Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений
Для параболічного квазілінійного рівняння з монотонним опуклим потенціалом методом декомпозиції побудовано супер- та субпараболічні бар'єрні функції.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164778 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений / В.Г. Бондаренко, Ю.Ю. Прокопенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1449–1456. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164778 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647782020-02-11T01:28:33Z Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений Бондаренко, В.Г. Прокопенко, Ю.Ю. Статті Для параболічного квазілінійного рівняння з монотонним опуклим потенціалом методом декомпозиції побудовано супер- та субпараболічні бар'єрні функції. For a parabolic quasilinear equation with monotone convex potential, we construct superparabolic and subparabolic barrier functions by the method of decomposition. 2008 Article Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений / В.Г. Бондаренко, Ю.Ю. Прокопенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1449–1456. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164778 517.956 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бондаренко, В.Г. Прокопенко, Ю.Ю. Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений Український математичний журнал |
| description |
Для параболічного квазілінійного рівняння з монотонним опуклим потенціалом методом декомпозиції побудовано супер- та субпараболічні бар'єрні функції. |
| format |
Article |
| author |
Бондаренко, В.Г. Прокопенко, Ю.Ю. |
| author_facet |
Бондаренко, В.Г. Прокопенко, Ю.Ю. |
| author_sort |
Бондаренко, В.Г. |
| title |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| title_short |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| title_full |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| title_fullStr |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| title_sort |
варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164778 |
| citation_txt |
Варьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений / В.Г. Бондаренко, Ю.Ю. Прокопенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1449–1456. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bondarenkovg varʹernyefunkciidlâodnogoklassapolulinejnyhparaboličeskihuravnenij AT prokopenkoûû varʹernyefunkciidlâodnogoklassapolulinejnyhparaboličeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-14T17:21:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:21:48Z |
| _version_ |
1837643814634782720 |
| fulltext |
UDK 517.956
V. H. Bondarenko, G. G. Prokopenko (Nac. texn. un-t Ukrayn¥ „KPY”, Kyev)
BAR|ERNÁE FUNKCYY DLQ ODNOHO KLASSA
POLULYNEJNÁX PARABOLYÇESKYX URAVNENYJ
For a parabolic quasilinear equation with a monotone convex potential, we construct superparabolic and
subparabolic barrier functions by using the decomposition method.
Dlq paraboliçnoho kvazilinijnoho rivnqnnq z monotonnym opuklym potencialom metodom de-
kompozyci] pobudovano super- ta subparaboliçni bar’[rni funkci].
1. Postanovka zadaçy y predvarytel\n¥e svedenyq. Lynejnoe paraboly-
çeskoe uravnenye kak matematyçeskaq model\ processa dyffuzyy obladaet rq-
dom nedostatkov. Tak, reßenyg u ( t, x ) zadaçy Koßy
∂
∂
=u
t
Lu , u ( 0, x ) = f ( x ), x ∈ Rn
,
s πllyptyçeskym operatorom
Lu a x
u
x x
A x u t xjk
j k
= ( ) ∂
∂ ∂
≡ ( )∇ ( )
2
2tr ,
sootvetstvuet beskoneçnaq skorost\ rasprostranenyq vozmuwenyj.
Bolee estestvennoj matematyçeskoj model\g qvlqetsq nelynejnoe parabo-
lyçeskoe uravnenye (sm. obzor [1]), naprymer polulynejnoe uravnenye
∂
∂
= + ( ∇ )u
t
Lu x u uΦ , , v fazovom prostranstve E = Rn.
V çastnosty, otmetym rabotu [2], posvqwennug yssledovanyg svojstv reßenyq
zadaçy Koßy dlq uravnenyq „reakcyq–dyffuzyq”
∂
∂
= − ( )u
t
u g t x u up∆ , sgn , u ( 0, x ) = f ( x ), 0 < p < 1, g ( t, x ) ≥ 0,
v kotoroj pryveden¥ uslovyq mhnovennoj kompaktyfykacyy nosytelq (MKN)
reßenyq: pry nekotor¥x uslovyqx na funkcyy f y g supp u ( t, x ) ⊂ [ a; b ] dlq
lgboho t > 0.
Analohyçn¥e rezul\tat¥ poluçen¥ y dlq bolee obwyx kvazylynejn¥x urav-
nenyj [3].
