Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи
Досліджено задачу про знаходження умов існування та побудову розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нову ітера-ційну процедуру з прискореною збіжністю для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задач...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164787 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1587–1601. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164787 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1647872020-02-12T01:28:28Z Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Статті Досліджено задачу про знаходження умов існування та побудову розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нову ітера-ційну процедуру з прискореною збіжністю для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку. We study the problem of finding existence conditions and the construction of solutions of the Noetherian weakly nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We propose a new iterative algorithm with accelerated convergence for the construction of solutions of the Noetherian weakly nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case. 2008 Article Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1587–1601. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164787 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи Український математичний журнал |
| description |
Досліджено задачу про знаходження умов існування та побудову розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нову ітера-ційну процедуру з прискореною збіжністю для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| author_facet |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| author_sort |
Бойчук, А.А. |
| title |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| title_short |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| title_full |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| title_fullStr |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| title_sort |
метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164787 |
| citation_txt |
Метод ускоренной сходимости для построения решений нетеровой краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1587–1601. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bojčukaa metoduskorennojshodimostidlâpostroeniârešenijneterovojkraevojzadači AT čujkosm metoduskorennojshodimostidlâpostroeniârešenijneterovojkraevojzadači |
| first_indexed |
2025-07-14T17:22:14Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:22:14Z |
| _version_ |
1837643842520612864 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Бойчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
С. М. Чуйко (Славян. пед. ун-т)
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ
РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
We study the problem of finding existence conditions and the construction of solutions of the Noetherian
weakly nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We propose a
new iterative algorithm with accelerated convergence for the construction of solutions of the Noetherian
weakly nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical
case.
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв нетерових слабконелi-
нiйних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Побудовано нову iтера-
цiйну процедуру з прискореною збiжнiстю для знаходження розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної
крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о нахождении условий существования
и построении сходящихся итерационных процедур для вычисления решений
z(t, ε) = col
(
z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)
)
,
zj(·, ε) ∈ C1[a, b], zj(t, ·) ∈ C[0, ε0], j = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
`z(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), ε). (2)
Здесь A(t) — (n × n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, эле-
менты которых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, `z(·)
— линейный ограниченный векторный функционал `z(·) : C[a, b] → Rm, m 6= n.
Нелинейности Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε) задачи (1), (2) дважды непрерывно дифферен-
цируемы по неизвестной z в малой выпуклой окрестности порождающего решения
и непрерывно дифференцируемы по малому параметру ε в малой положительной
окрестности нуля; вектор-функция Z(z, t, ε) непрерывна по независимой перемен-
ной t на отрезке [a, b].
Для построения решений краевой задачи (1), (2) традиционно используется ме-
тод простых итераций [1 – 7]. Преимуществом этого метода являются простота и
численная устойчивость, однако сходимость итерационной процедуры, получае-
мой по методу простых итераций, линейна, поэтому естественно возникает задача
о построении итерационной процедуры, имеющей ускоренную сходимость. Для
ускорения сходимости итерационных процедур Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбо-
вым [8] в случае периодических задач и Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским
c© А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12 1587
1588 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
и А. М. Самойленко [9] в случае квазипериодических задач разработаны и строго
обоснованы эффективные методы последовательных замен переменных.
В данной статье для построения итерационной процедуры, имеющей ускорен-
ную сходимость, в случае общей нетеровой краевой задачи используем эффектив-
ный метод Ньютона – Канторовича [10, 11], который применяется к операторной
системе, полученной в монографии [1]. Решение краевой задачи (1), (2) ищем в
малой окрестности решения порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), `z0(·) = α, α ∈ Rm. (3)
При этом порождающая задача рассматривается в критическом случае
(
PQ∗ 6= 0
)
и предполагается выполненным условие ее разрешимости [1]
PQ∗
d
{
α− `K
[
f(s)
]
(·)
}
= 0. (4)
Тогда задача (3) имеет r-параметрическое семейство решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s);α
]
(t).
