К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп
Вивчаються кубатурні формули, що інваріантні відносно діедральної групи порядку 16p.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164705 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 983–991. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164705 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647052020-02-11T01:28:01Z К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп Шамсиев, Э.А. Статті Вивчаються кубатурні формули, що інваріантні відносно діедральної групи порядку 16p. We study cubature formulas invariant under the dihedral group of order 16p. 2008 Article К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 983–991. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164705 519.644 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Шамсиев, Э.А. К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються кубатурні формули, що інваріантні відносно діедральної групи порядку 16p. |
| format |
Article |
| author |
Шамсиев, Э.А. |
| author_facet |
Шамсиев, Э.А. |
| author_sort |
Шамсиев, Э.А. |
| title |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| title_short |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| title_full |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| title_fullStr |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| title_full_unstemmed |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| title_sort |
к построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164705 |
| citation_txt |
К построению кубатурных формул, инвариантных относительно диэдральных групп / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 983–991. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT šamsievéa kpostroeniûkubaturnyhformulinvariantnyhotnositelʹnodiédralʹnyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-14T17:18:25Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:18:25Z |
| _version_ |
1837643602172313600 |
| fulltext |
UDK 519.644
∏. A. Íamsyev (Taßkent. texn. un-t, Uzbekystan)
K POSTROENYG KUBATURNÁX FORMUL,
YNVARYANTNÁX OTNOSYTEL|NO
DY∏DRAL|NÁX HRUPP
We study cubature formulas that are invariant under the dihedral group of order 16p.
Vyvçagt\sq kubaturni formuly, wo invariantni vidnosno diedral\no] hrupy porqdku 16p.
V 1961 h. S. L. Sobolev¥m b¥l predloΩen metod postroenyq kubaturn¥x for-
mul dlq dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no koneçn¥x hrupp vrawe-
nyj [1]. Dal\nejßee razvytye πtoho metoda svqzano s ymenamy H. N. Salyxova
[2, 3], V. Y. Lebedeva [4, 5] y Y. P. M¥sovskyx [6 – 8]. Osnovn¥e rezul\tat¥
pryveden¥ v [9]. Sleduet otmetyt\, çto vo vsex ukazann¥x rabotax postroenn¥e
formul¥ ynvaryantn¥ yly otnosytel\no hrupp vrawenyj, yly hrupp preobra-
zovanyj pravyl\n¥x mnohohrannykov. V rabotax [10 – 12] dlq postroenyq kuba-
turn¥x formul yspol\zovana dyπdral\naq hruppa porqdka 8 ( 2p + 1 ). Nastoq-
waq rabota posvqwena yzuçenyg kubaturn¥x formul, ynvaryantn¥x otnosy-
tel\no dyπdral\noj hrupp¥ porqdka 16p.
Yzvestno [13], çto hruppa G4p preobrazovanyj pravyl\noho 4p-uhol\nyka v
sebq poroΩdena otraΩenyqmy y kol\co ee ynvaryantn¥x form poroΩdaetsq ba-
zysn¥my ynvaryantn¥my formamy stepenej 2 y 4p. V sylu ortohonal\nosty
hrupp¥ G4p oçevydno, çto ynvaryantnaq forma stepeny 2 est\ r2 = x2 + y2
.
Bazysnug ynvaryantnug formu stepeny 4p oboznaçym çerez Π4p ( x, y ), a ver-
ßyn¥ y proekcyy na edynyçnug okruΩnost\ S1 seredyn reber pravyl\noho 4p-
uhol\nyka — çerez a(
k
)
y b(
k
)
sootvetstvenno,
a(
k
) = cos , sin
k
p
k
p
π π
2 2
, b(
k
) = cos , sin
2 1
4
2 1
4
k
p
k
p
− π − π
,
k = 1, 2, 3, … , 4p.
Nam potrebuetsq znaçenye yntehrala
Π Π4 4
0
2
1
p
S
px y dS d( ) = ( )∫ ∫
π
, cos , sinϕ ϕ ϕ .
