Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси
Сконструирована математическая модель бесконечной системы диффузионных частиц со взаимодействием, имеющих массу, которая влияет па коэффициент диффузии. Частицы начинают движение с некоторого стационарного распределения массы, движутся независимо до момента встречи, а затем склеиваются и их масса су...
Збережено в:
Дата: | 2010 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164737 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси / В.В. Конаровський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 90 - 103. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-164737 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1647372020-02-11T01:26:43Z Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси Конаровський, В.В. Статті Сконструирована математическая модель бесконечной системы диффузионных частиц со взаимодействием, имеющих массу, которая влияет па коэффициент диффузии. Частицы начинают движение с некоторого стационарного распределения массы, движутся независимо до момента встречи, а затем склеиваются и их масса суммируется, после чего коэффициент диффузии изменяется обратно пропорционально корню квадратному массы. Показано, что масса, которая переносится частицами, также имеет стационарное распределение. We construct a mathematical model of an infinite system of diffusion particles with interaction whose masses affect the diffusion coefficient. The particles begin to move from a certain stationary distribution of masses. Their motion is independent up to their meeting. Then the particles become stuck and their masses are added. As a result, the diffusion coefficient varies as a function inversely proportional to the square root of the mass. It is shown that the mass transported by particles is also characterized by a stationary distribution. 2010 Article Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси / В.В. Конаровський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 90 - 103. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164737 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Конаровський, В.В. Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси Український математичний журнал |
description |
Сконструирована математическая модель бесконечной системы диффузионных частиц со взаимодействием, имеющих массу, которая влияет па коэффициент диффузии. Частицы начинают движение с некоторого стационарного распределения массы, движутся независимо до момента встречи, а затем склеиваются и их масса суммируется, после чего коэффициент диффузии изменяется обратно пропорционально корню квадратному массы. Показано, что масса, которая переносится частицами, также имеет стационарное распределение. |
format |
Article |
author |
Конаровський, В.В. |
author_facet |
Конаровський, В.В. |
author_sort |
Конаровський, В.В. |
title |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
title_short |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
title_full |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
title_fullStr |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
title_full_unstemmed |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
title_sort |
система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2010 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164737 |
citation_txt |
Система дифузійних частинок із склеюванням змінної маси / В.В. Конаровський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 90 - 103. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT konarovsʹkijvv sistemadifuzíjnihčastinokízskleûvannâmzmínnoímasi |
first_indexed |
2025-07-14T17:19:54Z |
last_indexed |
2025-07-14T17:19:54Z |
_version_ |
1837643696181346304 |
fulltext |
UDK 519.21
V. V. Konarovs\kyj (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK
IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY*
A mathematical model of an infinite system of diffusion particles with interaction, whose masses
influence on the diffusion coefficient, is constructed. The particles start with some stationary
distribution of masses, move independently until meeting, then stick and their masses are summarized,
after which the diffusion coefficient changes inversely proportional to the square root of mass. It is
shown that the mass, which is transported by the particles, is also stationary distributed.
Skonstruyrovana matematyçeskaq model\ beskoneçnoj system¥ dyffuzyonn¥x çastyc so vzay-
modejstvyem, ymegwyx massu, kotoraq vlyqet na koπffycyent dyffuzyy. Çastyc¥ naçynagt
dvyΩenye s nekotoroho stacyonarnoho raspredelenyq mass¥, dvyΩutsq nezavysymo do momenta
vstreçy, a zatem skleyvagtsq y yx massa summyruetsq, posle çeho koπffycyent dyffuzyy yz-
menqetsq obratno proporcyonal\no korng kvadratnomu mass¥. Pokazano, çto massa, kotoraq
perenosytsq çastycamy, takΩe ymeet stacyonarnoe raspredelenye.
Danu robotu prysvqçeno pobudovi matematyçno] modeli sukupnosti vza[modig-
çyx dyfuzijnyx çastynok na prqmij. Osnovnog vidminnistg rozhlqduvano] sys-
temy [ naqvnist\ masy u çastynok, wo vplyva[ na koefici[nt dyfuzi]. Çastynky
pry zitknenni skleggt\sq, i ]xnq masa sumu[t\sq, pislq çoho koefici[nt dyfuzi]
zming[t\sq oberneno proporcijno koreng kvadratnomu masy. Osnovnym rezul\-
tatom roboty [ nastupna teorema.
Teorema 1. Nexaj µ = akx kk
δ
∈ ∑Z — stacionarna toçkova mira na R z
skinçennog kil\kistg atomiv na koΩnomu vidrizku i µ≠0. Todi isnu[ systema
procesiv xkt (,) {; k∈Z, t≥}0, qka zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) xk(,)⋅ – xk — neperervnyj kvadratyçno intehrovnyj lokal\nyj martyn-
hal vidnosno
()(,);, Fttt
xksstk ≥≥ =≤∈ () () 00
σZ;
2) xkxk (,) 0=, k∈Z;
3) xkt (,) ≤ xkt (,) +1 ∀∈kZ ∀≥t0;
4) xkxkt (,)⋅− =
ds
mks
t
(,) 0∫ ∀≥t0, de
mktai
iAkt
(,)
(,)
=
∈
∑, Aktjstxksxjs (,):,(,)(,) =∈∃≤= {} Z;
5) sumisna xarakterystyka
xlxxkx lkttlk
(,),(,)
,
⋅−⋅−= < {} Iτ0,
de
τlktxltxkt ,inf:(,)(,) == {}.
