О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь

Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Буслаев, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164729
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164729
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1647292020-02-11T01:27:17Z О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь Буслаев, В.И. Статті Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами, інше доведення теореми Гончара про гіпотезу Лейтона, оцінку зверху радіуса кола мероморфності функції, що задана С-дробом. We obtain explicit formulas that express the Hankel determinants of functions given by their expansions in continued P-fractions in terms of the parameters of the fraction. As a corollary, we obtain a lower bound for the capacity of the set of singular points of these functions, an analog of the van Vleck theorem for P-fractions with limit-periodic coefficients, another proof of the Gonchar theorem on the Leighton conjecture, and an upper bound for the radius of the disk of meromorphy of a function given by a C-fraction. 2010 Article О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164729 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Буслаев, В.И. О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь Український математичний журнал
description	Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами, інше доведення теореми Гончара про гіпотезу Лейтона, оцінку зверху радіуса кола мероморфності функції, що задана С-дробом.
format	Article
author	Буслаев, В.И.
author_facet	Буслаев, В.И.
author_sort	Буслаев, В.И.
title	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_short	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_full	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_fullStr	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_full_unstemmed	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_sort	о ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в p-дробь
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164729
citation_txt	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT buslaevvi ogankelevyhopredelitelâhfunkcijzadannyhsvoimrazloženiemvpdrobʹ
first_indexed	2025-07-14T17:19:33Z
last_indexed	2025-07-14T17:19:33Z
_version_	1837643672951193600
fulltext	UDK 517.5 V. Y. Buslaev (Mat. yn-t RAN, Moskva, Rossyq) O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX SVOYM RAZLOÛENYEM V P - DROB\| ∗∗∗∗ We obtain explicit formulas expressing the Hankel determinants of functions, which are given by their own expansion in a continuous P-fraction, in terms of parameters of the fraction. As corollaries, we establish an estimate from below for a set of singular points of functions of this sort, prove an analog of the Van Vliek theorem for P-fractions with ultimately periodic coefficients, present another proof of the Gonchar theorem on the Layton hypothesis, and obtain an estimate from above for a radius of meromorphy disk of a function given by C-fraction. OderΩano qvni formuly, wo vyraΩagt\ hankelevi vyznaçnyky funkcij, qki zadano svo]m rozvy- nennqm u neperervnyj P-drib, çerez parametry drobu. Qk naslidok otrymano ocinku znyzu [mno- sti mnoΩyny osoblyvyx toçok takyx funkcij, analoh teoremy Van Fleka dlq P-drobiv z hra- nyçnymy periodyçnymy koefici[ntamy, inße dovedennq teoremy Honçara pro hipotezu Lejtona, ocinku zverxu radiusa kola meromorfnosti funkci], wo zadana C-drobom. 