Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей
Введены понятия интервальной функции распределения случайных событий на множестве элементарных событий, а также интервальной функции частот этих событий. В предельном случае интервальная функция превращается в обыкновенную функцию распределения, а интервальная функция частот (при определенных услови...
Збережено в:
Дата: | 2008 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164708 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей / М.М. Личак // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1128–1137. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-164708 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1647082020-02-11T01:28:18Z Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей Личак, М.М. Короткі повідомлення Введены понятия интервальной функции распределения случайных событий на множестве элементарных событий, а также интервальной функции частот этих событий. В предельном случае интервальная функция превращается в обыкновенную функцию распределения, а интервальная функция частот (при определенных условиях) — в плотность распределения случайных событий. При этом охвачен случай дискретного множества элементарных событий, что дало возможность получить понятие вероятности появления случайного события как следствия граничного перехода. The notion of interval function of the distribution of accidental events over a set of elementary events as well as the notion of interval function of frequencies of these events are introduced. In the limiting case, the interval function of distribution turns to a standard distribution function, while the interval function of frequencies (under certain conditions) turns to the denseness of distribution of accidental events. The case of a discrete set of elementary events is also included in the consideration, which allows one to obtain the notion of the probability of occurrence of an accidental event as a result of boundary transition. 2008 Article Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей / М.М. Личак // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1128–1137. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164708 519.71:510.22:519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Личак, М.М. Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей Український математичний журнал |
description |
Введены понятия интервальной функции распределения случайных событий на множестве элементарных событий, а также интервальной функции частот этих событий. В предельном случае интервальная функция превращается в обыкновенную функцию распределения, а интервальная функция частот (при определенных условиях) — в плотность распределения случайных событий. При этом охвачен случай дискретного множества элементарных событий, что дало возможность получить понятие вероятности появления случайного события как следствия граничного перехода. |
format |
Article |
author |
Личак, М.М. |
author_facet |
Личак, М.М. |
author_sort |
Личак, М.М. |
title |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
title_short |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
title_full |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
title_fullStr |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
title_full_unstemmed |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
title_sort |
інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2008 |
topic_facet |
Короткі повідомлення |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164708 |
citation_txt |
Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа неаксіоматичної теорії ймовірностей / М.М. Личак // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1128–1137. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT ličakmm íntervalʹnafunkcíârozpodíluobmeženoíhaotičnoíposlídovnostíâkosnovaneaksíomatičnoíteorííjmovírnostej |
first_indexed |
2025-07-14T17:18:34Z |
last_indexed |
2025-07-14T17:18:34Z |
_version_ |
1837643611554971648 |
fulltext |
UDK 519.71:510.22:519.21
M. M. Lyçak (In-t kosm. doslidΩen\ NAN Ukra]ny, Ky]v)
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU
OBMEÛENO} XAOTYÇNO} POSLIDOVNOSTI
QK OSNOVA NEAKSIOMATYÇNO} TEORI} JMOVIRNOSTEJ
The notion of interval function of the distribution of accidental events over a set of elementary events as
well as the notion of interval function of frequencies of these events are introduced. In the limiting case,
the interval function of distribution turns to a standard distribution function, while the interval function
of frequencies (under certain conditions) turns to the denseness of distribution of accidental events. The
case of a discrete set of elementary events is also included in the consideration, which allows one to
obtain the notion of the probability of occurrence of an accidental event as a result of boundary
transition.
Vveden¥ ponqtyq ynterval\noj funkcyy raspredelenyq sluçajn¥x sob¥tyj na mnoΩestve πle-
mentarn¥x sob¥tyj, a takΩe ynterval\noj funkcyy çastot πtyx sob¥tyj. V predel\nom slu-
çae ynterval\naq funkcyq prevrawaetsq v ob¥knovennug funkcyg raspredelenyq, a ynter-
val\naq funkcyq çastot (pry opredelenn¥x uslovyqx) — v plotnost\ raspredelenyq sluçaj-
n¥x sob¥tyj. Pry πtom oxvaçen sluçaj dyskretnoho mnoΩestva πlementarn¥x sob¥tyj, çto da-
lo vozmoΩnost\ poluçyt\ ponqtye veroqtnosty poqvlenyq sluçajnoho sob¥tyq kak sledstvyq
hranyçnoho perexoda.
1. Vstup. Rozhlqnemo qvywa, doslidy i eksperymenty, rezul\taty qkyx [
neodnoznaçnymy pry povtorgvanosti, xoça ]xni parametry i zovnißni faktory
pry c\omu [ nezminnymy. Bil\ßist\ doslidnykiv vykorystovugt\ imovirnisni
modeli nevyznaçenosti [1, 2]. Matematyçnog osnovog suçasno] teori] jmovirnos-
tej [ aksiomatyçnyj pidxid, sformul\ovanyj A. M. Kolmohorovym [3], v qkomu
vvedeno ponqttq prostoru elementarnyx podij ta te, wo systema vypadkovyx
podij [ alhebrog. Pry c\omu jmovirnist\ traktu[t\sq qk special\na funkciq,
vyznaçena na cij systemi vypadkovyx podij.
Z inßoho boku, poçav intensyvno rozvyvatysq tak zvanyj interval\nyj analiz
(abo mnoΩynnyj pidxid), de vykorystovu[t\sq prypuwennq, wo sami çyslovi
rezul\taty povnistg ne vyznaçeno, a vidomo lyße deqki çyslovi intervaly (abo
mnoΩyny), qkym bezumovno naleΩat\ ]x istynni znaçennq [4]. Prote pry takomu
pidxodi (v isnugçomu vyhlqdi) ne vraxovugt\sq pevni zakonomirnosti realizaci]
cyx rezul\tativ vseredyni vydilenyx intervaliv (mnoΩyn) pry povtorenni vidpo-
vidnyx eksperymentiv, doslidiv çy qvyw.
