Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку

Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Перун, Г.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2008
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164768
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164768
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1647682020-02-11T01:27:13Z Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку Перун, Г.М. Короткі повідомлення Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию. We prove a theorem on the well-posedness of the Cauchy problem for a linear stochastic equation of the parabolic type of higher order with time-dependent coefficients and continuous perturbations whose solutions are subjected to pulse action at fixed times. 2008 Article Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164768 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Перун, Г.М. Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку Український математичний журнал
description	Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию.
format	Article
author	Перун, Г.М.
author_facet	Перун, Г.М.
author_sort	Перун, Г.М.
title	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
title_short	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
title_full	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
title_fullStr	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
title_full_unstemmed	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
title_sort	задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164768
citation_txt	Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT perungm zadačazímpulʹsnoûdíêûdlâlíníjnogostohastičnogoparabolíčnogorívnânnâviŝogoporâdku
first_indexed	2025-07-14T17:21:21Z
last_indexed	2025-07-14T17:21:21Z
_version_	1837643786341056512
fulltext	UDK 519.21 H. M. Perun (Çerniv. nac. un-t) ZADAÇA Z IMPUL\|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO STOXASTYÇNOHO PARABOLIÇNOHO RIVNQNNQ VYWOHO PORQDKU We prove a theorem on the well-posedness of the Cauchy problem for a linear stochastic equation of the parabolic type of higher order with time-dependent coefficients and continuous perturbations whose solutions are subjected to pulse action at fixed times. Dokazana teorema o korrektnosty zadaçy Koßy dlq lynejnoho stoxastyçeskoho uravnenyq pa- rabolyçeskoho typa v¥sßeho porqdka s koπffycyentamy, zavysqwymy ot vremeny, y neprer¥v- n¥my vozmuwenyqmy, reßenyq kotoroho v fyksyrovann¥e moment¥ vremeny podverΩen¥ ym- pul\snomu vozdejstvyg. Systemy zvyçajnyx dyferencial\n¥x rivnqn\, qki zaznagt\ impul\sno] di], hly- boko vyvçeno v praci A.2M.2Samojlenka, M.2O.2Perestgka [1]. Krajovi zadaçi dlq rivnqn\ druhoho porqdku paraboliçnoho typu z bilym ßumom riznymy meto- damy doslidΩuvalys\ u pracqx J. I. Hixmana [2], I. J. Hixmana [3], A. Q. Dorohov- ceva, S. D. Ivasyßena, A. H. Kukußa [4]. Vlastyvosti rozv’qzkiv kvazilinijnyx hiperboliçnyx rivnqn\ z impul\snog di[g vyvçaly