ЗдесьQ = `X(·) — постоянная (m×n)-матрица, PQ∗ — (m×m)-матрица-ортопроек-
тор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — нормальная фундаментальная матрица (X(a) =
= In) однородной части системы (3), (d×m)-мерная матрица PQ∗
d
составлена из d
линейно независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ , (n× r)-мерная матрица
Xr(t) составлена из r линейно независимых столбцов матрицы X(t),
G[f(s);α](t) = X(t)Q+
{
α− `K
[
f(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s)
]
(t)
— обобщенный оператор Грина задачи (3),Q+ — псевдообратная матрица по Муру –
Пенроузу,
K
[
f(s)
]
(t) = X(t)
t∫
a
X−1(s)f(s)ds
— оператор Грина задачи Коши для системы (3). Необходимое условие сущест-
вования решения задачи (1), (2) в критическом случае определяет следующая лем-
ма [1].
Лемма. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай
PQ∗ 6= 0 и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Пред-
положим также, что задача (1), (2) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в
порождающее z(t, 0) = z0(t, c∗r). Тогда вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению
PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0)− `K
[
Z(z0(s, cr), s, 0)
]
(·)
}
= 0. (5)
2. Достаточное условие существования решения. Предположим далее усло-
вия леммы выполненными. Фиксируя один из действительных корней c∗r ∈ Rr
уравнения (5), ищем решение задачи (1), (2) z(t, ε) = z0(t, c∗r) + x(t, ε) в окрестно-
сти порождающего решения
z0(t, c∗r) = Xr(t)c∗r +G
[
f(s);α
]
(t).
Таким образом, приходим к краевой задаче
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1589
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), (6)
`x(·, ε) = εJ(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε). (7)
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции
Z(z, t, ε) в окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируе-
мость по третьему аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и
ε = 0 :
Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) =
= Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)x(t, ε) + εA2(t) +R1(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε),
где
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
, A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=
.
Остаток R1(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) разложения функции Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε)
имеет более высокий порядок малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0,
чем два первых члена разложения, поэтому
R1(z, t, ε)
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
≡ 0,
∂R1(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
≡ 0,
∂R1(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
≡ 0.
Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по
первому и второму аргументам векторного функционала J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε),
выделяем линейные по x и по ε части `1x(·, ε) и ε`2(z0(·, c∗r), 0) этого функционала
и член J(z0(·, c∗r), 0) = J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек
x = 0 и ε = 0 :
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) =
= J(z0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + ε`2(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε).
Остаток J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
имеет более высокий порядок малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0,
чем два первых члена разложения, поэтому
J1(z(·, ε), ε)
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂ε
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= 0.
Пусть
B0 = PQ∗
d
{
`1Xr(·)− `K
[
A1(s)Xr(s)
]
(·)
}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1590 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
— (d× r)-матрица. При условии PB∗
0
= 0 задача о построении решения
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
операторной системы x(t, ε) = Φx(t, ε) эквивалентна задаче о построении решения
краевой задачи (6), (7), при ε = 0 обращающегося в нулевое [12]:
Φx(t, ε) = −Xr(t)B+
0 PQ∗
d
{
ε`1G
[
Z(z0 + x, s, ε); J(z0 + x, ε)
]
(·)+
+ε`2(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0 + x, ε)−
−`K
[
εA1(s)G
[
Z(z0 + x, τ, ε); J(z0 + x, ε)
]
(s) + εA2(s) +R1(z0 + x, s, ε)
]
(·)
}
+
+εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(t) +Xr(t)cr.
Оператор Φ
(
Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
)
представляет собой
суперпозицию билинейного по Z(z(s, ε), s, ε) и J(z(·, ε), ε) оператора, действую-
щего на непрерывно дифференцируемую по x функцию Z(z(t, ε), t, ε) и функцио-
нал J(z(·, ε), ε). Билинейность по Z(z(t, ε), t, ε) и J(z(·, ε), ε) означает, что для лю-
бых действительных чисел λ1, λ2, любых функций Z1(z(t, ε), t, ε), Z2(z(t, ε), t, ε)
и функционалов J1(z(·, ε), ε), J2(z(·, ε), ε) имеет место равенство
Φ
(
λ1Z1(z(t, ε), t, ε) + λ2Z2(z(t, ε), t, ε);λ1J1(z(·, ε), ε) + λ2J2(z(·, ε), ε)
)
=
= λ1Φ
(
Z1(z(t, ε), t, ε); J1(z(·, ε), ε)
)
+ λ2Φ
(
Z2(z(t, ε), t, ε); J2(z(·, ε), ε)
)
.
