Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости

Одержано точну за порядком оцінку найкращого m-членного тригонометричного наближення класів Бесова Brp,θ в періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі Lq,1<p≤2<q<∞....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Стасюк, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164738
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 104–111. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164738
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1647382020-02-11T01:26:22Z Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости Стасюк, С.А. Статті Одержано точну за порядком оцінку найкращого m-членного тригонометричного наближення класів Бесова Brp,θ в періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі Lq,1<p≤2<q<∞. We obtain an exact-order estimate for the best m-term trigonometric approximation of the Besov classes Brp,θ of periodic functions of many variables of low smoothness in the space L q , 1 < p ≤ 2 < q < ∞. 2010 Article Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 104–111. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164738 517.51 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Стасюк, С.А. Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости Український математичний журнал
description	Одержано точну за порядком оцінку найкращого m-членного тригонометричного наближення класів Бесова Brp,θ в періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі Lq,1<p≤2<q<∞.
format	Article
author	Стасюк, С.А.
author_facet	Стасюк, С.А.
author_sort	Стасюк, С.А.
title	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости
title_short	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости
title_full	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости
title_fullStr	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости
title_full_unstemmed	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости
title_sort	наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов brp,θ функций малой гладкости
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164738
citation_txt	Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 104–111. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT stasûksa nailučšeemčlennoetrigonometričeskoepribliženieklassovbrpthfunkcijmalojgladkosti
first_indexed	2025-07-14T17:19:57Z
last_indexed	2025-07-14T17:19:57Z
_version_	1837643699100581888
fulltext	UDK 517.51 S. A. Stasgk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) NAYLUÇÍEE m-ÇLENNOE TRYHONOMETRYÇESKOE PRYBLYÛENYE KLASSOV Bp r ,θθ FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY We obtain an exact-order estimate of the best m-term trigonometric approximation of the Besov classes Bp r ,θ of periodic multivariable functions of low smoothness in the space Lq, 1 < p ≤ 2 < q < ∞. OderΩano toçnu za porqdkom ocinku najkrawoho m-çlennoho tryhonometryçnoho nablyΩennq klasiv B[sova Bp r ,θ periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx malo] hladkosti u prostori Lq, 1 < < p ≤ 2 < q < ∞. V