Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії

Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегрируемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциалам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда – Зальцбурга....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Скрипник, В.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2008
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164713
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1138–1143. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164713
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1647132020-02-11T01:26:59Z Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії Скрипник, В.І. Короткі повідомлення Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегрируемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциалам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда – Зальцбурга. For a system of classical particles interacting via stable pair integrable and positive many-body (non-pair) finite-range potentials, the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood – Salsburg equation is proved. 2008 Article Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1138–1143. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164713 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Скрипник, В.І. Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії Український математичний журнал
description	Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегрируемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциалам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда – Зальцбурга.
format	Article
author	Скрипник, В.І.
author_facet	Скрипник, В.І.
author_sort	Скрипник, В.І.
title	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
title_short	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
title_full	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
title_fullStr	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
title_full_unstemmed	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
title_sort	розв'язки рівняння кірквуда–зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164713
citation_txt	Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 8. — С. 1138–1143. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT skripnikví rozvâzkirívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâčastinokzneparnimvídštovhuvannâmfínítnoídíí
first_indexed	2025-07-14T17:18:50Z
last_indexed	2025-07-14T17:18:50Z
_version_	1837643627765956608
fulltext	УДК 517.9 В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ) РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ВIДШТОВХУВАННЯМ ФIНIТНОЇ ДIЇ For a system of classical particles interacting via stable pair integrable and positive many-body (non-pair) finite-range potentials, the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood – Salsburg equation is proved. Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегри- руемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциа- лам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда – Зальцбурга. Рiвняння резольвентного типу Кiрквуда – Зальцбурга (КЗ) визначають рiвноважний (гiббсiвський) стан системи нескiнченного числа класичних d-вимiрних частинок, який задається за допомогою послiдовностi кореляцiйних функцiй великого кано- нiчного ансамблю ρ = {ρ(x(m)),m ≥ 1}, x(m) = (x1, . . . , xm) ∈ Rdm таким чином [1, 2]: ρ = zKρ + zα, де z — активнiсть частинок, повязана з густиною та оберненою температурою β-термодинамiчними параметрами канонiчного ансамблю, α — послiдовнiсть, всi компоненти якої, крiм одиничної першої, дорiвнюють нулю, а лiнiйний оператор задається формулою (KF )(x(m)) = ∑ n≥0 (n!)