Вектор-функция Z(z, t, ε) дважды непрерывно дифференцируема по первому аргу-
менту в малой окрестности порождающего решения z0(t, c∗r) и точки ε = 0. Кроме
того, в этой окрестности векторный функционал J(z(·, ε), ε) дважды непрерыв-
но дифференцируем (в смысле Фреше) по первому аргументу, поэтому оператор
Φx(t, ε) — непрерывно дифференцируемый ограниченный оператор, действующий
из пространства непрерывных на отрезках [a, b] и [0, ε0] действительных вектор-
функций x(t, ε) ∈ C[a, b], C[0, ε0] в себя. Производная последнего оператора имеет
вид
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
∂x
=
= −Xr(t)B+
0 PQ∗
r
{
ε`1G
[
∂Z(z0 + x, s, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(·) +
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
−
−`K
[
εA1(s)G
[
∂Z(z0 + x, τ, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(s) +
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
]
(·)
}
+
+εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
;
∂J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
∂x
]
(t)
и при ε→ 0 равна нулю. Действительно, из непрерывности функционалов ` и `1,
ограниченности операторов Грина задачи Коши и обобщенного оператора Грина и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1591
непрерывной дифференцируемости по независимой переменной x нелинейностей
Z(z0(s, c∗r)+x(s, ε), s, ε) и J(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) следует, что два первых слагаемых
последней производной
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
∂x
=
= −εXr(t)B+
0 PQ∗
r
{
`1G
[
∂Z(z0 + x, s, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(·)−
−`K
[
A1(s)G
[
∂Z(z0 + x, τ, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(s)
]
(·)
}
+
+εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
;
∂J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
∂x
]
(t)−
−Xr(t)B+
0 PQ∗
r
{
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
− `K
[
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
]
(·)
}
при ε → 0 равны нулю. Кроме того, из непрерывной дифференцируемости по
переменной x нелинейностей Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε) и J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε),
следует, что
∂R1(z0(t, c∗r), t, 0)
∂x
≡ 0,
∂J1(z0(·, c∗r), 0)
∂x
≡ 0.
Следовательно, и третье, и четвертое слагаемые последней производной при ε→ 0
равны нулю.
3. Итерационная процедура. Для применения метода Ньютона – Канторовича
в рассматриваемом критическом случае введем оператор
ϕ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε), ε
)
= Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
− x(t, ε),
действующий из пространства непрерывных на отрезках [a, b] и [0, ε0] действи-
тельных вектор-функций
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(1)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
в это же пространство. Поскольку
det
[
∂ϕ(0, 0)
∂x
]
= −1 6= 0,
при достаточно малом ε ∈ [0; ε∗] ⊂ [0; ε0] существует окрестность∥∥x(t, ε)
∥∥ ≤ ρ∗
точки x(t, ε) = 0, в пределах которой
det
[
∂ϕ(x(t, ε), ε)
∂x
]
6= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1592 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
при этом производная ϕ′x
(
x(t, ε), ε
)
сохраняет непрерывность. Таким образом, со-
гласно теореме Канторовича [10, c. 680], в критическом случае первого порядка для
нахождения решения краевой задачи (6), (7) получаем следующую итерационную
процедуру:
xk+1(t, ε) = xk(t, ε)−
−
[
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + xk(t, ε)
)
∂x
− In
]−1 [
Φ
(
z0(t, c∗r) + xk(t, ε)
)
− xk(t, ε)
]
, (8)
x0(t, ε) ≡ 0, k = 0, 1, 2, . . . .
Итерационная процедура (8) сходится при условии, что в достаточно малой окре-
стности порождающего решения выполняется неравенство
2γ1(ε)γ2(ε)γ3(ε) < 1. (9)
Здесь величины γ1(ε), γ2(ε), γ3(ε) гарантируют выполнение неравенств∥∥∥∥∥
{
∂ϕ(z0(t, c∗r), ε)
∂z
}−1∥∥∥∥∥ ≤ γ1(ε),
∥∥∥∥∥ϕ(z0(t, c∗r), ε
)∥∥∥∥∥ ≤ γ2(ε),
∥∥∥∥∥∂2ϕ(z0(t, c∗r) + x(t, ε), ε)
∂z2
∥∥∥∥∥ ≤ γ3(ε).