1. Formulyrovka osnovnoj teorem¥ y ee dokazatel\stvo. Napomnym, çto P-drob\g naz¥vaetsq neprer¥vnaq drob\ a b a b a b 1 1 2 2 3 3 () () () ξ ξ ξ + + +… ,(1) hde ak∈C\{}0, bk() ξ, k = 1, 2, … , — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym ko- πffycyentom. Dalee budem predpolahat\, çto stepeny βk mnohoçlenov bk() ξ takov¥, çto bb kk −+> 10, k = 1, 2, … , β00 =. Tohda nk = nkk −+1β > nk−2, hde nk = ββ 1+…+k. Yz πtoho predpoloΩenyq y trexçlenn¥x rekurrentn¥x sootnoßenyj Pk() ξ = bPaP kkkk ()()() ξξξ −− + 12, (2) Qk() ξ = bQaQ kkkk ()()() ξξξ −− + 12, k = 1, 2, … , dlq çyslytelej {} () Pkk ξ= ∞ 1 y znamenatelej {} () Qkk ξ= ∞ 1 podxodqwyx drobej P- droby (1) y naçal\n¥x uslovyj P−1() ξ = 1, P0() ξ = 0, Q−1() ξ = 0, Q0() ξ = 1 yndukcyej po k = 1, 2, … poluçaem, çto mnohoçlen Qk ymeet stepen\ nk y edynyçn¥j starßyj koπffycyent. Yz yzvestnoho ravenstva P Q P Q k k k k () () () () ξ ξ ξ ξ −− − 1 1 = A QQ k kk −1()() ξξ , Ak = () −… − 11 1 k k aa (qvlqgwehosq prost¥m sledstvyem rekurrentn¥x sootnoßenyj (2)), v okrest- nosty toçky ξ = ∞ poluçaem ravenstvo ∗ Çastyçno podderΩana prohrammoj OMN RAN „Sovremenn¥e problem¥ teoretyçeskoj matema- tyky" y Rossyjskym fondom fundamental\n¥x yssledovanyj (hrant¥ #08-01-00317 y #09-01- 12160-ofy-m). © V. Y. BUSLAEV, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3315 316V. Y. BUSLAEV P Q P Q k k k k () () () () ξ ξ ξ ξ −− − 1 1 = Ak nn kk ξ−+ −+… () 1 .(3) Poskol\ku nn kk −+1 < nn kk ++1, ravenstvo (3) pozvolqet standartn¥m obra- zom postavyt\ v sootvetstvye P-droby (1) stepennoj rqd (vozmoΩno, formal\- n¥j) fp p p ξ− = ∞ ∑1 takoj, çto f P Q p p p k k ξ ξ ξ − = ∞ ∑− 1 () () = Ak nn kk + −+++… 1 1 ξ(), k = 1, 2, … .(4) Lehko vydet\, çto esly P-drob\ (1) sxodytsq v okrestnosty toçky ξ=∞ k ho- lomorfnoj funkcyy f, to f() ξ = P Q P Q P Q k k j j j j j () () () () () () ξ ξ ξ ξ ξ ξ +−     + + 1 1 == ∞ ∑ k = P Q A QQ k k j jj jk () ()()() ξ ξξξ ++ + = ∞ ∑1 1 y, sledovatel\no, rqd, kotor¥j stavytsq v sootvetstvye P-droby (1), qvlqetsq sxodqwymsq stepenn¥m rqdom, sovpadagwym s razloΩenyem v rqd predel\noj funkcyy f v okrestnosty toçky ξ = ∞ . Neprer¥vnaq drob\ az az az 1 2 3 1 2 3 1 1 1 α α α + + +… ,(5) hde ak∈C\{}0, αk∈N, k = 1, 2, … , naz¥vaetsq C-drob\g. Esly αk=1 pry vsex k = 1, 2, … , to C-drob\ naz¥vaetsq pravyl\noj. Esly natural\n¥e pokazately αα 12 ,,… udovletvorqgt uslovyg ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 () ≥ 0, k = 1, 2, … ,(6) to C-drob\ (5) moΩno predstavyt\ v vyde az az az 1 2 3 01 12 23 1 1 1 ββ ββ ββ + + + + + +… ,(7) hde β00 =, βk = ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 (), k = 1, 2, … ,(8) y πkvyvalentn¥m preobrazovanyem neprer¥vn¥x drobej pryvesty k P-droby a a a 1 2 3 1 2 3 ξ ξ ξ β β β + + +… ,(9) hde ξ = z−1. Pry πtom βk∈+ Z y ββ kk −+1 = αk > 0, k = 1, 2, … . V çast- nosty, pravyl\naq C-drob\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 317 az az az 1 2 3 1 1 1 + + +… (10) πkvyvalentn¥m preobrazovanyem pryvodytsq k P-droby a a a 1 2 3 1 ξ ξ + + +… .