Vodnoças isnuvaly sproby pobudovy teori] jmovirnostej na osnovi traktuvan-
nq rezul\tativ statystyçno] obrobky poslidovnostej eksperymental\nyx danyx,
zokrema v 1919 r. R. fon Mizesom [5]. Prote ci sproby ne pryvely do pobudovy
stroho] teori], xoça vyklykaly dyskusi] v podal\ßomu z pryvodu vidpovidnosti
rezul\tativ teori] Kolmohorova do problem ]x zastosuvannq dlq potreb staty-
styky. Najbil\ß radykal\nog tut, napevno, [ koncepciq semantyçnoho dominu-
vannq „statystyçnyx xarakterystyk nad xarakterystykamy jmovirnisnymy”, za-
proponovana G. I. Alimovym [6].
U danij statti zaproponovano pidxid do pobudovy matematyçno] modeli takyx
podij na osnovi teori] mnoΩyn i ponqttq alhorytmu xaotyçnoho vyboru elemen-
tiv mnoΩyny. Z uraxuvannqm qkisno] vidminnosti vid imovirnisnoho pidxodu hovo-
ryt\sq pro xaotyçni podi] i procesy [7 – 9]. Vypadkovi podi] i procesy traktu-
gt\sq qk çastynnyj vypadok, koly pevni vlastyvosti proqvlqgt\sq pry rozhlq-
di hranyçnyx vypadkiv analizu vypadkovyx poslidovnostej, skladenyx iz vybra-
nyx elementiv dano] mnoΩyny. Zaproponovana teoriq xaotyçnosti budu[t\sq na
osnovi zastosuvannq teoretyko-mnoΩynnoho pidxodu do pobudovy matematyçno]
modeli nevyznaçenosti. Pry c\omu v zahal\nomu vypadku bud\-qka podiq ne
obov’qzkovo realizu[t\sq u vyhlqdi çysla, a [ deqkym vybranym elementom mno-
Ωyny. Vypadok, koly podi] [ çyslamy, rozhlqda[t\sq okremo.
Vydilenyj klas xaotyçnyx podij oxoplg[ takoΩ dani vstanovlenyx koly-
© M. M. LYÇAK, 2008
1128 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU OBMEÛENO} XAOTYÇNO} … 1129
van\ u reΩymi „xaosu” v nelinijnyx dynamiçnyx systemax [10, 11].
2. Xaotyçni podi] ta ]x interval\ni xarakterystyky. Budemo vvaΩaty,
wo moΩlyvi proqvy doslidΩuvanoho qvywa, rezul\taty rozhlqduvanoho doslidu
abo spostereΩennq utvorggt\ deqku zamknenu obmeΩenu uporqdkovanu mnoΩy-
nu elementarnyx podij X0. Realizaciq toho çy inßoho proqvu, rezul\tatu abo
spostereΩennq [ elementom x ci[] mnoΩyny
x ∈ X0. (1)
Uporqdkovanist\ mnoΩyny X0 oznaça[, wo dlq bud\-qkyx dvox riznyx ]]
elementiv ustanovleno pravylo, za qkym odyn iz cyx elementiv peredu[ inßomu.
Poznaçymo a < b, qkwo a X∈ 0 i b X∈ 0 , ale a [ elementom X0, wo peredu[
b , pryçomu todi ne moΩe buty b < a. Poznaçennq a ≤ b abo b ≥ a oznaça[,
wo b moΩe zbihtysq z a . Krim toho, qkwo a < b abo b > a i b < c abo c > b,
to a < c abo c > a (tranzytyvnist\). Zokrema, takog mnoΩynog moΩe buty
deqkyj skinçennyj nabir racional\nyx çysel, zamknenyj interval abo ob’[dnan-
nq deqkoho çysla zamknenyx intervaliv na çyslovij osi.
Qkwo qvywe, doslid çy spostereΩennq realizu[t\sq bahato raziv pry zbere-
Ωenni osnovnyx faktoriv abo umov, to c\omu bude vidpovidaty deqka poslidov-
nist\ x1 , x2 , … , xn ( n — potoçnyj nomer povtorennq) elementiv mnoΩyny X0,
qki vybyragt\sq z ne] zhidno z deqkym alhorytmom vyboru (vybir ne oznaça[ „vy-
çerpuvannq” mnoΩyny, tobto na koΩnomu kroci joho realizaci] mnoΩyna zaly-
ßa[t\sq nezminnog, a koΩen ]] element v zahal\nomu vypadku moΩe vybyratys\
neodnorazovo).
Qkwo cej alhorytm vyboru [ vidomym, to hovorqt\ pro determinovanu posli-
dovnist\, dlq qko] vsi znaçennq moΩut\ buty napered rozraxovani, a otΩe pro-
hnozovani vidpovidno do danoho alhorytmu.
Qkwo Ω takyj alhorytm vyboru ne [ vidomym, a vybir elementiv poslidovno-
sti xn , n = 1, 2, … , z mnoΩyny X0 zdijsng[t\sq pid vplyvom nekontrol\ova-
nyx i nevidomyx çynnykiv, to budemo hovoryty pro nevyznaçenu poslidovnist\,
znaçennq kotro] bezumovno naleΩat\ zadanij mnoΩyni, ale poperedn\o ]x rozra-
xuvaty, a otΩe, i toçno sprohnozuvaty nemoΩlyvo. Prote, ne znagçy alhorytmu
vyboru, u bahat\ox vypadkax moΩna maty deqku informacig pro joho vlastyvo-
sti, a znaçyt\, i pro vlastyvosti poslidovnosti, wo formu[t\sq nym.
