Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним
Установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы любой стабильный порядок на конечной инверсной полугруппе с нулем был фундаментальным или антифундаментальным....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164734 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 29 - 39. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164734 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647342020-02-11T01:26:39Z Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним Дереч, В.Д. Статті Установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы любой стабильный порядок на конечной инверсной полугруппе с нулем был фундаментальным или антифундаментальным. We establish necessary and sufficient conditions for any stable order on a finite inverse semigroup with zero to be fundamental or antifundamental. 2010 Article Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 29 - 39. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164734 512.234.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Дереч, В.Д. Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним Український математичний журнал |
| description |
Установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы любой стабильный порядок на конечной инверсной полугруппе с нулем был фундаментальным или антифундаментальным. |
| format |
Article |
| author |
Дереч, В.Д. |
| author_facet |
Дереч, В.Д. |
| author_sort |
Дереч, В.Д. |
| title |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| title_short |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| title_full |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| title_fullStr |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| title_full_unstemmed |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| title_sort |
структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164734 |
| citation_txt |
Структура скінченної інверсної напів-групи з нулем, кожний стабільний порядок якої є фундаментальним або антифундаментальним / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 29 - 39. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT derečvd strukturaskínčennoíínversnoínapívgrupiznulemkožnijstabílʹnijporâdokâkoíêfundamentalʹnimaboantifundamentalʹnim |
| first_indexed |
2025-07-14T17:19:46Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:19:46Z |
| _version_ |
1837643687184564224 |
| fulltext |
UDK 512.534.5
V. D. Dereç (Vinnyc. nac. tex. un-t)
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY
Z NULEM, KOÛNYJ STABIL|NYJ PORQDOK QKO}
{ FUNDAMENTAL|NYM ABO ANTYFUNDAMENTAL|NYM
We find necessary and sufficient conditions for any stable order on a finite inverse semigroup with zero
to be fundamental or antifundamental.
Ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq dlq toho, çtob¥ lgboj stabyl\n¥j porqdok
na koneçnoj ynversnoj poluhruppe s nulem b¥l fundamental\n¥m yly antyfundamental\n¥m.
Vstup. U zv’qzku z deqkymy problemamy, wo vynykaly v teori] zobraΩen\ na-
pivhrup, V. V. Vahnerom [1] bulo vvedeno vaΩlyve ponqttq fundamental\noho
stabil\noho porqdku, a takoΩ dano xarakterystyku fundamental\noho stabil\-
noho porqdku na napivhrupi. Odnak cq xarakterystyka vyqvylasq ne zovsim
zruçnog dlq vykorystannq. Zhodom B. M. Íajnom u roboti [2] bulo znajdeno
inßu (prostißu) xarakterystyku, qku v podal\ßomu bulo vykorystano u robotax
[3 – 6]. Riznomanitni problemy, wo stosugt\sq fundamental\nyx porqdkiv na
symetryçnyx napivhrupax, systematyçno vyvçav M. H. Mohylevs\kyj. Zokrema, u
statti [5] dovedeno, wo bud\-qkyj stabil\nyj porqdok na symetryçnij inversnij
napivhrupi [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym. U statti [8] z’qsova-
no strukturu napivhrupy Manna skinçenno] dovΩyny, koΩnyj stabil\nyj porq-
dok qko] [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym. Zrozumilo, wo prob-
lema poßuku neobxidnyx i dostatnix umov dlq toho, wob stabil\ni porqdky na
inversnij napivhrupi vyçerpuvalysq fundamental\nymy j antyfundamental\ny-
my, [ cilkom aktual\nog. V danij statti taki neobxidni i dostatni umovy znajde-
no (dyv. teoremu 1) dlq skinçenno] inversno] napivhrupy z nulem. Krim toho (dyv.
teoremu 2), oxarakteryzovano napivreßitku idempotentiv skinçenno] inversno]
napivhrupy z nulem, vsi stabil\ni porqdky qko] vyçerpugt\sq fundamental\ny-
my j antyfundamental\nymy. Robotu moΩna vvaΩaty prodovΩennqm i rozvyt-
kom (dlq skinçennoho vypadku) rezul\tativ, oderΩanyx u [7, 8]. Osnovnym re-
zul\tatom statti [ teorema 1.
1. Osnovna terminolohiq i poznaçennq. Nexaj S — dovil\na napivhrupa, a
N0 — mnoΩyna vsix nevid’[mnyx cilyx çysel. Funkcig rank : S → N0 nazyvagt\
ranhovog na napivhrupi S, qkwo dlq bud\-qkyx a, b ∈ S vykonu[t\sq nerivnist\
rank ( a b ) ≤ min ( rank ( a ), rank ( b ) ). Çyslo rank ( x ) nazyvagt\ ranhom elemen-
ta x.
Nexaj S — inversna napivhrupa, napivreßitka idempotentiv qko] ma[ skin-
çennu dovΩynu. Funkciq rank ( a ) = h ( a a–
1
), de h ( a a–
1
) — vysota idempotenta
a a–
1 u napivreßitci idempotentiv napivhrupy S, [ ranhovog funkci[g (dyv. [9]).
Çastkovyj porqdok η na dovil\nij napivhrupi S nazyva[t\sq fundamental\nym
(dyv. [1, 2] abo [3, s. 289]), qkwo isnu[ homomorfizm f napivhrupy S u napiv-
hrupu P T ( X ) usix çastkovyx peretvoren\ deqko] mnoΩyny X takyj, wo vykonu-
[t\sq ekvivalentnist\ 〈 a, b 〉 ∈ η ⇔ f ( a ) ⊆ f ( b ). Lehko pokazaty, wo za cyx umov
çastkovyj porqdok η [ stabil\nym, a homomorfizm f — izomorfizmom. Nadali
çastkovyj porqdok budemo nazyvaty prosto porqdkom. Qkwo τ — fundamen-
tal\ne vidnoßennq porqdku na napivhrupi S, to vidnoßennq porqdku τ–
1 nazy-
vagt\ antyfundamental\nym. Ohlqd rezul\tativ pro fundamental\ni porqdky
na inversnyx napivhrupax moΩna znajty v [3].
© V. D. DEREÇ, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 129
30V. D. DEREÇ
Nexaj P — vporqdkovana mnoΩyna z najmenßym elementom 0. Çerez ≺
budemo poznaçaty vidnoßennq pokryttq. Qkwo 0 ≺ a, to element a nazyvagt\
atomom vporqdkovano] mnoΩyny P. Qkwo E — netryvial\na napivreßitka skin-
çenno] dovΩyny, to, oçevydno, vona mistyt\ atomy. KaΩut\, wo element b ∈ E [
ob’[dnannqm atomiv, qkwo isnu[ pidmnoΩyna C mnoΩyny atomiv taka, wo
sup C = b. Qkwo elementy x, y ∈ E neporivnql\ni, tobto utvorggt\ antylan-
cgh, to cej fakt poznaçagt\ çerez x || y.