(11) V teoryy neprer¥vn¥x drobej vaΩnug rol\ yhragt qvn¥e formul¥, poz- volqgwye v¥razyt\ hankelev¥ opredelytely rqda, sootvetstvugweho nepre- r¥vnoj droby, çerez parametr¥ neprer¥vnoj droby. V çastnosty, v sluçae pra- vyl\noj C-droby (10), kotoroj sootvetstvuet stepennoj rqd fz p p p= ∞ ∑1 , yme- gt mesto sledugwye formul¥: ff ff k kk 1 21 … ……… …− = aaaaaaa kk kkkk 123 1 2423 2 2221 1 ()()() − −−−− …(12) (sm. [1, c. 221], hde πty formul¥ pryveden¥ v vyde ravenstv, πkvyvalentn¥x ra- venstvam (12)). V dannoj stat\e formul¥ (12), spravedlyv¥e dlq pravyl\noj C-droby (10) yly, çto to Ωe samoe, dlq P-droby (11), rasprostranqgtsq na sluçaj obwyx P- drobej (1). A ymenno, v stat\e dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema. Teorema. Pust\ stepennoj rqd f() ξ = fp p p ξ− = ∞ ∑1 sootvetstvuet P- droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym ko- πffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+> 10, k = 1, 2, … , β0 = = 0. Tohda s toçnost\g do znaka ymeet mesto ravenstvo ∆ n f k = aj nn j k kj − = − ∏1 1 ,(13) hde ∆n f = ff ff n nn 1 21 … ……… …− , nk = ββ 1+…+k. Zametym, çto dlq P- droby (11) nnk kk 212 −== y ravenstva (13) sovpadagt s ravenstvamy (12). Qvnoe v¥raΩenye dlq znaka v ravenstve (13) ne pryvodytsq v sylu eho hro- mozdkosty y nenuΩnosty v pryvodym¥x nyΩe pryloΩenyqx teorem¥. Vmeste s tem otmetym, çto znak v ravenstve (13) moΩno prosledyt\ po xodu dokazatel\- stva teorem¥. Dokazatel\stvo teorem¥. Yz ravenstva (4) pry k=1 vydno, çto perv¥e nn 121 +− ≥ 21 1n− koπffycyentov rqda fp p p ξ− = ∞ ∑1 sovpadagt s sootvet- stvugwymy koπffycyentamy pervoj podxodqwej droby ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 318V. Y. BUSLAEV P Q 1 1 () () ξ ξ = a b 1 1() ξ = an 1 1 ξ− + … . Poπtomu fk=0 pry k = 1, … , n11 − y fa n11 =, Sledovatel\no, ∆ n f 1 = 01 121 1 … ……… … a afn− = an 1 1(14) (s toçnost\g do znaka). PokaΩem, çto pry vsex j = 1, 2, … s toçnost\g do zna- ka ymegt mesto ravenstva ∆n f j+1 = () aaj nn n f jj j 11 1 …+ − +∆.(15) Dejstvytel\no, esly nn jj +=1, to ravenstvo (15) tryvyal\no. Poπtomu budem predpolahat\, çto nn jj +>1. UmnoΩaq ravenstvo (4) pry k = j na Qj() ξ = ξξ n j n jn jj j qq ++…+ − ,, 1 1 , v okrestnosty toçky ξ = ∞ poluçaem ravenstvo () ,,() qqfP jnj nn p p p j j jj +…++− −− = ∞ ∑ 1 1 1 ξξξξ = Aj nj + −+ 1 1 ξ + … .(16) Pryravnyvaq meΩdu soboj koπffycyent¥ pry ξξ −− …+ 11 ,, nj v levoj y pravoj çastqx ravenstva (16), poluçaem systemu ravenstv qfqff jnjnn jjj ,, 111 +…+++ = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(17) qfqff jnnjnnnn jjjjjj ,, +++ −+−+− +…++ 111 1121 = 0, qfqff jnnjnnnn jjjjjj ,, +++ +…++ +−+ 111 11 = Aj+1. Ne menqq znaçenyq opredelytelq ∆ n f j+1 = ffff ffff nnn nnnnn jjj jjjj 11 212 1 …… ……………… …… + −+ + jj jjjjj j ffff f nnnnn n + + + − +++ 1 1 1 1 1221 …… ……………… …ffff nnnnn jjjjj +−+− +++ 111 121 … , dobavym k eho poslednemu, nj+1-mu, stolbcu lynejnug kombynacyg pred¥du- wyx nj stolbcov s koπffycyentamy qq jjnj ,, ,, 1…. Zatem sdelaem to Ωe samoe ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 319 s predposlednym, () nj+−11-m, stolbcom y t. d. do () nj+1-ho stolbca vklgçy- tel\no. Tohda perv¥e nj stolbcov opredelytelq ∆ n f j+1 ne yzmenqtsq, v sylu ravenstv (17) () np j+−+ 11-j πlement (pry numeracyy sverxu vnyz) () np j+-ho stolbca budet raven Aj+1, a vse πlement¥ v¥ße v πtom stolbce budut ravn¥ nulg (,,) pnn jj =…− + 11. Otsgda poluçaem (s toçnost\g do znaka) ravenstvo ∆ n f j+1 = ∆ n f j nn j jj A+ − + 1 1, sovpadagwee s uçetom opredelenyq çysel