Tut µ — poçatkovyj rozpodil masy çastynok. Umova 1 oznaça[, wo çastynky
magt\ dyfuzig, qka zming[t\sq zhidno z umovog 4. A same, pislq sklegvannq
*Çastkovo pidtrymano Rosijs\ko-Ukra]ns\kym hrantom „Asymptotyçna povedinka stoxastyçnyx
potokiv” (etap 2 „Hranyçni teoremy dlq potokiv iz synhulqrnostqmy” vid 26.03.09 r., # 184).
© V. V. KONAROVS|KYJ, 2010
90ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY91
masa çastynok sumu[t\sq i dyfuziq zming[t\sq oberneno proporcijno koreng
kvadratnomu masy. Umovy 2 ta 3 vidpovidagt\ za start i uporqdkovanist\ çasty-
nok pid ças ruxu, a umova 5 vkazu[ na nezaleΩnu povedinku çastynok do momentu
zitknennq. ZuvaΩymo, v umovax 1 – 5 ne vkazano, wo çastynky pislq zitknennq
skleggt\sq. Cg vlastyvist\ oderΩymo potim qk naslidok. Pry dovedenni teo-
remy budemo vykorystovuvaty martynhal\ni metody.
SxoΩi modeli iz vza[modi[g rozhlqdalysq u robotax inßyx avtoriv (dyv., na-
pryklad, [1 – 5]). U roboti [1] pobudovano potik, qkyj moΩna interpretuvaty qk
opys sumisnoho ruxu brounivs\kyx çastynok na R, wo startuvaly z koΩno] toç-
ky prqmo] i ruxagt\sq nezaleΩno do momentu zustriçi, a potim skleggt\sq i ru-
xagt\sq razom. Inßymy slovamy, budu[t\sq systema procesiv xut (,) {; u∈R,
t≥}0, qka zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) xu(,)⋅ — neperervnyj kvadratyçno intehrovnyj lokal\nyj martynhal
vidnosno
()(,);, Fttt
xusstu ≥≥ =≤∈ () () 00
σR;
2) xu(,) 0 = u, u∈R;
3) xut (,) ≤ xt (,) v ∀u, v∈R, u<v, ∀≥t0;
4) xut t (,)⋅= ∀≥t0;
5) sumisna xarakterystyka
xuxttu
(,),(,)
,
⋅⋅= < {} v
v
Iσ0,
de
σutxutxt ,inf:(,)(,) vv == {}.
Qk vydno z umovy 4, dyfuziq çastynok ne zming[t\sq. U statti [3] rozhlqnu-
to vypadky skinçenno] i neskinçenno] kil\kosti çastynok, wo magt\ masu i ßvyd-
kist\. }x rux pidporqdkovu[t\sq zakonam zbereΩennq masy ta inerci]. Navedeno
miroznaçni rivnqnnq dlq rozpodilu masy ta inerci]. Dovedeno isnuvannq slabkyx
rozv’qzkiv cyx rivnqn\. U danij modeli çastynky magt\ masu i ßvydkist\, my Ω
prypuska[mo, wo ßvydkist\ dorivng[ neskinçennosti (dyfuzijnyj vypadok). U
roboti [5] rozhlqnuto empiryçnyj rozpodil sukupnosti N procesiv iz vza[modi[g
pry fiksovanomu t. Pokazano, wo pry deqkyx umovax wil\nist\ hranyçno] miry,
qka utvorg[t\sq pry N→∞, [ rozv’qzkom deqkoho evolgcijnoho rivnqnnq.
Qk vΩe zaznaçalos\, my rozhlqda[mo model\ dyfuzijnyx çastynok, qki star-
tuvaly z deqko] vypadkovo] toçkovo] miry i ruxagt\sq nezaleΩno do momentu
zitknennq. Potim çastynky skleggt\sq, sumugçy masu, i ruxagt\sq razom.
Problemog pobudovy tako] matematyçno] modeli pry zliçennij kil\kosti toçok
startu [ te, wo rux koΩno] skinçenno] systemy çastynok ne moΩe buty opysanyj
bez uraxuvannq vplyvu inßyx. Qkwo v qkosti rozpodilu masy poçatkovoho
momentu vykorystaty miru Lebeha na prqmij, to vynyka[ we odna problema, a
same: v poçatkovyj moment çastynky povynni poçynaty rux z neskinçenno malog
masog, a otΩe, z neskinçenno velykog dyfuzi[g. Dlq rozv’qzannq ostann\o]
problemy my proponu[mo vidstupyty na qk zavhodno malyj promiΩok çasu t0 i
prypustyty, wo dlq dovil\noho vidrizka vsi çastynky, qki z n\oho startuvaly,
skle]lys\ u skinçennu kil\kist\, a potim buduvaty sukupnist\ procesiv, wo opy-
su[ danu model\ na t0,+∞ [). Pryrodno vvaΩaty, wo u c\omu vypadku startom
povynna buty vypadkova toçkova mira, qka ne zming[ svo]x imovirnisnyx xarakte-
rystyk pry zsuvi, tobto stacionarna.
Robota sklada[t\sq z kil\kox etapiv. U perßomu za dopomohog martynhal\-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
92V. V. KONAROVS|KYJ
nyx metodiv pobudovano sukupnist\ procesiv, qka opysu[ sumisnyj rux çastynok,
wo startuvaly z σ-skinçenno] determinovano] toçkovo] miry, ruxagt\sq neza-
leΩno do momentu zustriçi, a potim skleggt\sq, zminggçy svog dyfuzig, i ru-
xagt\sq razom. Navedeno dostatni umovy, qki potribno naklasty na poçatkovu
miru dlq isnuvannq tako] sukupnosti. U druhomu punkti doslidΩeno deqki vlas-
tyvosti stacionarnyx toçkovyx mir, oskil\ky dali same vony budut\ startom. Na
zaverßennq pobudovano systemu procesiv, qka opysu[ rux çastynok, wo skleg-
gt\sq i zminggt\ svog masu, rozpodilom masy qkyx u poçatkovyj moment [ sta-
cionarna mira.