Netryvial\na inversna napivhrupa z nulem nazyva[t\sq prymityvnog, qkwo
koΩnyj ]] nenul\ovyj idempotent [ prymityvnym.
Napivhrupa nazyva[t\sq perestavnog, qkwo bud\-qki dvi ]] konhruenci] komu-
tugt\ vidnosno zvyçajno] operaci] kompozyci] binarnyx vidnoßen\.
Qkwo S — inversna napivhrupa, to çerez E ( S ) poznaçagt\ napivreßitku vsix
idempotentiv napivhrupy S.
Cilkom 0-prosta inversna napivhrupa nazyva[t\sq napivhrupog Brandta. Ne-
xaj G — hrupa, I — dovil\na neporoΩnq mnoΩyna. Nexaj, krim toho, B = B ( G,
I ) = I × G × I ∪ {0}, de 0 ∉ I × G × I. Vyznaçymo operacig mnoΩennq na mno-
Ωyni B takym çynom: ( i, g, j ) ⋅ ( j, h, l ) = ( i, g h, l ), a vsi inßi dobutky dorivnggt\
0. Todi B ( G, I ) [ napivhrupog Brandta i bud\-qku napivhrupu Brandta moΩna (z
toçnistg do izomorfizmu) zobrazyty v takij formi.
Vsi inßi neobxidni oznaçennq z teori] napivhrup moΩna znajty v [10].
2. Osnovna teorema. U c\omu punkti my sformulg[mo i dovedemo osnovnyj
rezul\tat statti.
Teorema 1. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem. Nastupni
umovy [ ekvivalentnymy:
1) bud\-qkyj stabil\nyj porqdok na S [ fundamental\nym abo antyfun-
damental\nym;
2) ideal I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ napivhrupog Brandta i koΩnyj ne-
nul\ovyj idempotent napivhrupy S [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S );
3) maksymal\ni stabil\ni porqdky na S vyçerpugt\sq ω i ω–
1 (de ω —
kanoniçnyj porqdok na S ).
Dlq dovedennq implikaci] 1) ⇒ 2) nam potribno dovesty kil\ka lem.
Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem 0. Lehko pokazaty, wo
ideal I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ prymityvnog inversnog napivhrupog. Vidomo,
(dyv., napryklad, [11, s. 99]), wo prymityvna inversna napivhrupa [ ortohonal\-
nog sumog napivhrup Brandta. Ce oznaça[, wo I1 = ∪ Bi , de { Bi | i ∈ J } — sim’q
pidnapivhrup Brandta, pryçomu qkwo i ≠ k, to Bi ∩ Bk = Bi ⋅ Bk = {0}.
Lema 1. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem 0. Qkwo ideal
I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ ortohonal\nog sumog sim’] { Bi | i ∈ J } napivhrup
Brandta, to dlq bud\-qkoho Bi z ci[] sim’] Bi [ idealom napivhrupy S.
Dovedennq. Nexaj b ∈ Bi , a x — dovil\nyj element z napivhrupy S. Poka-
Ωemo, wo b x ∈ Bi . Prypustymo protyleΩne, tobto b x ∉ Bi , todi b x ≠ 0. Os-
kil\ky b x ∈ I1 , to isnu[ pidnapivhrupa Bk (de k ≠ i, Bk ⊆ I1 ), qka [ napivhrupog
Brandta, taka, wo b x ∈ Bk . Todi b x ( b x )
–
1 ∈ Bk , zvidky bbbxxb −−− 111 ∈ Bk . Os-
kil\ky bbBi
−∈ 1, a bxxbBk
−−∈ 11, to bbbxxb −−− 111 = 0. OtΩe, bxxb −− 11 = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY Z NULEM …31
Zvidsy vyplyva[, wo b x = 0. Supereçnist\. Tobto b x ∈ Bi . Analohiçno ob©run-
tovu[mo, wo x b ∈ Bi .
Lemu dovedeno.
Dali, pry dovedenni nastupno] lemy nam znadobyt\sq takyj rezul\tat.
TverdΩennq 1 [3, s. 303]. Stabil\nyj porqdok η na inversnij napivhrupi S
[ fundamental\nym todi i lyße todi, koly η ⊆ ω, de ω — kanoniçnyj porq-
dok na napivhrupi S.
Lema 2. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem. Qkwo koΩnyj
stabil\nyj porqdok na S [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym, to
ideal I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ napivhrupog Brandta.
Dovedennq. Lehko pereviryty, wo ideal I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ prymi-
tyvnog inversnog napivhrupog. OtΩe, I1 = ∪ Bi , de { Bi | i ∈ J } — sim’q pidna-
pivhrup Brandta, pryçomu qkwo i ≠ k, to Bi ∩ Bk = Bi ⋅ Bk = {0}. Prypustymo, wo
ideal I1 ne [ napivhrupog Brandta. Todi isnugt\ Bj i Bg , qki naleΩat\ sim’]
{ Bi | i ∈ J }, taki, wo Bj ≠ {0}, Bg ≠ {0} i Bj ≠ Bg . Dali, rozhlqnemo binarne vid-
noßennq Ω = ( Bj × Bg ) ∪ ∆, de ∆ — vidnoßennq rivnosti na S. PokaΩemo, wo
binarne vidnoßennq Ω [ stabil\nym porqdkom. Oçevydno, wo Ω [ stabil\nym
(tut my vykorystovu[mo lemu 1) i refleksyvnym binarnym vidnoßennqm. Nexaj
teper 〈 x, y 〉 ∈ Ω i 〈 y, x 〉 ∈ Ω. Qkwo 〈 x, y 〉 ∈ ∆, to x = y. Qkwo Ω 〈 x, y 〉 ∈ Bj ×
× Bg i 〈 y, x 〉 ∈ Bj × Bg , to x ∈ Bj ∩ Bg = {0} i y ∈ Bj ∩ Bg = {0}, zvidky x = y = 0.
