Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура
Введено понятие категорно кликового отображения и доказано, что для каждого KhC-отображения f:X×Y→Z (где X — топологическое пространство, Y — пространство с первой аксиомой счетности, Z — пространство Мура) с категорно кликовыми горизонтальными y-разрезами fy множества Cy(f) для каждого y∈Y являются...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164783 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1539–1547. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164783 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647832020-02-11T01:28:53Z Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура Маслюченко, В.К. Михайлюк, В.В. Філіпчук, О.І. Статті Введено понятие категорно кликового отображения и доказано, что для каждого KhC-отображения f:X×Y→Z (где X — топологическое пространство, Y — пространство с первой аксиомой счетности, Z — пространство Мура) с категорно кликовыми горизонтальными y-разрезами fy множества Cy(f) для каждого y∈Y являются остаточными множествами типа G в X. We introduce the notion of categorical cliquish mapping and show that, for each K h C-mapping f: X × Y → Z, where X is a topological space, Y is a space with the first axiom of countability, and Z is a Moore space, with categorical-cliquish horizontal y-sections f y , the sets C y (f) are residual G δ-type sets in X for every y ∈ Y. 2008 Article Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1539–1547. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164783 517.51 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Маслюченко, В.К. Михайлюк, В.В. Філіпчук, О.І. Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура Український математичний журнал |
| description |
Введено понятие категорно кликового отображения и доказано, что для каждого KhC-отображения f:X×Y→Z (где X — топологическое пространство, Y — пространство с первой аксиомой счетности, Z — пространство Мура) с категорно кликовыми горизонтальными y-разрезами fy множества Cy(f) для каждого y∈Y являются остаточными множествами типа G в X. |
| format |
Article |
| author |
Маслюченко, В.К. Михайлюк, В.В. Філіпчук, О.І. |
| author_facet |
Маслюченко, В.К. Михайлюк, В.В. Філіпчук, О.І. |
| author_sort |
Маслюченко, В.К. |
| title |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура |
| title_short |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура |
| title_full |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура |
| title_fullStr |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура |
| title_full_unstemmed |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура |
| title_sort |
сукупна неперервність khc-функцій зі значеннями в просторах мура |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164783 |
| citation_txt |
Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 11. — С. 1539–1547. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT maslûčenkovk sukupnaneperervnístʹkhcfunkcíjzíznačennâmivprostorahmura AT mihajlûkvv sukupnaneperervnístʹkhcfunkcíjzíznačennâmivprostorahmura AT fílípčukoí sukupnaneperervnístʹkhcfunkcíjzíznačennâmivprostorahmura |
| first_indexed |
2025-07-14T17:22:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:22:02Z |
| _version_ |
1837643829634662400 |
| fulltext |
UDK 517.51
V. K. Maslgçenko, V. V. Myxajlgk, O. I. Filipçuk
(Çern. nac. un-t im. G. Fed\kovyça)
SUKUPNA NEPERERVNIST| Kh
C-FUNKCIJ
ZI ZNAÇENNQMY V PROSTORAX MURA
We introduce a notion of a categorical cliquish mapping and prove that, for each Kh C-mapping f : X ×
× Y → Z (here, X is a topological space, Y is a first countable space, and Z is a Moore space) with
categorical cliquish horizontal y-sections fy , the sets Cy ( f ) are residual Gδ-sets in X for each y ∈ Y.
Vvedeno ponqtye katehorno klykovoho otobraΩenyq y dokazano, çto dlq kaΩdoho Kh C-otobra-
Ωenyq f : X × Y → Z (hde X — topolohyçeskoe prostranstvo, Y — prostranstvo s pervoj
aksyomoj sçetnosty, Z — prostranstvo Mura) s katehorno klykov¥my horyzontal\n¥my y-raz-
rezamy fy mnoΩestva Cy ( f ) dlq kaΩdoho y ∈ Y qvlqgtsq ostatoçn¥my mnoΩestvamy typa Gδ
v X.
1. VprodovΩ ostannix p’qtnadcqty rokiv aktyvizuvalos\ vyvçennq mnoΩyny
C( f ) toçok neperervnosti narizno neperervnyx funkcij f : X × Y → Z ta ]x ana-
lohiv, qki nabuvagt\ znaçen\ v topolohiçnyx prostorax, blyz\kyx do metryzov-
nyx [1 – 11]. V pracqx [1 – 9] rozhlqdalysq funkci] zi znaçennqmy v σ-metry-
zovnyx çy syl\no σ-metryzovnyx prostorax, a v [10, 11] — funkci] zi znaçennq-
my v prostorax Mura. Prosto navesty pryklad syl\no σ-metryzovnoho prosto-
ru, qkyj ne [ prostorom Mura: takym bude, napryklad, prostir R
∞
vsix finit-
nyx poslidovnostej dijsnyx çysel z vidpovidnog topolohi[g induktyvno] hrany-
ci [12, s. 48]. Pryrodno posta[ pytannq: çy isnu[ prostir Mura, qkyj ne [ syl\no
σ-metryzovnym ? Tut my pokazu[mo, wo prykladom takoho prostoru sluΩyt\
plowyna Nemyc\koho. Prote zalyßa[t\sq neqsnym, çy isnu[ prostir Mura,
qkyj ne [ σ-metryzovnym.
U [10] i [11] rozhlqdalys\ K C-funkci] i KC̃ -funkci], tobto funkci], wo
kvazineperervni vidnosno perßo] zminno], a ]x x-rozrizy [ neperervnymy dlq vsix
x çy, vidpovidno, koly x probiha[ zalyßkovu v X mnoΩynu. Zokrema, v [10]
Z.>P\otrovs\kyj podav nastupnyj rezul\tat: qkwo X — berivs\kyj prostir, Y
— prostir z perßog aksiomog zliçennosti, Z — prostir Mura i f ∈
∈ KC X Y Z˜ ,( × ), to dlq koΩnoho y ∈ Y mnoΩyna
C f x X x y C fy( ) = ∈ ( ) ∈ ( ){ }: ,
[ vsgdy wil\nog typu G δ v X. My tut pereformulgvaly rezul\tat P\otrov-
s\koho, pominqvßy miscqmy prostory X, Y ta vidpovidni umovy na nyx, oskil\ky
dlq nas zruçniße pracgvaty z horyzontalqmy, a ne z vertykalqmy. ZauvaΩymo,
wo v [10] cej rezul\tat bulo sformul\ovano z pomylkog (tam na prostir Z na-
kladalasq lyße umova rehulqrnosti), a v [11] vin buv sformul\ovanyj vidpovid-
nym çynom dlq K C-funkcij, ale ne dovedenyj (vkazano lyße, z qkyx rezul\ta-
tiv cq teorema vyplyva[).