Na uporqdkovanij zamknenij obmeΩenij mnoΩyni X0, dlq qko] isnugt\ hra-
nyçni toçky xmin i xmax taki, wo dlq vsix x X∈ 0 ma[mo x ≥ xmin i x ≤ xmax,
vvedemo taku funkcig vid x X∈ 0 i çleniv bud\-qko] nevyznaçeno] poslidovnosti
xn , n = 1, 2, … , wo
F x xn( , ) ≡
1
0
pry
pry
x x
x x
n
n
≤
>
,
.
(2)
Oznaçennq51. NyΩn\og i verxn\og hranqmy interval\no] funkci] rozpodilu
çleniv obmeΩeno] zhidno z (1) poslidovnosti xn , n = 1, 2, … , budemo nazyvaty
taki funkci]
1 ≥
P x N
n
( , ) ≥ 0, 0 ≤
P x N
v
( , ) ≤ 1, (3)
de x X∈ 0, a N = 1, 2, … — poslidovni znaçennq kil\kosti rozhlqduvanyx pid-
rqd bud\-qkyx çleniv poslidovnosti, wo dlq funkcij (3) i vidpovidnyx çleniv
poslidovnosti zhidno z (2) vykonu[t\sq systema nerivnostej
P x N
n
( , ) ≤ 1
0
1
N
F x x
i
N
n i
=
−
+∑ ( , ) ≤ P x N
v
( , ) ∀ n = 1, 2, … , N = 1, 2, … . (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1130 M. M. LYÇAK
Poslidovnist\, dlq qko] isnu[ interval\na funkciq rozpodilu, tobto ]]
nyΩnq i verxnq hrani, budemo nazyvaty xaotyçnog, a çleny ci[] poslidovnosti —
xaotyçnymy podiqmy.
Oznaçennq52. Qkwo dlq vsix x X∈ 0 ta funkcij (3) za oznaçennqmP1
isnugt\
lim ( , )
N
P x N
→∞
n
=
lim ( , )
N
P x N
→∞
v
= P ( x ) , (5)
to taku xaotyçnu poslidovnist\ budemo nazyvaty vypadkovog, a funkcig P ( x )
— funkci[g rozpodilu vypadkovyx podij — çleniv vypadkovo] poslidovnosti na
mnoΩyni X0.
Tobto jmovirnisna xarakterystyka otrymu[t\sq z interval\no] funkci] roz-
podilu v rezul\tati hranyçnoho perexodu, qkwo vin isnu[.
Na zamknenij uporqdkovanij mnoΩyni elementarnyx podij X0 vvedemo taku
funkcig ∆F( )⋅ vid x X∈ 0, x Xl( ) ∈ 0 , x l( ) ≤ x , ta çleniv bud\-qko] xaotyçno]
poslidovnosti xn , n = 1, 2, … , wo
∆F x x xl
n( , , )( ) =
1
0
pry
pry çy
x x x
x x x x
l
n
n n
l
( )
( )
,
.
≤ ≤
> <
(6)
Oznaçennq53. Dlq xaotyçno] poslidovnosti xn , n = 1, 2, … , isnu[ inter-
val\na funkciq çastot çleniv ci[] poslidovnosti, tobto isnugt\ nyΩnq i verxnq
hrani ci[] interval\no] funkci] u vyhlqdi funkcij
0 ≤ ∆P x x Nl
n
( )( ), , ≤ 1, 0 ≤ ∆P x x Nl
v
( )( ), , ≤ 1, (7)
x X∈ 0, x Xl( ) ∈ 0 , x xl( ) ≤ , N = 1, 2, … ,
taki, wo dlq funkcij (7) i vidpovidnyx çleniv poslidovnosti zhidno z (6) vykonu-
[t\sq systema nerivnostej
∆P x x Nl
n
( )( ), , ≤ 1
0
1
N
F x x x
i
N
l
n i
=
−
+∑ ∆ ( )( ), , ≤
∆P x x Nl
v
( )( ), , (8)
∀ n = 1, 2, … , N = 1.
Oçevydno, wo pry x xl( )
min=
∆P x x N
n
( )min, , = P x N
n
( , ) ,
(9)
∆P x x N
v
( )min, , =
P x N
v
( , ),
wo dovodyt\ isnuvannq funkcij ∆P x x Nl
n
( )( ), , i ∆P x x Nl
v
( )( ), , pry inßyx zna-
çennqx x l( )
, oskil\ky zhidno z (4) i (9) dlq nyx isnugt\ obmeΩennq znyzu i
zverxu.
Z inßoho boku, dlq vsix x X∈ 0, x Xl( ) ∈ 0 , x xl( ) ≤ , N = 1, 2, … ,
∆P x x Nl
v
( )( ), , ≤
P x N P x Nl
v n
( , ) ,( )( )− ,
(10)
∆P x x Nl
n
( )( ), , ≥ P x N P x Nl
n v
( , ) ,( )( )− .
Naslidok51. Qkwo dlq vypadkovo] poslidovnosti xn , n = 1, 2, … , za ozna-
çennqmP2 isnu[ funkciq rozpodilu P ( x ) vypadkovyx podij na mnoΩyni elemen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU OBMEÛENO} XAOTYÇNO} … 1131
tarnyx podij X0, to vidpovidno do oznaçennqP3 isnu[ funkciq çastot cyx vy-
padkovyx podij
∆P x xl( )( ), = lim , ,( )( )
N
lP x x N
→∞
∆
n
= lim , ,( )( )
N
lP x x N
→∞
∆
v
, (11)
pryçomu dlq neperervno] funkci] P ( x )
∆P x xl( )( ), = P x P x l( ) ( )( )− ∀ ∈x X0 , x Xl( ) ∈ 0 , x xl( ) ≤ . (12)
Spravedlyvist\ spivvidnoßen\ (11) i (12) bezposeredn\o vyplyva[ z (5) ta
nerivnostej (8), (10).