В пределах указанной окрестности порождающего решения итерационная проце-
дура (8) обеспечивает квадратичную сходимость. Оператор{
∂
∂z
[
∂ϕ(z0(t, c∗r) + x(t, ε), ε)
∂z
]
x(t, ε)
}
y(t, ε)
определяет отображение
x(·, ε), y(·, ε) :
{
C[a, b]× C[a, b]
}
→ C[a, b],
имеющее свойства симметрии и билинейности [13, 14]. Норма второй производной
(по Фреше) оператора ϕ(z(t, ε), ε) имеет вид
∥∥∥∥∥∂2ϕ(z(t, ε), ε)
∂z2
∥∥∥∥∥ = sup
‖x‖≤1
∥∥∥∥ ∂∂z
{
∂ϕ(z(t, ε), ε)
∂z
x
}
x
∥∥∥∥
‖x‖2
.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть для краевой задачи (1), (2) имеет место критический случай
PQ∗ 6= 0 и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Тогда
для каждого корня c∗r ∈ Rr уравнения (5) при условии
PB∗
0
= 0 (10)
задача (6), (7) имеет хотя бы одно решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1593
x(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. При условии (9) это решение можно
определить с помощью сходящегося для ε ∈ [0, ε∗] итерационного процесса (8).
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c∗r), которое может
быть найдено по формуле zk(t, ε) = z0(t, c∗r) + xk(t, ε), k = 1, 2, . . . , с помощью
итерационного процесса (8).
Соответствующая итерационная процедура, имеющая квадратичную сходимость,
для некритической краевой задачи (1), (2) была построена в статье [15].
Замечание . Условие (10) в случае нетеровых краевых задач (m 6= n) равно-
сильно требованию rankB0 = d, а в случае фредгольмовых (m = n) — условию
простоты корней (detB0 6= 0) уравнения (5). Обозначим вектор
F1(c∗r) = PQ∗
d
{
`1G
[
Z(z0(s, c∗r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0
]
(·) + `2(z0(·, c∗r), 0) −
− `K
[
A1(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s) +A2(s)
]
(·)
}
.
При выполнении равенства F1(c∗r) = 0 вид оператора Φx(t, ε) значительно упро-
щается. Действительно,
Φx(t, ε) = −Xr(t)B+
0 PQ∗
d
{
ε`1G
[
A1(s)x(s, ε) + εA2(s) +R1(z(s, ε), s, ε);
`1x(·, ε) + ε`2(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(·) + J1(z0 + x, ε)−
−`K
[
εA1(s)G
[
A1(τ)x(τ, ε) + εA2(τ) +R1(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), τ, ε);
`1x(·, ε) + ε`2(z0(·, c∗r), 0) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(s) +R1(z0 + x, s, ε)
]
(·)
}
+
+εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε);J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(t) +Xr(t)cr.
Производная последнего оператора имеет вид
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
∂x
= −Xr(t)B+
0 PQ∗
r
{
ε`1G
[
A1(s) +
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
;
`1x(·, ε) +
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
]
(·) +
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
−
− `K
[
εA1(s)G
[
A1(τ) +
∂R1(z0 + x, τ, ε)
∂x
;
`1x(·, ε) +
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
]
(s) +
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
]
(·)
}
+
+ εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
;
∂J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
∂x
]
(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1594 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
В случае задачи для уравнения (1) с периодическим условием
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε)) ≡ `1x(·, ε) ≡ J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε)) ≡ 0
оператор, входящий в итерационную процедуру (8), упрощается
Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
= εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); 0
]
(t) +
+ Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ)x(τ, ε) + εA2(τ) +
+ R1(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), τ, ε); 0
]
(s) +R1(z0 + x, s, ε)
}
(·),
как и его производная
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
∂x
= εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
; 0
]
(t) +
+ Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ) +
∂R1(z0 + x, τ, ε)
∂x
; 0
]
(s) +
+
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
}
(·).
При выполнении равенства F1(c∗r) = 0 для краевой задачи с периодическим усло-
вием последний оператор принимает вид
Φx(t, ε) = Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
[
εA1(s)G
[
εA1(τ)x(τ, ε) +
+ A2(τ) +R1(z0(τ, c∗r) + x(τ, ε), τ, ε); 0
]
(s) +R1(z0 + x, s, ε)
]
(·) +
+εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); 0
]
(t).