Oskil\ky plowyna Nemyc\koho [ prostorom Mura, to odyn iz rezul\tativ
praci [9] pro naqvnist\ toçok neperervnosti narizno neperervnyx funkcij na
horyzontalqx vyplyva[ z vywevkazanoho rezul\tatu P\otrovs\koho. MiΩ tym, u
pracqx [4, 8] rozhlqdavsq dewo zahal\nißyj klas Kh C-funkcij, tobto funkcij,
qki horyzontal\no kvazineperervni i neperervni vidnosno druho] zminno]. Tomu
vynykla neobxidnist\ z’qsuvaty, çy perenosyt\sq rezul\tat P\otrovs\koho na
vypadok Kh C-funkcij (abo navit\ K Ch
˜
-funkcij) zi znaçennqmy v prostorax
Mura. Tut my navodymo kontrpryklad, qkyj pokazu[, wo take perenesennq ne-
© V. K. MASLGÇENKO, V. V. MYXAJLGK, O. I. FILIPÇUK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11 1539
1540 V. K. MASLGÇENKO, V. V. MYXAJLGK, O. I. FILIPÇUK
moΩlyve. Razom z tym, v statti vvodyt\sq nove ponqttq, qke [ poslablennqm po-
nqt\ kvazineperervnosti i klikovosti, i nazvane namy katehornog klikovistg
(dyv. p. 7.). Z dopomohog c\oho ponqttq my otrymu[mo osnovnyj rezul\tat (teo-
rema 4), de teorema P\otrovs\koho perenosyt\sq na K Ch
˜
-funkci] z katehorno
klikovymy horyzontal\nymy rozrizamy. Krim toho, v p. 10 my navodymo pryklad,
qkyj pokazu[, wo osnovna teorema, otrymana namy, [ syl\nißog vid zhadanoho
rezul\tatu P\otrovs\koho.
2. Dlq vidobraΩennq f : X × Y → Z i toçky p = ( x, y ) ∈ X × Y my poklada[mo
f x ( y ) = fy ( x ) = f ( p ). Pry c\omu vidobraΩennq f x : Y → Z my nazyva[mo verty-
kal\nym x-rozrizom, a fy : X → Z — horyzontal\nym y-rozrizom vidobraΩen-
nq>>f.
Nexaj X, Y, Z — topolohiçni prostory i p0 = ( x0 , y0 ) ∈ X × Y . VidobraΩennq
f : X × Y → Z nazyva[t\sq horyzontal\no kvazineperervnym u toçci p 0
, qkwo
dlq koΩnoho okolu W toçky z0 = f ( p0 ) v Z i dlq dovil\nyx okoliv U i V to-
çok x0 i y0 v X ta Y vidpovidno isnu[ toçka p1 = ( x1 , y1 ) ∈ U × V i okil U1
toçky x1 v X, taki, wo U1 ⊆ U i f ( U1 × { y1 } ) ⊆ W. Vidpovidno f — horyzon-
tal\no kvazineperervne, qkwo vono [ takym u koΩnij toçci p = ( x, y ) ∈ X × Y .
Symvolom Kh C ( X × Y, Z ) my poznaça[mo klas vsix horyzontal\no kvazineperer-
vnyx vidobraΩen\ f : X × Y → Z, qki neperervni vidnosno druho] zminno].
Porqd z klasom Kh C ( X × Y, Z ) my rozhlqdatymemo ßyrßyj klas K Ch
˜
( X ×
× Y, Z ), wo sklada[t\sq z horyzontal\no kvazineperervnyx vidobraΩen\ f : X ×
× Y → Z, dlq qkyx mnoΩyna XC ( f ) = { x ∈ X : f x ∈ C ( Y, Z ) } [ zalyßkovog v X,
tobto takog, wo ]] dopovnennq v X [ mnoΩynog perßo] katehori]. Tut C ( Y, Z )
oznaça[ mnoΩynu vsix neperervnyx vidobraΩen\ g : Y → Z.
My budemo vykorystovuvaty taku vlastyvist\ horyzontal\no kvazinepererv-
nyx vidobraΩen\ [4, lema 2].
Lema 1. Nexaj X, Y i Z — topolohiçni prostory, f : X × Y → Z — hory-
zontal\no kvazineperervne vidobraΩennq, U i V — vidkryti mnoΩyny vidpo-
vidno v X i Y, A ⊆ X i U ⊆ A . Todi f ( U × V ) ⊆ f A V( × ) .
Lehko pereviryty, wo vlastyvist\ horyzontal\no] kvazineperervnosti vido-
braΩennq f : X × Y → Z zberiha[t\sq i dlq joho zvuΩennq f0 = f X Y0 × : X0 × Y →
→ Z u tomu vypadku, koly X0 — vidkrytyj abo vsgdy wil\nyj pidprostir pros-
toru X. Krim toho, qkwo f ∈ K Ch
˜
( X × Y , Z ) i mnoΩyna X0 vidkryta v X, to i
f0 = f X Y0 × ∈ K Ch
˜
( X0 × Y, Z ).
3. Nexaj A, B — systemy mnoΩyn v topolohiçnomu prostori Z i z ∈ Z.
Zirkog toçky z vidnosno systemy A nazyva[t\sq mnoΩyna
st ( z, A ) = ∪ { A ∈ A : z ∈ A }.
KaΩut\, wo mnoΩyna A vpysana v systemu B (poznaça[t\sq A � B ), qkwo
isnu[ takyj element B systemy B, wo A ⊆ B. Vidpovidno, systema A vpysa-
na v systemu B (poznaça[t\sq A � B ), qkwo koΩna mnoΩyna A systemy A
vpysana v systemu B.