−1 ∫ K(xj \|x(m\j); y(n))F (x(m\j), y(n))dy(n), m > 1, j ∈ (1, . . . , n), де iнтегрування здiйснюється по Rdn, (m\j) = (x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm). При m = 1 доданком з n = 0 нехтують. Iнтегральнi ядра K(x1\|x(m\1); y(n)), що залежать вiд потенцiальної енергiї U(x(m)) (симетричної вимiрної функцiї) m чаcтинок, мають вигляд K(xj \|x(m\j); y(n)) = ∑ S′⊆(n) (−1)n−\|S′\|e−βW (xj \|x(m\j),yS′ ). Тут S′ — пiдмножина множини цiлих додатних чисел (n) = (1, . . . , n), \|S′\| — кiлькiсть елементiв у цiй пiдмножинi, yS = (yj , j ∈ S′) — послiдовнiсть змiнних, iндексованих елементами цiєї пiдможини, W (xj \|x(m\j), yS′) = U(x(m), yS′)− U(x(m\j), yS′). На просторi симетричних функцiй цi ядра задано таким чином: c© В. I. СКРИПНИК, 2008 1138 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1139 K(xj \|x(m\j); y(n)) = n∑ l=0 (−1)n−lCl ne−βW (xj \|x(m\j),y(l)), Cl n = n ! l!(n− l) ! . Важливою умовою для iснування розв’язку рiвняння КЗ є умова стiйкостi [3] U(x(n)) = ∑ l<∞ 1 l ! ∑ jk 6=jl∈(n) φl(xj(l)) ≥ −Bn, де B — константа та φl — l-частинковий трансляцiйно-iнварiантний потенцiал вза- ємодiї (одночастинковий потенцiал φ1 є потенцiалом зовнiшнього поля). Рiвняння КЗ для парної взаємодiї при деяких умовах на кореляцiйнi функцiї є наслiдком стацiонарної iєрархiї ББГКI [4]. Вiдомо [3, 5, 6], що у випадку тiльки парної додатної (B = 0) взаємодiї, тобто при φl = 0, l 6= 2, та регулярного парного потенцiалу φ2 (\|e−βφ2 − 1\|, β > 0, є iнтегровною функцiєю) оператор КЗ K є обмеженим у просторi послiдовностей обмежених функцiй Eξ та розв’язок рiвняння КЗ зображується збiжним рядом за степенями комплексного z у крузi скiнченного радiуса. Такий же результат має мiсце у випадку, коли всi потенцiали φl мають скiнченну вiдштовхувальну дiю, тобто є додатними функцiями з компактним носiєм [1, 2] (вони залежать тiльки вiд рiзницi змiнних). Норма у просторi Eξ послiдовностей вимiрних обмежених функцiй визначається таким чином: ‖F‖ξ = max n≥1 ess sup x(n) ξ−n ∣∣F (x(n)) ∣∣. Систему частинок з парною стiйкою взаємодiєю з регулярним парним потенцiалом уперше розглянув Рюелл. Вiн запропонував розглядати симетризоване рiвняння КЗ для кореляцiйних функцiй ρ = zK̃ρ + zα та довiв обмеженiсть симетризованого оператора КЗ в Eξ, тобто довiв, що розв’язок симетризованого рiвняння КЗ зображується збiжним рядом за степенями комплекс- ного z у крузi скiнченного радiуса. Проблема побудови розв’язкiв рiвняння КЗ у випадку, коли є притягання, не була розв’язана в [1, 2]. У цьому випадку необхiдно розглядати симетризоване рiвняння КЗ, а це в [1, 2] не було зроблено. У цiй статтi ми вперше розглядаємо симетризоване рiвняння КЗ та показуємо, що воно має розв’язок у випадку, коли всi вищi непарнi потенцiали є додатними та мають компактний носiй (скiнченний радiус дiї), а парний (недодатний) потенцiал є регулярним та стiйким. При цьому основним прийомом є оцiнка ядер КЗ з допомогою нових рекурентних спiввiд- ношень (4), якi не було використано в попереднiй статтi автора [7]. В нiй було показано, що у випадку взаємодiї з