К теории гипер Q-гомеоморфизмов
Показано, що якщо гомеоморфізм f області D ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, с гіпер Q-гомеоморфізмом з Q ∈ Lloc¹ то f∈ACL. Як наслідок, такий гомеоморфізм мас майже скрізь частинні похідні й апроксимативний диференціал....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164741 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К теории гипер Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 139–144. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164741 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647412020-02-19T08:14:08Z К теории гипер Q-гомеоморфизмов Ковтонюк, Д.А. Короткі повідомлення Показано, що якщо гомеоморфізм f області D ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, с гіпер Q-гомеоморфізмом з Q ∈ Lloc¹ то f∈ACL. Як наслідок, такий гомеоморфізм мас майже скрізь частинні похідні й апроксимативний диференціал. We show that if a homeomorphism f of a domain D ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, is a hyper-Q-homeomorphism with Q ∈ Lloc¹, then f ∈ ACL. As a consequence, this homeomorphism has partial derivatives and an approximation differential almost everywhere. 2010 Article К теории гипер Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 139–144. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164741 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Ковтонюк, Д.А. К теории гипер Q-гомеоморфизмов Український математичний журнал |
| description |
Показано, що якщо гомеоморфізм f області D ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, с гіпер Q-гомеоморфізмом з Q ∈ Lloc¹ то f∈ACL. Як наслідок, такий гомеоморфізм мас майже скрізь частинні похідні й апроксимативний диференціал. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов |
| title_short |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов |
| title_full |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов |
| title_fullStr |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов |
| title_full_unstemmed |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов |
| title_sort |
к теории гипер q-гомеоморфизмов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164741 |
| citation_txt |
К теории гипер Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 139–144. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda kteoriigiperqgomeomorfizmov |
| first_indexed |
2025-07-14T17:20:06Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:20:06Z |
| _version_ |
1837643708208513024 |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. А. Ковтонюк (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
К ТЕОРИИ ГИПЕР Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ
We show that if a homeomorphism f of a domain D ⊂ Rn, n > 2, is a hyper Q-homeomorphism with
Q ∈ L1
loc, then f ∈ ACL. As a consequence, this homeomorphism has almost everywhere partial derivatives
and an approximate differential.
Показано, що якщо гомеоморфiзм f областi D ⊂ Rn, n > 2, є гiпер Q-гомеоморфiзмом з Q ∈ L1
loc,
то f ∈ ACL. Як наслiдок, такий гомеоморфiзм має майже скрiзь частиннi похiднi й апроксимативний
диференцiал.
1. Введение. В последнее время появилось много исследований, посвященных
отображениям с конечным искажением (см., например, [1, 2]). Настоящая статья
восполняет имевшийся пробел в развитии метода модулей семейств поверхностей,
который мало использовался даже в рамках квазиконформной теории вследствие
его сложности (см., например, [3, 4]). Недавно [5] было показано, что так называ-
емые отображения с конечным искажением площади в Rn, n > 2, удовлетворяют
аналогу известного модульного неравенства Полецкого для гиперповерхностей,
т. е. поверхностей размерности n−1 [6]. Поэтому возникла необходимость изучать
классы гипер Q(x)-гомеоморфизмов, выделяемых этим модульным неравенством.
Для сравнения, имея в виду важную роль модульной техники в современных клас-
сах отображений, профессор Олли Мартио предложил к исследованию следующий
класс отображений (см., например, [7, 8]).
Пусть D — область в Rn, n > 2, и Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу
функция. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является Q-гомеоморфизмом,
если
M(fΓ) 6
∫
D
Q(x)%n(x) dm(x)
для любого семейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой функции % ∈ admΓ.
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn. Теория Q-гомеоморфизмов естественным
образом связана с теорией модулей с весом (см., например, [9]).
Напомним, что борелева функция % : Rn → [0,∞] называется допустимой для
Γ (пишем % ∈ admΓ), если ∫
γ
% ds > 1
для всех путей γ ∈ Γ. Модуль семейства Γ есть величина
M(Γ) = inf
%∈adm Γ
∫
D
%n(x) dm(x) .
В работе [10] введен в рассмотрение следующий класс отображений. Гомео-
морфизм f : D → Rn называется гипер Q-гомеоморфизмом, если
M(fΣ) 6
∫
D
Q(x)%n(x) dm(x)
для любого семейства Σ (n−1)-мерных поверхностей S в D и любой допустимой
функции %. Борелева функция % : Rn → [0,∞] является допустимой для Σ, если
c© Д. А. КОВТОНЮК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1 139
140 Д. А. КОВТОНЮК∫
S
%n−1 dA > 1
для всех S ∈ Σ, где dA соответствует мере площади на поверхности S.
