Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов
Розглядаються спецiальнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь — так званi кiльцевi ланцюжки однонаправлено зв’язаних осциляторiв. Для даного класу систем розроблено новий метод дослiдження питань iснування та стiйкостi перiодичних розв’язкiв. Характерною особливiстю даного пiдходу є те, що як п...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164926 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 1. — С. 82-102. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164926 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649262020-02-12T01:26:29Z Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов Колесов, А.Ю. Розов, Н.Х. Статті Розглядаються спецiальнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь — так званi кiльцевi ланцюжки однонаправлено зв’язаних осциляторiв. Для даного класу систем розроблено новий метод дослiдження питань iснування та стiйкостi перiодичних розв’язкiв. Характерною особливiстю даного пiдходу є те, що як при вiдшуканнi циклiв, так i при аналiзi їх властивостей стiйкостi використано деякi допомiжнi системи з загаюванням. Запропонований метод проiлюстровано на конкретному прикладi. We consider special systems of ordinary differential equations, namely, the so-called ring chains of unidirectionally coupled oscillators. A new method is developed for the investigation of the problems of existence and stability of periodic solutions for this class of systems. As a specific feature of this approach, we can mention the use of certain auxiliary delay systems for the determination of cycles and the analysis of their properties. The proposed method is illustrated by a specific example. 2013 Article Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 1. — С. 82-102. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164926 517.926 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Колесов, А.Ю. Розов, Н.Х. Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються спецiальнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь — так званi кiльцевi ланцюжки однонаправлено зв’язаних осциляторiв. Для даного класу систем розроблено новий метод дослiдження питань iснування та стiйкостi перiодичних розв’язкiв. Характерною особливiстю даного пiдходу є те, що як при вiдшуканнi циклiв, так i при аналiзi їх властивостей стiйкостi використано деякi допомiжнi системи з загаюванням. Запропонований метод проiлюстровано на конкретному прикладi. |
| format |
Article |
| author |
Колесов, А.Ю. Розов, Н.Х. |
| author_facet |
Колесов, А.Ю. Розов, Н.Х. |
| author_sort |
Колесов, А.Ю. |
| title |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| title_short |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| title_full |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| title_fullStr |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| title_full_unstemmed |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| title_sort |
новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164926 |
| citation_txt |
Новые методы исследования периодических решений в кольцевых системах однонаправленно связанных осцилляторов / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 1. — С. 82-102. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kolesovaû novyemetodyissledovaniâperiodičeskihrešenijvkolʹcevyhsistemahodnonapravlennosvâzannyhoscillâtorov AT rozovnh novyemetodyissledovaniâperiodičeskihrešenijvkolʹcevyhsistemahodnonapravlennosvâzannyhoscillâtorov |
| first_indexed |
2025-07-14T17:40:51Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:40:51Z |
| _version_ |
1837645013347991552 |
| fulltext |
УДК 517.926
А. Ю. Колесов (Ярослав. ун-т, Россия),
Н. Х. Розов (Моск. ун-т, Россия)
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ
ОДНОНАПРАВЛЕННО СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ*
We consider special systems of ordinary differential equations, namely, ring systems of unidirectionally coupled oscillators.
A new method is developed for the investigation of the problem of the existence and stability of periodic solutions for this
class of systems. The specific feature of this approach is the use of certain auxiliary delay systems for the determination of
cycles and for the analysis of their properties. The proposed method is illustrated by a specific example.
Розглядаються спецiальнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь — так званi кiльцевi ланцюжки однонаправ-
лено зв’язаних осциляторiв. Для даного класу систем розроблено новий метод дослiдження питань iснування та
стiйкостi перiодичних розв’язкiв. Характерною особливiстю даного пiдходу є те, що як при вiдшуканнi циклiв, так
i при аналiзi їх властивостей стiйкостi використано деякi допомiжнi системи з загаюванням. Запропонований метод
проiлюстровано на конкретному прикладi.
1. Общая схема исследования. Кольцевой цепочкой однонаправленно связанных осциллято-
ров назовем систему вида
ẋj = f(xj , xj−1), j = 1, . . . ,m, x0 = xm, (1)
где m ≥ 2, xj = xj(t) ∈ Rn, а вектор-функция f(x, y) со значениями в Rn бесконечно диффе-
ренцируема по (x, y) ∈ Rn×Rn. Такого рода системы описывают функционирование различных
автогенераторов (см. [1, 2], где приведены соответствующие примеры), а также возникают при
математическом моделировании в нейродинамике. В частности, к указанному типу уравнений
относится известная модель кольцевой нейронной сети Хопфилда.
В дальнейшем будем рассматривать проблемы существования и устойчивости специальных
периодических решений системы (1) — так называемых бегущих волн. Точнее говоря, речь будет
идти о периодических решениях, допускающих представление
xj = x(t+ (j − 1)∆), j = 1, . . . ,m, (2)
где ∆ > 0 — некоторый фазовый сдвиг.
Для отыскания циклов вида (2) введем в рассмотрение вспомогательное уравнение с запаз-
дыванием
ẋ = f(x, x(t−∆)), (3)
где x = x(t) ∈ Rn, и будем считать, что на некотором интервале (∆1,∆2) ⊂ (0,+∞) изменения
параметра ∆ оно допускает периодическое решение x = x∗(t,∆) периода T∗ = T∗(∆) > 0. В
этом случае справедливо следующее утверждение.
*Выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 11-01-
00384а и № 12-01-00155а).
c© А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ, 2013
82 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 83
Лемма 1. Предположим, что найдется такое натуральное k, при котором уравнение
T∗(∆) = m∆/k (4)
имеет корень ∆ = ∆(k) ∈ (∆1,∆2). Тогда в исходной системе (1) данному корню соответ-
ствует цикл (бегущая волна)
Ck : xj = x(k)(t+ (j − 1)∆(k)), j = 1, . . . ,m, (5)
периода T(k) = m∆(k)/k, где x(k)(t) = x∗(t,∆)|∆=∆(k)
.
Для доказательства заметим, что поскольку все функции
xj(t) = x(k)(t+ (j − 1)∆(k)), j = 1, . . . ,m, (6)
являются решениями одного и того же уравнения (3) при ∆ = ∆(k), то выполняются равенства
ẋj(t) = f
(
xj(t), xj(t−∆(k))
)
, j = 1, . . . ,m. (7)
Далее, учтем в (7) вытекающие из (6) соотношения
xj(t−∆(k)) = xj−1(t), j = 2, . . . ,m;
x1(t−∆(k)) = x(k)(t−∆(k)) = x(k)(t−∆(k) + kT(k)) = x(k)(t+ (m− 1)∆(k)) = xm(t).
В результате убеждаемся, что функции (6) удовлетворяют исходной системе (1).
Лемма 1 доказана.
Вопрос об устойчивости цикла (5) сводится, очевидно, к вопросу о расположении мульти-
пликаторов линейной системы
ḣj = A(k)(t+ (j − 1)∆(k))hj +B(k)(t+ (j − 1)∆(k))hj−1, j = 1, . . . ,m, (8)
где hj = hj(t) ∈ Rn, h0 = hm, а матрицы A(k)(t), B(k)(t) задаются равенствами
A(k)(t) = f ′x(x(k)(t), x(k)(t−∆(k))), B(k)(t) = f ′y(x(k)(t), x(k)(t−∆(k))). (9)
Наряду с (8) в дальнейшем нам понадобится вспомогательное линейное уравнение
ḣ = A(k)(t)h+ κB(k)(t)h(t−∆(k)), (10)
где h(t) ∈ Cn, κ — произвольный комплексный параметр. Точнее говоря, нас будут интересовать
его мультипликаторы νs(κ), s = 1, 2, . . . , занумерованные в порядке убывания модулей.