Dlq πtoho vospol\zuemsq tem, çto mnohoçlen ( x + i y )
4p
( i — mnymaq edynyca)
ynvaryanten otnosytel\no hrupp¥ G̃ p4 vrawenyj pravyl\noho 4p-uhol\nyka
— podhrupp¥ yndeksa 2 hrupp¥ G4p — y yntehral ot neho po S1 raven nulg
(vsledstvye ortohonal\nosty). Netrudno ubedyt\sq, çto
( + ) = − ( ) + ( )x iy r p x y i p x yp p
p p
4 4 2
4 48 4Π ∆, , ,
hde ∆4p ( x, y ) — qkobyan bazysn¥x ynvaryantn¥x form r2
y Π4p ( x, y ). Takym
obrazom,
( + ) = − ( ) + ( )∫ ∫ ∫( )x iy dS r p x y dS i p x y dSp
S
p
p
S
p
S
4 4 2
4 4
1 1 1
8 4Π ∆, , = 0,
© ∏. A. ÍAMSYEV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 983
984 ∏. A. ÍAMSYEV
otkuda sleduet, çto
r dS d p x y dS p dp
S
p
S
p
4
0
2
2
4
2
4
0
2
1 1
2 8 8∫ ∫ ∫ ∫= = π = ( ) = ( )
π π
ϕ ϕ ϕ ϕΠ Π, cos , sin ,
t. e.
Π4
0
2
24p d
p
( ) = ππ
∫ cos , sinϕ ϕ ϕ .
Uçyt¥vaq, çto ynvaryantn¥j mnohoçlen v toçkax odnoj orbyt¥ prynymaet
odynakov¥e znaçenyq y a(
4p
) = ( 1, 0 ), ymeem
Π4p ( a(
k
)
) = ∆4p ( a(
k
)
) = ∆4p ( b(
k
)
) = 0,
tak kak proyzvedenye lev¥x çastej uravnenyj osej symmetryy s toçnost\g do
postoqnnoj sovpadaet s ∆4p ( x, y ), a toçky a(
k
)
y b(
k
)
raspoloΩen¥ na osqx
symmetryy.
Çtob¥ najty Π4p ( b(
k
)
), v¥polnym sledugwee. Narqdu s mnohoçlenom ( x +
+ i y )
4p
ynvaryantn¥m otnosytel\no hrupp¥ G̃ p4 qvlqetsq y mnohoçlen
( − ) = − ( ) − ( )x iy r p x y i p x yp p
p p
4 4 2
4 48 4Π ∆, , .
PeremnoΩaq mnohoçlen¥ ( x + i y )
4p
y ( x – i y ) 4p
, poluçaem
( x + i y )
4p
( x – i y ) 4p = [ ]− ( ) − ( )r p x y i p x yp
p p
4 2
4
2 2 2
4
28 16Π ∆, ,
yly
( x2 + y2
)
4p = r8p = [ ]− ( ) + ( )r p x y p x yp
p p
4 2
4
2 2
4
28 16Π ∆, , .
Podstavlqq vmesto ( x, y ) znaçenye b(
k
)
, naxodym 1 = [ ]− ( )( )1 8 2
4
2p bp
kΠ .
Otsgda sleduet, çto 1 – 8 2
4p bp
kΠ ( )( ) = – 1, Π4 2
1
4p
kb
p
( ) =( )
.
Zametym, çto 1 – 8 2
4p bp
kΠ ( )( )
ne moΩet b¥t\ raven 1, tak kak v πtom slu-
çae 8 2
4p bp
kΠ ( )( ) = 0, çto protyvoreçyt kvadraturnoj formule
f x y dS
p
f a f b
S
k k
k
p
( ) ≅ π ( ) + ( )∫ ∑[ ]( ) ( )
=
,
1
4 1
4
,
ynvaryantnoj otnosytel\no hrupp¥ G8p y ymegwej ( 8p – 1 )-g stepen\ toçnos-
ty. Protyvoreçye zaklgçaetsq v tom, çto Π4
1
pS
x y dS( )∫ , ≠ 0, no kvadraturnaq
summa ravna 0.
Rassmotrym v trexmernom vewestvennom prostranstve R3
hruppu G4p , do-
polnennug preobrazovanyem symmetryy otnosytel\no ploskosty Oxy. V re-
zul\tate poluçym dyπdral\nug hruppu D G4p porqdka 16p, poroΩdennug ot-
raΩenyqmy [14, s. 17 – 20]. Oçevydno, çto kol\co ynvaryantn¥x form hrupp¥
D G4p poroΩdaetsq bazysn¥my ynvaryantn¥my formamy r2, Π4p ( x, y ), z2
. Na
poverxnosty sfer¥ S2 = { ( x, y, z ) ∈ R3
| x2 + y2 + z2 = 1 } odna yz bazysn¥x
ynvaryantn¥x form vtoroj stepeny lynejno v¥raΩaetsq çerez druhug, napry-
mer r2 = 1 – z2
. Poπtomu v πtom sluçae bazys sostavlqgt mnohoçlen¥ Π4p ( x, y )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
K POSTROENYG KUBATURNÁX FORMUL, YNVARYANTNÁX … 985
y z2
. Perexodq v sferyçeskug systemu koordynat, netrudno podsçytat\, çto
z dS d
q
q
S
q2 2
0
2
2
2
4
2 1∫ ∫= π = π
+
π
cos sinθ θ θ ,
Π Π4
2
4
0
2
4 2
02
p
q
S
p
p qx y z dS d d( ) = ( )∫ ∫ ∫
π π
, cos , sin sin cos sinϕ ϕ ϕ θ θ θ θ =
=
1
4
2 4 2 1
4 2 12p
p q
p q
( ) ( − )
( + + )
π!! !!