V nastoqwej rabote rassmotrena zadaça Koßy
∂
∂
= − ( )u
t
Lu uΦ , u ( 0, x ) = f ( x ) ≥ 0, x ∈ Rn, (1)
y pry nekotor¥x uslovyqx na potencyal Φ dlq reßenyq u ( t, x ) postroen¥ ba-
r\ern¥e funkcyy — superparabolyçeskaq y subparabolyçeskaq. Sxema postro-
enyq takyx funkcyj — metod rasweplenyq (dekompozycyy) uravnenyq (1): upo-
mqnut¥e funkcyy qvlqgtsq superpozycyej reßenyj uravnenyj
∂
∂
=v
v
t
L ,
dw
dt
w= − ( )Φ .
Ydeq metoda rasweplenyq b¥la ewe v 70-x hodax predloΩena G. L. Dalec-
kym. ∏tot metod prymenqlsq v rabotax [4, 5] dlq lynejnoho uravnenyq
∂
∂
= +u
t
Lu L u1 ,
hde vozmuwenye L1 — πllyptyçeskyj operator: v upomqnut¥x rabotax poluçe-
© V. H. BONDARENKO, G. G. PROKOPENKO, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11 1449
1450 V. H. BONDARENKO, G. G. PROKOPENKO
no predstavlenye
e e e B tt L L tL tL( + ) = + ( )1 1
y yzuçen¥ svojstva semejstva operatorov B ( t ).
Vsgdu nyΩe predpolahaetsq, çto operatornoe pole A ( x ) dyffuzyy ohrany-
çeno y dyfferencyruemo.
Vvedem rqd oboznaçenyj y opredelenyj.
Fundamental\noe reßenye nevozmuwennoho parabolyçeskoho uravnenyq obo-
znaçym çerez p ( t, x, y ) , t > 0, x, y ∈ E, a sootvetstvugwug perexodnug veroqt-
nost\
P t x p t x y dy( ) = ( )∫, , , ,Γ
Γ
nazovem dyffuzyonnoj meroj. Tohda
v( ) = ( ) ( )∫t x f y p t x y dy
E
, , ,
est\ reßenye zadaçy Koßy dlq uravnenyq
∂
∂
=v
v
t
L , v ( 0, x ) = f ( x ) ≥ 0.
Çerez w ( t, x ) oboznaçym neotrycatel\noe reßenye zadaçy Koßy dlq ob¥k-
novennoho dyfferencyal\noho uravnenyq
dw
dt
w= − ( )Φ , w ( 0, x ) = f ( x ) ≥ 0.
Opredelenye 1. Pust\ µ — veroqtnostnaq mera na borelevskoj σ -al-
hebre metryçeskoho prostranstva X, f — neprer¥vnaq vewestvennaq funkcyq
na X. Nazovem meru µ:
neprer¥vnoj otnosytel\no f, esly
lim ,
ε
εµ
→
( )
0
Dc = 0;
lypßycevoj otnosytel\no f, esly otnoßenye
µ
ε
ε( )Dc,
ohranyçeno, hde proobraz
D x c f x cc, :ε ε= < ( ) < +{ }.
Neprer¥vnost\ otnosytel\no f oznaçaet absolgtnug neprer¥vnost\ µ ot-
nosytel\no ynducyrovannoj mer¥ µf
.
Prymerom lypßycevoj mer¥ qvlqetsq haussova mera v R n
, esly f ( x ) =
= ϕ x( ), hde ϕ ( s ) — monotonna s ohranyçenyqmy snyzu na skorost\ vozrasta-
nyq yly ϕ ymeet ohranyçennug varyacyg na [ 0; l ] dlq vsex l. Otsgda sleduet
lypßycevost\ dyffuzyonnoj mer¥ P ( t, x, Γ ) dlq takyx Ωe funkcyj, tak kak
fundamental\noe reßenye p ( t, x, y ) dopuskaet dvustoronngg ocenku hausso-
v¥my plotnostqmy. Odno yz dostatoçn¥x uslovyj lypßycevosty dlq nekoto-
r¥x klassov mer y funkcyj pryvedeno v [6, s. 193 – 194].
Obobwenye. Pust\ ϕ ( s ) — vozrastagwaq funkcyq,
∆c x c f x c, :ε ϕ ϕ ε= ( ) < ( ) < ( + ){ }.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
BAR|ERNÁE FUNKCYY DLQ ODNOHO KLASSA … 1451
Sootnoßenyq
lim ,
ε
εµ
→
( )
0
∆c = 0,
1
ε
µ ε( )∆c, < const
oznaçagt sootvetstvenno neprer¥vnost\ y lypßycevost\ µ otnosytel\no kom-
pozycyy ϕ–
1 � f. Esly ϕ — lypßyceva, to yz neprer¥vnosty y lypßycevosty µ
otnosytel\no f sledugt te Ωe svojstva otnosytel\no ϕ–
1 � f.