Поясним смысл термина „мультипликатор” применительно к уравнению с запаздывани-
ем (10). В связи с этим рассмотрим пространство E = C([−∆(k), 0];Cn) непрерывных при
−∆(k) ≤ t ≤ 0 вектор-функций h0(t) = (h0
1(t), . . . , h0
n(t))T с нормой
‖h0‖E = max
1≤l≤n
max
−∆(k)≤t≤0
|h0
l (t)|.
Далее, оператором монодромии уравнения (10) назовем линейный ограниченный оператор
V : E → E, действующий на произвольную функцию h0(t) ∈ E по правилу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
84 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
V h0 = h(t+m∆(k)/k), −∆(k) ≤ t ≤ 0, (11)
где h(t) — решение уравнения (10) на отрезке времени 0 ≤ t ≤ m∆(k)/k с начальной функ-
цией h0(t), −∆(k) ≤ t ≤ 0. Отметим, что спектр этого оператора заведомо дискретен, так
как некоторая его степень компактна (в случае m/k ≥ 1 компактен и сам V ). Что же каса-
ется мультипликаторов уравнения (10), то таковыми по аналогии со случаем обыкновенных
дифференциальных уравнений будем называть собственные значения оператора (11).
Остановимся на вопросе о связи между мультипликаторами систем (8) и (10). Имеет место
следующая лемма.
Лемма 2. Каждый мультипликатор ν системы (8) допускает представление
ν = κm/k, (12)
где κ — корень одного из уравнений
[νs(κ)]k = κm, s ∈ N. (13)
И обратно, если при некотором s = s0 уравнение (13) имеет корень κ = κ0 6= 0, то у исходной
системы (8) существует мультипликатор ν = νs0(κ0).
Доказательство. Зафиксируем любой мультипликатор ν = ρ exp(iϕ), ρ > 0, 0 ≤ ϕ <
< 2π, системы (8) и предположим, что он является простым. В этом случае ему соответствует
единственное (с точностью до множителя) решение Ляпунова – Флоке вида
hj = exp(αt)h∗,j(t), h∗,j(t) ∈ Cn, h∗,j(t+m∆(k)/k) ≡ hj,∗(t), j = 1, . . . ,m,
α =
k
m∆(k)
(ln ρ+ iϕ).
(14)
Отметим, далее, что поскольку система (8) инвариантна относительно замен
t−∆(k) → t, hj−1 → hj , j = 1, . . . ,m, (15)
то под действием этих замен решение (14) (в силу его единственности) перейдет в решение
hj = λ · exp(α(t+ ∆(k)))h∗,j(t), j = 1, . . . ,m,
где λ 6= 0 — некоторая комплексная постоянная. Таким образом, имеет место равенство
Λh∗(t+ ∆(k)) = λh∗(t), (16)
где h∗(t) = colon (h∗,1(t), . . . , h∗,m(t)), а элементами квадратной nm-мерной матрицы
Λ =
0 0 0 . . . 0 I
I 0 0 . . . 0 0
0 I 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . I 0
являются нулевые и единичные матрицы размера n× n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 85
Из установленного выше соотношения (16) следует, что
h∗,m−j(t) = λj+1h∗,1(t− (j + 1)∆(k)), j = 0, 1, . . . ,m− 2, λm = 1. (17)
Что же касается компоненты h∗,1(t), то в силу (8) она является решением линейного неодно-
родного уравнения
ḣ = −αh+A(k)(t)h+B(k)(t)h∗,m(t).
А так как функция h∗,m(t), в свою очередь, выражается через h∗,1(t) посредством равенства
h∗,m(t) = λ · h∗,1(t−∆(k)) (см. (17)), то компонента h∗,1(t) удовлетворяет также и уравнению
с запаздыванием
ḣ = −αh+A(k)(t)h+ λB(k)(t)h(t−∆(k)). (18)
Выполненные построения показывают, что уравнение (18) заведомо имеет единичный муль-
типликатор. Сделаем, далее, в этом уравнении замену exp (αt)h→ h. В результате единичный
мультипликатор перейдет в exp(mα∆(k)/k), а само уравнение (18) — в уравнение (10) при
κ = λ · exp (α∆(k)). Таким образом, с необходимостью найдется номер s, для которого
νs(κ)|κ=λ·exp (α∆(k)) = exp(mα∆(k)/k) = ν.
Отсюда и из очевидного равенства ν k = κm следуют соотношения (12), (13).
В случае, когда мультипликатор ν кратный, рассуждения аналогичны. Действительно, пусть
данному мультипликатору соответствует ровно p линейно независимых решений Ляпунова –
Флоке. Тогда эти решения можно записать в матричной форме exp(αt)H(t), где столбцами
матрицы H(t) размера mn × p являются линейно независимые T(k)-периодические вектор-
функции. Далее, в силу инвариантности системы (8) под действием замен (15) здесь вместо
(16) будет выполняться равенство
ΛH(t+ ∆(k)) = H(t)D (19)
с некоторой невырожденной постоянной матрицей D размера p× p.
Свойство (19) позволяет свести проблему обоснования формул (12), (13) к предыдущему
случаю. Для того чтобы сделать это, зафиксируем некоторое собственное значение λ матри-
цы D, а через e обозначим соответствующий ему собственный вектор. Тогда, как нетрудно
увидеть, для вектор-функции h∗(t) = H(t)e справедливо соотношение (16). Последующие же
рассуждения совпадают с изложенными выше.
Итак, мы установили, что любой мультипликатор ν системы (8) может быть представлен в
виде (12), где κ удовлетворяет одному из уравнений (13). Убедимся теперь в справедливости
обратного утверждения. В связи с этим предположим, что уравнение (13) с номером s = s0
допускает корень κ = κ0 6= 0. Тогда уравнение
ḣ = −αh+A(k)(t)h+ κ0 exp (−α∆(k))B(k)(t)h(t−∆(k)) (20)
при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
86 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
α =
k
m∆(k)
(ln(ρ0) + iϕ0), ρ0 > 0, 0 ≤ ϕ0 < 2π, (21)
где ρ0 exp(iϕ0) = νs0(κ0), имеет нетривиальное T(k)-периодическое решение h̃(t). Далее, вве-
дем в рассмотрение величину
λ = κ0 exp(−α∆(k)) (22)
и заметим, что в силу (21) и соотношения κm0 = [νs0(κ0)]k указанное значение параметра λ
удовлетворяет требуемому равенству λm = 1 (см. (17)). Отсюда, в свою очередь, следует, что
при выбранном λ уравнения (20) и (18) совпадают.
На заключительном этапе доказательства введем в рассмотрение функцию h∗,1(t) = h̃(t),
а остальные компоненты h∗,j(t), j = 2, . . . ,m, определим посредством равенств (17), (22).
Из установленной выше связи между уравнениями (20) и (18) следует, что в итоге получится
решение Ляпунова – Флоке вида (14) исходной системы (8), соответствующее мультипликатору
ν = exp (mα∆(k)/k) = νs0(κ0).
Лемма 2 доказана.
Установленные леммы доставляют некую общую методику исследования периодических
решений типа бегущих волн в кольцевых системах (1). Действительно, вопрос о существо-
вании циклов вида (2) сводится к отысканию цикла x∗(t,∆) вспомогательного уравнения с
запаздыванием (3) и к нахождению корней уравнений (4). Что же касается вопроса об устойчи-
вости бегущих волн, то он решается отдельно и в силу леммы 2 состоит в анализе расположения
корней уравнений (13). Следует также отметить, что хотя количество уравнений в системе (13),
вообще говоря, счетно, совокупность всех их ненулевых корней заведомо конечна (в противном
случае конечномерная система (8) имела бы счетное число различных мультипликаторов, что
невозможно).
