Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами
Встановлено існування додатних ω-періодичних розв'язків для деяких систем „хижак-жертва", що містять неперервне запізнювання аргументу, у випадку, коли параметри цих систем визначаються ω-періодичними неперервними додатними функціями....
Збережено в:
Дата: | 2010 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164733 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами / В.И. Борздыко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 15 - 28. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-164733 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1647332020-02-11T01:26:36Z Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами Борздыко, В.И. Статті Встановлено існування додатних ω-періодичних розв'язків для деяких систем „хижак-жертва", що містять неперервне запізнювання аргументу, у випадку, коли параметри цих систем визначаються ω-періодичними неперервними додатними функціями. We prove the existence of positive ω-periodic solutions for some “predator–prey” systems with continuous delay of the argument for the case where the parameters of these systems are specified by ω-periodic continuous positive functions. 2010 Article Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами / В.И. Борздыко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 15 - 28. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164733 517.929 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Борздыко, В.И. Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами Український математичний журнал |
description |
Встановлено існування додатних ω-періодичних розв'язків для деяких систем „хижак-жертва", що містять неперервне запізнювання аргументу, у випадку, коли параметри цих систем визначаються ω-періодичними неперервними додатними функціями. |
format |
Article |
author |
Борздыко, В.И. |
author_facet |
Борздыко, В.И. |
author_sort |
Борздыко, В.И. |
title |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
title_short |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
title_full |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
title_fullStr |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
title_full_unstemmed |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
title_sort |
периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2010 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164733 |
citation_txt |
Периодические решения систем „хищник-жертва" с непрерывным запаздыванием и периодическими коэффициентами / В.И. Борздыко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 15 - 28. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT borzdykovi periodičeskierešeniâsistemhiŝnikžertvasnepreryvnymzapazdyvaniemiperiodičeskimikoéfficientami |
first_indexed |
2025-07-14T17:19:43Z |
last_indexed |
2025-07-14T17:19:43Z |
_version_ |
1837643684353409024 |
fulltext |
УДК 517.929
В. И. Борздыко (Ин-т математики АН Республики Таджикистан, Душанбе)
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА”
С НЕПРЕРЫВНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
The existence of positive ω-periodic solutions for some predator-prey systems with distributed time delay of
an argument is established for the case where parameters of these systems are defined by periodic continuous
positive functions with period ω.
Встановлено iснування додатних ω-перiодичних розв’язкiв для деяких систем „хижак-жертва”, що мi-
стять неперервне запiзнювання аргументу, у випадку, коли параметри цих систем визначаються ω-
перiодичними неперервними додатними функцiями.
Многие математические модели в экологии записываются в виде систем функ-
ционально-дифференциальных уравнений с непрерывным запаздыванием [1, 2, 3,
с. 386]. Если коэффициенты системы являются периодическими функциями от
времени t, то это отражает тот факт, что при описании экологической системы
учитываются периодические изменения внешней среды. В настоящей статье при
исследовании вопроса о существовании положительных периодических решений
такого вида математических моделей „хищник-жертва” применен в несколько уточ-
ненном виде метод, который ранее применялся автором для исследования систем
с дискретным запаздыванием: модели „хищник-жертва” Вангерски и Каннингэма
[4] и уравнения Хатчинсона [5].
1. Приведем краткое, несколько уточненное изложение метода, который в
дальнейшем будет применен для исследования математико-экологических моде-
лей. Этот метод является реализацией и модификацией для некоторого достаточно
широкого класса функционально-дифференциальных уравнений „альтернативного
принципа” М. А. Красносельского, предложенного им в общей форме для до-
казательства теорем о существовании периодических решений функционально-
дифференциальных уравнений [6]. Более подробное изложение метода в примене-
нии к некоторому несколько более узкому классу функционально-дифференциаль-
ных уравнений с запаздыванием содержится в [4, 5, 7].
Обозначим через Cn пространство непрерывных на отрезке [0, ω] вектор-функ-
ций x(t), имеющих значения в Rn с нормой ‖x‖Cn = max
0≤t≤ω
‖x(t)‖, где через
‖ · ‖ обозначена евклидова норма элемента в Rn. Будем обозначать через x̃(t) ω-
периодическое продолжение вектор-функции x(t) ∈ Cn с полуинтервала (0, ω] на
всю ось (−∞,+∞). Вектор-функция x̃(t) кусочно-непрерывна и ее компоненты
x̃i(t), i = 1, . . . , n, могут иметь разрывы 1-го рода только в точках sk = kω,
k = 0,±1, . . . . Обозначим этот класс вектор-функций x̃(t) через L.
Рассмотрим в евклидовом пространстве Rn функционально-дифференциальное
уравнение
dx(t)
dt
= F (t, xt). (1)
c© В. И. БОРЗДЫКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1 15
16 В. И. БОРЗДЫКО
Здесь символом xt обозначена вектор-функция x(s) со значениями в Rn, опреде-
ленная при −∞ < s ≤ t и принадлежащая некоторому классу вектор-функций D,
содержащему L; F (t, xt) : R1 ×D → Rn.
