Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева
Наведено опис ґратки нормальних підгруп групи локальних ізомєтрій границі сферично однорідного дерева LIsom ∂T. Доведено, що кожен нормальний дільник цієї групи містить її комутант. Охарактеризовано фактор-групу групи LIsom dT за її комутантом....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164763 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1350–1356. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164763 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647632020-02-11T01:28:43Z Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. Статті Наведено опис ґратки нормальних підгруп групи локальних ізомєтрій границі сферично однорідного дерева LIsom ∂T. Доведено, що кожен нормальний дільник цієї групи містить її комутант. Охарактеризовано фактор-групу групи LIsom dT за її комутантом. The structure of the normal subgroup lattice of the locally isometry group of the boundary of spherically homogeneous tree LIsom ∂T is described. It is proved that every normal subgroup of this group contains a commutant of LIsom ∂T. The quotient group of LIsom ∂T is characterized by its commutant. 2008 Article Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1350–1356. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164763 512.4 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева Український математичний журнал |
| description |
Наведено опис ґратки нормальних підгруп групи локальних ізомєтрій границі сферично однорідного дерева LIsom ∂T. Доведено, що кожен нормальний дільник цієї групи містить її комутант. Охарактеризовано фактор-групу групи LIsom dT за її комутантом. |
| format |
Article |
| author |
Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. |
| author_facet |
Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. |
| author_sort |
Лавренюк, Я.В. |
| title |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_short |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_full |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_fullStr |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_full_unstemmed |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_sort |
решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164763 |
| citation_txt |
Решетка нормальных подгрупп группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1350–1356. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lavrenûkâv rešetkanormalʹnyhpodgruppgruppylokalʹnyhizometrijgranicysferičeskiodnorodnogodereva AT suŝanskijvi rešetkanormalʹnyhpodgruppgruppylokalʹnyhizometrijgranicysferičeskiodnorodnogodereva |
| first_indexed |
2025-07-14T17:21:07Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:21:07Z |
| _version_ |
1837643772070985728 |
| fulltext |
УДК 512.4
Я. В. Лавренюк (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
В. И. Сущанский (Силез. техн. ун-т)
РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
ГРУППЫ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМЕТРИЙ ГРАНИЦЫ
СФЕРИЧЕСКИ ОДНОРОДНОГО ДЕРЕВА
The structure of the normal subgroup lattice of the locally isometry group of the boundary of
spherically homogeneous tree LIsom ∂T is described. It is proved that every normal subgroup of
this group contains a commutant of LIsom ∂T. The quotient group of LIsom ∂T is characterized
by its commutant.
Наведено опис ґратки нормальних пiдгруп групи локальних iзометрiй границi сферично
однорiдного дерева LIsom ∂T. Доведено, що кожен нормальний дiльник цiєї групи мiстить
її комутант. Охарактеризовано фактор-групу групи LIsom ∂T за її комутантом.
1. Введение. Группы автоморфизмов и иерархоморфизмов различных типов кор-
невых деревьев составляют большой класс групп, который играет важную роль в
различных разделах современной математики: теории групп, фрактальной геомет-
рии, теории динамических систем, теории C*-алгебр и т. п. [1]. На границах де-
ревьев эти группы действуют изометриями или локальными изометриями. Именно
поэтому исследованию строения различных групп преобразований границ беско-
нечных деревьев, которые близки к изометрическим, уделяется большое внимание.
При этом изучаются как вопросы структурной теории, так и динамические и гео-
метрические свойства действий на границах деревьев. В настоящей работе мы
продолжаем исследования в первом из отмеченных направлений. А именно, опи-
сываем нормальное строение группы всех локальных изометрий границы сфери-
чески однородного корневого дерева. Для топологической группы автоморфизмов
сферически однородного корневого дерева (т. е. группы изометрий его границы)
соответствующий результат о замкнутых нормальных делителях был получен неза-
висимо в [2, 3]. В работе [4] представлен более общий результат: охарактеризовано
нормальное строение специальных (так называемых больших) подгрупп группы ав-
томорфизмов дерева, в частности самой группы автоморфизмов и ее финитарной
подгруппы. В [5] охарактеризовано нормальное строение топологической груп-
пы локальных изометрий границы сферически однородного корневого дерева, т. е.