Достаточно ясно, что проблемы анализа вспомогательных уравнений (3), (10), лежащих в
основе описанной выше методики, в общем случае нелокальны. Но, тем не менее, в некоторых
ситуациях, когда есть возможность применить какие-либо асимптотические методы, с указан-
ными проблемами удается справиться. Именно такая ситуация реализуется в рассматриваемом
ниже примере.
2. Простейшая кольцевая система. В данном пункте опишем некоторый специальный
класс кольцевых цепочек (1), состоящих из одномерных звеньев. А именно, введем в рассмот-
рение систему
ẋj = f(xj , xj−1/ε), j = 1, . . . ,m, x0 = xm, (23)
где m ≥ 2, xj = xj(t) ∈ R, ε > 0 — малый параметр. Что же касается скалярной функции
f(x, u) ∈ C∞(R2), то для нее считаем выполненным следующее ограничение.
Условие 1. Равномерно по x из любого замкнутого и ограниченного множества имеют
место асимптотические равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 87
f(x, u) = a0(x) +
∞∑
l=1
al(x)
ul
при u→ −∞,
f(x, u) = b0(x) +
∞∑
l=1
bl(x)
ul
при u→ +∞.
(24)
Предполагаем также, что представления (24) остаются в силе при дифференцировании по
x, u в любом порядке и любое число раз.
Сформулируем теперь ряд дополнительных ограничений, которым должны удовлетворять
функции a0(x), b0(x) из (24).
Условие 2. Справедливы требования:
a0(x) > 0 при −∞ < x < q1, a0(x) < 0 при q1 < x < +∞, a0(q1) = 0;
(25)
b0(x) > 0 при −∞ < x < −q2, b0(x) < 0 при − q2 < x < +∞, b0(−q2) = 0,
где q1, q2 — некоторые положительные постоянные.
Для описания дальнейших ограничений нам понадобятся функции θ1(t), θ2(t), являющи-
еся решениями задач Коши ẋ = a0(x), x(0) = 0 и ẋ = b0(x), x(0) = 0 соответственно. Из
соотношений (25) следует, что θ1(t)↗ q1, θ2(t)↘ −q2 при t→ +∞.
Условие 3. Считаем, что
a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
+
b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
> −a− 1/a ∀∆ > 0, (26)
где a = −b0(0)/a0(0) > 0.
Условие 4. Предполагаем, что для любого z ∈ (0, a+ 1/a) уравнение
z +
a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
+
b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
= 0 (27)
имеет на полуоси ∆ ∈ (0,+∞) единственное решение ∆ = ∆∗(z) > 0.
Заметим, что в класс систем (23) входит известная математическая модель кольцевой ней-
ронной сети Хопфилда. Напомним, что системой Хопфилда принято называть предложенную
в [3] систему обыкновенных дифференциальных уравнений
u̇j = −µjuj +
m∑
i=1
aijfi(ui) + Ij , j = 1, . . . ,m, (28)
описывающую функционирование простейшей нейронной сети. Здесь uj(t) — мембранные
потенциалы нейронов, µj = const > 0 — коэффициенты затухания за счет токов утечки, aij =
= const ∈ R — синаптические веса, Ij = const ∈ R — внешние токи смещения, а гладкие
функции fj(u), u ∈ R, представляющие собой вольт-амперные характеристики нелинейных
элементов, таковы, что
lim
u→−∞
fj(u) = 0, lim
u→+∞
fj(u) = 1. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
88 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
Достаточно подробное описание свойств этой системы, а также ее вывод можно найти в моно-
графии [4].
Рассмотрим, далее, кольцевую систему
u̇j = −µuj + λ[1− (a+ 1)f(uj−1)], j = 1, . . . ,m, u0 = um, (30)
являющуюся частным случаем системы (28). Здесь µ, a = const > 0, параметр λ > 0 предпо-
лагается большим (с биофизической точки зрения это означает, что электрические процессы в
нейронной сети происходят быстро), а для скалярной нелинейности f(u) ∈ C∞(R) в соответ-
ствии с требованиями (29) считаем выполненными асимптотические равенства
f(u) =
∞∑
l=1
c−l
ul
при u→ −∞, f(u) = 1 +
∞∑
l=1
c+
l
ul
при u→ +∞. (31)
Предполагаем также, что, как и в случае (24), представления (31) остаются в силе при диффе-
ренцировании по u любое число раз. Типичными представителями таких функций являются
f(u) = (arctg u+ π/2)/π, f(u) = (u/
√
u2 + 1 + 1)/2, f(u) = 1/(1 + exp(−u))
(в последнем случае все коэффициенты c±l , l ≥ 1, равны нулю).
Нетрудно убедиться, что система
ẋj = −µxj + 1− (a+ 1)f(xj−1/ε), j = 1, . . . ,m, x0 = xm, (32)
получающаяся из (30) после замен uj = λxj , j = 1, . . . ,m, ε = 1/λ � 1, принадлежит
введенному выше классу уравнений. Действительно, в случае (32) имеем
f(x, u) = −µx+ 1− (a+ 1)f(u), a0(x) = −µx+ 1, b0(x) = −µx− a,
θ1(t) = θ(t), θ2(t) = −a θ(t), θ(t) = (1− exp(−µt))/µ.
(33)
Что же касается требуемых условий 1 – 4, то они для функций (33) заведомо выполняются
(соответствующую несложную проверку опустим).
Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы на простейшем примере системы (23)
наглядно проиллюстрировать эффективность предложенных нами новых методов исследования
периодических решений типа бегущих волн.
3. Анализ вспомогательных уравнений. Обратимся сначала к вспомогательному уравне-
нию (3), которое в случае системы (23) имеет вид
ẋ = f(x, x(t−∆)/ε). (34)
Ниже будет установлено, что при любом фиксированном значении запаздывания ∆ > 0 и при
всех 0 < ε� 1 это уравнение имеет экспоненциально орбитально устойчивый релаксационный
цикл.
Исследование уравнения (34) существенно облегчает тот факт, что при ε→ 0 оно допускает
предельный объект. Действительно, опираясь на свойства (24) функции f(x, u), замечаем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 89
lim
ε→ 0
f(x, u/ε) = F (x, u)
df
=
a0(x) при u < 0,
b0(x) при u > 0.
(35)
Учитывая затем соотношение (35) в (34), убеждаемся, что при ε→ 0 уравнение (34) переходит
в релейное уравнение с запаздыванием
ẋ = F (x, x(t−∆)). (36)
Как и в работах [5 – 7], понятие решения уравнения (36) определим конструктивно. В связи
с этим зафиксируем некоторое достаточно малое σ0 > 0 (оценка сверху на σ0 будет уточнена в
последующем), рассмотрим множество функций
ϕ(t) ∈ C[−∆− σ0,−σ0], ϕ(t) < 0 ∀ t ∈ [−∆− σ0,−σ0], ϕ(−σ0) = θ1(−σ0) (37)
(по поводу определения θ1(t) см. п. 2) и обозначим через xϕ(t), t ≥ −σ0, решение уравнения
(36) с произвольной начальной функцией (37).
Рассмотрим сначала отрезок t ∈ [−σ0,∆−σ0] и заметим, что при указанных t выполняется
неравенство ϕ(t − ∆) < 0. Поэтому на данном промежутке времени в силу вытекающего из
(35) соотношения F (x, ϕ(t−∆)) = a0(x) решение xϕ(t) совпадает с решением задачи Коши
ẋ = a0(x), x|t=−σ0 = θ1(−σ0) (38)
и, следовательно,
xϕ(t) = θ1(t). (39)
Ясно также, что формула (39) справедлива до тех пор, пока xϕ(t − ∆) < 0. Тем самым она
справедлива на полуинтервале −σ0 ≤ t < ∆ (см. рисунок).