1. Vypadok determinovano] miry.
Teorema 2. Nexaj poslidovnosti dijsnyx çysel xk k;∈ {}Z ta ak k;∈ {}Z
zadovol\nqgt\ nastupni umovy:
1") xx kk <+1, ak>0 ∀∈kZ;
2") isnugt\ poslidovnosti ni i;∈ {}Z i stala C > 0 taki, wo dlq bud\-
qkoho i∈Z aa nn ii +∧ 1 ≥ C, xni+1 – xni
≥ C, n00 =.
Todi isnu[ systema vypadkovyx procesiv xkt (,) {; k∈Z, t≥}0 taka, wo:
1) xk(,)⋅ — neperervnyj kvadratyçno intehrovnyj lokal\nyj martynhal
vidnosno
()(,);, Fttt
xksstu ≥≥ =≤∈ () () 00
σZ;
2) xkxk (,) 0=, k∈Z;
3) xkt (,) ≤ xkt (,) +1 ∀∈kZ ∀≥t0;
4) xkt (,)⋅ =
ds
mks
t
(,) 0∫ ∀≥t0,
de
mktai
iAkt
(,)
(,)
=
∈
∑, Aktjstxksxjs (,):,(,)(,) =∈∃≤= {} Z;
5) sumisna xarakterystyka
xlxkttlk
(,),(,)
,
⋅⋅= < {} Iτ0,
de
τlktxltxkt ,inf:(,)(,) == {}.
Umovy 1 – 5 odnoznaçno vyznaçagt\ rozpodil …−⋅ (,(,) xn, … , xn(,), ⋅…)
u prostori CC (),() RR +∞+∞ ()() ()
B.
Dovedennq sklada[t\sq z kil\kox çastyn. Spoçatku pobudu[mo skinçennu
sukupnist\ procesiv xkt n(,) {; knn =−,, t∈[]} 01,, qka zadovol\nq[ umovy 1 –
5. Dali perejdemo do hranyci pry n → + ∞, a pislq c\oho prodovΩymo hranyçni
procesy z 01, [] na vsg pivprqmu. I nasamkinec\ pokaΩemo, wo umovy 1 – 5
odnoznaçno vyznaçagt\ rozpodil ßukano] systemy.
Na deqkomu jmovirnisnomu prostori (,,) ΩFP rozhlqnemo sukupnist\ neza-
leΩnyx vinerivs\kyx procesiv wt k() {; k∈Z, t≥}0. Iz ci[] sukupnosti dlq
koΩnoho n∈N pobudu[mo systemu procesiv xkt n(,) {; knn =−,, t∈[]} 01,.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY93
Nexaj τ() 00 =, S
() 0 = i{} {; inn =−} , i wt k
()() 0 = xk +
1
a
wt
k
k(), k =
= −nn ,, t∈[] 01,. Za indukci[g pobudu[mo systemu procesiv wk
p() {;
knn =−} ,, pn =12,. Rozhlqnemo dlq knn =−− ,1
τk
p
k
p
k
p twtwt ()()() inf:()() == {}∧ −
+
− 1
1
11.
Poklademo
τττ ()()() inf;, p
k
ppknn =>=−− {}∧ −111.
Rozhlqnemo S() p — klas pidmnoΩyn mnoΩyny −… {} nn ,,, qkyj ma[ nastupni
vlastyvosti:
1) qkwo l ≤ i ≤ k, to iA ∈ ∀∈ Ap S() ∀k, lA ∈;
2) wl
pp ()() −() 1τ = wk
pp ()() −() 1τ ∀∈ Ap S() ∀k, lA ∈;
3) wl
pp ()() −() 1τ ≠ wk
pp ()() −() 1τ ∀∈ Ap S() ∀∈kA, lnn ∈−… {} ,, \ A.
Dlq kA ∈ ∈ S() p viz\memo
wt
wtt
w
k
p
k
pp
j
pp
()
()()
()()
()
(),,
()
=
≤≤ −
−
1
1
0
1
τ
τ−−
+<≤
− m
m
m
m
wtt j
pp 1
2
1
2
11 ()() (),, τ
de jA ∈ i
j
iiAAnni
nnn
ii
ii
=
∈ {}+∈ {}=∅
+
min;,,;,
min,;
∩1
1
Z
iiiii nAAnni ,,,;, +∈ {}+∈ {}≠∅
11 ∩Z
mai iA 2=
∈ ∑, mai iB 1=
∈ ∑, de Bp ∈− S() 1, jB ∈.
Poklademo xk n(,)⋅ = wk
n () 2.
ZauvaΩennq 1. Poznaçymo pravylo, za qkym systemi wk {; knn =−} , sta-
vyt\sq u vidpovidnist\ systema xk n(,)⋅ {; knn =−} ,, çerez Fn
nj. Todi Fn
nj —
vymirne vidobraΩennq prostoru (,) Cnn B v (,) Cnn B, de Cn = fC ∈[] ( {01,,
R
210 n
nn fxx +
− )=…} :()(,,) i Bn = BC0121 ,, [] () () + Rn ∩ Cn.
Navedemo odnu vlastyvist\ vidobraΩennq Fn
nj, n∈N, z qko] bude vyplyva-
ty isnuvannq hranyci poslidovnosti xk nnk (,)⋅ {}≥, k∈Z, pry n → + ∞.
Lema 1. Nexaj fk k;∈ {}Z ⊂ C01, [] i fk() 0 = xk. Poznaçymo
ggFff n
n
n
n
n
n
nn
j
−− … ()=… () ()() ,,,,, n∈N.