OtΩe, binarne vidnoßennq Ω [ antysymetryçnym. Dovedemo teper tranzytyv-
nist\ binarnoho vidnoßennq Ω. Nexaj 〈 x, y 〉 ∈ Ω i 〈 y, z 〉 ∈ Ω. Qkwo 〈 x, y 〉 ∈ ∆
abo 〈 y, z 〉 ∈ ∆, to 〈 x, z 〉 ∈ Ω. Qkwo 〈 x, y 〉 ∈ Bj × Bg i 〈 y, z 〉 ∈ Bj × Bg , to, oçe-
vydno, 〈 x, z 〉 ∈ Bj × Bg
. OtΩe, binarne vidnoßennq Ω [ stabil\nym porqdkom na
S. Dali, nexaj 〈 b, c 〉 ∈ Bj × Bg
, do toho Ω b ≠ 0 i c ≠ 0. Oçevydno, wo 〈 b, c 〉 ∉
∉ ω i 〈 b, c 〉 ∉ ω–
1, de ω — kanoniçnyj porqdok na S. Takym çynom, Ω ⊄ ω i
Ω ⊄ ω–
1. OtΩe, zhidno z tverdΩennqm 1, Ω ne [ fundamental\nym i ne [ anty-
fundamental\nym stabil\nym porqdkom na S. Supereçnist\. Takym çynom, ide-
al I1 [ napivhrupog Brandta.
Lemu dovedeno.
ZauvaΩennq. Z lemy 2, a takoΩ lemy 10 (dyv. nyΩçe) bezposeredn\o vy-
plyva[, wo bud\-qkyj stabil\nyj porqdok na skinçennij prymityvnij inversnij
napivhrupi S [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym todi i lyße todi,
koly S [ napivhrupog Brandta. Dali budemo vvaΩaty, wo skinçenna inversna
napivhrupa ne [ prymityvnog, tobto vona mistyt\ prynajmni odyn element, ranh
qkoho ≥ 2.
Nam potribno dovesty we kil\ka lem.
Lema 3 [8, s. 53]. Qkwo v napivreßitci P skinçenno] dovΩyny isnu[ nenu-
l\ovyj element, qkyj ne [ ob’[dnannqm atomiv, to isnu[ element c ∈ P, qkyj
pokryva[ toçno odyn nenul\ovyj element.
Lema 4. Nexaj E — napivreßitka skinçenno] dovΩyny. Krim toho, nexaj
e ≺ f, do toho Ω f pokryva[ toçno odyn element. Qkwo x < f, to x ≤ e.
Dovedennq. Rozhlqnemo maksymal\nyj lancgΩok, wo z’[dnu[ x i f. Nexaj
z — takyj element c\oho lancgΩka, wo z ≺ f. Oskil\ky f pokryva[ lyße odyn
element (a same e ), to z = e. OtΩe, x ≤ z = e ≺ f.
Lemu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
32V. D. DEREÇ
Lema 5. Nexaj V — napivreßitka skinçenno] dovΩyny. Krim toho, nexaj
e ≺ f, de e ≠ 0, do toho Ω f pokryva[ toçno odyn element. Qkwo x e = 0, to
x f = 0.
Dovedennq. Oçevydno, wo x f ≤ f. Prypustymo, wo x f = f, todi x f e = f e.
Zvidsy vyplyva[ 0 = x e = e, wo supereçyt\ umovi. OtΩe, x f < f. Zhidno z lemog
4 x f ≤ e. Tomu x f ≤ x e = 0. OtΩe, x f = 0.
Lemu dovedeno.
ZauvaΩymo, wo porqdky, wo rozhlqdatymut\sq v lemax 6 – 8, [ kanoniçnymy.
Lema 6. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçenno] dovΩyny z nulem 0.
Krim toho, nexaj idempotenty e i f taki, wo e ≺ f ( e ≠ 0 ), do toho Ω f po-
kryva[ toçno odyn idempotent. Qkwo x e y = 0, to x f y = 0.
Dovedennq. Nexaj x e y = 0, todi xxeyy −− 11 = 0, a otΩe, xxyye −− 11 = 0.
Zvidsy zhidno z lemog 5 0 = xxyyfxxfyy −−−− = 1111. Z ostann\o] rivnosti vy-
plyva[, wo xxxfyyy −− 11 = 0, tobto x f y = 0.
Lemu dovedeno.
Dali, nexaj S — inversna napivhrupa skinçenno] dovΩyny z nulem 0. Krim
toho, nexaj idempotenty e, f ∈ S taki, wo 0 ≠ e ≺ f. Rozhlqnemo binarne vidno-
ßennq ρ = { 〈 x f y, x e y 〉 | x ∈ S}. Çerez ρt poznaçymo tranzytyvne zamykannq bi-
narnoho vidnoßennq ρ.
Lema 7. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçenno] dovΩyny z nulem 0.
Krim toho, nexaj idempotenty e i f taki, wo 0 ≠ e ≺ f, do toho Ω f pokry-
va[ toçno odyn idempotent. Qkwo 〈 b, 0 〉 ∈ ρt, to b = 0.
Dovedennq. Oskil\ky 〈 b, 0 〉 ∈ ρt, to isnugt\ elementy cccc nn 121 ,,,, …−
taki, wo 〈 b, c1 〉 ∈ ρ, 〈 c1 , c2 〉 ∈ ρ, … , 〈 cn – 1 , cn 〉 ∈ ρ, 〈 cn , 0 〉 ∈ ρ. Qkwo 〈 cn , 0 〉 ∈
∈ ρ, to na pidstavi lemy 6 cn = 0. Analohiçno cn – 1 = cn – 2 = … = c2 = c1 = b = 0.
Lemu dovedeno.
Za umov poperedn\o] lemy spravedlyva taka lema.
Lema 8. Qkwo 〈 a, b 〉 ∈ ρt, to b ≤ a (tut çerez ≤ poznaçeno kanoniçnyj
porqdok na S ).
Dovedennq. Oskil\ky ρt — tranzytyvne zamykannq binarnoho vidnoßennq
ρ, to isnugt\ elementy ssss nn 121 ,,,, …− ∈ S taki, wo 〈 a, s1 〉 ∈ ρ, 〈 s1 , s2 〉 ∈
∈ ρ, … , 〈 sn – 1 , sn 〉 ∈ ρ, 〈 sn , b 〉 ∈ ρ. Vnaslidok toho, wo e ≺ f, dlq bud\-qkyx x,
y ∈ S ma[ misce nerivnist\ x e y ≤ x f y. OtΩe, bssssa nn ≤≤≤…≤≤≤ −121.
Takym çynom, b ≤ a.
Lemu dovedeno.
Lema 9. Nexaj S — inversna napivhrupa skinçenno] dovΩyny z nulem 0.
Krim toho, nexaj e, f ∈ E ( S ) taki, wo 0 ≠ e ≺ f, do toho Ω f pokryva[ toçno
odyn idempotent. Todi binarne vidnoßennq Σ = ( {0} × I1 ) ∪ ρt ∪ ∆ (de I1 =
= { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 }, ρ = { 〈 x f y, x e y 〉 | x, y ∈ S}, a ∆ — vidnoßennq rivnosti)
[ stabil\nym porqdkom na S.