nastoqwej rabote yssleduetsq nayluçßee m-çlennoe tryhonometryçeskoe pryblyΩenye klassov Besova Bp r ,θ peryodyçeskyx funkcyj d peremenn¥x v prostranstve Lq, 1 < p ≤ 2 < q < ∞, pry d pq 11 −     < r < d p . Ustanovlennaq toçnaq po porqdku ocenka ukazannoj velyçyn¥ dopolnqet rezul\tat¥, polu- çenn¥e R. A. DeVorom y V. N. Temlqkov¥m [1]. Bolee podrobno ob πtom budet ydty reç\ v kommentaryqx k rezul\tatu rabot¥, a snaçala pryvedem neobxody- m¥e oboznaçenyq y opredelenyq. Pust\ Rd, d ≥ 1, oboznaçaet d-mernoe prostranstvo s πlementamy x = = (,,) xxd 1… y Lpd () π, 1 ≤ p ≤ ∞, πd = −[] = ∏ππ; j d 1 , — prostranstvo 2π- peryodyçeskyx po kaΩdoj peremennoj funkcyj fx() = fxxd (,,) 1…, dlq ko- tor¥x fffx p xd ==<∞ ∞ ∈ esssup() π , 1 ≤ p < ∞. Dlq fLd ∈1() π y s∈+ Z oboznaçym fxf 00 ()() =", fxfke s k ikx s j s kjjd ()() max (,) ,, = − ∈= ≤< ∑" 22 1 1 Z , s = 1, 2, … , hde (,) kx = kx11 + … + kxdd, a fkftedt dikt d "()()()(,) =−− ∫ 2π π — koπffycyent¥ Fur\e funkcyy f. PreΩde çem pryvesty opredelenye rassmatryvaem¥x klassov funkcyj sde- laem sledugwee zameçanye. V posledugwyx rassuΩdenyqx m¥ budem yspol\zo- vat\ opredelenyq klassov Bp r ,θ, 1 ≤ θ < ∞, y HB p r p r ≡∞, v tak naz¥vaemom de- kompozycyonnom vyde. S toçnost\g do absolgtn¥x postoqnn¥x πty opredele- nyq πkvyvalentn¥ ysxodn¥m, kotor¥e dan¥ v [2] y [3] sootvetstvenno dlq klas- sov Bp r ,θ y Hp r. © S. A. STASGK, 2010 104ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 NAYLUÇÍEE m-ÇLENNOE TRYHONOMETRYÇESKOE PRYBLYÛENYE …105 Ytak, v prynqt¥x oboznaçenyqx klass¥ Bp r ,θ, 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, r > 0, moΩno opredelyt\ sledugwym obrazom (sm., naprymer, [4]): Bfff p r B rs sp s p r , / :() , θ θθ θ θ ==⋅      ≤  ∈+ ∑21 1 Z        , 1 ≤ θ < ∞,(1) Bfff p r B s rs sp p r ,:sup() , ∞ ∈ ==⋅≤       ∞ + Z 21, θ = ∞.(2) Kak otmeçalos\ v¥ße, BH p r p r ,∞≡, hde Hp r — yzvestn¥e klass¥ S. M. Ny- kol\skoho [3]. Otmetym, çto s toçky zrenyq ocenok nekotor¥x approksymatyv- n¥x xarakterystyk klass¥ Bp r ,θ y Hp r yssledovalys\ v rabotax [1] y [5 – 8], v kotor¥x moΩno oznakomyt\sq s sootvetstvugwej byblyohrafyej. Pust\ Θm — nabor yz m d-mern¥x celoçyslenn¥x vektorov, t. e. Θm = = nk { = (,,) nn kkd 1 …, nk d ∈Z, km =} 1,. PoloΩym Pxce mn inx k m k k (,)(,) Θ= = ∑ 1 y dlq fLqd ∈() π rassmotrym velyçynu σmq P mq ffP mm ()infinf()(,) (,) =⋅−⋅ ⋅ ΘΘ Θ, kotorug naz¥vagt nayluçßym m-çlenn¥m tryhonometryçeskym pryblyΩenyem funkcyy f. Dlq funkcyonal\noho klassa FLqd ⊂() π polahaem σσ mq fF mq Ff ()sup() = ∈ .(3) Velyçyna σmf ()2 dlq funkcyj odnoj peremennoj b¥la vvedena S. B. Steçkyn¥m [9] pry formulyrovke kryteryq absolgtnoj sxodymosty orto- honal\n¥x rqdov. Perv¥e ocenky velyçyn¥ σmf ()∞ dlq nekotor¥x konkret- n¥x funkcyj b¥ly poluçen¥ R. S. Ysmahylov¥m [10]. Neskol\ko pozΩe yssle- dovanyq velyçyn σmq F() dlq tex yly yn¥x funkcyonal\n¥x klassov provo- dylys\ v rabotax mnohyx avtorov (sm., naprymer, [1, 11 – 17]), hde moΩno oznako- myt\sq s bolee podrobnoj ynformacyej po dannomu voprosu. Sformulyruem nekotor¥e utverΩdenyq, neobxodym¥e dlq dal\nejßeho yz- loΩenyq. Teorema A [4]. Pust\ zadano p∈∞ (,) 1. Suwestvugt poloΩytel\n¥e kon- stant¥ Cp 1() y Cp 2() takye, çto dlq kaΩdoj funkcyy fLpd ∈() π spra- vedlyva ocenka CpffCpf ps s p p 1 2 12 2 ()()() / ≤⋅      ≤ ∈+ ∑ Z .