!
, q = 0, 1, 2, … ,
hde ( 2m )!! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2m, ( 2m + 1 )!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2m + 1 ).
1. Zapyßem vse lynejno nezavysym¥e ynvaryantn¥e mnohoçlen¥ hrupp¥
D G4p do ( 4p + 4s – 3 )-j stepeny na S2 , s ≤ p:
1, z2, z4, z6, … , z4p
+
4s
–
4, Π4p ( x, y ), Π4p ( x, y ) ⋅ z2, Π4p ( x, y ) ⋅ z4, … , Π4p ( x, y ) ⋅ z4s
–
4
.
(1)
Kubaturnug formulu ( 4p + 4s – 3 )-j stepeny toçnosty budem stroyt\ v vyde
f x y z dS A f
k
p
k
p
S k
p
( ) ≅ ( − )π ( − )π
∫ ∑
=
, , cos , sin ,
2
0
1
4 2 1
4
2 1
4
0 +
+
( ± ) + − ( − )π − ( − )π ±
∑ ∑ ∑
=
−
=1
2
0
1
1
2 2
1
4
0 0 1 1
2 1
4
1
2 1
4
B f A f m
k
p
m
k
p
mi
i
s
i i i
k
p
, , cos , sin , +
+ B f n
k
p
n
k
p
nj
j
p s
j j j
k
p
=
+ −
=
∑ ∑ − π − π ±
1
1
2 2
1
4
1
2
1
2
cos , sin , , (2)
hde vneßnqq summa vo vtorom slahaemom sootvetstvuet yzmenenyg znaka po-
slednej koordynat¥ uzlov, A0 , B0 , Ai , mi , Bj , nj — podleΩawye opredelenyg
parametr¥ ( 0 < mi , nj < 1 ).
Trebovanye, çtob¥ kubaturnaq formula (2) b¥la toçna dlq mnohoçlenov (1),
pryvodyt k systeme nelynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj
2 8 4 8 40
1
1
0
1
1
B p B pA p Aj
j
p s
i
i
s
+ + + = π
=
+ −
=
−
∑ ∑ ,
2 8
4
2 10
2
1
1
2
1
1
B p n B m A
qj
q
j
j
p s
i
q
i
i
s
+ +
= π
+=
+ −
=
−
∑ ∑ , q = 1, 2, … , 2 ( p + s – 1 ),
4 8 1
2 4
4 10
2 2
1
1
pA p m A
p
pi
p
i
i
s
+ ( − ) = ( )
( + )
π
=
−
∑ !!
!!
,
8 1
2 4 2 1
4 2 1
2 2 2
1
1
p m m A
p q
p qi
p
i
q
i
i
s
( − ) = ( ) ( − )π
( + + )=
−
∑ !!
!!
, q = 1, 2, … , 2 ( s – 1 ).
V¥polnqq podstanovky
T0 =
4
0
p
A
π
, Ti =
8
1 2 2p
m Ai
p
iπ
( − ) , ti = mi
2 , i = 1, 2, 3, … , s – 1,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
986 ∏. A. ÍAMSYEV
yz poslednyx 2s – 1 uravnenyj system¥ poluçaem
T T
p
pi
i
s
0
1
1
2
4
4 1
+ = ( )
( + )=
−
∑ !!
!!
,
t T
p q
p qi
q
i
i
s
=
−
∑ = ( ) ( − )
( + + )1
1 2 4 2 1
4 2 1
!! !!
!
, q = 1, 2, … , 2s – 2,
otkuda sleduet, çto T0 , Ti y ti qvlqgtsq parametramy kvadraturnoj formul¥
Haussa – Markova dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom
( − )1 2t
t
p
y odnym fyksyrovan-
n¥m uzlom t0 = 0:
( − ) ( ) ≅ ( ) + ( )∫ ∑
=
−1
0
2
0
1
1
1
0
t
t
t dt T t T
p
i i
i
s
ϕ ϕ ϕ .