Dovedennq. Oçevydno, wo Σ — refleksyvne, a ρ — stabil\ne binarne
vidnoßennq. Lehko pokazaty, wo tranzytyvne zamykannq stabil\noho binarnoho
vidnoßennq [ stabil\nym binarnym vidnoßennqm. OtΩe, ρt — stabil\ne binarne
vidnoßennq. Takym çynom, Σ [ stabil\nym binarnym vidnoßennqm. PokaΩemo,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY Z NULEM …33
wo Σ — antysymetryçne binarne vidnoßennq. OtΩe, nexaj 〈 a, b 〉 ∈ Σ i 〈 b,
a 〉 ∈ Σ. Rozhlqnemo moΩlyvi vypadky.
Vypadok A. 〈 a, b 〉 ∈ {0} × I1 i 〈 b, a 〉 ∈ ρt. Todi a = 0. Qkwo 〈 b, 0 〉 ∈ ρt, to
zhidno z lemog 7 b = 0. OtΩe, a = b = 0.
Vypadok V. 〈 a, b 〉 ∈ ρt i 〈 b, a 〉 ∈ ρt. Todi zhidno z lemog 8 b ≤ a i a ≤ b.
Zvidsy a = b.
Vypadok S. 〈 a, b 〉 ∈ ρt i 〈 b, a 〉 ∈ {0} × I1
. Todi b = 0. Qkwo 〈 a, 0 〉 ∈ ρt, to
za lemog 7 a = 0. OtΩe, a = b = 0.
Inßi vypadky [ tryvial\nymy. Takym çynom, binarne vidnoßennq Σ [ anty-
symetryçnym.
Teper pokaΩemo tranzytyvnist\ binarnoho vidnoßennq Σ. Rozhlqnemo moΩ-
lyvi vypadky.
Vypadok 1: 〈 0, a 〉 ∈ {0} × I1 i 〈 a, b 〉 ∈ ρt. Oskil\ky 〈 a, b 〉 ∈ ρt, to za lemog
8 b ≤ a. Oskil\ky a ∈ I1
, to b ∈ I1
. OtΩe, 〈 0, b 〉 ∈ {0} × I1 ⊂ Σ.
Vypadok 2: 〈 a, b 〉 ∈ ρt i 〈 b, c 〉 ∈ ρt. Oskil\ky ρt [ tranzytyvnym binarnym
vidnoßennqm, to 〈 a, c 〉 ∈ ρt.
Vypadok 3: 〈 0, a 〉 ∈ {0} × I1 i 〈 a, b 〉 ∈ {0} × I1
. Todi b ∈ I1
, a otΩe, 〈 0, b 〉 ∈
∈ {0} × I1
.
Vypadok 4: 〈 a, b 〉 ∈ ρt i 〈 b, c 〉 ∈ {0} × I1
. Oskil\ky b = 0, to 〈 a, 0 〉 ∈ ρt.
Todi zhidno z lemog 7 a = 0, do toho Ω c ∈ I1
. Zvidsy 〈 a, c 〉 ∈ {0} × I1
. OtΩe,
binarne vidnoßennq Σ [ tranzytyvnym.
Takym çynom, binarne vidnoßennq Σ [ refleksyvnym, tranzytyvnym, anty-
symetryçnym i stabil\nym. Inßymy slovamy, Σ — stabil\nyj porqdok na S.
Lemu dovedeno.
Teper moΩna ob©runtuvaty implikacig 1) ⇒ 2) (dyv. formulgvannq osnovno]
teoremy). Po-perße, zhidno z lemog 2 ideal I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } [ napiv-
hrupog Brandta. PokaΩemo teper, wo koΩnyj nenul\ovyj idempotent napiv-
hrupy S [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S ). Prypustymo protyleΩne.
Todi zhidno z lemog 3 isnu[ idempotent f ∈ E ( S ), qkyj pokryva[ toçno odyn ne-
nul\ovyj idempotent, napryklad e. Rozhlqnemo binarne vidnoßennq Σ = ( {0} ×
× I1 ) ∪ ρt ∪ ∆, de I1 = { x ∈ S | rank ( x ) ≤ 1 } i ρ = { 〈 x f y, x e y 〉 | x, y ∈ S}. Za
lemog 9 binarne vidnoßennq Σ [ stabil\nym porqdkom na S. Dali, nexaj a ∈ I1
i a ≠ 0, todi 〈 0, a 〉 ∈ Σ. Krim toho, 〈 f, e 〉 ∈ Σ. Oçevydno, wo 〈 0, a 〉 ∈ ω i 〈 f,
e 〉 ∉ ω, de ω — kanoniçnyj porqdok na S. OtΩe, Σ ⊄ ω i Σ ⊄ ω– 1. Takym
çynom, zhidno z tverdΩennqm 1 stabil\nyj porqdok Σ ne [ fundamental\nym i
ne [ antyfundamental\nym. Cq supereçnist\ dovodyt\ spravedlyvist\ implika-
ci] 1) ⇒ 2).
Dovedennq implikaci] 2) ⇒ 1) rozib’[mo na rqd lem. Spoçatku pereliçymo vsi
stabil\ni porqdky na napivhrupi Brandta, strukturna hrupa qko] dopuska[ lyße
tryvial\nyj stabil\nyj porqdok. Cej rezul\tat moΩna vvaΩaty matematyçnym
fol\klorom.
Lema 10. Qkwo B ∈ B ( G, I ) — napivhrupa Brandta, strukturna hrupa G
qko] dopuska[ lyße tryvial\nyj stabil\nyj porqdok, to stabil\ni porqdky
napivhrupy B vyçerpugt\sq takymy: ∆, ( {0} × B ) ∪ ∆, ( B × {0} ) ∪ ∆, de 0 —
nul\ napivhrupy Brandta, a ∆ — vidnoßennq rivnosti na nij.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
34V. D. DEREÇ
Dovedennq. Nexaj Ω — stabil\nyj porqdok na napivhrupi B. Qkwo
() ()()∈ igjigj 111222 ,,,,,Ω, to i1 = i2 i j1 = j2
. Spravdi, prypustymo, wo i1 ≠ i2
,
todi () ()()()()∈ ieiigjieiigj 1111111222 ,,,,,,,,,Ω. OderΩu[mo () ()∈ igj 1110 ,,,Ω.
Oskil\ky napivhrupa Brandta [ 0-prostog, to z ostann\oho spivvidnoßennq
vyplyva[
B × {0} ⊆ Ω.(1)
Analohiçno, qkwo () ()()()()∈ ieiigjieiigj 2211122222 ,,,,,,,,,Ω, to (( 022 ,, ig,
j2)) ∈ Ω. Zvidsy oderΩu[mo
{0} × B ⊆ Ω.(2)
Z (1) i (2) vyplyva[, wo dlq bud\-qkoho nenul\ovoho b ∈ B ( b, 0 ) ∈ Ω i ( 0, b ) ∈
∈ Ω. Supereçnist\. OtΩe, i1 = i2
. Analohiçno moΩna dovesty, wo j1 = j2
.