(4) Sootnoßenye (4) qvlqetsq analohom yzvestnoho utverΩdenyq Lyttlvuda – Pπly. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 106S. A. STASGK Teorema B [3]. Pust\ txce k ikx kn jj ()(,) = ≤ ∑, hde nj∈N, jd =1,, tohda pry 1 ≤ p < q ≤ ∞ ymeet mesto neravenstvo tnt q d j pq j d p ≤− = ∏211 1 //.(5) Neravenstvo (5) ustanovleno S. M. Nykol\skym y naz¥vaetsq „neravenstvom razn¥x metryk”. Lemma A [15]. Pust\ 2 < q < ∞. Tohda dlq lgboho tryhonometryçeskoho polynoma Px N (,) Θ y dlq lgboho M < N najdetsq tryhonometryçeskyj po- lynom Px M (,) Θ, dlq kotoroho ymeet mesto ocenka PPCqNMP NMqN (,)(,)()(,) ΘΘΘ ⋅−⋅≤⋅ −1 2, pryçem ΘΘ MN ⊂. Poluçenn¥e ocenky budem formulyrovat\ v termynax porqdkov¥x sootno- ßenyj. Esly dlq poloΩytel\n¥x funkcyj µµ 11 =() n, µµ 22 =() n natural\- noho arhumenta v¥polnqetsq neravenstvo µµ 112 ()() nCn ≤, hde C10 > — ne- kotoraq postoqnnaq, to πto sootnoßenye budem zapys¥vat\ v vyde µµ 12 ()() nn !. Esly Ωe ymegt mesto sootnoßenyq µµ 12 ()() nn ! y µ2() n ! ! µ1() n, to budem pysat\ µµ 12 ()() nn ". Otmetym, çto postoqnn¥e Cj, j = 1, 2, … , kotor¥e budut vstreçat\sq v rabote, mohut zavyset\ tol\ko ot paramet- rov, opredelqgwyx klass¥, metryky Lq y razmernosty prostranstva Rd. PreΩde çem perejty neposredstvenno k formulyrovke y dokazatel\stvu osnovnoho rezul\tata rabot¥ sdelaem sledugwye zameçanyq. Osnovnaq trudnost\ pry dokazatel\stve poluçennoho namy utverΩdenyq so- stoyt v ustanovlenyy ocenok sverxu velyçyn¥ σθ mp r q B() ,. Metod, razrabotan- n¥j R. A. DeVorom y V. N. Temlqkov¥m [1] dlq dokazatel\stva ocenok sverxu velyçyn¥ σθ mp r q B() ,, ne pozvolqet poluçyt\ sootvetstvugwye ocenky sverxu πtoj velyçyn¥ v sluçae maloj hladkosty. Poπtomu m¥ yspol\zuem metod, pred- loΩenn¥j ∏. S. Belynskym [14] v odnomernom sluçae pry yssledovanyy velyçyn nayluçßeho m-çlennoho tryhonometryçeskoho pryblyΩenyq klassov Bp r ,θ. Otmetym takΩe, çto poskol\ku v formulyruemom nyΩe utverΩdenyy para- metr θ prynymaet y predel\noe znaçenye θ = ∞, sohlasno prynqt¥m oboznaçe- nyqm v πtom utverΩdenyy soderΩytsq sootvetstvugwyj rezul\tat y dlq klas- sov S. M. Nykol\skoho Hp r. Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema. Pust\ 1 < p ≤ 2 < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞. Tohda pry d pq 11 −     < r < d p v¥polnqetsq porqdkovoe sootnoßenye σθ mp r q qr dpq Bm () ," −−+     2 11 .(6) Dokazatel\stvo. Poskol\ku pravaq çast\ (6) ne zavysyt ot θ, a pry 1 ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 NAYLUÇÍEE m-ÇLENNOE TRYHONOMETRYÇESKOE PRYBLYÛENYE …107 ≤ θ ≤ ∞ ymegt mesto vloΩenyq Bp r ,1 ⊂ Bp r ,θ ⊂ Bp r ,∞, ocenku sverxu v (6) budem ustanavlyvat\ dlq klassov Bp r ,∞, a snyzu — dlq klassov Bp r ,1. DokaΩem snaçala ocenku sverxu. Pust\ m — proyzvol\noe natural\noe çyslo, a n∈N takovo, çto 2dn < m ≤ 21 dn() +. Pust\ fBp r ∈∞,. Yzvestno [4], çto v πtom sluçae fxfx s s ()() = ∈+ ∑ Z ,(7) y pry πtom, kak vydno yz (2), fsp rs ()⋅≤−2.