описаны ее замкнутые в естественной топологии нормальные делители. В данной
работе результаты [5] обобщаются на случай произвольных нормальных делителей
группы локальных изометрий.
2. Предварительные сведения. Пусть (T, v0) — локально конечное дерево с
корнем v0, V (T ) – множество его вершин. Расстоянием d(u, v) между вершинами
u, v ∈ V (T ) называется длина (число звеньев) кратчайшего пути, соединяющего
u, v. Сферой радиуса n (иначе n-уровнем) корневого дерева (T, v0) называется
множество
Vn(T ) =
{
v ∈ V (T ) | d(v0, v) = n
}
.
В частности, V0(T ) = {v0}. Дерево T называется сферически однородным, если
валентность каждой его вершины зависит лишь от радиуса сферы, содержащей
c© Я. В. ЛАВРЕНЮК, В. И. СУЩАНСКИЙ, 2008
1350 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ГРУППЫ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМЕТРИЙ ГРАНИЦЫ ... 1351
эту вершину. Сферически однородное дерево T однозначно (с точностью до изо-
морфизма) характеризуется своим сферическим индексом — последовательностью
Θ = Θ(T ) = (a0, a1, . . .) натуральных чисел, в которой a0 — валентность корня v0,
а при n ≥ 1 число an +1 – валентность произвольной вершины дерева T из Vn(T ).
Напомним, что супернатуральным числом называется формальное бесконечное
произведение вида
pα1
1 pα2
2 . . . ,
где p1, p2, . . . — все простые числа в естественном порядке, а αi, i = 1, 2, . . . , —
либо целое неотрицательное число, либо символ ∞. Два супернатуральных числа
pα1
1 pα2
2 . . . и pβ1
1 pβ2
2 . . . считаются равными, если αi = βi для всех i = 1, 2, . . . .
На множестве супернатуральных чисел естественным образом вводится операция
умножения, превращающая его в полугруппу. Супернатуральное число pα1
1 pα2
2 . . .
является делителем супернатурального числа pβ1
1 pβ2
2 . . . , если выполнены неравен-
ства βi ≥ αi, i = 1, 2, . . . .
Характеристикой дерева T назовем супернатуральное число
Ω(T ) =
∞∏
i=0
ai.
Каждое сферически однородное дерево сферического индекса Θ = (a0, a1, . . .)
изоморфно некоторому стандартному дереву TΘ, которое определяется следующим
образом. Множеством вершин V (TΘ) является множество всевозможных последо-
вательностей вида
(i0, i1, . . . , in−1), ik ∈ Xk = {1, 2, . . . , ak}, n ≥ 0,
вместе с пустой (∅) последовательностью, которая соответствует случаю n = 0.
Вершины u, v ∈ V (TΘ) соединяются ребром в дереве TΘ в том и только в том слу-
чае, когда одна из них является непосредственным продолжением другой, т. е. одна
из них имеет вид (i0, . . . , in−1, in), а другая — (i0, . . . , in−1), ik ∈ Xk, 0 ≤ k ≤ n.
Дерево TΘ, Θ = (a0, a1, . . .), называют деревом слов над алфавитом X0, X1,
X2, . . . , |Xk| = ak, k = 0, 1, 2, . . . . Говорят, что вершина v дерева T лежит под
вершиной w, если путь, соединяющий корень дерева с вершиной v, содержит так-
же вершину w. Символом Tv, v ∈ V (T ), будем обозначать полное поддерево с
корневой вершиной v. Оно состоит из всех вершин дерева T, лежащих под верши-
ной v, и соединяющих их ребер. Концом корневого дерева T называется каждый
бесконечный путь без повторений, начинающийся в корне дерева. Множество всех
концов — границу дерева T — будем обозначать символом ∂T.