При t = ∆ первый раз происходит переключение и при t ≥ ∆ решение xϕ(t) определяется
уже из задачи Коши
ẋ = b0(x), x|t=∆ = θ1(∆), (40)
т. е. посредством равенства
xϕ(t) = θ2(t− t0), (41)
где
t0 = ∆−
θ1(∆)∫
0
ds
b0(s)
> ∆. (42)
В свою очередь, соотношения (40), (41) остаются в силе, пока xϕ(t−∆) > 0, т. е. до очередного
момента переключения t = t0 + ∆.
При t ≥ t0 + ∆ имеем дело с аналогичной (38) задачей Коши
ẋ = a0(x), x|t=t0+∆ = θ2(∆), (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
90 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
x
tϕ1(t)
ϕ2(t)
−σ0−∆ − σ0 ∆ t0
T0t0 + ∆
0
θ1(t)
θ2(t − t0)
θ1(t − T0)
а значит, справедливо аналогичное (39) равенство
xϕ(t) = θ1(t− T0), (44)
где
T0 = t0 + ∆ +
0∫
θ2(∆)
ds
a0(s)
> t0 + ∆. (45)
Что же касается соотношений (43), (44), то они сохраняют силу при априорном условии xϕ(t−
−∆) < 0, т. е. до следующего момента переключения t = T0 + ∆.
Распорядимся теперь имеющимся в запасе свободным параметром σ0 (см. (37)). Из при-
веденных выше построений следует, что при условии σ0 < T0 − t0 −∆, которое всюду ниже
считаем выполненным, функция xϕ(t + T0), −∆ − σ0 ≤ t ≤ −σ0, принадлежит введенному
ранее множеству (37). А это значит, что на промежутках времени
lT0 − σ0 ≤ t ≤ (l + 1)T0 − σ0, l = 1, 2, . . . ,
весь описанный процесс нахождения xϕ(t) циклически повторяется. Следовательно, при всех
t ≥ −σ0 каждое решение xϕ(t) с начальным условием (37) совпадает с одной и той же T0-
периодической функцией x0(t) (см. рисунок), для которой в силу (39) – (45) справедливы ра-
венства
x0(t) =
θ1(t) при 0 ≤ t ≤ ∆,
θ2(t− t0) при ∆ ≤ t ≤ t0 + ∆,
θ1(t− T0) при t0 + ∆ ≤ t ≤ T0.
(46)
Перейдем к вопросу о связи между периодическими решениями уравнений (34) и (36). Из
общих результатов статьи [5] о C1-близости траекторий релейной и релаксационной систем
вытекает следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 91
Теорема 1. Существует такое достаточно малое ε0 > 0, что при всех 0 < ε ≤ ε0
уравнение (34) имеет орбитально экспоненциально устойчивый цикл x∗(t, ε), x∗(−σ0, ε) ≡
≡ θ1(−σ0), периода T∗(ε). Для этого цикла справедливы асимптотические равенства
max
−σ0≤t≤T∗(ε)−σ0
|x∗(t, ε)− x0(t)| = O(ε ln(1/ε)), T∗(ε) = T0 +O(ε ln(1/ε)),
max
t∈Σ
|ẋ∗(t, ε)− ẋ0(t)| = O(
√
ε ),
(47)
где множество Σ представляет собой отрезок [−σ0, T∗(ε)−σ0] с выброшенными интервалами
(∆−
√
ε,∆ +
√
ε ),
(
t0 + ∆−
√
ε, t0 + ∆ +
√
ε
)
.
Обратимся теперь к аналогичному (10) вспомогательному линейному уравнению
ḣ = A(t, ε)h+ κB(t, ε)h(t−∆) (48)
с произвольно фиксированным запаздыванием ∆ > 0. Здесь 0 < ε � 1, κ — комплексный
параметр, а коэффициентыA(t, ε), B(t, ε), являющиеся аналогамиA(k)(t), B(k)(t) из (9), заданы
равенствами
A(t, ε) = f ′x(x∗(t, ε), x∗(t−∆, ε)/ε), B(t, ε) =
1
ε
f ′u(x∗(t, ε), x∗(t−∆, ε)/ε), (49)
где x∗(t, ε) — периодическое решение уравнения (34), доставляемое теоремой 1.
В связи с леммой 2 актуален вопрос об асимптотическом поведении при ε→ 0 мультипли-
каторов уравнения (48). Для его решения нам потребуются два вспомогательных утверждения.
В первом из них речь идет о необходимых в дальнейшем свойствах коэффициентов (49).
Лемма 3. Найдутся такое достаточно малое ε0 > 0 и такие не зависящие от ε посто-
янные M1, M2, M3 > 0, что при всех 0 < ε ≤ ε0 выполняются неравенства
max
−σ0≤t≤T∗(ε)−σ0
|A(t, ε)| ≤M1, max
−σ0≤t≤∆−σ0
|B(t, ε)| ≤M2ε,
∫
Σ
|B(t, ε)|dt ≤M3
√
ε, (50)
где Σ — множество из (47). Кроме этого, справедливы асимптотические формулы
∆+
√
ε∫
∆−
√
ε
B(t, ε)dt =
b0(θ1(∆))− a0(θ1(∆))
a0(0)
+O(
√
ε ),
∆+
√
ε∫
∆−
√
ε
|B(t, ε)|dt =
1
a0(0)
+∞∫
−∞
|f ′u(θ1(∆), u)|du+O(
√
ε ),
(51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
92 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
t0+∆+
√
ε∫
t0+∆−
√
ε
B(t, ε)dt =
a0(θ2(∆))− b0(θ2(∆))
b0(0)
+O(
√
ε ),
t0+∆+
√
ε∫
t0+∆−
√
ε
|B(t, ε)|dt =
1
|b0(0)|
+∞∫
−∞
|f ′u(θ2(∆), u)|du+O(
√
ε ),
(52)
где t0 — момент времени (42).
Доказательство. Из свойств (24) функции f(x, u) последовательно выводим
|f ′u(x, u)|+ |f ′′xu(x, u)| ≤ M
1 + u2
, |f ′x(x, u)| ≤M,
|f ′′uu(x, u)| ≤ M
1 + |u|3
∀u ∈ R ∀x ∈ K,
|f ′u(x1, u1)− f ′u(x2, u2)| ≤M
(
|u1 − u2|
1 + min (|u1|3, |u2|3)
+
|x1 − x2|
1 + min (u2
1, u
2
2)
)
∀u1, u2 ∈ R ∀x1, x2 ∈ K,
(53)
где K ⊂ R — произвольно фиксированный компакт, а одной и той же буквой M здесь и ниже
обозначены различные универсальные (зависящие, быть может, только от ∆ и K) положитель-
ные постоянные, точные значения которых несущественны. Далее, объединяя оценки на f ′x, f
′
u
из (53) с асимптотическими свойствами периодического решения x∗(t, ε) (см. (47)), заключаем,
что
|A(t, ε)| ≤M при t ∈ [−σ0, T∗(ε)− σ0],
|B(t, ε)| ≤ M
ε
(
1
1 + (t−∆)2/ε2
+
1
1 + (t− t0 −∆)2/ε2
)
при t ∈ Σ.
Отсюда требуемые неравенства (50) вытекают очевидным образом.
