Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії
Для системы классических одномерных осцилляторов на d-мерной гиперкубической решетке, взаимодействующих благодаря четному суперустойчивому и многочастичным положительным финитным потенциалам впервые предложено и решено (решеточное) уравнение Кирквуда–Зальцбурга....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164769 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1427–1433. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164769 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647692020-02-11T01:28:31Z Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії Скрипник, В.І. Короткі повідомлення Для системы классических одномерных осцилляторов на d-мерной гиперкубической решетке, взаимодействующих благодаря четному суперустойчивому и многочастичным положительным финитным потенциалам впервые предложено и решено (решеточное) уравнение Кирквуда–Зальцбурга. For a system of classical one-dimensional oscillators on the d-dimensional hypercubic lattice interacting via pair superstable and many-body positive finite-range potentials, the (lattice) Kirkwood – Salsburg equation is proposed for the first time and is solved. 2008 Article Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1427–1433. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164769 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Скрипник, В.І. Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії Український математичний журнал |
| description |
Для системы классических одномерных осцилляторов на d-мерной гиперкубической решетке, взаимодействующих благодаря четному суперустойчивому и многочастичным положительным финитным потенциалам впервые предложено и решено (решеточное) уравнение Кирквуда–Зальцбурга. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, В.І. |
| author_facet |
Скрипник, В.І. |
| author_sort |
Скрипник, В.І. |
| title |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| title_short |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| title_full |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| title_fullStr |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| title_full_unstemmed |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| title_sort |
розв'язки рівняння кірквуда–зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164769 |
| citation_txt |
Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для ґраткової класичної системи одновимірних осциляторів з позитивними багаточастинковими потенціалами взаємодії фінітної дії / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1427–1433. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT skripnikví rozvâzkirívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâgratkovoíklasičnoísistemiodnovimírnihoscilâtorívzpozitivnimibagatočastinkovimipotencíalamivzaêmodíífínítnoídíí |
| first_indexed |
2025-07-14T17:21:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:21:23Z |
| _version_ |
1837643789440647168 |
| fulltext |
UDK 517.9
V. I. Skrypnyk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ROZV’QZKY RIVNQNNQ KIRKVUDA – ZAL|CBURHA
DLQ ÌRATKOVO} KLASYÇNO} SYSTEMY
ODNOVYMIRNYX OSCYLQTORIV
Z POZYTYVNYMY BAHATOÇASTYNKOVYMY
POTENCIALAMY VZA{MODI} FINITNO} DI}
For a system of classical one-dimensional oscillators on the d-dimensional hypercubic lattice interacting
via pair superstable and many-body positive finite-range potentials, the (lattice) Kirkwood – Salsburg
equation is proposed for the first time and is solved.
Dlq system¥ klassyçeskyx odnomern¥x oscyllqtorov na d-mernoj hyperkubyçeskoj reßetke,
vzaymodejstvugwyx blahodarq çetnomu superustojçyvomu y mnohoçastyçn¥m poloΩytel\n¥m
fynytn¥m potencyalam vperv¥e predloΩeno y reßeno (reßetoçnoe) uravnenye Kyrkvuda –
Zal\cburha.
Budemo rozhlqdaty v terminax velykoho kanoniçnoho ansamblg rivnovaΩnu (hib-
bsivs\ku) systemu odnovymirnyx oscylqtoriv, koordynaty qkyx qx ∈ R indeksu-
gt\sq vuzlamy ©ratky Z
d
, z dopomohog poslidovnosti korelqcijnyx funkcij (z
vydilenym zovnißnym polem) ρ = { ρ ( qX ) , X ⊂ Zd
}, de qX = ( qx , x ∈ X ) — nabir
koordynat, wo indeksugt\sq skinçennym çyslom X vuzliv mnoΩyny X. Vona
zadovol\nq[ ©ratkove rivnqnnq Kirkvuda – Zal\cburha (KZ) rezol\ventnoho typu
ρ = z K ρ + z α, (1)
de z — aktyvnist\ (termodynamiçnyj parametr), α ( qX ) = δ X ,1 = 0, X ≠ 1,
δ X ,1 = 1, X = 1, operator K vyznaçeno takym çynom { F ( q∅ ) = 0 }:
( KF ) ( qX ) =
Y X
x X x Y X x Y x X Y Y
c
K q q q F q dq F q dq
⊆
∑ ∫ ∫( ) ( ) − ( ) ( )[ ] ( )\ \; ∪ ∪ν ν ,
X > 1.