В работе [11] доказана абсолютная непрерывность на линиях Q-гомеоморфиз-
мов с локально интегрируемой функцией Q. В данной статье доказывается абсолют-
ная непрерывность на линиях гипер Q-гомеоморфизмов при условии локальной
суммируемости функции Q.
2. Предварительные замечания. Обозначим через Hk, k = 1, . . . , n − 1, k -
мерную хаусдорфову меру в Rn, n > 2. Точнее, если E — множество из Rn, то
Hk(E) = sup
ε>0
Hk
ε (E) ,
Hk
ε (E) = Ωk inf
∞∑
i=1
(
δi
2
)k
,
где инфимум берется по всем счетным наборам чисел δi ∈ (0, ε) таким, что некото-
рые множества Ei ⊂ Rn с диаметрами d(Ei) = δi покрывают множество E. Здесь
Ωk — объем единичного шара в Rk.
Пусть ω — открытое множество в Rk, k = 1, . . . , n − 1. Непрерывное отобра-
жение S : ω → Rn называется k-мерной поверхностью S в Rn, число прообразов
N(S, y) = N(S, y, ω) = card S−1(y) = card {x ∈ ω : S(x) = y}
— функцией кратности поверхности S в точке y ∈ Rn. Известно, что функция
кратности полунепрерывна снизу, т. е.
N(S, y) > lim inf
m→∞
N(S, ym)
для любой последовательности ym ∈ Rn такой, что ym → y ∈ Rn при m → ∞
(см. [12, с. 160]). Таким образом, функция N(S, y) является борелевской и поэтому
измерима относительно любой меры Хаусдорфа Hk [13, с. 52].
k-Мерная хаусдорфова площадь в Rn, или просто площадь, ассоциированная с
поверхностью S : ω → Rn, определяется формулой
A(B) = AS(B) = Ak
S(B) :=
∫
B
N(S, y) dHky
для произвольного борелевского множества B ⊆ Rn и, более общо, для произволь-
ного множества, измеримого относительно Hk в Rn. Поверхность S называется
квадрируемой, если AS(Rn) < ∞.
Если % : Rn → [0,∞] — борелевская функция, то ее интеграл по S определяется
равенством ∫
S
% dA :=
∫
Rn
%(y) N(S, y) dHky .
Борелевская функция % : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Σ
k-мерных поверхностей S в Rn (пишем % ∈ adm Σ), если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ ГИПЕР Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ 141∫
S
%k dA > 1
для всех поверхностей S ∈ Σ. Конформным модулем семейства Σ называется
величина
M(Σ) = inf
%∈adm Σ
∫
Rn
%n(x) dm(x) .
3. Обобщенные производные и ACL-отображения. Рассмотрим два различных
подхода к введению одного класса отображений в Rn. Первый подход связан с
понятием обобщенных производных в смысле С. Л. Соболева. Говорят, что веще-
ственная функция v в области D ⊂ Rn имеет компактный носитель, если v(x) ≡ 0
вне некоторого компакта C ⊂ D. Обозначим через Cl(D), где l — натуральное
число, класс функций v : D → R, l раз непрерывно дифференцируемых в D, а
через Cl
0(D) подкласс функций в Cl(D) с компактным носителем.
Известно, что если u ∈ Cl(Rn), то∫
D
(
u
∂lv
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
+ (−1)l+1v
∂lu
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
)
dx = 0 ,
где α1 + . . . + αn = l, для любой вещественной функции v ∈ Cl
0(D). Если же о
существовании частных производных функции u, локально интегрируемой в D,
ничего не известно и существует функция ϕα1... αn
, удовлетворяющая равенству∫
D
(
u
∂lv
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
+ (−1)l+1vϕα1... αn
)
dx = 0
для любой функции v ∈ Cl
0(D), то функция ϕα1... αn
называется обобщенной произ-
водной в смысле Соболева порядка l функции u в области D, которая также обо-
значается как
∂lu
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
.
Пусть f : D → Rn — произвольное отображение. Говорят, что f принадлежит
классу W 1,p, p > 1, если координатные функции f1, . . . , fn вектор-функции f
имеют обобщенные производные в смысле Соболева, интегрируемые со степенью
p в области D.