При этом упрощается и его производная
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x(t, ε)
)
∂x
= εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
; 0
]
(t)+
+ Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ) +
∂R1(z0 + x, τ, ε)
∂x
; 0
]
(s) +
+
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
}
(·).
Следствие . Пусть краевая задача с периодическим условием для уравне-
ния (1) представляет критический случай PQ∗ 6= 0 и выполнено требование (4) ра-
зрешимости порождающей задачи (3). Тогда для каждого простого (detB0 6= 0)
корня c∗r ∈ Rr уравнения (5) для порождающих амплитуд задача (6), (7) имеет
единственное решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C1[0, T ], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1595
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. При условиях (9) и F1(c∗r) = 0 это
решение можно определить с помощью сходящегося для ε ∈ [0, ε∗] итерационного
процесса (8). Задача (1), (2) имеет в этом случае единственное решение
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[0, T ], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c∗r), которое может
быть найдено по формуле zk(t, ε) = z0(t, c∗r) + xk(t, ε), k = 1, 2, . . . , с помощью
итерационного процесса (8); здесь
Φxk(t, ε) = Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K Big[εA1(s)G
[
εA1(τ)xk(τ, ε) +
+ A2(τ) +R1(z0(τ, c∗r) + xk(τ, ε), τ, ε); 0
]
(s) +R1(z0 + xk, s, ε)
]
(·) +
+ εG
[
Z(z0(s, c∗r) + xk(s, ε), s, ε); 0
]
(t),
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + xk(t, ε)
)
∂x
= εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + xk(s, ε), s, ε)
∂x
; 0
]
(t) +
+ Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ) +
∂R1(z0 + xk, τ, ε)
∂x
; 0
]
(s) +
+
∂R1(z0 + xk, s, ε)
∂x
}
(·), k = 0, 1, 2 . . . .
Пример . Покажем, что все требования следствия выполнены в задаче
dz
dt
= (2t− 1)z + εz ln z,
`z(·) = z(0, ε)− z(1, ε) = 0.
(11)
Для этого исследуем порождающую задачу
dz0
dt
= (2t− 1)z0,
`z0(·) = z0(0)− z0(1) = 0.
(12)
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциального урав-
нения (12) — функция X(t) = et2−t. Поскольку Q = `X(·) = 0, имеет место
критический случай. При этом r = d = 1,
PQ∗ = PQ∗
d
= PQ = PQr
= 1.
Решение порождающей задачи (12) имеет вид
z0(t, c∗r) = et2−t+ 1
6 .
Задача (11) удовлетворяет требованиям доказанной теоремы, так как B0 = 1. Сле-
довательно, выполнено условие (10). Таким образом, итерационная процедура (8)
применима для нахождения периодического решения уравнения (11), кроме то-
го, в данном случае выполнены все условия следствия, в частности требование
F1(c∗r) = 0. Действительно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1596 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
F1(c∗r) = e
1
6
1∫
0
(
s2 − s+
7
6
)(
s
6
+
s3
3
− s2
2
)
ds = 0.
Для нахождения первого приближения используем оператор
Φ
(
z0(t, c∗r)
)
= εG
[
Z(z0(s, c∗r), s, ε); 0
]
(t) +
+ Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
Z(z0(s, c∗r), τ, ε); 0
]
(s)
}
(·) =
= εG
[
Z(z0(t, c∗r), t, 0); 0
]
(t) = εe
1
6 et2−t
(
t
6
+
t3
3
− t2
2
)
.
Производная этого оператора имеет вид
∂Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x
= εG
[
A1(s); 0
]
(t) + εXr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
A1(s)G
[
A1(τ); 0
]
(s)
}
(·).
Для достаточно малых значений малого параметра ε величина
∂Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x
− 1
отлична от нуля, в частности при ε = 0, 1
−1,05 891 ≤
∂Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x
− 1 ≤ −0,941 091;
при ε = 0,5
−1,29 454 ≤
∂Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x
− 1 ≤ −0,705 457.