Для системы (1) основная начальная задача формулируется следующим обра-
зом. Наряду с (1) рассматривается начальное условие x(t) = ϕ(t),−∞ < t ≤ t0, где
ϕ(t) — некоторая ограниченная кусочно-непрерывная вектор-функция, называемая
начальной вектор-функцией. Под решением основной начальной задачи понима-
ется вектор-функция x(t), −∞ < t ≤ H, t0 < H < ∞, удовлетворяющая на
(−∞, t0] начальному условию, абсолютно непрерывная на [t0,H] и почти всюду
на [t0,H] удовлетворяющая системе (1). Вопрос о разрешимости основной началь-
ной задачи для (1) рассмотрен, например, в [8].
В дальнейшем предполагается, что правая часть уравнения (1) удовлетворяет
условиям: а) F (t+ω, xt+ω) = F (t, xt) для любой x(s) ∈ L; б) при любой x(s) ∈ L
вектор-функция F (t, xt) суммируема на [0, ω]; в) для любого r > 0 существует
такая суммируемая функция Pr(t) ∈ L1[0, ω], что
∥∥F (t, yt)
∥∥ ≤ Pr(t), t ∈ [0, ω],
если y(s) ∈ L и sup
0≤s≤ω
‖y(s)‖ ≤ r; г) если x(n)(s), x(s) ∈ L, n = 1, 2, . . . , и
sup
0≤s≤ω
∥∥x(n)(s)− x(s)
∥∥ → 0 при n→∞, то
t∫
0
F (τ, x(n)
τ )dτ →
t∫
0
F (τ, xτ )dτ
при n → ∞ равномерно на отрезке [0, ω], т. е. имеет место интегральная непре-
рывность оператора F (t, xt); д) Fi(t, xt) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n, если xj(s) ≥ 0,
−∞ < s ≤ t, j = 1, 2, . . . , n, и xi(t) = 0.
Отметим, что в [4] через L в аналогичных условиях был обозначен более ши-
рокий класс вектор-функций, т. е. на F [t, xt] накладывались более жесткие огра-
ничения.
Пусть ψ(t, x) : (−∞,+∞)× Rn → Rn — некоторая непрерывная и ω-периоди-
ческая по t вектор-функция, причем
ψi(t, x1, x2, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n, (2)
для любых xj ≥ 0, j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n. Здесь ψi(t, x) — i-я компонента
вектор-функции ψ(t, x).
Построим по уравнению (1) семейство уравнений
dx(t)
dt
= F
[
t, λxt + (1− λ)xt
]
+ (1− λ)ψ(t, x), (3λ)
где параметр λ ∈ [0, 1], а вектор-функция x(s) определяется по вектор-функции
x(s) равенством x(s) = x(t), −∞ < s ≤ t. Уравнение (31) совпадает с урав-
нением (1). Уравнение (30) является системой обыкновенных дифференциальных
уравнений, которое легко определить, зная конкретный вид уравнения (1).
Рассмотрим в пространстве Rnконус K векторов с неотрицательными компо-
нентами K =
{
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn; xi ≥ 0, i = 1, . . . , n
}
[9].
Определим в пространстве Cn оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 17
A(λ, x) = Qx(ω) +
t∫
0
{
F
[
τ, λQx̃τ + (1− λ)Qxτ
]
+
+(1− λ)ψ
[
τ,Qx(τ)
]
+ ρ
[
x(τ),K
]
u0
}
dτ. (4)
Здесь u0 — внутренний элемент конуса K, Q — оператор в пространстве Rn,
определенный равенством Qx = z, x ∈ Rn где z — такой элемент из K, что
‖x− z‖ = ρ(x,K); ρ(x,K) — расстояние от x до конуса K.
В силу условий б) – г) для оператора F (t, xt) оператор (4) вполне непрерывен на
топологическом произведении [0, 1]× Cn так же, как это было при более жестких
ограничениях на F (t, xt), определенных в [4]. Этот факт лежит в основе метода и
обеспечивает его применимость [4].
Пусть x, y ∈ Rn. Записывают x ≥ y или y ≤ x, если x − y ∈ K, т. е. xi ≥ yi,
i = 1, . . . , n, и x ≥ y или y ≤ x, если x− y ∈ K. Оператор B, действующий в Rn,
называется положительным, если B(K) ⊂ K. Говорят [9, c. 145], что положитель-
ный оператор B „сжимает” конус К, если существуют такие числа M > m > 0,
что
Bx ≤ x, x ∈ K, ‖x‖ ≤ m, (5)
и для любого ε > 0
Bx ≥ (1 + ε)x, x ∈ K, ‖x‖ ≥M ; Bx 6= x, x ∈ K, ‖x‖ = M. (6)
Говорят [9, c. 157], что положительный оператор В „растягивает” конус К, если
существуют такие числа M > m > 0, что Bx ≤ x, x ∈ K, ‖x‖ ≥M, и для любого
ε > 0 Bx ≥ (1 + ε)x, x ∈ K, ‖x‖ ≤ m; Bx 6= x, x ∈ K, ‖x‖ = m.
Будем говорить, что решение x(t) =
{
x1(t), . . . , xn(t)
}
системы (3λ) положи-
тельно, если x(t) ∈ K, т. е. xi(t) ≥ 0, i = 1, . . . , n, при любом t.