M. O. Perestgk, A. V. Tkaç [5]. Rezul\taty vyvçennq zadaçi Koßi dlq paraboliçnyx system z impul\snog di[g vykladeno u praci M. I. Matijçuka ta V. M. Luçka [6]. Nexaj vyznaçeno jmovirnisnyj prostir ( Ω , F, P ) z nespadnym potokom σ -al- hebr { }, ,F t F F t tt t t≥ ⊂ <0 1 2 1 2pry . Vypadkova funkciq u ( t, x, ω ) , qka vyzna- çena na [ t0, T ] × En × Ω ≡ Π × Ω , vymirna i z imovirnistg221 [ rozv’qzkom zadaçi Koßi d ut = A t D u t x dt C t D u t x dw tk x k k b k x k k m ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , )ω ω ω ≤ ≤ ∑ ∑         + 2 , (1) x ∈ En , ω ∈ Ω , u t x t t( , , )ω = 0 = ϕ ( x, ω ) , (2) qkyj pry t = τi , i = 1, 2, … , N , t0 < τ1 < … < τN ≤ T, zadovol\nq[ umovu strybka [1] ∆t tu t x i ( , , )ω τ= = u x u xi i( , , ) ( , , )τ ω τ ω+ − −0 0 = B u xi i( , , )τ ω− 0 ≡ B ui . (3) Qkwo τi — toçka rozryvu perßoho rodu, to funkciq u [ neperervnog zliva. Poklademo u xi( , , )τ ω = u xi( , , )τ ω− 0 = lim ( , , ) t i u t x → −τ ω 0 . Tut A tk( ) i C tk( ) — neperervni funkci], ϕ ( x, 0 ) [ obmeΩenog, ϕ ( x, ω ) ne zale- Ωyt\ vid potoku Ft , Bi ∈ R , w ( t, ω ) — standartnyj skalqrnyj vinerivs\kyj proces. Zastosu[mo do zadaçi (1) – (3) intehral\ne peretvorennq Fur’[ [7] v ( t, σ, ω ) = Fx u ( t, x, ω ) = e u t x dxi x En σ ω( , , )∫ , σ ∈ En , © H. M. PERUN, 2008 1422 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 ZADAÇA Z IMPUL\|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO STOXASTYÇNOHO … 1423 todi dt v ( t, σ, ω ) = A t i t dt C t i t dw tk k k b k k k m ( )( ) ( , , ) ( )( ) ( , , ) ( , )σ σ ω σ σ ω ωv v ≤ ≤ ∑ ∑         + 2 , (4) v( , , )t t tσ ω = 0 = ˜ ( )ϕ σ , σ ∈ En , (5) ∆t tt i v( , , )σ ω τ= = Bi iv( , , )τ σ ω− 0 . (6) Rivnqnnq (4) [ linijnym odnoridnym stoxastyçnym rivnqnnqm. Zadaça (4), (5) ma[ [dynyj z toçnistg do stoxastyçno] ekvivalentnosti neperervnyj rozv’qzok [8] pry t ≠ τi , i = 1, 2, … , N , qkyj vyznaça[t\sq formulog v ( t, σ, ω ) = ˜ ( ) exp ( )( ) ( )( )ϕ σ σ σA s i C s i dsk k k k k mk bt t −                   ≤≤ ∑∑∫ 1 2 2 20 + + t t k k k m C s i dw s 0 ∫ ∑ ≤     ( )( ) ( , )σ ω . (7) Formula (7) mistyt\ normal\nyj fundamental\nyj rozv’qzok (NFR) zadaçi Koßi dlq vidpovidnoho (1) determinovanoho rivnqnnq Q ( t, τ, σ ) = exp ( )( ) τ σ t k k k b A s i ds∫ ∑ ≤        2 . NFR zadaçi (4), (5) dlq stoxastyçnoho rivnqnnq z imovirnistg221 [ funkciq Q1 ( t, τ, σ, ω ) = exp ( )( ) ( )( ) ( )A s i C s i s dsk k k k k mk b t σ σ τ −                   ≤≤ ∑∑∫ 1 2 2 2 + + τ σ t k k k m C s i dw s∫ ∑ ≤     ( )( ) ( ) ≡ Q t C s i dw sk k k m t ( , , ) exp ( )( ) ( )τ σ σ τ ≤ ∑∫     – – τ σ t k k k m C s i ds∫ ∑ ≤           1 2 2 ( )( ) , Q1 ( τ, τ, σ, ω ) = 1. (8) Nenul\ovyj rozv’qzok zadaçi (4) – (6) nazvemo matrycantom V t t( , , , )0 σ ω , qk- wo V t t( , , , )0 0 σ ω = 1 z imovirnistg221. Matrycant zadaçi z impul\snog di[g [1] ma[ vyhlqd V t t( , , , )0 σ ω = Q t t B Q t tj m j m j j m 1 1 1 1 1( , , , )( ) ( , , , )+ + + + − = + ∏σ ω σ ων ν ν × × ( ) ( , , , )1 1 1 0+ + −B Q tj