Рассмотрим теперь второй подход к введению отображений класса W 1,p, чаще
используемый в зарубежной литературе. Пусть I = {x ∈ Rn : ai < xi < bi, i =
= 1, . . . , n} — открытый n-мерный интервал. Говорят, что отображение f : I → Rn
принадлежит классу ACL (или абсолютно непрерывно на линиях), если f абсолют-
но непрерывно на почти всех линейных сегментах в I, параллельных координатным
осям. Более точно, пусть Pi(x) = x − xiei — ортогональная проекция. Тогда для
множества Ei всех точек x ∈ Pi(I) таких, что отображение t → f(x + tei) не
абсолютно непрерывно на интервале (ai, bi), mn−1(Ei) = 0 для всех i = 1, . . . , n.
Если D — область в Rn, то говорят, что отображение f : D → Rn принадлежит
классу ACL, когда сужение f |I принадлежит классу ACL для каждого интервала
I, I ⊂ D. Если D и D′ — области в Rn, то гомеоморфизм f : D → D′ принадлежит
классу ACL, когда сужение f |D\{∞,f−1(∞)} принадлежит классу ACL.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
142 Д. А. КОВТОНЮК
Известно, что если отображение f : D → Rn непрерывно в D и f ∈ ACL,
то частные производные отображения f существуют почти всюду в D и являются
борелевскими функциями.
Говорят, что отображение f : D → Rn класса ACL принадлежит классу ACLp,
p > 1, если частные производные f интегрируемы в D со степенью p. Известно
(см., например, [14]), что классы ACLp и W 1,p отображений f : D → Rn сов-
падают.
Теорема. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, и f : D → D′ — гипер
Q-гомеоморфизм c Q ∈ L1
loc(D). Тогда f ∈ ACL.
Доказательство. Пусть I = {x ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n} — n-мерный
интервал в Rn такой, что I ⊂ D. Тогда I = I0 × J, где J = (an, bn), I0 = Pn(I),
Pn(x) = x − xnen — ортогональная проекция. Положим x′ = (x1, . . . , xn−1) ∈
∈ Rn−1, тогда x = (x′, xn) ∈ Rn. Необходимо доказать, что для почти всех x′ ∈ I0
отображение t → f(x′ + ten) абсолютно непрерывно по t ∈ (an, bn).
Действительно, пусть rl и ρl, l = 1, 2, . . . , — любая перенумерация всех пар
рациональных чисел таких, что an < rl < ρl < bn, и
ϕl(x′) :=
ρ1∫
r1
Q(x′, xn) dxn .
По теореме Фубини (см., например, утверждение III.8.1 в [13]) функция ϕl(x′)
почти всюду конечна и интегрируема по x′ ∈ I0. Следовательно, по теореме Ле-
бега о дифференцировании неопределенного интеграла (см., например, утвержде-
ние IV.6.3 в [13]) получаем, что почти всюду
lim
h→0
Φl(x′;h)
hn−1
= ϕl(x′) , (1)
где
Φl(x′;h) =
x1+h/2∫
x1−h/2
. . .
xn−1+h/2∫
xn−1−h/2
ϕl(y′) dm(y′).
Заметим также, что по теореме о дифференцируемости неотрицательной субад-
дитивной функции множеств (см., например, утверждение III.2.4 в [12]) существует
конечный предел
L(x′) := lim
h→0
|f I(x′;h)|
hn−1
(2)
для почти всех x′ ∈ I0, где
I(x′;h) =
{
(z′, zn) ∈ I : xi −
h
2
< zi < xi +
h
2
, i = 1, . . . , n− 1, an < zn < bn
}
.
Здесь объем |f(B × J)| соответствует каждому борелевскому множеству B в I0.
Докажем, что отображение f абсолютно непрерывно на каждом интервале x′×
×J, x′ ∈ I0, где существуют конечные пределы (1) и (2). Для этого покажем, что
для всех таких x′ сумма
s∑
k=1
|f(x′ + βken)− f(x′ + αken)|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ ГИПЕР Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ 143
стремится к нулю вместе с суммой
∑s
k=1
|βk − αk| , где (αk, βk), k = 1, 2, . . . , s, —
произвольная система непересекающихся интервалов в J. Вследствие непрерывнос-
ти отображения f на каждом из указанных интервалов x′ × J достаточно доказать
этот факт только для рациональных αk и βk.
Выберем h > 0 такое, что ai < xi −
h
2
< xi +
h
2
< bi, i = 1, . . . , n − 1, и
положим для всех k = 1, 2, . . . , s
Ik = Ik(x′;h) =
{
(z′, zn) ∈ I : xi −
h
2
< zi < xi +
h
2
, αk < zn < βk
}
.