Aj+1 = = () −…+ 111 j j aa s ravenstvom (15) (s toçnost\g do znaka). Posledovatel\no yspol\zuq ravenstva (15) pry j = k – 1, … , 1 y uçyt¥vaq ravenstvo (14), poluçaem ravenstvo ∆ n f k = () aaj nn j k jj 1 1 1 …− = − ∏ (s toçnost\g do znaka), sovpadagwee s ravenstvom (13). Teorema dokazana. Yzvestnaq teorema Polya [2] utverΩdaet, çto esly K — kompakt kompleks- noj ploskosty y f — funkcyq, holomorfnaq v toçke ξ = ∞ y dopuskagwaq meromorfnoe prodolΩenye v C\K, to lim / n n fn →∞ ∆ 12 ≤ cap() K,(18) hde ∆n f — opredelenn¥e v¥ße hankelev¥ opredelytely funkcyy f() ξ = = fp p p ξ− = ∞ ∑0 , cap() K — (loharyfmyçeskaq) emkost\ kompakta K . Poπtomu kak sledstvye dokazannoj teorem¥ y teorem¥ Polya poluçaem dva sledugwyx utverΩdenyq. Sledstvye 1. Pust\ P-droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto βk−1 + + βk > 0, k = 1, 2, … , β00 =, sootvetstvuet neformal\n¥j stepennoj rqd, sxodqwyjsq v okrestnosty toçky ξ = ∞ k funkcyy, dopuskagwej meromorf- noe prodolΩenye v nekotorug oblast\ G ! ∞ . Tohda cap(\) CG ≥ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 ≥ lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11,(19) hde nk = ββ 1+…+k. Dejstvytel\no, pervoe neravenstvo v (19) sleduet yz (18) y (13). Çtob¥ ubedyt\sq v spravedlyvosty vtoroho neravenstva v (19), poloΩym A = = lim /() kk nn aaakk →∞ + …− 12 11 Tohda dlq lgboho ε>0 pry vsex jj ≥0 v¥- polnqetsq neravenstvo aaj nn jj 1 1 … −− ≥ () A nn jj −−− ε 2 1 2 . Sledovatel\no, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 320V. Y. BUSLAEV aj nn j k kj − = − ∏1 1 = () aaj nn j k jj 1 1 1 …− = − ∏ ≥ ≥ ()() () aaA j nn j j nn jjjj jj k 1 1 1 1 02 1 2 0 …− − = −− −− = ∏ε ∑∑ ≥ CAnk () −ε 2 , hde C ne zavysyt ot nk. V sylu proyzvol\nosty çysla ε otsgda sleduet, çto A ≤ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 ≤ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 . Sledstvye 1 dokazano. Sledstvye 2. Pust\ P- droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto βk−1 + + βk > 0, k = 1, 2, … , β00 =, sootvetstvuet neformal\n¥j stepennoj rqd, sxodqwyjsq v okrestnosty toçky ξ = ∞ k funkcyy f, dopuskagwej me- romorfnoe prodolΩenye v nekotorug oblast\ G ! ∞ , hranycej kotoroj qv- lqetsq kryvaq J takaq, çto cap() J = lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11.(20) Tohda funkcyq f ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty G∗ = Gzz ∪−< {} 0ε, hde zJ 0∈, ε>0. Dejstvytel\no, zametym, çto ymeet mesto strohoe neravenstvo cap(\) CG∗ < cap()J. Poπtomu, predpolahaq, çto funkcyq f meromorfna v oblasty G∗, yspol\zuq neravenstvo (19), v kotorom kompakt C\G zamenqetsq kompaktom C\G∗, y uçyt¥vaq ravenstvo (20), poluçaem protyvoreçye cap()J > cap(\) CG∗ ≥ lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11 = cap()J, çto y zaverßaet dokazatel\stvo sledstvyq 2. Esly kryvaq J qvlqetsq zamknutoj Ωordanovoj kryvoj, to v πtom sluçae sledstvye 2 moΩno sformulyrovat\ sledugwym obrazom: vse toçky kryvoj J qvlqgtsq osob¥my toçkamy meromorfnoj funkcyy f (a oblast\ G — este- stvennoj oblast\g suwestvovanyq πtoj funkcyy). V sledugwem punkte budet dokazano, çto prymenytel\no k P- drobqm, πkvy- valentn¥m C-drobqm, sledstvye 2 vleçet za soboj teoremu Honçara [3] o polo- Ωytel\nom otvete na hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej C-droby. 