Lehko pereviryty, wo z umovy A � B vyplyva[, wo st ( z, A ) ⊆ st ( z, B ) dlq
koΩnoho z ∈ Z.
Nam bude potribna taka vlastyvist\ vidkrytyx pokryttiv rehulqrnoho pros-
toru:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
SUKUPNA NEPERERVNIST| Kh
C-FUNKCIJ ZI ZNAÇENNQMY … 1541
Lema 2. Nexaj W — vidkryte pokryttq rehulqrnoho prostoru Z. Todi is-
nu[ take vidkryte pokryttq W0 prostoru Z, wo W0 = { ∈ }W W: W0 � W.
Dovedennq. Nexaj z ∈ Z. Todi, oskil\ky W — pokryttq prostoru Z, isnu[
taka vidkryta mnoΩyna W ∈ W , wo z ∈ W. V rehulqrnomu prostori Z zam-
kneni okoly utvorggt\ bazu bud\-qko] toçky. Zokrema, isnu[ taka vidkryta
mnoΩyna Wz , wo
z ∈ Wz i Wz ⊆ W.
Pokladagçy dali
W0 = { Wz : z ∈ Z },
otrymu[mo ßukane pokryttq. Spravdi, oçevydno, wo W0 — vidkryte pokryttq
prostoru Z, pryçomu W0 � W.
4. Nexaj ( ) =
∞Wn n 1 — poslidovnist\ vidkrytyx pokryttiv prostoru Z. Cq
poslidovnist\ nazyva[t\sq rozvynennqm prostoru Z , qkwo dlq dovil\no] toçky
z ∈ Z systema { st ( z, Wn ) : n ∈ N } utvorg[ bazu okoliv toçky z v Z . Rehulqr-
nyj prostir, qkyj ma[ rozvynennq, nazyva[t\sq prostorom Mura [10; 13, s. 426].
Zrozumilo, wo prostir z rozvynennqm zadovol\nq[ perßu aksiomu zliçennosti.
Lehko pereviryty, wo koΩen metryzovnyj prostir [ prostorom Mura, ale is-
nugt\ i nemetryzovni prostory Mura. Prykladom takoho prostoru [ plowyna
Nemyc\koho [14], qku my poznaça[mo symvolom P.
Nahada[mo [15, s. 47], wo topolohiçna struktura na plowyni Nemyc\koho P =
= P1 ∪ P2 , de P1 = R × { 0 } i P2 = R × ( 0, + ∞ ), vvodyt\sq takym çynom: bazog
okoliv toçky p = ( x, y ) ∈ P 2 sluΩat\ kruhy K ( p, r ) = { ( u, v ) ∈ R2 : ( u – x )
2 +
+ ( v – y )
2 < r2
} z 0 < r < y, a toçky p = ( x, 0 ) ∈ P 1 — mnoΩyny K ( pr , r ) ∪ { p },
de pr = ( x, r ) i 0 < r < + ∞. Qkwo dlq koΩnoho nomera n poklasty
′ { }=
( ) ∈
Wn K x
n n
x x, , , :
1 1
0∪ R ,
′′ = ( )
∈ ≥
Wn K x y
n
x y
n
, , : ,
1 2
R
i Wn = ′Wn ∪ ′′Wn , to my otryma[mo rozvynennq ( ) =
∞Wn n 1 prostoru P. Dobre
vidomo [15, s, 74], wo P [ cilkom rehulqrnym, a znaçyt\, i rehulqrnym prosto-
rom. OtΩe, plowyna Nemyc\koho [ prostorom Mura. Krim toho, u [7, p. 4] bulo
pokazano, wo plowyna Nemyc\koho [ σ-metryzovnym, ale ne syl\no σ-metry-
zovnym prostorom. Takym çynom, plowyna Nemyc\koho P [ σ-metryzovnym
prostorom Mura, qkyj ne [ syl\no σ-metryzovnym.
5. Dobre vidomo, wo dlq koΩnoho vidobraΩennq f zi znaçennqmy u metryzov-
nomu prostori C ( f ) [ mnoΩynog typu Gδ . Ce perenosyt\sq i na vidobraΩennq
zi znaçennqmy u prostorax z rozvynennqm.
TverdΩennq 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — prostir z rozvy-
nennqm i f : X → Y — vidobraΩennq. Todi C ( f ) [ Gδ-mnoΩynog v X.
Dovedennq. Nexaj ( ) =
∞Vn n 1 — rozvynennq prostoru Y. Dlq koΩnoho n ∈
∈ N poklademo
Gn = { x ∈ X : ( ∃ U — okil toçky x v X ) ( f ( U ) � Vn ) }.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1542 V. K. MASLGÇENKO, V. V. MYXAJLGK, O. I. FILIPÇUK
Oçevydno, wo mnoΩyny Gn [ vidkrytymy v X. PokaΩemo, wo
C ( f ) = Gnn =
∞
1∩ .
Nexaj x ∈ C ( f ) i n ∈ N. Oskil\ky Vn — pokryttq prostoru Y i f ( x ) ∈ Y,
to isnu[ mnoΩyna V ∈ Vn taka, wo f ( x ) ∈ V. Funkciq f [ neperervnog v toçci
x. Znaçyt\, isnu[ takyj okil U toçky x v X , wo f ( U ) ⊆ V. Takym çynom,
f ( U ) � Vn , a otΩe, x ∈ Gn . Oskil\ky nomer n buv vzqtyj dovil\no, to x ∈ Gn
dlq koΩnoho n ∈ N, tobto x ∈
Gnn=
∞
1∩ .