1. Qkwo dlq deqkoho m∈N isnugt\ C > 0 i δ > 0 taki, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
94V. V. KONAROVS|KYJ
maxmax();,;,,,
, t
kij ftknnimjm
∈[]
∈+==− {
01
1001}}
< C,
min()
, t
nftC
m ∈[]+>+
01
1δ,
to dlq dovil\nyx lnm > i klnm =−,
max()max()
,
()
,
()
t
k
l
tn
l gtgt
m ∈[]∈[]
≤
0101
< C, min()
,
()
tn
l gtC
m ∈[]+>+
011δ.
2. Qkwo dlq deqkoho −∈ mN isnugt\ C < 0 i δ < 0 taki, wo
minmin();,;,,,
, t
kij ftknnimjm
∈[]
∈+=+= {
01
1100}}
> C,
max()
, t
nftC
m ∈[]
<+
01
δ,
to dlq dovil\nyx lnm >− i knl m =+1,
min()min()
,
()
,
()
t
k
l
tn
l gtgt
m ∈[]∈[]+ ≥
01011 > C, max()
,
()
tn
l gtC
m ∈[]
<+
01
δ.
Dovedennq bezposeredn\o vyplyva[ iz konstrukci] vidobraΩen\ Fn
nj, n∈N.
Dlq koΩnoho k∈Z pokaΩemo, wo isnu[ hranycq poslidovnosti
xk nnk (,)⋅ {}≥, i viz\memo ]] v qkosti xk(,)⋅. Dlq c\oho sformulg[mo dopomiΩnu
lemu.
Lema 2. Nexaj wk k;∈ {} N — sukupnist\ nezaleΩnyx standartnyx vine-
rivs\kyx procesiv, poslidovnosti dijsnyx çysel yk k;∈ {} N ta bk k;∈ {} N
taki, wo:
1) yy kk <+1 ∀∈kN;
2) isnu[ δ > 0 take, wo dlq bud\-qkoho k∈N bk≥δ, yy kk +− 1 ≥ δ.
Poznaçymo
ξk
t
k
k
k y
b
wt =
∈[]
+
max()
, 01
1
,
ηk
t
k
k
k y
b
wt =
∈[]
+
min()
, 01
1
.
Todi dlq dovil\noho δ
δ
10
2
∈
,
Plimmax,
, nkn
knnn yy
→∞=
+ ≤+>++
1
11
22
ξ
δ
η
δ
δ
=1.
Iz lem 1, 2 vyplyva[, wo dlq dovil\noho k∈Z
PN ∃∈∀≥⋅=⋅ {}= NnNxkxk nN :(,)(,)1,
tobto dlq koΩnoho ciloho k poslidovnist\ xk nnk (,)⋅ {}≥ stabilizu[t\sq z imo-
virnistg 1. V qkosti xk(,)⋅ vizmemo hranycg xk nnk (,)⋅ {}≥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY95
Dali, z konstrukci] xk n(,)⋅ vydno, wo
xktx
dws
mks
nk
k
n
n
t
(,)
()
(,)
()
=+∫
$
0
,
de
$wk
n() {; knn =−} , — sukupnist\ standartnyx vinerivs\kyx procesiv takyx,
wo
$$ wwt l
n
k
n
ttlk
n
lk
n
()()
,
() ,
,
() =− () ≥ {} Iττ,
τlk
n
nn txltxkt ,
()inf:(,)(,) == {}.
Qk i dlq poslidovnosti xk nnk (,)⋅ {}≥, moΩna vstanovyty rivnist\
PN ∃∈∀≥= {}= NnNww k
n
k
N :()() $$1.
Viz\memo v qkosti $w hranycg poslidovnosti
$wk
n
nk
() {}≥
.
Zrozumilo, wo $wk k;∈ {}Z — sukupnist\ standartnyx vinerivs\kyx procesiv
takyx, wo
$$ wwt lkttlk lk
,
,, =− () ≥ {} Iττ.
Krim toho,
xktx
dws
mks
k
k
t
(,)
()
(,)
=+∫
$
0
.
Zvidsy vyplyva[, wo systema xkt (,) {; k∈Z, t∈[]} 01, zadovol\nq[ umo-
vy 1 – 5.
Çerez xkt T(,) {; k∈Z, tT ∈[]} 0, poznaçymo sukupnist\ procesiv, pobudo-
vanu takym Ωe sposobom, qk i systema xkt (,) {; k∈Z, t∈[]} 01,. ZauvaΩymo,
wo
xktxkt TT 12 (,)(,) = ∀∈kZ, tTT ≤∧ 12.
Zvidsy vyplyva[, wo xk(,)⋅ moΩna prodovΩyty z 01, [] na R+.
Dovedemo druhu çastynu teoremy 2. Nexaj ykt (,) {; k∈Z, t≥}0 zadovol\-
nq[ umovy 1 – 5, todi za teoremog Duba [6] isnu[ sukupnist\ vinerivs\kyx proce-
siv ′∈ {} wk k;Z taka, wo
yktx
dws
mks
k
k
t
(,)
()
(,)
=+′
∫
0
i
′′=− () ≥ {} wwt lkttlk lk
,
,, Iττ.
Oçevydno, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
96V. V. KONAROVS|KYJ
xltxkttlt
(,)(,)
,
− ()= ≥ {} Iτ0.
Dali iz systemy ′∈ {} wk k;Z moΩna pobuduvaty sukupnist\ standartnyx neza-
leΩnyx vinerivs\kyx procesiv wk k;∈ {}Z takyx, wo
ykyk
n
n (,)lim(,) ⋅=⋅
→∞
,
de
ynynFww nnn
n
nn
j −⋅ ()…⋅ () ()=… () {}
− ,,,,,,.