В отличие от оператора Φ
(
z0(t, c∗r)
)
значение его производной Φ′x
(
z0(t, c∗r)
)
не
выражается через элементарные функции. Для вычисления второго слагаемого
воспользуемся разложением интеграла
G
[
A1(s); 0
]
(t) = et2−t
t∫
0
es−s2
A1(s)ds
в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0,5. Приводя подобные слагаемые с точ-
ностью до (t− 0,5)21, получаем полином
G
[
A1(s); 0
]
(t) ≈ −1,5697 · 10−15 + 1,16 667t− 1,08 333t2 + 1,47 222t3 −
− 0,909 722t4 + 0,770 833t5 − 0,431 713t6 + 0, 281 911t7 − 0, 143 167t8 +
+ 0,0785 547t9 − 0,0364 895t10 + 0,0176 008t11 − 0,00754 951t12 +
+ 0,00328 947t13 − 0,00131 318t14 + 0,000 523 882t15 −
− 0,000 192 717t16 + 0,0000 679 567t17 − 0,0000 207 956t18 +
+ 5,38 275 · 10−6t19 − 9,8141 · 10−7t20 + 1,05 508 · 10−7t21.
Аналогично, с точностью до (t− 0,5)21, получаем полином
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1597
∂Φ
(
z0(t,c∗r)
)
∂x
≈ ε
(
−0,589 087 + 1,75 575t− 1,96 696t2 + 2,15 949t3 −
− 1,52 335t4 + 1,16 847t5 − 0,702 529t6 + 0,434 209t7 − 0,229 908t8 +
+ 0,122 036t9 − 0,058 184t10 + 0,0274 747t11 − 0,0119 808t12 + 0,00513 824t13 −
− 0,00206 392t14 + 0,000805 121t15 − 0,000 290738t16 + 0,0000 973 512t17 −
− 0,0000 280 652t18 + 6,64 702 · 10−6t19 − 1,10 784 · 10−6t20 + 1,05 508 · 10−7t21
)
.
Таким образом, полагая ε = 0,1, на первом шаге итерационной процедуры (8)
находим первое приближение z0(t, c∗r) + x1(t, ε) к периодическому решению урав-
нения (11). Здесь
x1(t,ε) = −
[
∂Φ
(
z0(t,c∗r)
)
∂x
− 1
]−1
Φ
(
z0(t, c∗r)
)
≈
≈ −5,31 111 · 10−12 + 0,018 594t− 0,0712 929t2 + 0,105 586t3 − 0,108 013t4+
+0,0854 975t5 − 0,0459 865t6 + 0,0152 232t7 + 0,00522 619t8 − 0,0103 855t9+
+0,00729 421t10 + 0,000907 002t11 − 0,0098 0691t12 + 0,017 4217t13−
− 0,0216 099t14 + 0,0213 278t15 − 0,0169 551t16 + 0,0106 973t17 −
− 0,00516 626t18 + 0,00180 097t19 − 0,000 404 909t20 + 0,0000 446962t21.
Найденное первое приближение позволяет проверить отличие от нуля величины
∂Φ
(
z0(t,c∗r) + x1(t,ε)
)
∂x
− 1;
в частности,
−1,0589 ≤
∂Φ
(
z0(t,c∗r) + x1(t; 0,1)
)
∂x
− 1 ≤ −0,94 109.
Для нахождения второго приближения воспользуемся неограниченной дифферен-
цируемостью нелинейности Z(z0(t, c∗r)+x(t, ε), t, ε) уравнения (11) по неизвестной
z(t, ε) в малой окрестности порождающего решения z0(t, c∗r) и независимостью
этой нелинейности от малого параметра ε и разложим эту нелинейность
Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε)) = Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)x(t, ε) +
1
2!
A5(t)x2(t, ε)+
+
1
3!
A7(t)x3(t, ε) +
1
4!
A9(t)x4(t, ε) + r(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε).
Здесь
A5(t) =
∂2Z(z, t, ε)
∂z2
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= et−t2− 1
6 ,
A7(t) =
∂3Z(z, t, ε)
∂z3
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= −e2t−2t2− 1
3 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1598 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
A9(t) =
∂4Z(z, t, ε)
∂z4
∣∣∣∣∣
z=z0(t,c∗r )
ε=0
= 2e3t−3t2− 1
2 ,
при этом
R1(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) ≈ 1
2!
A5(t)x2(t, ε) +
1
3!