Tut intehruvannq provodyt\sq po R ta vidpovidno R
Y
,
K q q q ex X x Y
Y S W q q q
S Y
x X x S( ) = (− )
− ( )
⊆
∑\
\ ;
; \1
β
,
W q q U q q U qx Y x Y Y( ) = ( ) − ( ), ,
ν ν( ) = ( )
∈
∏dq dqY y
y Y
, ν β β( ) = ( )− ( ) − ( ) −
∫dq e e dqu q u q 1
, X c = Zd \ X,
β — obernena temperatura. Pry X = x perßyj dodanok Y = ∅( ) u kvadratnyx
duΩkax znyka[. DoslidΩuvana systema xarakteryzu[t\sq potencial\nog enerhi-
[g z translqcijno-invariantnog vza[modi[g
U q u q U qc x
x
( ) = ( ) + ( )
∈
∑Λ
Λ
Λ , U q q
X X
X X( ) = ( )
> ⊆
∑Λ
Λ1,
φ ,
de φX [ X — çastynkovyj potencial vza[modi]. Qkwo X = x n( ) = ( … )x xn1, , ,
to φX Xq( ) = φx x xn n
q q
( )
( … )
1
, , . My budemo rozhlqdaty symetryçni funkci], wo
zaleΩat\ vid riznyc\ zminnyx ( … )x xn1, , . Dlq obçyslennq sumy po X slid vra-
© V. I. SKRYPNYK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 1427
1428 V. I. SKRYPNYK
xuvaty, wo spoçatku pidsumovuvannq provodyt\sq po x xn1, ,… , a potim po n
vid 1 do X . Qkwo domnoΩyty korelqcijni funkci], wo vidpovidagt\ cij po-
tencial\nij enerhi], na exp β u qxx X
( ){ }∈∑ , to vony budut\ zadovol\nqty riv-
nqnnq (1) (vydilennq zovnißn\oho polq, dyv. zauvaΩennq 1).
DoslidΩennq ©ratkovoho rivnqnnq KZ provodyt\sq tak samo, qk i podibnoho
rivnqnnq dlq ©ratkovoho hazu [1] ta modeli Izinha [2]. U statti Kunca [3] ©ratko-
vi systemy oscylqtoriv z parnog vza[modi[g doslidΩeno u terminax kanoniçnoho
ansamblg, ©ratkovoho rekurentnoho spivvidnoßennq KZ ta polimernoho rivnqn-
nq KZ. Bulo zaproponovano umovu prosto] (oscylqtorno]) superstijkosti
φx y x y x y x yq q J q q, ,( ) ≤ ( ) ( )− v v ,
e dqqζ νv( ) ( )∫ < ∞,
de v ≥ 0, Jx ≥ 0, J 1 = Jyy∑ < ∞, pidsumovuvannq provodyt\sq po Z
d
, a
ζ > 0 — dovil\ne dodatne çyslo. Z umovy prosto] superstijkosti vyplyva[ umova
superstijkosti
φx y x y x y x yq q J q q, ,( ) ≤ ( ) + ( )− ( )1
2
v v .
Cq umova oznaça[, wo u vypadku vza[modi] z dodatnymy bahatoçastynkovymy po-
tencialamy potencial\na enerhiq pidkorq[t\sq umovi zahal\no] superstijkos-
tiA[4].
Kunc doviv zbiΩnist\ klasternoho (polimernoho) rozkladu dlq korelqcijnyx
funkcij kanoniçnoho ansamblg pry malyx temperaturax u termodynamiçnij
hranyci u vypadku parno] vza[modi]. Inßi ocinky zbiΩnosti c\oho rozkladu nave-
deno v [5]. Takyj Ωe rezul\tat avtor otrymav u [6] u vypadku nedodatnoho naj-
prostißoho ternarnoho potencialu vza[modi]. Raniße oscylqtorne ©ratkove riv-
nqnnq KZ ne rozhlqdalos\.