UtverΩdenye 1. Pust\
g t f x t dx
Dt
( ) = ( ) − ( )( )∫ µ , D x f x tt = ( ) >{ }: .
Esly f neprer¥vna, µ lypßyceva otnosytel\no f, to g′ ( t ) = 0.
2. Osnovn¥e rezul\tat¥. 2.1. Stepennoj potencyal. Rassmotrym vna-
çale zadaçu Koßy
∂
∂
= −u
t
Lu buα , x ∈ Rn
, u ( 0, x ) = f ( x ) ≥ 0, b > 0, α > 0,
y yssleduem otdel\no sluçay α > 1 y 0 < α < 1.
Pust\ α > 1. PoloΩym
w t x f x bt f x( ) = ( ) + ( − ) ( )( )− − ( − ), /1 1 1 1 1α α α
y oboznaçym çerez u1 y u2 kompozycyy, sostavlenn¥e yz funkcyj v ( t, x ) y
w ( t, x ):
u t x w t y p t x y dy
E
1( ) = ( ) ( )∫, , , , ,
u t x bt t x2
1 1 11 1= ( ) + ( − ) ( )( )− − ( − )v v, , /α α α
.
Lehko vydet\, çto
dw
dt
= – b wα
, w ( 0, x ) = f ( x ).
Pust\ 0 < α < 1.
Osobennost\ takoj zadaçy — obnulenye u ( t, x ) dlq t > t0 pry nekotor¥x
uslovyqx na naçal\nug funkcyg. Çerez ˜ ,w t x( ) oboznaçym neotrycatel\noe
reßenye zadaçy Koßy:
dw
dt
bw
˜
˜= − α
, ˜ ,w x( )0 = f ( x ) ≥ 0,
t. e.
˜ ,
, ,
, ,
/
w t x
f x b t t
f x
b
t
f x
b
( ) =
( ) − ( − ) < ( )
( − )
≥ ( )
( − )
( )− ( − )
−
−
1 1 1
1
1
1
1
0
1
α α
α
α
α
α
α
y poloΩym
u t x w t y p t x y dy
E
3( ) = ( ) ( )∫, ˜ , , , = ( )− ( − )( ) − ( − ) ( )∫ f y bt p t x y dy
Dt
1 1 11α αα / , , ,
u t x
t x bt t
t x
b
t
t x
b
4
1 1 1
1
1
1
1
0
1
( ) =
( ) − ( − ) < ( )
( − )
≥ ( )
( − )
( )− ( − )
−
−
,
, ,
,
,
,
,
,
/v
v
v
α α
α
α
α
α
α
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1452 V. H. BONDARENKO, G. G. PROKOPENKO
hde
D y f y btt = ( ) > ( − ){ ( ) }( − ): /1 1 1α α
.
Teorema 1. Funkcyq u1 — subparabolyçeskaq, funkcyq u 2 — superpara-
bolyçeskaq, t. e. ymegt mesto neravenstva
u1 ( t, x ) ≤ u ( t, x ) ≤ u2 ( t, x ), t > 0, x ∈ Rn, α > 1.
Esly dyffuzyonnaq mera P ( t, x, Γ ) lypßyceva, to funkcyq u 3 — super-
parabolyçeskaq, funkcyq u4 — subparabolyçeskaq, t. e.
u4 ( t, x ) ≤ u ( t, x ) ≤ u3 ( t, x ), t > 0, x ∈ Rn, 0 < α < 1.
Dokazatel\stvo sostoyt v yspol\zovanyy pryncypa maksymuma, t. e. v
ustanovlenyy znaka nevqzok
h
u
t
Lu buk
k
k k= ∂
∂
− + α
.
Tak,
h t x b w t y p t x y dy w t y p t x y dy
E E
1( ) = ( ) ( )
− ( ) ( )
∫ ∫, , , , , , ,
α
α ≤ 0
v sylu neravenstva Hel\dera dlq veroqtnostnoj mer¥ P ( t, x, dy ).
Vtoraq nevqzka
h t x2( ), =
= α α αα α α( − ) ( ) + ( − ) ( ) ( )∇ ( ) ∇ ( )− − − ( − )−( ) ( )1 1 12 1 1 1 2bt t x bt t x A x t x t xv v v v, , , , ,/ ≥ 0
v sylu poloΩytel\nosty matryc¥ dyffuzyy.
Pry v¥çyslenyy sledugwej nevqzky yspol\zuetsq utverΩdenye 1:
h t x b w t y p t x y dy w t y p t x y dy
E E
3( ) = ( ) ( )
− ( ) ( )
∫ ∫, ˜ , , , ˜ , , ,
α
α ≥ 0
v sylu neravenstva Hel\dera.