На границе ∂T корневого дерева T естественным образом определяется струк-
тура ультраметрического пространства. А именно, фиксируем бесконечную строго
убывающую последовательность λ̄ = {λn}∞n=1 положительных чисел, сходящуюся
к 0. Пусть k(x1, x2) — длина общего начала концов x1, x2 ∈ ∂T. Положим
ρλ̄(x1, x2) =
λk(x1,x2), если x1 6= x2,
0, если x1 = x2.
(1)
Функция ρλ является ультраметрикой на ∂T, причем метрическое пространство
∂T = (∂T, ρλ) — компакт. Биекция f : V (T ) −→ V (T ) называется автоморфизмом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
1352 Я. В. ЛАВРЕНЮК, В. И. СУЩАНСКИЙ
корневого дерева (T, v0), если vf
0 = v0 и f сохраняет отношение инцидентности
вершин. Каждый автоморфизм корневого дерева T определяет очевидным образом
изометрию метрического пространства V (T ) с естественной метрикой. Наоборот,
каждая изометрия, фиксирующая корень дерева, является автоморфизмом (T, v0),
т. е. имеет место равенство Aut(T, v0) = Isom(T, v0). Понятно также, что каждая
такая изометрия дерева T индуцирует некоторую изометрию на его границе ∂T.
Тем самым группа Isom(T, v0) (далее просто Isom T ) естественным образом по-
гружается в группу Homeo ∂T всех гомеоморфизмов границы ∂T, причем образ
IsomT при этом погружении совпадает с группой изометрий Isom ∂T.
В группе Isom T выделяются следующие подгруппы:
1. Стабилизатор St(n) n-го уровня, n ≥ 0, который состоит из всевозможных
изометрий, фиксирующих все вершины сферы Vn дерева T ;
2. Жесткий стабилизатор rist(v) вершины v ∈ V (T ), являющийся максималь-
ной подгруппой, изометрии которой оставляют неподвижными все вершины, ле-
жащие в дереве T ниже v.
Группа IsomTΘ дерева слов TΘ, Θ = (a0, a1, . . .) при любом натуральном n
раскладывается в сплетение
Isom TΘ ' Syma0
oSyma1
o . . . o Syman−1
o Isom TΘ,n, (2)
где TΘ,n — дерево слов над последовательностью алфавитов Xn, Xn+1, . . . , а
Sym ai — симметрическая группа над алфавитом Xi, 0 ≤ i ≤ n− 1 [1, 6].
Отметим, что подгруппа St(n) раскладывается в прямое произведение жестких
стабилизаторов вершин n-го уровня, т. е. имеет место равенство
St(n) =
∏
v∈Vn
rist(v).
Поэтому если вершины n-го уровня дерева TΘ занумерованы и Vn(T ) = {v0, v1, . . .
. . . , vmn}, то каждый элемент g стабилизатора St(n) представляется в виде кортежа
(g1, . . . , gmn
), где gi — некоторый автоморфизм поддерева Tvi
с корнем в вершине
vi, 1 ≤ i ≤ mn. Поскольку для любых i, j, 1 ≤ i, j ≤ mn, поддеревья Tvi
, Tvj
изоморфны между собой и изоморфны определенному выше дереву TΘ,n, автомор-
физмы gi, 1 ≤ i ≤ mn, в дальнейшем будем отождествлять с соответствующими
автоморфизмами этого дерева.