Предположим, что на конусе K определен оператор сдвига по траекториям
системы (30) за период ω, заданный равенством Ux0 = p(ω, 0, x0), x0 ∈ K, где
p(t, 0, x0) — решение системы (30), удовлетворяющее начальному условию x(0) =
= x0 [10, с. 12]. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1 [5]. Пусть существуют такие положительные числа d1 и D1, что
если x(t) — ненулевое положительное ω-периодическое решение системы (3λ) при
каком-либо λ ∈ [0, 1], то d1 < ‖x‖Cn
< D1. При этом существует такое число
d2 > 0, что для любого ненулевого положительного ω-периодического решения
x(t) системы (30) имеет место неравенство ‖x(0)‖ > d2. Пусть оператор сдвига
U системы (30) „сжимает” или „растягивает” конус K. Тогда система (1) имеет
по крайней мере одно нетривиальное положительное ω-периодическое решение.
Справедливость теоремы 1 для системы (1) обеспечивают условия а) – д) для
оператора F (t, xt) и свойства функции ψ(t, x), что доказывается так же, как в [4].
2. Рассмотрим модели „хищник-жертва”, являющиеся обобщением подобных
моделей Кашинга [2]:
dx1(t)
dt
= a(t)x1(t)− b1(t)x1(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα1(t, h)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
18 В. И. БОРЗДЫКО
−c1(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα2(t, h)
∞∫
0
x2(t− h)dhα3(t, h) + f(t),
(71)
dx2(t)
dt
= −e(t)x2(t)− b2(t)x2
2(t)+
+c2(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα4(t, h)
∞∫
0
x2(t− h)dhα5(t, h) + g(t)
при b2(t) > 0, −∞ < t < +∞,
dx1(t)
dt
= a(t)x1(t)− b1(t)x1(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα1(t, h) −
− c1(t)x1(t)
∞∫
0
x2(t− h)dhα2(t, h) + f(t),
(72)
dx2(t)
dt
= −e(t)x2(t)− b2(t)x2
2(t) +
+ c2(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα3(t, h)
∞∫
0
x2(t− h)dhα4(t, h) + g(t)
при b2(t) > 0, −∞ < t < +∞, и при b2(t) ≡ 0, −∞ < t < +∞, и
dx1(t)
dt
= a(t)x1(t)− b1(t)x1(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα1(t, h) −
− c1(t)x1(t)
∫ ∞
0
x2(t− h)dhα2(t, h) + f(t),
(73)
dx2(t)
dt
= −e(t)x2(t)− b2(t)x2(t)
∞∫
0
x2(t− h)dhα0(t, h) +
+ c2(t)x2(t)
∞∫
0
x1(t− h)dhα3(t, h) + g(t)
при b2(t) ≥ 0, −∞ < t < +∞. Здесь x1(t) и x2(t) — плотности в момент времени
t популяций жертвы и хищника соответственно; интегралы Стильтьеса отражают
при j = 0, 1 влияние лимитирования ресурсов у популяций хищника и жертвы
соответственно, а при j = 2, 3, 4, 5 влияние контактов в прошедшие времена между
хищником и жертвой на скорости роста плотностей обоих видов.
В дальнейшем предполагается, что функции αj(t, h), j = 0, 1, . . . , 5, в систе-
мах (7i), i = 1, 2, 3, удовлетворяют следующим условиям:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 19
1) α(t, h) является монотонно неубывающей функцией по h, т. е. dhα(t, h) ≥ 0
при любых t ∈ [0,∞), h ∈ [0,∞);
2) α(t+ ω, h) ≡ α(t, h) при любых t ∈ [0,∞), h ∈ [0,∞);
3) 0 < l
(0)
j ≤
∫ ∞
0
dhαj(t, h) = lj(t) ≤ lj < +∞, где l(0)j , lj — постоянные,
j = 0, 1, . . . , 5, t ∈ [0, ω];
4) α(t, 0) ≡ 0 при t ∈ [0, ω].
Системы (7i), i = 1, 2, 3 (в общем, индекс i будем опускать), являются част-
ными случаями уравнения (1) при Rn = R2. Введем обозначения для интегралов
Стильтьеса
I(t) =
∞∫
0
x̃(t− h)dhα(t, h) и I0(t) =
A∫
0
x̃(t− h)dhα(t, h),
где 0 < A < +∞, функция x(t) ∈ C. Здесь C — пространство непрерывных на
[0, ω] функций с нормой ‖x‖C = max
0≤t≤ω
|x(t)|; x̃(s) — ω-периодическое продолже-
ние функции x(t) с промежутка (0, ω] на всю ось; функция α(t, h) удовлетворяет
условиям 1 – 4.
Лемма 1. Пусть функция α(t, h) непрерывна по h при h ∈ [0,∞) равномерно
относительно t ∈ [0, ω]. Тогда интегралы I0(t), I(t) существуют и являются
непрерывными ω-периодическими функциями при t ∈ [0,∞).
Доказательство. Поскольку функция x̃(t− h) ограничена и при каждых фик-
сированных t ∈ [0, ω] и A > 0 может иметь разрывы 1-го рода только в точках
конечного множества
G =
{
hk ∈ [0, A], hk = t− kω, k = 1, 0,−1, . . . ,−kA
}
, (8)
из условий леммы следует,что интегралы I0(t), I(t) существуют [11, c. 317, 323].