Обратимся теперь к асимптотическим соотношениям (51), (52) и докажем, к примеру, пер-
вые два из них. С этой целью перейдем на промежутке ∆−
√
ε ≤ t ≤ ∆+
√
ε к переменной τ по
формуле τ = (t−τ∗−∆)/ε, где τ∗ — корень уравнения x∗(t, ε) = 0 из отрезка−σ0 ≤ t ≤ ∆−
√
ε.
Используя вытекающие из (46), (47) формулы
x∗(t, ε) = θ1(t) +O(ε ln(1/ε)), ẋ∗(t, ε) = a0(θ1(t)) +O(
√
ε ), −σ0 ≤ t ≤ ∆−
√
ε, (54)
убеждаемся, что корень τ∗ определяется однозначно и допускает асимптотическое представле-
ние
τ∗ = O(ε ln(1/ε)). (55)
Что же касается переменной τ, то она меняется на отрезке [γ−(ε), γ+(ε)], где в силу равен-
ства (55)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 93
γ±(ε) = ±1/
√
ε− τ∗/ε = ±1/
√
ε+O(ln(1/ε)). (56)
После перехода к новому времени τ для функции
x∗(t−∆, ε)/ε = x∗(τ∗ + ετ, ε)/ε
с учетом равенства x∗(τ∗, ε) = 0 получаем представление
x∗(τ∗ + ετ, ε)/ε = ẋ∗(τ∗ + ετ , ε)τ, (57)
где значение τ таково, что |τ | ≤ |τ |. Учитывая, далее, в (57) асимптотические формулы (54) –
(56) и очевидную оценку
|τ | ≤ max(|γ−(ε)|, |γ+(ε)|) ≤ 1/
√
ε+ |τ∗|/ε = 1/
√
ε+O(ln(1/ε)),
приходим к выводу, что
x∗(τ∗ + ετ, ε)/ε = a0(0)(1 +O(
√
ε ))τ, (58)
где остаток равномерен по τ ∈ [γ−(ε), γ+(ε)].
На заключительном этапе воспользуемся последним неравенством (53) и соотношения-
ми (47), (58), из которых следует, что
|f ′u(x∗(τ∗ + ∆ + ετ, ε), x∗(τ∗ + ετ, ε)/ε)− f ′u(θ1(∆), a0(0)τ)| ≤
≤M
(
|τ |
√
ε
1 + |τ |3
+
√
ε
1 + τ2
)
∀ τ ∈ [γ−(ε), γ+(ε)]. (59)
Применим затем оценку (59) непосредственно к вычислению интегралов из (51). В результате
убеждаемся, что
∆+
√
ε∫
∆−
√
ε
B(t, ε)dt =
γ+(ε)∫
γ−(ε)
f ′u(θ1(∆), a0(0)τ)dτ +O(
√
ε ) =
+∞∫
−∞
f ′u(θ1(∆), a0(0)τ)dτ +O(
√
ε ) =
=
1
a0(0)
+∞∫
−∞
f ′u(θ1(∆), u)du+O(
√
ε ) =
b0(θ1(∆))− a0(θ1(∆))
a0(0)
+O(
√
ε ),
∆+
√
ε∫
∆−
√
ε
|B(t, ε)|dt =
γ+(ε)∫
γ−(ε)
|f ′u(θ1(∆), a0(0)τ)|dτ +O(
√
ε ) =
=
+∞∫
−∞
|f ′u(θ1(∆), a0(0)τ)|dτ +O(
√
ε ) =
1
a0(0)
+∞∫
−∞
|f ′u(θ1(∆), u)|du+O(
√
ε ).
Лемма 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
94 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
Перед формулировкой следующего утверждения введем в рассмотрение банахово простран-
ство C0 непрерывных на отрезке −∆ − σ0 ≤ t ≤ −σ0 комплекснозначных функций h0(t),
h0(−σ0) = 0 с нормой ‖h0‖ = max−∆−σ0≤t≤−σ0 |h0(t)|. Обозначим, далее, через h(t, ε), t ≥
≥ −σ0, решение уравнения (48) с произвольным начальным условием h0(t), −∆ − σ0 ≤
≤ t ≤ −σ0, из пространства C0.
Лемма 4. Для каждого r > 0 можно указать такие постоянные M = M(r) > 0,
ε0 = ε0(r) > 0, что при всех значениях 0 < ε ≤ ε0, κ ∈ S(r)
df
= {κ ∈ C : |κ| ≤ r} и при h0 ∈ C0
имеет место оценка
max
−σ0≤t≤T∗(ε)−σ0
|h(t, ε)| ≤Mε ‖h0‖. (60)
Доказательство. Зафиксируем произвольно положительное r и будем считать, что κ ∈
∈ S(r). Рассмотрим сначала отрезок −σ0 ≤ t ≤ ∆−σ0, на котором для коэффициентов A(t, ε),
B(t, ε) справедливы соответствующие оценки (50). Учитывая эти оценки в явной формуле
h(t, ε) = κ
t∫
−σ0
exp
t∫
s
A(σ, ε)dσ
B(s, ε)h0(s−∆)ds, −σ0 ≤ t ≤ ∆− σ0,
приходим к выводу, что
max
t
|h(t, ε)| ≤Mε ‖h0‖, M = const > 0. (61)
Для распространения оценки (61) на оставшийся отрезок [∆− σ0, T∗(ε)− σ0] изменения t
воспользуемся методом шагов. А именно, разобьем данный промежуток на отрезки времени
[∆−σ0+l∆, 2∆−σ0+l∆], l = 0, 1, . . . , l0, и [2∆−σ0+l0∆, T∗(ε)−σ0], где l0 = b(T∗(ε)−2∆)/∆c,
b∗c — целая часть. Используя, далее, свойство интегральной ограниченности
T∗(ε)−σ0∫
−σ0
(|A(t, ε)|+ |B(t, ε)|)dt ≤M, M = const > 0,
имеющее место в силу (50) – (52), замечаем, что из неравенства
|h(t, ε)| ≤ |h(∆− σ0 + l∆, ε)| exp
t∫
∆−σ0+l∆
|A(s, ε)|ds
+
+r
t∫
∆−σ0+l∆
exp
t∫
s
|A(σ, ε)|dσ
|B(s, ε)| · |h(s−∆, ε)|ds, t ≥ ∆− σ0 + l∆,
и из полученной оценки вида (61) на (l−1)-м отрезке вытекает требуемая оценка на l-м отрезке
изменения t.
Лемма 4 доказана.
Перейдем теперь непосредственно к интересующему нас вопросу об асимптотическом вы-
числении мультипликаторов уравнения (48). С этой целью введем в рассмотрение оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 95
монодромии W (ε) данного уравнения, действующий в пространстве C[−∆ − σ0,−σ0] (над
полем комплексных чисел) по правилу
W (ε)h0 = h(t+ T∗(ε), ε), −∆− σ0 ≤ t ≤ −σ0, (62)
где h(t, ε), t ≥ −σ0, — решение уравнения (48) с произвольной начальной функцией h0(t) ∈
∈ C[−∆ − σ0,−σ0], а T∗(ε) — период цикла x∗(t, ε). Далее, обозначим через νs(κ, ε), s ∈ N,
собственные значения оператора (62), занумерованные в порядке убывания модулей. Справед-
ливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для любого r > 0 найдутся такие ε0 = ε0(r) > 0, M = M(r) > 0, что при
всех 0 < ε ≤ ε0, κ ∈ S(r) выполняется неравенство
sup
s≥2
|νs(κ, ε)| ≤M
√
ε. (63)
Что же касается мультипликатора ν1(κ, ε), то он допускает равномерное по параметру
κ ∈ S(r) асимптотическое представление
ν1(κ, ε) = (1 + β1(κ− 1))(1 + β2(κ− 1)) +O(
√
ε ), (64)
где
β1 = 1− a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
> 1, β2 = 1− b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
> 1. (65)
Доказательство. Как и при обосновании леммы 4, зафиксируем произвольно r > 0 и
будем считать, что комплексный параметр κ пробегает шар S(r). Далее, введем в рассмотрение
конечномерный оператор
W̃ (ε)h0 = h0(−σ0)h̃(t+ T∗(ε), ε), −∆− σ0 ≤ t ≤ −σ0, (66)
где h̃(t, ε) — решение уравнения (48) на отрезке −σ0 ≤ t ≤ T∗(ε) − σ0 с начальной функцией
h̃ ≡ 1, −∆− σ0 ≤ t ≤ −σ0.