Vstanovymo obernene vklgçennq. Nexaj x ∈ Gn dlq koΩnoho n ∈ N i y =
= f ( x ). Poklademo Wn ( y ) = st ( y, Vn ). Todi { Wn ( y ) : n ∈ N } — baza okoliv toç-
ky y v Y. Oskil\ky x ∈ Gn , to isnu[ takyj okil U toçky x v X, wo f ( U ) �
� Vn . Tobto isnu[ taka mnoΩyna Vn ∈ Vn , wo f ( U ) ⊆ Vn . Znaçyt\, y = f ( x ) ∈
∈ Vn , bo x ∈ U. Takym çynom ma[mo, wo y ∈ Vn ⊆ st ( y, Vn ) = Wn ( y ), tobto
Vn ⊆ Wn ( y ). Dali, vraxovugçy, wo f ( U ) ⊆ Vn , otrymu[mo, wo f ( U ) ⊆ W n ( y ).
OtΩe, x ∈ C ( f ), bo okoly Wn ( y ) utvorggt\ lokal\nu bazu v toçci y prosto-
ru>>Y.
Takym çynom, rivnist\ dovedeno. Oskil\ky vsi mnoΩyny G n [ vidkrytymy v
X, to z dovedeno] rivnosti vyplyva[, wo C ( f ) [ Gδ-mnoΩynog v X.
Naslidok 1. Nexaj X , Y — topolohiçni prostory, Z — prostir z rozvy-
nennqm, y ∈ Y i f : X × Y → Z — vidobraΩennq. Todi C y ( f ) [ G δ-mnoΩynog
v>>X.
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo Cy ( f ) = prX ( C ( f ) ∩ ( X × { y } ) ). Poznaçymo
E = C ( f ) ∩ ( X × { y } ). Z tverdΩennq 1 vyplyva[, wo C ( f ) [ mnoΩynog typu Gδ
v X × Y. Todi E — Gδ-mnoΩyna v X × { y }. Oçevydno, wo vidobraΩennq proek-
tuvannq h : X × { y } → X, wo di[ za pravylom h ( x, y ) = x, [ homeomorfizmom.
Vraxovugçy, wo pry homeomorfizmi Gδ-mnoΩyna perexodyt\ u Gδ-mnoΩynu, i
rivnist\ Cy ( f ) = h ( E ), otrymu[mo, wo Cy ( f ) [ Gδ-mnoΩynog v X.
6. U [4] bulo vstanovleno: qkwo X i Y — topolohiçni prostory, pryçomu
Y zadovol\nq[ perßu aksiomu zliçennosti, Z — syl\no σ-metryzovnyj pros-
tir i f ∈ Kh C ( X × Y , Z ), to dlq koΩnoho y ∈ Y mnoΩyna C y ( f ) zalyßkova v
X. Vyqvlq[t\sq, wo vysnovok ci[] teoremy moΩe ne spravdΩuvatys\ u tomu vy-
padku, koly Z [ σ-metryzovnym prostorom Mura.
Teorema 1. Nexaj I : R × [ 0, + ∞ ) → P — totoΩne vidobraΩennq verxn\o]
pivplowyny R × [ 0, + ∞ ) evklidovo] plowyny R
2
na plowynu Nemyc\koho P.
Todi:
(i) I ∈ Kh C ( R × [ 0, + ∞ ), P );
(ii) C0 ( I ) = ∅.
Dovedennq. (i). Poznaçymo F = R × { 0 }, G = R × ( 0, + ∞ ). Oskil\ky mno-
Ωyna G [ vidkrytog qk u dobutku P = R × [ 0, + ∞ ), tak i v plowyni Nemyc\ko-
ho, i topolohi], indukovani z P i P na G, zbihagt\sq, to I bude sukupno nepe-
rervnym u koΩnij toçci mnoΩyny G. Zvidsy nehajno vyplyva[, wo vidobraΩen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
SUKUPNA NEPERERVNIST| Kh
C-FUNKCIJ ZI ZNAÇENNQMY … 1543
nq I [ horyzontal\no kvazineperervnym u koΩnij toçci p ∈ G, i dlq koΩnoho
x ∈ R vertykal\nyj rozriz I
x : [ 0, + ∞ ) → P [ neperervnym v koΩnij toçci y > 0.
Nexaj p0 = ( x0 , 0 ) ∈ F. PokaΩemo, wo vidobraΩennq I horyzontal\no kvazi-
neperervne v toçci p0 . Dlq ε, δ > 0 poklademo: Wε = { ( u, v ) ∈ P : ( u – x0 )
2 +
+ ( v – ε )
2 ≤ ε2
}, Uδ = [ x0 – δ, x0 + δ ] i Vδ = [ 0, δ ]. Zrozumilo, wo { Uδ : δ > 0 } —
baza okoliv toçky x0 v X = R, { Vδ : δ > 0 } — baza okoliv toçky 0 v Y = [ 0,
+ ∞ ), a { Wε : ε > 0 } — baza okoliv toçky p0 v Z = P. Nexaj W = Wε dlq de-
qkoho ε > 0, U = Uδ i V = Vδ dlq deqkoho δ > 0. Nam potribno znajty taki toç-
ky x1 ∈ U, y1 ∈ V ta çyslo δ1 > 0, wo Ũ = [ x1 – δ1 , x1 + δ1 ] ⊆ U i I U y( )× { }˜
1 =
Ũ y× { }1 ⊆ W. Viz\memo x1 = x0 . Oskil\ky min { δ, ε } > 0, to isnu[ take çyslo
y1 , wo 0 < y1 < min { δ, ε }. Rozv’qzugçy nerivnist\
( u – x0 )
2 + ( y1 – ε )
2 ≤ ε2
,
my oderΩymo mnoΩynu rozv’qzkiv Uδ0
, de δ0 = ε ε2
1
2− ( − )y > 0. Poklademo
dali δ1 = min { δ, δ0 }. Zrozumilo, wo todi Ũ = [ x0 – δ1 , x0 + δ1 ] ⊆ U i Ũ ×
× { }y1 ⊆ W. Ostann[ j oznaça[, wo vidobraΩennq I horyzontal\no kvazinepe-
rervne v toçci p0 .