(8) PryblyΩagwyj polynom, dostavlqgwyj dlq f trebuemug ocenku prybly- Ωenyq, budem podbyrat\ v vyde PxfxPx msN nsqn s n s (,)()(,) / ΘΘ =+ ≤< = − ∑ ∑ 2 0 1 ,(9) hde polynom¥ Px Ns (,) Θ budut postroen¥ dlq kaΩdoho „bloka” fx s() soh- lasno lemme A, a çysla Ns podberem v vyde Ns nd s d p r qnd p r =    + −    −−     2221 2,(10) hde [] a — celaq çast\ çysla a. Ubedymsq, çto pry takom v¥bore çysel Ns polynom (9) soderΩyt po porqd- ku ne bol\ße, çem m harmonyk. Dejstvytel\no, #kkkkjd d s j s s n =…≤<= {} − = − ∑(,,):max,, 1 1 0 1 221 + + Ns nsqn ≤< ∑ /2 ! 2 2 1222 2 dndn qnd p rs d p r q n +−    + −−     −     ≤< ∑ nsqn/2 ! ! 2 2 1222 22 dndn qnd p r qnd p r q n +−    + −−     −     ! 2dnm ", hde #M oboznaçaet kolyçestvo πlementov mnoΩestva M. Takym obrazom, uçyt¥vaq razloΩenye (7), sohlasno (9), neravenstvu Myn- kovskoho, a takΩe teoreme A budem ymet\ fPfP mqsN nsqn s ()(,)()(,) / ⋅−⋅⋅−⋅      ≤< ∑ ΘΘ ! 2 2  12/ q + + fII s qnsq () / ⋅=+ ≤<∞ ∑ 2 12.(11) Dlq ocenky slahaemoho I2 vospol\zuemsq neravenstvamy Mynkovskoho, razn¥x metryk y (8). V rezul\tate poluçym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 108S. A. STASGK Iff sq qns ds pq sp qn 2 2 11 2 2 ≤⋅⋅ ≤<∞ −     ∑()() // ! ≤≤<∞ ∑ s ≤ ≤ 2 11 2 −−−         ≤<∞ ∑ srd pq qns / " 22 11 −−+     qdnr dpq " m qr dpq −−+     2 11 .(12) Çtob¥ ocenyt\ slahaemoe I1, vospol\zuemsq posledovatel\no neravenstvom Mynkovskoho, lemmoj A y neravenstvom razn¥x metryk. Podstavlqq vmesto Ns yx znaçenyq yz (10), ymeem IfP sN nsqnq s 1 2 22 12 =⋅−⋅ ≤< ∑()(,) // / Θ ≤ ≤ fP sNq nsqn s ()(, / / ⋅−⋅       ≤< ∑Θ2 2 12 ! ! 2 2 2 2 12 ds s s nsqnN f() / / ⋅       ≤< ∑ ! 222112 2 2 12 dsdsp s sp nsqnN f // / / () − () ≤< ⋅       ∑ ! ! 22 22 2 12 dsprs s nsqnN / / / − ≤< ∑       ≤ 222 24 2 −−    −     ≤< ∑    dnqnd p rs d p r nsqn/      12/ " " 222 244 −−     −     dnqnd p r qnd p r = 22 11 −−+     qdnr dpq " m qr dpq −−+     2 11 .(13) Takym obrazom, podstavlqq (12) y (13) v (11), poluçaem trebuemug ocenku sverxu dlq velyçyn¥ σθ mp r q B() ,. Perejdem k dokazatel\stvu v (6) ocenky snyzu. Dlq πtoho vospol\zuemsq dvojstvenn¥m sootnoßenyem, kotoroe v¥tekaet yz bolee obweho rezul\tata S. M. Nykol\skoho (sm., naprymer, [18, s. 25]) σ π mq PL P ffxPxdx m m q d ()infsup()() () = ∈ ≤ ⊥ ′ ∫ ΘΘ 1 ,(14) hde 11 qq + ′ = 1, a Lm ⊥() Θ — mnoΩestvo funkcyj, ortohonal\n¥x podprost- ranstvu tryhonometryçeskyx polynomov s „nomeramy” harmonyk yz mnoΩest- va Θm. Pust\ m — proyzvol\noe natural\noe çyslo, a n∈N, kak y pry ustanov- lenyy ocenky sverxu, v¥berem yz uslovyq 2dn < m ≤ 21 dn() +. Rassmotrym funkcyg Fxe qn ikx kj qn jd , (,) () / , = <[] = ∑ 22 1 ,(15) na osnovanyy kotoroj postroym funkcyg Px() yz (14). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 NAYLUÇÍEE m-ÇLENNOE TRYHONOMETRYÇESKOE PRYBLYÛENYE …109 Pust\ Θm — proyzvol\n¥j nabor yz m vektorov s celoçyslenn¥my koor- dynatamy. PoloΩym gxFxe qn ikx km ()() , (,) * =− ∈ ∑ Θ , hde eikx km (,) * ∈ ∑ Θ — polynom, soderΩawyj tol\ko te slahaem¥e funkcyy Fx qn,(), kotor¥e ymegt „nomera” yz Θm. Poskol\ku (sm., naprymer, [10]) eik k q j l jd (,) , ⋅ < = ∑ 2 1 " 2 1 1 dl q −    , 1 < q < ∞,(16) pry 1 < ′ q < 2 sohlasno (16) naxodym gF qqnq ′′ ≤, + eik km (,) ⋅ ∈ ∑ Θ2 ! 