Takym obrazom,
A0 =
π
4 0p
T , Ai =
π
( − )8 1 2 0
p t
Tp , mi = ti , i = 1, 2, 3, … , s – 1.
Ostal\n¥e parametr¥ kubaturnoj formul¥ (2) opredelqem yz system¥
2 8 4
1
10
1
1
2 0
1
1
B p B
t
T Tj
j
p s
i
p i
i
s
+ = π − π
( − )
+
=
+ −
=
−
∑ ∑ ,
2 8
4
2 1 10
2
1
1
2
1
1
B p n B
q
t
t
Tj
q
j
j
p s
i
q
i
p i
i
s
+ = π
+
− π
( − )=
+ −
=
−
∑ ∑ , q = 1, 2, … , 2 ( p + s – 1 ),
kotoraq posle vvedenyq nov¥x oboznaçenyj reßaetsq standartn¥m obrazom [9,
s. 105 – 107]. Çyslo N = 4p ( 2p + 4s – 3 ) + 2 uzlov kubaturnoj formul¥ (2) na
4p2 + 8p s – 4s2 – 10p + 2s + 2 edynyc prev¥ßaet sootvetstvugwug nyΩngg
hranycu dlq çysla uzlov [9, s. 203]. Pryvedem znaçenyq parametrov kubaturnoj
formul¥ dlq dvux çastn¥x sluçaev:
a) p = 1, s = 1:
A0 =
4
15
π
, B0 =
4
15
π
, B1 =
3
10
π
, n1 =
1
3
;
b) p = 2, s = 1:
A0 =
2
3 5 72
π
⋅ ⋅
, B0 =
1807954451
3164988099
π
,
B1 =
66624616453 36295045 610177
759597143760
− π , n1 =
16789 158127145
50058
−
,
B2 =
66624616453 36295045 610177
759597143760
+ π , n2 =
16789 158127145
50058
+
.
Analohyçn¥m obrazom poluçaetsq y sledugwaq kubaturnaq formula ( 4p +
+ 4s – 3 )-j stepeny toçnosty, takΩe ynvaryantnaq otnosytel\no hrupp¥ D G4p
y soderΩawaq na ( 4p – 2 ) uzla bol\ße, çem formula (2):
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
K POSTROENYG KUBATURNÁX FORMUL, YNVARYANTNÁX … 987
f x y z dS B f
k
p
k
p
S k
p
( ) ≅ π π
∫ ∑
=
, , cos , sin ,
2
0
1
4
2 2
0 +
+ A f
k
p
k
pk
p
0
1
4 2 1
4
2 1
4
0cos , sin ,
( − )π ( − )π
=
∑ +
+
− π − π ±
∑ ∑ ∑
=
+ −
=1
2
1
1
2 2
1
4
1
2
1
2
D f l
k
p
l
k
p
lj
j
p s
j j j
k
p
cos , sin , +
+ A f m
k
p
m
k
p
mi
i
s
i j i
k
p
=
−
=
∑ ∑ − ( − )π − ( − )π ±
1
1
2 2
1
4
1
2 1
4
1
2 1
4
cos , sin , . (3)
Zdes\ znaçenyq A0 , Ai , mi te Ωe, çto y v kubaturnoj formule (2). Parametr¥
Dj y lj opredelqgtsq yz system¥
4 8 4
1
10
1
1
2 0
1
1
pB p D
t
T Tj
j
p s
i
p i
i
s
+ = π − π
( − )
+
=
+ −
=
−
∑ ∑ ,
8
4
2 1 1
2
1
1
2
1
1
p l D
q
t
t
Tj
q
j
j
p s
i
q
i
p i
i
s
=
+ −
=
−
∑ ∑= π
+
− π
( − )
, q = 1, 2, … , 2 ( p + s – 1 ).
Kubaturnaq formula (3) pry s = 1 y proyzvol\nom p ymeet parametr¥
A0 =
( )
( + )
π4
2 4 1
p
p p
!!
!!
, B0 =
π − ( )
( + )
−
=
∑p
p
p
K
j
j
j
p
1
4
2 4 1
1
2
1
1
!!