недодатними парним та спецiальним тернар- ним нефiнiтними потенцiалами гiббсiвськi кореляцiйнi функцiї можна визначити з допомогою рiвняння КЗ з додатковими змiнними та парним комплексним потенцi- алом взаємодiї (див. також [8]). Результат, отриманий у данiй статтi, узагальнюється на випадок взаємодiї з додатковим припущенням, що тернарний потенцiал є таким, як i в [7]. Побудову ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 1140 В. I. СКРИПНИК гiббсiвських кореляцiйних функцiй (взаємодiя є фiнiтною багаточастинковою) без застосування рiвняння КЗ викладено в статтi [9]. Перш нiж сформулювати результат визначимо процедуру зазначеної вище симет- ризацiї Руелла. Отже, нехай потенцiал φ2 є стiйким, тобто породжувана ним потен- цiальна енергiя U2 задовольняє спiввiдношення U2(x(n)) ≥ −nB. Симетризацiя Руелла проводиться таким чином. Нехай χ(j,m) — характеристична функцiя мно- жини W2(xj \|x(m\j)) = U2(x(m))− U2(x(m\j)) = ∑ s∈(m\j) φ2(xj − xs) ≥ −2B. Покладемо χ∗(j,m) =  m∑ j=1 χ(j,m) −1 χ(j,m). Стiйкiсть потенцiалу φ2 означає, що m∑ j=1 χ∗(j,m) = 1, оскiльки справджується рiвнiсть ∑m j=1 W2(xj \|x(m\j)) = 2U2(x(m)). Тодi симетризований оператор КЗ задається формулою (K̃F )(x(m)) = m∑ j=1 χ∗(j,m)(x(m)) ∑ n≥0 1 n! ∫ K(xj \|x(m\j); y(n))F (x(m\j), y(n))dy(n). При m = 1 доданком з n = 0 нехтуємо. Перемножаючи m-тi компоненти рiвняння КЗ на χ∗(j,m), пiдсумовуючи по j та беручи до уваги наведену рiвнiсть для χ∗(j,m) в лiвiй частинi рiвняння, отримуємо симетризоване рiвняння КЗ. Для норми оператора КЗ маємо нерiвнiсть ‖K̃F‖ξ ≤ ≤ ‖F‖ξξ −1 max m ess sup x(m) ∑ n≥0 ξn n! m∑ j=1 χ∗j,m(x(m)) ∫ \|K(xj \|x(m\j); y(n))\|dy(n). Щоб довести обмеженiсть оператора КЗ в Eξ, достатньо довести нерiвнiсть χ∗(j,m)(x(m)) ∫ \|K(xj \|x(m\j); y(n))\|dy(n) ≤ abnχ∗(j,m)(x(m)). (1) Тодi норма симетризованого оператора КЗ в Eξ буде визначена нерiвнiстю ‖K̃‖ξ ≤ ξ−1aeξb. Найпростiша нерiвнiсть вiдповiдає випадку ξ = b−1: ‖K̃‖b−1 ≤ abe. Насамперед доведемо нерiвнiсть (1), припустивши, що всi трансляцiйно-iнварi- антнi потенцiали мають радiус дiї R, тобто для будь-якого s ∈ (l) та всiх k ∈ (l\s) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1141 при \|xs − xk\| ≥ R справджується рiвнiсть φl(x1, . . . , xl) = 0. Важливим наслiдком цього припущення є рiвнiсть K(xj \|x(m\j); y(n)) = 0, \|xj − yl\| ≥ R, (2) для довiльного l ∈ (n). Це випливає з рiвностей W (x\|y(n)) = W (x\|y(n\s)), \|x − − ys\| ≥ R. На носiї χ(j,m) виконується нерiвнiсть W2(xj \|x(m\j), yS) = W2(xj \|x(m\j)) + W2(xj \|yS) ≥ −2B − \|S\| \|φ0,2\|+, де \|φ2\|+ = inf x φ2(x). Це приводить до нерiвностi χ∗(j,m)(x(m))\|K(xj \|x(m\j); y(n))\| ≤ abn 0χ∗(j,m)(x(m)), (3) в якiй a = e2βB , b0 = 2eβ\|φ2\|+ . При цьому ми скористались тим, що ∑ S⊆(n) 1 = = ∑n l=0 Cl n = 2n. З рiвностi (2) випливає, що iнтегрування в лiвiй частинi (1) виконується за n- кратним декартовим добутком гiперкулi радiуса R з центром у точцi xj . Отже, має мiсце (1) з a = e2βB , b = 2vReβ\|φ2\|+ , де vR — об’єм гiперкулi радiуса R. Отже, для випадку фiнiтного парного потенцiалу ми довели наступну теорему. Для потенцiальної енергiї зi стiйким парним регулярним потенцiалом та додат- ними непарними фiнiтними потенцiалами симетризований оператор КЗ K̃ є обме- женим у банаховому просторi Eξ, а симетризоване рiвняння КЗ має єдиний розв’я- зок у Eξ, що зображується рядом ρ = z ∑ n≥0 znK̃nα, збiжним у крузi \|z\| < ‖K̃‖−1 ξ . Доведемо