U vypadku nedodatnyx potencialiv neobxidno rozhlqdaty symetryzovane (z
dopomohog umovy superstijkosti) ©ratkove rivnqnnq KZ
ρ = z K z˜ρ α+ , (2)
de K̃ — symetryzovanyj oscylqtornyj operator KZ. Joho symetryzaciq vyko-
nu[t\sq takym çynom. Z umovy superstijkosti vyplyva[ nerivnist\
x y X
x y x y x
x X
q q J q
,
, ,
∈ ∈
∑ ∑( ) ≥ − ( )φ v , X ≥ 2, J = Jy
y
∑ < ∞.
Ce oznaça[, wo isnu[ neporoΩnq mnoΩyna oscylqtornyx zminnyx, dlq qko] vy-
konu[t\sq nerivnist\
W q q q q J qx X x
y X
x y x y x2( ) = ( ) ≥ − ( )
∈
∑\ , ,φ v . (2′ )
Nexaj χx ( qX ) — ]] xarakterystyçna funkciq. Todi
x X
x Xq
∈
∑ ( )χ* = 1, χ χ χx X
y X
y X x Xq q q*( ) = ( )
( )
∈
−
∑
1
. (3)
Symetryzovanyj operator K̃ dlq X ≥ 2 zada[t\sq tak (dyv. zauvaΩennq 2):
( )( )K̃F qX =
=
x X
x X
Z X
x X x Z X x Z x X Z Zq K q q q F q dq F q dq
c∈ ⊆
∑ ∑ ∫ ∫( ) ( ) ( ) − ( ) ( )[ ] ( )χ ν ν*
\ \, ∪ ∪ .
Pry X = x perßyj dodanok Y = ∅( ) u kvadratnyx duΩkax znyka[. Oçevydno,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
ROZV’QZKY RIVNQNNQ KIRKVUDA – ZAL|CBURHA … 1429
wo symetryzovane rivnqnnq (1) otrymugt\ pislq mnoΩennq joho X-komponenty
na χx Xq* ( ), pidsumovuvannq po x ta vykorystannq (3). Operaciq symetryzaci] [
analohom symetryzaci] Ruella dlq systemy çastynok z dopomohog umovy stij-
kosti. Dlq ©ratkovoho rivnqnnq KZ symetryzaciq vykorystovuvalas\ dlq modeli
Izinha z dyskretnymy spinamy v [3], wo pov’qzana z dyskretyzovanog modellg
Xihhsa – Villena evklidovo] kvantovo] teori] polq (dyv. zauvaΩennq 3). Pryrod-
no ßukaty rozv’qzky rivnqn\ (1), (2) u banaxovomu prostori Eξ
( f ) poslidovnos-
tej vymirnyx funkcij F = { FX ( qX ) , X ⊆ Zd
} z normog
F f q F qf
X
X
q x X
x X X
X
, max ess sup expξ ξ= − ( )
( )−
∈
∑ .
My baçymo, wo u vypadku dodatnyx potencialiv finitno] di] (na ©ratci) moΩna
poklasty f = 0.
Qkwo dovesty, wo u c\omu banaxovomu prostori operatory v pravyx çastynax
(1), (2) [ obmeΩenymy, to ]x [dyni rozv’qzky u n\omu budut\ zobraΩeni zbiΩnymy
za joho normog rqdamy za stepenqmy cyx operatoriv pry skinçennyx z.
NevaΩko pomityty, wo u vypadku dodatnyx potencialiv vykonu[t\sq neriv-
nist\ K q q qx X x Y( )\ ; ≤ 2 Y
. Odnak ci[] nerivnosti nedostatn\o dlq dovedennq
obmeΩenosti operatora u pravij çastyni (1). Prypustymo teper, wo potencialy
magt\ skinçennu dig radiusa R, tobto dlq bud\-qkoho x ∈ X ma[ misce φX ( qX ) =
= 0, x x− ′ ≥ R, x′ ∈ X \ x, x x− ′ — evklidova vidstan\ miΩ dvoma vuzlamy.