Druhu çastynu teoremy dovedeno.
2. Stacionarni toçkovi miry. U danomu punkti doslidymo deqki vlastyvos-
ti stacionarnyx toçkovyx mir. Detal\nyj opys c\oho ob’[ktu moΩna znajty, na-
pryklad, u [7].
Oznaçennq 1. Toçkovog mirog na R nazyvatymemo miru µ = akx kIk
δ
∈ ∑,
de ak>0, xk∈R, xx lk ≠ pry lk ≠ i I⊆Z.
Porqd z µ budemo rozhlqdaty miru µ∗ = δx kIk ∈ ∑.
Nexaj N — mnoΩyna takyx toçkovyx mir µ na R, wo µ∗<∞ () B dlq do-
vil\no] obmeΩeno] mnoΩyny B∈B() R.
Oznaçennq 2. Stacionarnog toçkovog mirog µ na R nazyvatymemo vid-
obraΩennq
µ:() BRR ×→∞{} + Ω∪,
qke ma[ nastupni vlastyvosti:
1) dlq bud\-qkoho B∈B() R µ(,) B⋅ — vypadkova velyçyna;
2) µω (,) ⋅∈N ∀∈ ωΩ;
3) dlq bud\-qkyx BBn 1,, … ∈ B() R i h∈R
µµµµ (),,()(),,() BBBhBh nn 11 … ()=+…+ () d.
ZauvaΩennq 2. V oznaçenni 2 umova 3 ekvivalentna umovi:
′ 3) dlq dovil\nyx neperetynnyx napivvidkrytyx intervaliv BBn 1,, … ∈
∈ B() R i dlq dovil\noho h∈R ma[ misce
µµµµ (),,()(),,() BBBhBh nn 11 … ()=+…+ () d.
Navedemo pryklady stacionarnyx mir.
1. Nexaj xuu (,); ⋅∈ {}R — potik Arrat\q. Viz\memo µλ tt BB ()() =, de
Bt = u{ : x (u, t) ∈ B} i λ — mira Lebeha na R. Todi µt — stacionarna toçkova
mira.
Dovedennq toho, wo µt zadovol\nq[ umovy 1, 2 oznaçennq 2, moΩna znajty,
napryklad, u [8]. Perevirymo vykonannq umovy 3.
Nexaj xut (,) {; u∈R, t≥}0 — potik Arrat\q. Todi dlq dovil\noho h
yut (,) {; u∈R, t≥}0 takoΩ potik Arrat\q, de yut (,) = x (u – h, t) + h.
Viz\memo BBn 1,, … ∈ B() R i rozhlqnemo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY97
µµ ttn BB (),,() 1… () = λλ uxutBuxutBn :(,),,:(,) ∈ {}…∈ {} () 1 =
= λλ uxuthBhuxuthBh n :(,),,:(,) +∈+ {}…+∈+ {} () 1 =
= λλ uyuhtBhuyuhtBh n :(,),,:(,) +∈+ {}…+∈+ {} () 1 =
= λλ uhyutBhuhyutBh n −∈+ {}…−∈+ {} () :(,),,:(,) 1 =
= λλ uyutBhuyutBh n :(,),,:(,) ∈+ {}…∈+ {} () 1 =d
=d µµ ttn BhBh (),,() 1+…+ ().
2. Nexaj µ — mira, qka zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) µ() B — puassonivs\ka vypadkova velyçyna z intensyvnistg λ() B;
2) vypadkovi velyçyny µµ (),,() BBn 1… nezaleΩni v sukupnosti dlq dovil\-
no] neperetynno] systemy mnoΩyn B1, … , Bn∈B() R.
Todi µ — stacionarna mira. (Isnuvannq miry z danymy vlastyvostqmy vsta-
novleno, napryklad, u [9].)
Dali dovedemo lemu, z qko] bude vyplyvaty isnuvannq sukupnosti çastynok iz
sklegvannqm zminno] masy, rozpodilom masy u poçatkovyj moment qkyx [ stacio-
narna mira.
Lema 3. Nexaj µ = akx kIk
δ
∈ ∑ — stacionarna toçkova mira taka, wo
µ≠0 majΩe napevno, dlq dovil\nyx l, k ∈ I z toho, wo l < k i l ≤ i ≤ k,
vyplyva[ xx lk < ta i ∈ I. Todi z imovirnistg 1 I=Z i poslidovnosti
xk k;∈ {}Z ta ak k;∈ {}Z zadovol\nqgt\ umovy 1", 2" teoremy 2.
Dovedennq. Nexaj
Cmnmn n
m(),() =+ [) 1.
Rozhlqnemo
XnC N
m
n
m
a
N kxC
C
k
kn
mn
m
()()
:
()
()
( =()
≥ {} ∈
∏∗ µµ II 1)) ()> {}1.
Xn N
m()() moΩna zapysaty u vyhlqdi
Xn N
m()() =
lim
() () k
G GkCn
m →∞>
> {} ∈() ∑
I
Iµ01 A
×
×
µ
µµ ()
()()
() G
GC
G
N
G
kn
m ∈()≥ {}= { ∑
+
A
II 10}}
∈()
∏
GC kn
m A()
,
de Akab , [) () — skinçenne vkladene rozbyttq ab , [) vidkrytymy sprava pivin-
tervalamy, take, wo
max
, Aab k
A
∈[) ()
→
A
diam0 pry k → ∞.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
98V. V. KONAROVS|KYJ
Zvidsy lehko baçyty, wo XN
m() — stacionarnyj proces u vuz\komu rozuminni.
Z XN
m() utvorymo novyj stacionarnyj proces
YnXn N
m
N
m
XnN N
m
()()
()
()()() =≤ {} I.