A7(t)x3(t, ε) +
1
4!
A9(t)x4(t, ε).
Используя нулевое приближение z0(t, c∗r), проверяем выполнение условия (9). Для
этого оценим величину
∂2Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x2
= εG
[
A5(s); 0
]
(t)+
+Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A5(τ); 0
]
(s) +A5(s)
}
(·).
В частности, для ε = 0, 1 имеем
−1,25 383 ≤
∂2Φ
(
z0(t, c∗r)
)
∂x2
≤ −0,926 804.
Используя первое приближение x1(t, ε) и разложение
∂2Z(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x2
≈ A5(t) +A7(t)x1(t, ε) +
1
2!
A9(t)x2
1(t, ε),
оцениваем величину
∂2Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
∂x2
= εG
[
∂2Z
(
z0(s, c∗r) + x1(s, ε)
)
∂x2
; 0
]
(t)+
+Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
∂2R1
(
z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε)
)
∂x2
; 0
]
(s)+
+
∂2R1
(
z0(s, c∗r) + x1(s, ε)
)
∂x2
}
(·).
Здесь
∂2R1(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x2
≡ ∂2Z(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x2
.
В частности, для ε = 0, 1 получаем оценку
−1,25 383 ≤
∂2ϕ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε), ε
)
∂x2
=
∂2Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
∂x2
≤ −0,926 804.
Вычисление второго приближения z0(t, c∗r) + x2(t, ε) к периодическому решению
уравнения (11)
x2(t, ε) = x1(t, ε)−
[
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
∂x
− 1
]−1
×
×
[
Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
− x1(t, ε)
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1599
согласно следствию, невозможно в элементарных функциях, поэтому подставим в
операторы
Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
= εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε); 0
]
(t)+
+Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ)x1(τ, ε) +R1(z0 + x1, τ, ε); 0
]
(s)+
+R1(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε)
}
(·)
и
∂Φ
(
z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)
∂x
= εG
[
∂Z(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε)
∂x
; 0
]
(t)+
+Xr(t)B−1
0 PQ∗
r
`K
{
εA1(s)G
[
A1(τ) +
∂R1(z0 + x1, τ, ε)
∂x
; 0
]
(s)+
+
∂R1(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), s, ε)
∂x
}
(·)
приближенные равенства
Z(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε) ≈ Z(z0(t, c∗r), t, 0) +A1(t)x1(t, ε)+
+
1
2!
A5(t)x2
1(t, ε) +
1
3!
A7(t)x3
1(t, ε) +
1
4!
A9(t)x4
1(t, ε)
и
∂R1(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x
≈ A5(t)x1(t, ε) +
1
2!
A7(t)x2
1(t, ε) +
1
3!
A9(t)x3
1(t, ε),
а также тождество
∂Z(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x
≡ A1(t) +
∂R1(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)
∂x
.
В первом приближенном равенстве отброшены слагаемые, имеющие порядок ма-
лости по малому параметру не ниже пятого, а во втором — не ниже четвертого.
Таким образом, на втором шаге итерационной процедуры (8), согласно следствию,
находим второе приближение
z2(t; ε) = z0(t, c∗r) + x2(t, ε)
к периодическому решению уравнения (11). Здесь
x2(t; 0,1) ≈ −0,0000 294344 + 0,019 653t− 0,0771 809t2+
+0,122 051t3 − 0,13 815t4 + 0,12 724t5 − 0,0913 763t6+
+0,0542 647t7 − 0,0198 152t8 − 0,00292 169t9 + 0,0173 311t10−
−0,0258 518t11 + 0,0329 137t12 − 0,0393 473t13 + 0,0431 496t14−
−0,041 112t15 + 0,0325 485t16 − 0,020 602t17 + 0,00998 658t18−
−0,00348 343t19 + 0,000 780 806t20 − 0,0000 852 132t21.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1600 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
Второе приближение x2(t, ε) получено разложением в ряд Тейлора в окрестности
точки t = 0,5 с точностью до (t − 0,5)21 и приведением подобных слагаемых.
Точность полученных приближений демонстрирует последовательное уменьшение
от итерации к итерации норм невязок в решении дифференциальной системы (11).