!! τ
,
lj = τ j , Dj =
π
4p
K
j
jτ
,
hde τ j y K j — parametr¥ kvadraturnoj formul¥ typa Haussa dlq otrezka
[ 0, 1 ] s vesom t :
t t dt K j j
j
p
ϕ ϕ τ( ) ≅ ( )∫ ∑
=0
1
1
. (4)
2. Perejdem k postroenyg kubaturnoj formul¥ ( 4p + 4s – 1 )-j stepeny
toçnosty. Budem yskat\ ee v vyde
f x y z dS A f
k
p
k
p
S k
p
( ) ≅ π π
∫ ∑
=
, , cos , sin ,
2
0
1
4
2 2
0 +
+
( ± ) + − π − π ±
∑ ∑ ∑
=
+ −
=1
2
0
1
1
2 2
1
4
0 0 1 1
2
1
2
B f B f n
k
p
n
k
p
nj
j
p s
j j j
k
p
, , cos , sin , +
+ A f m
k
p
m
k
p
mi
i
s
i i i
k
p
= =
∑ ∑ − ( − )π − ( − )π ±
1
2 2
1
4
1
2 1
4
1
2 1
4
cos , sin , . (5)
Trebuq, çtob¥ kubaturnaq formula (5) toçno yntehryrovala mnohoçlen¥ (1) y
Π4p ( x, y ) z4s
–
2, z4p
+
4s
–
2
, poluçaem systemu uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
988 ∏. A. ÍAMSYEV
2 4 8 40 0
1
1
1
B pA p B Aj
j
p s
i
i
s
+ + +
= π
=
+ −
=
∑ ∑ ,
2 8
4
2 10
2
1
1
2
1
B p n B m C
qj
q
j
j
p s
i
q
i
i
s
+ +
= π
+=
+ −
=
∑ ∑ , q = 1, 2, … , 2 ( p + s ) – 1,
8 1
2 4 2 1
4 2 1
2 2 2
1
1
p m m A
p q
p qi
p
i
q
i
i
s
( − ) = ( ) ( − )
( + + )
π
=
−
∑ !! !!
!!
, q = 0, 1, 2, … , 2s – 1.
Posle zamen¥ Ti =
8
1 2p
m Ai jπ
( − ) , ti = ni
2 , i = 1, 2, … , s, ubeΩdaemsq, çto Ti y
ti qvlqgtsq parametramy kvadraturnoj formul¥ Haussa dlq otrezka [ 0, 1 ] s
vesom
( − )1 2t
t
p
:
( − ) ( ) ≅ ( )∫ ∑
=
1 2
0
1
1
t
t
t dt T t
p
l i
i
s
ϕ ϕ .
Otsgda sleduet, çto
mi = ti , Ai =
π
( − )8 1 2p t
T
i
p i .
Ostal\n¥e parametr¥ kubaturnoj formul¥ opredelqgtsq yz system¥
2 4 8 4
1
10 0
1
1
2
1
B pA p B
t
Tj
j
p s
i
p i
i
s
+ + = π − π
( − )=
+ −
=
∑ ∑ ,
2 8
4
2 1 10
2
1
1
2
1
B p n B
q
t
t
Tj
q
j
j
p s
i
q
i
p i
i
s
+ = π
+
− π
( − )=
+ −
=
∑ ∑ , q = 1, 2, … , 2 ( p + s ) – 1.
Çyslo N = 4p ( 2p + 4s – 1 ) + 2 uzlov kubaturnoj formul¥ (5) na 4p2 – 4s2 +
+ 8p s – 6p – 2s + 2 edynyc¥ prev¥ßaet sootvetstvugwug nyΩngg hranycu dlq
çysla uzlov. Pry s = 0 ymeem yzvestnug formulu, poluçennug metodom pov-
tornoho prymenenyq kvadraturn¥x formul [9, s. 119 – 123]. Pryvedem znaçenyq
parametrov kubaturnoj formul¥ (5) dlq dvux çastn¥x sluçaev:
a) p = s = 1:
A0 =
π
5
, B0 =
4
27
π
, A1 =
49
270
π
, B1 =
49
270
π
, m1 =
1
7
, n1 =
4
7
;
çyslo N = 22 uzlov na dve edynyc¥ prev¥ßaet sootvetstvugwug nyΩngg hra-
nycu;
b) p = 2, s = 1:
A0 = − π
⋅ ⋅
5581
3 5 73 5 , B0 =
11096
3 5 72 3
π
⋅ ⋅
, A1 =
14641
3 5 72 5
π
⋅ ⋅
,
B1 =
1403780618 9541127 606
2 3 5 7 23 1014 3 5
+ π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
, m1 =
1
11
, n1 =
141 2 606
253
−
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
K POSTROENYG KUBATURNÁX FORMUL, YNVARYANTNÁX … 989
B2 =
1403780618 9541127 606
2 3 5 7 23 1014 3 5
− π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
, n2 =
141 2 606
253
+
.