Rozhlqnemo vertykal\nyj rozriz I
x0 : [ 0, + ∞ ) → P i dovedemo, wo vin nepe-
rervnyj v toçci 0. Dlq bazysnoho okolu W = Wε toçky I
x0
( 0 ) v P rozhlqnemo
okil V2ε = [ 0, 2ε ] toçky 0 v [ 0, + ∞ ). Zrozumilo, wo I
x0
( V2ε ) = { x0 } × [ 0, 2ε ] ⊆
W. Takym çynom, my pokazaly, wo I ∈ Kh C ( R × [ 0, + ∞ ), P ).
(ii). Rozhlqnemo dovil\nu toçku p0 = ( x, 0 ) ∈ R × { 0 } i pokaΩemo, wo vido-
braΩennq I rozryvne v toçci p0 za sukupnistg zminnyx. Nexaj δ, ε > 0 — do-
vil\ni çysla, Pδ = Uδ × Vδ i Wε — vidpovidni bazysni okoly toçky p0 v P ta
toçky p0 = I ( p0 ) v P. Rozhlqnemo mnoΩynu A = ( Uδ × { 0 } ) \ { p0 }, tobto nyΩ-
ng storonu prqmokutnyka Pδ , z qko] vykynuta toçka p0 . Zrozumilo, wo cq
mnoΩyna A neporoΩnq. Pry c\omu A ⊆ Pδ i A ∩ Wε = ∅. Tomu I ( Pδ ) = Pδ �
� Wε . Ce j dovodyt\, wo vidobraΩennq I rozryvne v toçci p0 .
7. Nahada[mo, wo vidobraΩennq f topolohiçnoho prostoru X u metryçnyj
prostir Y [ klikovym v toçci x0 , qkwo dlq koΩnoho ε > 0 i koΩnoho okolu U
toçky x0 v X isnu[ taka vidkryta neporoΩnq mnoΩyna G, wo G ⊆ U i
ωf ( G ) < ε, de ωf ( G ) — kolyvannq funkci] f na mnoΩyni G.
My zaraz vvedemo pevnyj analoh klikovosti dlq vidobraΩen\ f : X → Y zi
znaçennqmy v topolohiçnomu prostori Y. A same, vidobraΩennq f nazvemo po-
krytt[vo klikovym, qkwo dlq dovil\noho vidkrytoho pokryttq V prostoru Y
i dovil\no] vidkryto] v X neporoΩn\o] mnoΩyny U isnu[ vidkryta v X nepo-
roΩnq mnoΩyna G taka, wo G ⊆ U i f ( G ) � V. Zrozumilo, wo koΩne pokryt-
t[vo klikove vidobraΩennq zi znaçennqmy u metryzovnomu prostori [ klikovym.
Z dopomohog teoremy Lebeha pro pokryttq [15, s .409] moΩna pokazaty, wo u
vypadku, koly Y [ metryçnym kompaktom, ponqttq klikovosti ta pokrytt[vo]
klikovosti zbihagt\sq. U zahal\nomu vypadku moΩna navesty pryklad funkci],
qka [ klikovog, ale ne pokrytt[vo klikovog.
VidobraΩennq f my nazvemo katehorno klikovym, qkwo dlq dovil\noho vid-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1544 V. K. MASLGÇENKO, V. V. MYXAJLGK, O. I. FILIPÇUK
krytoho pokryttq V prostoru Y i dovil\no] vidkryto] v X mnoΩyny druho] ka-
tehori] U isnu[ mnoΩyna A druho] katehori] v X taka, wo A ⊆ U i f ( A ) � V.
Podibno do vlastyvosti horyzontal\no] kvazineperervnosti, vlastyvist\ ka-
tehorno] klikovosti zberhia[t\sq pry perexodi do zvuΩen\ na vidkryti abo vsgdy
wil\ni i zalyßkovi mnoΩyny.
Lema 3. Nexaj X i Y — topolohiçni prostory, X0 — vidkrytyj abo vsg-
dy wil\nyj zalyßkovyj pidprostir X i g : X → Y — katehorno klikove vido-
braΩennq. Todi zvuΩennq g0 = g | X0
: X0 → Y [ takoΩ katehorno klikovym.
Dovedennq. Dlq vidkrytoho pidprostoru X0 tverdΩennq lehko vyplyva[ z
oznaçennq. Dovedemo joho dlq vsgdy wil\noho zalyßkovoho pidprostoru X0
.
Nexaj V — vidkryte pokryttq Y i U0 — vidkryta mnoΩyna druho] katehori]
v X0
. Nam potribno znajty taku mnoΩynu A0 druho] katehori] v X0
, wo A0 ⊆
⊆ U0 i g0 ( A0 ) � V. Oskil\ky mnoΩyna U0 vidkryta v X0
, to isnu[ taka vidkry-
ta v X mnoΩyna U, wo U0 = U ∩ X0
. ZauvaΩymo, wo mnoΩyna U
\
U0 perßo]
katehori] v X, bo U
\
U0 ⊆ X
\
X0
, a pidprostir X0 [ zalyßkovog v X mnoΩynog.
Krim toho, lehko pereviryty, wo U [ mnoΩynog druho] katehori] v X . Za
umovog vidobraΩennq g [ katehorno klikovym. Tomu dlq znajdeno] mnoΩyny
U isnu[ mnoΩyna A druho] katehori] v X, taka, wo A ⊆ U i g ( A ) � V. Dove-
demo, wo A0 = A ∩ U 0 — mnoΩyna druho] katehori] v X0
. Ma[mo A = A0 ∪
∪ ( A
\
U0 ) ⊆ A0 ∪ ( U
\
U0 ). Qkby A0 bula mnoΩynog perßo] katehori] v X0
, a
znaçyt\, i v X, to j A bula b mnoΩynog perßo] katehori] v X, adΩe U
\
U0 i A0
— mnoΩyny perßo] katehori] v X. Ale Ω za umovog A — mnoΩyna druho] ka-
tehori] v X. Takym çynom, A0 [ mnoΩynog druho] katehori] v X0
. Krim toho,
g0 ( A0 ) = g ( A0 ) ⊆ g ( A ) � V. OtΩe, g0 ( A0 ) � V. Ce j dovodyt\ katehornu kliko-
vist\ vidobraΩennq g0 .
8. Vykorystovugçy katehornu klikovist\, my moΩemo perenesty rezul\tat
P\otrovs\koho na K Ch
˜
-funkci]. Poçnemo z prostißoho vypadku Kh C-funkcij.