22 1 1 dqn q − ′     + + mdndndn "" 222 222 /// +. Otsgda sleduet, çto funkcyq Px 1() = Cee dnikxikx k km j qn j 2 2 2 2 2 1 − ∈ < −∑ [] = /(,)(,) / , Θ dd ∑         (17) s sootvetstvugwej postoqnnoj C20 > udovletvorqet uslovyqm, soderΩa- wymsq v (14). V kaçestve fx() yz (14) v¥berem funkcyg fxCFx pn qn r d p d qn ,, ()() = −−+     3 2 2, C30 >,(18) y pokaΩem, çto s nekotoroj postoqnnoj C30 > ona prynadleΩyt klassu Bp r ,1. Dejstvytel\no, ysxodq yz (1), (15) y (16), poluçaem fpnBp r , ,1 = 2 0 rs pnsp s f () , = ∞ ∑ ! 22 2 0 2 −−+     = [] ∑ qn r d p d rs qnsp s qn F() , / " " 222 2 1 1 0 2 −−+     −     = [] ∑ qn r d p d rs ds p s qn/ " 22 22 −−+     −+     qn r d p d qn r d p d = 1. Takym obrazom, podstavlqq (17) y (18) v (14), ymeem σmpnq f () , ≥ inf()() , Θm d fxPxdx pn1 π ∫ " 22 22 2 2 −−+    − − () qn r d p ddn qn Fm , " ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 110S. A. STASGK " 222 222 −−+    − qn r d p ddnqdn = 22 11 −−+     qdnr dpq " m qr dpq −−+     2 11 . Ocenka snyzu ustanovlena. Teorema dokazana. Prokommentyruem poluçenn¥j rezul\tat. V pervug oçered\ otmetym, çto v sluçae d = 1 sootnoßenye (6) dokazano ∏. S. Belynskym [14]. Krome toho, porqdok velyçyn¥ σθ mp r q B() ,, v çastnosty, pry 1 < p ≤ 2 < q < < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ y r d p > poluçen v rabote [1] y ymeet vyd σθ mp r q r dp Bm () ," −+− 11 2.(19) Takym obrazom, sopostavlqq (6) y (19), vydym otlyçye v ocenkax pryblyΩe- nyq velyçyn¥ σθ mp r q B() , pry perexode çerez tak naz¥vaem¥j krytyçeskyj po- kazatel\ hladkosty r d p =. Predstavlqetsq ynteresn¥m takΩe sravnenye poluçennoj namy ocenky dlq σθ mp r q B() , s nayluçßym m-çlenn¥m ortohonal\n¥m tryhonometryçeskym pry- blyΩenyem klassov Bp r ,θ. Napomnym opredelenye πtoj velyçyn¥ y sformuly- ruem sootvetstvugwyj rezul\tat. Pust\ Λm d ⊂Z — koneçnoe mnoΩestvo, soderΩawee m πlementov, t. e. #Λm = m. Dlq fLqd ∈() π, 1 ≤ q ≤ ∞, poloΩym Sfxfke m m ikx k Λ Λ (,)()(,) = ∈ ∑" y rassmotrym velyçynu effSf mqq m m ⊥=⋅−⋅ ()inf()(,) ΛΛ. Esly FLqd ⊂() π — nekotor¥j klass funkcyj, to polahaem eFef mq fF mq ⊥ ∈ ⊥ = ()sup(). Velyçynu eF mq ⊥() naz¥vagt nayluçßym m-çlenn¥m ortohonal\n¥m tryhono- metryçeskym pryblyΩenyem klassa F v prostranstve Lq. Zametym, çto soh- lasno opredelenyqm σmq F() y eF mq ⊥() svqzan¥ neravenstvom σmq F() ≤ ≤ eF mq ⊥(). V [7] poluçen sledugwyj rezul\tat. Teorema V. Pust\ 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, (,) pq ≠ (1, 1), (,) ∞∞. Tohda pry r > > d pq 11 −    + spravedlyvo sootnoßenye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1 NAYLUÇÍEE m-ÇLENNOE TRYHONOMETRYÇESKOE PRYBLYÛENYE …111 eBm mp r q r dpq ⊥ −+−    + () ,θ" 11 ,(20) hde aa +={} max;0. Takym obrazom, sopostavlqq (6) y (20), vydym, çto povedenye velyçyn σθ mp r q B() , y eB mp r q ⊥() ,θ (v sm¥sle yx porqdkov¥x znaçenyj) pry v¥polnenyy uslovyj dokazannoj teorem¥ razlyçno pry m → ∞. 