тепер цю теорему для випадку нефiнiтної парної взаємодiї. Важливу роль при доведеннi (1) вiдiграє рекурентне спiввiдношення, яке ми встановимо нижче: K(x\|x(m); y(n)) = = ∑ S′⊆(n) K(x\|x(m); yS′)χBx(R)(yS′)G(x\|y(n)\S′)χBc x(R)(y(n)\S′), (4) де G(x\|yS) = ∑ S′⊆S (−1)\|S\S ′\|e−βW2(x\|yS′ ) = ∏ l∈S (e−βφ2(x−yl) − 1), Bc x(R) = Rd\Bx(R), W2(x\|yS) = ∑ j∈S φ2(x− yj), Bx(R) — гiперкуля радiуса R з центром у точцi x, χA(yS) — добуток характеристичних функцiй множини A, що залежать вiд змiнних, iндексованих множиною S. З цього спiввiдношення та з (3) випливає нерiвнiсть ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 1142 В. I. СКРИПНИК χ∗j,m(x(m))\|K(xj \|x(m\j); y(n))\| ≤ ≤ e2βB ∑ S′⊆(n) (2eβ\|φ2\|+)\|S ′\|χBx(R)(yS′)G(xj \|y(n\S′))χ∗j,m(x(m)) = = e2βB n∏ l=1 [ G(xj \|yl) + 2eβ\|φ2\|+χBx(R)(yl) ] χ∗j,m(x(m)). В результатi має мiсце (1) з константами a = e2βB , b = 2vR ( eβ\|φ2\|+ + ∫ \|e−βφ2(x) − 1\|dx ) . Встановимо спiввiдношення (4). Нехай S = S1 ∪ S2, тодi W (x\|x(m), yS) = W (x\|x(m), yS1) + W2(x\|yS2), yl 6∈ Bx(R), l ∈ S2. (5) Ця рiвнiсть є наслiдком рiвностi W2(x\|yS) = W2(x\|yS1) + W2(x\|yS2). Пiдставимо рiвнiсть 1 = n∏ j=1 (χBc x(R)(yj) + χBx(R)(yj)) = ∑ S′⊆(n) χBx(R)(yS′)χBc x(R)(y(n)\S′) у вираз для ядер КЗ. Пiсля пiдсумовування та застосування (5) отримаємо K(x\|x(m); y(n)) = = ∑ S⊆(n) (−1)n−\|S\|e−βW (x\|x(m),yS) ∑ S′⊆(n) χBx(R)(yS′)χBc x(R)(y(n)\S′) = = ∑ S′⊆(n) χBx(R)(yS′)χBc x(R)(y(n)\S′)× × ∑ S2⊆(n)\S′ ∑ S1⊆S′ (−1)n−\|S1∪S2\|e−βW (x\|x(m),yS1∪S2 ) = = ∑ S′⊆(n) χBc x(R)(y(n)\S′)χBx(R)(yS′) ∑ S2⊆(n)\S′ ∑ S1⊆S′ (−1)n−\|S1\|−\|S2\|× ×e−β[W (x\|x(m),yS1 )+W2(x\|x(m),yS2 )] = = ∑ S′⊆(n) χBx(R)(yS′)χBc x(R)(y(n)\S′) ∑ S1⊆S′ (−1)\|S ′\|−\|S1\|e−βW (x\|x(m),yS1 )× × ∑ S2⊆(n)\S′ (−1)n−\|S′\|−\|S2\|e−βW2(x\|x(m),yS2 ). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1143 Остання рiвнiсть i доводить (4). 1. Greenberg W. Thermodynamic states of classical systems // Communs Math Phys. – 1971. – 22. – P. 259 – 268. 2. Moraal H. The Kirkwood – Saltsburg equation and the virial expansion for many-body potentials // Phys. Lett. A. – 1976. – 59, № 1. – P. 9 – 10. 3. Ruelle D. Statistical mechanics. Rigorous results. – W. A. Benjamin Inc., 1969. – 219 p. 4. Gallavotti G., Verboven E. On the classical KMS boundary conditions // IL Nuovo Cimento B. – 1975. – 28, № 1. – P. 274 – 286. 5. Боголюбов Н. Н., Петрина Д. Я., Хацет Б. И. Математическое описание равновесного состо- яния класических систем на основе канонического ансамбля // Теорет. и мат. физика. – 1969. – 1, № 2. – С. 251 – 274. 6. Petrina D. Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P. V. Mathematical foundations of classical statistical mechanics. – Holland: Gordon and Breach, 1989. – 332 p. 7. Скрипник В. I. Про гiббсiвськi квантовi та класичнi системи частинок з трьохчастинковими силами // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 976 – 996. 8. Скрипник В. I. Метод функцiонального iнтегралу для гiббсiвських систем з багаточас- тинковими потенцiалами. I // Теорет. и мат. физика. – 1991. – 88, № 1. – С. 115 – 121. 9. Rebenko A. Polymer expansions for continuous classical systems with many-body interaction // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 1. – P. 73 – 87. Одержано 15.12.06 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8

Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії

Institution

Ähnliche Einträge