jν τ σ ω , (9) t0 ≤ τ j+1 < τ j m+ < t ≤ τ j m+ +1 < T. Teper rozv’qzok zadaçi zobrazymo v obrazax Fur’[: v ( t, σ, ω ) = V t t( , , , ) ˜ ( , )0 σ ω ϕ σ ω . (10) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 1424 H. M. PERUN Nexaj G t x( , , , )τ ω — funkciq Hrina, qka [ obernenym peretvorennqm Fur’[ matrycanta G t x( , , , )τ ω = F V tσ τ σ ω−1 ( , , , ) = 1 2( ) ( , , , ) π τ σ ω σσ n E i x n e V t d∫ − , (11) ∆t tG t t x i ( , , , )0 ω τ= = B G t xi i( , , , )τ ω0 , t0 < … < τi < … < τi m+ < t < T. (12) Za dopomohog funkci] Hrina zapyßemo rozv’qzok zadaçi (1) – (3) u vyhlqdi u ( t, x, ω ) = En G t t x d∫ ( , , , , ) ( , )0 ξ ω ϕ ξ ω ξ . (13) Ob©runtu[mo formulu (13). Poznaçymo C s∗( , )σ = Re ( )( )C s ik k k m σ ≤ ∑ , C s∗∗( , )σ = Im ( )( )C s ik k k m σ ≤ ∑ , todi Q t t1 0( , , , )σ ω = exp ( )( ) ( , ) ( , )A s i C s C s dsk k k bt t σ σ σ− +              ∗ ∗∗ ≤ ∑∫ 1 2 1 2 2 20 + + t t t t t t C s dw i C s dw s C s C s ds 0 0 0 ∫ ∫ ∫∗ ∗∗ ∗ ∗∗+ −     ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )σ σ σ σ . Vykorystovugçy ponqttq modulq kompleksnoznaçno] funkci], ma[mo Q t t1 0( , , , )σ ω = exp Re ( )( ) ( , ) ( ( , ))A s i C s C s dsk k k bt t σ σ σ− −( )          ∗ ∗∗ ≤ ∑∫ 1 2 2 2 20 + + t t C s dw s 0 ∫ ∗     ( , ) ( , )σ ω . (14) Skorysta[mosq vlastyvistg intehrala Vinera – Ito dlq sumovnyx z kvadratom funkcij [9] M exp ( , ) ( , ) t t f s dw s 0 ∫              ω ω = exp ( , )1 2 0 2 t t f s ds∫         ω , de M — operaciq matematyçnoho spodivannq. Zastosuvavßy operacig matematyçnoho spodivannq do obox çastyn rivnosti (14), otryma[mo M Q t t1 0( , , , )σ ω{ } = exp Re ( )( ) ( , )A s i C s dsk k k bt t σ σ+ ( )              ∗∗ ≤ ∑∫ 1 2 2 20 . (15) Prypustymo, wo vidpovidne determinovane do (1) rivnqnnq [ rivnomirno para- boliçnym, tobto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 ZADAÇA Z IMPUL\|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO STOXASTYÇNOHO … 1425 Re ( )( )A s ik k k b σ = ∑       2 ≤ – δ σ0 2b , δ0 > 0, (16) i, oçevydno, C s∗∗( )( , )σ 2 ≤ c m 0 2σ . (17) Z ostannix umov oderΩu[mo umovu paraboliçnosti stoxastyçnoho rivnqnnq (1), qka zabezpeçu[ isnuvannq peretvorennq Fur’[ matrycanta F V tσ τ σ ω−1 ( , , , ) : Re ( )( ) ( , )A s i C sk k k b σ σ ≤ ∗∗∑       + ( ) 2 21 2 ≤ – δ σ1 2b, δ1 < δ0 , m ≤ b . (18) Zavdqky rivnosti (15) ta umovi (18) moΩemo ocinyty matrycant M V t t( , , , )0 σ ω{ } ≤ c t Bj m b j mexp ( )− −{ } ++ +δ τ σ1 2 1 × × ν ν ν νδ τ τ σ δ τ σ = + + − + −∏ − −{ } + − −{ } m j j b j j bB t 1 1 1 2 1 1 0 21exp ( ) exp ( ) ≤ ≤ c B t t m j b ν ν δ σ = +∏ + − −{ } 0 1 2 01 exp ( ) , τj > t0 , t > tj + m , σ ∈ En . (19) Zastosovugçy do M V t t( , , , )0 σ ω{ } lemu221.1 [7], pryxodymo do vysnovku, wo F V t tσ σ ω− { }1 0M ( , , , ) isnu[. Teorema$(pro korektnist\). Nexaj koefici[nty rivnqnnq (1) [ vyznaçenymy i neperervnymy na [ t0, T ] , vykonu[t\sq umova paraboliçnosti (18) i m ≤ b ; vy- padkova funkciq ϕ ( x, ω ) ne zaleΩyt\ vid Ft , ϕ ( x, 0 ) — neperervna