Nakonec,
h t x4( ), =
= –
bt
t x
t x bt A x t x t x
α α αα
α α( − )
( )
( ) − ( − ) ( )∇ ( ) ∇ ( )+
− ( − )−( ) ( )1
11
1 1 1 2
v
v v v
,
, , , ,/ ≤ 0,
esly t <
v1
1
− ( )
( − )
α
α
t x
b
,
.
Yz poluçenn¥x neravenstv sleduet utverΩdenye teorem¥.
V çastnom sluçae α =
1
2
teorema 1 dokazana v rabote [7].
2.2. V¥pukl¥j potencyal. V pryvedenn¥x v¥ße v¥çyslenyqx znak nevqz-
ky faktyçesky opredelqetsq napravlenyem v¥puklosty funkcyy Φ. Obobwym
rezul\tat¥ p. 2.1, rassmotrev uravnenye (1), hde potencyal Φ — stroho vozras-
tagwaq funkcyq, Φ ( 0 ) = 0, y vvedem dva sluçaq:
2.2.1. Φ v¥pukla vnyz na ( 0; ∞ ),
dz
zΦ( )
∞
∫σ
< ∞ dlq lgboho σ > 0. Po-
loΩym
ψ( ) =
( )
∞
∫s
dz
z
s
Φ
, w t x bt f x( ) = + ( ( ))− ( ), ψ ψ1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
BAR|ERNÁE FUNKCYY DLQ ODNOHO KLASSA … 1453
y opredelym funkcyy
u t x w t y p t x y dy
E
1( ) = ( ) ( )∫, , , , ,
u t x bt t x2
1( ) = + ( ( ))− ( ), ,ψ ψ v .
Zametym, çto v sylu ub¥vanyq ψ spravedlyvo neravenstvo
u t x t x2( ) ≤ ( ), ,v .
2.2.2. Pust\ Φ v¥pukla vverx na ( 0; ∞ ), dz
zΦ( )∫0
σ
< ∞ dlq lgboho σ > 0.
PoloΩym
ψ̃( ) =
( )∫s
dz
z
s
Φ
0
,
˜ ,
˜ ˜ ,
˜
,
,
˜
,
w t x
f x bt t
f x
b
t
f x
b
( ) =
( ( )) − < ( )
≥ ( )
− ( ) ( )
( )
ψ ψ ψ
ψ
1
0
u t x w t y p t x y dy
E
3( ) = ( ) ( )∫, ˜ , , , = ˜ ˜ , ,ψ ψ− ( )( ( )) − ( )∫ 1 f y bt p t x y dy
Dt
,
u t x
t x bt t
b
dz
z
t
b
dz
z
t x
t x4
1
0
0
1
0
1
( ) =
( ( )) − <
( )
≥
( )
−
( )
( )
( ) ∫
∫
,
˜ ˜ , , ,
, ,
,
,
ψ ψ v
v
v
Φ
Φ
hde
D y f y btt = ( ) > ( ){ }−: ψ̃ 1
.
Otmetym oçevydnoe neravenstvo u4 ≤ v.
Teorema 2. V sluçae 2.2.1 spravedlyva dvustoronnqq ocenka
u1 ( t, x ) ≤ u ( t, x ) ≤ u2 ( t, x ), t > 0, x ∈ Rn
.
Esly dyffuzyonnaq mera P ( t, x, Γ ) lypßyceva otnosytel\no funkcyy ψ ( f ),
to v sluçae 2.2.2 ymegt mesto neravenstva
u4 ( t, x ) ≤ u ( t, x ) ≤ u3 ( t, x ), t > 0, x ∈ Rn
.
Dokazatel\stvo opqt\ Ωe sostoyt v ustanovlenyy znaka nevqzok. Tak,
h t x
b
w t y p t x y dy w t y p t x y dy
E E
1( ) = ( ) ( )
− ( ) ( )∫ ∫ ( ),
, , , , , ,Φ Φ ≤ 0
v sylu v¥puklosty Φ vnyz;
h t x A x t x t x
u
u2
2
2 2( ) = ( )∇ ( ) ∇ ( ) ( )
( )
′( ) − ′( )( ) ( ), , , ,v v
v
v
Φ
Φ
Φ Φ ≥ 0
v sylu vozrastanyq Φ′;
V¥çyslenye nevqzky h3 opyraetsq na utverΩdenye 1:
h t x
b
w t y p t x y dy w t y p t x y dy
E E
3( ) = ( ) ( )
− ( ) ( )∫ ∫ ( ), ˜ , , , ˜ , , ,Φ Φ ≥ 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1454 V. H. BONDARENKO, G. G. PROKOPENKO
v sylu v¥puklosty Φ vverx;
h t x A x t x t x
u
u4
4
2 4( ) = ( )∇ ( ) ∇ ( ) ( )
( )
′( ) − ′( )( ) ( ), , , ,v v
v
v
Φ
Φ
Φ Φ ≤ 0
v sylu vozrastanyq Φ′.