Пусть t ∈ [0, ω] фиксировано. При фиксированном A > 0 рассмотрим разность
интегралов ∣∣I0(t+ ∆t)− I0(t)
∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
A∫
0
x̃(t+ ∆t− h)dhα(t+ ∆t, h)−
A∫
0
x̃(t− h)dhα(t, h)
∣∣∣∣∣∣ (9)
и соответствующую разность интегральных сумм∣∣S(t+ ∆t)− S(t)
∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
n−1∑
i=0
[
x̃(t+ ∆t− ξi)− x̃(t− ξi)
][
α(t+ ∆t, hi+1)− α(t+ ∆t, hi)
]
+
+
n−1∑
i=0
x̃(t− ξi)
{
α(t+ ∆t, hi+1)− α(t, hi+1)−
[
α(t+ ∆t, hi)− α(t, hi)
]}∣∣∣∣∣ (10)
при некотором разбиении отрезка [0, A] : 0 ≤ h0 < h1 < . . . < hn = A и произволь-
ном выборе точек ξi ∈ [hi, hi+1], i = 0, 1, . . . , n− 1. Оцениваем разность (10), если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
20 В. И. БОРЗДЫКО
шаг разбиения λ > 0 достаточно мал. При этом учитываем, что x̃(s) равномерно
непрерывна на множестве
{
s = t − h; h ∈ [0, A] − G
}
и количество элементов
множества индексов в (10), при которых ξi ∈ G, ограничено числом kA + 2. По-
этому в силу условий 1, 3, 4 при заданном t ∈ [0, ω], достаточно малых |∆t| и
λ > 0 разность (10) сколь угодно мала. Отсюда следует малость разности (9) и,
следовательно, непрерывность интеграла I0(t), а также, очевидно, интеграла I(t).
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть функция α(t, h) принимает конечные значения при t ∈ [0,∞),
h ∈ [0,∞), удовлетворяет условиям 1 – 4, непрерывна по h при h ∈ [0,∞), измери-
ма по t на 0 ≤ t ≤ ω. Тогда интегралы I0(t) (при любом A > 0)и I(t) существуют,
являются ограниченными измеримыми функциями по t на [0, ω] и ω-периодическими
по t на [0,∞].
Доказательство. Существование интегралов I0(t) и I(t) вытекает из условий
леммы и из [11, с. 317, 323]. Разобьем отрезок [0, A] точками деления 0 < c0 <
< c1 < . . . < cn = A, ci+1 − ci = An−1. Построим при каждых фиксированных
t ∈ [0, ω] и натуральном n ломаную, заданную формулами
αn(t, h) =
α(t, ci) при h = ci;
α(t, ci) + nA−1
[
α(t, ci+1)− α(t, ci)
]
(h− ci)
при ci ≤ h ≤ ci+1, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
(11)
Функции αn(t, h) монотонно не убывают и непрерывны по h на [0, A], а так-
же суммируемы по t на [0, ω]. Имеет место неравенство
∣∣αn(t, h) − α(t, h)
∣∣ ≤
≤ α(t, ci+1) − α(t, ci) при ci ≤ h ≤ ci+1, i = 0, 1, . . . , n − 1. Поэтому при каждом
фиксированном t ∈ [0, ω]
αn(t, h) ⇒ α(t, h) при n→∞ (12)
сходится равномерно относительно h ∈ [0, A]. При каждых A, 0 < A < ∞, и
t ∈ [0, ω] интеграл I(n)(t) =
∫ A
0
x̃(t− h)dhαn(t, h) существует.
Можно показать, что
I(n)(t) → I0(t) при n→∞. (13)
Для этого [0, A] разбиваем точками hk ∈ G в порядке их возрастания (см. (8)).
Из ограниченности x̃(s) на (−∞,∞), свойства равномерной непрерывности функ-
ции α(t, h) по h на [0, A] при фиксированном t ∈ [0, ω] и (12) вытекает малость
интегралов
hj+δ∫
hj
x̃(t− h)dhα(t, h),
hj+δ∫
hj
x̃(t− h)dhαn(t, h)
при достаточно малом δ > 0. Поскольку полные изменения на [0, A] неубываю-
щих функций α(t, h), αn(t, h), n = 1, 2, . . . , ограничены одним и тем же числом
α(t, A)− α(t, 0), в силу (12) и теоремы Э. Хелли [12, c. 254]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 21
lim
n→∞
hj+1∫
hj+δ
x̃(t− h)dhαn(t, h) =
hj+1∫
hj+δ
x̃(t− h)dhα(t, h).
Отсюда следует (13). В силу (11) и леммы 1 интегралы I(n)(t), n = 1, 2, . . . , явля-
ются измеримыми функциями на [0, ω]. Следовательно, в силу (13) I0(t) является
измеримой функцией на [0, ω] при любом A > 0, а потому I(t) также измерима на
[0, ω] [12, c. 106].
Лемма доказана.
Замечание 1. Если в системах (7) какие-то интегралы Стильтьеса замене-
ны функциями вида xi[t − σj(t)], где функции запаздывания σj(t) являются ω-
периодическими, измеримыми почти всюду конечными неотрицательными фун-
кциями на [o, ω], то такие системы можно записывать в виде системы (7) с интег-
ралами Стильтьеса при определенным образом подобранных функциях αj(t, h).
Поэтому системы (7) могут описывать разнообразные варианты систем „хищник-
жертва”, для которых возможно применение теоремы 1. В частности, ее можно при-
менять к моделям „хищник-жертва” из работ [13, 14], которые содержат xj [t−σj(t)]
с непрерывными периодическими σj(t) и непрерывные периодические по t коэф-
фициенты.