3. Çyslovi xaotyçni podi] ta ]x interval\ni xarakterystyky. V podal\-
ßomu dlq prostoty budemo vvaΩaty, wo mnoΩyna elementarnyx podij X0 ma[
vyhlqd zamknenoho intervalu na çyslovij osi x xmin max;[ ], de x xmin max< —Pde-
qki çysla (otrymani v podal\ßomu rezul\taty lehko moΩna uzahal\nyty na vy-
padok ob’[dnannq dekil\kox takyx intervaliv). Tobto bud\-qka çyslova xaotyç-
na poslidovnist\ xn , n = 1, 2, … , wo vybyra[t\sq z ci[] mnoΩyny, zadovol\nq[
umovu
xmin ≤ xn ≤ xmax ∀ n = 1, 2, … . (13)
Rozhlqnemo teper vypadok çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti, dlq qko] vyko-
nugt\sq nerivnosti vyhlqdu (4) i (13).
Naslidok52. Qkwo dlq çleniv çyslovo] vypadkovo] poslidovnosti, zhidno z oz-
naçennqm 2, isnu[ neperervna i dyferencijovna funkciq ]x rozpodilu P ( x ) vid-
povidno do (4) i (5), a otΩe, zhidno z naslidkomP1, i funkciq çastot ]x rozpodilu
vidpovidno do (11) i (12), to isnu[ funkciq ρ ( x ) , qku budemo nazyvaty wil\-
nistg rozpodilu çleniv vypadkovo] poslidovnosti i vidpovidno do poznaçennq
∆x x x l= − ( )
oznaçymo qk
ρ ( x ) = lim ,( )
∆ ∆
∆ ∆
x x
P x x x
→
−
0
1 = dP x
dx
( ) , P ( x ) =
x
x
u du
min
( )∫ ρ . (14)
Funkciq (14) vidpovida[ vidomomu ponqttg wil\nosti jmovirnosti dlq aksio-
matyçno] teori] jmovirnostej [1, 3]. Oskil\ky dlq isnuvannq funkci] ρ ( x ) vy-
maha[t\sq vykonannq dostatn\o Ωorstkyx vymoh (5) i dodatkovo we j nepererv-
nist\ ta dyferencijovnist\ (xoça moΩna poslabyty cg vymohu do isnuvannq
kuskovo] dyferencijovnosti) funkci] rozpodilu P ( x ) , zvidsy vyplyvagt\ pry-
çyny trudnowiv doslidnykiv, zokrema R. fon Mizesa [5], qki namahalys\ poklas-
ty ponqttq jmovirnosti v osnovu metodolohi] roboty z çyslovymy vypadkovymy
poslidovnostqmy. V ramkax danoho pidxodu ponqttq jmovirnosti apriori ne vvo-
dyt\sq i bezposeredn\o ne vykorystovu[t\sq, a funkciq ρ ( x ) , qk i funkciq
P ( x ) , [ deqkymy hranyçnymy vypadkamy, kotri isnugt\ lyße za pevnyx umov.
Vony vyplyvagt\ iz bil\ß zahal\nyx ponqt\ interval\no] funkci] rozpodilu xa-
otyçnyx podij ta interval\no] funkci] çastot cyx podij vidpovidno do oznaçen-
nqP2 i naslidkuP1.
TverdΩennq51. Dlq interval\no] funkci] rozpodilu çleniv dyskretno]
çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti xn , n = 1, 2, … (zhidno z oznaçennqmP1)
isnu[ vidpovidna interval\na funkciq seredn\oho na bud\-qkomu kovznomu
intervali ßyrynog N, nyΩnq i verxnq hrani qko] vyznaçagt\sq qk funkci] vid
ßyryny rozhlqduvanoho intervalu
m N
n
( ) =
x P x N dx
x
x
max
min
max
( , )− ∫ v
,
(15)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1132 M. M. LYÇAK
m N
v
( ) =
x P x N dx
x
x
max
min
max
( , )− ∫ n
,
a znaçennq çleniv bud\-qko] ]] çastyny zadovol\nqgt\ systemu nerivnostej
m N
n
( ) ≤ 1
0
1
N
x
i
N
n i
=
−
+∑ ≤
m N
v
( ) ∀ n = 1, 2, … , N = 1, 2, … . (16)
Dijsno, obçyslymo
x
x
nF x x dx
min
max
( ),∫ =
x
x
n
dx
max
∫ = x xnmax − , (17)
zvidky
x
x
i
N
n iN
F x x dx
min
max
( ),∫ ∑
=
−
+
1
0
1
= 1
0
1
N
F x x dx
i
N
x
x
n i
=
−
+∑ ∫
min
max
( ), = 1
0
1
N
x x
i
N
n i
=
−
+∑ −( )max .
Viz\memo takyj Ωe intehral vid inßyx çleniv spivvidnoßennq (4) dlq c\oho
vypadku (rozhlqdagçy N qk parametr) i otryma[mo nerivnosti vyhlqdu
x
x
P x N dx
min
max
( , )∫ n
≤ 1
0
1
N
x x
i
N
n i
=
−
+∑ −( )max ≤
x
x
P x N dx
min
max
( , )∫ v
. (18)
Nerivnosti (18) moΩna zapysaty u vyhlqdi (16).
ZauvaΩymo, wo podibnoho tverdΩennq nema[ v aksiomatyçnij teori] jmovir-
nostej. Sproby, znagçy funkcig rozpodilu P x( ) , vyznaçyty çerez ne] haran-
tovani interval\ni ocinky dlq skinçennyx çastyn poslidovnosti, [ nekorekt-
nymy.