Dali, oskil\ky EYn N
m()()<∞, to za teoremog Birkhofa – Xinçyna [10]
lim() ()
KMN
m
nM
K
KM
Yn
−→∞=+ −∑ 1
1
=
EYn N
m
YN
m
()()() S (),
de
SS
YN
m
N
mY ()
()() =()−1
, SB =∈= {} ∞− BTBB ():() R1
i T — operator zsuvu v R∞.
Poznaçymo ξN
m() =
EYn N
m
YN
m
()()() S () i rozhlqnemo BN
m() = ξN
m()= {}0 ta
AB N
m
N
m ()() \ =Ω.
Oskil\ky na AN
m() isnu[ poslidovnist\ cilyx çysel nj j;∈ {}Z taka, wo
N ≥ Yn N
m
j
()() ≥
1
N
, to z konstrukci] YN
m() vydno, wo umovy 1", 2" teoremy 2 na
AN
m() vykonugt\sq.
PokaΩemo, wo
PAN
m
mN
()
,=
∞
=
1
1 ∪,
a ce rivnosyl\no tomu, wo
PBN
m
mN
()
,=
∞
=
1
0 ∩.
Nexaj ce ne tak. Rozhlqnemo
Ynd N
m
BN
m
()()()
()
Pω ∫ =
ξω N
m
B
nd
N
m
()()()
()
P ∫ = 0.
Zvidsy Yn N
n()() = 0 na BN
m(). OtΩe, Yn N
m()() = 0 dlq dovil\nyx n, m i N na
BN
m
mN
()
,=
∞
1 ∩. A ce oznaça[, wo abo na R+, abo na R− [ rivno odna toçka, u
qkij zoseredΩena mira µ na ( BN
m
mN
()
,=
∞) 1 ∩.
Viz\memo
Ynnn (), =+ [) () ∗ µ1, n∈Z.
Zhidno z zauvaΩennqm, navedenym vywe, znajdut\sq α > 0 i n∈Z taki, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY99
α===≠ {} PYnYmnm (),(), 10.
Oskil\ky µ — stacionarna mira, to µ∗ takoΩ stacionarna, a otΩe, Y — sta-
cionarnyj proces u vuz\komu rozuminni. Zvidsy
α===≠ {} PYnYmnm (),(), 10 =
=
lim(),,(),,()
m
YmYnYm
→∞
−=…=…= {} P010 =
=
lim(),,(),,()
m
YmYnYm
→∞
−+=…+=…+= {} P101110 =
= PYnYmnm (),(), +=+=≠ {} 1110,
wo nemoΩlyvo. Otrymaly supereçnist\ z prypuwennqm, wo j dovodyt\ lemu.
3. Vypadok stacionarno] miry. Dovedennq teoremy 1. Nexaj µ — sta-
cionarna toçkova mira, zadana na jmovirnisnomu prostori (,,) ′′′ ΩFP. Viz\memo
na deqkomu inßomu jmovirnisnomu prostori (,) ′′′′′′ ΩF,P zliçennu sukupnist\
nezaleΩnyx vinerivs\kyx procesiv wk k;∈ {}Z. Dlq koΩnoho fiksovanoho
′∈′ ωΩ za lemog 3 poslidovnosti xk k(); ′∈ {} ωZ ta ak k(); ′∈ {} ωZ zadovol\-
nqgt\ umovy 1", 2" teoremy 2. Za ci[g Ω teoremog isnu[ sukupnist\ procesiv
iz sklegvannqm z poçatkovym rozpodilom µω()′ = a
kxk
()() ′ ∈′ ∑ωδω Z. Pozna-
çymo ]] çerez X = xkt (,,,) ′′′ {ωω; k∈Z, t≥}0. PokaΩemo, wo systema X [
ßukanog.
Qk i v p. 1, moΩna pokazaty, wo xk(,)⋅ — vypadkovyj proces dlq dovil\noho
k∈Z. Perevirymo, wo xkxk (,)⋅− — kvadratyçno intehrovnyj lokal\nyj
martynhal.
Nexaj
σn
k
k txktxnn ()inf:(,) =−≥ {}∧.
Oskil\ky xk(,)⋅ – xk — neperervnyj proces, uzhodΩenyj z () Ft = σ(ak (,
xk, ws k(); s ≤ t, k∈) Z), to σn
k() — markovs\kyj moment vidnosno () Ftt≥0. Za
teoremog pro peretvorennq vil\noho vyboru [11] dlq dovil\noho ′∈′ ωΩ xk(,
∧ σω n
k(),′) – xk()′ ω — kvadratyçno intehrovnyj martynhal z xarakterystykog
xkxkt (,,)() ⋅′−′ ωω =
ds
mks
tn
k
(,,)
()()
′
∧′
∫ω
σω
0
.
PokaΩemo, wo xkn
k ,() ⋅∧ () σ – xk — kvadratyçno intehrovnyj martynhal na
′ Ω × ′′ Ω. Dlq c\oho dostatn\o pereviryty, wo
xktxd n
k
k
AA
,() ∧ ()− ()′⊗′′
′×′′
∫σPP =
xksxd n
k
k
AA
,() ∧ ()− ()′⊗′′
′×′′
∫σPP,
de s ≤ t, ′ A ∈ σaxk kk ,;∈ {}Z i ′′ A ∈ σwrrs k();≤ {}.
OtΩe,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
100V. V. KONAROVS|KYJ
xktxd n
k
k
AA
,() ∧ ()− ()′⊗′′
′×′′
∫σPP =
dxktxd
A
n
k
k
A
′∧ ()− ()′′
′′′
∫∫ PP ,() σ =
=
dxksxd
A
n
k
k
A
′∧ ()− ()′′
′′′
∫∫ PP ,() σ =
xksxd n
k
k
AA
,() ∧ ()− ()′⊗′′
′×′′
∫σPP.