Относительно коэффициентов систем (7) в дальнейшем предполагается, что
они являются непрерывными ω-периодическими функциями, удовлетворяющими
условиям
a(t) > 0, e(t) > 0, b1(t) > 0, c2(t) ≥ 0, g(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0, t ∈ [0, ω];
b2(t) > 0, t ∈ [0, ω] в системе (71);
b2(t) > 0, t ∈ [0, ω], либо b2(t) ≡ 0, t ∈ [0, ω] в системе (72);
(14)
b2(t) ≥ 0, t ∈ [0, ω] в системе (73);
c1(t) ≥ 0, t ∈ [0, ω] в системе (71) и
c1(t) > 0, t ∈ [0, ω] в системах (72), (73).
При обозначениях
c(t) = c1(t)− c2(t), ∆(t) = c2(t)− 4b1(t)b2(t) (15)
должны выполняться условия:
c(t) ≥ 0, t ∈ [0, ω], (16)
либо, если
c(t∗) < 0 при некотором t∗ ∈ [0, ω], (17)
∆(t∗) ≤ 0, (18)
при этом если ∆(t∗) = 0, то
a(t∗)
√
b2(t∗)− e(t∗)
√
b1(t∗) < −d < 0. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
22 В. И. БОРЗДЫКО
Теорема 2. Пусть все коэффициенты рассматриваемой системы из числа
систем (7) являются непрерывными ω-периодическими функциями, удовлетворя-
ющими условиям (14) – (19), а функции αj(t, h) в этой системе удовлетворяют
условиям 1 – 4 и условиям леммы 1 или 2. Тогда эта система имеет по крайней
мере одно нетривиальное неотрицательное ω-периодическое решение x1(t) ≥ 0,
x2(t) ≥ 0, t ∈ [0, ω]; при этом, если в системах (72), (73) соответственно f(t) 6≡ 0,
g(t) 6≡ 0, то x1(t) > 0, x2(t) > 0, t ∈ [0, ω].
Доказательство. I. В силу условий на коэффициенты (14), ограничений 1 – 4
на функции αj(t, h), j = 0, 1, . . . , 5, леммы 1 или 2 системы (7) являются система-
ми функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием вида (1) (для
случая n = 2), правые части которых удовлетворяют условиям a) – д).
Рассмотрим для системы (71) систему вида (3λ):
dx1(t)
dt
= a(t)x1(t)− b1(t)x1(t)
λ ∞∫
0
x1(t− h)dhα1(t, h) + (1− λ)x1(t)
−
−c1(t)
λ ∞∫
0
x1(t− h)dhα2(t, h) + (1− λ)x1(t)
×
×
λ ∞∫
0
x2(t− h)dhα3(t, h) + (1− λ)x2(t)
+ (1− λ)h0 + f(t),
(201
λ)
dx2(t)
dt
= −e(t)x2(t)− b2(t)x2
2(t) + c2(t)
λ ∞∫
0
x1(t− h)dhα4(t, h)+
+(1− λ)x1(t)]
λ ∞∫
0
x2(t− h)dhα5(t, h) + (1− λ)x2(t)
+ g(t).
Системы (20i
λ), i = 2, 3, конструируются аналогично.
II. Рассмотрим в евклидовом пространстве R2 конус векторов с неотрицатель-
ными компонентами
K =
{
(x1, x2) ∈ R2; xi ≥ 0, i = 1, 2
}
. (21)
Проведем доказательства в этом пункте на примере системы (201
λ). Покажем, что
существуют такие числа D1 > 0, d1 > 0, что если x(t) =
{
x1(t), x2(t)
}
— какое-
либо нетривиальное положительное относительно конуса K ω-периодическое ре-
шение системы (201
λ) при некотором λ ∈ [0, 1], то оно удовлетворяет неравенству
d1 ≤ ‖x‖C2 ≤ D1. (22)
Докажем сначала левую часть неравенства (22). Предположим противное. Тогда су-
ществует такая последовательность нетривиальных положительных ω-периодиче-
ских решений x(m)(t) = {x(m)
1 (t), x(m)
2 (t)} системы (201
λ), соответствующих зна-
чениям параметра λm ∈ [0, 1], m = 1, 2, . . . , что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 23
‖x(m)‖C2 → 0 при m→∞. (23)
Сначала предположим, что
x
(m)
1 (t) 6≡ 0, m = 1, 2, . . . . (24)
При этом можно считать, что
x
(m)
1 (t) 6≡ const, m = 1, 2, . . . . (25)
Действительно, если (25) не имеет места, то можно считать, что
x
(m)
1 (t) ≡ km → 0 при m→∞, (26)
где km = const 6= 0, m = 1, 2, . . . . Тогда из первого уравнения системы (201
λ) и из
условия 3 следует
0 = a(t)− b1(t)
[
λml1(t) + (1− λm)
]
km − c1(t)rm(t)×
×
λm
∞∫
0
x
(m)
2 (t− h)dhα3(t, h) + (1− λm)x(m)
2 (t)
+ (1− λm)
h0
km
+
1
km
f(t),
(27)
rm(t) = λml2(t) + (1− λm).