Nerivnosti (16) v qvnomu vyhlqdi vydilqgt\ obmeΩennq na seredn\oaryfme-
tyçne znaçennq çleniv bud\-qko] çastyny çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti
pevno] dovΩyny ta vstanovlggt\ zv’qzok cyx obmeΩen\ iz hranqmy interval\no]
funkci] rozpodilu çyslovyx xaotyçnyx podij.
Oçevydno, wo systema linijnyx nerivnostej (16) konstruktyvnym çynom v qv-
nomu vyhlqdi vydilq[ mnoΩynu typu poliedra [12, 13] u prostori znaçen\ çleniv
çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti, a (18) vstanovlg[ prqmyj vza[mozv’qzok miΩ
hranqmy interval\no] funkci] rozpodilu çyslovyx xaotyçnyx podij i spil\nymy
obmeΩennqmy na seredn\oaryfmetyçne znaçennq çleniv bud\-qko] çastyny çys-
lovo] xaotyçno] poslidovnosti pevno] dovΩyny.
Naslidok53. Qkwo vykonugt\sq umovy (5) i (13), to za umov naslidkuP2
isnu[
lim ( )
N
m N
→∞
n
=
lim ( )
N
m N
→∞
v
= m0 =
x
x
x x dx
min
max
( )∫ ρ = x P x dx
x
x
max
min
max
( )− ∫ , (19)
de m0 — seredn\oaryfmetyçne znaçennq poslidovnosti çyslovyx vypadkovyx
podij na mnoΩyni X0, wo vydilq[t\sq umovog (13), qke povnistg vidpovida[
ponqttg matematyçnoho spodivannq çyslovo] vypadkovo] velyçyny za aksioma-
tyçnog teori[g jmovirnostej [1, 3].
Spravedlyvist\ (19) vyplyva[ z toho faktu, wo zhidno z (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU OBMEÛENO} XAOTYÇNO} … 1133
m0 =
x
x
x
dP x
dx
dx
min
max ( )∫ = x P x P x dxx
x
x
x
( ) ( )
min
max
min
max
− ∫ = x P x dx
x
x
max
min
max
( )− ∫ , (20)
a otΩe, vidpovidno do (5) i (20) iz (15) vyplyva[ (19).
4. Interval\ni xarakterystyky poslidovnostej kvantovanyx za rivnem
xaotyçnyx podij. Potribno okremo rozhlqnuty vaΩlyvyj vypadok, koly cq
mnoΩyna [ skinçennog, tobto mistyt\ lyße skinçenne çyslo riznyx elementiv.
Dlq çyslovoho intervalu ce oznaça[, wo v n\omu vydileno pevnu kil\kist\ riznyx
çysel, a vybir zdijsng[t\sq lyße sered nyx. Zaznaçymo, wo osnovy teori] jmo-
virnostej formuvalys\ qkraz dlq takoho vypadku [14].
Oçevydno, wo çleny sformovano] iz nyx poslidovnosti budut\ kvantovani za
rivnem. Tomu v zahal\nomu vypadku teΩ budemo hovoryty pro poslidovnosti
kvantovanyx za rivnem xaotyçnyx podij. Napryklad, rozhlqdagçy mnoΩynu bu-
dynkiv, moΩemo rozriznqty odnopoverxovi, dvopoverxovi i t. d., ale dlq danoho
mista (rehionu) — ne vywe trydcqtypoverxovoho.
Nexaj ma[mo zamknenu obmeΩenu mnoΩynu elementarnyx podij, qka [ skin-
çennog j uporqdkovanog, i na nij isnugt\ hranyçni elementy xmin i xmax. U
podal\ßomu taku mnoΩynu budemo poznaçaty
˙̇Ẋ0 i nazyvaty dyskretnog. Tob-
to dyskretna mnoΩyna elementarnyx podij
˙̇Ẋ0 mistyt\ pevne çyslo m riznyx
elementiv x j( ), j m= 1, , dlq qkyx ustanovleno pravylo x xj j( ) ( )− <1 ,
j m= 2, , tobto ( )j −1 -j element peredu[ j - mu, a takoΩ vykonu[t\sq pravylo
tranzytyvnosti, tobto x xj j( ) ( )− +<1 1 , j m= −2 1, i t. d. Vidpovidno
x x( )
min
1 = , x xm( )
max= .
Budemo vvaΩaty, wo iz m elementiv mnoΩyny
˙̇Ẋ0 zhidno z xaotyçnym alho-
rytmom vyboru formu[t\sq poslidovnist\ xaotyçnyx podij xn , n = 1, 2, … .
Todi spravedlyvym [ nastupne tverdΩennq.
Naslidok54 (iz oznaçennqP1). Dlq poslidovnosti xaotyçnyx podij xn , n =
= 1, 2, … , qku sformovano vidpovidnym xaotyçnym alhorytmom vyboru z ele-
mentiv dyskretno] mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0, isnu[ interval\na funk-
ciq rozpodilu xaotyçnyx podij, qka [ dyskretnog, v tomu sensi, wo ]] nyΩnq
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
n
ta verxnq
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
v
hrani, de x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, j m= 1, , N = 1, 2, … ,
budut\ dyskretnymy funkciqmy vidnosno arhumentiv x j( ), j m= 1, , N = 1,
2, … , tobto znaçennq cyx funkcij vyznaçeno lyße pry dyskretnyx znaçennqx
arhumentiv. Dyskretni funkci] 0 ≤ ˙̇˙ ,( )( )P x Nj
n
≤ 1 i 0 ≤ ˙̇˙ ,( )( )P x Nj
v
≤ 1 [
çastynnym vypadkom funkcij
P x N
n
( , ) i
P x N
v
( , ) iz oznaçennqP2, dlq nyx pry
vsix j m= 1, vykonugt\sq nerivnosti vyhlqdu
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
n
≤ 1
0
1
N
F x x
i
N
j
n i
=
−
+∑ ˙̇˙ ,( )( ) ≤ ˙̇˙ ,( )( )P x Nj
v
∀ n = 1, 2, … , N = 1, 2, … , (21)
de
˙̇˙ ,( )( )F x xj
n ≡
1
0
pry
pry
x x
x x
n
j
n
j
≤
>
( )
( )
,
,
(22)
z uraxuvannqm toho faktu, wo x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, j m= 1, .