2. Druhoe dokazatel\stvo teorem¥ Honçara o hypoteze Lejtona. V mo- nohrafyy Uolla [4] otmeçeno, çto yz rezul\tatov RamanudΩana sleduet, çto funkcyq, zadannaq neprer¥vnoj drob\g RamanudΩana 1 1 1 2 + + +… z z , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 321 meromorfna v kruhe z<1 y ne ymeet meromorfnoho prodolΩenyq za prede- l¥ πtoho kruha. V 1940 h. Lejton v¥skazal hypotezu, çto analohyçnoe utverΩdenye spraved- lyvo dlq funkcyj, zadann¥x neprer¥vn¥my C-drobqmy (5) takymy, çto αk∈N, lim k k →∞ α = ∞ , ak∈C\{}0, lim / k k ak →∞ 1α = 1.(21) Ravnomernaq sxodymost\ C-droby (5) s naloΩenn¥my na ee parametr¥ uslo- vyqmy (21) v sferyçeskoj metryke vnutry (na kompaktn¥x podmnoΩestvax) kru- ha z<1 sleduet, naprymer, yz yzvestnoho kryteryq Vorpyckoho [5] sxody- mosty neprer¥vn¥x drobej. Kryteryj Vorpyckoho. Neprer¥vnaq drob\ a a a 1 2 3 1 1 1 + + +… sxodytsq, esly an≤14/ pry vsex dostatoçno bol\ßyx n . Takym obrazom, osnovnoe soderΩanye hypotez¥ Lejtona sosredotoçeno v ut- verΩdenyy o nevozmoΩnosty meromorfnoho prodolΩenyq funkcyy, zadannoj C-drob\g (5) s uslovyqmy (21), za predel¥ kruha z<1. Dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… hypoteza Lejtona dokazana A. Honçarom [3]. Teorema (Honçar). Kruh z<1 qvlqetsq estestvennoj oblast\g suwe- stvovanyq meromorfnoj funkcyy, zadannoj C-drob\g (5) s uslovyqmy (21) y ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 () > 0, k = 1, 2, … .(22) Oçevydno, çto lgbaq neub¥vagwaq posledovatel\nost\ pokazatelej v sovo- kupnosty s ny na çto ne vlyqgwym predpoloΩenyem αα 21 > udovletvorqet uslovyg (22). Poπtomu teorema Honçara daet poloΩytel\n¥j otvet na hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… . Ranee Skott y Uoll [6] dokazaly hypotezu Lejtona dlq ves\ma specyal\noho sluçaq αk k m= y aa k=, k = 1, 2, … , hde lybo a∈R\0, m — neçetnoe celoe, bol\ßee yly ravnoe 3, lybo a<0, m — celoe, bol\ßee yly ravnoe 2. Tron [7] dokazal hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… pry syl\nom dopolnytel\nom predpoloΩenyy suwest- vovanyq posledovatel\nosty {} µk natural\n¥x çysel takoj, çto limkk →∞µ = = ∞ y µk delyt αn pry vsex nnk ≥(). Zametym, çto teorema Honçara qvlqetsq çastn¥m sluçaem sformulyrovan- noho v pred¥duwem punkte sledstvyq 2 teorem¥, pryçem strohye neravenst- va (22) v teoreme Honçara moΩno zamenyt\ nestrohymy neravenstvamy (6). Dejstvytel\no, kak otmeçalos\ v pervom punkte, C-drob\ (5) s pokazatelqmy, udovletvorqgwymy uslovyg (6), πkvyvalentna P- droby (9), hde βk∈+ Z y ββ kk −+1 = αk > 0, k = 1, 2, … . Poskol\ku P- drob\ (9) πkvyvalentna C-droby (5), k kotoroj moΩno pryme- nyt\ v sylu uslovyj (21) kryteryj Vorpyckoho, P- drob\ (9) sxodytsq ravnomer- no v sferyçeskoj metryke na kompaktax vne edynyçnoho kruha k meromorfnoj funkcyy. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 322V. Y. BUSLAEV Tak kak emkost\ okruΩnosty Jz == {}1 ravna 1 (sm., naprymer, [8]), to uslovye lim / kk ak →∞ 1α = 1 (sm. (21)) vleçet za soboj ravenstvo cap()J = 1 = lim / k k ak →∞ 1α = lim /() k k aak →∞ +…+ …1 11 αα . Uçyt¥vaq, çto nn kk −+1 = ()() ββββ 111 +…+++…+ −kk = αα 1+…+k,(23) poslednee ravenstvo moΩno zapysat\ v vyde ravenstva cap()J = lim /() k k nn aakk →∞ + …− 1 11, kotoroe vleçet za soboj ravenstvo (20). Takym obrazom, teorema Honçara qvlqetsq çastn¥m sluçaem sledstvyq 2 dokazannoj teorem¥. 