Из (23) и условия 3 вытекает [11, с. 319], что∥∥∥∥∥∥λm
∞∫
0
x
(m)
2 (t− h)dhα3(t, h) + (1− λm)x(m)
2 (t)
∥∥∥∥∥∥
C
→ 0 при m→∞. (28)
Поэтому в силу условий (14), (26), (28) правая часть в (27) при больших значениях
m положительна при t ∈ [0, ω], что приводит к противоречию, которое доказывает
справедливость условия (25) при выполнении (23) и (24). Введем обозначение
x
(m)
1 (tm) = max
0≤t≤ω
x
(m)
1 (t). Тогда в силу результатов [11, с. 319], условия 3 и (14),
(23), (24)
dx
(m)
1 (tm)
dt
≥ x
(m)
1 (tm){a(tm)− b1(tm)x(m)
1 (tm)
[
λml1 + (1− λm)
]
−
−c1(tm)
[
λml2 + (1− λm)
][
λml3 + (1− λm)
]
‖x(m)
2 ‖C}+
+(1− λm)h0 + f(tm) > 0 (29)
при достаточно большом m. Вследствие ω-периодичности функции x(m)
1 (t) нера-
венство (29) противоречит определению момента tm. Итак, (23) при условии (24)
невозможно.
Пусть теперь выполняется (24) и при этом
λm = 1, x
(m)
1 (t) ≡ 0, m = 1, 2, . . . , f(t) ≡ 0. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
24 В. И. БОРЗДЫКО
В силу (14), (30) из второго уравнения (201
λ) при g(t) 6≡ 0 при достаточно большом
m имеем
dx
(m)
2 (t)
dt
> r0 > 0 на некотором промежутке (t0 − ε, t0 + ε) ⊂ (0, ω),
ε > 0, что приводит к противоречию с (23). При g(t) ≡ 0 получаем при дос-
таточно большом m неравенства
dx
(m)
2 (t)
dt
≤ 0, t ∈ [0, ω], и
dx
(m)
2 (t)
dt
< 0 при
x
(m)
2 (t) > 0, противоречащие ω-периодичности x
(m)
2 (t). Это доказывает левую
часть оценки (22).
Докажем теперь правую часть неравенства (22). Предположим, что оно не
выполняется. Тогда существует последовательность ω-периодических неотрица-
тельных решений системы (201
λ) x(m)(t) =
{
x
(m)
1 (t), x(m)
2 (t)
}
, соответствующих
λm, такая, что
‖x(m)(t)‖C2 →∞ при m→∞. (31)
Пусть
x
(m)
1 (tm) = max
0≤τ≤ω
x
(m)
1 (τ). (32)
Докажем существование конечного числа D2 > 0 такого, что
o ≤ x
(m)
1 (tm) ≤ D2, m = 1, 2, . . . . (33)
Для этого покажем, что если (33) не выполняется, то из первого уравнения системы
(201
λ) при большом m следует неравенство
dx
(m)
1 (tm)
dt
< 0. (34)
Действительно, если (33) не выполняется и λm не стремится к 1 при m → ∞, то
неравенство (34) для больших значений m следует из условия (14). Пусть теперь
λm → 1 и
x
(m)
1 (tm) → +∞ при m→∞. (35)
Введем обозначение x(m)
1 (tm) = min
0≤τ≤ω
x
(m)
1 (τ). Докажем, что
x
(m)
1 (tm) →∞ при m→∞. (36)
Действительно, из первого уравнения системы (201
λ) следует, что
dx
(m)
1 (t)
dt
≤
≤ a(t)x(m)
1 (t)+n(t), где n(t) = h0+f(t) > 0. В силу теоремы о дифференциальных
неравенствах [15, с. 40] отсюда вытекает, что
x
(m)
1 (t) ≤ x
(m)
1 (tm) exp
t∫
tm
a(τ)dτ
+
t∫
tm
n(τ) exp
t∫
τ
a(τ1)dτ1
dτ (37)
при 0 ≤ tm ≤ t ≤ tm+ω ≤ 2ω. В силу ω-периодичности функций x(m)
1 (t) и условий
теоремы из (37) следует, что при выполнении условия (35) должно выполняться и
(36). В силу неравенства [11, с. 319] и условий 1, 3, 4
0 < x
(m)
1 (tm) lim
A→∞
α1(tm, A) ≤
∞∫
0
x
(m)
1 (tm − h)dhα1(tm, h). (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 25
Из (14), (35), (36), (38) неравенство(34) вытекает для достаточно большого m и при
λm → 1, m → ∞, что противоречит определению моментов tm. Это доказывает
выполнение неравенства (33).
Докажем теперь, что в условиях теоремы
0 ≤ x
(m)
2 ( t̂m) ≤ D3, m = 1, 2, . . . , (39)
где x(m)
2 ( t̂m) = max
0≤τ≤ω
x
(m)
2 (τ), D3 > 0 — некоторое конечное число.
Предположим, что (39) не имеет места. Тогда можно считать, что
x
(m)
2 ( t̂m) → +∞ при m→∞. (40)
Из (40) в силу (14), (33) и условий 1, 3, 4 при достаточно большом m согласно [11,
с. 319] для системы (201
λ) следует неравенство
dx
(m)
2 ( t̂m)
dt
≤ −e( t̂m)x(m)
2 ( t̂m)− b2( t̂m)
[
x
(m)
2 ( t̂m)
]2+
+c2( t̂m)( l4 + 1)D2( l5 + 1)x(m)
2 ( t̂m) + g( t̂m) < 0. (41)
Но неравенство (41) противоречит определению моментов t̂m. Это доказывает
справедливость оценки (39). При доказательстве оценки (39) для систем (20i
λ),
i = 2, 3, используются неравенства 0 ≤ x
(m)
1 (tm)x(m)
2 (t∗m) ≤ D4, где x(m)
2 (t∗m) =
= min
0≤τ≤ω
x
(m)
2 (τ), 0 < D4 < ∞ — некоторая постоянная, и x
(m)
2 ( t̂m) ≤
≤ exp(eω)x(m)
2 (t), t ∈ [0, ω], где e = max
0≤τ≤ω
e(τ) > 0, m = 1, 2, . . . , для сис-
темы (202
λ) при b2(t) ≡ 0.
