mo nerivnist\
R̃n ≤
q n
q n p
2
π βP , , ( )⋅ ,
qka razom iz formulamy (8) dozvolq[ zapysaty ocinku
R̃n = O
q
q
n
( )
–
1
1
3
, (22)
de O( )1 — velyçyna, rivnomirno obmeΩena za vsima rozhlqduvanymy paramet-
ramy.
Dlq ostatoçnoho dovedennq teoremy neobxidno znajty asymptotyçno toçnu
ocinku perßoho dodanka u pravij çastyni rivnosti (20).
Zhidno z lemogI1 iz roboty [6, s. 1398], qkwo K t( ) ∈ L p , 1 ≤ p ≤ ∞, to dlq
velyçyny
E( )K p = sup ( – ) ( )
–ϕ π
π
π
ϕ
∈
∫
U
p
x t K t dt
1
0
1
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
1
2π
sup ( ) – ( )
h
pK K h
∈
⋅ ⋅ +
R
≤ E( )K p ≤ 1
π
K p . (23)
Vykorystavßy nerivnosti (23) pry K t( ) = cos nt
–
βπ
2
Pq t( ) , otryma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
982 A. S. SERDGK
1
2 2 2π
βπ βπ
sup cos ( ) – ( ) – cos ( ) – ( )
h
q q
p
n n h h
∈
⋅
⋅ ⋅ +
⋅ +
R
P P ≤
≤
sup ( – ) cos – ( )
ϕ
π
ϕ βπ
∈
∫
U
q
p
x t nt t dt
1
0 2
0
2
P ≤
≤
cos ( ) – ( )n q
p
⋅
⋅βπ
2
P , 1 ≤ p ≤ ∞. (24)
Na osnovi zobraΩennq (16) i lemyI1 pokladagçy
v ]] umovax s = p , ϕ( )t =
= cos nt
–
βπ
2
Pq t( ) iz lancgΩka nerivnostej (24) i asymptotyçno] rivnos-
tiI(19) bezposeredn\o oderΩu[mo
sup ( – ) cos – ( )
ϕ
π
ϕ βπ
∈
∫
U
q
p
x t nt t dt
1
0 2
0
2
P =
=
cos
( )
( )/
t
tp
p q p2 1π
P +I O
q
n q s p( )
( – ) ( )1
1
. (25)
Ob’[dnugçy formuly (20), (22) i (25), ma[mo
E L Uq
n L p
β, –;1 1
∗( ) =
q
t
t O
q
n q
n
p
p
p q p s p
2
1
1
1
1 1
/
/ ( )
cos
( ) ( )
( – )
′
+ +
π
P .
TeoremuI2 dovedeno.
1. Serdgk A. S. Pro odyn linijnyj metod nablyΩennq periodyçnyx funkcij // Problemy
teori] nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. –
2004. – 1, # 1. – S. 295 – 336.
2. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 268 s.
3. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2 ç. // Praci In-tu matematyky NAN Ukra]-
ny. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – 40, ç. 1. – 427 s.
4. Serdgk A. S. NablyΩennq klasiv analityçnyx funkcij sumamy Fur’[ v rivnomirnij metryci
// Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 8. – S. 1079 – 1096.
5. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 423 s.
6. Serdgk A. S. NablyΩennq klasiv analityçnyx funkcij sumamy Fur’[ v metryci prostoru
L p // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 10. – S. 1395 – 1408.
OderΩano 09.02.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|