1.De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. and Appl. – 1995. – 2, # 1. – P. 29 – 48. 2.Besov O. V. Yssledovanyq odnoho semejstva funkcyonal\n¥x prostranstv v svqzy s teore- mamy vloΩenyq y prodolΩenyq // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1961. – 60. – S. 42 – 61. 3.Nykol\skyj S. M. Neravenstva dlq cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny y yx prymenenye v teoryy dyfferencyruem¥x funkcyj mnohyx peremenn¥x // Tam Ωe. – 1951. – 38. – S. 244 – 278. 4.Lyzorkyn P. Y. Obobwenn¥e hel\derov¥ prostranstva Bp r , () θ y yx sootnoßenyq s prost- ranstvamy Soboleva Lp r() // Syb. mat. Ωurn. – 1968. – 9, # 5. – S. 1127 – 1152. 5.Temlyakov V. N. Greedy algorithm and m-term trigonometric approximation // Constr. Approxim. – 1998. – 142, # 4. – P. 569 – 587. 6.Jiang Yanjiea, Liu Yongping. Average widths and optimal recovery of multivariate Besov classes in LR p d () // J. Approxim. Theory. – 2000. – 102, # 1. – P. 155 – 170. 7.Romangk A. S. Approksymatyvn¥e xarakterystyky yzotropn¥x klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Ukr . mat. Ωurn. – 2009. – 61, # 4. – S. 513 – 523. 8.Romangk A. S., Romangk V. S. Tryhonometryçeskye y ortoproekcyonn¥e popereçnyky klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Tam Ωe. – # 10. – S. 1348 – 1366. 9.Steçkyn S. B. Ob absolgtnoj sxodymosty ortohonal\n¥x rqdov // Dokl. AN SSSR. – 1955. – 102, # 2. – S. 37 – 40. 10.Ysmahylov R. S. Popereçnyky mnoΩestv v lynejn¥x normyrovann¥x prostranstvax y pry- blyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy mnohoçlenamy // Uspexy mat. nauk. – 1974. – 29, # 3. – S. 161 – 178. 11.Majorov V. E. O lynejn¥x popereçnykax sobolevskyx klassov // Dokl. AN SSSR. – 1978. – 243, # 5. – S. 1127 – 1130. 12.Kaßyn B. S. Ob approksymacyonn¥x svojstvax poln¥x ortonormyrovann¥x system // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1985. – 172. – S. 187 – 191. 13.Temlqkov V. N. O pryblyΩenyy peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Dokl. AN SSSR. – 1984. – 279, # 2. – S. 301 – 305. 14.Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax hladkyx pe- ryodyçeskyx funkcyj // Mat. sb. – 1987. – 132, # 1. – S. 20 – 27. 15.Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçeskyx funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Yssledovanyq po teoryy funkcyj mno- hyx vewestvenn¥x peremenn¥x. – Qroslavl\: Qroslav. un-t, 1988. – S. 16 – 33. 16.Kaßyn B. S., Temlqkov V. N. O nayluçßyx m-çlenn¥x pryblyΩenyqx y πntropyy mno- Ωestv v prostranstve L1 // Mat. zametky. – 1994. – 56, # 5. – S. 57 – 86. 17.Romangk A. S. Nayluçßye M-çlenn¥e tryhonometryçeskye pryblyΩenyq klassov Besova peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2003. – 67, # 2. – S. 61 – 100. 18.Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyj. – M.: Nauka, 1976. – 320 s. Poluçeno 27.03.09, posle dorabotky — 26.10.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 1

Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Brp,θ функций малой гладкости

Репозитарії

Схожі ресурси