Teorema 2. Nexaj X — berivs\kyj prostir, Y — topolohiçnyj prostir, y0
— toçka prostoru Y taka, wo v Y isnu[ zliçenna baza okoliv toçky y0
, Z —
prostir Mura, f ∈ Kh C ( X × Y , Z ) i fy0
— katehorno klikove vidobraΩennq. To-
di Cy0
( f ) [ vsgdy wil\nog Gδ-mnoΩynog v X.
Dovedennq. Nexaj ( ) =
∞Wn n 1 — rozvynennq prostoru Z. Todi dlq koΩnoho
joho vidkrytoho pokryttq Wn za lemog 2 isnu[ take vidkryte pokryttq Wn, 0
prostoru Z, wo Wn,0 � Wn
.
Dlq koΩnoho nomera n poklademo
Gn = { x ∈ X : ( ∃ U — okil x v X ) ( ∃ V — okil y0 v Y ) ( f ( U × V ) � Wn,0 ) }.
Lehko baçyty, wo mnoΩyny Gn vidkryti v X. PokaΩemo, wo vony [ vsgdy
wil\nymy v X. Dlq c\oho zafiksu[mo n ∈ N, viz\memo vidkrytu v X neporoΩ-
ng mnoΩynu G i dovedemo, wo Gn ∩ G ≠ ∅.
Oskil\ky prostir X berivs\kyj, to vidkryta v n\omu neporoΩnq mnoΩyna G
[ mnoΩynog druho] katehori] v X. Za umovog vidobraΩennq fy0
: X → Z [ kate-
horno klikovym. Znaçyt\, dlq pobudovanoho vidkrytoho pokryttq Wn,0 pros-
toru Z i vidkryto] mnoΩyny druho] katehori] G v prostori X isnu[ mnoΩyna A
druho] katehori] v X taka, wo A ⊆ G i fy0
( A ) �
Wn,0
. Tobto f Ay0
( ) ⊆ W dlq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
SUKUPNA NEPERERVNIST| Kh
C-FUNKCIJ ZI ZNAÇENNQMY … 1545
deqkoho W ∈ Wn, 0
. Todi i f x ( y0 ) ∈ W pry x ∈ A.
Nexaj dali { Vm : m ∈ N } — baza vidkrytyx okoliv toçky y0 v Y. Poklademo
Am = { x ∈ A : f x ( Vm ) ⊆ W }.
Oskil\ky vsi vidobraΩennq f x : Y → Z neperervni, to Amm =
∞
1∪ = A. Z ci[] riv-
nosti vyplyva[, wo isnu[ takyj nomer m, wo mnoΩyna Am des\ wil\na v X. To-
di Um = int Am ≠ ∅. Poklademo U = G ∩ Um
, V = Vm i A0 = Am ∩ U . Oskil\ky
Um ⊆ Am i mnoΩyny Um vidkryti, to Um ⊆ A Um m∩ , otΩe, Am ∩ Um ≠ ∅. Ale
∅ ≠ Am ∩ Um ⊆ G ∩ Um = U,
otΩe, U — vidkryta neporoΩnq mnoΩyna v X.
Oskil\ky A0 ⊆ U ⊆ A0 i f ( A0 × V ) ⊆ f ( Am × V ) ⊆ W, to za lemog 1
f ( U × V ) ⊆ f A V( × )0 ⊆ W .
Takym çynom, f ( U × V ) � Wn,0 . OtΩe, U ⊆ Gn
. Ale U = G ∩ Um ⊆ G , otΩe,
∅ ≠ U ⊆ Gn ∩ G, a znaçyt\, Gn ∩ G ≠ ∅. Takym çynom, Gn = X.
Oskil\ky X — berivs\kyj prostir, to peretyn P =
Gnn=
∞
1∩ [ vsgdy wil\-
nym v X. PokaΩemo, wo P ⊆ Cy0
( f ).
Nexaj x0 ∈ P i W — okil toçky z0 = f ( x0 , y0 ) v Z . Oskil\ky ( ) =
∞Wn n 1 —
rozvynennq prostoru Z, to { st ( z0 , Wn ) : n ∈ N } — baza okoliv toçky z0 v Z .
OtΩe, isnu[ takyj nomer n, wo st ( z0 , Wn ) ⊆ W. Oskil\ky x0 ∈ Gn , to isnugt\
okoly U ta V toçok x0 i y0 v X ta Y vidpovidno, taki, wo f ( U × V ) � Wn,0 ,
tobto f ( U × V ) ⊆ ′W dlq deqkoho W′ ∈ Wn , 0
. Ale ( x0 , y0 ) ∈ U × V, otΩe, z0 =
f ( x0 , y0 ) ∈ ′W . Takym çynom, ′W ⊆ st ( z0 , Wn,0 ). Ale st ( z0 , Wn,0 ) ⊆ ⊆ st ( z0 ,
Wn ). OtΩe, f ( U × V ) ⊆ W, a znaçyt\, ( x0 , y0 ) ∈ C ( f ), tobto x0 ∈ ∈ Cy0
( f ).
Takym çynom, P ⊆ Cy0
( f ). Oskil\ky mnoΩyna P [ vsgdy wil\nog v X , to
takog Ω bude j mnoΩyna Cy0
( f ). Krim toho, za naslidkom 1 mnoΩyna Cy0
( f )
typu Gδ v X. Takym çynom, teoremu dovedeno.
Z dopomohog teoremy Banaxa pro katehorig [16, s. 87] lehko dovesty, wo v
koΩnomu topolohiçnomu prostori X isnu[ joho vidkrytyj pidprostir T, qkyj [
berivs\kym prostorom v indukovanij z X topolohi] i zalyßkovog mnoΩynog v
X. Takyj pidprostir my nazyva[mo berivs\kym qdrom prostoru X. Vykorysto-
vugçy ce zauvaΩennq, my moΩemo podaty poperednij rezul\tat u krawij re-
dakci].
Teorema 3. Nexaj X i Y — topolohiçni prostory, y 0— toçka prostoru
Y taka, wo v Y isnu[ zliçenna baza okoliv toçky y0
, Z — prostir Mura, f ∈
∈ Kh C ( X × Y , Z ) i f y0
— katehorno klikove vidobraΩennq. Todi C y0
( f ) [ za-
lyßkovog v X mnoΩynog typu Gδ
.