Druhaq kubaturnaq formula ( 4p + 4s – 1 )-j stepeny toçnosty, takΩe ynva-
ryantnaq otnosytel\no hruppa D G4p
, ymeet vyd
f x y z dS D f l
k
p
l
k
p
l
S
j
j
p s
j j j
k
p
( ) ≅
− π − π ±
∫ ∑ ∑ ∑
=
+
=
, , cos , sin ,
2 1
2
1
2 2
1
4
1
2
1
2
+
+ A f m
k
p
m
k
p
mi
i
s
i i i
k
p
= =
∑ ∑ − ( − )π − ( − )π ±
1
2 2
1
4
1
2 1
4
1
2 1
4
cos , sin , , (6)
hde Ai y mi prynymagt te Ωe znaçenyq, çto y v kubaturnoj formule (5). Zna-
çenyq parametrov Dj y lj opredelqgtsq yz system¥
8 4
1
11
1
2
1
p D
t
Tj
j
p s
i
p i
i
s
=
+ −
=
∑ ∑= π − π
( − )
,
8
4
2 1 1
2
1
2
1
p l D
q
t
t
Tj
q
j
j
p s
i
q
i
p i
i
s
=
+
=
∑ ∑= π
+
− π
( − )
, q = 1, 2, … , 2 ( p + s ) – 1.
Çyslo uzlov kubaturnoj formul¥ (6) na 4p – 2 edynyc¥ bol\ße çysla uzlov
kubaturnoj formul¥ (5).
Otmetym, çto kubaturnaq formula (6) pry s = 0 takΩe yzvestna [9, s. 119 –
123].
Pryvedem znaçenyq parametrov kubaturnoj formul¥ (6) pry p = s = 1:
A1 =
49
270
π
, D1 =
3053 29 71
1917
– π , D2 =
3053 29 71
1917
+ π,
m1 =
1
7
, l1 =
32 3 71
77
−
, l2 =
32 3 71
77
+
.
Ymeet mesto sledugwee utverΩdenye.
Teorema. Ne suwestvuet ynvaryantnoj otnosytel\no hrupp¥ D G4p kuba-
turnoj formul¥ vyda (5) yly (6), ymegwej alhebrayçeskug stepen\ toçnosty
v¥ße çem 8p – 1.
Dokazatel\stvo. Ploskosty symmetryy hrupp¥ D G4p zadagtsq uravne-
nyqmy [15]
x
k
p
y
k
p
sin cos
π − π
4 4
= 0, k = 0, 1, 2, … , 4p – 1,
y z = 0. PeremnoΩaq lev¥e çasty perv¥x 4p uravnenyj, poluçaem mnohoçlen
P x y x
k
p
y
k
pk
p
( ) = π − π
=
−
∏, sin cos
4 40
4 1
stepeny 4p. Mnohoçlen P2
( x, y ) neotrycatelen vsgdu na S2 y yntehral ot
neho po sfere poloΩytelen. No kubaturnaq formula budet davat\ nulevoe
znaçenye nezavysymo ot kolyçestva mnoΩestv uzlov, tak kak uzl¥ leΩat na
ploskostqx symmetryy.
Teorema dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
990 ∏. A. ÍAMSYEV
V zaklgçenye pryvedem kubaturnug formulu ( 4p + 1 )-j stepeny toçnosty,
kotoraq ne poluçaetsq yz formul (2) y (3) pry s = 1:
f x y z dS B f
k
p
k
p
S k
p
( ) ≅ π π
∫ ∑
=
, , cos , sin ,
2
0
1
4
2 2
0 +
+ A f
k
p
k
pk
p
0
1
4 2 1
4
2 1
4
0cos , sin ,
( − )π ( − )π
=
∑ +
+
1
2
2 2
1
1
2 1
4
1
2 1
4∑ ∑ − ( − )π − ( − )π ±
=
A f m
k
p
m
k
p
mj j j j
j
p
cos , sin , ,
hde
A0 =
π ( )
( + )
−
−
=
∑2
4
4 1
1
1p
p
p
Kj
j
j
j
p!!
!!
τ
τ
,
B0 =
π − ( )
( + )
+
( − )
−
==
∑∑2
2
4
4 1
1 1
2
11p
p
p
K Kj
p
j
j
j
j
j
p
j
p!!
!!
τ
τ τ
,
parametr¥ Kj y τj opredelen¥ v kvadraturnoj formule (4).