3. Ocenka sverxu radyusa kruha meromorfnosty funkcyy, zadannoj C- drob\g. Pust\ F — funkcyq, holomorfnaq v toçke z = 0. Oboznaçym çerez RF() radyus kruha meromorfnosty funkcyy F, t. e. maksymal\noho kruha s centrom v toçke z = 0, v kotor¥j funkcyq F moΩet b¥t\ meromorfno pro- dolΩena. V 1967 h. Tron y Kallas [9] poluçyly ocenku sverxu radyusa kruha mero- morfnosty funkcyy, zadannoj pravyl\noj C-drob\g (10). Teorema (Tron, Kallas). Pust\ funkcyq F zadaetsq pravyl\noj C- dro- b\g (10) s koπffycyentamy αα 12 ,,… takymy, çto suwestvuet otlyçn¥j ot nulq predel limkk a →∞. Tohda RF() ≤ 2 1 lim k k a →∞ − ().(24) ∏ta teorema qvlqetsq sledstvyem yx bolee obwej teorem¥. Teorema (Tron, Kallas). Pust\ funkcyq F zadaetsq pravyl\noj C- dro- b\g (10) s ohranyçenn¥my koπffycyentamy αα 12 ,,…. Tohda RF() ≤ inf m q mq > + 02 1 , hde q = lim / µ ν ν µ µ ν →∞= ≤ + ∏ a m am 1 21 12 . A. Honçar pokazal (bez posledugwej publykacyy), çto ocenku (24) moΩno uluçßyt\ v dva raza, a ymenno, v predpoloΩenyqx pervoj yz teorem Trona – Kallasa ymeet mesto neravenstvo RF() ≤ lim k k a →∞ − ()1 .(25) Kak sledstvye dokazannoj v pervom punkte teorem¥ spravedlyvo sledugwee utverΩdenye. Sledstvye 3. Pust\ funkcyq f() ξ zadaetsq P- drob\g (1) s koπffycy- entamy ak∈C\{}0 y mnohoçlenamy bk() ξ s edynyçn¥m starßym koπffy- cyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+> 10, k = 1, 2, … , β0 = 0, y pust\ Fzfz ()() =−1. Tohda ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 323 RF() ≤ lim /() k k nn aakk →∞ + − …     − 1 1 1 1,(26) hde nk = ββ 1+…+k. Dejstvytel\no, funkcyq f meromorfna v oblasty G = ξ> {} − RF 1(). Uçyt¥vaq, çto emkost\ kruha ravna eho radyusu, yz neravenstva (19) poluçaem neravenstvo RF() = cap(\) CG−1 ≤ lim /() k k nn aakk →∞ + − …     − 1 1 1 1, sovpadagwee s neravenstvom (26). Poskol\ku pravyl\naq C-drob\ (10) πkvyvalentna P- droby (11), dlq koto- roj β21 k− = 1, β2k = 0, nnk kk −+= 1, k = 1, 2, … , yz neravenstva (26) polu- çaem sledugwug ocenku radyusa meromorfnosty funkcyy F, zadannoj pra- vyl\noj C-drob\g (10): RF() ≤ lim / k k k aa →∞ − …     1 1 1 ,(27) dagwug, v çastnosty, ocenku Honçara (25). Zametym, çto ocenka (27) qvlqetsq toçnoj. Dejstvytel\no, v rabote avtora [10] pokazano, çto pry vsex qi =exp() 2πτ, hde τ — vewestvennoe yrracyonal\- noe çyslo, neprer¥vnaq drob\ RodΩersa – RamanudΩana 1 1 1 2 + + + qz qz … sxodytsq ravnomerno v sferyçeskoj metryke k meromorfnoj funkcyy Fz q() na kompaktax, leΩawyx v edynyçnom kruhe z< {}1. Poπtomu RFq () ≥ 1 = lim / k kk qq →∞ − …     111 = lim / k k k aa →∞ − …     1 1 1 . Sledovatel\no, ocenku (27) uluçßyt\ nel\zq. 4. Sxodymost\ predel\no peryodyçeskyx P - drobej. Ewe odno sledstvye teorem¥ svqzano s yzvestnoj teoremoj Van Fleka [11]. Teorema (Van Flek). Pust\ koπffycyent¥ pravyl\noj C-droby (10) yme- gt predel limkk a →∞ = a ≠ 0. Tohda C-drob\ (10) sxodytsq ravnomerno v sferyçeskoj metryke k merorfnoj funkcyy F na kompaktax, leΩawyx v ob- lasty C\J, hde J = ztat =−≥ {} /, 41. A. Honçar dopolnyl (v ustnom vyde) teoremu Van Fleka sledugwym vaΩn¥m zameçanyem, pokaz¥vagwym, çto predel\naq funkcyq ne moΩet ymet\ mero- morfnoho prodolΩenyq ny çerez kakoj ynterval razreza J. Dopolnenye Honçara k teoreme Van Fleka. V predpoloΩenyqx y obozna- çenyqx teorem¥ Van Fleka funkcyq F ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcy- ej ny v kakoj oblasty () \ CJzz ∪−< {} 0ε, hde zJ 0∈, ε>0. V rabote [12] avtor rasprostranyl teoremu Van Fleka y dopolnenye Honçara k nej na sluçaj pravyl\n¥x C-drobej s predel\no peryodyçeskymy koπffycy- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 324V. Y. BUSLAEV entamy. V πtom punkte teorema Van Fleka y dopolnenye Honçara k nej raspro- stranqgtsq na sluçaj predel\no peryodyçeskyx P- drobej. A ymenno, ymeet mesto sledugwee utverΩdenye. Sledstvye 4. Pust\ m∈N y P-drob\ (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+≥ 11, k = 1, 2, … , β00 =, ymeet peryodyçeskye predel¥ lim k kml a →∞+ = al ∗ ≠ 0, lim() k kml b →∞+ξ = bl ∗() ξ, l = 1, … , m .(28) Tohda P-drob\ (1) ravnomerno sxodytsq v sferyçeskoj metryke k meromorf- noj funkcyy f na kompaktax, leΩawyx v oblasty G = C\() JJ ∪∗, hde J∗ — nekotoroe koneçnoe mnoΩestvo, J = ξξ ∈∈−…     {} ∗∗ C:(),() Iaa m m 2 1 041,(29) I() ξ = Tr 0 1 0 1 1 1 a b a b m m ∗ ∗ ∗ ∗         ×…×         ()() ξξ         . Pry πtom cap()J = aam bbm 1 121 ∗∗+…+ … ∗∗ /(degdeg) = lim / n n fn →∞ ∆ 12 ,(30) funkcyq f dopuskaet meromorfnoe prodolΩenye v toçky mnoΩestva J∗ y ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty G∗ = () \ CJ ∪ ∪ ξξε −< {} 0, ξ0∈J, ε>0. Dejstvytel\no, sxodymost\ P- droby (1) vne mnoΩestva JJ ∪∗ y meromorf- noe prodolΩenye funkcyy f v toçky koneçnoho mnoΩestva J∗ (kotoroe moΩ- no opredelyt\ qvn¥m obrazom) dokazan¥ v rabote avtora [12]. Dlq poluçenyq utverΩdenyq o nevozmoΩnosty funkcyy f b¥t\ meromorf- noj funkcyej v okrestnosty lgboj toçky ξ0∈J zametym, çto, yspol\zuq re- kurrentn¥e sootnoßenyq (2), prymenenn¥e k çyslytelqm Pk ∗() ξ y znamenate- lqm Qk ∗() ξ, k = 1, 2, … , k-j podxodqwej droby peryodyçeskoj P- droby a b a b a b a b m m 1 1 2 2 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + + + () () () () ξ ξ ξ ξ … … ,(31) ynduktyvn¥m rassuΩdenyem moΩno pokazat\, çto 0 1 0 1 1 1 a b a b m m ∗ ∗ ∗ ∗         ×…×         ()() ξξ = PP QQ mm mm − ∗∗ − ∗∗         1 1 ()() ()() ξξ ξξ , degQm ∗ = degdeg bbm 1 ∗∗ +…+, degPm− ∗ 1 ≤ degdeg bbm 21 ∗ − ∗ +…+. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 325 Poskol\ku degdeg bbm 21 ∗ − ∗ +…+ < degdeg bbm 1 ∗∗ +…+, otsgda ymeem neravenstvo degPm− ∗ 1 < degQm ∗ y ravenstvo degI = deg() PQ mm − ∗∗ +1 = degQm ∗ = degdeg bbm 1 ∗∗ +…+. Yz opredelenyq (29) mnoΩestva J y yzvestn¥x svojstv emkosty mnoΩestv (sm., naprymer, [8]) sleduet, çto cap() J = cap0411 12 ,() /deg −…  () ∗∗ m m I aa = aam bbm 1 121 ∗∗+…+ … ∗∗ /(degdeg) . Takym obrazom, pervoe yz ravenstv (30) dokazano. S uçetom ravenstva (23) otsgda v sylu predel\noj peryodyçnosty P- droby (1) (sm. ravenstva (28)) polu- çaem takΩe y ravenstvo cap() J = lim/() k k nn aakk →∞ + …− 1 11.(32) Sravnyvaq poluçennoe ravenstvo s ravenstvom (20), sohlasno sledstvyg 2 po- luçaem, çto funkcyq f ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty, ukazannoj v sledstvyy 4. RassuΩdenyq, yspol\zovann¥e pry dokazatel\stve neravenstva (19), pokaz¥- vagt, çto lim/() k k nn aakk →∞ + …− 1 11 = lim / kj nn j kn akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 . Poπtomu yz ravenstv (32), (13) y (18) ymeem cepoçku neravenstv cap() J = lim / kj nn j kn akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 = lim / kn fn k k →∞ ∆ 12 ≤ lim / n n fn →∞ ∆ 12 ≤ cap() J. Tak kak levaq y pravaq çasty v πtoj cepoçke neravenstv sovpadagt, vse