Dali rozhlqnemo
Mktxktx
ds
mks
nn
k
k
tn
k
(,),
(,)
()
()
=∧ ()− ()−
∧
σ
σ
2
0
∫∫.
Provodqçy analohiçni mirkuvannq dlq Mn, perekonu[mosq, wo Mn —
kvadratyçno intehrovnyj martynhal. Zvidsy za teoremog Duba – Mej[ra [6]
xkx
ds
mks
kt
tn
k
(,)
(,)
()
⋅−=
∧
∫
0
σ
.
Zalyßylosq pokazaty, wo
xlxxkx lkttlk
(,),(,)
,
⋅−⋅−= < {} Iτ0.
Poznaçymo
ττσσ nlkn
l
n
k =∧∧ ,
()().
Viz\memo
Mtxltxxktx nnlnk (),, =∧ ()− ()∧ ()− () ττ.
Lehko baçyty, wo Mn — kvadratyçno intehrovnyj martynhal. Za teoremog
Duba – Mej[ra
xltxxktx n
l
n
k
ln
l
n
k ,, ()()()() ∧∧ ()− ()∧∧ ()− σσσσkk () =
= Mtxlxxk nn
l
n
k
ln
l
n
&(),,, ()()()( +⋅∧∧ ()−⋅∧∧ σσσσkk
k
t
x ) ()−.
Pidstavymo v ostanng rivnist\ zamist\ t tlk ∧τ,:
xltxxktx nlnk ,, ∧ ()− ()∧ ()− () ττ =
= Mtxlxxk nnn
l
n
k
ln
l &(),,, ()()() ∧+⋅∧∧ ()−⋅∧∧ τσσσσσ
τ n
k
k
t
x
n
() ()−
∧
.
Za teoremog pro peretvorennq vil\noho vyboru Mnn
&() ⋅∧τ — martynhal, a ot-
Ωe, Mn = Mnn
&() ⋅∧τ. Zvidsy
xlxxkx n
l
n
k
ln
l
n
k
k ,,, ()()()() ⋅∧∧ ()−⋅∧∧ ()− σσσσ
ttn ∧τ
= 0.
Todi
xlxxkx lktn
(,),(,) ⋅−⋅−∧τ = 0.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY101
ZauvaΩennq 3. Za druhog çastynog teoremy 2 rozpodil pobudovano] sukup-
nosti procesiv …−⋅ (,(,) xn, … , xn(,), ⋅…) ne zaleΩyt\ vid vyboru systemy vi-
nerivs\kyx procesiv wk k;∈ {}Z.
Dovedemo, wo rozpodil procesiv …−⋅ (,(,) xn, … , xn(,), ⋅…) zaleΩyt\ ly-
ße vid rozpodilu stacionarno] miry µ . Nexaj miry µ ta ν zadovol\nqgt\ umo-
vy teoremy 1 i taki, wo µν =d, tobto dlq dovil\noho naboru borelivs\kyx mno-
Ωyn BBn 1,, …
µµνν (),,()(),,() BBBB nn 11 … ()=… () d.
Pobudu[mo, qk i v ostann\omu dovedenni, systemy procesiv xkt (,) {; k∈Z,
t≥}0 i ykt (,) {; k∈Z, t≥}0, dlq qkyx µ ta ν — poçatkovi rozpodily vidpo-
vidno. Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema 3. Vypadkovi elementy …−⋅…⋅… () ,(,),,(,), xnxn i …(−⋅ ,(,) yn, …
… , yn(,), ⋅…) odnakovo rozpodileni.
Dovedennq. Vykorysta[mo poznaçennq z dovedennq teoremy 1. Dostatn\o
pokazaty [12], wo majΩe dlq koΩnoho fiksovnoho ′′ ω rozpodily
…−⋅′′…⋅′′… () ,(,,),,(,,), xnxn ωω ta …−⋅′′…⋅′′… () ,(,,),(,,), , ynyn ωω zbi-
hagt\sq. Dlq dovedennq c\oho dostatn\o vstanovyty isnuvannq poslidovnosti
sukupnosti procesiv xkt mj
(,) {; kmm jj ∈−,, tT
j
∈[]}≥
0
0
, i ykt mj
(,) {;
kmm jj ∈−,, tT
j
∈[]}≥
0
0
,, qki zadovol\nqgt\ nastupni umovy (pry
fyksovanomu ′′ ω):
1) xm mj j
(,) −⋅ (, … , xm mj j
(,)⋅) ta ym mj j
(,) −⋅ (, … , ym mj j
(,)⋅) odnakovo
rozpodileni u prostori C0,T
mj [] () () (,
BC0,T
mj [] () () ());
2) dlq bud\-qkyx kkm 1,, … ∈ Z
xkxk mmm jj
(,),,(,) 1⋅…⋅ () → xkxkm (,),,(,) 1⋅…⋅ (),
ykyk mmm jj
(,),,(,) 1⋅…⋅ () → ykykm (,),,(,) 1⋅…⋅ () pry j → ∞
u rivnomirnij topolohi] prostoru C0,T
m [] () ().
Dlq koΩnoho n∈N pobudu[mo sukupnist\ procesiv xkt nn 2(,) {; k =
= −nn nn 22 ,, tT ∈[]} 0, z systemy neperervnyx funkcij wk k(); ′′∈ {} ωZ. Tut
wk k;∈ {}Z — sukupnist\ nezaleΩnyx standartnyx vinerivs\kyx procesiv, z qko]
pobudovano xkt (,) {; k∈Z, t≥}0 i ykt (,) {; k∈Z, t≥}0. Vvedemo pozna-
çennq
∆k
n
nn
kk
=
+
2
1
2
,,
ak
n
k
n $()
=() µ∆,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
102V. V. KONAROVS|KYJ
x
k
k
n
n
$()
=
2
, knn nn =−22 ,.