Остановимся на вопросе о связи между операторами (62) и (66). С этой целью рассмотрим
функцию
h(t, ε)− h0(−σ0)h̃(t, ε) (67)
и заметим, что при t ∈ [−σ0, T∗(ε) − σ0] она также является решением уравнения (48), а при
t = −σ0 обращается в нуль. Тем самым мы вправе применить к (67) оценку (60). Из упомянутой
оценки следует, что
‖W (ε)− W̃ (ε)‖C[−∆−σ0,−σ0]→C[−∆−σ0,−σ0] ≤Mε, (68)
где универсальная константа M > 0 зависит лишь от выбора r.
На следующем этапе доказательства изучим спектральные свойства оператора (66). Нетруд-
но видеть, что его спектр состоит из двух точек — собственного значения ν = ν∗(κ, ε)
df
=
df
= h̃(T∗(ε) − σ0, ε) (в общем случае простого) и собственного значения ν = 0 бесконечной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
96 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
кратности. Что же касается собственного значения ν∗(κ, ε), то для него, как будет показано
ниже, имеет место равномерное по κ ∈ S(r) асимптотическое равенство
ν∗(κ, ε) = (1 + β1(κ− 1))(1 + β2(κ− 1)) +O(
√
ε ), (69)
где β1, β2 — постоянные (65).
Для обоснования соотношения (69) необходимо знать асимптотическое поведение решения
h̃(t, ε). В связи с этим дополним уравнение (48) начальным условием h ≡ 1, −∆ − σ0 ≤
≤ t ≤ −σ0, и проинтегрируем его на отрезке времени −σ0 ≤ t ≤ T∗(ε) − σ0 методом шагов с
учетом того, что коэффициент B(t, ε) меняется δ-образно (см. (50) – (52)), а для коэффициента
A(t, ε) справедливо вытекающее из (46), (47), (49) равномерное по t ∈ Σ асимптотическое
представление
A(t, ε) = A0(t) +O(
√
ε ), A0(t) =
a0
′(x)|x=θ1(t) при − σ0 ≤ t < ∆,
b0
′(x)|x=θ2(t−t0) при ∆ < t < ∆ + t0,
a0
′(x)|x=θ1(t−T0) при ∆ + t0 < t ≤ T0 − σ0.
В результате убеждаемся, что, во-первых,
max
−σ0≤t≤T∗(ε)−σ0
|h̃(t, ε)| ≤M, M = const > 0, (70)
а во-вторых, равномерно по t ∈ Σ, κ ∈ S(r)
h̃(t, ε) = h(t) +O(
√
ε ), (71)
где h(t), t ≥ −σ0 — решение импульсной задачи Коши
ḣ = A0(t)h, h|t=−σ0 = 1,
h(∆ + 0) = h(∆− 0) + κ
b0(θ1(∆))− a0(θ1(∆))
a0(0)
h(0),
h(t0 + ∆ + 0) = h(t0 + ∆− 0) + κ
a0(θ2(∆))− b0(θ2(∆))
b0(0)
h(t0).
(72)
Что же касается свойства (69), то оно очевидным образом следует из (71) и из равенства h(T0−
−σ0) = (1+β1(κ−1))(1+β2(κ−1)), проверяемого посредством интегрирования системы (72)
(соответствующие вполне понятные выкладки опустим).
Вернемся к операторуW (ε). Объединяя оценку (68) с проведенным выше асимптотическим
анализом (см. (69), (70)), приходим к выводу, что все собственные значения этого оператора
заведомо принадлежат шарам вида
{ν ∈ C : |ν| ≤M1
√
ε}, {ν ∈ C : |ν − ν∗(κ, ε)| ≤M2
√
ε}, M1,M2 = const > 0.
Отсюда и из (69) требуемые соотношения (63), (64) вытекают очевидным образом.
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 97
4. Итоговые результаты. Обратимся теперь к исходной системе (23) и напомним, что в
силу леммы 1 проблема существования ее бегущих волн сводится к отысканию периодических
решений вспомогательного уравнения (34), имеющих периоды m∆/k, k ∈ N. В связи с этим
в дальнейшем периодическое решение уравнения (34), доставляемое теоремой 1, и его период
будем обозначать через x∗(t, ε,∆) и T∗(ε,∆) соответственно, подчеркивая явно зависимость
указанных функций от ∆. Аналогичным образом, через T0(∆) обозначим период функции (46).
Изучим сначала вопрос о существовании периодического решения с периодом m∆/k у
релейного уравнения (36). С этой целью обратимся к аналогичному (4) уравнению
T0(∆) = m∆/k (73)
для нахождения ∆ > 0 и заметим, что в силу (42), (45) оно эквивалентно уравнению
ψ(∆)
df
=
(m
k
− 2
)
∆−
0∫
θ2(∆)
ds
a0(s)
+
θ1(∆)∫
0
ds
b0(s)
= 0. (74)
Лемма 5. При любом натуральном k, принадлежащем множеству
k : m/(2 + a+ 1/a) < k < m/2, (75)
где, напомним, a = −b0(0)/a0(0) > 0, уравнение (74) допускает единственное решение ∆ =
= ∆̂(k) > 0 такое, что
m
k
− 2 +
(
a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
+
b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
) ∣∣∣∣
∆=∆̂(k)
> 0. (76)
В случае же k ≥ m/2 или k ≤ m/(2 + a + 1/a) это уравнение не имеет корней на полу-
оси (0,+∞).
Доказательство. При k ≥ m/2 в силу свойств (25) функций a0(x), b0(x) имеем ψ(∆) <
< 0 ∀∆ > 0. Аналогичным образом, в случае k ≤ m/(2 + a + 1/a) из оценки (26) следует,
что
ψ′(∆) =
m
k
− 2 +
a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
+
b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
≥
≥ a+ 1/a+
a0(θ1(∆))
b0(θ1(∆))
+
b0(θ2(∆))
a0(θ2(∆))
> 0 ∀∆ > 0. (77)
Отсюда и из очевидного равенства ψ(0) = 0 заключаем, что ψ(∆) > 0 ∀∆ > 0.
Перейдем теперь к случаю (75), в котором функция ψ(∆) обладает следующими свойствами.
Во-первых, справедливы соотношения
ψ(0) = 0, ψ′(0) = m/k − a− 1/a < 0, lim
∆→+∞
ψ(∆) = +∞, (78)
из которых автоматически вытекает существование у уравнения (74) хотя бы одного корня
∆ = ∆̂(k) > 0. Во-вторых, используя явную формулу для ψ′(∆) (см. (77)), замечаем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
98 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
уравнение ψ′(∆) = 0 имеет вид (27) при z = m/k − 2 ∈ (0, a + 1/a). Тем самым в силу
условия 4 это уравнение допускает единственный корень ∆ = ∆∗ > 0, причем
ψ′(∆) < 0 при 0 ≤ ∆ < ∆∗, ψ′(∆) > 0 при ∆ > ∆∗. (79)
Из свойств (78), (79) следует, что решение ∆ = ∆̂(k) уравнения (74), о котором говорилось
выше, единственно и
ψ′(∆̂(k)) > 0. (80)
Что же касается требуемого неравенства (76), то оно эквивалентно оценке (80).