Ce oznaça[, wo W q q qx X x S( )\ ; = W q q qx X x S y( )\ \; , y x− ≥ R, y ∈ S. Zvidsy,
vykorystovugçy naqvnist\ mnoΩnyka (− )1 Y S\
u vyrazi dlq qdra, otrymu[mo
K q q q Yx X x Y
Y
B Rx
( ) ≤ ( )( )\ ; 2 χ , (4)
de χA Y( ) = χAy Y
y( )∈∏ , χA y( ) — xarakterystyçna funkciq mnoΩyny A ⊂ Z d
,
a B Rx( ) — hiperkulq radiusa R iz centrom u vuzli x. Poklademo f 1 =
= e dyf q( ) ( )∫ ν ta pidstavymo cg nerivnist\ u pravu çastynu nerivnosti, wo zada[
normu operatora K:
K e e K q q q e dqf
f
X q
f q
Y X
Y
x X x Y
f q
Y
X
x
c
yy Y
,
,
\ess sup ;ξ ξ ξ ν≤ +( ) ( ) ∑ ( )− − ( )
⊂
( )∑ ∫ ∈1
1 .
Todi, vraxovugçy, wo 1 1 = 1, ta nextugçy indeksom f pry f = 0 v normi, ot-
rymu[mo
K e R
ξ
ξξ≤ ( + )−1 1 2v , vR B R= ( )0 .
OtΩe, my dovely u vypadku dodatnyx potencialiv finitno] di] nastupnu teoremu.
Nexaj vsi bahatoçastynkovi potencialy, krim parnoho, [ dodatnymy ta ma-
gt\ skinçennu dig, a parnyj potencial [ prostym superstijkym (dodatnym su-
perstijkym abo dodatnym zi skinçennog di[g). Todi operator K̃ K( ) [ obme-
Ωenym u prostori E f f,ξ = β γ v pry γ ≥ 3J / 2 ( γ ≥ J / 2 abo f = 0 ), a [dyni
rozv’qzky rivnqn\ (1), (2) u n\omu zobraΩugt\sq rqdamy z kompleksnym z
ρ = z z K n
n
( )
≥
∑ α
0
, ρ = z z K n
n
( )
≥
∑ ˜ α
0
,
zbiΩnymy vidpovidno pry z ≤ K f ,ξ
−1 , z ≤ ˜
,
K
f ξ
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1430 V. I. SKRYPNYK
Dovedennq ci[] teoremy u zahal\nomu vypadku ©runtu[t\sq na vykorystanni
rekurentnoho spivvidnoßennq W q q q qx S x y x yy S2( ) = ( )( )′ ∈ ′∑ φ , ,
K q q q K q q q S G q q Y Sx X Y x X S B R x Y S B R
S Y
x x
c( ) = ( ) ( ′) ( ) ( ′)′ ( ) ′ ( )
′⊆
∑; ; \\χ χ ,
G q q e ex S
S S W q q
S S
q q
y S
x S x y x y( ) = (− ) = ( − )′ − ( )
′⊆
− ( )
∈
′∑ ∏1 12\ ,,β βφ
,
qke my dovedemo v kinci statti.
Nexaj parnyj potencial [ dodatnym, ale ne ma[ finitno] di]. Z c\oho reku-
rentnoho spivvidnoßennq ta z (4) vyplyva[ vaΩlyva nerivnist\
K q q q S G q q G q q yx X x Y
S
S Y
B R x Y S x y B R
y Y
x x
( ) ≤ ( ′) ( ) = ( ) + ( )[ ]′
′⊆
( ) ′ ( )
∈
∑ ∏\ \; 2 2χ χ ,
(5)
z qko], v svog çerhu, otrymu[mo nerivnist\
Y X
Y
x X x Y
f q
Y
c
yy YK q q q e dq
⊂
( )∑ ∫ ( ) ∑ ( )∈ξ ν
β
\ ; ≤
≤
y x
q q f q
y B R
fe e dq y ex y x y y
x
≠
− ( ) ( )
( )∏ ∫+ − ( ) + ( )[ ]( )1 1 2 1ξ ν χβφ , ,
. (6)
Z dodatnosti, superstijkosti parnoho potencialu ta z nerivnosti 1 – e–a ≤ a, a ≥
0, vyplyva[ ocinka
e e dq J q e ex y x y yq q f q
y x y x
f f− ( ) ( )
−− ( ) ≤ ( ) +[ ]∫ βφ ν β, ,
1
2 1 1v v .
Todi vyraz u kruhlyx duΩkax u pravij çastyni (6) ne perevywu[
e
J q e e y ex y x
f f
Bx R
fξ β χ
2
21 1 1− ( )( ) + + ( )
v v
.