Из (33) и (39) вытекает справедливость правой части оценки (22). Итак, оцен-
ка (22) доказана.
III. Системы (20i
0), i = 1, 2, 3, совпадают и представляют собой систему обык-
новенных дифференциальных уравнений, которую обозначим (200).
Докажем существование такого числа d2 > 0, что для любого нетривиального
ω-периодического положительного решения системы (200) имеет место оценка
min
0≤t≤ω
‖x(t)‖ ≥ d2. (42)
Действительно, если предположить противное, то существует такая последователь-
ность нетривиальных ω-периодических положительных решений xn(t) =
{
x
(n)
1 (t),
x
(n)
2 (t)
}
системы (200), что
x
(n)
1 (tn) = min
0≤t≤ω
x
(n)
1 (t) → 0 при n→∞, (43)
где tn ∈ [0, ω], n = 1, 2, . . . . Из (14), (200), (22) и (43) вытекает, что при достаточно
большом n имеет место неравенство
dx
(n)
1 (tn)
dt
=
= a(tn)x(n)
1 (tn)− b1(tn)
[
x
(n)
1 (tn)
]2 − c1(tn)x(n)
1 (tn)x(n)
2 (tn) + h0 + f(tn) > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
26 В. И. БОРЗДЫКО
которое противоречит определению моментов tn. Это доказывает оценку (42).
Пусть x(t) =
{
x1(t), x2(t)
}
— некоторое нетривиальное положительное реше-
ние системы (200). Предположим, что x1(t) + x2(t) = r > 0, x1(t) ≥ 0, x2(t) ≥ 0,
при некотором t ∈ [0, ω]. Введем обозначения x(0)
1 (t) =
x1(t)
r
, x
(0)
2 (t) =
x2(t)
r
и
множество G =
{
t ∈ [0, ω]; c(t) ≥ 0
}
. В силу условий на коэффициенты (14), (15)
при t ∈ G и достаточно большом r выполняется неравенство
d[x1(t) + x2(t)]
dt
< 0. (44)
Рассмотрим множество B =
{
t ∈ [0, ω], c(t) < 0, ∆(t) ≤ 0
}
. Покажем, что при
достаточно большом r > 0, если t ∈ B, имеет место неравенство
d[x1(t) + x2(t)]
dt
=
[
a(t)x(0)
1 (t)− e(t)x(0)
2 (t)
]
r−
−
{[
c(t) + 2
√
b1(t)
√
b2(t)
]
x
(0)
1 (t)x(0)
2 (t) +
[√
b1(t)x
(0)
1 (t)−
√
b2(t)x
(0)
2 (t)
]2
}
r2+
+ h0 + f(t) + g(t) < 0. (45)
В силу условий на коэффициенты (14), (16) – (19) при t ∈ B и достаточно большом
r > 0 правая часть в (45) допускает оценку
d[x1(t) + x2(t)]
dt
< −dr − εr2 + h0 + f(t) + g(t),
либо
d[x1(t) + x2(t)]
dt
≤Mr − ε0r
2 + h0 + f(t) + g(t),
где d > 0, 0 ≤ ε < ε0, −∞ < M < +∞, откуда следует неравенство (45) при
достаточно большом r > 0. Из (44), (45) вытекает, что
x1(ω) + x2(ω) < x1(0) + x2(0), (46)
если x1(0) + x2(0), x1(0) ≥ 0, x2(0) ≥ 0, достаточно велико.
В силу условий на коэффициенты (14) и неравенств (44), (45) на конусе K
(см. (21)) определен, положителен и ограничен при t ∈ [0, ω] оператор сдвига на
промежутке [0, t] по траекториям системы (200) [10, c. 62]. Из (46) следует, что
оператор сдвига U за период ω удовлетворяет условиям
x(ω) = Ux(0) ∈ K, x(0) ∈ K,
Ux(0) ≥ x(0), ‖x(0)‖ ≥ R,
(47)
где R > 0 — достаточное большое число. Из (200) имеем
dx1(t)
dt
= A(t)x1(t) + F (t),
где A(t) = a(t) −
[
c1(t)x2(t) + b1(t)x1(t)
]
, F (t) = h0 + f(t) > 0, t ∈ [0, ω].