Dovedennq. Nexaj T — berivs\ke qdro prostoru X. Poklademo g = f | T × Y .
Oskil\ky mnoΩyna T vidkryta, to g ∈ Kh C ( T × Y, Z ). Za teoremog 2 mnoΩyna
Cy0
( g ) [ vsgdy wil\nog Gδ -mnoΩynog v T, a otΩe, vona [ zalyßkovog v T , a
znaçyt\, i v X. Ale Cy0
( g ) ⊆ Cy0
( f ), bo mnoΩyna T [ vidkrytog v X, otΩe,
i>>Cy0
( f ) [ zalyßkovog v X mnoΩynog. Dali zalyßa[t\sq skorystatys\ na-
slidkom 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
1546 V. K. MASLGÇENKO, V. V. MYXAJLGK, O. I. FILIPÇUK
9. Dovedemo nareßti osnovnyj rezul\tat dano] statti.
Teorema 4. Nexaj X i Y — topolohiçni prostory, y 0 — toçka prostoru
Y taka, wo v Y isnu[ zliçenna baza okoliv toçky y0
, Z — prostir Mura, f ∈
∈ K Ch
˜
( X × Y , Z ) i fy0
— katehorno klikove vidobraΩennq. Todi Cy0
( f ) [ za-
lyßkovog v X mnoΩynog typu Gδ
.
Dovedennq. Toj fakt, wo mnoΩyna C fy 0
( ) [ typu Gδ v X, vyplyva[ z na-
slidku 1. OtΩe, zalyßa[t\sq dovesty, wo C fy 0
( ) — zalyßkova v X mnoΩyna.
Nexaj T — berivs\ke qdro prostoru X. Poklademo g = f | T × Y i T 0 = { x ∈ T :
gx = f x ∈ C ( Y, Z ) }. Qsno, wo g ∈ K Ch
˜
( T × Y , Z ). OtΩe, mnoΩyna T0 [ zalyß-
kovog u berivs\komu prostori T. Tomu pidprostir T0 [ vsgdy wil\nym v T.
Krim toho, mnoΩyna T0 sama [ berivs\kym prostorom v indukovanij z T topolo-
hi] [17, s. 117]. Rozhlqnemo vidobraΩennq g0 = g | T0
× Y i pokaΩemo, wo vono zado-
vol\nq[ umovy teoremy 2. Zrozumilo, wo g0 ∈ Kh C ( T0 × Y , Z ). Poznaçymo h =
fy0
. Za umovog vidobraΩennq h [ katehorno klikovym. Todi za lemog 3 zvuΩen-
nq h | T0
= ( h | T ) | T0
[ katehorno klikovym. Takym çynom, ( g0 ) y0
= h | T0
katehorno
klikove vidobraΩennq. Za teoremog 2 mnoΩyna C gy 0 0( ) [ zalyßkovog v T 0 , a
znaçyt\, i v X.
Dlq zaverßennq dovedennq zalyßa[t\sq pokazaty, wo C gy 0 0( ) ⊆ Cy0
( f ). Os-
kil\ky mnoΩyna T [ vidkrytog v X , to Cy0
( g ) ⊆ C fy 0
( ). PokaΩemo, wo
C gy 0 0( ) ⊆ Cy0
( g ).
Nexaj x0 ∈ C gy 0 0( ) , tobto p0 = ( x0 , y0 ) ∈ C ( g0 ). Prostir Z [ rehulqrnym,
tomu v n\omu isnu[ baza zamknenyx okoliv toçky z0 = g0 ( p0 ). Nexaj W — zamk-
nenyj okil toçky z0 v Z. Oskil\ky p0 ∈ C ( g0 ), to isnugt\ taki vidkrytyj okil
U toçky x0 v T i okil V toçky y0 v Y, wo
g0 ( ( U ∩ T0 ) × V ) = g ( ( U ∩ T0 ) × V ) ⊆ W.
Poklademo A = U ∩ T0. Todi A ⊆ U ⊆ A . Za lemog 1
g ( U × V ) ⊆ g A V( × ) ⊆ W = W.
OtΩe, p0 ∈ C ( g ), i potribne vklgçennq vstanovleno. Takym çynom, C gy 0 0( ) ⊆
⊆ Cy0
( f ), i teoremu dovedeno.
10. Na zaverßennq navedemo pryklad, qkyj pokazu[, wo teorema 4 syl\nißa
za vywezhadanyj rezul\tat P\otrovs\koho. Nahada[mo, wo vidobraΩennq f : X →
→ Y nazyva[t\sq kvazineperervnym u toçci x0 ∈ X, qkwo dlq koΩnoho okolu V
toçky y0 = f ( x0 ) v Y i dlq koΩnoho okolu U toçky x0 v X isnugt\ toçka
x1 ∈ U i ]] okil U1 v X taki, wo U1 ⊆ U i f ( U1 ) ⊆ V. KaΩut\, wo f — kvazine-
perervne vidobraΩennq, qkwo vono [ takym u koΩnij toçci prostoru X.
TverdΩennq 2. Nexaj
f ( x, y ) =
1
0
, ,
, , .
y x
y
x
y x x
≥
≤ ≠
Todi f ∈ Kh C ( R
2, R ), rozriz f0 = f ( ⋅, 0 ) [ klikovym, a znaçyt\, i katehorno kli-
kovym, ale ne kvazineperervnym vidobraΩennqm.
Dovedennq. Rozhlqnemo vidkrytu v R
2
mnoΩynu E = R2
\ { ( 0, 0 ) }. Mno-
Ωyny
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
SUKUPNA NEPERERVNIST| Kh
C-FUNKCIJ ZI ZNAÇENNQMY … 1547
F1 = { ( x, y ) ∈ E : | y | ≥ | x | } i F2 = { ( x, y ) ∈ E : | y | ≤ | x | },
oçevydno, zamkneni v E i F1 ∪ F2 = E. Oskil\ky zvuΩennq f | F1
i f | F2
[ neperer-
vnymy, to i zvuΩennq f | E [ neperervnym. Ce pokazu[, wo funkciq f [ sukup-no
neperervnog v koΩnij toçci mnoΩyny E. PokaΩemo dali, wo ( 0, 0 ) ∈ D ( f ).