V rezul\tati
K e e J ef
f f
R
f
, expξ ξ β ξ≤ +( ) +( ){ }−1
1 1 12 v v < ∞, γ ≥ J
2
,
tobto my dovely teoremu dlq vypadku parnoho dodatnoho potencialu.
Dlq dovedennq teoremy u zahal\nomu vypadku skorysta[mos\ analohamy (4)
ta (5). Dlq normy K̃ ma[mo
˜
,
K
f ξ
≤
≤ ξ ξ χ ν−
∈
− ( ) ( )
+( ) ( ) ( ) ∑ ( )∑ ∑ ∫ ∈1
1e q e K q q q e dqf
X q x X Y X
Y
x X
f q
x X x Y
f q
Y
X
c
x yy Yess sup ;
, \
*
\ .
Na pidstavi umov dodatnosti neparnyx potencialiv ta superstijkosti otrymu[mo
K q q q e e ex X x Y
W q q q
S Y
W q q W q q
S Y
x X x S x X x x S( ) ≤ =− ( )
⊆
− ( ) − ( )
⊆
∑ ∑\
,
; \ \β β β2 2 2 ≤
≤
e e e
W q q J q J q
S Y
x X x x x z zz S− ( ) ( ) ( )
⊆
−∈∑∑β
β β
2 2 2\
v v
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
ROZV’QZKY RIVNQNNQ KIRKVUDA – ZAL|CBURHA … 1431
=
e e e
W q q J q J q
z Y
x X x x x z z− ( ) ( ) ( )
∈
( )+
−∏β
β β
2 2 21\
v v
.
Z umovy (2′ ) ta z ostann\o] nerivnosti vyplyva[, wo
χ χ
β β
x X x X x Y x X
J q J q
z Y
q K q q q q e e
x x z z*
\
*,( ) ( ) ≤ ( ) +
( ) ( )
∈
( )−∏
3
2 21
v v
.
Pidstavlqgçy cg nerivnist\ u rekurentne spivvidnoßennq, oderΩu[mo
χx X x X x Yq K q q q*
\ ,( ) ( ) ≤
≤ e e S G q q q
J q
S Y
J q
z S
B R x Y S x X
x x z z
x
3
2 21
β β
χ χ
v v( )
⊆
( )
∈
( )∑ ∏( )+ ( ) ( ) ( )
−
\
* =
=
e G q q y e q
J q
y Y
x y B R
J q
x X
x
x
x y y
3
2 21
β β
χ χ
v v( )
∈
( )
( )[ ( ) + ( ) + ] ( )∏ ( )− *
,
tobto
χ χ χ
β β
x X x X x Y
J q
y Y
x y B R
J q
x Xq K q q q e G q q y e q
x
x
y*
\
*,( ) ( ) ≤ [ ( ) + ( ) ] ( )
( )
∈
( )
( )
∏
3
2 22
v v
.
Pry c\omu my skorystalys\ tym, wo Jx y− ≤ J. Ostannq nerivnist\ oznaça[, wo
ξ χ ν
βY
x X
Y X
x X x Y
f q
Yq K q q q e dq
c
yy Y*
\ ;( ) ( ) ∑ ( )
⊂
( )∑ ∫ ∈ ≤ χ
β
x X
J q
q e
x
* ( )
( )3
2
v
×
×
y x
q q f q
y B R
f J
e e dq y ex y x y y
x
≠
− ( ) ( )
( )
+
∏ ∫+ − ( ) + ( )
1 1 2 2
1
ξ ν χβφ
β
, , v
. (7)
Dlq ocinky intehrala zbiΩnosti neskinçennoho dobutku v pravij çastyni ci[]
ocinky skorysta[mos\ umovog prosto] superstijkosti ta nerivnistg
( − ) ≤ ( − )( − )e e eab a b1 1 12 2 2
, a, b ≥ 0.
Ostannq nerivnist\ dovodyt\sq z dopomohog nerivnosti (v [3] ]] vykorystano bez
dovedennq)
e ab e ds ab e dsab sab
s a b
− = ( ) ≤ ( )− − ( + )
∫ ∫1 1
0
1
1 4
0
1 2
,
peretvorennq Fur’[ dlq eksponenty v ]] pravij çastyni ta nerivnosti Ívarca.