Произвольная изометрия дерева TΘ однозначно определяется своим портретом
— вершинно-помеченным деревом, изоморфным TΘ [7]. При этом при любом
n ≥ 0 метками вершин n-го уровня служат подстановки множества Xn+1, которые
показывают, как изометрия переставляет вершины (n + 1)-го уровня дерева TΘ,
инцидентные одной и той же вершине n-го уровня. Пусть g(vk), 1 ≤ k ≤ mn, —
метки вершины vk ∈ Vn(TΘ) для автоморфизма g, Πng =
∏mn
k=1 g(vk). Следующее
утверждение непосредственно следует из результатов [2, 4].
Теорема 1. 1. Коммутант группы IsomTΘ состоит из всевозможных изо-
метрий g таких, что для любого уровня n подстановка Πng является четной.
2. Нормальная подгруппа группы Isom TΘ, содержащаяся в St(n), но не при-
надлежащая St(n+1), содержит коммутант St(n+1)′, который раскладывается
в прямое произведение
St(k)′ =
∏
v∈Vk
rist(v)′. (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ГРУППЫ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМЕТРИЙ ГРАНИЦЫ ... 1353
3. Элемент (g1, . . . , gmn
) содержится в St(n)∩IsomTΘ
′ тогда и только тогда,
когда произведение g1g2 . . . gmn
содержится в Isom TΘ,n
′.
Для каждой вершины v ∈ V (TΘ) граница ∂Tv поддерева Tv естественным
образом отождествляется с диском в ультраметрическом пространстве ∂TΘ, ко-
торый состоит из всех путей ∂TΘ, проходящих через вершину v. Будем обо-
значать этот диск тем же символом ∂Tv. Пусть S(∂TΘ, n) — подгруппа группы
Homeo ∂TΘ, состоящая из тех гомеоморфизмов, которые лишь переставляют дис-
ки ∂Tv, v ∈ Vn(TΘ), т. е. не изменяют координаты ik путей (i0, i1, . . .) ∈ ∂TΘ при
k ≥ n. Понятно, что S(∂TΘ, n) изоморфна симметрической группе Sym (Vn(TΘ)),
причем S(∂TΘ, n) ≤ S(∂TΘ, k) при n ≤ k. Подгруппу S(∂TΘ) < Homeo ∂T опре-
делим как объединение возрастающей цепи подгрупп S(∂TΘ, n), n ∈ N. Выделим
в ней также подгруппу A(∂TΘ), являющуюся объединением возрастающей цепи
знакопеременных групп A(∂TΘ, n) ≤ S(∂T, n), n ∈ N.
Напомним, что биекция α метрического пространства (X1, d1) в метрическое
пространство (X2, d2) называется локальной изометрией, если для произвольной
точки x ∈ X1 существует окрестность Ux этой точки такая, что ограничение α
на Ux является изометрией, т. е. для любых x1, x2 ∈ Ux имеет место равенство
d(xα
1 , xα
2 ) = d(x1, x2). Локальную изометрию α назовем однородной, если су-
ществует δ > 0 такое, что равенство d(xα
1 , xα
2 ) = d(x1, x2) выполнено для всех
точек x1, x2, для которых d1(x1, x2) < δ. В случае компактного пространства каж-
дая его локальная изометрия на себя будет однородной. Множество всех локальных
изометрий пространства (X, d) на себя образует группу относительно суперпози-
ции, которую будем обозначать символом LIsom(X, d).
Утверждение 1. Пусть (X, ρ) — бесконечное компактное ультраметричес-
кое пространство и группа локальных изометрий пространства (X, ρ) действует
на X транзитивно. Тогда существуют сферически однородное дерево TΘ и схо-
дящаяся к нулю числовая строго убывающая последовательность λ̄Θ такие, что
(X, ρ) локально изометрично пространству концов ∂TΘ с метрикой, определяемой
последовательностью λ̄Θ.
Доказательство см. в [8]. Нам понадобится следующий критерий изоморфности
групп локальных изометрий.