Naslidok55 (iz oznaçennqP2). Nexaj poslidovnist\ xaotyçnyx podij xn ,
n = 1, 2, … , sformovano vidpovidnym xaotyçnym alhorytmom iz elementiv
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1134 M. M. LYÇAK
dyskretno] mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0. Qkwo dlq nyΩn\o] ta verxn\o]
hranej vidpovidno] dyskretno] interval\no] funkci] rozpodilu xaotyçnyx podij
isnu[
lim ˙̇˙ ,( )( )
N
jP x N
→∞
n
=
lim ˙̇˙ ,( )( )
N
jP x N
→∞
v
= ˙̇ (̇ )( )P x j , (23)
de funkciq
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
teΩ [ dyskretnog, tobto vyznaçenog lyße pry dysk-
retnyx znaçennqx arhumentu x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, j m= 1, , to taki xaotyçni podi] bude-
mo nazyvaty kvantovanymy za rivnem vypadkovymy podiqmy, a funkcig
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
— dyskretnog funkci[g rozpodilu vypadkovyx podij na dyskretnij
mnoΩyni elementarnyx podij
˙̇Ẋ0.
Na danij dyskretnij mnoΩyni
˙̇Ẋ0 vvedemo indykatyvnu funkcig
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )F x x xl j
n , l m= 1, , j m= 1, , l ≤ j, de
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )F x x xl j
n =
1
0
pry
pry çy
x x x
x x x x
l
n
j
n
j
n
l
( ) ( )
( ) ( )
,
.
≤ ≤
> <
(24)
Naslidok56 (iz oznaçennqP3). Qkwo poslidovnist\ xaotyçnyx podij xn , n =
= 1, 2, … , sformovano xaotyçnym alhorytmom vyboru z elementiv dyskretno]
mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0, to vidpovidno do oznaçennqP3 isnu[ inter-
val\na funkciq çastot cyx xaotyçnyx podij, qka [ dyskretnog, v tomu sensi,
wo ]] nyΩnq ∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
n
ta verxnq ∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
v
hrani, de x Xl( ) ˙̇˙∈ 0 ,
x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, l, j m= 1, , l ≤ j, N = 1, 2, … , budut\ dyskretnymy funkciqmy vid-
nosno arhumentiv x l( ) , x j( ), l, j m= 1, , l ≤ j, i N = 1, 2, … , tobto znaçennq
cyx funkcij vyznaçeno lyße pry dyskretnyx znaçennqx arhumentiv. Dlq dysk-
retnyx funkcij 0 ≤
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
n
≤ 1 i 0 ≤
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
v
≤ 1 pry vsix
l, j m= 1, , l ≤ j, vykonugt\sq nerivnosti vyhlqdu
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
n
≤ 1
0
1
N
F x x x
i
N
l j
n i
=
−
+∑ ∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( ) ≤
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
v
(25)
∀ n = 1, 2, … , N = 1, 2, … ,
z uraxuvannqm toho faktu, wo x Xl( ) ˙̇˙∈ 0 , x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, l, j m= 1, , l ≤ j.
Oçevydno, wo pry x l( ) = xmin = x( )1
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nj
n
1 = ˙̇˙ ,( )( )P x Nj
n
,
(26)
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nj
v
1 =
˙̇˙ ,( )( )P x Nj
v
,
wo dovodyt\ isnuvannq funkcij
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
n
i
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
v
pry inßyx
znaçennqx x l( ) , oskil\ky zhidno z (21) i (26) dlq nyx isnugt\ obmeΩennq zverxu i
znyzu.
Z inßoho boku, vykonugt\sq nerivnosti
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
v
≤
˙̇˙ , ˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( )P x N P x Nj l
v n
− −1 ,
˙̇˙ ,( )( )P x N
n
0 = 0,
(27)
∆ ˙̇˙ , ,( )( ) ( )P x x Nl j
n
≥ ˙̇˙ , ˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( )P x N P x Nj l
n v
− −1 , ˙̇˙ ,( )( )P x N
v
0 = 0
∀ ∈x Xj( )
0 , x Xl( ) ∈ 0 , l, j m= 1, , l ≤ j, N = 1, 2, … .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU OBMEÛENO} XAOTYÇNO} … 1135
Naslidok57 (iz oznaçennqP3 ta naslidkuP6). Interval\ne znaçennq funkci]
çastot xaotyçnyx podij, z qkyx vidpovidnym xaotyçnym alhorytmom vyboru iz
dyskretno] mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0 sformovano poslidovnist\ xn ,
n = 1, 2, … , pry l = j v formulax (24) i (25) zada[ interval\nu ocinku
çastoty poqvy xaotyçno] podi] x j( ), j m∈ …{ , , }1 , tobto
{ }/ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ˙̇˙ , , ; ˙̇˙ , ,N N N P x x N P x x Nj j j j j∈ [ ]∆ ∆
n v
, N = 1, 2, … , (28)
de N Nj( )( ) — kil\kist\ xaotyçnyx podij x j( ), wo vidbuvatymut\sq na inter-
vali elementiv sformovano] poslidovnosti xn ßyrynog [ , ]n n N+ − 1 pry
bud\-qkomu n = 0, 1, 2, … .