Otmetym takΩe rabotu [16], v kotoroj predloΩen alhorytm postroenyq ve-
sov¥x kubaturn¥x formul dlq dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no
hrupp¥ D Gm (v samoj rabote hruppa Dm ). Alhebrayçeskaq stepen\ toçnosty
n πtyx formul ne zavysyt ot çysla m , tak kak uzlamy mohut b¥t\ ne tol\ko
toçky, leΩawye na ploskostqx symmetryy hrupp¥ DGm , no y toçky obweho
poloΩenyq. V kaçestve ynvaryantnoj form¥ stepeny m vzqt mnohoçlen
Re ( x + i y )
m
, kotor¥j pry çetn¥x znaçenyqx m soderΩyt v sebe stepen\ mnoho-
çlena x2 + y2 ( ( x2 + y2
)
m
/
2
v¥delqetsq so znakom plgs, esly m = 4p, y so zna-
kom mynus, esly m = 4p + 2; ostavßeesq v¥raΩenye est\ bazysnaq ynvaryantnaq
forma Πm ( x, y ) s nekotor¥m koπffycyentom). Pry πtom process v¥çyslenyq
znaçenyj mnohoçlena Re ( x + i y )
m
v uzlax kubaturnoj formul¥ usloΩnqetsq,
no uprowaetsq v¥çyslenye yntehrala s uçastyem πtoho mnohoçlena (on raven
nulg vsledstvye ortohonal\nosty Re ( x + i y )
m
) . Poπtomu yzloΩenye alhoryt-
ma vedetsq v momentnoj forme. Systema dlq opredelenyq parametrov kubatur-
noj formul¥ svodytsq k neskol\kym pooçeredno reßaem¥m podsystemam, dlq
reßenyq kotor¥x predlahaetsq bolee ustojçyv¥j metod, çem yzvestn¥e. Ka-
çestvo poluçaem¥x formul ocenyvaetsq koπffycyentom πffektyvnosty
η =
( + )n
N
1
3
2
, hde ( n + 1 )
2
— çyslo toçno yntehryruem¥x kubaturnoj formuloj
sferyçeskyx mnohoçlenov, N — çyslo uzlov. Avtoramy otmeçaetsq, çto pred-
lahaem¥j ymy alhorytm pozvolqet poluçat\ kubaturn¥e formul¥ s koπffy-
cyentamy πffektyvnosty η =
2
3
y η =
8
9
pry n → ∞.
V rabote takΩe ukaz¥vagtsq poverxnosty, dlq kotor¥x moΩno prymenyt\
rassmatryvaem¥j metod. V zaklgçenyy otmeçaetsq, çto A. N. Kazakov¥m πtot
alhorytm realyzovan v prohramme QR dlq IBM sovmestym¥x personal\n¥x
komp\gterov.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
K POSTROENYG KUBATURNÁX FORMUL, YNVARYANTNÁX … 991
Predlahaem¥j namy metod pozvolqet stroyt\ kubaturn¥e formul¥, ynvary-
antn¥e otnosytel\no hrupp¥ DG m2 , alhebrayçeskaq stepen\ toçnosty koto-
r¥x ne moΩet prev¥ßat\ 4m – 1. Za sçet udaçnoho podbora mnoΩestv uzlov y
yspol\zovanyq uprowennoho vyda mnohoçlena Π2m ( x, y ) systema dlq opredele-
nyq parametrov kubaturnoj formul¥ raspadaetsq na dve standartno reßaem¥e
podsystem¥, vse uravnenyq kotor¥x zapys¥vagtsq qvno. Pryxodytsq razlyçat\
sluçay çetnoho y neçetnoho m, tak kak v odnom sluçae Π2m ( x, y ) raven nulg v
uzlax, proekcyy kotor¥x na ploskost\ Oxy leΩat na radyusax-vektorax ver-
ßyn 2m-uhol\nyka, v druhom — na radyusax-vektorax seredyn reber. Kubatur-
naq formula soderΩyt parametr s, 0 ≤ s ≤ p, v zavysymosty ot znaçenyq
kotoroho koπffycyent πffektyvnosty kubaturnoj formul¥ v asymptotyke
moΩet prynymat\ znaçenyq ot η =
2
3
( s = 0 ) do η =
8
9
( s = p ).
V zaklgçenye otmetym rabotu [17], hde dyπdral\n¥e hrupp¥ yspol\zugtsq
pry postroenyy kubaturn¥x formul dlq tora, y rabotu [18], hde predlahaem¥j
namy alhorytm realyzovan dlq kruha.