Dali, nexaj Ω — stabil\nyj porqdok na napivhrupi B = B ( G, I ). Vyznaçymo
binarne vidnoßennq Ω* na hrupi G takym çynom: ( g1 , g2 ) ∈ Ω* todi i lyße to-
di, koly znajdut\sq u, v ∈ I taki, wo () ()()∈ ugug ,,,,, 12 vvΩ. Lehko pereviry-
ty, wo binarne vidnoßennq Ω* [ stabil\nym porqdkom na hrupi G. Ale za umo-
vog stabil\ni porqdky na hrupi G vyçerpugt\sq tryvial\nym porqdkom. OtΩe,
Ω* = ∆G
, de ∆G — vidnoßennq rivnosti na hrupi G. Takym çynom, qkwo b1 ≠ 0,
b2 ≠ 0 i ( b1 , b2 ) ∈ Ω, to b1 = b2
. Teper my moΩemo ob©runtuvaty vyçerpnist\
spysku stabil\nyx porqdkiv, qkyj navedenyj u formulgvanni lemy. Po-perße,
oçevydno, wo ∆, ( {0} × B ) ∪ ∆ i ( B × {0} ) ∪ ∆ [ stabil\nymy porqdkamy na
napivhrupi Brandta B. Nexaj Ω — stabil\nyj porqdok na B. Qkwo b ≠ 0 i ( 0,
b ) ∈ Ω, to {0} × B ⊆ Ω. Qk zaznaçeno vywe, z umovy b1 ≠ 0, b2 ≠ 0 i ( b1 , b2 ) ∈
∈ Ω vyplyva[, wo b1 = b2
. OtΩe, Ω = ( {0} × B ) ∪ ∆. Analohiçno, qkwo b ≠ 0 i
( b, 0 ) ∈ Ω, to Ω = ( B × {0} ) ∪ ∆. Qkwo Ω dlq bud\-qkoho b ≠ 0 ( b, 0 ) ∉ Ω i
( 0, b ) ∉ Ω, to Ω = ∆.
Lemu dovedeno.
Dali, nexaj S — inversna napivhrupa skinçenno] dovΩyny z nulem. Dlq do-
vil\noho b ∈ S çerez R1 ( b ) poznaçymo mnoΩynu { x ∈ S | x ≤ b i rank ( x ) ≤ 1 }.
Lema 11. Nexaj P — skinçenna napivreßitka, koΩnyj nenul\ovyj element
qko] [ ob’[dnannqm atomiv. Todi dlq bud\-qkoho a ∈ P isnu[ sup ( R1 ( a ) ), do
toho Ω sup ( R1 ( a ) ) = a.
Dovedennq. Nexaj {…} bbbk 12 ,,, — sukupnist\ verxnix meΩ mnoΩyny
R1 ( a ). Lehko pereviryty, wo element bbbk 12 ⋅⋅…⋅ [ toçnog verxn\og meΩeg
mnoΩyny R1 ( a ). OtΩe, bbbk 12 ⋅⋅…⋅ ≤ a. Dali, za umovog isnu[ pidmnoΩyna A
mnoΩyny atomiv napivreßitky P taka, wo sup A = a. Oçevydno, wo A ⊆ R1 ( a ).
Zvidsy a = sup A ≤ sup ( R1 ( a ) ) = bbbk 12 ⋅⋅…⋅. OtΩe, bbbk 12 ⋅⋅…⋅ = a.
Lemu dovedeno.
Lema 12. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem, koΩnyj idempo-
tent qko] [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S ). Todi dlq bud\-qkyx e, f ∈
∈ E ( S ) z umovy R1 ( e ) = R1 ( f ) vyplyva[ e = f.
Dovedennq. Nasampered zaznaçymo, wo R1 ( e ) ⊆ E ( S ) i R1 ( f ) ⊆ E ( S ). Na-
pivreßitka E ( S ) zadovol\nq[ vsi umovy poperedn\o] lemy. Takym çynom, e =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY Z NULEM …35
= supE ( R1 ( e ) ) = supE ( R1 ( f ) ) = f, de çerez supE ( R1 ( e ) ) i supE ( R1 ( f ) ) poznaçeno
toçnu verxng meΩu vidpovidno mnoΩyn R1 ( e ) i R1 ( f ) u napivreßitci E ( S ).
(Zaznaçymo, wo sup ( R1 ( e ) ) u napivhrupi S moΩe i ne isnuvaty.)
Lemu dovedeno.
Lema 13. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem. Qkwo R1 ( a ) =
= R1 ( b ), to R1 ( a a–
1
) = R1 ( b b–
1
) i R1 ( a–
1
a ) = R1 ( b–
1
b ).
Dovedennq. U statti [7] (teorema 1) dovedeno, wo funkciq F : x " R1 ( x ) [
homomorfizmom z napivhrupy S u nadnapivhrupu P ( I1 ). OtΩe, R1 ( a a–
1
) =
= R1 ( a ) ⋅ R1 ( a–
1
) = R1 ( b ) ⋅ R1 ( b–
1
) = R1 ( b b–
1
). Analohiçno dovodyt\sq rivnist\
R1 ( a–
1
a ) = R1 ( b–
1
b ).
Lemu dovedeno.
Lema 14. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem, koΩnyj nenu-
l\ovyj idempotent qko] [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S ), i Ω —
stabil\nyj porqdok na S. Qkwo elementy a, b ∈ S taki, wo R1 ( a ) = R1 ( b ) i
〈 a, b 〉 ∈ Ω, to a = b.
Dovedennq. Oskil\ky R1 ( a ) = R1 ( b ), to za lemog 13 R1 ( a–
1
a ) = R1 ( b–
1
b ) i
R1 ( a a–
1
) = R1 ( b b–
1
). Z ostannix dvox rivnostej zhidno z lemog 12 ma[mo a–
1
a =
= b–
1
b i a a–
1 = b b–
1. Oskil\ky 〈 a, b 〉 ∈ Ω, to 〈 a b–
1, b b–
1
〉 ∈ Ω. PokaΩemo, wo
〈 a b–
1, b b–
1
〉 ∈ H (de H — vidnoßennq Hrina). Dijsno, a b–
1 ( a b–
1
)
–
1 =
= a b–
1 b a–
1 = a a–
1 a a–
1 = a a–
1 = b b–
1. Analohiçno ( a b–
1
)
–
1 a b–
1 = b a–
1 a b–
1 =
= b b–
1 b b–
1 = b b–
1. Klas H
bb−1 [ skinçennog hrupog. Vidomo (dyv., napryklad,
[12]), wo stabil\ni porqdky na skinçennij hrupi vyçerpugt\sq tryvial\nym po-
rqdkom. Oskil\ky binarne vidnoßennq Ω ∩ (×) −− HH
bbbb 11 [ stabil\nym porqd-
kom na hrupi H
bb−1 i 〈 a b–
1, b b–
1
〉 ∈ Ω ∩ (×) −− HH
bbbb 11, to a b–
1 = b b–
1. Zvidsy
a b–
1
b = b. Zaminggçy v ostannij rivnosti b–
1
b na a–
1
a, oderΩu[mo a = b.