Dali vyluçymo z mnoΩyn
ak
n $() {; k = −} nn nn 22 , ta
xk
n $() {; k = −} nn nn 22 , ti no-
mery k, dlq qkyx ak
n $()
= 0, i qkwo pislq c\oho zalyßylas\ parna kil\kist\
elementiv, to we vyluçymo najbil\ßyj nomer. Perepoznaçyvßy elementy, qki
zalyßylys\, otryma[mo poslidovnosti ak
n() {; k = −} ll , i xk
n() {; k = −} ll ,. Dlq
zruçnosti viz\memo
ak
n()=1, knnll nn ∈−… {}−… {} 22 ,,\,,,
xx i
n
i
n ()() =+ −11, ilnn =+12 ,,
xx j
n
j
n ()() =− +11, jnl n =−−− 21 ,.
Z poslidovnostej ak
n() {; k = −} nn nn 22 ,, xk
n() {; k = −} nn nn 22 , i wk() ′′ {ω;
k∈} Z, qk i pry dovedenni teoremy 2, pobudu[mo xkt nn 2(,) {; k = −nn nn 22 ,,
tT ∈[]} 0,. Tobto viz\memo
xnxn n
n
n
n
nn 22 22 −⋅ ()…⋅ () () ,,,, = Fww
n
n
nn n
j
nn
222 (),,() ′′…′′ () ωω,
de F
n
n
n
j
2
— vidobraΩennq, pobudovane v teoremi 2.
Analohiçno pobudu[mo sukupnist\ procesiv ykt nn 2(,) {; k = −nn nn 22 ,,
tT ∈[]} 0,.
Oskil\ky
µµνν ∆∆∆∆ −− ()…() ()=()…() () n
n
n
n
n
n
n
n ,,,,
d ∀∈nN,
to umova 1 vykonu[t\sq.
ZauvaΩymo, wo za lemamy 2 i 3 dlq dostatn\o velykyx nomeriv n znajdet\sq
N take, wo xk nn 21,⋅ () (, … , xk nm n 2,⋅ ()) zaleΩyt\ lyße vid naboriv wk() ′′ {ω;
k = −} NN,, ak
n() {; k = −} NN, ta xk
n() {; k = −} NN,. Dali, oskil\ky na koΩ-
nomu vidrizku mira µ ma[ skinçennu kil\kist\ atomiv i dlq pobudovy xkt nn 2(,) {;
k = −nn nn 22 ,, tT ∈[]} 0, my vykorystovuvaly vinerivs\ki tra[ktori], to po-
slidovnist\ xk nn 21,⋅ () (, … , xk nm n 2,⋅ ()) bude zbihatys\ do xk1,⋅ () (, … , xkm,⋅ ())
pry n → ∞.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 1. Dlq dovil\noho t ≥ 0 mira µt = akxkt k
δ(,) ∈ ∑Z [ stacionar-
nog.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
SYSTEMA DYFUZIJNYX ÇASTYNOK IZ SKLEGVANNQM ZMINNO} MASY103
Z naslidku vydno, wo jmovirnisnyj rozpodil miry µt ne zaleΩyt\ vid zsuvu
na dovil\ne çyslo h∈R, tobto µt =d µth () ⋅+.
Avtor vyslovlg[ podqku profesoru Dorohovcevu A. A. za postavlenu zada-
çu i dopomohu v napysanni statti.
1.Arratia R. A. Brownian motion on the line: PhD dissertation. – Wiskonsin, Madison, 1979.
2.Le Jan Y., Raimond O. Flows, coalescence and noise // Ann. Probab. – 2004. – 32, # 2. – P. 1247 –
1315.
3.Weinan E., Rykov Yu. G., Sinai Ya. G. Generalized variational principles, global weak solutions and
behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dyna-
mics // Communs Math. Phys. – 1996. – 177. – P. 349 – 380.
4.Dorogovtsev A. A. One Brownian stochastic flow // Theory Stochast. Process. – 2004. – 10, # 3 –
4. – P. 21 – 25.
5.Malyshev V., Manita A. Asymptotic behaviour in the time synchronization model // Adv. Math. Sci.
– 2006. – 217. – P. 101 – 115.
6.Lypcer R. Í., Íyrqev A. N. Statystyka sluçajn¥x processov. – M.: Nauka, 1974. – 696 s.
7.Kerstan J., Mattes K., Mekke J. Bezhranyçno delym¥e toçeçn¥e process¥: Per. s anhl. –
M.: Nauka, 1982. – 392 s.
8.Dorohovcev A. A. Meroznaçn¥e process¥ y stoxastyçeskye potoky. – Kyev: Yn-t matematy-
ky NAN Ukrayn¥, 2007. – 289 s.
9.Kurtz T. Lectures on stochastic analysis. – Madison: Univ. Wisconsin, 2001.
10.Bulynskyj A. V., Íyrqev A. N. Teoryq sluçajn¥x processov. – M.: Fyzmatlyt, 2005. – 408 s.
11.Vatanabe S., Ykeda N. Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq y dyffuzyonn¥e
process¥ / Pod red. A. N. Íyrqeva: Per. s anhl. – M.: Nauka, 1986. – 448 s.
12.Xalmoß P. Teoryq mer¥. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1953. – 292 s.
OderΩano 06.05.09,
pislq doopracgvannq — 25.09.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1
|