Лемма 5 доказана.
Установленная лемма гарантирует, что при любом натуральном k из множества (75) и
при ∆ = ∆̂(k) периодическое решение (46) уравнения (36) имеет нужный период m∆̂(k)/k.
Обратимся теперь к периодическому решению x∗(t, ε,∆) уравнения (34) и рассмотрим соот-
ветствующее ему уравнение
T∗(ε,∆) = m∆/k, (81)
где номер k, по-прежнему, принадлежит множеству (75). Напомним, далее, что в силу (47)
период T∗(ε,∆) допускает асимптотическое представление
T∗(ε,∆) = T0(∆) +O(ε ln(1/ε)),
причем это представление равномерно по ∆ из любого компакта Ω ⊂ (0,+∞). Отсюда с учетом
простоты корня ∆ = ∆̂(k) уравнения (73) очевидным образом заключаем, что уравнение (81)
имеет хотя бы один корень ∆ = ∆̂(k)(ε) с асимптотикой
∆̂(k)(ε) = ∆̂(k) +O(ε ln(1/ε)). (82)
Суммируя приведенные построения, приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. Найдется такое достаточно малое ε0 > 0, что при всех 0 < ε ≤ ε0 и при
любом k из множества (75) система (23) допускает цикл (бегущую волну)
Ck : xj = x(k)(t+ (j − 1)∆̂(k)(ε), ε), j = 1, . . . ,m, (83)
где x(k)(t, ε) = x∗(t, ε,∆)|
∆=∆̂(k)(ε)
, а ∆̂(k)(ε) — корень (82) уравнения (81).
Интересно отметить, что при m→∞ количество номеров k из множества (75) стремится к
бесконечности. А это значит, что при согласованном увеличении m и уменьшении ε количество
сосуществующих в системе (23) циклов (83) неограниченно растет. Однако, как будет показано
ниже, устойчивым среди них является только цикл Ck при условии m = 2k + 1.
В силу леммы 2 проблема устойчивости цикла (83) с номером k сводится к анализу распо-
ложения корней уравнений (
ν̂s(κ, ε)
)k
= κm, s ∈ N, (84)
где через ν̂s(κ, ε) обозначены мультипликаторы νs(κ, ε) уравнения (48) при значении ∆ =
= ∆̂(k)(ε) параметра ∆. Для решения поставленной проблемы нам потребуется следующая
лемма.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 99
Лемма 6. При каждом натуральном k, удовлетворяющем требованиям (75), и при любых
значениях параметров
β1, β2 : βj > 1, j = 1, 2, β1 + β2 < m/k (85)
уравнение
P (κ)
df
= [1 + β1(κ− 1)]k[1 + β2(κ− 1)]k − κm = 0 (86)
имеет простой единичный корень, а все остальные его корни распадаются на два семейства
Ω1 ⊂ {κ ∈ C : |κ| < 1} и Ω2 ⊂ {κ ∈ C : |κ| > 1}. При этом множество Ω1 содержит 2k
элемента, а Ω2 состоит из m− 2k − 1 корней и в случае m = 2k + 1 оказывается пустым.
Доказательство. Из явного вида полинома P (κ) очевидным образом следует, что P (1) =
= 0. Кроме того, в силу (85) имеем P ′(1) = k(β1 + β2) −m < 0. Что же касается остальных
корней уравнения (86), то их исследование начнем со случая
β1 = 1 + ε1, β2 = 1 + ε2, 0 < ε1, ε2 � 1. (87)
Нетрудно увидеть, что при условиях (87) полином P (κ) допускает ровно 2k корней, стре-
мящихся к нулю при ε1, ε2 → 0. Остальные же его корни (обозначим их через κl(ε1, ε2),
l = 1, . . . ,m− 2k− 1), отличные от единичного, при ε1 = ε2 = 0 обращаются в exp (i2πl/(m−
− 2k)), l = 1, . . . ,m− 2k − 1. Кроме того, несложная проверка показывает, что
d
dεj
|κl(ε1, ε2)|2
∣∣∣
ε1=0, ε2=0
=
2k
m− 2k
(
1− cos
2πl
m− 2k
)
> 0, j = 1, 2.
Таким образом, при условиях (87) утверждение леммы верно.
Предположим теперь, что при некоторых значениях β1, β2 из множества (85) уравнение
(86) имеет корень κ0 = exp(iω0), ω0 ≥ 0. Тогда с необходимостью
|κ0|2m = 1 = |1 + β1(κ0 − 1)|2k|1 + β2(κ0 − 1)|2k =
= (1 + 2(β1 − 1)β1(1− cosω0))k(1 + 2(β2 − 1)β2(1− cosω0))k.
Отсюда в силу неравенств β1, β2 > 1 очевидным образом имеем cos ω0 = 1 и κ0 = 1.
Обозначим черезmj количество корней уравнения (86), лежащих в множестве Ωj .Из выпол-
ненного анализа следует, что величины mj , j = 1, 2, не меняются при изменении параметров
β1, β2 в пределах множества (85). Тем самым они остаются такими же, как и в случае (87), т. е.
m1 = 2k , m2 = m− 2k − 1.
Лемма 6 доказана.
Установленная лемма позволяет разобраться со свойствами устойчивости циклов (83). Как
было отмечено выше, имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Цикл (83) с фиксированным номером k экспоненциально орбитально устойчив
при m = 2k + 1 и неустойчив в противном случае.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
100 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
Доказательство. Рассмотрим систему в вариациях на цикле (83), имеющую вид
ḣj = Â(t+ (j − 1)∆̂(k)(ε), ε)hj + B̂(t+ (j − 1)∆̂(k)(ε), ε)hj−1, j = 1, . . . ,m, (88)
где h0 = hm, а Â(t, ε), B̂(t, ε) — коэффициенты (49), соответствующие значению ∆ = ∆̂(k)(ε)
(см. (82)) параметра ∆. Заметим, далее, что для оператора монодромии V(ε) : Rm → Rm
системы (88) имеет место оценка
‖V(ε)‖ ≤M, M = const > 0, (89)
справедливость которой вытекает из свойств (50) – (52) коэффициентов Â(t, ε), B̂(t, ε). Таким
образом, при исследовании уравнений (84) в силу очевидного неравенства |ν| ≤ ‖V(ε)‖, вы-
полняющегося для любого мультипликатора ν системы (88), и соотношения (12) мы вправе
ограничиться значениями параметра κ ∈ C : |κ| ≤ r, где r = (M + 1)k/m, M — константа
из (89).
Итак, при условиях κ ∈ S(r), ∆ = ∆̂(k)(ε) воспользуемся теоремой 2. В результате убежда-
емся, что все возможные решения κ ∈ C, κ 6= 0 уравнений (84) при s ≥ 2 лежат в круге радиуса
порядка ε k/2m с центром в нуле, а соответствующие мультипликаторы ν = κm/k цикла (83)
допускают оценку вида |ν| ≤ M
√
ε с некоторой универсальной постоянной M > 0. Впрочем,
как будет ясно из дальнейшего анализа, на самом деле мультипликаторов порядка
√
ε система
(88) не имеет, поскольку полный их набор строится уже по корням уравнения (84) при s = 1.