Rys. 1
Yz ustanovlenn¥x dlq nevqzok neravenstv v¥tekaet utverΩdenye teorem¥ 2.
3. Rezul\tat¥ v¥çyslytel\noho πksperymenta. V kaçestve prymera b¥la
rassmotrena zadaça Koßy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
BAR|ERNÁE FUNKCYY DLQ ODNOHO KLASSA … 1455
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
−u
t
u
x
u
x
bu
2
1
2
2
2
2
α
, u x x
x x
( ) =
+ +
0
1
1
2
1
2
2
2
, ,
pry α = 2 y pry α = 0.5.
Rys. 2
Dlq dannoho naçal\noho uslovyq b¥ly çyslenno poluçen¥ znaçenyq bar\er-
n¥x funkcyj u t x x1 1 2( ), , y u t x x2 1 2( ), , pry α = 2 y u t x x3 1 2( ), , y u t x x4 1 2( ), ,
pry α = 0.5, a takΩe metodom koneçn¥x raznostej poluçeno reßenye πtoho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1456 V. H. BONDARENKO, G. G. PROKOPENKO
uravnenyq u t x x( ), ,1 2 .
Na rys. 1 pokazan¥ hrafyky çyslennoho reßenyq dlq α = 2, a takΩe razny-
ca meΩdu çyslenn¥m reßenyem y subparabolyçeskoj funkcyej y raznyca meΩ-
du çyslenn¥m reßenyem y superparabolyçeskoj funkcyej. Hrafyky sootvet-
stvugt t = 0.5. Parametr b vzqt ravn¥m 2.
Na rys. 2 pokazan¥ hrafyky çyslennoho reßenyq dlq α = 0.5, a takΩe raz-
nyca meΩdu çyslenn¥m reßenyem y subparabolyçeskoj funkcyej y raznyca
meΩdu çyslenn¥m reßenyem y superparabolyçeskoj funkcyej. Hrafyky soot-
vetstvugt t = 0.5. Parametr b vzqt ravn¥m 2. Na rys. 2 vydno nalyçye MKN.
Vsledstvye πtoho πffekta bar\ern¥e funkcyy y reßenye za koneçnoe vremq
okaz¥vagtsq toΩdestvenno ravn¥my nulg, pryçem tem b¥stree, çem bol\ße
znaçenye parametra b. Pry b = 2 u t3 0 0( ), , = 0 naçynaq s t = 1, u t( ), ,0 0 = 0
naçynaq s t = 0.774, u t4 0 0( ), , = 0 naçynaq s t = 0.767.
1. Kalaßnykov A. S. Nekotor¥e vopros¥ kaçestvennoj teoryy nelynejn¥x v¥roΩdagwyxsq
parabolyçeskyx uravnenyj vtoroho porqdka // Uspexy mat. nauk. – 1987. – 42, #V3. – S. 135 –
176.
2. Kalaßnykov A. S. Ob uslovyqx mhnovennoj kompaktyfykacyy nosytelej reßenyj poluly-
nejn¥x parabolyçeskyx uravnenyj y system // Mat. zametky. – 1990. – 47, # 1. – S. 74 – 80.
3. Galaktionov V. A., Shishkov A. E. Saint-Venant’s principle in blow-up for higher-order quasi-linear
parabolic equations // Proc. Royal Soc. Edinburgh. – 2003. – 113A. – P. 1075 – 1119.
4. Bondarenko V. H. Vozmuwennoe parabolyçeskoe uravnenye na rymanovom mnohoobrazyy //
Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 7. – S. 977 – 982.
5. Bondarenko V. H. Postroenye fundamental\noho reßenyq vozmuwennoho parabolyçeskoho
uravnenyq // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 8. – S. 1011 – 1021
6. Federer H. Heometryçeskaq teoryq mer¥. – M: Nauka, 1987. – 760 s.
7. Bondarenko V. H., Selyn A. N. Ocenky reßenyq uravnenyq typa „reakcyq – dyffuzyq” //
Systemni doslidΩennq ta informacijni texnolohi]. – 2007. – # 1. – S. 124 – 128.
Poluçeno 22.05.07,
posle dorabotky — 28.08.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
|