Пусть x(0) ∈ K — начальное условие рассматриваемого решения системы (200) —
удовлетворяет неравенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ „ХИЩНИК-ЖЕРТВА” С НЕПРЕРЫВНЫМ . . . 27
‖x(0)‖ ≤ δ <∞, (48)
где δ > 0 — некоторое число. Для всех неотрицательных решений x(t) систе-
мы (200), удовлетворяющих условию (48), имеет место оценка |A(t)| ≤ R < ∞,
t ∈ [0, ω], где R > 0 — некоторая постоянная. Поэтому x1(ω) ≥ x1(0) exp(−Rω) +
+ d ≥ d, где d =
∫ ω
F (t1) exp[−R(ω − t1)]dt1 > 0. Отсюда следует, что если
‖x(0)‖ ≤ r0 < min{δ, d}, r0 > 0, то x1(ω) > x1(0). Следовательно,
Ux(0) = x(ω) ≤ x(0), ‖x(0)‖ ≤ r0, x(0) ∈ K, (49)
Ux(0) 6= x(0), ‖x(0)‖ = r0. (50)
Из (47), (49), (50) вытекает, что оператор сдвига U сжимает конус K (см. (5),
(6)). Отсюда и из неравенств (22), (42) в силу теоремы 1 следует, что каждая из
систем (201), т. е. систем (7), имеет в условиях теоремы 2 по крайней мере одно
нетривиальное неотрицательное ω-периодическое решение x1(t) ≥ 0, x2(t) ≥ 0,
t ∈ [0, ω].
Пусть
{
x1(t), x2(t)
}
— некоторое ω-периодическое неотрицательное решение
системы (72) и f(t) 6≡ 0, g(t) 6≡ 0. Докажем, что тогда x1(t) > 0, x2(t) > 0,
t ∈ [0, ω]. Из (72) при g(t) 6≡ 0 следует, что x2(t) 6≡ 0. Обозначим через v(t)
решение уравнения Бернулли (или линейного уравнения при b2(t) ≡ 0 в (72))
dv
dt
= −e(t)v − b2(t)v2 с начальным условием v(t0) = x2(t0) > 0, t0 ∈ [0, ω]. Тогда
v(t) > 0, t ∈ [t0,∞). В силу дифференциального неравенства
dx2(t)
dt
≥ dv(t)
dt
,
t0 ≤ t <∞, имеет место соотношение [15, с. 40]:
x2(t) ≥ v(t) > 0, t0 ≤ t <∞. (51)
Из (72) при f(t) 6≡ 0 следует, что x1(t1) = max
0≤t≤ω
x1(t) > 0. Введем обозначения
f1(t) =
∞∫
0
x1(t− h)dhα1(t, h) ≥ 0,
f2(t) =
∞∫
0
x2(t− h)dhα2(t, h) > 0, t ∈ [0,∞),
для первого уравнения в (72) и обозначим через u(t) решение линейного уравне-
ния
du
dt
= −
[
b1(t)f1(t) + c1(t)f2(t)
]
u при начальном условии u(t1) = x1(t1). В
силу условий на коэффициенты (14) имеет место дифференциальное неравенство
dx1(t)
dt
≥ du(t)
dt
, t1 ≤ t <∞, и потому [15, с. 40]
x1(t) ≥ u(t) > 0, t1 ≤ t <∞. (52)
В силу ω-периодичности функций xi(t), i = 1, 2, из (51), (52) вытекает, что x1(t) >
> 0, x2(t) > 0, t ∈ [0, ω].
Для системы (73) доказательство проводится аналогично.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
28 В. И. БОРЗДЫКО
Замечание 2. Отметим, что в [14] для модели „хищник-жертва” Мея [13], со-
держащей дискретные запаздывания в функциях, описывающих численности хищ-
ника и жертвы, с коэффициентами, являющимися периодическими функциями от
времени t, с помощью другого метода получены достаточные условия существова-
ния положительного периодического решения, отличающиеся от тех достаточных
условий, которые следуют для модели Мея из теоремы 2.
1. Cushing J. M. Periodic solutions of Volterra’s population equation with hereditary effects // SIAM J.
Appl. Math. – 1976. – 31, № 2. – P. 251 – 261.
2. Cushing J. M. Predator-prey interactions with time delays // J. Math. Biol. – 1976. – 3, № 3-4. –
P. 369 – 380.
3. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. – М.: Мир,
1983. – 397 с.
4. Борздыко В. И. Существование положительного периодического решения у системы „хищник-
жертва” Вангерски и Каннингэма с учетом периодических изменений внешней среды // Дифференц.
уравнения. – 2002. – 38, № 3. – С. 291 – 297.
5. Борздыко В. И. Об одном топологическом методе доказательства существования положительных
периодических решений у функционально-дифференциальных уравнений // Там же. – 1990. – 26,
№ 10. – С. 1671 – 1678.
6. Красносельский М. А. Альтернативный принцип существования периодических решений для диф-
ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Докл. АН СССР. – 1963. – 152, № 4. –
С. 801 – 804.
7. Борздыко В. И. Применение топологических методов в теории положительных периодических
решений функционально-дифференциальных уравнений // Изв. АН ТаджССР. Отд. физ.-мат. и
геол.-хим. наук. – 1979. – № 2(72). – C. 22 – 30.
8. Квапиш М. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с запаз-
дывающим аргументом в банаховом пространстве // Тр. сем. по теории уравнений с отклоняю-
щимся аргументом. – М., 1967. – С. 96 – 110.
9. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. – М.: Физматгиз, 1962. –
394 с.
10. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. – М.:
Наука, 1966. – 329 с.
11. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – М.:
Наука, 1972. – 349 с.
12. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Гостехтеориздат, 1957. – 552 с.
13. May R. M. Stability and complexity in model ecosystems. – Princeton NJ: Princeton Univ. Press, 1974.
14. Yongkun Li. Periodic solutions of a periodic delay predator-prey system // Proc. Amer. Math. Soc. –
1999. – 127, № 5. – P. 1331 – 1335.
15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
Получено 29.12.08,
после доработки — 23.09.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|