Naslidok58 (iz naslidkuP1). Dlq poslidovnosti vypadkovyx podij xn , n = 1,
2, … , qka sformovana vidpovidnym xaotyçnym alhorytmom vyboru z elementiv
dyskretno] mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0, vidpovidno do naslidkuPP1 isnu[
funkciq çastot cyx vypadkovyx podij
∆ ˙̇ (̇ , )( ) ( )P x xl j = lim ˙̇˙ ( , , )( ) ( )
N
l jP x x N
→∞
∆
n
= lim ˙̇˙ ( , , )( ) ( )
N
l jP x x N
→∞
∆
v
, (29)
qka [ dyskretnog, tobto vyznaçenog lyße pry dyskretnyx znaçennqx arhumen-
tiv x Xl( ) ˙̇˙∈ 0 , x Xj( ) ˙̇˙∈ 0, l, j m= 1, , l ≤ j.
Pry c\omu za umovy, wo pry l = 1 vvaΩatymemo
˙̇˙ ,( )( )P x N0 = 0, otryma[mo
∆ ˙̇ (̇ , )( ) ( )P x xl j = ˙̇ (̇ ) ˙̇ (̇ )( ) ( )P x P xj l− −1
∀ ∈x Xj( ) ˙̇
0̇ , x Xl( ) ˙̇˙∈ 0 , l, j m= 1, , l ≤ j. (30)
Spivvidnoßennq (29) i (30) bezposeredn\o vyplyvagt\ iz (23) ta nerivnostej (25),
(27).
Naslidok59 (iz naslidkivP7 i 8). Dlq poslidovnosti vypadkovyx podij xn ,
n = 1, 2, … , qka sformovana vidpovidnym xaotyçnym alhorytmom vyboru z ele-
mentiv dyskretno] mnoΩyny elementarnyx podij
˙̇Ẋ0, vidpovidno do naslidkivP7
i 8 isnu[ dyskretna funkciq
p x j( )( ) = lim ( )( )
N
jN N
N→∞
= ˙̇ (̇ ) ˙̇ (̇ )( ) ( )P x P xj j− −1 , j m= 2, , x Xj( ) ˙̇˙∈ 0 (31)
( pry j = 1 vvaΩatymemo p x( )( )1 = ˙̇ (̇ )( )P x 1
) , qku budemo nazyvaty funkci[g
jmovirnosti poqvy v sformovanij poslidovnosti pry bud\-qkomu n = 0, 1, 2, …
vypadkovyx podij x j( ).
Same znaçennq dano] funkci] pry konkretnomu znaçenni arhumentu j budemo
nazyvaty jmovirnistg poqvy pry bud\-qkomu n = 0, 1, 2, … vypadkovo] podi]
x j( ).
Spravedlyvist\ spivvidnoßennq (31) bezposeredn\o vyplyva[ z (30) ta umovy
(5) v oznaçenniP2, de vvedeno ponqttq vypadkovo] poslidovnosti, sformovano] iz
vypadkovyx podij.
Ponqttq jmovirnosti poqvy vypadkovo] podi] v danomu vypadku analohiçne
tomu, wo i v aksiomatyçnij teori] jmovirnostej [1, 3], ale vono vyplyva[ qk na-
slidok isnuvannq hranyçnyx perexodiv (5) i sluhu[ bil\ße teoretyçnym cilqm.
Na praktyci, koly cikavyt\ moΩlyvist\ poqvy ti[] çy inßo] podi] na skinçennij
çastyni xaotyçno] poslidovnosti dovΩynog N, potribno vykorystovuvaty in-
terval\nu ocinku (28), analizugçy v koΩnomu vypadku okremo, koly moΩna
znextuvaty ßyrynog intervalu ocinky, a korystuvatys\ deqkym nablyΩenym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1136 M. M. LYÇAK
toçkovym znaçennqm, wo naleΩyt\ rozhlqduvanomu intervalu.
Okremo rozhlqnemo vypadok çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti, çleny qko]
zadovol\nqgt\ umovu (13), a elementy dyskretno] mnoΩyny
˙̇Ẋ0 [ çysla
zPPintervalu [ ]min max;x x , uporqdkovani za ]x zrostannqm iz zbil\ßennqm no-
meraPP( ),j m= 1 .
TverdΩennq52. Qkwo poslidovnist\ çyslovyx xaotyçnyx podij xn , n = 1,
2, … , sformovano xaotyçnym alhorytmom vyboru iz m çysel iz intervalu
[ ]min max;x x , uporqdkovanyx za ]x zrostannqm iz zbil\ßennqm nomera ( ),j m= 1 ,
pryçomu x x1 = min , a x xm = max , to dlq interval\no] dyskretno] funkci]
rozpodilu çleniv tako] çyslovo] xaotyçno] poslidovnosti xn , n = 1, 2, …
(zhidno z naslidkomP4 ) isnu[ vidpovidna interval\na funkciq seredn\oho na bud\-
qkomu kovznomu intervali ßyrynog N, nyΩnq i verxnq hrani qko] vyznaçagt\sq
qk funkci] vid ßyryny intervalu, wo rozhlqda[t\sq:
̇̇
˙ ( )m N
n
=
x P x N x x
j
m
j j j
max
( ) ( ) ( )˙̇˙ ,( ) ( )− −[ ]
=
−
+∑
1
1
1
v
,
˙̇˙ ( )m N
v
=
x P x N x x
j
m
j j j
max
( ) ( ) ( )˙̇˙ , –( ) ( )− [ ]
=
−
+∑
1
1
1
n
,
a znaçennq çleniv bud\-qko] ]] çastyny zadovol\nqgt\ systemu nerivnostej
˙̇˙ ( )m N
n
≤ 1
0
1
N
x
i
N
n i
=
−
+∑ ≤ ˙̇˙ ( )m N
v
∀ n = 1, 2, … , N = 1, 2, … . (32)
Dijsno, obçyslymo
j
m
j
n
j jF x x x x
=
−
+∑ −[ ]
1
1
1˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( ) ( ) = x xnmax − ,
zvidky
j
m
i
N
j
n i
j j
N
F x x x x
=
−
=
−
+
+∑ ∑ −
1
1
0
1
11 ˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( ) ( ) =
= 1
0
1
1
1
1
N
F x x x x
i
N
j
m
j
n i
j j
=
−
=
−
+
+∑ ∑ −
˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( ) ( ) = 1
0
1
N
x x
i
N
n i
=
−
+∑ −( )max .