Lemu dovedeno.
Lema 15. Nexaj S — dovil\na inversna napivhrupa. Qkwo a ≤ c, b ≤ c i
a a–
1 = b b–
1, to a = b.
Dovedennq. Oskil\ky a ≤ c i b ≤ c, to isnugt\ idempotenty e i f taki, wo
a = c e i b = c f. Dali, a a–
1 = c e ( c e )
–
1 = c e c– 1 i b b–
1 = c f ( c f )
–
1 = c f c– 1. Z
ostannix rivnostej vyplyva[ c e c– 1 = c f c– 1. Zvidsy a = c e = c c– 1 c e = c e c– 1 c =
= c f c– 1 c = c c– 1 c f = c f = b.
Lemu dovedeno.
Lema 16. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem, koΩnyj nenu-
l\ovyj idempotent qko] [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S ), i Ω —
stabil\nyj porqdok na S. Qkwo 〈 a, b 〉 ∈ Ω i R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ) (strohe vklg-
çennq), to a < b.
Dovedennq. PokaΩemo, wo R1 ( a ) = R1 ( a a–
1
b ). Oskil\ky R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ), to
R1 ( a a–
1
) ⋅ R1 ( a ) ⊆ R1 ( a a–
1
) ⋅ R1 ( b ). Zhidno z teoremog 1 zi statti [7] funkciq F :
z " R1 ( z ) [ homomorfizmom iz napivhrupy S u hlobal\nu nadnapivhrupu P ( I1 ).
OtΩe, R1 ( a a–
1
a ) ⊆ R1 ( a a–
1
b ) abo R1 ( a ) ⊆ R1 ( a a–
1
b ). Teper ob©runtu[mo zvo-
rotne vklgçennq. OtΩe, nexaj x ∈ R1 ( a a–
1
b ), todi x ≤ a a–
1
b. Zvidsy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
36V. D. DEREÇ
x ( a a–
1
b )
–
1 = x x– 1 abo x b–
1
a a–
1 = x x– 1. 3 ostann\o] rivnosti ma[mo x x– 1 a a–
1 =
= x x– 1. Dali, oçevydno, wo x x– 1 a ∈ R1 ( a ). Oskil\ky za umovog R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ),
to x x– 1 a ≤ b. Krim toho, x ≤ a a–
1
b ≤ b. Pozaqk xxaxxa −−− () 111 = xxaaxx −−− 111 =
= x x– 1, to z ostannix tr\ox spivvidnoßen\ zhidno z lemog 15 otrymu[mo x =
= x x– 1 a. Oskil\ky x x– 1 a ≤ a, to x ∈ R1 ( a ). OtΩe, R1 ( a a–
1
b ) ⊆ R1 ( a ). Takym
çynom, R1 ( a a–
1
b ) = R1 ( a ). Dali, za umovog 〈 a, b 〉 ∈ Ω, tomu 〈 a, a a–
1
b 〉 ∈ Ω.
OtΩe, zhidno z lemog 14 a = a a–
1
b. Zvidsy ma[mo a < b.
Lemu dovedeno.
Lema 17. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem, ideal qko] I1 [
napivhrupog Brandta, i Ω — stabil\nyj porqdok na S. Todi qkwo 〈 a, b 〉 ∈ Ω,
to mnoΩyny R1 ( a ) i R1 ( b ) porivnql\ni, tobto R1 ( a ) ⊆ R1 ( b ) abo R1 ( b ) ⊆
⊆ R1 ( a ).
Dovedennq. Prypustymo protyleΩne, tobto mnoΩyny R1 ( a ) i R1 ( b ) ne
porivnql\ni. Todi isnugt\ x ∈ R1 ( a ), x ∉ R1 ( b ) i y ∈ R1 ( b ), y ∉ R1 ( a ). Qkwo
x ∈ R1 ( a ) i x ∉ R1 ( b ), to x ≠ 0. Analohiçno y ≠ 0. Dali, oskil\ky 〈 a, b 〉 ∈ Ω,
to 〈 x x– 1 a, x x– 1 b 〉 ∈ Ω. Pozaqk x x– 1 a = x, to 〈 x, x x– 1 b 〉 ∈ Ω.
Rozhlqnemo moΩlyvi vypadky.
1) x = x x– 1 b. Todi x ≤ b, a otΩe, x ∈ R1 ( b ). Supereçnist\.
2) x ≠ x x– 1 b. A. Qkwo x x– 1 b ≠ 0, to 〈 x, x x– 1 b 〉 ∈ Ω ∩ ( I1 × I1 ), wo supere-
çyt\ lemi 10. V. Qkwo Ω x x– 1 b = 0, to
〈 x, 0 〉 ∈ Ω.(3)
Dali, pozaqk 〈 a, b 〉 ∈ Ω, to 〈 y y–
1
a, y y–
1
b 〉 ∈ Ω. Oskil\ky y y–
1
b = y, to 〈 y y–
1
a,
y 〉 ∈ Ω.
Rozhlqnemo moΩlyvi vypadky.
3) y y–
1
a = y. Todi y ≤ a, a otΩe, y ∈ R1 ( a ). Supereçnist\.
4) y y–
1
a ≠ y. S. Qkwo y y–
1
a ≠ 0, to 〈 y y–
1
a, y 〉 ∈ Ω ∩ ( I1 × I1 ), wo supe-
reçyt\ lemi 10. D. Qkwo Ω y y–
1
a = 0, to
〈 0, y 〉 ∈ Ω.(4)
Z (3) i (4) vyplyva[, wo 〈 x, y 〉 ∈ Ω, do toho Ω x ≠ y, wo supereçyt\ lemi 10.
Takym çynom, mnoΩyny R1 ( a ) i R1 ( b ) [ porivnql\nymy.
Lemu dovedeno.
Teper moΩna ob©runtuvaty implikacig 2) ⇒ 1).