obmeΩena funkciq, Bi ∈ R , t = τi , i = 1, 2, … , N , t0 < τi . Todi funkciq Hrina zadaçi (1)2–2(3) vyznaça[t\sq qk obernene peretvorennq Fur’[ matrycanta za formu- log (11), dlq poxidnyx qko] spravdΩu[t\sq nerivnist\ D G t xx k ( , , )τ ≤ c B t c x t k m j m n k b b b bν τ τ= + − + − ∏ + − − −        0 2 2 2 1 1 2 1 ( ) exp ( ) . (20) Rozv’qzok zadaçi vyznaça[t\sq formulog (13) i dlq n\oho spravdΩu[t\sq ocinka sup ( , , ) E x k n D u t xM ω{ } ≤ t k b − { }2 M ϕ , k ≤ 2 b . (21) ZauvaΩennq$1. Qkwo funkciq k m k kC s i ≤ ∑ ( )( )σ [ dijsnoznaçnym mnohoçle- nom, to joho stepin\ moΩe buty dovil\nym. ZauvaΩennq$2. Za dopomohog funkci] Hrina G t x( , , , )τ ω zadaçi z impul\s- nog di[g (1) – (3) moΩna zapysaty rozv’qzok zadaçi dlq neodnoridnoho rivnqnnq vyhlqdu d u t xt ( , , )ω = A t D u t x f t x dtk k b x k( ) ( , , ) ( , ) ≤ ∑ +        2 ω + ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 1426 H. M. PERUN + C t D u t x g t x dw tk k b x k( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ≤ ∑ +         ω ω . (22) Rozv’qzok zadaçi (22), (2), (3) ma[ vyhlqd u ( t, x, ω ) = E t En n G t x d G t s x∫ ∫ ∫− + −( , , , ) ( , ) ( , , , )0 0 ξ ω ϕ ξ ω ξ ξ ω × × f s C s D g s dx ds G t s x g s dw ts k b k t En ( , ) ( ) ( , ) ( , , , ) ( , ) ( , )ξ ξ ξ ω ξ ωξ−         + − ≤ ∑ ∫ ∫ 0 za umovy, wo f Cx∈ α( )Π ta C t D g Ck x k k b x( ) ( )≤∑ ∈ α Π , 0 < α < 1. Poxidni do porqdku 2b dopuskagt\ ocinku sup ( , , ) Π M D u t xx k ω{ } ≤ t f C t D g k b m m b x − { } + +       ≤ ∑2 M ϕ α α ( ) . 1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejstvyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 258 s. 2. Hyxman Y. Y. Hranyçnaq zadaça dlq stoxastyçeskoho uravnenyq parabolyçeskoho typa // Ukr. mat. Ωurn. – 1979. – 31, # 5. – S.2483 – 489. 3. Hyxman Yl. Y. O smeßannoj zadaçe dlq stoxastyçeskoho dyfferencyal\noho uravnenyq parabolyçeskoho typa // Tam Ωe. – 1980. – 32, # 3. – S.2367 – 372. 4. Dorohovcev A. Q., Yvasyßen S. D., Kukuß A. H. Asymptotyçeskoe povedenye reßenyj uravnenyq teploprovodnosty s bel¥m ßumom v pravoj çasty // Tam Ωe. – 1985. – 37, # 1. – S.213 – 20. 5. Perestgk N. A., Tkaç A. V. Peryodyçeskye reßenyq slabonelynejn¥x system v çastn¥x proyzvodn¥x s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Tam Ωe. – 1997. – 43, # 4. – S.2601 – 605. 6. Matijçuk M. I., Luçko V. M. Zadaça Koßi dlq paraboliçnyx system z impul\snog di[g // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 11. – S.2325 – 335. 7. ∏jdel\man S. D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 444 s. 8. Sverdan M. L., Carkov {. F., Qsyns\kyj V. K. Stoxastyçni dynamiçni systemy z skinçennog pislqdi[g. – Çernivci: Zelena Bukovyna, 2000. – 556 s. 9. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Vvedenye v teoryg sluçajn¥x processov. – M.: Nauka, 1977. – 567 s. OderΩano 10.01.07 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10

Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку

Institution

Ähnliche Einträge