neraven- stva v cepoçke moΩno zamenyt\ na toçn¥e ravenstva. Sledovatel\no, cap() J = = lim / nn fn →∞∆ 12 . Takym obrazom, ravenstva (30) dokazan¥. Zameçanye 1. Oboznaçym çerez f∗ funkcyg, k kotoroj sxodytsq peryo- dyçeskaq P- drob\ (31). Lehko vydet\, çto funkcyq f∗() ξ udovletvorqet kvadratnomu uravnenyg f∗() ξ = a b a b a bf m m 1 1 2 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ + + + () () ()() ξ ξ ξξ … s polynomyal\n¥my koπffycyentamy. Po sledstvyg 4, prymenennomu k pe- ryodyçeskoj P- droby (31), hyperπllyptyçeskaq funkcyq f∗ qvlqetsq odno- znaçnoj meromorfnoj funkcyej v oblasty C\J. Kak y v rabote H. Ítalq [13], oboznaçym çerez $J kakoj-lybo razrez kompleksnoj ploskosty, obladag- wyj πtym Ωe svojstvom: funkcyq f∗ qvlqetsq odnoznaçnoj meromorfnoj funkcyej v oblasty C\$J. Sohlasno teoreme Polya ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 326V. Y. BUSLAEV cap()$J ≥ lim / n n fn →∞ ∆ 12 , a sohlasno ravenstvu (30) cap() J = lim / n n fn →∞ ∆ 12 . Poπtomu razrez J, opredelenn¥j ravenstvom (29), moΩno oxarakteryzovat\ sle- dugwym obrazom. Razrez J — πto razrez mynymal\noj emkosty sredy vsex razrezov kompleksnoj ploskosty, prevrawagwyx hyperπllyptyçeskug funkcyg f∗ v odnoznaçnug meromorfnug funkcyg. Zameçanye 2. V sylu πkvyvalentnosty P- droby (9) y C-droby (7) utverΩ- denye, analohyçnoe sledstvyg 4, moΩno sformulyrovat\ dlq predel\no pe- ryodyçeskyx C-drobej (5) s pokazatelqmy, udovletvorqgwymy uslovyg (6). 1.DΩouns U., Tron V. Neprer¥vn¥e droby. – M.: Myr, 1985. 2.Polya G. Über gewisse notwendige Determinantkriterien für die Forsetzbarkeit einer Potenzreihe // Math. Ann. – 1928. – 99. – S. 687 – 706. 3.Honçar A. A. Ob osob¥x toçkax meromorfn¥x funkcyj, zadann¥x svoym razloΩenyem v C- drob\ // Mat. sb. – 2006. – 197, # 10. – S. 3 – 14. 4.Wall H. S. Analytic theory of continued fractions. – New York: Van Nostrand, 1948. 5.Worpitsky J. Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbruche // Friedrichs–Gymnasium rund Realschule Jahresbericht. – Berlin, 1865. – S. 3 – 39. 6.Scott W. T., Wall H. S. Continued fraction expansions for arbitrary power series // Ann. Math. – 1940. – 41, # 2. – P. 328 – 349. 7.Thron W. J. Twin convergence regions for continued fractions bbn 01 +K(,), II // Amer. J. Math. – 1949. – 71. – P. 112 – 120. 8.Holuzyn H. M. Heometryçeskaq teoryq funkcyj kompleksnoho peremennoho. – M.: Nauka, 1966. 9.Callas N. P., Thron W. J. Singularities of meromorphic functions represented by regular C-fracti- ons // Kgl. norske vid. selsk. skr. (Trondheim). – 1967. – # 6. – P. 11. 10.Buslaev V. Y. O sxodymosty neprer¥vnoj droby RodΩersa – RamanudΩana // Mat. sb. – 2003. – 194, # 6. – S. 43 – 66. 11.Van Vleck E. V. On the convergence of algebraic continued functions whose coefficients have limiting values // Trans. Amer. Math. Soc. – 1904. – 5, # 5. – P. 253 – 262. 12.Buslaev V. Y. O teoreme Van Fleka dlq pravyl\n¥x C-drobej s predel\no peryodyçesky- my koπffycyentamy // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2001. – 65, # 4. – S. 35 – 48. 13.Stahl H. Orthogonal polynomials with complex valued weight function. I, II // Constr. Approxim. – 1986. – 2. – P. 225 – 251. Poluçeno 28.12.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3

О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь

Репозитарії

Схожі ресурси