Nexaj Ω — netryvial\nyj stabil\nyj porqdok na S. Nam potribno dovesty
(vraxovugçy tverdΩennq 1), wo Ω ⊆ ω abo Ω ⊆ ω–
1 (de ω — kanoniçnyj porq-
dok na S ). Oskil\ky Ω — netryvial\nyj porqdok, to isnugt\ elementy a, b ∈
∈ S taki, wo 〈 a, b 〉 ∈ Ω i a ≠ b. Zhidno z lemog 17 R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ) abo R1 ( b ) ⊂
⊂ R1 ( a ). Nexaj, dlq konkretnosti, R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ). Todi za lemog 16 a < b. Os-
kil\ky R1 ( a ) ⊂ R1 ( b ) (strohe vklgçennq), to isnu[ element x ∈ R1 ( b ) ( x ≠ 0 )
takyj, wo x ∉ R1 ( a ). Oskil\ky 〈 a, b 〉 ∈ Ω, to 〈 x x– 1 a, x x– 1 b 〉 ∈ Ω. Pozaqk x ≤
≤ b, to x x– 1 b = x. OtΩe, 〈 x x– 1 a, x 〉 ∈ Ω. Prypustymo, wo x x– 1 a = x, todi x ≤ a.
OtΩe, x ∈ R1 ( a ). Supereçnist\. Dali, oçevydno, wo x x– 1 a ∈ I1 . Qkwo prypus-
tyty, wo x x– 1 a ≠ 0 i x x– 1 a ≠ x, to oderΩymo supereçnist\ z lemog 10. OtΩe,
zalyßa[t\sq odna moΩlyvist\: x x– 1 a = 0, tobto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY Z NULEM …37
〈 0, x 〉 ∈ Ω.(5)
Nexaj teper dovil\na para 〈 c, k 〉 taka, wo 〈 c, k 〉 ∈ Ω. PokaΩemo, wo
R1 ( c ) ⊆ R1 ( k ). Prypustymo protyleΩne, tobto (vraxovugçy lemu 17), wo
R1 ( k ) ⊂ R1 ( c ). Todi isnu[ y ∈ R1 ( c ) i y ∉ R1 ( k ). Oçevydno, wo y ≠ 0. Pozaqk 〈 c,
k 〉 ∈ Ω, to 〈 y y–
1
c, y y–
1
k 〉 ∈ Ω. Oskil\ky y ≤ c, to y y–
1
c = y. Todi 〈 y, y y–
1
k 〉 ∈
∈ Ω. Prypustymo, wo y = y y–
1
k, todi y ≤ k, otΩe, y ∈ R1 ( k ). Supereçnist\.
Qkwo Ω prypustyty, wo y y–
1
k ≠ 0 i y y–
1
k ≠ y, to oderΩymo supereçnist\ z
lemog 10. OtΩe, zalyßa[t\sq [dyna moΩlyvist\: y y–
1
k = 0. Todi
〈 y, 0 〉 ∈ Ω.(6)
Iz spivvidnoßen\ (5) i (6) vyplyva[, wo 〈 y, x 〉 ∈ Ω, do toho Ω x, y ∈ I1 i y ≠ x. A
ce supereçyt\ lemi 10. OtΩe, R1 ( c ) ⊆ R1 ( k ). Zvidsy na pidstavi lem 14 i 16 c ≤
≤ k.
Takym çynom, Ω ⊆ ω (de ω — kanoniçnyj porqdok na S ). Qkwo Ω prypus-
tyty, wo R1 ( b ) ⊂ R1 ( a ), to analohiçnym çynom moΩna dovesty, wo Ω ⊆ ω–
1.
Ekvivalentnist\ 1) ⇔ 3) bezposeredn\o vyplyva[ z tverdΩennq 1.
Teoremu dovedeno.
3. Xarakterystyka napivreßitky idempotentiv skinçenno] inversno] na-
pivhrupy z nulem, koΩnyj stabil\nyj porqdok qko] [ fundamental\nym
abo antyfundamental\nym.
Teorema 2. Skinçenna napivreßitka [ napivreßitkog idempotentiv deqko]
skinçenno] inversno] napivhrupy z nulem, koΩnyj stabil\nyj porqdok qko] [
fundamental\nym abo antyfundamental\nym, todi i lyße todi, koly koΩnyj ]]
nenul\ovyj element [ ob’[dnannqm atomiv.
Dovedennq. Nexaj E — skinçenna napivreßitka, koΩnyj nenul\ovyj ele-
ment qko] [ ob’[dnannqm atomiv. Rozhlqnemo napivhrupu Manna TE
, tobto in-
versnu napivhrupu vsix izomorfizmiv miΩ holovnymy idealamy napivreßitky E
vidnosno zvyçajno] operaci] superpozyci] binarnyx vidnoßen\ (dyv., napryklad,
[11]). Oskil\ky napivreßitka idempotentiv napivhrupy TE izomorfna napivre-
ßitci E, to za teoremog 1 zi statti [8] koΩnyj stabil\nyj porqdok na inversnij
napivhrupi TE [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym.
Druha çastyna teoremy bezposeredn\o vyplyva[ z teoremy 1.
Teoremu dovedeno.
5. Naslidky i pryklady. Nahada[mo, wo napivhrupa nazyva[t\sq perestav-
nog, qkwo bud\-qki ]] dvi konhruenci] komutugt\ vidnosno zvyçajno] operaci]
kompozyci] binarnyx vidnoßen\.
Naslidok 1. Nexaj S — skinçenna perestavna inversna napivhrupa z nulem.
Todi maksymal\ni stabil\ni porqdky napivhrupy S vyçerpugt\sq ω i ω–
1 (de
ω — kanoniçnyj porqdok na S ).
Dovedennq. Vidomo (dyv. [13], teorema 4), wo idealy perestavno] napivhrupy
linijno vporqdkovani vidnosno vklgçennq. Zvidsy lehko vyplyva[, wo ideal I1
[ napivhrupog Brandta.
U statti [14] z’qsovano strukturu napivreßitky idempotentiv perestavno]
inversno] napivhrupy z nulem skinçenno] dovΩyny. Na pidstavi c\oho rezul\tatu
moΩna lehko dovesty, wo koΩnyj nenul\ovyj idempotent napivhrupy S [ ob’[d-
nannqm atomiv u napivreßitci E ( S ). Zvidsy zhidno z teoremog 1 vyplyva[, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
38V. D. DEREÇ
maksymal\ni stabil\ni porqdky skinçenno] perestavno] inversno] napivhrupy z
nulem vyçerpugt\sq ω i ω–
1 (de ω — kanoniçnyj porqdok na S ).
Naslidok dovedeno.
Naslidok 2. Nexaj S — skinçenna inversna napivhrupa z nulem, ideal qko] I1
[ napivhrupog Brandta i wil\nym. Todi maksymal\ni stabil\ni porqdky napiv-
hrupy S vyçerpugt\sq ω i ω–
1 (de ω — kanoniçnyj porqdok na S ).