Spravdi, sukupno] neperervnosti funkci] f u toçci ( 0, 0 ) buty ne moΩe, adΩe
rozriz f0 ( x ) = 1 0
0 0
, ,
,
x
x
=
≠{ ne [ neperervnym u toçci x = 0. Cej rozriz, oçe-
vydno, [ klikovym (a znaçyt\, i katehorno klikovym) vidobraΩennqm.
Zrozumilo, wo f [ horyzontal\no kvazineperervnym u koΩnij toçci z E, bo
E = C ( f ). PokaΩemo, wo f — horyzontal\no kvazineperervne v toçci ( 0, 0 ). Ne-
xaj ε, δ > 0 i O = [ – δ, δ ]
2
. Ma[mo f ( 0, 0 ) = 1 i f ( x, y ) = 1 pry y ≥ | x | i pry y ≤
– | x |. Qkwo vzqty 0 < y1 < δ, to U1 = ( – y1
, y1 ) ⊆ [ – δ, δ ]. Krim toho, | f ( x, y1 ) –
f ( 0, 0 ) | = | 1 – 1 | = 0 < ε pry x ∈ U1
, wo j da[ nam horyzontal\nu kvazinepe-
rervnist\ f u toçci ( 0, 0 ). Oskil\ky vertykal\nyj rozriz f x pry x ≠ 0, oçe-
vydno, [ neperervnym, a f 0 ( y ) = 1 dlq vsix y, to f ∈ Kh C ( R
2, R ). Ale horyzon-
tal\nyj 0-rozriz f0 funkci] f ne [ kvazineperervnym v toçci x = 0. OtΩe, f ∉
∉ KC̃ ( R
2, R ).
1. Maslgçenko V. K. Narizno neperervni vidobraΩennq zi znaçennqmy v induktyvnyx hranycqx
// Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 3. – S. 380 – 384.
2. Maslgçenko V. K., Myxajlgk O. V., Sobçuk O. V. DoslidΩennq pro narizno neperervni vido-
braΩennq // Materialy miΩnarodno] matematyçno] konferenci], prysvqçeno] pam’qti Hansa
Hana. – Çernivci: Ruta, 1995. – S. 192 – 246.
3. Maslgçenko V. K. Narizno neperervni vidobraΩennq vid bahat\ox zminnyx zi znaçennqmy v
σ-metryzovnyx prostorax // Nelinijni kolyvannq. – 1999. – 2, # 3. – S. 337 – 344.
4. Maslgçenko V. K., Myxajlgk V. V., Íyßyna O. I. Sukupna neperervnist\ horyzontal\no kva-
zineperervnyx vidobraΩen\ zi znaçennqmy v σ-metryzovnyx prostorax // Mat. metody i fiz.-
mex. polq. – 2002. – 45, # 1. – S. 42 – 46.
5. Maslgçenko V. K., Filipçuk O. I. Toçkova rozryvnist\ Kh
K-funkcij zi znaçennqmy v σ-met-
ryzovnyx prostorax // Naukovyj visnyk Çernivec\koho universytetu. Matematyka.– Çernivci:
Ruta, 2004. – Vyp. 191 – 192. – S. 103 – 106.
6. Maslgçenko V. K., Filipçuk O. I. Narizno neperervni vidobraΩennq zi znaçennqmy v plowyni
Nemyc\koho // Matematyçnyj analiz i sumiΩni pytannq: Tezy dopovidej miΩnarodno] konfe-
renci] (L\viv, 17 – 20 lystopada, 2005). – 2005. – S. 66.
7. Karlova O. O. . Kucak S. M., Maslgçenko V. K. Uzahal\nennq teoremy Bera na vypadok ne-
metryzovnoho prostoru znaçen\ // Naukovyj visnyk Çernivec\koho universytetu. Matematy-
ka. – Çernivci: Ruta, 2004. – Vyp. 228. – S. 11 – 14.
8. Maslgçenko V. K., Filipçuk O. I. Do pytannq pro toçky rozryvu Kh
C-funkcij na neperer-
vnyx kryvyx // Naukovyj visnyk Çernivec\koho universytetu.Matematyka. – Çernivci: Ruta,
2006. – Vyp. 314 – 315. – S. 122 – 124.
9. Maslgçenko V. K., Myxajlgk V. V., Filipçuk O. I. Toçky sukupno] neperervnosti narizno ne-
perervnyx vidobraΩen\ zi znaçennqmy v plowyni Nemyc\koho // Mat. studi]. – 2006. – 26,
#>2. – S. 217 – 221.
10. Piotrowski Z. Mibu-type theorems // Proceedings of the 7th International Symposium (Poland,
20 – 26 September, 1993). – 1993. – P. 141 – 147.
11. Piotrowski Z. On the theorems of Y. Mibu and G. Debs on separate continuity / Internat. J. Math.
and Math. Sci. – 1996. – 19, # 3. – P. 495 – 500.
12. Maslgçenko V. K. Linijni neperervni operatory. Navçal\nyj posibnyk. – Çernivci: Ruta,
2002. – 72 s.
13. Gruenhage G. Generalized metric spaces // Handbook of Set-Theoretic Topology. – Amsterdam:
North-Holland, 1984. – P. 423 – 501.
14. Fleissner W. Separation properties in Moore spaces // Fundamenta Mathematicae. – 1978. – 98. –
P. 279 – 286.
15. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M. : Myr, 1986. – 752 s.
16. Kuratovskyj K. Topolohyq. T. I. – M. : Myr, 1966. – 594 s.
17. Burbaky N. Obwaq topolohyq. Yspol\zovanye vewestvenn¥x çysel v obwej topolohyy.
Funkcyonal\n¥e prostranstva. Svodka rezul\tatov. – M. : Nauka, 1975. – 408 s.
OderΩano 22.05.07, pislq doopracgvannq — 11.06.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 11
|