Poznaçymo çerez Ix intehral u pravij çastyni (7). Todi e x y x yq q− ( ) −βφ , ,
1 ≤
≤ e x y x yq qβ φ , ,( ) − 1 ta
I e e e dqx
J q J q f q
y
x y y x y x≤ − − ( )∫ − −( ) ( ) ( )β β νv v
1 1
1 2 1 2/ /
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1432 V. I. SKRYPNYK
≤
( ) ( ) ( )−
( ) ( )+ ( )−
∫β ν
β β
J e e q dqx y
J q J q f qx y x1 2 2 2/ v v
v .
Pry c\omu my skorystalys\ nerivnostqmy ea − 1 ≤ a ea
, Jx y− ≤ J. Takym
çynom,
1 2 2
1
+ + ( )
( )
+ξ χ
β
I y
ex B R
f J
x
v ≤
≤ e
J q J e y ex y x x y
f J
Bx R
f Jβ ξ β χ
β β
2
21 2 2
1
2
1− −
+
( )
+
( )+ [( ) ( ) ]+v v
v v/
.
Iz rivnosti (3) ta nerivnosti (7) otrymu[mo ocinku
˜ exp
,
K e e J e
f
f f J
R
f J
ξ
β β
ξ β ξ≤ +( ) +
− + +1
1
2
1 1
2
1
2
v v
v v < ∞.
OtΩe, teoremu dovedeno i v zahal\nomu vypadku.
Dovedemo teper rekurentne spivvidnoßennq. VaΩlyvu rol\ u dovedenni vi-
dihra[ rivnist\
W q q q W q q q W q qx X x S x X x S S x S( ) = ( ) + ( )′ ′\ \ \, , 2 , y ∉ B Rx( ), y ∈ S ′, (8)
qka vyplyva[ z rivnosti
W q q W q q W q qx S x S x S S2 2 2( ) = ( ) + ( )′ ′\ .
Pidstavymo rivnist\
1 = ( )( ) ( )
∈
( )
′⊆
( )( ) + ( ) = ( ′) ( ′)∏ ∑χ χ χ χ
B R B R
y Y
B R
S Y
B Rx
c x x x
cy y S Y S\
u vyraz dlq qder K. Todi, pidsumovugçy otrymanyj vyraz ta vraxovugçy (8),
oderΩu[mo
(− ) ( ′) ( ′)− ( )
⊆
( )
′⊆
( )∑ ∑1 Y S W q q q
S Y
B R
S Y
B R
e S Y Sx X x S
x x
c
\ ,\ \
β χ χ =
= (− ) ( ′) ( ′)− ( )
⊆
( )
′⊆
( )∑∑ 1 Y S W q q q
S Y
B R
S Y
B R
e S Y Sx X x S
x x
c
\ ,\ \
β χ χ =
= (− ) − −( )
⊆ ′⊆ ′′⊆
∑∑∑ 1 1 2
12
Y S S
S SS Y SS Y \
×
× e S Y S
W q q q W q q q
B R B R
x X x S x X x S
x x
c
− ( )+ ( )[ ]
( ) ( )( ′) ( ′)β χ χ\ \; ;
\1 2 2 =
= χ χ β
B R
S Y
B R
S S W q q q
S S
x x
c
x X x SS Y S e( )
′⊆
( )
′ −( ) − ( )
⊆ ′
( ′) ( ′) (− )∑ ∑\ \ ,
1 1 1
1
×
× (− ) − ′ −( ) − ( )
⊆ ′
∑ 1 2 2 2
2
Y S S W q q q
S Y S
e x X x Sβ \ ;
\
,
wo i dovodyt\ rekurentne spivvidnoßennq.