Объединяя формулы (64), (65), (82), приходим к выводу, что уравнение (84) с номером s = 1
записывается в виде
[1 + β̂1 (κ− 1)]k[1 + β̂2 (κ− 1)]k = κm +O(
√
ε ), (90)
где
β̂1 = β1|∆=∆̂(k)
, β̂2 = β2|∆=∆̂(k)
, (91)
а ∆̂(k) — корень уравнения (74), доставляемый леммой 5. Заметим, далее, что при ε = 0 оно
переходит в уравнение P̂ (κ) = 0, где P̂ (κ) — полином (86) при значениях (91) параметров
β1, β2. Добавим еще, что так как эти значения удовлетворяют условиям (85) (неравенство
β̂1 + β̂2 < m/k эквивалентно оценке (76)), то в силу леммы 6 интересующее нас уравнение
P̂ (κ) = 0 имеет простой корень κ = 1, а остальные его корни κ = κ̂j , j = 1, . . . ,m − 1,
принадлежат множествам Ω1 ⊂ {κ ∈ C : |κ| < 1}, Ω2 ⊂ {κ ∈ C : |κ| > 1}.
При ε > 0 уравнение (90) также допускает решение κ = 1, поскольку при κ = 1 уравне-
ние (48) заведомо имеет единичный мультипликатор (в этом случае оно представляет собой
линеаризацию уравнения (34) на цикле, о котором идет речь в теореме 1). Далее, зафиксируем
некоторое δ > 0 и обозначим через Sδ(r) множество на комплексной плоскости {κ : κ ∈ C},
получающееся из S(r) при выбрасывании окрестностей {κ ∈ C : |κ − (β̂j − 1)/β̂j | < δ},
j = 1, 2. Обратим внимание, что при достаточно малом δ в силу очевидных неравенств
P̂ ((β̂j − 1)/β̂j) 6= 0, j = 1, 2, эти окрестности заведомо не содержат корней уравнения (90).
Тем самым в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением значений κ ∈ Sδ(r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ . . . 101
Переход от S(r) к Sδ(r) продиктован тем обстоятельством, что в случае κ ∈ Sδ(r) имеем
[1 + β̂1(κ−1)] · [1 + β̂2(κ−1)] 6= 0. Таким образом, при κ ∈ Sδ(r), ∆ = ∆̂(k)(ε) мультипликатор
(64) является простым и в силу этого аналитически зависит от κ. Более того, справедливо
аналогичное (64) равномерное по κ ∈ Sδ(r) асимптотическое равенство
∂ ν̂1
∂κ
= β̂1 + β̂2 + 2β̂1β̂2(κ− 1) +O(
√
ε ). (92)
Факт аналитичности функции ν̂1(κ, ε) по κ и формула (92) позволяют утверждать, что, как
и в случае ε = 0, при 0 < ε � 1 количество корней уравнения (90) в множестве Sδ(r) равно
m, причем корень κ = 1 является простым. Остальные же его корни при ε → 0 стремятся к
упомянутым выше корням κ = κ̂j , j = 1, . . . ,m− 1, полинома P̂ (κ). Тем самым на основании
лемм 1 и 6 заключаем, что в случаеm = 2k+1 цикл Ck экспоненциально орбитально устойчив,
а при m ≥ 2k+ 2 дихотомичен (с размерностью неустойчивого многообразия, равной m− 2k).
Теорема 4 доказана.
5. Заключение. Обратим внимание, что теоремы 3, 4 не содержат никакой информации об
аттракторах системы (23) при четномm. Для того чтобы восполнить этот пробел, приm = 2m0,
m0 ∈ N, перейдем в (23) к пределу при ε → 0. В результате с учетом равенства (35) получим
релейную систему
ẋj = F (xj , xj−1), j = 1, . . . , 2m0, x0 = x2m0 . (93)
Предположим, что в дополнение к условиям (25) выполняются неравенства a0
′(q1) < 0,
b0
′(−q2) < 0. Тогда, как нетрудно увидеть, система (93) допускает два экспоненциально устой-
чивых состояния равновесия Ol, l = 1, 2, с координатами x2j−1 = −q2, x2j = q1, j = 1, . . . ,m0,
и x2j−1 = q1, x2j = −q2, j = 1, . . . ,m0, соответственно. Других же аттракторов у рассмат-
риваемой системы, по всей видимости, нет. Во всяком случае их не удалось обнаружить ни
аналитическими методами, ни с помощью численного анализа, проводившегося для
F (x, u) =
−µx+ 1 при u < 0,
−µx− a при u > 0,
m0 = 2, 3.
В заключение отметим, что предложенные нами методы исследования периодических ре-
шений типа бегущих волн распространяются и на цепочки уравнений с запаздыванием вида
ẋj = f(xj , xj(t− h1), xj−1, xj−1(t− h2)), j = 1, . . . ,m, x0 = xm, (94)
где m ≥ 2, xj = xj(t) ∈ Rn, h1, h2 > 0, а вектор-функция f(x, y, z, v) со значениями в Rn
бесконечно дифференцируема по (x, y, z, v) ∈ R4n. Примером цепочки (94) является математи-
ческая модель кольцевой нейронной сети Хопфилда с запаздыванием, представляющая собой
систему
u̇j = −µuj + λ[1− (a+ 1)f(uj(t− 1))− b g(uj−1)], j = 1, . . . ,m. (95)
Здесь u0 = um, параметры µ, a, λ и функция f(u) те же, что и в (30), b = const > 0, а для
функции g(u) ∈ C∞(R) справедливы аналогичные (31) асимптотические представления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
102 А. Ю. КОЛЕСОВ, Н. Х. РОЗОВ
g(u) =
∞∑
l=1
d−l
ul
при u→ −∞, g(u) = 1 +
∞∑
l=1
d+
l
ul
при u→ +∞,
сохраняющие силу при дифференцировании по u любое число раз.
Другой пример — математическая модель кольцевой нейронной сети с однонаправленными
химическими связями, имеющая вид
u̇j = [λf(uj(t− 1)) + b g(uj−1) ln(u∗/uj)]uj , j = 1, . . . ,m, u0 = um. (96)
Здесь λ � 1, b = const > 0, u∗ = exp(c λ), c = const ∈ R, а функции f(u), g(u) ∈ C2(R+),
R+ = {u ∈ R : u ≥ 0} обладают свойствами
f(0) = 1; f(u) + a, uf ′(u), u2f ′′(u) = O(1/u) при u→ +∞;
g(u) > 0 ∀u > 0, g(0) = 0; g(u)− 1, ug′(u), u2g′′(u) = O(1/u) при u→ +∞,
где a = const > 0.
Подробному рассмотрению вопросов о существовании и устойчивости в системах (95),
(96) периодических решений типа бегущих волн будут посвящены отдельные статьи. Здесь же
отметим, что в отличие от случая (23) в этих цепочках при подходящем выборе параметров
может сосуществовать любое наперед заданное конечное число устойчивых бегущих волн, т. е.
реализуется известное явление буферности.
1. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных
генераторов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2006. – 46, № 10. – С. 1809 – 1821.
2. Спротт Д. К. Элегантный хаос: алгебраически простые хаотические потоки. – Ижевск: Ижев. ин-т компьютер.
исслед., 2012. – 328 с.
3. Hopfield J. J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons
// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1984. – 81. – P. 3088 – 3092.
4. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. – М.: Изд. дом „Вильямс”, 2006. – 1104 с.
5. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C1-аппроксимация // Тр. МИАН им.
В. А. Стеклова. – 1997. – 216. – С. 126 – 153.
6. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 2010. – 50, № 12. – С. 2099 – 2112.
7. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц.
уравнения. – 2011. – 47, № 7. – С. 919 – 932.
Получено 19.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
|