Obçyslyvßy taku Ω sumu vid inßyx çleniv spivvidnoßennq (21) dlq c\oho
vypadku (rozhlqdagçy N qk parametr), otryma[mo nerivnosti vyhlqdu
j
m
j j jP x N x x
=
−
+∑ −[ ]
1
1
1˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( ) ( )
n
≤ 1
0
1
N
x x
i
N
n i
=
−
+∑ −( )max ≤
≤
j
m
j j jP x N x x
=
−
+∑ −[ ]
1
1
1˙̇˙ ,( ) ( )( ) ( ) ( )
v
.
Dani nerivnosti moΩna perepysaty u vyhlqdi (32).
Podibnoho tverdΩennq dlq dyskretnoho naboru elementarnyx podij nema[ v
aksiomatyçnij teori] jmovirnostej.
5. Vysnovky. Vvedeno ponqttq xaotyçnyx poslidovnostej, dlq qkyx isnu-
gt\ interval\na funkciq rozpodilu xaotyçnyx podij na mnoΩyni elementarnyx
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
INTERVAL|NA FUNKCIQ ROZPODILU OBMEÛENO} XAOTYÇNO} … 1137
podij, a takoΩ interval\na funkciq çastot cyx podij. Dlq çyslovyx xaotyç-
nyx poslidovnostej vkazani funkci] rozpodilu vyznaçagt\ mnoΩynni ocinky (wo
zadagt\sq systemog linijnyx nerivnostej) dlq seredn\oaryfmetyçnyx znaçen\
çleniv xaotyçno] poslidovnosti. Vypadkovi poslidovnosti, sformovani z vypad-
kovyx podij, rozhlqdagt\sq qk çastynnyj vypadok xaotyçnyx poslidovnostej,
koly v hranyçnomu vypadku interval\ni funkci] peretvorggt\sq v zvyçajni
funkci] rozpodilu, a interval\ni funkci] çastot — u wil\nist\ rozpodilu vy-
padkovyx podij. Pry c\omu oxopleno vypadok dyskretno] mnoΩyny elementar-
nyx podij, wo dozvolylo otrymaty ponqttq jmovirnosti poqvy vypadkovo] podi]
qk naslidok hranyçnoho perexodu dlq interval\no] ocinky çastoty ]] poqvy v
qkijs\ çastyni sformovano] vypadkovo] poslidovnosti.
1. Çystqkov V. P. Kurs teoryy veroqtnostej. – M.: Nauka, 1978. – 224 s.
2. Korolgk V. S., Skoroxod A. V. Yssledovanyq po teoryy veroqtnostej v Ynstytute
matematyky AN USSR za 50 let // Ukr. mat. Ωurn. – 1984. – 36, # 5. – S.P571 – 575.
3. Kolmohorov A. N. Osnovn¥e ponqtyq teoryy veroqtnostej. – M.: Nauka, 1974. – 120 s.
4. Kuntsevich V. M., Lychak M. M. Guaranteed estimations, adaptation and robustness in control
systems. – Berlin: Springer, 1992. – 209 p.
5. Fon Myzes R. Veroqtnost\ y statystyka: Per. s nem. – M.; L.: Hos. yzd-vo, 1930. – 250 s.
6. Alymov G. Y. Utylytarnaq lohyka postroenyq teoryy veroqtnostej // Semantyka y
ynformatyka: Sb. nauç. st. – M.: VYNYTY, 1985. – V¥p.P24. – S.P58 – 86.
7. L¥çak M. M. ∏lement¥ teoryy xaotyçnostej y ee prymenenyq // Problem¥ upravlenyq y
ynformatyky. – 2002. – # 5. – S.P52 – 63.
8. L¥çak M. M. Xaotyçeskye neprer¥vn¥e process¥ y yx ynterval\n¥e xarakterystyky //
Problem¥ upravlenyq y ynformatyky. – 2004. – # 3. – S.P82 – 96.
9. L¥çak M. M. Ynterval\n¥e xarakterystyky xaotyçeskyx posledovatel\nostej //
Kybernetyka y system. analyz. – 2004. – # 5. – S.P58 – 71.
10. Nykolys DΩ. Dynamyka yerarxyçeskyx system. ∏volgcyonnoe predstavlenye. – M.: Myr,
1989. – 486 s.
11. Xaken H. Synerhetyka: yerarxyq neustojçyvostej v samoorhanyzugwyxsq systemax y
ustrojstvax. – M.: Myr, 1985. – 423 s.
12. Çaryn V. S. Lynejn¥e preobrazovanyq y v¥pukl¥e mnoΩestva. – Kyev: Vywa ßk., 1978. –
192 s.
13. Brensted A. Vvedenye v teoryg v¥pukl¥x mnohohrannykov: Per. s anhl. – M.: Myr, 1988. –
240 s.
14. Ren\y A. Pys\ma o veroqtnosty: Per. s venh. – M.: Myr, 1970. – 91 s.
OderΩano 22.06.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
|