ZauvaΩennq 1. Korelqcijni funkci] velykoho kanoniçnoho ansamblg v
kompaktnij oblasti Λ ⊂ Zd
vyznaçagt\sq takym çynom:
ρ χ βΛ
Λ Λ
Λ
Ξ( ) = ( ) −
⊆
− ( )∑ ∫q X z dq eX
Y X
Y X
Y
U qc X Y1
\
∪ ∪
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
ROZV’QZKY RIVNQNNQ KIRKVUDA – ZAL|CBURHA … 1433
de ΞΛ — velyka statystyçna suma, vyraz dlq qko] zbiha[t\sq z çysel\nykom pry
X = ∅, χΛ( )X — xarakterystyçna funkciq mnoΩyny X; intehruvannq provo-
dyt\sq za mirog Lebeha ta R
Y
. Rivnqnnq (1) otrymano v termodynamiçnij hra-
nyci Λ → Z d
. U cij hranyci i çysel\nyk, i znamennyk rozbihagt\sq dlq tran-
slqcijno-invariantno] Uc
.
ZauvaΩennq 2. Isnu[ klas parnyx potencialiv, qki moΩna peretvoryty u
dodatni, zminggçy pry c\omu potencial zovnißn\oho polq. Do nyx, zokrema, na-
leΩat\ feromahnitnyj potencial
φx y x y x y s
s
s x s yq q J q q, ,,( ) = − ( ) ( )−∑ v v , vs, Jx y s− , ≥ 0,
de pidsumovuvannq po s provodyt\sq za skinçennog mnoΩynog cilyx çysel.
Dijsno,
− ( ) ( ) = − ( ) − ( ) + ( ) − ( )( )[ ]2 2
v v v v v vs x s y s x s y s x s yq q q q q q .
Dodatnyj potencial
φx y x y x y s
s
s x s yq q J q q, ,,( ) = ( ) − ( )( )−∑ v v
2, vs, Jx y s− , ≥ 0,
zadovol\nq[ umovu superstijkosti, v qkij Jx = 4 1− max ,
s
x sJ , v = vss∑ . Zamina v
rivnqnni KZ staroho parnoho potencialu na novyj pryvodyt\ do zminy miry ν,
tobto zaminy potencialu zovnißn\oho polq u ( q ) na u –
J qx s sx s ,,
v ( )∑ .
ZauvaΩennq 3. Pobudova rozv’qzkiv rivnqnnq KZ dlq oscylqtoriv ta neob-
meΩenyx spiniv same çerez neobxidnist\ symetryzaci] znaçno vidriznq[t\sq vid
pobudovy joho rozv’qzkiv dlq obmeΩenyx neperervnyx çy skinçennyx spiniv ta
©ratkovoho hazu, qki [ vidomymy [1]. Tomu niqki metody pobudovy rozv’qzkiv riv-
nqnnq KZ dlq obmeΩenyx spiniv ta ©ratkovoho hazu (c\omu prysvqçeno bahato
statej) ne moΩna vykorystaty dlq system oscylqtoriv ta neobmeΩenyx spiniv.
Otrymanyj u cij statti rezul\tat moΩna lehko uzahal\nyty na vypadok neob-
meΩenyx dyskretnyx spiniv iz bahatoçastynkovog vza[modi[g takoho Ω typu, qk
i dlq oscylqtoriv. Zaproponovanyj metod ocinky normy operatora KZ u vypad-
ku bahatoçastynkovo] vza[modi] oscylqtoriv [ novym i bazu[t\sq na novomu reku-
rentnomu spivvidnoßenni dlq joho qder. Podibne rekurentne spivvidnoßennq
raniße ne vykorystovuvalos\.
1. Rgπl\ D. Statystyçeskaq mexanyka. Strohye rezul\tat¥. – M.: Myr, 1971. – 367 s.
2. Israel R., Nappi C. Quark confinement in the two dimensional lattice Higgs – Villain model //
Communs Math. Phys. – 1978/1979. – 64, # 2. – P. 177 – 189.
3. Kunz H. Analyticity and clustering properties of unbounded spin systems // Ibid. – 1978. – 59,
# 1. – P. 53 – 69.
4. Ruelle D. Probability estimates for continuous spin systems // Ibid. – 1976. – 50. – P. 189 – 194.
5. Park Y. M., Yoo H. J. Uniqueness and clustering properties of Gibbs states for classical and
quantum unbounded spin systems // J. Stat. Phys. – 1995. – 80, # 1/2. – P. 223 – 271.
6. Skrypnyk V. I. Pro polimerni rozklady dlq rivnovaΩnyx system oscylqtoriv z ternarnog
vza[modi[g // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 11.
OderΩano 24.10.07,
pislq doopracgvannq — 09.11.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
|