Действительно, при ε = 0,1 имеем∥∥∥∥A(t)z0(t, c∗r) + εZ(z0(t, c∗r), t, 0)− dz0(t, c∗r)
dt
∥∥∥∥
C[0;1]
≈ 0,0196 893,
∥∥∥∥A(t)x1(t, ε) + εZ(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), t, ε)− dx1(t, ε)
dt
∥∥∥∥
C[0;1]
≈ 1,23 248 · 10−3,
∥∥∥∥A(t)x2(t, ε) + εZ(z0(t, c∗r) + x2(t, ε), t, ε)− dx2(t, ε)
dt
∥∥∥∥
C[0;1]
≈ 6,23 776 · 10−5.
В отличие от двухшаговой схемы [1] построение приближенных решений периоди-
ческой задачи для уравнения (11) с помощью итерационного процесса (8) приводит
к непериодическим приближениям; действительно, при ε = 0,1 имеем
‖x1(0, ε)− x1(1, ε)‖ ≈ 5,45 363 · 10−12,
‖x2(0, ε)− x2(1, ε)‖ ≈ 7,27 338 · 10−6.
Оценить точность первых трех приближений можно с использованием невязок в
решении краевой задачи (1), (2)
∆i(ε) =
{∥∥∥∥∥A(t)xi(t, ε) + εZ(z0(t, c∗r) + xi(t, ε), t, ε)−
dxi(t, ε)
dt
∥∥∥∥∥
2
C[0;1]
+
+
∥∥∥`1xi(·)− J(z0(·, c∗r) + xi(·, ε), ε)
∥∥∥2
Rm
} 1
2
, i = 1, 2, . . . .
Полагая ε = 0,1, находим невязки в решении периодической задачи (11):
∆1(ε) ≈ 0,0196 893, ∆2(ε) ≈ 1,23 248 · 10−3, ∆3(ε) ≈ 6,28 002 · 10−5.
Проверим выполнение условия сходимости итерационной процедуры (8). Для
этого, согласно теореме Канторовича [10, c. 680, 682], проверим выполнение усло-
вия (9) в достаточно малой окрестности порождающего решения. При ε = 0,1
имеем
γ1(ε) ≥ 1
1,0589
.
Далее ∥∥ϕ(z2, ε)
∥∥
C[0;1]
≈
∥∥ϕ(z1, ε)
∥∥
C[0;1]
≈
∥∥ϕ(z0, ε)
∥∥
C[0;1]
=
=
∥∥∥∥εe 1
6 et2−t
(
t
6
+
t3
3
− t2
2
)∥∥∥∥
C[0;1]
≈ 0,00 161 145,
следовательно, γ2(ε) ≥ 0,00 161 145. Поскольку при ε = 0,1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
МЕТОД УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕТЕРОВОЙ ... 1601
γ3(ε) ≈ max
[0;1]
∣∣ϕ′′(z0(t, c∗r) + x1(t, ε)
)∣∣ ≈ max
[0;1]
∣∣ϕ′′(z0(t, c∗r) + x2(t, ε)
)∣∣ ≈ 1,25 383,
то
2γ1(ε)γ2(ε)γ3(ε) ≈ 0,00 429 394� 1.
Следовательно, при ε = 0,1 условие (9) сходимости итерационной процедуры (8)
выполняется.
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 p.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.:
Наука, 1979. – 432 с.
3. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных
уравнений. – М.: Мир, 1988. – 440 с.
4. Samoilenko A. M., Ronto N. I. Numerical-analytic methods of investigating periodic solutions. –
Moscow: Mir, 1979. – 183 p.
5. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования решений кра-
евых задач. – Киев: Наук. думка, 1986. – 224 с.
6. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. – Киев.:
Наук. думка, 1968. – 244 с.
7. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. – Киев: Наук. думка, 1993. – 288 с.
8. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стацио-
нарных колебаний. – Киев: Изд-во ВУАН, 1934. – 108 с.
9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в
нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 c.
10. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
11. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение опера-
торных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 455 с.
12. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой за-
дачи // Нелiнiйнi коливання. – 2005. – 8, № 2. – С. 278 – 288.
13. Постников М. М. Введение в теорию Морса. – М.: Наука, 1971. – 567 с.
14. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.
15. Чуйко С. М. Ускорение сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой
задачи // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 1. – С. 127 – 132.
Получено 03.04.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
|