Обозначим через Γk семейство всех кривых, соединяющих грани zn = αk и zn =
= βk в Ik. Используя обобщенное неравенство Ренгеля [15, с. 70], получаем
M(fΓk) 6
mk
dn
k
, (3)
где dk = dk(h) — евклидово расстояние между образами граней zn = αk и zn =
= βk, а mk = |fIk|. Заметим, что при h → 0 эти грани стягиваются в точки
f(x′ + αken) и f(x′ + βken) соответственно.
Кроме того, обозначим через Σk семейство всех (n− 1)-мерных поверхностей,
отделяющих те же грани в Ik. Тогда функция
%k(x) =
1
h
, x ∈ Ik ,
0, x ∈ Rn \ Ik,
является допустимой для Σk. Следовательно, из определения гипер Q-гомеоморфизма
получаем
M(fΣk) 6
1
hn
∫
Ik
Q(x) dm(x) =
1
h
Φk(x′;h)
hn−1
. (4)
По формуле Циммера (см. [16]) имеем
M(fΓk) =
1
Mn−1(fΣk)
,
и, таким образом, комбинируя (3) и (4), находим(
dn
k
mk
)1/(n−1)
6
1
h
Φk(x′;h)
hn−1
. (5)
Далее, из дискретного неравенства Гельдера (см., например, формулу (17.3) в
[17]) с p = n/(n− 1) и q = n, xk = dk/m
1/n
k и yk = m
1/n
k следует, что
s∑
k=1
dk 6
[
s∑
k=1
(
dn
k
mk
)1/(n−1)
](n−1)/n( s∑
k=1
mk
)1/n
,
т. е. (
s∑
k=1
dk
)n
6 m
[
s∑
k=1
(
dn
k
mk
)1/(n−1)
]n−1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
144 Д. А. КОВТОНЮК
где m = m(h) = |fI(x′;h)|. Теперь, учитывая (5), получаем(
s∑
k=1
dk
)n
6
m
hn−1
(
s∑
k=1
Φk(x′;h)
hn−1
)n−1
.
Устремляя h к нулю, имеем{
s∑
k=1
|f(x′ + βken)− f(x′ + αken)|
}n
6 L(x′)
(
s∑
k=1
ϕk(x′)
)n−1
6
6 L(x′)
s∑
k=1
βk∫
αk
Q(x′, xn) dxn
n−1
,
и абсолютная непрерывность отображения f на интервале {x′} × J следует из
абсолютной непрерывности неопределенного интеграла Лебега от Q на том же
интервале.
Следствие. При условиях теоремы f имеет почти всюду частные производные
и аппроксимативный дифференциал.
1. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and nonlinear analysis. – Clarendon Press, Oxford
Univ. Press, 2001.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009.
3. Шабат Б. В. К теории квазиконформных отображений в пространстве // Докл. АН СССР. – 1960.
– 132, № 5. – С. 1045 – 1048.
4. Шабат Б. В. Метод модулей в пространстве // Там же. – 130, № 6. – С. 1210 – 1213.
5. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On the theory of mappings with finite area distortion // J. Anal. Math. –
2008. – 104. – P. 291 – 306.
6. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. –
1970. – 83 (125), № 2. – С. 261 – 272.
7. Мартио О., Рязанов В., Сребро У., Якубов Э. К теории Q-гомеоморфизмов // Докл. РАН. – 2001.
– 381, № 1. – C. 20 – 22.
8. Bishop C., Gutlyanskii V., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and
Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
9. Тамразов П. М. Модули и экстремальные метрики в неориентированных и скрученных римановых
многообразиях // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 10. – С. 1388 – 1398.
10. Kovtonyuk D., Ryazanov V. To the theory of mappings with finite area distortion // Repts Dep. Math.
Univ. Helsinki. – 2004. – 403. – P. 1 – 11.
11. Salimov R. R. ACL and differentiability of Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math.
– 2008. – 33. – P. 295 – 301.
12. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous transformations in analysis. – Berlin etc.: Springer, 1955.
13. Saks S. Theory of the integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1964.
14. Maz’ya V. Sobolev classes. – Berlin; New York: Springer, 1985.
15. Caraman P. n-Dimensional quasiconformal mappings. – Tunbridge Wells, Kent: Abacus Press, 1974.
16. Ziemer W. P. Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 126, № 3. –
P. 460 – 473.
17. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Наука, 1965.
Получено 27.11.07,
после доработки — 22.06.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|