Теорема 2 [9]. Пусть T1, T2 — сферически однородные деревья, компонен-
ты сферических индексов которых отличны от единицы. Группы LIsom ∂T1 и
LIsom ∂T1 являются изоморфными тогда и только тогда, когда существуют схо-
дящиеся к нулю последовательности положительных чисел λ̄1 и λ̄1 такие, что
метрические пространства (∂T1, ρλ̄1
) и (∂T2, ρλ̄2
), где метрики ρλ̄1
и ρλ̄2
опреде-
ляются равенством (1), являются локально изометрическими. Последнее имеет
место тогда и только тогда, когда существуют такие i, j ∈ N, что для каждого
s ∈ N имеет место равенство∣∣Vi+s(T1)
∣∣ =
∣∣Vj+s(T2)
∣∣.
Относительно строения группы локальных изометрий сферически однородного
корневого дерева отметим следующие факты.
Теорема 3 [10, 8]. 1. Для любой допустимой последовательности Θ группа
LIsom ∂TΘ раскладывается в произведение своих подгрупп Isom ∂TΘ и S(∂TΘ) :
LIsom ∂TΘ = Isom ∂TΘS(∂TΘ). (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
1354 Я. В. ЛАВРЕНЮК, В. И. СУЩАНСКИЙ
2. Если группа LIsom(∂T, λ̄) действует транзитивно на ∂T, то она явля-
ется совершенной, т. е. имеет тривиальный центр и все ее автоморфизмы —
внутренние. В частности, каждая нормальная подгруппа этой группы является
характеристической в ней.
3. Основные результаты. Следующее утверждение описывает коммутант
группы локальных изометрий LIsom ∂TΘ.
Теорема 4. Для произвольной допустимой последовательности Θ комму-
тант (LIsom ∂TΘ)′ группы локальных изометрий LIsom ∂TΘ корневого дерева TΘ
определяется равенством
(LIsom ∂TΘ)′ = (Isom ∂TΘ)′A(∂TΘ).
Доказательство. Если супернатуральное число 2∞ является делителем супер-
натурального числа Ω(TΘ), Θ = (a0, a1, . . .), то A(∂TΘ) = S(∂TΘ)′ и S(∂TΘ)′ =
= S(∂TΘ). В противном случае (см. [11]) [S(∂TΘ) : A(∂TΘ)] = 2 и S(∂TΘ)′ =
= A(∂TΘ). В силу равенства (4) коммутант группы LIsom ∂TΘ содержит произ-
ведение (Isom ∂TΘ)′S(∂TΘ)′. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убе-
диться, что коммутатор любых двух элементов из LIsom ∂TΘ содержится в про-
изведении (Isom ∂TΘ)′S(∂TΘ)′. Пусть g, h — локальные изометрии ∂TΘ, тогда они
сохраняют расстояние между любыми парами точек, расстояние между которыми
не превышает (n + 1)−1 при некотором n. Рассмотрим сферически однородное
дерево TΘ′ , где Θ′ = {a0a1 . . . an, an+1, an+2, . . .}. Согласно теореме 2 группы
LIsom ∂TΘ и LIsom ∂TΘ′ изоморфны, причем при изоморфизме, который инду-
цируется естественным гомеоморфизмом ∂TΘ −→ ∂TΘ′ , образы элементов g и
h будут изометриями. Поэтому образ коммутатора [g, h] при этом изоморфиз-
ме содержится в (Isom ∂TΘ′)′. А это и означает, что коммутатор содержится в
(Isom ∂TΘ)′S(∂TΘ)′.
Теорема 4 доказана.
Лемма 1. Неединичный нормальный делитель группы LIsom ∂TΘ содержит
A(∂TΘ).
Доказательство. Пусть g ∈ LIsom ∂TΘ — неединичный элемент, действующий
как изометрия на точки, расстояние между которыми меньше (n+1)−1. Пусть так-
же h ∈ St(n + 1). Тогда h−1gh содержится в группе изометрий дерева T. Поэтому
произвольная нормальная подгруппа группы LIsom ∂TΘ имеет нетривиальное пе-
ресечение с Isom ∂TΘ. Согласно теореме 1, каждая нормальная подгруппа группы
IsomT содержит (St(k))′ для некоторого k. Очевидно, что коммутант стабилиза-
тора уровня содержит нетривиальные финитарные автоморфизмы. Поэтому любая
нормальная подгруппа группы LIsom ∂TΘ содержит A(∂TΘ).