Dovedennq. Zhidno z propozyci[g 2.18 (dyv. [15, s. 594]) koΩnyj wil\nyj
ideal [ ∨-bazysnym. Ce oznaça[, wo bud\-qkyj element b ∈ S moΩna podaty u
formi b = sup A, de A — deqka pidmnoΩyna idealu. Za umovog ideal I1 [
wil\nym, otΩe, bud\-qkyj nenul\ovyj idempotent f [ ob’[dnannqm atomiv na-
pivreßitky E ( S ). Takym çynom, zhidno z teoremog 1 maksymal\ni stabil\ni po-
rqdky na napivhrupi S vyçerpugt\sq ω i ω–
1.
Naslidok 2 dovedeno.
Pryklad 1. Nexaj V — skinçennyj vektornyj prostir. Poznaçymo çerez
Aut P ( V ) inversnu napivhrupu vsix çastkovyx avtomorfizmiv vektornoho pros-
toru V. Vidomo, wo idealy napivhrupy Aut P ( V ) linijno vporqdkovani vidnosno
vklgçennq. Zvidsy vyplyva[, wo ideal I1 [ napivhrupog Brandta. Krim toho,
napivhrupa Aut P ( V ) [ perestavnog (dyv., napryklad, [14, s. 1360]). OtΩe,
maksymal\ni stabil\ni porqdky napivhrupy Aut P ( V ) vyçerpugt\sq ω i ω–
1.
(Zaznaçymo, wo cej Ωe vysnovok, ale z inßyx mirkuvan\, oderΩano v [16].)
Pryklad 2. Nexaj N = { 1, 2, 3, … , n }. Poznaçymo çerez I O ( N ) inversnu
napivhrupu vsix çastkovyx vza[mno odnoznaçnyx monotonnyx peretvoren\ mno-
Ωyny N, a çerez I ( N ) symetryçnu inversnu napivhrupu na mnoΩyni N. Ci na-
pivhrupy teΩ naleΩat\ do perestavnyx, a otΩe, maksymal\ni stabil\ni porqdky
na nyx vyçerpugt\sq ω i ω–
1.
U koΩnij iz napivhrup z navedenyx prykladiv ideal I1 [ wil\nym. Teper na-
vedemo pryklad skinçenno] inversno] napivhrupy z nulem, wo zadovol\nq[ umovu
3 teoremy 1, ale ideal I1 ne [ wil\nym.
Pryklad 3. Na mnoΩyni { 1, 2, 3, 4 } rozhlqnemo sukupnist\ in’[ktyvnyx
peretvoren\ S = ∅
,,,,,
1
1
1
2
2
2
2
1
1234
12234
1234
1243
,. Lehko pereviryty,
wo S [ inversnog napivhrupog z nulem. Krim toho, ideal I1 =
= ∅
,,,,
1
1
1
2
2
2
2
1
[ napivhrupog Brandta i koΩnyj nenul\ovyj idem-
potent [ ob’[dnannqm atomiv u napivreßitci E ( S ). OtΩe, zhidno z teoremog 1
koΩnyj stabil\nyj porqdok na S [ fundamental\nym abo antyfundamental\-
nym. Cej fakt lehko ob©runtuvaty i bezposerednim pidraxunkom, znagçy spysok
usix stabil\nyx porqdkiv na skinçennij napivhrupi Brandta (dyv. lemu 10) i toj
fakt, wo stabil\ni porqdky na skinçennij hrupi vyçerpugt\sq tryvial\nym po-
rqdkom.
Dali, lehko pereviryty, wo ideal I1 ne [ ∨-bazysnym, a otΩe, zhidno z pro-
pozyci[g 2.18 (dyv. [15, s. 594]) ne [ wil\nym.
1.Vahner V. V. Predstavlenye uporqdoçenn¥x poluhrupp // Mat. sb. – 1956. – 38, # 2. – S. 203
– 240.
2.Íajn B. M. Predstavlenye uporqdoçenn¥x poluhrupp // Tam Ωe. – 1964. – 65, # 2. – S. 188
– 197.
3.Goberstein S. M. Fundamental order relations on inverse semigroups and on their generalizations //
Semigroup Forum. – 1980. – 21. – P. 285 – 328.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
STRUKTURA SKINÇENNO} INVERSNO} NAPIVHRUPY Z NULEM …39
4.Mogilevskii M. G. Order relations on symmetric semigroups of transformations and on their
homomorphic images // Ibid. – 1980. – 19. – P. 283 – 305.
5.Mohylevskyj M. H. Otnoßenyq porqdka na symmetryçeskoj ynversnoj poluhruppe // Teo-
ryq poluhrupp y ee pryloΩenyq. – 1974. – V¥p. 3. – S. 63 – 70.
6.Bejlys M. V. Stabyl\n¥e otnoßenyq porqdka na poluhruppe çastyçn¥x preobrazovanyj
ohranyçennoho ranha // Tam Ωe. – 1985. – V¥p. 5. – S. 3 – 9.
7.Dereç V. D. Pro maksymal\ni stabil\ni porqdky na inversnij napivhrupi skinçennoho ranhu z
nulem // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60, # 8. – S. 1035 – 1041.
8.Dereç V. D. Struktura napivhrupy Manna skinçennoho ranhu, koΩnyj stabil\nyj porqdok
qko] [ fundamental\nym abo antyfundamental\nym // Tam Ωe. – 2009. – 61, # 1. – S. 52 – 60.
9.Dereç V. D. Konhruenci] perestavno] inversno] napivhrupy skinçennoho ranhu // Tam Ωe. –
2005. – 57, # 4. – S. 469 – 473.
10. Klyfford A., Preston H. Alhebrayçeskaq teoryq poluhrupp: V 2 t. – M: Myr, 1972. –
T. 1, 2.
11.Petrich M. Inverse semigroups. – New York etc. : John Willey and Sons, 1984. – 674 p.
12.Kuroß A. H. Lekcyy po obwej alhebre. – M.: Nauka, 1973. – 399 s.
13. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. –
1975. – 10. – P. 55 – 66.
14. Dereç V. D. Xarakterystyka napivreßitky idempotentiv perestavno] inversno] napivhrupy
skinçennoho ranhu z nulem // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 10. – S. 1353 – 1362.
15.Schein B. M. Completions, translational hulls and ideal extensions of inverse semigroups // Czech.
Math. J. – 1973. – 23. – P. 575 – 610.
16.Dereç V. D. O maksymal\n¥x stabyl\n¥x porqdkax na nekotor¥x byydeal\n¥x rasßyre-
nyqx poluhrupp¥ Brandta // Poluhrupp¥ y yx homomorfyzm¥. – Lenynhrad, 1991. – S. 12 –
18.
OderΩano 02.03.09,
pislq doopracgvannq — 03.08.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
|