1. Sobolev S. L. O formulax mexanyçeskyx kubatur po poverxnosty sfer¥ // Syb. mat. Ωurn.
– 1962. – 3, # 5. – S. 769 – 791.
2. Salyxov H. N. K teoryy hrupp pravyl\n¥x mnohohrannykov // Dokl. AN SSSR. – 1972. –
205, # 1. – S. 33 – 35.
3. Salyxov H. N. Kubaturn¥e formul¥ dlq hypersfer¥, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp¥
pravyl\noho mnohohrannyka // Tam Ωe. – # 5. – S. 1075 – 1078.
4. Lebedev V. Y. Znaçenyq uzlov y vesov kvadraturn¥x formul typa Haussa – Markova dlq
sfer¥ ot 9-ho do 17-ho porqdka toçnosty, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp¥ oktaπdra s
ynversyej // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1975. – 15, # 1. – S. 48 – 54.
5. Lebedev V. Y. Ob odnom type kvadraturn¥x formul pov¥ßennoj alhebrayçeskoj toçnosty
dlq sfer¥ // Dokl. AN SSSR. – 1976. – 231, # 1. – S. 32 – 34.
6. M¥sovskyx Y. P. O v¥çyslenyy yntehralov po poverxnosty sfer¥ // Tam Ωe. – 1977. – 235,
# 2. – S. 269 – 272.
7. M¥sovskyx Y. P. O kubaturn¥x formulax, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp preobrazova-
nyj // Metod¥ v¥çyslenyj. – 1978. – V¥p. 11. – S. 3 – 21.
8. M¥sovskyx Y. P. Ob ynvaryantn¥x kubaturn¥x formulax // Teoryq kubaturn¥x formul y
pryloΩenyq funkcyonal\noho analyza k zadaçam matematyçeskoj fyzyky: Tr. sem.
S.RL.RSoboleva. – 1978. – # 1. – S. 69 – 76.
9. M¥sovskyx Y. P. Ynterpolqcyonn¥e kubaturn¥e formul¥. – M.: Nauka, 1981. – 336 s.
10. TadΩyev Í. Y., Íamsyev ∏. A. K postroenyg kubaturn¥x formul dlq sfer¥ // Vopros¥
v¥çyslyt. y prykl. matematyky. Metod¥ y alhorytm¥ reßenyq zadaç matematyçeskoj
fyzyky y matematyçeskoj kybernetyky. – 1989. – V¥p. 86. – S. 88 – 95.
11. Íamsyev ∏. A., Sahdyev X. M. Kubaturn¥e formul¥ ( 4p + 4s + 7 )-j stepeny toçnosty dlq
sfer¥ // Vopros¥ v¥çyslyt. y prykl. matematyky. Metod¥ y alhorytm¥ reßenyq zadaç
matematyçeskoj fyzyky y dyskretnoj matematyky. – 1995. – V¥p. 99. – S. 114 – 117.
12. Íamsyev ∏. A. Kubaturn¥e formul¥ dlq sfer¥, ynvaryantn¥e otnosytel\no dyπdral\-
noj hrupp¥ porqdka 8 ( 2p + 1 ) // Uzb. mat. Ωurn. – 2006. – # 4. – S. 91 – 99.
13. Coxeter H.-S. M. The product of the generators of a finite group generated by reflections // Duke
Math. J. – 1951. – 18. – P. 765 – 782.
14. Klejn F. Lekcyy ob ykosaπdre y reßenyy uravnenyj pqtoj stepeny. – M.: Nauka, 1989. –
336 s.
15. Yhnatenko V. F. O ploskyx alhebrayçeskyx kryv¥x s osqmy symmetryy // Ukr. heom. sb. –
1978. – V¥p. 21. – S. 31 – 33.
16. Kazakov A. N., Lebedev V. Y. Kvadraturn¥e formul¥ typa Haussa dlq sfer¥, ynvaryant-
n¥e otnosytel\no hrupp¥ dyπdra // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1994. – 203. – S. 100 – 112.
17. Noskov M. V., Fedotova Y. M. Ob ynvaryantn¥x kubaturn¥x formulax dlq tora v R3
//
Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 2003. – 43, # 9. – S. 1323 – 1329.
18. Íamsyev ∏. A. Kubaturn¥e formul¥ dlq kruha, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp
preobrazovanyj pravyl\n¥x mnohouhol\nykov v sebq // Tam Ωe. – 2006. – 46, # 7. – S. 1211 –
1218.
Poluçeno 11.04.06,
posle dorabotky — 28.09.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|