Лемма доказана.
Основным утверждением, дающим характеризацию нормального строения груп-
пы локальных изометрий корневого дерева, является следующая теорема.
Теорема 5. Каждая неединичная нормальная подгруппа группы LIsom ∂TΘ
содержит коммутант.
Доказательство. Пусть N — неединичная нормальная подгруппа LIsom ∂TΘ.
Согласно п. 2 теоремы 1, каждая нормальная подгруппа содержит коммутант
стабилизатора некоторого уровня, который имеет вид (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ГРУППЫ ЛОКАЛЬНЫХ ИЗОМЕТРИЙ ГРАНИЦЫ ... 1355
По тем же соображениям, что и в доказательстве теоремы 4, можно считать,
что N содержит коммутант первого уровня и l = |V1| ≥ 5. Подгруппа N, согласно
лемме 1, содержит также A(∂TΘ). Поэтому достаточно доказать, что N содержит
St(1) ∩ (Isom ∂TΘ)′.
Пусть g = (g1, . . . , gl) ∈ St(1) ∩ (Isom ∂TΘ)′. Выберем элемент σ ∈ IsomTΘ,
который индуцируется перестановкой вершин первого уровня, а именно, циклом
(1, 2, . . . , l), если l — нечетное, и (1, 2, . . . , l − 1), если l — четное. В последнем
случае также выберем элемент π, задающийся циклом (l − 2, l − 1, l).
Пусть l — нечетное. Рассмотрим элемент из St(1):
h =
(
e, g−1
1 , (g1g2)−1, . . . , (g1 . . . gl−1)−1
)
.
Тогда
[σ, h] =
(
g1, . . . , gl−1, gl(g1 . . . gl)−1
)
.
Поскольку же σ ∈ A(∂TΘ), то [σ, h] содержится в N.
Пусть теперь l — четное. Рассмотрим следующие элементы из St(1):
h =
(
e, g−1
1 , (g1g2)−1, . . . , (g1 . . . gl−2)−1, e
)
,
s =
(
e, e, . . . , e, e, (g1 . . . gl−1)−1
)
.
Поскольку элементы σ и π содержатся в N, то
[σ, h] =
(
g1, . . . , gl−1, gl−1(g1 . . . gl−1)−1, e
)
,
[π, s] =
(
e, . . . , e, g1 . . . gl−1, gl(g1 . . . gl)−1
)
также содержатся в N. Отсюда
[σ, h][π, s] =
(
g1, . . . , gl−1, gl(g1 . . . gl)−1
)
∈ N.
По теореме 1 элемент (e, . . . , e, g1 . . . gl) содержится в коммутанте первого уров-
ня. Следовательно, для любого l элемент g содержится в N.
Таким образом, N содержит (LIsom ∂TΘ)′.
Теорема 5 доказана.
Из теоремы непосредственно получаем такое следствие.
Следствие. Каждая собственная фактор-група группы LIsom ∂TΘ абелева.
Далее символом
∏
будем обозначать прямое, а символом
∏
— декартово прои-
зведение некоторого семейства групп. Если семейство групп конечно, то эти кон-
струкции совпадают.
Следующая теорема описывает строение фактор-группы LIsom ∂TΘ по ее ком-
мутанту.
Теорема 6. Решетка нормальных делителей группы LIsom ∂TΘ изоморфна
решетке подгрупп прямого произведения континуального количества циклических
групп порядка 2.
Доказательство. Согласно теореме 2, можно считать, что в сферическом
индексе Θ первое число больше чем 3. Зафиксируем конец (v0, v1, . . .) дерева TΘ.
Пусть gi+1 ∈ IsomTvi
, i ≥ 0, только переставляет между собой два поддерева Tui
и Twi
первого уровня в Tsi
, где si такое, что Tsi
— поддерево первого уровня в Tvi
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
1356 Я. В. ЛАВРЕНЮК, В. И. СУЩАНСКИЙ
si 6= vi+1. Пусть также g0 только переставляет между собой два поддерева первого
уровня, которые отличны от Ts0 и Tv1 . Заметим, что так выбранные элементы
g0, g1, g2, . . . попарно коммутируют и каждый из них имеет порядок 2.
Рассмотрим подгруппы Gi = 〈gi〉 группы Isom ∂TΘ. Поскольку Gi < St(i), бес-
конечное произведение G = G1G2 . . . есть подгруппой Isom ∂TΘ. Легко заметить,
что G есть декартовым произведением циклических групп порядка 2, т. е.
G =
∏
i≥0
Gi '
∏
i≥0
C2.
Учитывая строение коммутанта группы LIsom ∂TΘ, получаем разложение в
произведение
LIsom ∂TΘ = G(LIsom ∂TΘ)′.
Отсюда по теореме о гомоморфизме
LIsom ∂TΘ/(LIsom ∂TΘ)′ ' G/G ∩ (LIsom ∂TΘ)′.
Далее, поскольку пересечение (Isom ∂TΘ)′ и G тривиально, то
G ∩ (LIsom ∂TΘ)′ = G ∩A(∂TΘ).
Поскольку группа A(∂TΘ) счетная, фактор-группа LIsom ∂TΘ/(LIsom ∂TΘ)′ имеет
мощность континуум. Согласно же первой теореме Прюфера (см., например, [12])
эта фактор-группа является прямым произведением циклических групп порядка 2.
Отсюда и следует утверждение теоремы.
1. Nekrashevych V. Self-similar groups // AMS: Math. Surv. and Monogr. – 2005. – 117. – 231 p.
2. Сущанский В. И. Нормальное строение групп изометрий полуконечных бэровских метрик.
Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. – Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 1993. – 289 с.
3. Bass H., Otero-Espinar M. V., Rockmore D., Tresser C. Cyclic renormalization and automorphism
groups of rooted trees // Lect. Notes Math. – 1995. – 1621. – xxi + 163 p.
4. Muntyan Y., Sushchansky V. I. Normal structure of the big group of a spherical homogeneous rooted
tree. – 2006. – (Preprint / TAMU).
5. Лавренюк Я. В., Сущанский В. И. Нормальное строение группы локальных изометрий границы
сферически-однородного дерева // Доп. НАН України. – 2007. – № 3. – С. 20 – 24.
6. Безущак О. Е., Сущанский В. И. l-Сплетения и изометрии обобщенных бэровских метрик //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 7/8. – С. 1031 – 1038.
7. Григорчук Р. И., Некрашевич В. В., Сущанский В. И. Автоматы, динамические системы и
группы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 2000. – 231. – С. 134 – 214.
8. Lavrenyuk Ya. On automorphisms of local isometry groups of compact ultrametric spaces // Int. J.
Algebra and Comput. – 2005. – 15. – № 5-6. – С. 1013 – 1024.
9. Lavrenyuk Ya. Classification of the local isometry groups of rooted tree boundaries // Algebra and
Discrete Math. – 2007. – № 1.
10. Lavrenyuk Ya. V., Sushchansky V. I. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hi-
erarchomorphisms of rooted trees // Ibid. – 2003. – № 4. – P. 33 – 49.
11. Kroshko N. V., Sushchansky V. I. Direct limits of symmetric and altering groups with strictly diagonal
embeddings // Arch. Math. – 1998. – 71. – S. 173 – 182.
12. Курош А. Г. Теория групп. – Изд. третье, доп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
Получено 09.08.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 10
|